Números racionales 1

Los problemas que se presentan a continuación son problemas "tipo". Estúdialos detenidamente pues encontrarás multitud de situaciones cotidianas cuya resolución exige los mismos procesos que aquí aparecen. FRACCIÓN DE UN NÚMERO Se pueden presentar tres tipos de problemas: A.- Cálculo de la parte (Problema directo)

Se ha vaciado las 83 partes de un depósito que contenía 2.400 litros de agua. ¿Cuántos litros se han

extraído?

Calcular los 83 de 2400 equivale a efectuar la operación: 900

872000

83·2400

==

1.- En un cine hay 63 personas de las que 4/7 son chicas, ¿cuántos chicos y chicas hay?

47

de 63 = (63 : 7) · 4 = 36 chicas → 63 – 36 = 27 chicos

2.- Un compuesto químico está formado por 2/5 de agua, 1/5 de edulcorante y el resto por una composición de distintos elementos. ¿Qué cantidad de cada elemento hay en 10 gramos de dicho compuesto?

Cantidad de agua: 25

de 10 = 4 g

Cantidad de edulcorante: 15

de 10 = 2 g

Cantidad de distintos elementos: 10 – (4 + 2) = 4 g 3.- Un profesor les presta a sus alumnos un libro a cada uno para leer. El que le da a Inés tiene 162 páginas y el de Paco 291. Inés dice que ha leído 4/9 y Paco, 2/3. ¿Cuál de los dos ha leído más páginas?

Inés ha leído los 49

de 162 = (162 : 9) · 4 = 18 · 4 = 72 páginas

Paco ha leído los 23

de 291= (291: 3) · 2 = 97 · 2 = 194 páginas

Luego Paco ha leído más que Inés. 4.- Los 2/3 de los habitantes de una ciudad tienen menos de 50 años y los 5/8 de éstos tienen menos de 20 años. Si la ciudad tiene 30.000 habitantes.

a) ¿Cuántos habitantes tienen menos de 20 años? b) ¿Cuántos tienen entre 20 y 50 años? c) ¿Cuántos tienen más de 50 años?

a) 2/3 de 30.000 = 20.000 habitantes tienen menos de 50 años.

b) 5/8 de 20.000 = 2500 · 5 = 12.500 personas tienen menos de 20 años

Por tanto, las personas con edades entre 20 y 50 años: 20.000 – 12.500 = 7.500 personas.

c) 30.000 – 20.000 = 10.000 habitantes tienen más de 50 años

Números racionales 2

5.- Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan: 3 huevos, 100 g de mantequilla, 120g de chocolate y 60 g de levadura. ¿Qué cantidades serán necesarias para hacer una tarta de 8 raciones?

Si para 6 personas necesitamos 3 huevos, para 8 necesitaremos 3 · 8/6 = 4 huevos.

Del mismo modo necesitaremos:

o De mantequilla 100 · 8/6 =133,3 g.

o De chocolate 120· 8/6 = 160 g

o De levadura 60·8/6 = 80 g. 6.- Un agricultor tiene una finca de 25.000 ha. Se reserva para él 1/5 de la superficie y el resto lo reparte en partes iguales entre sus dos hijos. Uno de los hijos vende 3/10 de su parte. Calcula las hectáreas que tienen al final el padre, cada uno de los hijos y el comprador.

El padre se queda con 1/5 de 25.000 ha, que son 5000 ha.

Reparte las 20.000 ha restantes entre los dos hijos, por tanto, a cada uno le corresponde 10.000 ha.

Uno vende 310

de 10.000 ha = 3000 ha. → Le queda al hijo 7000 ha.

7.- Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 7/15 del total, el segundo 5/12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?

El primero: 715

de 120 = 7 · 8 = 56 €.

El segundo: 512

de 120 = 5 · 10 = 50 €.

El tercero: 120 – (56 + 50) = 14 € 8.- De una caja que tenía 30 bombones, Alberto comió los 2/5 y Rosa 1/6.

a) ¿Cuántos bombones se comieron entre los dos?

b) ¿Qué fracción de bombones les queda sin comer?

a) Alberto comió 25

de 30 = 12 bombones

Rosa comió 16

de 30 = 5 bombones

b) Entre los dos se comieron 17 bombones, luego les quedan sin comer 13, que son 1330

de la caja.

9.- Un ciclista ha recorrido los cuatro séptimos de los 280 Km de la etapa. ¿Cuántos Km de la etapa tiene que recorrer todavía?

Si ha recorrido los cuatro séptimos, le queda por recorrer los tres séptimos.

37

de 280 = 37

· 280 = 3 · 40 = 120 km

Números racionales 3

B.- Cálculo del total (Problema inverso)

Patricia se ha gastado 900 €, que son los 83 de su sueldo. ¿Cuánto recibe de sueldo al mes?

83 de la paga son 900 € ⇒

81 de la paga será: 300 € ⇒

88 de la paga serán: 300 · 8 = 2400 €

Observa que este problema se resuelve multiplicando la cantidad por la inversa de la fracción:

83 de x = 900 ⇒

83 · x = 900 ⇒ x = 900 :

83 =

38·900

1.- Los 3/5 de un depósito contienen 2.400 litros, ¿qué capacidad tiene el depósito?

Representamos la situación:

800 litros 2400 litros 4000 litros

35

del depósito = 2400 l → 15

del depósito = 800 l → Total = 800 · 5 = 4000 l

2.- Los 5/6 de una mercancía cuestan 870 euros ¿Cuánto cuestan los 2/3 de dicha mercancía?

56

de la mercancía = 870 € → 16

mercancía: 870 : 5 = 174 € → Mercancía: 174 · 6 = 1044 €

23

de 1044 = 2 ·10443

= 2 · 348 = 696 €

3.- Hoy he perdido 18 cromos que son 3/11 de los que tenía. ¿Cuántos cromos tenía?

311

de los cromos = 18 → 111

de los cromos = 18 : 3 = 6 → Total cromos: 6 · 11 = 66

4.- Un frutero ha vendido los dos quintos de las manzanas que tenía y aún le quedan 75 Kg. ¿Cuántos Kg tenía?

Si vendió los dos quintos, le quedan los tres quintos de las manzanas.

35

de las manzanas = 75 kg → 15

de las manzanas = 25 kg → Total de manzanas: 25 · 5 = 125 kg

5.- Antonio gasta las tres cuartas partes de su dinero y le quedan 128 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio?

Si gastó las tres cuartas partes, le quedan un cuarto de su dinero.

14

de su dinero = 128 € → Dinero total: 128 · 4 = 512 €

Números racionales 4

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Marta tiene 150 €. Se gasta 31 en el cine y

52 en una revista. ¿Qué fracción del total le queda? ¿Cuánto

dinero le queda?

Entre el cine y la revista ha gastado: 1 2 5 6 113 5 15 15

++ = =

La fracción que le queda es: 11 4115 15

− =

Por tanto, ¿cuántos euros representan dicha fracción? 4 4·150150 4015 15

= =de €

1.- De un rollo de cuerda de 60 cm, Raúl ha cortado la mitad, Pedro cortó la cuarta parte del total y Juan la sexta parte del total.

a) ¿Qué fracción de cuerda han cortado entre los tres?

b) ¿Cuántos metros quedan? 2.- El espectro solar está formado por diversos colores. El rojo ocupa 1/8, el amarillo 2/15 y el anaranjado 3/40. ¿Qué fracción del espectro ocupan los restantes colores?

En total los tres colores ocupan: 1 2 3 15 16 9 40 18 15 40 120 120 3

+ ++ + = = = del espectro

Luego, los restantes colores ocupan los 2/3 que faltan. 3.- Una persona gasta 3/10 de su sueldo en vivienda, la mitad en comida y la quinta parte en otras necesidades, ¿qué porcentaje de su sueldo ahorra al mes?

Gasta: 3 1 1 3 5 2 10 110 2 5 10 10

+ ++ + = = = → No ahorra nada.

4.- Ana, Loli y Mar han comprado un queso. Ana se queda con la mitad; Loli con la cuarta parte, y Mar, con el resto. Sabiendo que Mar, por su porción, ha puesto 8 euros, ¿cuánto costó el queso entero?

Porción de Ana: 1 1 3 11 12 4 4 4

⎛ ⎞− + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

de queso

Si un cuarto de queso cuesta 8 € → Total de queso: 8 · 4 = 32 €

Números racionales 5

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

1. Un frasco tiene una capacidad de 2/5 de litros. ¿Cuántos litros se necesita para llenar 50 frascos?

Si simplificamos el problema cambiando los datos por números naturales:

“Un frasco tiene una capacidad de dos litros, ¿cuántos litros se necesita para llenar 50 frascos?”

Con este enunciado es fácil identificar que la resolución del problema es una simple multiplicación:

2 · 50 = 100 litros

Es decir, (capacidad frasco) · (número de frascos)

Volviendo a los datos iniciales del problema, la solución del problema es:

2 · 50 2·10 205

= = litros

2. Un frasco tiene una capacidad de 2/5 de litros. ¿Cuántos frascos se llenan con una botella de 2 litros?

Simplificamos el problema con datos numéricos más sencillos:

“Un frasco tiene una capacidad de dos litros, ¿cuántos frascos se llenan con una botella de 8 litros”.

Con este enunciado es fácil identificar que la resolución del problema es una división:

8:2 = 4 frascos

Es decir, (capacidad botella) : (capacidad frasco).

Volviendo a los datos iniciales del problema, la solución del problema es:

2 102 : 55 2= = frascos

1. Un rollo de 80 metros de cable eléctrico se ha cortado en trozos iguales de cuatro quintos de metro cada uno. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

80 : 45

= 400 : 4 = 100 → Se han obtenido 100 trozos.

2.- Mezclamos 6 litros de un vino que tiene 1/10 parte de alcohol con 3 litros de otro vino que tiene 2/15 partes de alcohol. ¿Qué proporción de alcohol tendrá la mezcla?

6 litros de vino con 1/10 de alcohol: 110

·6 = 6 310 5

= l de alcohol.

3 litros con 2/15 de alcohol: 215

·3 = 25

l de alcohol.

La mezcla de 9 litros contiene 2 3 5 15 5 5+ = = l de alcohol → La proporción es 1/9 de alcohol en la mezcla.

3.- Un paseante camina con pasos regulares de 65 de metro. Si da dos pasos cada 3 segundos, ¿qué

distancia recorrerá en media hora?

En tres segundos recorre 5 ·26 3

=5 m. → Media hora = 30 minutos = 30 · 60 seg = 1800 seg

Nº de intervalos de tres segundos: 1800 / 3 = 600 → Recorre: 5 3000·600 10003 3

= = m = 1 km

Números racionales 6

FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN

Una huerta tiene 1500 m2 de superficie. Se siembra 31 del terreno con patatas y

52 del resto con alubias.

a) ¿Qué fracción queda aún libre?

b) ¿Cuántos m2 quedan libres?

a) Fracción de terreno sembrada de patatas : 31 del total → Por tanto quedan

32 del total

Fracción de terreno sembrada de alubias: dos quinto del resto, es decir, 52 de

32 del total: 2 2 4·

5 3 15= del total

Fracción de terreno sembrada: 1 4 5 4 9 33 15 15 15 5

++ = = = del total

Fracción de terreno sin sembrar: 3 215 5

− = del total

b) Calculamos cuántos m2 representan esta última fracción:

2 2·15001500 6005 5

de = =

1.- Un libro tiene 260 páginas. Ayer leí las tres cuartas partes y hoy 1/5 del resto.

a) ¿Qué fracción de libro he leído ya?

b) ¿Cuántas páginas me quedan por leer?

a) He leído 3 1 1 3 1 15 1 16 44 5 4 4 20 20 20 5

++ = + = = =de del libro.

Gráficamente:

16 420 5

=→ He leído del libro

4 115 5

− =15

del libro → b) Me queda por leer: de 260 = 260 : 5 = 52 páginas

2.- Durante un viaje, un representante consume 1/8 de la gasolina que lleva en el depósito. En un segundo viaje consume 2/3 de lo que le quedaba. Si le quedan en el depósito 21 litros ¿Cuántos litros tenía al principio en el depósito?

724

Queda del depósito

En el primer viaje gasta 1/8 (zona amarilla), en el segundo 2/3 de lo que le queda (zona rosa) y le quedan

21 litros (zona blanca), que representa los 724

del depósito.

724

124

del depósito = 21 litros → del depósito = 3 litros → Total = 3 · 24 = 72 litros.

Números racionales 7

3. En un programa de televisión intervienen tres médicos. El primero habla 3/8 del tiempo total, la segunda ha intervenido durante 2/5 del resto y el tercero expone sus ideas en 15 minutos. ¿Cuánto tiempo ha durado el programa?

El primer médico interviene 3/8 del tiempo (zona amarilla), el segundo 2/5 de lo que le queda (zona rosa)

y el tercero 15 minutos (zona blanca), que representa los 38

del tiempo.

38

18

del tiempo = 15 min → del tiempo = 5 min → Total = 5 · 8 = 40 min.

El programa duró 40 minutos.

4.- Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, 3/4 del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide 5 m. Halla la longitud del poste.

El poste bajo tierra es 2/7 (zona amarilla), la parte sumergida en agua es 3/4 de lo que le queda (zona

rosa) y la parte emergente son 5 metros (zona blanca), que representa los 528

de la longitud del poste.

528

128

de la longitud = 5m → de la longitud = 1m → Longitud = 28 m

5.- En un Instituto, en 1º de Bachillerato, los 4/7 del alumnado estudian inglés, las dos terceras partes del resto, francés y los 15 estudiantes restantes, alemán. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en 1º de Bachillerato?

Estudian inglés los 4/7 de l@s alumn@s (zona amarilla), francés los dos tercios del resto (zona rosa) y el resto son 15 estudiantes (zona blanca), que representa un séptimo del total.

Por tanto, el total de los estudiantes es 7 · 15 = 105 6.- Un corredor sale a correr y recorre durante la primera hora la cuarta parte del total, durante la segunda hora los 2/5 del resto, quedándole todavía 9km para recorrer en las dos horas siguientes. ¿Cuántos kilómetros ha corrido?

920

Las dos últimas horas representan los 9/20 del recorrido: los del recorrido = 9 km.

Por tanto 1/20 del recorrido = 1 km → Recorrido: 20 km

Números racionales 8

PROBLEMAS CON FRACCIONES

1. Cristina ha comprado fruta: las 3/5 partes son manzanas y las 5/6 partes son naranjas. ¿De qué tipo de fruta ha comprado mayor cantidad?

53

432. Una botella de vino está llena hasta sus y otra hasta sus . ¿Cuál contiene mayor cantidad de vino?

3. Un coche de juguete avanza dos quintos de metros por cada vuelta que dan las ruedas. ¿Cuántas vueltas tienen que dar para recorrer 30 metros?

4. En una tienda de alquiler de vídeos, en un día alquilaron 245 películas, de las que tres séptimos eran películas de acción. ¿Cuántas películas de acción se alquilaron? El resto, ¿qué fracción representa?

5. Una fábrica de calzado fabrica diariamente 12.300 pares de zapatos. Debido a una avería, un día sólo fabrica los tres quintos,¿cuántos pares fabricaron ese día?

6. De un depósito que contiene 100 litros de gasolina se sacan primero los 3/5 del total y después se saca 1/4 del total. ¿Qué fracción de combustible se ha sacado?¿Cuántos litros quedan en el depósito?

7. Pedro tenía 180 euros y ha gastado las cuatro décimas partes en libros, dos quintos en discos y un décimo en revistas. ¿Qué fracción de su dinero ha gastado? ¿Cuánto dinero le queda?

8. El dueño de una tienda vende dos tercios de los discos que tienen, y uno de los dependientes vende un quinto del resto de los discos. ¿Qué parte de los discos que tenían han vendido?

9. Juan tiene que leer un libro de 120 páginas. Ayer leyó un tercio del libro y hoy los dos quintos de lo que le quedaba. ¿Cuántas páginas tiene que leer todavía?

52

3210. Aurora sale de casa con 300 €. Se gasta del dinero en un libro y, después, de lo que le quedaba

en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?

5111. Un agricultor tiene una finca de 30.000 ha. Se reserva para él de la superficie y el resto lo reparte a

partes iguales entre sus tres hijos. Uno de ellos vende los103 de su parte. ¿Cuántas ha. vendió el hijo?

12. Una colonia de verano dispone de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas. Sabiendo que

en el pabellón A se encuentran los 118 del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?

13. Pedro, con los tres quintos del dinero que tenía en su hucha, ha comprado un regalo a su hermana por valor de 27€. ¿Cuánto dinero tenía en su hucha?

14. En una clase sólo los dos tercios de los alumnos han presentado el trabajo de Tecnología. Si el profesor decide suspender a los 8 alumnos que no lo han presentado, ¿cuántos alumnos forman el grupo?

15. Julián ha gastado un cuarto de su dinero en invitar a sus amigos y un quinto en la entrada del teatro. Le han quedado 110 €. ¿cuánto dinero tenía Julián?

16. En una librería un tercio de los libros son de ciencia ficción y tres quintos de intriga. Además tiene 600 libros sin clasificar. ¿Cuántos libros tiene la librería?

17. Un agricultor siembra un tercio de su parcela con patatas y dos quintos del resto con lechugas,. ¿Cuál es la extensión de la parcela si aún le quedan libre 600 m2?

18. Adela compró una televisión que pagó en tres plazos. La primera vez pagó los dos quintos del precio total, la segunda vez un tercio del resto y la tercera vez pagó 24 euros. ¿Cuál era su precio?

19. Un automóvil, al salir de viaje, lleva una cierta cantidad de gasolina. El viaje lo hace en dos etapas: En la primera consume 2/5 de la gasolina y en la segunda 1/3 de lo que quedaba, llegando al final del trayecto con 16 litros. ¿Con cuántos litros emprendió el viaje?