RELACION DE PROBLEMAS

MATEMATICAS I

Curso 2018/2019Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa Agronomica

Departamento de Matematica Aplicada I

Tema 1. Los numeros reales y complejos

1.1. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto solucion en la recta real.

a) 2x− 1 ≥ 0 b) 3x+ 1 ≥ 2x+ 2

c) −4 < 2x− 3 < 4 d)x

2+

x

3> 5

e) x2 ≤ 3− 2x f) x2 + x− 1 ≤ 5

g) x+ 1x ≥ 1 h)

x− 1

x+ 2< 1

i)2(x+ 1)

−3+ 3x+ 5 ≤ 7x− 4

−2j)

3

5x− 2x− 1

10≤ 0.3(x− 2) +

x

5

Solucion: (a) [ 12,∞). (b) [1,∞). (c) (− 1

2, 72). (d) (6,∞). (e) [−3, 1]. (f) [−3, 2]. (g) (0,∞). (h) (−2,∞).

(i) (−∞,− 25]. (j) [7,∞). ⊗

1.2. Dados a < b, razonar cuales de las siguientes desigualdades son ciertas.

a) a+ 2 < b+ 2 b) 5b < 5a c) 5− a > 5− b

d)1

a<

1

be) (a− b)(b − a) > 0 f) a2 < b2

Solucion: (a) Verdadero. (b) Falso. (c) Verdadero. (d) Falso. (e) Falso. (f) Falso. ⊗

1.3. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto solucion en la recta real.

a)

∣

∣

∣

∣

x− 3

2

∣

∣

∣

∣

≥ 5 b)

∣

∣

∣

∣

1− 2

3x

∣

∣

∣

∣

< 1

c) |x− 4| = |x− 1| d)

∣

∣

∣

∣

x+ 2

3− x

∣

∣

∣

∣

=x+ 2

3− x

e)

∣

∣

∣

∣

x+ 4

x− 3

∣

∣

∣

∣

> 2 f) |2x− |3− 2x|| ≤ 2

Solucion: (a) (−∞,−7] ∪ [13,∞). (b) (0, 3). (c) 52. (d) [−2, 3). (e) ( 2

3, 3) ∪ (3, 10). (f) [ 1

4, 54]. ⊗

1.4. Hallar:

a) Todos los numeros que distan a lo sumo 10 unidades del 12.

b) Todos los numeros que distan por lo menos 10 unidades del 12.

Solucion: (a) [2, 22]. (b) (−∞, 2] ∪ [22,∞). ⊗

1.5. Resolver las siguientes ecuaciones en C.

a) x2 − 2x+ 2 = 0 b) 4x2 + 16x+ 17 = 0 c) x3 − 2x− 4 = 0

Solucion: (a) 1± i. (b) −2± 12i. (c) 2,−1± i. ⊗

1

2 Matematicas I

1.6. Dados los numeros complejos z1 = 2+ i y z2 = 3− 2i, realizar las siguientes operaciones.

a) z1 + z2 b) z1 − z2 c) z1 · z2d) z1/z2 e) 3z1 f) (5z1 − 2z2)/z1

Solucion: (a) 5− i. (b) −1 + 3i. (c) 8− i. (d) 413

+ 713i. (e) 6 + 3i. (f) 17

5+ 14

5i. (g 5− 12i. ⊗

1.7. Realizar las siguientes operaciones.

a) (5 + i) + (6 − 2i) b) (8 +√−18)− (4 + 3

√2i)

c) 13i− (14− 7i) d) −(

3

2+

5

2i

)

+

(

5

3+

11

3i

)

e) (1 + i) · (3 − 2i) f) 6i(5− 2i)

g) (√14 +

√10i) · (

√14−

√10i) h) (4 + 5i)2

i)2 + i

2− ij)

6− 7i

i

k)1

(4− 5i)2l)

i

3− 2i+

2i

3 + 8i

Solucion: (a) 11−i. (b) 4. (c) −14+20i. (d) 16+ 7

6i. (e) 5+i. (f) 12+30i. (g) 24. (h) −9+40i. (i) 3

5+ 4

5i.

(j) −7− 6i. (k) − 91681

+ 401681

i. (l) 62949

+ 297949

i. ⊗

1.8. Hallar dos numeros complejos z1 y z2 tales que z1 + z2 = 2 + 4i, la parte real de z2 = −1 y z1/z2es imaginario puro.

Solucion: 3 + i y −1 + 3i o 3 + 3i y −1 + i. ⊗

1.9. Dado el numero complejo z = a+ bi, determinar la relacion que debe existir entre a y b para queel cociente z+1

z−1 sea imaginario puro.

Solucion: a2 + b2 = 1. ⊗

1.10. Representar los siguientes numeros complejos en el plano y expresarlos en forma polar o binomica,segun su caso.

a) 3− 3i b)√3 + i c) −2(1 +

√3i)

d) 6i e) 2150o f) (32 )300o

g) 3.75 3π2

h) 8 π12

i) −1

Solucion: (a) 3√2 7π

4. (b) 2π

6. (c) 4 4π

3. (d) 6π

2. (e) −

√3 + i. (f) 3

4− 3

√3

4i. (g) −3.75i.

(h) 2(√6 +

√2) + 2(

√6−

√2)i. (i) 1π. ⊗

1.11. Efectuar las siguientes operaciones.

a) 3 π3· 4 π

6b) (32 )π

2· 6 π

4c) (53 )140o · (32 )60o

d) 1 5π3/1π e) 24300o/875o f) 2 2π

3/8 11π

6

g) (√230o)

6 h) (1 + i)6 i) i312

j) 5√1 k)

√−16 l) 3

√1 + i

Solucion: (a) 12π2. (b) 9 3π

4. (c) ( 5

2)200o . (d) 1 2π

3. (e) 3225o . (f) ( 1

4)−7π

6. (g) −8. (h) −8i. (i) 1.

(j) 10o , 172o , 1144o , 1216o , 1288o (k) 490o , 4270o (l) 6√215o ,

6√2135o ,

6√2255o . ⊗

Los numeros reales y complejos 3

1.12. Calcular el numero complejo w = zi, siendo z = 3 − 2i. Interpretar graficamente el resultado deesta operacion.

Solucion: w = 2 + 3i. Multiplicar un numero complejo por i equivale a girar su afijo un angulo de 90o

en el sentido inverso a las agujas del reloj. ⊗

1.13. Resuelve la ecuacion x4 + 81 = 0.

Solucion: 32

√2 + 3

2

√2i, − 3

2

√2 + 3

2

√2i, − 3

2

√2− 3

2

√2i, 3

2

√2− 3

2

√2i. ⊗

1.14. Uno de los vertices de un octogono regular inscrito en una circunferencia centrada en el origenes el punto (2, 0). Hallar las coordenadas de los demas vertices y determinar una ecuacion cuyassoluciones complejas tengan como afijos dichos vertices.Solucion: (

√2,√2), (0, 2), (−

√2,√2), (−2, 0), (−

√2,−

√2), (0,−2), (

√2,−

√2). x8 − 256 = 0. ⊗

1.15.

a) Determinar un numero real β tal que eβi =

√2

2+

√2

2i.

b) Hallar los numeros complejos z que verifican la ecuacion ez2

=

√2

2+

√2

2i.

c) Describir y representar graficamente la region del plano formada por los afijos de los numerocomplejos z = x + yi que verifican que el modulo del numero complejo z − 2 + i es menor oigual que 2.

Solucion: a) β =π

4; b) z =

√π

2 π4

, z =

√π

2 5π4

; c) Interior y borde de la circunferencia centrada en (2,−1)

y radio 2. ⊗

1.16. Hallar los numeros complejos z = x+ yi que verifican ez = −2.

Solucion: x = ln 2; y = (2k + 1)π, k ∈ Z. ⊗

1.17. Demostrar que para cualquier x ∈ R se verifica:

cosx =eix + e−ix

2sen x =

eix − e−ix

2i

Solucion: Recordar que eix = cosx+ i sen x y que e−ix = cos x− i sen x. ⊗

4 Matematicas I

Tema 2. Funciones reales

2.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones de una variable.

a) f(x) =1

9− x2b) f(x) =

√2 + x− x2

c) f(x) = 3√2x+ 1 d) f(x) =

√

2− |x|

e) f(x) = ln(x2 − 9) f) f(x) = ln

(

1 + x

1− x

)

g) f(x) =

√−x+ 5 +

1√5 + x

si x > 1

x

ln(x+ 5)si x ≤ 1

h) f(x) =1

√

|x| − x

i) f(x) =

√x

sen πxsi x > 0

arcsen x si x ≤ 0j) f(x) =

√

ln( tg x)

Solucion: (a) R − {−3, 3}. (b) [−1, 2]. (c) R. (d) [−2, 2]. (e) (−∞,−3) ∪ (3,+∞). (f) (−1, 1). (g)

(−5, 5] \ {−4}.(h) (−∞, 0). (i) [−1,∞) \ N. (j) [π

4+ kπ, π

2+ kπ), con k ∈ Z. ⊗

2.2. Determinar si las siguientes afirmaciones son ciertas o no. Si son falsas, explicar por que o dar uncontraejemplo.

a) Una recta vertical puede cortar a la grafica de una funcion a lo sumo una vez.

b) Si f(x) = f(−x) para todo x perteneciente al dominio de f , entonces la grafica de f es simetricarespecto al eje OY .

c) Si f(x) = −f(−x) para todo x perteneciente al dominio de f , entonces la grafica de f essimetrica respecto al origen.

d) Si f es una funcion, entonces f(ax) = af(x).

e) Si f(a) = f(b), entonces a = b.

Solucion: (a) Verdadero. (b) Verdadero. (c) Verdadero. (d) Falso. Contraejemplo: para f(x) = x2,

f(2x) = 4x2 6= 2x2 = 2f(x). (e) Falso. Contraejemplo: para f(x) = x2, f(1) = f(−1), pero 1 6= −1. ⊗

2.3. Determinar cuales de las siguientes graficas corresponden a funciones y en tal caso determinar sison pares o impares y cuales son sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Funciones reales 5

–1

0

1

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–5

–4

–3

–2

–1

1

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

y

–2 –1 1 2 3 4x

Figura 1 Figura 2 Figura 3

–2

–1

0

1

2

y

–3 –2 –1 1x

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

–4

–2

0

2

4

y

1 2 3x

Figura 4 Figura 5 Figura 6

Solucion: Figura 1: Funcion impar. Decreciente en (−∞,−1) ∪ (1,∞) y creciente en (−1, 1). Figura

2: Funcion par. Decreciente en (−∞, 0) y creciente en (0,∞). Figura 3: No es funcion. Figura 4: No es

funcion. Figura 5: No es funcion. Figura 6: Funcion. No es par ni impar. Decreciente en (0, 1)∪ (1,∞).

⊗

2.4. Hallar f ◦ g y g ◦ f, en los siguientes casos:

a) f(x) =x

x+ 1, g(x) = x2 − 5 b) f(x) = x4, g(x) =

√x+ 1

c) f(x) = 1− x, g(x) = x2 + 5x d) f(x) = e2x, g(x) = ln(x+ 3)

Solucion: (a) (f◦g)(x) = x2 − 5

x2 − 4, (g◦f)(x) =

(

x

x+ 1

)2

−5. (b) (f◦g)(x) = (x+1)2, (g◦f)(x) =√x4 + 1.

(c) (f ◦ g)(x) = 1− 5x−x2, (g ◦ f)(x) = x2− 7x+6. (d) (f ◦ g)(x) = (x+3)2, (g ◦ f)(x) = ln(e2x +3). ⊗

2.5. Durante las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la poblacion de lincesen un bosque es una funcion f(x), donde x es el numero de liebres en el bosque, que a su vez esuna funcion g(t), donde t es el numero de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de

caza. Si f(x) =1

48x2 − 2x+ 50 y g(t) = 4t+ 52, con 0 ≤ t ≤ 15:

a) Expresar el numero de linces como una funcion del tiempo transcurrido tras la temporada decaza.

b) Hallar el numero de linces 11 semanas despues de la finalizacion de la temporada de caza.

Solucion: (a) f(t) = t2+2t+73

. (b) 50 linces. ⊗

2.6. Obtener las funciones inversas de las funciones dadas, siempre que sea posible:

a) f(x) = x2 b) f(x) =1

x3

c) f(x) =

(

1

3

)x

d) f(x) = 4 + ln(x − 3)

Solucion: (a) f : [0,∞) → R, f(x) = x2, f−1(x) =√x. (b) f−1(x) = 3

√

1x. (c) f−1(x) = log( 1

3) x.

(d) f−1(x) = 3 + ex−4. ⊗

6 Matematicas I

2.7. Durante una reaccion quımica, la temperatura T (en grados Celcius) varıa con el tiempo t (enminutos), segun la relacion

T =10

t+ 1+ t, con t ∈ [0, 30]

Se pide:

a) ¿En que instante de tiempo la temperatura alcanza los 15 grados?

b) ¿Durante que periodo de tiempo la temperatura se encuentra entre 8 y 12 grados?

Solucion: (a) Aproximadamente a los 14 minutos y 21 segundos. (b) Para t ∈ [0, 7−√

412

]∪[ 7+√

412

, 11+√

1292

],

aproximadamente hasta los 18 segundos y entre los 6 minutos y 42 segundos y los 11 minutos y 10 segundos.

⊗

2.8. Se sabe que el numero de semillas que produce una planta es directamente proporcional a su biomasano enterrada. Obtener la funcion que relaciona el numero de semillas respecto de la biomasa noenterrada, sabiendo que una planta que pesa 217 gramos tiene 17 semillas.

Solucion: N(x) = 17217

x. ⊗

2.9. Una enfermedad por hongos se origina en medio de un huerto y afecta inicialmente a un arbol.La enfermedad se extiende radialmente a una velocidad constante de 3 metros por dıa ¿Que areahabra afectado transcurridos 2 dıas? Definir una funcion que exprese el area afectada en funciondel tiempo transcurrido.

Solucion: 36πm2. A(t) = 9π t2. ⊗

2.10. Un granjero decide vallar un terreno de pasto rectangular adyacente a un rıo, utilizando 100 metrosde valla de los que dispone. Teniendo en cuenta que el lado adyacente al rıo no precisa vallarse, sepide:

a) Expresar el area del terreno como funcion de la longitud de los lados paralelos al rıo y deter-minar el dominio de esta funcion.

b) Dibujar la grafica de la funcion area y estimar las dimensiones del terreno que proporciona elarea de pasto maxima.

Solucion: (a) A(x) = x

(

100 − x

2

)

, y D(A) = (0, 100) para que el area tenga sentido. (b) 50 m por 25

m.

0

200

400

600

800

1000

1200

20 40 60 80 100x

⊗

2.11. El crecimiento de algunas especies animales y vegetales se puede modelar mediante la funcion devon Bertalanffy:

L(x) = l(1− e−kx), x ≥ 0,

siendo L(x) una medida del crecimiento (peso, longitud, ...) a la edad x y l una constante positiva.

Funciones reales 7

k =1

k =0.5

k =0.1

Funcion de von Bertalanffy

a) Para k = 1, obtener las edades en las que L es el 90% y el 99% de l ¿Puede alcanzarse lamedida l? Interpretar el efecto de este parametro.

b) Comparando las graficas de esta funcion para l = 50 y diferentes valores de k, k = 1, k = 0.5 yk = 0.1, ¿Cual de los patrones de crecimiento alcanza antes el 90% de l? Interpretar el efectodel parametro k en el crecimiento de dicha especie.

Solucion: (a) x = 2.3, x = 4.6. No, porque e−x 6= 0, ∀x. El parametro l es el valor lımite de L y puede

interpretarse como la talla media de un individuo anciano. (b) k = 1; k determina la rapidez de crecimiento

de la especie. ⊗

2.12. La altura en metros y de un cierto arbol en funcion de su edad en anos x, sigue aproximadamenteel modelo

y = 40e−20x , x ≥ 0.

0

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

0

10

20

30

40

y

50 100 150 200 250 300x

• A partir de la grafica de esta funcion, describir como es el crecimiento del arbol, atendiendo alas siguientes cuestiones: ¿Crece siempre el arbol? ¿Crece a la misma velocidad a lo largo deltiempo?

• ¿Cuantos anos deberan transcurrir para que el arbol alcance 39 metros de altura?

• ¿Puede alcanzar el arbol alguna vez la altura de 50 metros? ¿Hay una altura maxima que elarbol pueda alcanzar?

Solucion: (a) La altura del arbol es una funcion estrictamente creciente respecto de la edad de este. Por

tanto, el arbol crece siempre pero la velocidad de crecimiento va disminuyendo a lo largo del tiempo. (b)

Aproximadamente 790 anos. (c) No, porque no existe x ≥ 0 tal que 50 = 40e−20x . 40 metros. ⊗

8 Matematicas I

2.13. La funcion de Monod modela la velocidad de crecimiento R de una especie en funcion de la concen-tracion de algun nutriente N , de la forma

R(N) =aN

k +N, N ≥ 0,

siendo a y k dos constantes positivas.

0

1

2

3

4

2 4 6 8 10x

Funcion de Monod

• A partir de la grafica, ¿que le sucede a R(N) cuando N crece? ¿Por que a se denomina nivelde saturacion?

• Demostrar que R(k) =a

2(k se denomina constante de semisaturacion).

• Para a = 5 y k = 1, compara el incremento de la velocidad de crecimiento cuando la concen-tracion de nutrientes pasa de 0.1 a 0.2 y cuando pasa de 10 a 20 ¿Que efecto tiene sobre lavelocidad de crecimiento doblar la concentracion de nutrientes?

Solucion: (a) La velocidad de crecimiento aumenta a medida que aumenta la concentracion del nutriente,

pero el crecimiento es mas lento a medida que se aproxima al valor a. Porque a es la maxima velocidad

de crecimiento, esta no puede aumentar mas por mucho que aumentemos la concentracion de nutrientes.

(b) R(k) = akk+k

= a2. (c) 0.379. 0.216. Doblar la concentracion de nutrientes tiene un efecto mucho mayor

sobre la velocidad de crecimiento para concentraciones pequenas que para concentraciones grandes. ⊗

2.14. A continuacion se describe el vaciado de un deposito para agua de riego en cinco situaciones difer-entes. Determinar que grafica representa cada una de estas situaciones.

Funciones reales 9

Pro

fund

idad

Tiempo

Gráfica 1

Tiempo

Pro

fund

idad

Gráfica 2

Tiempo

Pro

fund

idad

Gráfica 3

Tiempo

Pro

fund

idad

Gráfica 4

Tiempo

Pro

fund

idad

Gráfica 5

A: El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo.

B: El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez mas y mas rapidamente mientrasel deposito se vacıa.

C: El nivel del agua desciende rapidamente al principio y cada vez mas y mas lentamente mientrasel deposito se vacıa.

D: El nivel del agua comenzo descendiendo rapidamente, y por un atasco del desague, el nivel dejode bajar. Cuando se desatasco volvio a descender con rapidez.

E El nivel del agua bajo lentamente al principio. Despues cada vez mas rapido y despues cada vezmas despacio hasta que el deposito dejo de tener agua.

Solucion: A: Grafica 4, B: Grafica 1, C: Grafica 3, D: Grafica 5, E: Grafica 2. ⊗

2.15. La temperatura de un invernadero se controla mediante un termostato. La siguiente grafica muestrala evolucion de esta temperatura a lo largo de un dıa.

10

12

14

16

18

20

22

24

T

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24t

a) Estimar la temperatura en el invernadero a las 4 de la madrugada y las 3 de la tarde.

b) Si programamos el termostato para obtener una temperaturaH(t) = T (t−1). ¿Como cambiarıala temperatura?

10 Matematicas I

c) Si programamos el termostato para obtener una temperaturaH(t) = T (t)−1. ¿Como cambiarıala temperatura?

Solucion: (a) T (4) = 16 y T (15) = 22. (b) Los cambios de temperatura ocurrirıan una hora despues.

(c) Las temperaturas serıan un grado mas bajas. ⊗

2.16. La regla de los troncos de Doyle es un metodo utilizado para determinar el rendimiento en maderaaserrada de un tronco (en tablones por metro) en terminos de su diametro D (en pulgadas) y de sulongitud L (en metros). Segun este modelo, el numero de tablones por metro viene dado por

N(D,L) =

(

D − 4

4

)2

L.

Hallar el numero de tablones por metro de madera aserrada producida por un tronco de 22 pulgadasde diametro y 4 metros de longitud.

Solucion: N(22, 4) = 81. ⊗

2.17. La funcion de produccion de Cobb-Douglas es un modelo que permite expresar el numero deunidades producidas en terminos de las unidades de trabajo x y del capital y:

f(x, y) = c xa y1−a,

donde c es una constante y 0 < a < 1. Probar, que segun este modelo, si se dobla el numero deunidades de trabajo y de capital, entonces tambien se doblara el nivel de produccion.

Solucion: f(2x, 2y) = c (2x)a(2y)1−a = 2 c xa y1−a = 2f(x). ⊗

2.18. Hallar el dominio de las siguientes funciones de dos variables.

a) f(x, y) =√

1− x2 − y2 b) f(x, y) = ln(y2 − 2x+ 3)

c) f(x, y) = y + arcsen x d) f(x, y) =

√

1− x2

4− y2

9

e) f(x, y) = ln(x+ y) f) f(x, y) =1

x− 1+

1

y

g) f(x, y) =1

x2 + y2h) f(x, y) =

√1− x2 +

√

1− y2

i) f(x, y) =√

x−√y j) f(x, y) = ln(x2 + y)

k) f(x, y) =√x sen y l) f(x, y) = x+

√y

m) f(x, y) =

√

1− x2 − y si y ≥ 0

1√

1− x2 − y2si y < 0

n) f(x, y) =

ln(4− xy) si y ≥ x

√

8− x2 − y2 si y < x

Solucion: (a) x2 + y2 ≤ 1: cırculo de centro (0, 0) y radio 1 (incluyendo el borde).

–1

–0.5

0

0.5

1

–1 –0.5 0.5 1

Funciones reales 11

(b) El exterior de la parabola y2 = 2x− 3 (excluyendo el bode).

–4

–2

0

2

4

2 4 6 8 10

(c) [−1, 1]× R. (d)x2

4+

y2

9≤ 1: elipse con centro el origen y semiejes 2 y 3 (incluyendo el borde).

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–3 –2 –1 1 2 3

(e) El semiplano y > −x (excluyendo el bode).

–2

–1

0

1

2

–2 –1 1 2

(f) Todo R2 excepto las rectas x = 1 e y = 0. (g) R

2 − (0, 0). (h) El cuadrado [−1, 1]× [−1, 1] (incluyendoel borde). (i) y ≤ x2 con x ≥ 0 (incluyendo el borde).

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

–0.5 0.5 1 1.5 2

(j) y > −x2 (excluyendo el borde).

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

–2 –1 1 2

(k) [0,+∞)× [2kπ, (2k + 1)π] ∪ (−∞, 0]× [(2k + 1)π, (2k + 2)π], con k entero.

12 Matematicas I

0–2 –1 1 2

π

2π

3π

−π

−2π

−3π

(l) El semiplano y ≥ 0. (m) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y ≤ 1− x2} ∪ {(x, y) ∈ R

2 : y < 0, x2 + y2 < 1}.

(n) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, xy < 4} ∪ {(x, y) ∈ R

2 : y < x, x2 + y2 ≤ 8}.

⊗

2.19. Describir y dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones correspondientes a los niveles quese indican:

a) f(x, y) = x+ y para k = −1, 0, 2, 4.

b) f(x, y) = 6− 2x− 3y para k = 0, 2, 4, 6.

c) f(x, y) =√

25− x2 − y2 para k = 0, 1, 2, 3.

d) f(x, y) = x2 + 2y2 para k = 0, 2, 4, 6.

e) f(x, y) = xy para k = −2,−1, 1, 2.

f) f(x, y) = exy2 para k = 1/3, 1/2, 1, 2.

g) f(x, y) =x

x2 + y2para k = −1,−1/2, 1, 2.

h) f(x, y) = log (x− y) para k = −1,−1/2, 0, 1/2, 1.

Funciones reales 13

Solucion: (a) Rectas x+ y = −1 (k = −1), x+ y = 0 (k = 0), x+ y = 2 (k = 2), x+ y = 4 (k = 4).

–3

–2

–1

0

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

y = −1 − x(k = −1)

y = −x (k = 0)

y = 2 − x (k = 2)

y = 4 − x (k = 4)

(b) Rectas 6 − 2x − 3y = 0 (k = 0), 4 − 2x − 3y = 0 (k = 2), 2 − 2x − 3y = 0 (k = 4), −2x − 3y =0 (k = 6). (c) Circunferencias de centro (0, 0) y radios 5 (k = 0),

√24 (k = 1),

√21 (k = 2), 4 (k = 3).

(d) (0, 0) (k = 0), Elipses x2

2+ y2 = 1 (k = 2), x2

4+ y2

2= 1 (k = 4), x2

6+ y2

3= 1 (k = 6).

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

–2 –1 0 1 2

•

(k = 0)

x2

2+ y2 = 1(k = 2)

x2

4+ y

2

2= 1(k = 4)

x2

6+ y

2

3= 1(k = 6)

(e) Hiperbolas y = −2x

(k = −2), y = −1x(k = −1), y = 1

x(k = 1), y = 2

x(k = 2).

–3

–2

–1

0

1

2

3

–3 –2 –1 1 2 3

k = 1

k = 1

k = 2

k = 2

k = −1

k = −1

k = −2

k = −2

(f) Hiperbolas y = −2 ln 3x

(k = 1/3), y = −2 ln 2x

(k = 1/2), y = 2 ln 2x

(k = 2), las rectas x = 0 e y = 0

(k = 1). (g) Circunferencias(

x+ 12

)2+ y2 = 1

4(k = −1), (x+ 1)2 + y2 = 1 (k = −1/2),

(

x− 12

)2+ y2 =

14(k = 1),

(

x− 14

)2+ y2 = 1

16(k = 2).

–1

1

–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1

k = −1

k = 1

k = 2

k = −1/2

(h) Rectas x − y = 1/e (k = −1), x − y = e−1/2 (k = −1/2), x − y = 1 (k = 0),

x− y = e1/2 (k = 1/2), x− y = e (k = 1). ⊗2.20. Una fina placa metalica esta situada en el plano OXY , siendo la temperatura T (en oC) en el punto

(x, y) inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen.

a) Expresar T en funcion de x e y.

b) Describir las curvas de nivel y dibujar un conjunto representativo.

c) Si la temperatura en el punto (1, 2) es 50oC, ¿cual es la temperatura en el punto (4, 3)?

Solucion: (a) T (x, y) = kx2+y2 (b) Circunferencias concentricas. (c) 10oC. ⊗

14 Matematicas I

Tema 3. Calculo Diferencial

3.1. Hallar las derivadas de las siguientes funciones.

a) f(x) = x2 + 5− 3x−2 b) f(x) = x4/5 − x2/3

c) f(x) = 3√x+ 5

√x d) f(t) = 2 4

√4− t2

e) f(x) = (9− x2)2/3 f) f(x) = x+1

x2

g) f(x) =x3 − 3x2 + 4

x2h) f(x) =

1

2x2

√

16− x2

i) f(x) =

(

x+ 5

x2 + 2

)2

j) f(t) = e−

5(t+3)2

k) f(x) =ex

1 + exl) f(x) = ln

√x2 − 2x+ 1

m) f(x) = ln (cos (3x)) n) f(x) = sen 3√x+ 3

√sen x

o) f(x) = cos (1− 2x)2 p) f(x) = tg ( sen (πx))

q) f(x) = secx2 r) f(x) =cotg x

sen x

s) f(x) =cosx

cosec xt) f(x) = arcsen

(

x√x4 + 4

)

u) f(t) = arccos(2 tg 3t) v) f(x) = arctg

(

1√x+ 2

)

w) f(x) =ln(x2 − 2x+ 1)

sen (3x)x) f(x) = sen 2

(

x+ 2

x+ 1

)

y) f(x) =

[

cos

(

3x− 1

x+ 2

)]2

z) f(x) = arctan

(

sen x

1 + cosx

)

Solucion: (a) 2x+ 6x3 . (b)

4

5x1/5 − 2

3x1/3 . (c)1

3x2/3 + 1

5x4/5 . (d)−t

(4−t2)(3/4). (e) − 4x

3(9−x2)1/3. (f) 1− 2

x3 .

(g) x3−8x3 . (h) x(32−3x2)

2√

16−x2. (i) −2(x+5)(x2+10x−2)

(x2+2)3. (j) 10 e

−5

(t+3)2

(t+3)3. (k) ex

(1+ex)2. (l) 1

x−1(m) −3 tg (3x).

(n) cos 3√x

33√x2

+ cos x

33√

sen 2x. (o) 4(1− 2x) sen (1− 2x)2. (p) π cos (πx)

cos2 ( sen (πx)). (q) 2x sen x2

cos2 (x2). (r) 1+cos2 x

− sen 3x. (s) −1 +

2 cos2 x. (t) 4−x4

(x4+4)√

x4−x2+4. (u) −6

(1+ tg 2t) tg 2t√1−4 tg 6t

. (v) −12(x+3)

√x+2

. (w) 2 sen (3x)−3(x−1) ln(x2−2x+1) cos(3x)

(x−1) sen (3x).

(x) −2(x+1)2

sen(

x+2x+1

)

cos(

x+2x+1

)

. (y) −14(x+2)2

sen(

3x−1x+2

)

cos(

3x−1x+2

)

. (z) 12. ⊗

3.2. Calcular la derivada de las siguientes funciones.

a) f(x) = (ln(x))x b) f(x) = xln x

c) f(x) = (cosx)x d) f(x) = xcos x

Solucion: (a) (ln(x))x(

ln(ln x) + 1lnx

)

. (b) xlnx(

2xln x

)

. (c) (d) xcos x(

cos xx

− ( sen x) ln x)

. ⊗

3.3. Calcular un polinomio de segundo grado p tal que

p(−1) = 6, p′(1) = 8, p′′(0) = 4.

Solucion: p(x) = 2x2 + 4x+ 8. ⊗

3.4. Demostrar que la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n− 1.

Solucion: Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n entonces p′(x) = a1 +2a2x+3a3x2 + . . .+nanx

n−1. ⊗

Calculo Diferencial 15

3.5. Dadas las funciones seno y coseno hiperbolico:

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2

Demostrar que (sinh)′(x) = cosh(x) y (cosh)′(x) = sinh(x).

Solucion: ⊗

3.6. Hallar las rectas tangentes a las funciones dadas en los puntos que se indican.

a) f(x) = 3− 2x en (−1, 5). b) f(t) = 3t− t2 en (0, 0).

c) f(x) =√x(x3 − 1) en (1, 0) d) f(x) =

2x− 5

x3en (2, −1

8 ).

e) f(x) = e−x2

cosx en (π2 , 0). f) f(x) = xx en (1, 1).

Solucion: (a) y = −2x+ 3. (b) y = 3t. (c) y = 3x − 3. (d) y = 716x− 1. (e) y = −e−π2/4(x− π/2).(f)

y = x. ⊗

3.7. Hallar la ecuacion de una parabola de la forma y = x2+bx+c que sea tangente a la curva y = (x−1)3

en el punto de abcisa x = 1.

Solucion: y = x2 − 2x+ 1. ⊗

3.8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la funcion y = ln

√

x

x+ 1paralelas a la recta

x− 4y + 1 = 0.

Solucion: y + 12ln 2 = 1

4(x− 1), y − 1

2ln 2 = 1

4(x+ 2). ⊗

3.9. Hallar la ecuacion de la recta tangente a y = x2 + 4x+ 5 que pasa por el origen de coordenadas.

Solucion: y = (4 + 2√5)x, y = (4− 2

√5)x. ⊗

3.10. La recta tangente a una cierta curva y = g(x) en el punto (5, 2) pasa por el punto (9, 0). Hallar g(5)y g′(5).

Solucion: g(5) = 2, g′(5) = − 12. ⊗

3.11. El perfil de una montanaa se puede modelizar por la funcion f(x) = −x2 + 5x + 14. Se pretendeconstruir un funicular desde un punto del suelo (eje OX) hasta un punto cercano a la cumbre dela montana de manera que el cable del funicular se represente por una recta tangente a la montanacon un angulo de 135o con respecto al suelo. Calcular los puntos en el suelo y en el perfil de lamontana donde comenzarıa y terminarıa, respectivamente, la estructura del funicular.

Solucion:

⊗

3.12. Los ensayos de Mendel mostraron que si p (0 < p < 1) es la frecuencia del gen de cascara lisa en losguisantes y 1− p es la frecuencia del gen de cascara arrugada, entonces la proporcion de guisantesde cascara lisa en la poblacion total es

y = 2p(1− p) + p2.

Justificar que el valor de y es mas sensible a un cambio de p cuando p es pequena que cuando p esgrande, interpretando la derivada de y respecto de p.

Solucion: dydp

= 2−2p, que es proxima a 2 cuando p se aproxima a 0 y es proxima a 0 cuando p se aproxima

a 1. ⊗

16 Matematicas I

3.13. Una poblacion de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de numero de acuerdo con la

ecuacion P (t) = 500

(

1 +4t

50 + t2

)

, donde t se mide en horas. Hallar el ritmo de crecimiento de

la poblacion cuando t = 2.

Solucion: 31.55 bacterias por hora. ⊗

3.14. Para la funcion de crecimiento de von Bertalanffy:

L(x) = l(1− e−kx), x ≥ 0,

con L(x) una medida del crecimiento (peso, longitud, ...) a la edad x y l una constante positiva,demostrar que la velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre l y L. ¿Comocambia la velocidad de crecimiento con la edad? ¿Como influye el parametro k en la velocidad decrecimiento?

Solucion: dLdx

= k(l−L(x)). Como L(x) va creciendo hasta l, la velocidad de crecimiento va disminuyendo

con la edad. Como k es el factor de proporcionalidad entre la velocidad de crecimiento y l−L(x), para un

valor de l fijo, el crecimiento es mas rapido cuanto mayor sea k. ⊗

3.15. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones de dos variables.

a) f(x, y) = 2x− 3y + 5 b) z = x√y

c) z = x2 − 5xy + 3y2 d) f(s, t) = s2e2t

e) f(x, y) = log (x2 + y2) f) f(x, y) = log

(

x+ y

x− y

)

g) f(x, y) =x2

2y+

4y2

xh) z = e−(x2+y2)

i) f(x, y) =√

x2 + y2 j) z = tg (2x− y)k) f(x, y) = ey sen (xy) l) f(x, y) = cos(x2 + y2)

Solucion: (a) fx = 2, fy = −3. (b) zx =√y, zy =

x

2√y. (c) zx = 2x− 5y, zy = −5x+6y. (d) fs = 2se2t,

ft = 2s2e2t. (e) fx =2x

x2 + y2, fy =

2y

x2 + y2. (f) fx =

−2y

x2 − y2, fy =

2x

x2 − y2. (g) fx =

x3 − 4y3

x2y,

fy =−x3 + 16y3

2xy2. (h) zx = −2xe−(x2+y2), zy = −2ye−(x2+y2). (i) fx =

x√

x2 + y2, fy =

y√

x2 + y2.

(j) zx =2

cos2 (2x− y), zy =

−1

cos2 (2x− y). (k) fx = yey cos(xy), fy = ey(x cos(xy) + sen (xy)). (l)

fx = −2x sen (x2 + y2), fy = −2y sen (x2 + y2). ⊗

3.16. Hallar el plano tangente a la siguientes superficies en los puntos que se indican:

a) z = 25− x2 − y2, en el punto (3, 1, 15).

b) z =√

x2 + y2, en el punto (3, 4, 5).

c) z = ex( sen y + 1), en el punto (0, π/2, 2).

d) z = ln√

x2 + y2, en el punto (3, 4, ln 5).

Solucion: (a) 6x+ 2y + z = 35. (b) 3x+ 4y − 5z = 0. (c) 2x− z = −2. (d) 3x+ 4y − 25z = 25(1− ln 5).

⊗

3.17. Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = 4x3 − 6xy + 2y3

b) f(x, y) = ex+ sen y

c) f(x, y) =√

x2 + y2

Calculo Diferencial 17

d) f(x) = arctg (y

x)

Solucion: (a) fx = 12x2 − 6y, fy = −6x + 6y2, fxx = 24x, fxy = −6, fyy = 12y. (b) fx = ex+ sen y,

fy = cos y · ex+ sen y, fxx = ex+ sen y, fxy = cos y · ex+ sen y, fyy = − sen y · ex+ sen y + cos2 y · ex+ sen y.

(c) fx = xx2+y2 , fy = y

x2+y2 , fxx = y2√

(x2+y2)3, fxy = −xy

√

(x2+y2)3, fyy = x2

√

(x2+y2)3. (d) fxx = 2xy

(x2+y2)2,

fxy = y2−x2

(x2+y2)2, fyy = −2xy

(x2+y2)2. ⊗

3.18. Probar que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones que se indican.

a) z = ex sen y, ecuacion de Laplace:∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2= 0.

b) z = sen (x− ct), ecuacion de ondas:∂2z

∂t2= c2

∂2z

∂x2.

c) z = e−t cos(x

c), ecuacion del calor:

∂z

∂t= c2

∂2z

∂x2.

Solucion: (a) ∂2z∂x2 = ex sen y, ∂2z

∂y2 = −ex sen y. (b) ∂2z∂t2

= −c2 sen (x − ct), ∂2z∂x2 = − sen (x − ct). (c)

∂z∂t

= −e−t cos(xc), ∂2z

∂x2 = −1c2

e−t cos(xc). ⊗

3.19. Calcular el gradiente de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = x3y2 b) f(x, y) = e√

x2+y2

c) f(x, y) = ln(x

y+

y

x) d) f(x, y) = tg

(

x− y

x+ y

)

Solucion: (a) (3x2y2, 2x3y). (b) e

√x2+y2√x2+y2

(x, y). (c) x2−y2

x2+y2 (1x, −1

y). (d) sec2(x−y

x+y) 1(x+y)2

(−2x, 2y). ⊗

3.20. La superficie de una montana se puede modelar mediante la ecuacion

f(x, y) = 4000− 0.001x2 − 0.004y2.

¿En que direccion nos debemos mover desde el punto (500, 300, 3.390) para ascender con la mayorrapidez posible?

Solucion: ∇f(500, 300) = (−1,−2.4). ⊗

3.21. La temperatura en cada punto (x, y) de una placa metalica admite el modelo

T (x, y) = 400 e−(x2+y)/2, x ≥ 0, y ≥ 0.

a) Calcular la direccion de maximo crecimiento de la temperatura en el punto (3, 5).

b) Hallar la direccion tangente en el punto (3, 5) a la curva en la que la temperatura no cambiarespecto al mismo punto.

Solucion: (a) (−6,−1). (b) (1,−6). ⊗

18 Matematicas I

Tema 4. Aplicaciones de la derivada

4.1. Hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento ası como los extremos relativos de las siguientesfunciones.

a) f(x) =x2 − 2x+ 1

x+ 1b) f(x) = 5− |x− 5|

c) f(x) = x+ cos(x) d) f(x) = |x2 − 9|

e) f(t) = arctg t− 12 ln(1 + t2) f) f(x) = (x− 2)4

Solucion: (a) Creciente en (−∞,−3) ∪ (1,+∞). Decreciente en (−3,−1) ∪ (−1, 1). Maximo relativo en

x = −3. Mınimo relativo en x = 1. (b) Creciente en (−∞, 5). Decreciente en (5,+∞). Maximo relativo en

x = 5. (c) Creciente en R. No tiene extremos relativos. (d) Creciente en (−3, 0) ∪ (3,+∞). Decreciente

en (−∞,−3) ∪ (0, 3). Maximo relativo en x = 0. Mınimo relativo en x = −3 y x = 3. (e) Creciente en

(−∞, 1). Decreciente en (1,+∞). Maximo relativo en x = 1. (f) Creciente en (2,+∞). Decreciente en

(−∞, 2). Mınimo relativo en x = 2. ⊗

4.2. Determinar los valores de a para los que la funcion f(x) =1− ax

2− xes decreciente.

Solucion: a > 12. ⊗

4.3. Dada la curva f(x) = 4x3 − 2x2 − 10:

a) Hallar la ecuacion de la recta tangente a f(x) en el punto en el que la pendiente vale −1/3.

b) Demostrar que el punto anterior es un punto de inflexion de la curva.

Solucion: (a) y = −x3− 539

54. (b) Estudiando el signo de la derivada segunda se observa que hay cambio

de curvatura en el punto. ⊗

4.4. Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.

a) f(x) = −x2 + 3x en [0, 3] b) f(x) =x2

x2 + 3en [−1, 1]

c) f(x) = 3x2/3 − 2x en [−1, 1] d) f(x) = cos (πx) en [0, 12 ]

Solucion: (a)Maximo en x = 32.Mınimo en x = 0 y x = 3. (b)Maximo en x = −1 y x = 1. Mınimo en x =

0.

(c) Maximo en x = −1. Mınimo en x = 0. (d) Maximo en x = 0. Mınimo en x = 12. ⊗

4.5. Sea (x0, y0) un punto crıtico de la funcion f(x, y). Determinar si hay un maximo o mınimo relativo,un punto de silla o si la informacion es insuficiente, conocidos los datos que se indican en cada unode los siguientes casos.

a) fxx(x0, y0) = 9, fyy(x0, y0) = 4, fxy(x0, y0) = 6.

b) fxx(x0, y0) = −3, fyy(x0, y0) = −8, fxy(x0, y0) = 2.

c) fxx(x0, y0) = −9, fyy(x0, y0) = 6, fxy(x0, y0) = 10.

d) fxx(x0, y0) = 25, fyy(x0, y0) = 8, fxy(x0, y0) = 10.

Solucion: (a) Informacion insuficiente. (b) Maximo relativo. (c) Punto de silla. (d) Mınimo relativo.

⊗

Aplicaciones de la derivada 19

4.6. Hallar los extremos relativos y puntos de silla de las siguientes funciones.

a)f(x, y) =x2y2 + x+ y

xyb) f(x, y) = x3 + y3 − 9xy + 27

c) f(x, y) = y3 + x2y + x2 + 2y2 − 4y − 8 d) f(x, y) = x2 − 3xy − y2

e) f(x, y) = x3 − 3xy + y3 f) f(x, y) = e−x sen y

g) f(x, y) = 2xy − 12 (x

4 + y4) + 1 h) f(x, y) = x2 + y4

Solucion: (a) (1, 1) mınimo relativo. (b) (0, 0) punto de silla y (3, 3) mınimo relativo. (c) (0, 2/3) mınimo

relativo, (0,−2) maximo relativo y (±√5,−1) puntos de silla. (d) (0, 0) punto de silla. (e) (0, 0) punto

de silla y (1, 1) mınimo relativo. (f) No hay puntos crıticos. (g) (0, 0) punto de silla, (1, 1) y (−1,−1)

maximos relativos. (h) (0, 0) mınimo relativo. ⊗

4.7. Hallar los extremos relativos de la funcion f(x, y) = x3 + x2y + y2 + 2y + p. Calcular p de formaque f tenga un mınimo igual a 0.

Solucion: (1,−3/2) mınimo relativo. p = 5/4. ⊗

4.8. Determinar los extremos relativos y puntos de silla de la funcion f(x, y) = ey2−px2

, segun los valoresde p.

Solucion: Si p < 0, (0, 0) es mınimo relativo. Si p > 0, (0, 0) es punto de silla. Si p = 0, (a, 0) es mınimo

relativo, para todo a ∈ R. ⊗

4.9. Calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones en la regiones que se indican.

a) f(x, y) = 12− 3x− 2y, R ≡ {Triangulo de vertices (2, 0), (0, 1), (1, 2)}.b) f(x, y) = 3x2 + 2y2 − 4y, R ≡

{

(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2; y ≤ 4}

.

c) f(x, y) = x2 + y2 + 4x− 1, R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9}.d) f(x, y) = 2x+ 4y − x2 − y2 − 3, R = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

Solucion: (a) Maximo absoluto en (0, 1) y mınimo absoluto en (1, 2). (b) Maximo absoluto en (2, 4) y

(−2, 4), y mınimo absoluto en (0, 1). (c) Maximo absoluto en (3, 0) y mınimo absoluto en (−2, 0). (d)

Maximo absoluto en (1, 1) y mınimo absoluto en (−1, 1). ⊗

4.10. Encontrar los extremos absolutos de la funcion f(x, y) = (x− 2)2 + y2 en el recinto

A = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x ≤ 9; 3x− 4y + 12 ≤ 0; 3x+ 4y + 12 ≤ 0}.

Solucion: (−9, 0) es maximo absoluto y (−4, 0) mınimo absoluto. ⊗

4.11. Sea f(x, y) = 4y − 2x− x2y

a) Calcular los extremos relativos de f .

b) Calcular los extremos absolutos de f en el recinto delimitado por 4y + x = 0, x = 4, y = 0.

Solucion: (a)(

2,− 12

)

y(

−2, 12

)

son puntos de silla. (b) (4, 0) es mınimo absoluto y (4,−1) es maximo

absoluto. ⊗

20 Matematicas I

4.12. Calcular los extremos absolutos de la funcion

f(x, y) = e1−y2

(x2 + y2)

en la region R delimitada por la curva x2 + y2 = 1.

Solucion: (0, 0) es mınimo absoluto y (−1, 0) y (1, 0) son maximos absolutos. ⊗

4.13. La relacion entre el numero de flores de una planta f y el numero medio de polinizadores que lavisitan y se expresa por

y(f) = cfα,

siendo c una constante positiva. Calcular los valores del parametro α para los que el numero mediode polinizadores se incrementan con el numero de flores pero la velocidad de incremento disminuyecon el numero de flores.

Solucion: 0 < α < 1. ⊗

4.14. a) Demostrar que si f(x) es una funcion positiva y derivable y tiene un mınimo local en a, entoncesg(x) = f(x)2 tambien tiene un mınimo local en a.

b) Utilizando el resultado anterior, calcular la mınima distancia desde el punto (0, 6) a la curvay = 2x2.

Solucion: (a) g′(x) = 2f(x)f ′(x). Si f ′(a) = 0 entonces g′(a) = 0. g′′(x) = 2(f ′(x)2 + f(x)f ′′(x)). Si

f ′′(a) > 0 entonces g′′(a) > 0. (b) 14

√47 ≃ 1.71. ⊗

4.15. La cosecha de maız en una explotacion agrıcola Y en funcion del nivel de nitrogeno en el suelo Npuede modelarse por

Y (N) =N

N2 + 1, con N ≥ 0.

a) Calcular los niveles de nitrogeno entre los que la cosecha aumenta o disminuye.

b) Calcular el nivel de nitrogeno con el que se obtiene la maxima cosecha.

Solucion: (a) Para niveles de nitrogeno menores que 1 la cosecha aumenta y disminuye para niveles

mayores que 1. (b) N = 1. ⊗

4.16. Las reses de ganado vacuno de cierta region ganadera se ven afectadas por una epidemia, que obligaa poner en marcha medidas para frenar su efecto. La funcion que describe, aproximadamente, laevolucion del numero de cabezas de ganado (en miles) en funcion del tiempo (en anos) es:

N(t) = 10t2 − t+ 1

t2 + 1, t ≥ 0

Se pide:

a) La velocidad de crecimiento del numero de cabezas de ganado.

b) ¿A partir de que momento empiezan a surgir efecto las medidas establecidas?

c) ¿Que proporcion de vacas se perdieron hasta el peor momento de la epidemia?

Solucion: (a) N ′(t) = 10t2 − 1

(t2 + 1)2. (b) Un ano, porque para t ∈ (0, 1), N(t) es decreciente y para

t ∈ (1,∞), N(t) es creciente. (c) La mitad, porqueN(t) tiene un mınimo global en (1, 5000) yN(0) = 10000.

⊗

Aplicaciones de la derivada 21

4.17. Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con un pozo en el centro de dichoterreno. El sembrado del terreno provoca que el agricultor se desplace por el interior del mismo auna velocidad de 3 km/h, mientras que si camina por el borde la velocidad es de 5 km/h. Determinarcuantos metros debe caminar el agricultor por el borde del terreno antes de entrar al sembrado,para desplazarse desde uno de los vertices hasta el pozo lo mas rapido posible.

Solucion: 12.5 m. ⊗

4.18. Un agricultor realiza todos los dıas el recorrido que se muestra en la figura desde la entrada de sufinca hasta la nave de maquinarias. Sabiendo que camina a 8 km/h por la carretera y a 3 km/h porel interior de la finca, determinar el angulo α que describe en su recorrido si lo realiza en el menortiempo posible. ¿Cuanto tiempo se ahorra de esta forma en comparacion con ir en linea recta porel interior de la finca?

α α

10 km

2 km

Carretera

2 km

Solucion: α = 22o. 50 minutos. ⊗

4.19. Para la siembra de un arrozal, se dispone de una avioneta A que esta situada a 1300 m al oestede otra avioneta B. La avioneta A vuela hacia el sur a una velocidad constante de 15 m/s y la Bvuela hacia el oeste a 10 m/s. ¿En que momento estaran las avionetas mas proximas? Teniendoen cuenta que las normas de seguridad exigen que las avionetas se mantengan a mas de 1 Km dedistancia, ¿se incumple esta norma en algun momento? Razona la respuesta.

Solucion: A los 40 segundos. No se incumple la norma porque la mınima distancia a la que se encuentran

es 1081.66 m. ⊗

4.20. Una finca agrıcola tiene forma de trapecio rectangulo tal que sus bases miden 240 m y 400 m,respectivamente, y el lado perpendicular a estas mide 400 m. Se quiere segregar la finca en otrasdos rectangulares C1 y C2, tal como indica la siguiente figura:

22 Matematicas I

Se pretende sembrar maız en el campo C1 y trigo en C2 y se estima que los beneficios que aportanestos cereales son de 0.12 euros por m2 el maız y de 0.10 euros por m2 el trigo. Determinar lasdimensiones que debe tener cada finca para obtener el maximo beneficio.

Solucion: 300 m por 250 m para C1 y 240 m por 150 m para C2. ⊗

4.21. Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de perımetro se enrolla para construir un tubocilındrico. Hallar las dimensiones de la plancha para que el volumen del tubo sea maximo.

Solucion: 6 m por 12 m. ⊗

4.22. Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podra recoger 52000 kg que le pagaran a 3 centimosel kilogramo. Por cada dıa que espere, la cosecha disminuira en 800 kg pero el precio aumentara en3 centimos por kilogramo. ¿Cuantos dıas debe esperar para obtener el maximo beneficio?

Solucion: ⊗

4.23. Se sabe que la productividad de un cultivo depende de la densidad de plantacion. Para unaplantacion forestal destinada a la industria maderera, se sabe que con una densidad de 20 arbolespor hectarea cada arbol crece una media de 2 metros por ano, pero que el crecimiento promedio sereduce 1/12 por cada arbol que exceda de los 20. ¿Cuantos arboles se deben plantar por hectareapara maximizar la produccion?

Solucion: 22 arboles. ⊗

4.24. Se desea delimitar un terreno rectangular con un vertice en el origen de coordenadas y apoyado enlos semiejes positivos. Ademas, se quiere que la diagonal del rectangulo que corta a los dos semiejessea un camino que pasa por el punto (1, 2). Determinar el perımetro del terreno para que el areaencerrada sea mınima y calcular este area.

Solucion: Perımetro=12 u. Area=8 u2. ⊗

4.25. Dos naves ganaderasA yB estan a una distancia de 5 km y a su vez distan 4 y 7 km, respectivamente,de una carretera (que se considera rectilınea). Determinar el punto de la carretera desde dondedebe construirse un camino hacia cada nave para que la distancia desde una nave a otra a travesdel camino construido sea mınima.

Solucion: Debe construirse a 1.45 km desde la perpendicular desde A hasta la carretera. ⊗

4.26. Dividir un segmento de longitud m en tres partes de modo que su producto sea maximo.

Solucion: Partes iguales m/3. ⊗

4.27. Una industria fabrica un producto en dos factorıas. El coste de produccion de x unidades enla primera es C1 = 0.02x2 + 4x + 500 y el coste de produccion de y unidades en la segunda esC2 = 0.05y2 + 4y + 275. Si el producto se vende a 15 euros la unidad, calcular que cantidad debeproducirse en cada factorıa con el fin de hacer maximo el beneficio B = 15(x+y)−C1−C2, sabiendoque no se pueden fabricar mas de 420 unidades.

Solucion: x = 275, y = 110. ⊗

4.28. El gerente de una explotacion agrıcola estimo que el benificio anual es

B(x, y) = 1600x+ 2400y− 2x2 − 4y2 − 4xy,

Aplicaciones de la derivada 23

donde x e y son el numero de hectareas plantadas con soja y maız, respectivamente. Si se puedencultivar a lo sumo 500 hectareas, calcular cuantas hectareas conviene plantar con cada cultivo paramaximizar el beneficio y cual serıa el beneficio maximo.

Solucion: x = 200Ha, y = 200Ha. El beneficio maximo es de 400.000 euros. ⊗

4.29. Se quiere convertir una plancha de zinc de 60 cm de ancho en un canalon, como muestra la figura.Hallar el valor de x y de a para que el caudal sea maximo.

Solucion: x = 20, a = π/3 ⊗

4.30. Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares de manera que la suma de la altura de la cajay el perımetro de la base es de 96 cm. Hallar las dimensiones de la caja de maximo volumen quepuede ofrecer dicha empresa.

Solucion: Lados x = y = 16 y altura z = 32. ⊗

4.31. Halla el volumen maximo de una caja en la que la suma de las longitudes de sus aristas es 1.

Solucion: x = y = z = 13. ⊗

4.32. Se quiere disenar una pieza de equipaje de mano para el transporte aereo que cumpla la normativaestablecida, es decir, tal que sus dimensiones totales (largo+ancho+alto) sean de 114 cm (el maximopermitido) y no tenga mas de 50 cm de largo o de ancho ni mas de 30 cm de alto. Determinar lasdimensiones de la pieza de equipaje que se ajusta a estos criterios y tiene un volumen maximo.

Solucion: Falta Solucion ⊗

4.33. Un editor dispone de 60.000 e a lo sumo para invertir en el desarrollo y la promocion de un nuevolibro. Se calcula que si invierte x miles de euros en desarrollo e y miles de euros en promocion sevenderan aproximadamente f(x, y) = 20x3/2y ejemplares del libro. ¿Cuanto dinero debe asignar eleditor a desarrollar el libro y cuanto a la promocion del mismo para maximizar las ventas? ¿Cuantosejemplares se venderan como maximo?

Solucion: Debe asignar 36.000 e a desarrollo y 24.000 e a promocion para maximizar las ventas, que

seran de 103.680 ejemplares. ⊗

4.34. Para la construccion de una alberca con forma cilındrica en una finca agrıcola, debe tenerse encuenta que hay que cubrir las paredes laterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo) y elcoste es de 100 euros por cada metro cuadrado. Tanto el radio de la base como la profundidad dela alberca deben ser de al menos un metro. Determinar las dimensiones de la alberca con volumenmaximo teniendo en cuenta que el presupuesto maximo es de 5000 euros. ¿Cual es dicho volumenmaximo?

Solucion: Radio 7.96 m aprox. y profundidad 1 m. El volumen maximo es de 199 m3. ⊗

Aplicaciones de la derivada 1

4.35. Los lados de una finca con forma triangular pueden modelizarse por las rectas y = 0, x = 0 ey = 2 − x. Se pretende delimitar dos zonas de cultivo con forma rectangular cuyas bases sonparalelas al eje de abcisas como indica la figura.

Calcular razonadamente las dimensiones de las zonas de cultivo para que la suma de sus areas seamaxima.

y = 2− x

x2

x1

Solucion: x1 = 4/3; x2 = 2/3. ⊗

4.36. Las ventas de un detergente son funcion del numero de anuncios en la prensa, x, ası como delnumero de minutos de publicidad en TV, y. Estadısticamente, se ha estimado que estas variablesestan relacionadas de la forma V (x, y) = 12xy − x2 − 3y2. Un anuncio en la prensa vale 100 eurosy un minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de publicidad no puede superar los 30.000 euros.Determinar la polıtica publicitaria optima.

Solucion: 69 anuncios en prensa y 15.4 minutos en TV. ⊗

4.37. Los ingresos totales obtenidos mensualmente por un empresario se dividen en dos partidas: losbeneficios netos de su empresa x y su propio sueldo y (ambos en miles de euros). Segun la trayectoriade la empresa, dichos ingresos totales nunca superan los 30.000 euros. El empresario esta obligadoa pagar varios impuestos: el de sociedades, que constituye el 30% de los beneficios netos de laempresa; el impuesto sobre la renta, que es el 10% del cuadrado del sueldo del empresario y unatasa municipal establecida en el 2% del cuadrado de los ingresos totales. Determinar que sueldo debefijarse el empresario si pretende minimizar el pago de impuestos, asignandose un salario mensualde al menos 2.000 euros y obteniendo un mınimo de 20.000 euros de beneficios netos.

Solucion: Debe fijarse un sueldo de 2.000 euros. ⊗