NÚMEROS Y FORMAS

El número en la Geometría

• La Geometría usa el número para:– Medir magnitudes geométricas (longitud, amplitud, etc..)– Representar y situar puntos del plano (coordenadas)– Expresar regularidades geométricas (en las teselaciones, el nº

de polígonos que concurren en un vértice; en los poliedros, nº de lados de las caras y nº de caras en un vértice)

(8,8,4) (3,4,4,6) (3, 5) (5, 3)– Expresar relaciones o funciones (π y la longitud de la

circunferencia; relaciones entre )

Las proporciones y la formaProporción.- Comparación de dos razones o cocientes entre dos

cantidades

Se usa con frecuencia en relación con la armonía, el equilibrio o la belleza

c

b

b

a

Proporción discontinua, intervienen cuatro elementos distintos a, b, c, d, expresándose así

Ejemplo: 2, 5, 6, 15

Proporción continua,

intervienen tres elementos distintos a, b, c, expresándose así

Ejemplo: 4, 6, 9

15

6

5

2

d

c

b

a

9

6

6

4

Si establecemos como cociente la relación entre los lados de un rectángulo, encontraremos diferentes tipos de proporciones según la medida de sus lados, surgiendo las siguientes:

Proporción estática, se expresa mediante una fracción y se produce cuando el rectángulo se puede dividir en cuadrados que se establecen como unidad. La relación entre sus lados es un número racional. También se llama conmensurable o racional.

Proporción dinámica, no se puede expresar mediante una fracción y se produce cuando el rectángulo no se puede dividir en cuadrados conmensurables que establezcamos como unidad. La relación entre sus lados es un número irracional. También se llama inconmensurable o irracional.

Las proporciones y la forma

1

1 √2

√2

1

Rectángulos dinámicos

Son rectángulos en los que uno de sus lados mide √n

√2

1

√3

1

√4

1

√5

1

Las proporciones y la forma

Las razones entre las medidas de sus lados es un número irracional, menos cuando el radicando es un cuadrado perfecto

División áurea de un segmentoDado el segmento AB, hay que elegir un punto T entre A y B de tal forma que exista proporción continua entre los segmento AT, TB y AB bac

b

a

a

ba

Las proporciones y la forma

A BT

a b

Número áureoEn esta proporción hacemos

2

5101

x

1x x

1)1(

queda nos proporciónanterior laen sustituido

2

xxx

x

x

bx

xbxx

bx

bbx

b

a

a

ba

bxab

ax Operando tenemos dos soluciones

X 1 = Φ = 1,6180339….

X 2= Φ´ = - 0,6180339…

La primera de ellas es el

Número Áureo

o Número de Oro

Las proporciones y la formaEl rectángulo de oroTodo rectángulo que cumple que la razón entre sus lados es el número de oro se dice que es un rectángulo de oro.

Para construirlo partimos de un cuadrado, desde la mitad de uno de sus lados trazamos un segmento hasta uno de los vértices no contiguos. Con centro en esa mitad del lado y con radio igual a la longitud del segmento anterior, trazamos un arco de circunferencia que corte al lado en su prolongación. Construimos un rectángulo que tiene por lado menor el lado del cuadrado y por lado mayor la suma del segmento hallado y el lado del cuadrado.

Tiene una característica muy interesante: si recortas de él un cuadrado de lado igual al lado menor del anterior rectángulo, el rectángulo que queda sigue siendo un rectángulo de oro. Lo mismo si sigues este proceso indefinidamente.

El rectángulo áureo y el número áureo los encontramos:

Las proporciones y la forma

En la Naturaleza

Numerosas conchas de moluscos y crustáceos se desarrollan siguiendo este modelo de crecimiento, como por ejemplo el Nautilus.

El hombre, los animales, las plantas, siguen a veces modelos de crecimiento que se corresponden fielmente con proporciones aureas.

En el crecimiento de las plantas las células crecen empujando a las anteriores para aprovechar al máximo la energía solar. En ese empuje las células giran un ángulo de 222,49 grados. Si dividimos 360 grados, que es un giro total, entre 222,49 da 1,618; el número de oro.

Si se divide la altura total de un hombre entre la distancia del ombligo a los pies o la longitud de las falanges entre la del dedo se obtiene el número de oro. Las proporciones entre distintas partes del cuerpo humano da este número de oro.

El número se expresa mediante una representación gráfica.

Situaciones aritméticas usan representaciones gráficas.

Ejemplos:

Representación geométricas de propiedades numéricas:

Las formas en la Aritmética

a b

b

a

a + b

(a + b)2 = a2 + b2 + 2 (a x b)

a x b

a2

b2

Cuadrado de una sumaTeorema de Pitágoras

a2

b2

c2a 2 = b2 + c2

Los números de Fibonacci

Las formas en la Aritmética

http://video.google.com/videoplay?docid=2304754165324979306

F1 = F2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, …

Patrones numéricos• La idea de patrón está ligada a la de

repetición y regularidad para generalizar algo.

• Se forman a partir de un núcleo y se usan criterios que rigen esa repetición y regularidad.

• Podemos encontrar diferentes tipos de patrones: patrones numéricos, patrones en las formas, patrones en los movimientos, etc..

Configuración puntual de números• Representación gráfica de un conjunto finito de puntos.• Número figurado: configuración puntual que representa un

cardinal fácilmente reconocible.• Patrón puntual: estructura de representación mediante

configuraciones puntuales.Ejemplos de configuraciones puntales: Configuración puntual: La disposición de la constelaciones Número figurado: La disposición de los puntos en las fichas

del dominó Patrón puntual: La disposición de los números poligonales

Patrones numéricos

Números poligonales o figurados• Patrón que representa números de acuerdo con un

modelo geométrico cuya forma es un polígono y que se genera por ampliación.

• Esto ayuda a reconocer relaciones y establecer conexiones entre Aritmética y Geometría.

• Los números poligonales más sencillos son los cuadrados C=r2 donde r es el número de puntos que hay en un lado del cuadrado.

12 =1, 22 =4, 32 =9, 42 =16

Patrones numéricos

Otros números poligonales

Patrones numéricos

Pentagonales 1, 5, 12, 22, 35, …

Hexagonales 1, 6, 15, 28, …

Triangulares 1, 3, 6, 10, 15, …

Generación de los números poligonales

Los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...)

son enteros del tipo T = 1 + 2 + 3 + ... + n

Los números cuadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...)

son enteros del tipo C = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)

Los números pentagonales (1, 5, 12, 22, ...)

son enteros del tipo P = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)

Los números hexagonales (1, 6, 15, 28, ...)

son enteros del tipo H = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)

y así sucesivamente.

En general, los números poligonales son enteros del tipo

Cuando b=1 se dice que es un número triangular,

para b=2 cuadrados, para b=3 pentagonales, etc.

Siendo n es el orden de la serie del número, 2º, 3º, ….2

)1( bnnn

Núm

eros

pol

igon

ales

• Es simétrica respecto a la diagonal principal que va del 1 al 100

• Los números poligonales se encuentra con regularidad en esta tabla:

– En la diagonal principal están los números cuadrados

– Los triangulares (1,3,6,10,15,21,28,..) se disponen de forma alterna desde el 1 hasta el 45

– Los cinco primeros hexagonales (1,6,15,28,45) se presentan todos alineados a la izquierda de la diagonal

– De los pentagonales (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, …) solo se presentan el 1, 5, 35 y 70

Patrones en las tablas numéricas

Patrones en la tabla de multiplicar

Triángulo de Pascal

• Dibujamos un triángulo y en el vértice superior colocamos un 1.

• Después, en la fila inferior de este número, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda.

En la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre ellos colocamos un 2 (1 + 1).

• Debajo de esto colocamos un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). • Y así sucesivamente colocamos

en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba.

Queda una cosa así:

También es conocido como Triángulo de Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaii, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones. En China es conocido como Triángulo de Yanghui.

Patrones en el triángulo de Pascal

Números triangulares

Sucesión de Fibonacci

11 2 3 5 8 13 21 34