N´umeros reales y complejos - UPV/EHUmtpalezp/mundo/ana1/CDI1cap1.pdf · Cap´ıtulo 1. Num´ eros...

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DIFERENCIALEINTEGRAL1,UPV/E

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Cap´ıtulo 1Numeros reales y complejos

A lo largo de este curso se estudian las propiedades fundamentales de las funciones queestan definidas sobre conjuntos de numeros, con especial atencion a las definidas sobrelos numeros reales. En este capıtulo se introduce de forma axiomatica el conjunto denumeros reales, sin perder de vista la idea intuitiva que tenemos de estos numeros.

1.1. Definicion axiomatica de los numeros reales

El sistema de los numeros reales es un conjunto no vacıo R en el que se definen dosoperaciones binarias, llamadas suma (+) y producto (·), con las siguientes propiedades:

(Ax. 1) Conmutativa: a+ b = b+ a y a · b = b · a, 8a, b 2 R.

(Ax. 2) Asociativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c) y (a · b) · c = a · (b · c), 8a, b, c 2 R.

(Ax. 3) Existencia de unidades: 90, 1 2 R, con 0 6= 1, tales que a+ 0 = a y a · 1 = a,8a 2 R.

(Ax. 4) Existencia de inversos: 8a 2 R, 9 � a 2 R tal que a+ (�a) = 0;8a 6= 0, 91/a 2 R tal que a · (1/a) = 1.

(Ax. 5) Distributiva: (a+ b) · c = a · c+ b · c, 8a, b, c 2 R.Ademas R es un cuerpo ordenado, es decir existe un subconjunto R+ tal que

(Ax. 6) a+ b 2 R+ y a · b 2 R+, 8a, b 2 R+.

(Ax. 7) 8a 2 R, una de las siguientes propiedades y solo una es cierta:

a = 0 o a 2 R+ o � a 2 R+.

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8 1.1. Definicion axiomatica de los numeros reales

Este axioma permite definir la conocida relacion de orden

a < b cuando b� a 2 R+

y analogamentea b cuando b� a 2 R+ o bien a = b.

Por ultimo, en R se verifica el axioma de completitud. Recordemos que, dadoun conjunto A ⇢ R, si el conjunto B = {x 2 R : x � a, 8a 2 A} es no vacıo,decimos que A esta acotado superiormente y cada elemento de B se llamacota superior de A. El elemento x 2 B tal que x y, para todo y 2 B, recibeel nombre de supremo de A. Si dicho elemento pertenece al conjunto A, recibeel nombre de maximo.

(Ax. 8) Completitud: Todo subconjunto de R no vacıo y acotado superiormente poseesupremo.

Lo anterior se puede resumir diciendo que R es un cuerpo ordenado completo.

Observacion. El axioma de completitud es equivalente a decir que todo conjuntoacotado inferiormente posee ınfimo. Los conceptos analogos son los siguientes:

Se dice que un conjunto A ⇢ R esta acotado inferiormente cuando existe b 2 Rtal que b x, 8x 2 A, y todo numero b que cumple esta condicion se llama cotainferior de A. La mayor de las cotas inferiores recibe el nombre de ınfimo y, si elınfimo pertenece al conjunto, se llama mınimo.

De los axiomas anteriores se deduce una gran variedad de propiedades. Destacaremoslas siguientes:

(P1) a+ b = a+ c =) b = c.

(P2) a · b = a · c y a 6= 0 =) b = c.

(P3) La ecuacion a+ x = b tiene solucion unica x = b� a.

(P4) Si a 6= 0, la ecuacion a · x = b tiene solucion unica x = b/a.

(P5) a · b = 0 =) a = 0 o b = 0.

(P6) (�a) · (�b) = a · b.

(P7) a < b =) a+ c < b+ c.

(P8) a < b y c > 0 =) a · c < b · c.

(P9) a < b y c < 0 =) a · c > b · c.

(P10) a < b y b < c =) a < c.

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Capıtulo 1. Numeros reales y complejos 9

(P11) a < b y c < d =) a+ c < b+ d.

(P12) El conjunto N de los numeros naturales no esta acotado superiormente.

Demostracion. Si fuera falso, existirıa ↵ = supN (axioma viii). Como ↵ � 1 yano es cota superior, existe n 2 N tal que ↵ � 1 < n, es decir ↵ < n + 1 2 N, locual es imposible.

(P13) Para todo a 2 R, existe n 2 N tal que n > a.

Esta propiedad es un caso particular de la siguiente, llamada propiedad arqui-mediana.

(P14) Si a, b 2 R y a > 0, entonces existe n 2 N tal que n · a > b.

Demostracion. Si no fuera cierto, para todo n 2 N, n · a b, es decir n b/a, loque significa que b/a es cota superior de N lo cual es imposible.

(P15) Dado cualquier x 2 R existe un unico n 2 Z tal que n x < n+ 1.

Dicho numero se llama parte entera de x y se representa por n = [x].

(P16) Q es denso en R.Demostracion. Debemos probar que, dados dos numeros reales, existe un numeroracional entre ellos. Veremos solamente el caso 0 a < b:

Por (P13), existe n 2 N tal que 1/(b� a) < n, o bien 1/n < b� a.

El conjunto A = {k 2 N : k > na} es no vacıo, con lo que tendra un primerelemento, es decir existe m 2 A pero m� 1 62 A. Ası pues (m� 1)/n a < m/n.Entonces

a <m

n a+

1

n< a+ b� a = b,

de modo que m/n es el numero buscado.

El axioma de completitud caracteriza el cuerpo de los numeros reales salvo equivalen-cias. Veamos que este axioma no se cumple en el conjunto de numeros racionales.

(P17) El conjunto Q no verifica el axioma de completitud.

Demostracion. Definimos el conjunto A = {x � 0 : x2 < 2}. Si suponemosque se cumple el axioma de completitud, como A es no vacıo y esta acotadosuperiormente, debe existir c = supA. Veamos que c2 = 2.

a) Si c2 < 2, elegimos " 2 (0, 1) tal que " <2� c2

2c+ 1. Entonces,

(c+ ")2 = c2 + 2c"+ "2 < c2 + 2c"+ " < 2,

lo cual significa que c+ " 2 A pero c+ " > c, lo que es absurdo.

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10 1.1. Definicion axiomatica de los numeros reales

b) Si c2 > 2, elegimos " > 0 tal que " <c2 � 2

2c. Entonces,

(c� ")2 = c2 � 2c"+ "2 > c2 � 2c" > 2,

lo cual significa que c� " es cota superior de A, lo que es absurdo.

La unica posibilidad es pues que c2 = 2, pero entonces c =p2, el cual no es

racional.

A partir de los axiomas anteriores se puede definir el concepto de valor absoluto deun numero real:

|x| = +px2 =

(

x si x � 0

�x si x < 0.

Las propiedades basicas del valor absoluto son las siguientes:

(P18) �|x| x |x|.

(P19) |x| a () �a x a.

(P20) |x| � a () x � a o x �a.

(P21) |x+ y| |x|+ |y|.

Veamos como caracterizar algunos conjuntos notables de R a partir de su definicionaxiomatica.

Definicion. Si a, b 2 R, con a < b, se definen los intervalos de extremos a y b a lossiguientes conjuntos:

Intervalo abierto: (a, b) = {x 2 R : a < x < b}.

Intervalo cerrado: [a, b] = {x 2 R : a x b}.

Intervalo semi-abierto: (a, b] = {x 2 R : a < x b}, [a, b) = {x 2 R : a x < b}.

Dado a 2 R, se definen tambien los correspondientes intervalos no acotados:

(a,1) = {x 2 R : a < x}, [a,1) = {x 2 R : a x}.

(�1, a) = {x 2 R : x < a}, (�1, a] = {x 2 R : x a}.

(�1,1) = R.

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En particular, dados dos puntos a 2 R, r > 0, un intervalo del tipo (a � r, a + r) ={x 2 R : |x� a| < r} recibe el nombre de entorno de centro a y radio r.

Definicion. Un subconjunto A ⇢ R es inductivo cuando:

i) 1 2 A;

ii) x 2 A =) x+ 1 2 A.

Es facil deducir que N es el menor subconjunto inductivo de R.

(P22) Si A es un conjunto inductivo y A ⇢ N, entonces A = N.

Esta propiedad es la base del metodo de induccion, que se enuncia como sigue.

Metodo de induccion completa:

Para que una propiedad P (n) que depende de n sea cierta 8n 2 N, basta comprobar:

i) Que P (1) es cierta.

ii) Que si suponemos P (k) cierta para cualquier k, entonces P (k + 1) es cierta.

Para demostrarlo, basta definir el conjunto A = {n 2 N : P (n) es cierta} y probar quees inductivo. Como N es el conjunto inductivo mas pequeno, esto implica que A = N.

Ejemplo. Demostrar que 3 + 2 · 31 + · · ·+ 2 · 3n = 3n+1

, 8n 2 N.Es evidente que, para n = 1, 3 + 2 · 31 = 31+1.

Suponemos a continuacion que 3 + 2 · 31 + · · · + 2 · 3k = 3k+1 para algun k 2 N yprobemos que 3 + 2 · 31 + · · ·+ 2 · 3k+1 = 3k+2:

3 + 2 · 31 + · · ·+ 2 · 3k+1 = 3k+1 + 2 · 3k+1 = 3 · 3k+1 = 3k+2.

Observaciones.

Simples comprobaciones de una propiedad para algunos valores de n 2 N noson suficientes para asegurar que dicha propiedad es cierta. Por ejemplo, es facilcomprobar que

1 · 2 · 3 · 4 = 24 = 52 � 1

2 · 3 · 4 · 5 = 120 = 112 � 1

3 · 4 · 5 · 6 = 360 = 192 � 1

4 · 5 · 6 · 7 = 840 = 292 � 1.

Sin embargo, no se puede concluir que el producto de cuatro numeros naturalesconsecutivos sea siempre el cuadrado de un numero menos uno. ¿Sera cierta dichapropiedad?

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12 1.2. Numeros complejos

Un par de ejemplos significativos donde no es cierta una propiedad a pesar deque sı lo es para muchos casos son los siguientes:

a) Para todo n 2 N, el numero n2 + n+ 41 es primo.

Esta propiedad es cierta solo para n < 40 porque, si n = 40, entonces402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 412.

b) Para todo n 2 N, el numero 991n2 + 1 no es un cuadrado perfecto.

En este caso, la propiedad es cierta “solamente” hasta el valorn = 12055735790331359447442538767.

En algunos casos, se pueden encontrar demostraciones intuitivas de propiedades

numericas. Por ejemplo, para probar quen

X

k=1

(3k2 � 3k + 1) = n3, basta observar

la siguiente figura:

1.2. Numeros complejos

Definicion. Se llama numero complejo a todo par ordenado de numeros reales. Si deno-tamos por C el conjunto de numeros complejos, podemos escribir, por tanto, C = R⇥R.

Si z = (a, b) es un numero complejo, se dice que a es la parte real de z y b es la parteimaginaria de z:

a = Re z, b = Im z.

El conjunto C tiene estructura de cuerpo conmutativo si definimos las operaciones:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d),

(a, b) · (c, d) = (ac� bd, ad+ bc).

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Los elementos neutros de la suma y el producto son (0, 0) y (1, 0), respectivamente, yes facil comprobar que, dado z = (a, b), sus correspondientes recıprocos respecto a lasuma y el producto son, respectivamente,

�z = (�a,�b) y z�1 = 1/z =

✓

a

a2 + b2,

�b

a2 + b2

◆

.

Debido a que

(a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0) y (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0),

los numeros complejos de la forma (a, 0) se comportan como los numeros reales, de ahıque podamos identificar el numero real a con el numero complejo (a, 0), y se puedeconsiderar R ⇢ C mediante la identificacion R ⇠ R⇥ {0}. Ası, los numeros complejosde la forma (a, 0) los llamaremos numeros reales y los de la forma (0, b) los llamaremosnumeros imaginarios.

Con la identificacion anterior, si llamamos i = (0, 1), que recibe el nombre de unidadimaginaria, se tiene

i2 = (0, 1) · (0, 1) = (�1, 0) = �1,

y ademas podemos escribir

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a+ bi.

Esta forma de expresar el numero complejo (a, b) se llama forma binomica.

Observacion. Veamos que la relacion de orden total en R no puede ser extendida aC:

i 6= 0 ya que i2 = �1,

i 6> 0 ya que, si i > 0, i · i > 0, entonces � 1 > 0,

i 6< 0 ya que, si i < 0, i · i > 0 entonces � 1 > 0.

Definicion. Si z = a+ ib es un complejo, entonces se define el complejo conjugado dez como z = a� bi.

En la siguiente imagen se muestra la representacion geometrica de un numero complejocomo punto de un plano ası como las de su conjugado y su opuesto.

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z=Ha,bL

-z=H-a,-bL z=Ha,-bL

Re z=Ha,0L

Im z=H0,bL

Propiedades:

a) z = z, 8z 2 C.

b) z + z = 2 Re z.

c) z � z = 2i Im z.

d) z = z si y solo si Im z = 0.

e) z1

+ z2

= z1

+ z2

.

f) z1

· z2

= z1

· z2

.

g) �z = �z.

h) z�1 = (z)�1 si z 6= 0.

Demostracion. Todas estas propiedades son faciles de comprobar. Veamos, a modo deejemplo, la prueba de la ultima.

Comoz · z�1 = z · z�1 = 1 = 1 = z · (z)�1,

entonces z�1 = (z)�1.

Definicion. Se define el modulo de un numero complejo z = a+ bi como

|z| =pa2 + b2.

Geometricamente, el modulo representa la distancia del origen al punto (a, b).

Propiedades:

a) |z| = 0 si y solo si z = 0.

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b) |z|2 = z · z.

c) |z| = |z|.

d) |Re z| |z|, |Im z| |z|, |z| |Re z|+ |Im z|.

Demostracion. Si z = a + bi se tiene que |a| pa2 + b2, |b|

pa2 + b2. Ademasp

a2 + b2 |a|+ |b| ya que a2 + b2 a2 + b2 + 2|a| · |b|.

e) |z1

· z2

| = |z1

| · |z2

|.

Demostracion. Basta observar que |z1

z2

|2 = z1

z2

z1

z2

= z1

z2

z1

z2

= z1

z1

z2

z2

=|z

1

|2|z2

|2.

f) |z1

+ z2

| |z1

|+ |z2

|.

Demostracion. Probaremos en primer lugar la desigualdad de Schwarz:

ac+ bd pa2 + b2 ·

pc2 + d2.

Esta desigualdad es trivial si el miembro de la izquierda es negativo. Si fuera positivo,sera lo mismo que probar

(ac+ bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

es decir

a2c2 + b2d2 + 2acbd a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2

lo que equivale a

2abcd a2d2 + b2c2.

Pero esta desigualdad es la misma que (ad� bc)2 � 0, que es evidentemente cierta.

Para demostrar la propiedad del enunciado, se puede elevar al cuadrado y se obtiene

|z1

+ z2

|2 = |(a+ bi) + (c+ di)|2 = |(a+ c) + i(b+ d)|2

= (a+ c)2 + (b+ d)2 = a2 + c2 + 2ac+ b2 + d2 + 2bd

= |z1

|2 + |z2

|2 + 2(ac+ bd).

Por la desigualdad de Schwarz,

|z1

+ z2

|2 |z1

|2 + |z2

|2 + 2|z1

| · |z2

| = (|z1

|+ |z2

|)2.

Basta tomar raıces cuadradas para obtener el resultado.

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Forma trigonometrica y polar de un numero complejo

Todo numero complejo z 6= 0 se puede escribir como z = |z| · z

|z| , donde |z| es un

numero real positivo y z⇤ =z

|z| es un numero complejo de modulo 1. Si escribimos

z⇤ = x + yi, entonces |z⇤|2 = x2 + y2 = 1. Esto significa que debera existir ciertoangulo, que denotamos ✓, tal que

x = cos ✓, y = sen ✓

con lo que z⇤ = cos ✓ + i sen ✓. En definitiva, todo numero complejo no nulo se puedeescribir como

z = r(cos ✓ + i sen ✓),

llamada representacion trigonometrica de z, siendo r = |z| y ✓ el angulo que forma elsegmento OP , donde O = (0, 0) y P = (a, b), con la horizontal. Como este angulo noes unico, ya que cos(✓ + 2k⇡) = cos ✓ y sen(✓ + 2k⇡) = sen ✓, para cualquier k 2 Z,llamaremos argumento de z al conjunto de estos numeros, arg z = {✓

0

+ 2k⇡ : k 2 Z},siendo Arg z = ✓

0

2 [0, 2⇡) el llamado argumento principal de z.

z

»z»

q=Arg z

Propiedades:

a) Arg z = 0 si y solo si z 2 R+.

b) Arg z = ⇡ si y solo si z 2 R�.

c) arg z = � arg z.

Demostracion. Sean z = a + bi y z = a � bi. Sea ✓ 2 arg z tal que cos ✓ = a/|z|y sen ✓ = b/|z|. Teniendo en cuenta que |z| = |z|, si ✓0 2 arg z, entonces cos ✓0 =a/|z| = cos ✓ y sen ✓0 = �b/|z| = � sen ✓. Por tanto, ✓ = �✓0.

d) arg(z1

z2

) = arg z1

+ arg z2

.

Demostracion. Sean z1

= |z1

|(cos ✓ + i sen ✓) y z2

= |z2

|(cos ✓0 + i sen ✓0). Entonces

z1

z2

= |z1

||z2

|(cos ✓ + i sen ✓)(cos ✓0 + i sen ✓0)

= |z1

z2

|(cos(✓ + ✓0) + i sen(✓ + ✓0)).

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e) arg z�1 = � arg z, para z 6= 0.

Demostracion. arg(zz�1) = arg 1 = 0 = arg z + arg z�1.

Dado un numero complejo z, si r es su modulo y ✓ su argumento principal, la repre-sentacion z = r

✓

recibe el nombre de forma polar de z.

Potencias y raıces de numeros complejos

Dados z 2 C y n 2 N, se define sus potencias sucesivas como

z0 = 1, z1 = z, zn+1 = z · zn, z�n = (z�1)n, 8n 2 N.

Propiedades: 8z, z1

, z2

2 C, 8m,n 2 N.

a) zmzn = zm+n.

b) (zm)n = zmn.

c) (z1

z2

)m = zm1

zm2

.

d) |zn| = |z|n.

e) |z�n| = |z|�n.

f) arg zn = n arg z.

g) arg z�n = �n arg z.

Teniendo en cuenta estos resultados, se deduce facilmente la conocida como formulade Moivre:

Si z = |z|(cos ✓ + i sen ✓), entonces zn = |z|n(cosn✓ + i senn✓), n 2 N.

Definicion. Si z 2 C , n 2 N, se define la raız n-esima de z como el numero complejo! que verifica !n = z. Es decir

! = n

pz si y solo si !n = z.

Teorema. Todo numero complejo no nulo tiene exactamente n raıces n-esimas com-plejas distintas.

Demostracion. Sea z = r(cos ✓ + i sen ✓), donde r = |z| y ✓ = Arg z. Si denotamos por! = s(cos ✓0 + i sen ✓0) a una de sus raıces, entonces

wn = sn(cosn✓0 + i senn✓0) = r(cos ✓ + i sen ✓) = z.

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De aquı se deduce que sn = r, de donde s = n

pr.

Ademas n✓0 = ✓ + 2k⇡, k 2 Z, de donde

✓0 =✓

n+

2k⇡

n, k 2 Z.

Para ver cuantos valores distintos tiene ✓0, vamos dando valores a k. Vemos que

k = 0, ✓0 =✓

n,

k = 1, ✓0 =✓

n+

2⇡

n,

. . .

k = n� 1, ✓0 =✓

n+

2(n� 1)⇡

n,

k = n, ✓0 =✓

n+

2n⇡

n=

✓

n+ 2⇡.

Para k = n se tiene la misma que para k = 0 de modo que, para k = 0, 1, . . . , n � 1,las raıces son distintas.

Ejemplo. Calcular las raıces cubicas de i.

Como |i| = 1 y ✓ = ⇡/2, entonces i = cos(⇡/2) + i sen(⇡/2). Por tanto,

!1

= cos(⇡/6) + i sen(⇡/6),

!2

= cos(⇡/6 + 2⇡/3) + i sen(⇡/6 + 2⇡/3),

!3

= cos(⇡/6 + 4⇡/3) + i sen(⇡/6 + 4⇡/3),

es decir, !1

=

p3

2+ i

1

2, !

2

=�p3

2+ i

1

2, !

3

= 0 + i(�1).

Como todas las raıces tienen el mismo modulo estaran situadas en una circunferenciade radio su modulo y como la diferencia entre los argumentos de dos raıces consecutivases constante, estaran equidistribuidas en esa circunferencia.

Exponencial y logaritmo de un numero complejo

Dado b 2 R, se define eib = cos b + i sen b. Ası pues, si z = a + bi 2 C, z 6= 0, se tieneez = ea+ib = ea(cos b+ i sen b). En particular, |ez| = eRe z, Arg ez = Im z.

Propiedades.

a) ez1ez2 = ez1+z2 .

Demostracion. Si z1

= a+ ib y z2

= c+ id, entonces

ez1ez2 = ea(cos b+ i sen b) ·ec(cos d+ i sen d) = ea+c(cos(b+d)+ i sen(b+d)) = ez1+z2 .

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b) |eib| = 1.

c) ez 6= 0 8z.Demostracion. eze�z = e0 = 1, entonces ez 6= 0.

d) ez = 1 si y solo si z = 2k⇡i, k 2 Z.Demostracion. ez = 1 cuando ea(cos b+ i sen b) = 1 es decir, cuando

ea = 1 y arg ez = b = arg 1 = {2k⇡ : k 2 Z}.

Por lo tanto , cuando a = 0 y b = 2k⇡, k 2 Z. Es decir z = 2k⇡i, k 2 Z.

e) ez1 = ez2 si y solo si z1

� z2

= 2k⇡i, k 2 Z.

Teniendo en cuenta que ei✓ = cos ✓+i sen ✓ , por definicion se tiene la llamada formaexponencial de z

z = |z|(cos ✓ + i sen ✓) = |z|ei✓.

Definicion. Dado z 2 C, z 6= 0, llamaremos logaritmo de z a cualquier complejo !que verifique e! = z . Entonces , si ! = x+ iy,

e! = ex(cos y + i sen y) = z = |z|(cos ✓ + i sen ✓).

Por tanto, debe cumplirse que ex = |z|, es decir x = ln |z| y arg e! = y = ✓ + 2k⇡.

Luego! = ln |z|+ i(Arg z + 2k⇡), k 2 Z.

Cualquiera de esos complejos se llama logaritmo natural de z . El valor corres-pondiente a k = 0 recibe el nombre de logaritmo principal de z y se denota por

Ln z = ln |z|+ iArg z.

1.3. Ejercicios

Ejercicio 1.1. Hallar el supremo, ınfimo, maximo y mınimo (cuando existan) de lossiguientes conjuntos:

a) A =ncosn

n: n 2 N

o

. supA = cos 1 ' 0,54, ınf A = cos 3/3 ' �0,33

b) B = {x 2 R : x2 + x� 1 < 0}. supB = (�1 +p5)/2, ınf B = (�1�

p5)/2

c) C =n 1

n+ (�1)n : n 2 N

o

. supC = 3/2, ınf C = �1

Ejercicio 1.2. Demostrar las siguientes propiedades:

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20 1.3. Ejercicios

a) 12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, 8n 2 N.

b) 13 + 23 + · · ·+ n3 =⇣n(n+ 1)

2

⌘

2

, 8n 2 N.

c)1

1 · 2 +1

2 · 3 + · · ·+ 1

n(n+ 1)=

n

n+ 1, 8n 2 N.

d)

✓

n

1

◆

+ 2

✓

n

2

◆

+ · · ·+ n

✓

n

n

◆

= 2n�1 · n, 8n 2 N.

e) n! > 2n, para todo n � 4.

f) (1 + x)n � 1 + nx, para todo n 2 N si x > �1 (desigualdad de Bernoulli).

Ejercicio 1.3. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) x2 � 2x+ 2 > 0 R

b)1

x+

1

1� x> 0 (0, 1)

c) x2 + x+ 1 > 2 (�1, (�1�p5)/2) [ ((�1 +

p5)/2,1)

d) �2 < x2 � 3x+ 2 < 2 (0, 3)

e) x(2x� 1)(3x� 5) 0 (�1, 0] [ [1/2, 5/3]

f) 2x < 8 (�1, 3)

g)x

x+ 2>

x+ 3

3x+ 1(�1,�2) [ (�1,�1/3) [ (3,1)

h)1 + x

1� x� 1 [0, 1)

i)3x2 + 1

1� x2

< 0 (�1,�1) [ (1,1)

j)1

2(1 + x) <

1

3(1� x) (�1,�1/5)

Ejercicio 1.4. Dados a, b 2 R tales que 0 < a < b, probar que a <pab <

a+ b

2< b.

Ejercicio 1.5. Dados dos numeros reales x e y, si llamamos max(x, y) y mın(x, y) almayor y menor de los numeros x e y, respectivamente, demostrar que

max(x, y) =x+ y + |x� y|

2, mın(x, y) =

x+ y � |x� y|2

.

CALC

ULO


HU


Ejercicio 1.6. Encontrar el error en los siguientes razonamientos.

a) Para resolver la desigualdadx+ 1

x� 1� 1, procedemos ası:

Como 1 � �1, entonces x + 1 � x � 1, es decirx+ 1

x� 1� 1. En particular la

desigualdad sera valida para x = �1, lo que conduce a�1 + 1

�1� 1� 1, es decir,

0 � �1.

b) De la desigualdad 8 < 16, deducimos la siguiente cadena de desigualdades:1/8 > 1/16 =) (1/2)3 > (1/2)4 =) 3 log(1/2) > 4 log(1/2) =) 3 > 4.

c) Sean x, y 2 R, con x = y. Entonces

x2 = xy =) x2 � y2 = xy � y2

=) (x+ y)(x� y) = y(x� y) =) x+ y = y =) 2y = y =) 2 = 1.

Ejercicio 1.7. Sean x, y 2 R. Si x y + c para todo c > 0, probar que x y.

Ejercicio 1.8. Probar que, si |x� 1| < 1, entonces |x2 � 1| < 3.

Ejercicio 1.9. Dados x, y 2 R, probar las siguientes desigualdades:

a) |x� y| |x|+ |y|.

b) |x|� |y| |x� y|.

c)�

�|x|� |y|�

� |x� y|.

Ejercicio 1.10. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) |x� 1|+ |x� 2| > 1 (�1, 1) [ (2,1)

b) |x� 1| · |x� 2| � 3 (�1,3�

p13

2

i

[h3 +

p13

2,1)

c)|x� 2||x� 1| > |x| (�

p2, 1) [ (1,

p2)

d) |x2 + 3| 10 [�p7,p7]

e) |x� 1| < |x+ 1| (0,1)

f) |x2 � 4| � 1 (�1,�p5] [ [�

p3,p3] [ [

p5,1)

g) x+ |x+ 2| 1 + |x| (�1,�1/3]

h) 0 < |x� 1/2| < 2 (�3/2, 1/2) [ (1/2, 5/2)

CALC

ULO


HU

22 1.3. Ejercicios

i) |x2 � 5x| > |x2|� |5x| (�1, 0) [ (0, 5)

Ejercicio 1.11. Calcular las raıces cuartas de z =1 +

p3i

1�p3i

y comprobar que coincide

con una de ellas.

!1

= 1⇡

6, !

2

= 1 2⇡3, !

3

= 1 7⇡6, !

4

= 1 5⇡3.

Ejercicio 1.12. Calcular en forma binomica 3p�i.

!1

= i, !2

= �p3

2� 1

2i, !

3

=

p3

2� 1

2i.

Ejercicio 1.13. Demostrar que, si n = 3k, entonces (1 +p3i)n = ±2n.

Ejercicio 1.14. Calcular el valor del numero real a para que2 + ai

a+ 2isea real y calcular

ese cociente.

Si a = 2,2 + ai

a+ 2i= 1; si a = �2,

2 + ai

a+ 2i= �1.

Ejercicio 1.15. Resolver la ecuacion z2 � (6 + 8i)z + (1 + 30i) = 0.

z1

= 4 + i, z2

= 2 + 7i.

Ejercicio 1.16. Resolver z6 + 7z3 � 8 = 0.

z1

= 1, z2

= 1 2⇡3, z

3

= 1 4⇡3, z

4

= 2⇡

3, z

5

= 2⇡

, z6

= 2 5⇡3.

Ejercicio 1.17. Sabiendo que z1

= �1+i es una raız de la ecuacion z2�(p3+

p3i)z+

p = 0, hallar p y la otra raız.

p = �2p3 + 2i, z

2

= (1 +p3) + i(

p3� 1).

Ejercicio 1.18. Resolver (z + 2i)3 + (z + i)3 = 0.

z1

=

p3 + 3i

�1 +p3i, z

2

= �3

2i, z

3

=

p3� 3i

1 +p3i.

N´umeros reales y complejos - UPV/EHUmtpalezp/mundo/ana1/CDI1cap1.pdf · Cap´ıtulo 1. Num´ eros...

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