Números Complejos

Presentación 1 Precalculus

Sec. 1.5

Tipos de números reales

• Enteros positivos o números naturales:

• Enteros no-negativos:

• Enteros

1, 2, 3, 4, ...

0, 1, 2, 3, 4, ...

..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...− − − −

Tipos de números reales (con’t)

• Un número racional es un número real que se puede expresar de la forma donde a y b son enteros and

• La representación decimal de números racionales – decimal finito, por ejemplo – decimal infinito y periódico, por ejemplo

/ ,a b0 .b ≠

5 1.25,4=

177 3.2181818...55

=

Tipos de números reales (cont’d) • Números Reales que NO son racionales son

irracionales. • Ejemplos:

– la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro es apróximadamente 3.14159.

– es apróximadamente 1.414.

• Los irracionales siempre tienen representaciones decimales infinitas y no-periódicas.

,π

2,

Conjuntos núméricos en Álgebra

Si una línea conecta dos rectángulos, el conjunto del rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo inferior.

La unidad Imaginaria

• La unidad imaginaria, denotada i , tiene las propiedades: – i es la raiz cuadrada de -1, esto es, – i2 = -1 .

• i NO es un número real. Es una nueva entidad matemática que nos permite definir el conjunto ℂ de los números complejos.

Los números complejos

Terminología Definición Ejemplos

Número complejo a + bi , donde a y b son números reales, i2 = -1

3, 2 + i , -5i

Número imaginario a + bi , donde b≠0 son números reales, i2 = -1

3 + 2i , 9i

Número imaginario puro

bi , donde b≠0 -4i , 3𝑖,−𝑖

Igualdad a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d

x + yi = 3 + 4i si y solo si x = 3 y y=4

Parte real e imaginaria • Para un número complejo a + bi , llamamos

a la parte real y b la parte imaginaria. • Ejemplo: • Encontrar los valores de x y y, donde x y y son

números reales para

• Igualamos la parte real de ambos números 2x – 4 = 8 2x = 12 x = 6

• Luego la parte imaginaria: 9 = 3y y = 3

Suma y multiplicación • Expresar en la forma a + bi , donde a y b

son números reales.

• Solución:

Ejemplos Adicionales

• Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales.

Ejemplos Adicionales

Primeramente estudiaremos potencias consecutivos de i. y luego el ciclo se repite.

Conjugados • Si z = a + bi es un número complejo, entonces

su conjugado, denotado, , es a – bi . • Sigue que el conjugado de a – bi es

a + bi • Hallar el conjugado de cada número complejo: • 9 + 2i • -5 – 7i

• −6 +10𝑖2

• 4i

Propiedades de Conjugados

División de Numeros Complejos

• La división de números complejos implica utilizar la multiplicación por el conjugado del denominador para eliminar la parte imaginaria del denominador.

• Expresar en la forma a + bi , donde a y b son reales.

Ejemplo (continuación)

Simplificar las raíces de números negativos

Raíces de números negativos

• Ejemplos: a)

b)

c)

−4

−169 = 169 i =13i

−18 = 18 i = 3 2 i

i= 4 i= 2

Precaución • La fórmula 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 es válida para

números reales positivos, pero NO es válida cuando a y b son ambos negativos:

• Si sólo uno de los números ,a ó b, es negativo, entonces 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 .

Operaciones con raíces de números negativos

Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales

Soluciones Complejas

• Si r es un número real positivo, entonces la ecuación x2 = r tiene dos soluciones en los números complejos, , donde 𝑥 = 𝑟 se llama la raiz principal.

• Hallar las soluciones de:

𝑥 = ± 𝑟𝑖

𝑥2 + 24 = 0 𝑥2 = −24 𝑥 = ± −24 𝑥 = ± 24 𝑖

𝑥 = ± 4 ∙ 6 𝑖 𝑥 = ±2 6 𝑖

𝑥 = 2 6 𝑖 y 𝑥 = −2 6 𝑖

Soluciones complejas Ejemplo: Resuelva la ecuación x2 – 2x =-26. Nota que: x2 – 2x + 26 = 0 Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática.

Para las soluciones son En este caso, a = 1, b = -2 y c = 26. Entonces,

b b acx

a− ± −

=2 4

2

ax bx c+ + =2 0

( ) ( ) ( )( )( )

x− − ± − −

=2

2 2 4 1 26

2 1

(Ecuación cuadrática)

( ) ( ) ( )( )( )

x− − ± − −

=2

2 2 4 1 26

2 1

( )( )x

± −=

2 4 4 1 26

2

x± −

=2 4 104

2± −

=2 100

2i±

=2 100

2i±

=2 10

2i= ±1 5

El conjunto solución de la ecuación es {1+5i, 1-5i}.

Ejemplo

• Halle el conjunto solución de la ecuación

Es una ecuación polinomial de grado mayor que 2 que factoriza. Utilizando la propiedad de producto cero,

+ + =3 23 4 0x x x

( )+ + =2 3 4 0x x x

0x = + + =2 3 4 0x x

Ejemplo – continuación Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática. El conjunto solución de la ecuación es

+ + =2 3 4 0x x

( ) ( ) ( )( )( )

− ± −=

23 3 4 1 4

2 1x

− ± −=

3 9 162

x

− ± −=

3 72

x− ±

=3 7

2i = − ±

3 72 2

i

, ,i i − + − −

3 7 3 70

2 2 2 2

b b acx

a− ± −

=2 4

2

Ejemplo Halle el conjunto solución de la ecuación

Es una ecuación polinómica de grado 3 que factoriza por agrupamiento.

− + − =3 28 12 2 3 0x x x

( )( )− + =22 3 4 1 0x x

Ejemplo - continuación Utilizando la propiedad de producto cero,

− =2 3 0x + =24 1 0x=2 3x

=32

x

= −24 1x

= −2 14

x

( )( )− + =22 3 4 1 0x x

Cont. ejemplo

Por lo tanto, el conjunto solución es .

= −2 14

x

= ±14

x i

= ± −14

x

= ±12

x i

, ,i i − 3 1 12 2 2