OBJETIVOS DEL CONTROL DE PRODUCCIÓN Y STOCKS

Dentro de los cambios que se vienen adelantando en las organizaciones, se puede encontrar la marcada importancia que se le brinda al control de producción y al manejo de stocks; la finalidad de todos estos cambios es el de obtener una "Organización Eficiente", que pueda mantener unos bajos niveles de costos y un excelente servicio al cliente, sin incurrir en un nivel de gastos muy alto.

Es conocido por la mayoría de empresarios, y personal directivo, que el manejo apropiado de los niveles de stock, además del control de producción, son factores que generan grandes beneficios en varios campos, como lo son:

1. Mínima inversión en stocks. 2. Eficiencia de las operaciones de la fábrica. 3. Máximo servicio al cliente.

Es preciso anotar que entre los parámetros anteriores existe una interrelación directa, pues no se puede cumplir ninguno de ellos independientemente de los otros, ya que son dependientes entre sí.

Al interior de la organización esto proporciona gran ayuda a las personas involucradas en el proceso de toma de decisiones, pues les brinda información confiable y objetiva que permite que se tomen decisiones acertadas.

Otra de las grandes ventajas que proporciona el manejo de estos conceptos al interior de la organización es que le ayuda a ser más competente con respecto a las demás organizaciones del entorno; además le permite optimizar el manejo de sus recursos.

La Evolución del Control de Producción y los Stocks

A la par con la evolución que han venido presentando las organizaciones, se ha venido desarrollando un proceso para el mejoramiento continuo en el manejo de los procesos de producción y en la administración de los niveles de stock.

La importancia que se le daba en un principio al control de la producción y al proceso productivo era mínima, ya que lo más importante era producir no importando cómo se hacía, y sin detenerse a buscar una mejor forma de hacer las cosas que permitiera la optimización de los procesos de producción y del manejo de los inventarios.

Por la necesidad de las empresas de optimizar sus procesos para permanecer en el mercado y mantener un nivel aceptable con respecto a la competencia, se ha venido presentando una especialización en el manejo del control de la producción, ya que anteriormente ésta no se tomaba independientemente, está incluida dentro de un conjunto de actividades que eran controladas por un solo individuo, y que por el acceso de funciones no eran realizadas de una manera efectiva. Con el paso del tiempo se ha venido separando esta actividad de las demás a las que estaba ligada, logrando con esto una organización más eficiente en estos aspectos.

351

El control de Producción en la actualidad

Este proceso se ha venido desarrollando de una manera independiente, ya que en la actualidad se encuentra bajo la cobertura de un departamento específico dentro de la organización; además se han establecido otras divisiones como la de control de materiales, lo cual facilita en determinado momento descubrir cuál es la parte del sistema que presenta fallas, por ejemplo, en el proceso productivo o en la adquisición de materiales; aspectos que eran muy difíciles de establecer ya que, como se dijo anteriormente, todas funcionaban en conjunto y para poder determinar alguna falla era necesario evaluar todos los procesos necesarios, por lo cual se perdía mucho y la empresa dejaba de percibir unos recursos monetarios.

Con el paso del tiempo se ha venido ofreciendo más importancia al manejo de los inventarios y el control de producción, ya que se reconoce la importancia que ello representa al momento de tener una empresa eficaz y eficiente.

Relación entre el Control de Stocks y el Control de Producción

Existe una relación directa entre el nivel de stocks y las cantidades de producción que deben tenerse, ya que la producción estará determinada por los niveles de inventarios que se tengan, pues ya que si en algún momento los niveles de inventarios son menores a los que se debían tener, se incurrirá en unos costos innecesarios que estarían en contra de la eficiencia de la organización. Y por el contrario, si los niveles de producción son tan altos que sobrepasan los niveles deseados de inventarios, también se generarían unos costos y gastos que no beneficiarían en nada a la empresa.

Política de Dirección y Control de Producción

Para la fijación de las políticas de rotación de inventarios se deben tener en cuenta, no sólo el sector al que va dirigido el producto, ya que en ocasiones el funcionamiento del sector no es perfecto, y presenta algunas deficiencias, lo que conllevaría a que no se tuviera una planificación apropiada para la fijación de las políticas de Control de Producción. Se deben tener en cuenta variables como la capacidad de almacenamiento, la demanda que se presente en el mercado, para que en ningún momento se tengan problemas por exceso o carencia de inventarios.

DISTRIBUCIÓN EN FUNCIÓN DEL VALOR

Para cada clase de artículo una pequeña cantidad de ellos representa la mayor parte del valor total. Este concepto resulta muy interesante en el mundo de negocios ya que se puede aplicar al control de stocks de producción, calidad, etc. Es de fácil aplicación y eficiente.

Aplicado a los stocks, este concepto se denomina clasificación ABC que significa: cada stocks se puede dividir en 3 partes diferentes.

352

SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIO ABC

El sistema de control ABC nos muestra cómo manejar el inventario de acuerdo con la clasificación de prioridades, ésta puede realizarse de tres diferentes formas, de acuerdo al costo unitario, de acuerdo al costo total de existencia y de acuerdo al orden de requerimientos sin tener presente el costo. Cada una de ellas será ampliada más adelante, observando que cualquiera de las tres se subdivide en los grupos A, B, y C.

Pueden observarse diferentes técnicas que mejoren los métodos de trabajo, especialmente en el área de producción, una de ellas es el análisis ABC, también llamado respuesta de esfuerzo, análisis de respuesta o análisis de estructura de dos fenómenos.

"Esta técnica se utiliza especialmente en: gestión de stock, análisis de productos, análisis de ventas, análisis de clientes, entre otros" 1

Este sistema pretende que el costo y el manejo del inventario disminuyan. Además, puede proporcionar una rotación de inventario más frecuente, incremento en las ventas y reducción de sistemas de trabajo que disminuirán costos.

"La filosofía del sistema dice: Muchas veces cuesta más el control que lo que vale lo controlado.2" Por esta razón sugiere clasificar según la importancia y consumo, así:

A: Son aquellos que requieren mayor control por su costo de adquisición y por el costo de tenerlo en inventario, por su aporte directo a las utilidades y por ser material importante dentro del trabajo fundamental. Generalmente un pequeño número de elementos pertenece a este grupo y los pedidos se realizan por cantidades exactas o con base en las solicitudes hechas por los clientes.

B: Los que no son tan necesarios como los anteriores por costos, por utilidad y por el control que se ejerce sobre ellos. Para la realización de pedidos debe calcularse la cantidad óptima de pedido.

C: Artículos que exigen mínima inversión por ser de poca importancia en la elaboración del producto final, requiriendo revisión sencilla sobre las existencias, pero que serán suficientes para lo necesitado finalmente. Puede mantenerse una cantidad considerable en bodega, se procura no sobrepasar ni estar por debajo de los que debe mantener de existencia.

Para la clasificación de los artículos dentro del análisis ABC pueden observarse varios aspectos:

Valor anual en dinero de las transacciones para un artículo. Costo unitario. Escasez del material utilizado para la fabricación de ese artículo.

353

- Disponibilidad de recursos, fuerza de trabajo e instalaciones para producir el artículo. Tiempo necesario de obtención. Requerimientos de almacenamiento para un artículo.

- Costo de escasez del artículo. - Volatilidad del diseño de ingeniería3

El análisis ABC puede observarse con un solo criterio o con múltiples. En el primer caso se separan los artículos en tres grupos de acuerdo a su consumo anual: A Elevado, B intermedio y C bajo. Siendo "A" el 20%, que representa el 65% del consumo anual, "B" el 30% que representa el 30% de los artículos y el 25% del consumo anual y "C" el 50% que representa el 10% del consumo anual. Sin olvidar que estos porcentajes no son constantes en todas las empresas.

Con este método pueden identificarse los artículos de mayor impacto en el costo total de inventarios. Para observar el costo de inventario es conveniente hacerlo de acuerdo a los artículos del grupo A, determinando un análisis cuidadoso de decisiones de cantidades a solicitar, en qué momento pedirlas y poder así realizar pronósticos.

Se tendrá mayor atención en los artículos de más importancia pero número menor (A) y menor en los menos significativos, aunque pueden llegar a pasarse muchas cosas por alto.

En el segundo pueden observarse puntos diferentes a tener en cuenta además de los costos, algunos de ellos son: disponibilidad, obsolescencia, grado de sustitución y urgencia del artículo. Este último es quizás uno de los más importantes ya que por ello puede incurrir en el incremento de costos, pues la premura en la entrega de un pedido puede llevar a comprar donde se encuentre primero, sin importar otros factores.

El procedimiento se debe seguir en estos pasos:

- Distribución de consumo en dinero y las categorías asociadas. - Establecer categorías de carácter crítico, discriminando éstas así I, II, III; esta clasificación

se hace intuitiva e implícitamente. El I podría ser aquellas que no tienen sustitutos, los III son de menor importancia y los II son el punto medio entre unos y otros.

Debe tenerse una administración concreta de lo que se hace, para ello se requiere: verificar los registros, ya que en muchas ocasiones no coincide el conteo físico con lo registrado, por lo que debe realizarse una revisión física con más frecuencia especialmente para los artículos A. El inventario de seguridad y la cantidad de pedido se determinan según el dinero y la urgencia con que se requiera.

Al utilizar este método podremos tomar ciertas medidas, como:

- Aplicar un tipo de control específico a cada grupo de artículos en función de su valor. Concentrar los esfuerzos de control sobre los productos más importantes.

354

Gestionar las compras y controlar las entregas de mercancías en función de la importancia de las compras en valor y no en cantidad"4.

Análisis ABC

1. ARTÍCULO "A": Valor alto: Artículos poco numerosos (15 - 20 % del total) su valor representa el 75.80% del valor de la existencia.

2. ARTÍCULO "B": Valor medio: Constituyen una parte importante del total de los artículos (30 - 40%) y su valor representa el 15 % del total.

3. ARTÍCULO "C": Valor pequeño: Es la gran masa de artículos (40 - 50%) cuyo valor es prácticamente despreciable un 5 -10 % del valor total.

Esta clasificación es arbitraria; de acuerdo a las clases de artículos de la empresa algunos justifican una atención personal del encargado del control de producción, especialmente por el volumen monetario que representan.

Este concepto es aplicable a muchas fases de las actividades de control de producción. Ej: clientes, vendedores, artículos que originan la mayor parte de pedidos atrasados.

Reglas para este análisis

1. Almacenar muchos artículos de poco valor.

2. Aplicar el esfuerzo de control ahorrando a la reducción de los Stocks de los artículos de mayor valor.

Ejemplos de aplicación

a. Artículos A: Control severo, archivos completos, revisiones periódicas por personal de alto nivel, estrecho seguimiento para reducir los tiempos muertos, etc.

b. Artículos B: Controles normales, con buenos archivos y atención regular.

c. Artículos C: Controles sencillos, sin archivos, sino simples anotaciones sobre reabastecimiento, importantes existencias y pedidos para evitar agotamiento de Stocks.

355

Procedimiento de Pedido

a. Artículos A: Determinación minuciosa y exacta de las cantidades y puntos de pedidos, exámenes frecuentemente para reducirlos.

b. Artículos B: Buen análisis para especificar cantidades y puntos de pedido, pero con revisión trimestral.

c. Artículos C: Ningún cálculo de cantidades o puntos de pedido. Se solicitan una vez al año.

PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTO DE MATERIALES MRP I

MRP viene del inglés Material Requirements Planning y se traduce al español como: Planeación de Requerimiento de Materiales.

Observando este método, podemos darnos cuenta que la planeación de las actividades comerciales de una empresa le atañe a ésta en su conjunto; que cada una de las dependencias tiene que ver con ella. De igual forma es algo que no puede hacerse a la ligera, sino que lleva su tiempo.

Para el manejo del MRP el registro debe hacerse en forma exacta, ya que con él se podrá saber qué tanto se debe comprar y en qué momento, pidiendo así exclusivamente lo que se requiere, esto puede hacerse con la ayuda de cuadros donde se encuentre la información de materiales.

Como ya dijimos, toda la empresa debe tener conocimientos sobre el MRP, de su manejo y en general de la forma como opera, para alcanzar éxito en él y así el producto final esté en el momento oportuno, teniendo de esta manera clientes satisfechos.

Definición de MRP I

"Sistema de planificación de componentes procedimientos lógicamente relacionados, traduce componentes con fechas y cantidades"5.

Mecánica del MRP I

de fabricación que mediante un conjunto de un programa maestro en necesidades reales de

Las relaciones más usadas dentro de la mecánica del método son:

Requerimientos netos = Requerimiento Total - Inventario Disponible Requerimientos totales = Requerimientos brutos + Asignaciones Inventario disponible = Recepciones disponibles + Recepciones Programadas

5 DOMÍNGUEZ, José Antonio y otros. Dirección de Operaciones. Pág. 125

356

- Los requerimientos totales ocurren en la mitad del período.

- El inventario disponible se mide al final de cada período.

- Los requerimientos netos son el inicio del período.

Lo planeado se pedirá en el momento establecido para la realización del pedido, de manera que los materiales lleguen cuando se requieren.

Características del MRP I

Orientado al producto; según los requerimientos se establece lo que hace falta, para tener el producto final.

- Toma como base el futuro; lo que se requerirá más tarde para la elaboración del producto.

- No toma en cuenta las limitaciones del espacio.

Debe tenerse presente toda la empresa, en la información arrojada por el proceso.

Organiza el tiempo según las fechas de emisión y entrega de pedidos.

PLANEACIÓN DE LOS RECURSOS DE FABRICACIÓN MRP II

Del inglés Manufacturing Resource Planning, traducido al español como: Planeación de los Recursos de Fabricación.

Definición MRP II

"Ampliación del MRP de bucle cerrado que de forma integrada y mediante un proceso informatizado en línea, con una base de datos única para toda la empresa, participa en la planificación estratégica, programa la producción, planifica los pedidos de los diferentes componentes, programa las prioridades y las actividades a desarrollar por los diferentes talleres, planifica y controla la capacidad disponible y necesaria y gestiona los inventarios. Además, partiendo de la producción obtenida realiza cálculos de costos y desarrolla estados financieros en unidades monetarias. Todo ello con posibilidad de corregir periódicamente las divergencias entre lo planificado y la realidad, pudiendo además, simular diferentes situaciones mediante la alteración de los valores de las variables que incluye y expresando las variaciones que se darían en los resultados".6

6 DOMINGUEZ, Machuca José Antonio y otros. Dirección de Operaciones. Pág. 156-

357

BREVE DESCRIPCIÓN DEL MRP II: FLUJOGRAMA 7

Características del MRP II

Realiza la planeación con base en el plan agregado. • Incluye la programación de toda la empresa, para varios períodos de tiempo. • Toma en forma integrada toda la información.

/ NARASIMHAN, Simm y otros. Planeación de lo producción y control de inventarios. Pág. 352

358

• Lo que efectúa lo hace en tiempo real. • Puede predecir lo que sucederá si se hicieran cambios. • Va de arriba hacia abajo. • Participa en la planeación estratégica. • Convierte unidades físicas en unidades monetarias. • Proporciona la opción de planificar, programar, gestionar y controlar los recursos.

Un vez definidos cada uno de los sistemas MRP estamos en condiciones de acometer el problema de la confusión terminológica existente, básicamente entre MRP de Bucle Cerrado y MRP II. El MRP II incluye al MRP de Bucle Cerrado, pero no son lo mismo. Sin embrago, son numerosos los autores que utilizan la denominación MRP II para referirse a lo que en realidad es el MRP de Bucle Cerrado o viceversa, con lo que se da un alto grado de confusión entre los dos términos. En otros casos se emplean, incluso, nombres como MRP I, MRP II y MRP III (Schroeder, 1992, página 497).

Las curvas de intercambio pueden utilizarse para determinar acciones concretas del manejo de inventario que permitan identificar claramente los costos que implica el tener mercancía almacenada o la escasez de ella.

A su vez, muestra de manera gráfica el comportamiento de los costos anuales y la inversión promedio del inventario.

Para la construcción de la curva se requiere establecer la cantidad de orden económico (COE).

A: Consumo anual S : Costo de pedido I : Costo de tendencia del inventario

La cantidad económica de pedido se determina para cada artículo, con un rango de valores de tendencia de inventario, para cada uno de ellos se determina la inversión promedio para todos los artículos acompañado del costo total de ordenamiento en un período general de un año.

Hay medidas para que la empresa disminuya los costos anuales de almacenamiento: el valor promedio del inventario en unidades monetarias (AI) y el costo anual de orden (AO).

CURVAS DE INTERCAMBIO

359

Esta fórmula se deduce observando que el nivel promedio de inventario de un artículo es la mitad de la cantidad de pedido.

La ecuación AO se deriva del hecho de que se hace X cantidad de pedidos para un año, de determinado artículo.

En muchas ocasiones es común no conocer el valor de almacenamiento de cada producto durante un año, situación que afectaría el valor promedio de inventario y costo anual.

La curva de estos dos puntos, asociada al valor de almacenamiento de cada artículo por año, es que la que se identifica como curva de intercambio para cualquier punto que observamos:

De igual manera todo punto en la curva de intercambio cumple con:

Ejemplo:

PRODUCTO COSTO DE ORDEN PRODUCTO DEMANDA COSTO DE

COMPRA

Drive 3.5 150 500 30.000

Teclado 110 550 20.000

O sea,

360

EJERCICIOS PROPUESTOS

361

Suponga que la demanda de un producto es 30 unidades al mes y que los artículos se retiran a una tasa constante; el costo de preparación cada vez que se hace una corrida de producción para reabastecer el inventario es $450000 al mes; el costo de producción es $3000 por artículo y el costo de mantener un inventario es de $333 por artículo por mes.

a) No se permiten faltantes; determine cada cuánto conviene hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser.

b) Si se permiten faltantes, pero cuestan $9000 por artículo por mes, determine cada cuánto debe hacerse una corrida de producción y de qué tamaño debe ser.

La demanda de un producto es 600 unidades a la semana y los artículos se retiran a una tasa constante; el costo de colocar una orden para reabastecer el inventario es $75000. El costo unitario de cada producto es $9000 y el costo de mantener un inventario es $1500 por artículo por semana.

a) No se permiten faltantes; determine con qué frecuencia debe ordenarse y de que tamaño debe ser la orden.

b) Si se permiten faltantes, pero cuestan $6000 por artículo por semana, determine qué tan seguido debe ordenarse y de qué tamaño debe ser la orden.

Debe planearse la producción para los próximos cinco meses, para los que las respectivas demandas son: d] = 2, d2 = 4, d3 -2, d4 = 2 y d5 = 3; el costo de preparación es $12000000, el costo unitario de producción es $3000000 y el costo unitario de almacenar es $900000. Determine el programa de producción óptimo que satisface los requerimientos mensuales.

Un distribuidor de periódicos compra folletos a $540 y los vende a $750; el costo por faltantes es de $750 por folleto (ya que el distribuidor los compra al menudeo para satisfacer estos faltantes). El costo de mantener el inventario es $300; la demanda de folletos tiene una distribución uniforme entre 200 y 300. Encuentre el número óptimo de folletos que debe comprarse.

Un fabricante de pan lo distribuye todos los días a las tiendas de abarrotes; el costo para la compañía es $600 por pan. La empresa lo vende a las tiendas a $800, siempre y cuando sea pan fresco (vendido el día que se hornea); el pan que no se vende se regresa a la compañía; ésta tiene una pequeña tienda que vende pan de un día antes o más a $400 unidad. No se incurre en costo de almacenamiento significativo. El costo de faltantes por pan se estima en $600 cada uno; la demanda diaria tiene una distribución uniforme entre 1000 y 2000 panes. Encuentre el número óptimo de panes que se deben producir al día.

C A P I T U L O XI I I

T E O R Í A DE C O L A S

"Un buen pasatiempo matemático vale más y aporta más a la Matemática, que una docena de artículos mediocres". Jonh Edenson Littlewood

INTRODUCCION i

Los modelos de líneas de espera o filas o colas, tienen como pionero a A. K. Erlang, quien en 1909 comenzó a analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague.

Un sistema de colas se puede describir como un sistema en el cual llegan "clientes", esperan para ser atendidos, si no es inmediato y si tienen que esperar para el servicio, parten del sistema después de haber sido atendidos.

Clientes que llegan o o o o o o

FIGURA N°1

Características fundamenta les

Hay algunas características básicas en un proceso de teoría de colas:

• Patrón de llegada de los clientes. • Patrón de atención del servicio.

Disciplina de la cola. • Capacidad del sistema. • Número de canales de servicio. • Número de etapas en cada servicio.

Ahora se presenta una breve descripción de cada uno de ellos:

363

Patrón de llegada de los clientes

Es el ingreso al sistema (input) y se mide en términos del número promedio de llegadas por alguna unidad de tiempo (rata media de llegadas) o también por el tiempo promedio entre llegadas sucesivas (tiempo medio entre llegadas). Cuando el proceso de llegada es alguna unidad de tiempo (rata media de llegadas) o también por el tiempo promedio entre llegadas sucesivas (tiempo medio entre llegadas). Cuando el proceso de llegada es determinístico, entonces el patrón de llegada es completamente definido por cualquiera de las dos medidas anteriores.

Cuando hay incertidumbre en el patrón de llegada se usan naturalmente distribuciones de probabilidad para su conocimiento y las medias expresadas anteriormente sólo indican la tendencia para el proceso de llegadas, y un mejor conocimiento requiere de una profundización de los modelos probabilísticos.

Otro factor en el proceso de llegada es la posibilidad de que los clientes lleguen en grupos simultáneos en cambios de uno a uno. En este caso se dice que las llegadas ocurren en masa y pueden suceder en el mismo instante.

También el ingreso al sistema depende de la reacción del cliente para entrar al mismo. Un cliente puede llegar a la cola y de acuerdo al tamaño de ésta decidir si entra a la fila y espera el servicio, o se va sin hacer la cola y entrar al sistema. En esta última situación se tienen clientes frustrados. También puede suceder que a pesar de estar en la cola se impaciente y salga de ella antes de entrar al servicio, se llama cliente renegado, cuando la distribución de llegada no depende del tiempo en que llegan los clientes se dice que es estacionaria, en caso contrario no estacionaria.

Patrón de atención de los servidores

Es muy parecido a los modelos de llegadas anteriormente expuestos. El modelo de atención se puede describir por el número de clientes atendidos por unidad de tiempo, llamada rata de servicio, ella está condicionada al hecho de que el sistema no esté vacío o sea que alguien espere ser atendido. Si el sistema está vacío el servicio está ocioso.

El servicio también puede modelarse determinística o probabilísticamente.

La atención a los clientes puede ser uno a uno o por grupos por un mismo servidor, y también la rata de servicio puede depender del número de clientes en la cola en cuyo caso se dice que el servicio es dependiente del estado de la cola. También análogo a las llegadas el modelo de servicio puede ser estacionario o no estacionario. Por último lo más común es asumir independencia entre los procesos de llegadas y de servicios, aunque no es necesario.

Disciplina de la cola

Esto se refiere a la manera como los clientes son elegidos en la cola para ser atendidos por el servidor. Lo más común es primero que llega primero que se atiende o first in first out que utiliza la sigla Inglesa FIFO para la disciplina de la cola, o en español la sigla es PEPS (primeros en llegar primeros en ser atendidos).

364

Otra disciplina puede ser último que llega primero que se atiende o last in fírst out, cuya sigla es LIFO utilizada en modelos de inventarios, o en español UEPS (últimos en llegar primeros en ser atendidos). Otra puede ser seleccionar al azar el cliente a ser atendido o service in randon order cuya sigla es SIRO, o en español SEOA (servicio en orden aleatorio); algunos otros modelos empleados son el de promedio ponderado y el de prioridades.

Las siglas FIFO (PEPS), LEFO (UEPS) y SIRO (SEOA) fueron recomendadas en 1971 por la QUEUING ESTANDARDIZATION CONFERENCE REPORT porque poseen pronunciación inglesa para referirse a la disciplina en la cola, aunque no son las únicas.

También se tiene, por ejemplo, clientes en prioridad, la cual debe especificarse completamente; se utiliza la sigla PRI.

Capacidad del sistema

En algunos procesos de espera hay limitaciones físicas en la cantidad de clientes que pueden esperar, o sea cuando las líneas de espera pueden tener a lo más cierta longitud respecto al número de clientes. Hay máximos en el tamaño de la cola, en estos casos hay pérdida de clientes o deben esperar hasta que disminuya la cola para poder ingresar al sistema (doble cola).

Número de canales de servicio

Se refiere al número de servicios en paralelo, los cuales pueden atender clientes simultáneamente y se pueden esquematizar así:

U N A C O L A VARIOS SERVICIOS VARIAS COLAS VARIOS SERVICIOS SELECCIÓN DEL SERVICIO SELECCIÓN DE LA C O L A

FIGURA N°2

Número de etapas en el servicio

Un sistema de colas con varias etapas en el servicio o atenciones en serie también se estudia en la teoría de colas.

365

FIGURA N° 3

En el diagrama se tiene un sistema con tres servicios en serie como, por ejemplo, en un examen médico completo con varias etapas o exámenes parciales, y reciclaje cuando se requiere mayor profiindización en un examen.

Las características anteriores son suficientes para describir un sistema en estudio.

Medidas de eficiencia de un sistema

Generalmente se observan tres medidas.

a. El tiempo que se espera debe permanecer un cliente en la cola antes de ser atendido. Se supone que entre más corta esta medida, el sistema es más eficiente.

b. Una indicación de la manera como los clientes se van acumulando.

c. El tiempo ocioso de los servidores.

Se debe buscar un punto óptimo de tal manera que el sistema brinde apropiadamente y no se pierdan clientes por exceso en las colas, por lento el servicio o por pocos canales de servicio, etc. De tal forma que se ajuste a los centros de funcionamiento y se adecúen a limitaciones físicas, etc.

Modelo de Teoría de Colas

Llegadas: N (t) = número de llegadas durante el intervalo (0, t ] en N (0) = 0

Se asumen ahora los mismos postulados de un proceso de nacimiento donde h es la constante de llegada independiente de N (t).

Se recuerda que se llega a:

366

Lo cual implica las ecuaciones diferenciales:

conocido como proceso de Poisson para las llegadas.

Ahora, si consideramos el tiempo entre llegadas sabemos que dicha variable es exponencial con parámetro , con media Lo anterior corresponde a la suma de variables de variables exponenciales idénticas e independientes y se obtiene una distribución

Que corresponde a la distribución ERLANG una distribución gamma con parámetros (según Mood, Graybill and Boes).

Suponga que las llegadas se comportan como un proceso de Poisson. Dadas K llegadas durante el intervalo [o, t] en las fechas entonces las llegadas se distribuyen con las estadísticas de orden de K variables con distribución uniforme sobre [o, t].

Sea llegadas en [O, t])

La función de densidad conjunta de x,, x2,..., xk con decimal a las K llegadas en [0,t ].

De acuerdo a la definición de función de densidad condicional se tiene

TEOREMA

367

Con las condiciones iniciales conocidas se tiene que:

Donde

Que es idéntica a la obtenida con las estadísticas de orden conjuntamente de una uniforme sobre [0, t]. Este resultado es de gran importancia en la simulación de los procesos por la facilidad en su generación.

Notación de Kendal l

En los modelos de colas se emplea esta notación con el propósito de identificar los diversos modelos que se presentan:

Ecuaciones de Little

En los modelos de colas, es posible demostrar en un sistema estable que las ecuaciones de flujo son:

368

Distribución de llegadas o tiempo entre llegadas. Distribución de salidas o tiempo de servicio. Número de canales de servicio en paralelo en el sistema. Disciplina de la línea de espera.

Número máximo de elementos permitidos en el sistema.

Población o fuente.

las cuales cumplen con la ecuación de resultado general:

Modelo M / M / l

Se utiliza este caso para explicar la metodología usada en el análisis de la Teoría de Colas. Se siguen los siguientes pasos:

PASO 1: Enunciar las ecuaciones de diferencia para Pn (t).

es la función de densidad conjunta de es la probabilidad de que k llegadas ocurran en el intervalo [0, t]

Es la misma ecuación del proceso de nacimiento y muerte como era de esperarse.

Para n = 0 se hacen las restricciones conocidas y en resumen se tiene.

369

PASO 2: Enunciar las ecuaciones diferenciales para Pn ( t ) .

PASO 3: Explorar las soluciones para Pn (t).

PASO 4: Establecer el sistema para distribución límite y explorar su solución nT. En el modelo M / M / 1 se tiene que:

Distribución

Llegadas

Servicio

Rata de llegadas Rata de servicios

explota (el número de personas en línea de espera aumentará sin límite).

PASO 1: Ecuaciones de diferencia.

PASO 2: Ecuaciones diferenciales.

PASO 3: Establecer una solución

Para la mayoría de los modelos se supone que en caso contrario se dice que la cola

PASO 4: Establecer la ecuación para n

La solución por recurrencia nos lleva a:

que corresponde a una distribución geométrica con parámetro p.

Su valor esperado será:

Su varianza es:

Medidas de Eficiencia

Dado que nn = Límite = Pn (t) t—>00

370

se define factor de utilización

Se tiene que es la probabilidad de que haya n clientes en él. Entonces el valor esperado

en el número esperado de clientes en el sistema corresponde a L.

Ahora sea Nq = el número de clientes en la cola y sea Lq = E [Nq] entonces

Ejemplo

Suponga que usted observa una peluquería los sábados en la mañana y encuentra que los clientes aparecen como un proceso de Poisson y que la rata de llegada es de 5 por hora. Además que todos los clientes que llegan esperarán hasta ser atendidos. Suponga ahora que la atención en la peluquería por tiempo es aproximadamente exponencial y en promedio dura 10 minutos cada corte de pelo, etc.

371

También de interés el valor esperado de la cola, dado que el sistema no está vacío.

Donde ; Hayan n en el sistema /

Al modelar la anterior información como M / M / l se tiene que:

clientes por hora; clientes por hora

Es el número esperado de clientes en la cola dado que la peluquería no está vacia.

Es el número de clientes esperando sentados para ser peluqueados.

Es el número esperado de clientes en la peluquería incluyendo el que está en la silla.

Ahora significa que el 16,7 % del tiempo permanece ocioso el sistema o que un

cliente que llegue encuentre vacía la peluquería.

representa que el 83.3 % de los clientes deben esperar antes de ser atendidos por el peluquero.

Supongamos ahora que en la peluquería hay sólo 4 asientos para espera, ¿cuál es la posibilidad de que un cliente que llegue deba esperar de pie?

372

Lo anterior nos da y de acuerdo con la teoría

373

De acuerdo a las definiciones anteriores

donde son variables aleatorias distribuidas exponencialmente. La función de densidad de es gamma con paramétras

Proceso Puro de Nacimiento

Es muy similar al proceso de Poisson, la diferencia esencial es que el parámetro A, del proceso de Poisson en el proceso de nacimiento es variable y depende de K.

Similarmente al proceso de Poisson los axiomas de ocurrencia serían:

Probabilidad de que un evento suceda en

Probabilidad de que un evento no suceda:

Probabilidad de que un evento suceda más de una vez:

Sea la probabilidad de que n eventos ocurran en el intervalo Análogamente usando la ecuación de CHAPMAN - KOLMOGOROV para transiciones en los intervalos podemos escribir

Lo que quiere decir que el 33,5% de los clientes que llegan debe esperar de pie por falta de sillas para estar sentado.

Otro problema que se pueda considerar es encontrar la distribución del tiempo necesario para que ocurra un número de veces del evento dado sea Yn la variable aleatoria que mide el tiempo transcurrido hasta la enésima ocurrencia de un evento Poisson.

374

CASOS ESPECIALES

Proceso de Yule

De acuerdo a lo anterior no habría

y por tanto:

Newton; observemos además que es una distribución geométrica con

usamos el Binomio de

Si el número donde inicia la población no es uno, si i > 1, entonces es fácil ver que:

que corresponde a una distribución exponencial negativa.

Lo cual constituye un sistema de ecuaciones diferenciales cuya solución general ya no es tan fácil por la variabilidad de

La respuesta es de la forma:

Esto cuando 0 es equivalente a:

Proceso Puro de Muerte

Sea la población inicial y supongamos que los miembros de ella sólo mueren.

Sea la tasa de mortalidad cuando hay n individuos (observe que axiomas siguen siendo muy parecidos a los de Poisson pero para definiciones.

Los axiomas se pueden resumir en :

lo cual equivale a :

con las condiciones iniciales:

Análogo al proceso de Yule se puede considerar: y se obtiene:

la cual es una distribución binomial

Proceso de Nacimiento y Muerte

Conocidos los anteriores procesos y sus correspondientes consideraciones se toma el problema en forma conjunta.

lo cual es equivalente a:

con las condiciones iniciales:

depende de n). Los

375

376

O son todos iguales a cero

son tales que:

existe y es independiente de las condiciones iniciales del proceso. Los límites

Si un proceso de Markov es irreducible (todos los estados se comunican) entonces la distribución

Teorema

Distribuciones Límites

, entonces si

siempre o sea, lo cual significa

reemplazando se tiene:

Probabilidad que la población se extinga =

con el término inicial modificado.

observemos que Donde es una distribución geométrica

la solución cuando

Este Teorema se aplica observando que si es independiente de t, o sea,

es constante, lo cual quiere decir que veamos en los procesos obtenidos anteriormente:

• Proceso de Poisson

son las ecuaciones diferenciales obtenidas calculando en cada caso se tiene:

todos los estados son

transitorios, pues

• Proceso puro de nacimiento (no se comunican)

cuando se tiene:

y por tanto

• Proceso de muerte

sistema inconsistente.

• Proceso de nacimiento y muerte

Las ecuaciones diferenciales son:

con la correspondiente restricción para n = 0

ya que calculando los límites cuando se tiene:

para los otros n > 1 :

de aquí se puede obtener una fórmula recurrente:

377

378

Consideremos entonces el proceso de nacimiento y muerte con una población de tamaño en el tiempo t, sea Zn el tiempo transcurrido hasta la siguiente transición (o novedad).

nacimiento y muerte respectivamente

Se considera el caso general del proceso de nacimiento y muerte con como tasas de

Inferencia Estadística

la probabilidad que la población se extinga.

en caso contrario y esto indica que cuando es

con Cuando se tiene se obtiene que

En el caso de proceso simple de nacimiento y muerte con

existe, es decir, la anterior expresión es finita. solo sí

con la condición se tiene determinada la distribución límite sí y

En general se tiene que:

379

3) Un número mu de eventos en una sucesión de mu + m<¡ ensayos Bernoulli con probabilidad del

2) Una muestra aleatoria de tamaño mu + m^ de una distribución exponencial con media tal que la suma de los mu + n^ tiempos de las observaciones es Tb cuando la transición se efectúa con población diferente de cero.

1) Una muestra aleatoria de tamaño me de una distribución exponencial negativa con media tal que la suma de las m„ tiempos de observación en T„ intervalos que preceden las transiciones 0 -> 1.

De acuerdo a los resultados teóricos, se puede resumir el problema de inferencia en el proceso simple de nacimiento y muerte en componentes, así:

En resumen se conocen Te, Tb, n\,, mu, md y el propósito es estimar y en términos de las anteriores.-

mc = Número de cambios de cero a uno. mu = Número de cambios de n a n+1 (n > 0). m d= Número de cambios de n a n -1 (n > 0).

III. Anotar ahora durante el intervalo T.

Te = Tiempo cero vacío. T b = Tiempo no cero ocupado. Te + Tb = T.

I. Se debe observar el proceso de nacimiento y muerte durante un período de tiempo T.

II. Debemos anotar el tiempo para el cual la población es cero y el tiempo para el cual es diferente de cero.

respectivamente. y estimaciones de idea de la estimación anterior consideremos el caso más sencillo ; sea las

si n = 0; recordemos que Zn es el tiempo transcurrido entre la transición de n a n+1. Para obtener una y con parámetro distribución exponencial con parámetros (media) cuando

El problema de estimación está considerado cuando observamos una muestra aleatoria de una

a una distribución exponencial con media

exponencial negativa con media . Para n = 0 se tiene Z0: que corresponde

lo cual muestra que Z,, tiene distribución Solucionando lo anterior obtenemos que:

suceso lo cual se refiere a transiciones del tipo n a n + 1 con n > 0 y md transiciones

del tipo n a n - 1 con n > 0.

4) La dependencia entre estas observaciones es tal que una transición de cero a uno, puede ocurrir sólo después de una de uno a cero.

5) Una realización parcial de una variable aleatoria cuya distribución es exponencial negativa

con media si el tamaño de la población es cero al fmal del período y con media si el tamaño es diferente de cero.

Ahora usando el método de máxima verosimilitud:

1 ) Supongamos que es una muestra aleatoria de tamaño me de una distribución

exponencial con media tal que la función sería

2) Si la población es de tamaño cero al final de la observación donde es el tiempo transcurrido después de la última transición de uno a cero. La función de verosimilitud

sería idéntica a la función obtenida en el apartado

anterior.

3) Similarmente a 1 ) y 2) la función de verosimilitud de una muestra aleatoria de tamaño mu + md

de una distribución exponencial con media es dada por

4) La contribución en la función de verosimilitud de mu + m,j ensayos de Bernoulli con probabilidad

de ocurrencia con mu sucesos (éxitos) y md fallas está dad por:

5) Sea C) la función que representa la contribución entre las transiciones, la cual es función de me, mu, md y es independiente de

En conjunto la función de verosimilitud será entonces el producto de todas.

380

381

dado que el tiempo transcurrido es Erlang

Sea ahora t > 0 y consideremos Wq (t).

cliente = Probabilidad de que el sistema esté vacío a la llegada del

su función de distribución ahora considera:

Debemos derivar la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre el momento en que llega un cliente hasta el momento en que entra al servicio. Sea Tq esa variable aleatoria y sea Wq

Distribución del Tiempo de Espera

Igualando a cero se tiene que:

donde

tomando logaritmos:

382

si le sumamos ahora Wq (0) tenemos: con lo cual se

tiene que la probabilidad total es uno.

Para el cálculo del valor esperado denotado por Wq se tiene:

Observemos que:

Nos da la distribución del tiempo de espera de un cliente en la cola, lo cual es una distribución compuesta (discreta y continua).

La función de densidad o probabilidad será:

En resumen:

Es el tiempo esperado de permanencia en la cola. También es de interés

y representa el tiempo de permanencia en la cola dado que dicho

tiempo es mayor que cero.

Observemos también que es la probabilidad de que un cliente deba esperar mas de un tiempo c.

Por último, el tiempo total que permanece un cliente en el sistema está dado por:

Relación entre Longitud Esperada de la Cola y el Tiempo Medio de Espera (Fórmula de Little)

Ciertas relaciones entre medidas de eficiencia se pueden explorar sin grandes desarrollos teóricos en forma intuitiva; la primera es la relación entre Wq y W. Comparando.

se tiene que:

Esta igualdad es verdadera y fácil de comprender intuitivamente.

383

Sea S la variable aleatoria, "tiempo de servicio" entonces T = Tq + S de donde E [T] = E [Tq] + E [S] .

384

Como S es exponencial con media se tiene entonces

Otra relación se presenta entre Lq y Wq (Lq el número de clientes en la cola y Wq el tiempo esperado en la cola)

y

Entonces similar

La explicación intuitiva es la siguiente: considere un cliente que acaba de llegar; en promedio él llegará al servicio después de que han transcurrido Wq (unidades de tiempo). Pensemos ahora que el cliente está a punto de ingresar al servicio y mira hacia atrás para contar la cola que quedó detrás de

él; en promedio el número de clientes detrás de él será L0 y ellos llegaron en promedio unidades de

tiempo cada uno, o sea que el tiempo que permane en espera será:

o sea un argumento similar muestra que

Lo anterior es válido cuando el proceso de llegadas es Poisson y la disciplina de la cola es FIFO y solamente hay un canal (M / M / 1 FIFO) y además ilimitada la capacidad del sistema.

Las anteriores fórmulas se comunican como fórmulas de Little:

ahora consideremos se tendra entonces

que argumento intuitivo similar a las fórmulas de Little.

Para que transcurran L clientes en el sistema deben efectuarse L servicios cada uno dura en

promedio unidades de tiempo, entonces será el tiempo que un cliente debe esperar en la

cola antes de entrar al servicio, dado que hay L clientes en el sistema cuando él llega, o sea

fórmula válida en M/M/l.

Modelo M / M / l con Capacidad Finita K

El valor k representa el número máximo de clientes en el sistema; en las ecuaciones de diferencia del modelo M/M/l se adiciona la ecuación

es la última ecuación diferencial.

lo cual implica que:

Si trabajamos con las distribuciones límites se terminaría con:

en resumen se tendrá:

con un procedimiento de

recurrencia se tiene que:

se expresaría así:

respecto a las medidas de eficiencia

se tiene que:

385

386

También son válidas las fórmulas de Little: donde que es la tasa efectiva

de clientes que entran al sistema.

Colas con Canales Paralelos M / M / C

Consideraremos para todo n y si p es la rata de cada servicio, entonces c p es la rata de los c servicios; si no todos los servicios están ocupados, entonces se tiene:

siendo pn la tasa de servicio, que depende del número de clientes; dividiendo las ecuaciones de diferencias en dos casos y pasando a las distribuciones límite se tiene:

Para encontrar partimos de lo cual nos daría:

Llamemos y se tendrá:

387

utilizando la relación entre W y Wq se tiene:

después de algunas operaciones con series geométricas con el resultado anterior y las fórmulas de Little se tiene:

encontrar en este caso Lq se tiene:

con la condición de existencia observemos que si C = 1, se tiene que M/M/l/ oo ; para

Entonces se tiene que:

La última parte del corchete se puede calcular así:

Ahora veamos cómo es la función de distribución del tiempo de espera en la cola. Sea Tq la variable aleatoria que representa el tiempo de espera en la cola y sea Wq (t) su función de distribución, entonces:

(Haya a lo más c - 1 clientes en el sistema);

Para Tq > 0 se tiene:

Ahora, cuando el promedio de salida es Poisson con media c p y el tiempo entre servicios

completos es exponencial con media y la distribución del tiempo para que sucedan n - c + 1

servicios es Erlang del tipo n - c + 1; entonces:

388

En forma similar el tiempo total de permanencia en el sistema tiene por función de densidad

Fórmula de la l lamada pérdida de Erlang

Esta fórmula no depende de las distribuciones de probabilidad que describen las llegadas o los tiempos de servicio y permite determinar la probabilidad de una llamada perdida que llega a un conmutador, debida a que quien la realiza obtiene señal de ocupado. En esta fórmula se considera que el número de líneas que llegan al conmutador son iguales al número de operadoras que están listas para responder las llamadas y es muy útil para determinar la cantidad de líneas telefónicas que se requieren en un centro de atención de urgencias. La fórmula es:

donde n es el número de líneas y Ejemplo:

Supongamos que tenemos tres líneas y tres operadoras con una tasa de llegada de 10 llamadas por hora y una longitud promedio de las llamadas de 4 minutos.

llamadas por hora; servicios por hora; P (llamada perdida) = ?

P (llamada perdida)

389

Probabilidad de tiempo ocioso de un servidor (médico) se calcula así:

390

El hospital desea conocer:

a. Cuántas personas en promedio deben esperar. b. El tiempo promedio que el paciente permanece en el hospital. c. El porcentaje esperado de tiempo ocioso de los doctores.

Ejemplo

Suponga que un hospital estatal en su sección de oftalmología ofrece exámenes gratuitos para establecer la presencia del glaucoma, cada martes en la tarde. Hay tres médicos simultáneos y el tiempo promedio de cada examen es de 20 minutos y se puede suponer exponencial. Los pacientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con media de 6 por hora y el primero que llega primero que se atiende.

P (llamadaperdida) = 0,0573 Corresponde a la probabilidad que una llamada no se responda para tres líneas y tres operadoras.

Ejemplo

Considere una estación de inspección de automóviles con tres canales de observación cada uno para un solo carro. Suponga que los carros esperan en un callejón con capacidad a lo más de 4 carros. La llegada es Poisson con una media de un carro por minuto en las horas pico y el servicio es exponencial con una duración promedia de 6 minutos. El jefe de la estación desea conocer el número esperado de carros en el sistema, el número esperado que no pueda ingresar al sistema por tener capacidad máxima.

391

carros por hora

El número esperado de carros por hora que no puedan ingresar a la estación es de

Para encontrar el tiempo promedio de espera durante las horas picos podemos usar:

Solución

Sugiere un estudio de ampliación del servicio en general de la capacidad del sistema.

Si cada servicio deja una utilidad de $1000, cuál sería el costo del sistema ocioso (sin un cliente).

muy barato

Ejemplo

En una estación de servicio se tiene que p es la rata de servicio por hora, X es la rata de llegadas por hora. Se puede asumir que el modelo es M / M / 1 Suponga que el costo de espera de un carro es Cj pesos por hora y la operación y el servicio por carro y por hora es p C2 cuando la tasa de servicio es p la idea es encontrar el valor de p y minimizar el costo total.

Es el número esperado de carros en la cola.

Ahora podemos suponer que hay Lq carros esperando ser atendidos en la cola;

entonces el costo por hora por la espera será:

y el costo por su servicio es

El costo total es: para minimizar C con respecto a p se tiene:

Igualando a cero y despejando

tenemos:

Como es función de cuarto grado y su

solución se encuentra por métodos numéricos para valores de dados

393

tiene un M- cercano a uno.

394

395

FÓRMULAS PARA SERVIDORES MÚLTIPLES S > 1; p = S (X

396

397

EJERCICIOS RESUELTOS

I • Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan 560 personas diarias (¡ornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a 100 personas como promedio por hora. Con la hipótesis de llegadas Poissonianas y servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el número promedio de personas en el sistema, la cantidad promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una persona en el sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempo promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4 personas.

clientes es del 10,29%.

398

Llegadas Poisson; servicios exponenciales;

El tiempo que permanece ocupado en promedio el sistema es el 70%.

El tiempo ocioso promedio del sistema es del 30%.

La probabilidad que en un momento

determinado haya en el sistema 3

La cantidad de clientes promedio en la cola es de 1,63

personas.

fila antes de la atención es de 1,4 minutos.

El tiempo de espera promedio en la

En promedio una persona

espera en el sistema antes de ser atendido 2 minutos.

En promedio la cantidad de personas en el sistema es de 2,3.

En promedio el tiempo que tarda un servicio corresponde a ,6 minutos.

La probabilidad que haya en el sistema

en un momento determinado

más de 4 personas es del 16,8%.

A un taller llegan los pedidos de reparaciones en forma de distribución Poisson a un promedio de 4 clientes / hora. El operario que los inspecciona para diagnosticar las reparaciones a hacer efectúa dicha actividad en una forma normal; en promedio tal inspección le toma 6 minutos. Realizando la evaluación de tiempos y movimientos se encontró que el tiempo de

399

sistema antes de ser atendido 33 minutos.

En promedio un cliente espera en el

antes de ser atendido un cliente es de 27 minutos.

El tiempo de espera promedio en la cola

L = p + Lq ; L = 0 , 4 + 1,8; L = 2 , 2 En promedio la cantidad de clientes en el sistema es de 2,2

personas.

cola es de 1,8 clientes.

La cantidad de personas promedio en la

El tiempo promedio que permanece desocupado el sistema

En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es el 40%.

servicio normalmente distribuido tiene una del sistema.

Calcular las características de operación

VV = W - W q ; = 0 , 5 5 - 0 , 4 5 ; Ws = 0 , 1 h o r = 6 m i n En promedio el tiempo que dura

un servicio es de 6 minutos.

automovilistas para las personas que deseen hacer un solo deposito; el tabricante le ha informado al Banco que en estos casos el tiempo de servicio es constante con 7,5 minutos. Para determinar las características de operación de este nuevo sistema se han evaluado las llegadas de los automóviles y se ha encontrado que se comportan en forma de distribución Poisson a una llegada de 4 automóviles / hora. Encontrar la congestión en el sistema.

espera es de 0 ,25 autos.

L = p + Lq; L = 0 , 5 + 0 , 2 5 ; L = 0,75 En promedio la cantidad de autos en el sistema es

de 0 ,75 vehículos.

en la línea de espera antes de ser atendido un auto es de 3,75 minutos.

espera en el sistema antes de ser atendido 11,25 minutos.

W = W - W q ; Ws = 0 , 1 8 7 5 - 0 , 0 6 2 5 ; Ws = 0 ,125hor = 7 ,5min . En promedio el tiempo

de un servicio es de 7,5 minutos.

400

El Banco Departamental ha decidido instalar un cajero automatizado de atención a

En promedio el factor de utilización del sistema es el 50%.

P0 = 1 - p ; Po = 1 - 0 ,5; Po = 50% El tiempo promedio que el sistema no está ocupado es del 50%.

La cantidad de vehículos promedio en la línea de

hor = 3 ,75 min El tiempo de espera promedio

En promedio un vehículo

En una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado se realiza en 5 operaciones básicas que se efectúan de una manera secuencial; si el tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos. Estas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 2 máquinas/hora y en la fábrica sólo hay un mecánico que las repara. Calcular las características de operación de la empresa.

El tiempo promedio que el sistema permanece ocioso es

En promedio la cantidad de máquinas a reparar en la empresa

es de 3.

La cantidad

de máquinas en promedio en cola es de 2,49.

Wq = 1 ,249 hor = 1 hor 14 min En promedio las máquinas en la cola antes de ser atendidas

permanecen 1 hora 14 minutos.

En promedio una máquina

En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es el

espera en el sistema antes de ser atendida 1 hora 39 minutos.

401

w s = W - Wq; Ws = 1,66 - 1 ,249; Ws = O ,411 hor = 25 min . En promedio el tiempo de un

servicio es de 25 minutos.

Al Taller El Recambio para cambio de aceite, los autos llegan a un promedio de 1 8 carros por hora en forma Poisson. La población es infinita pero el espacio físico en el sistema alcanza solamente para 3 vehículos; puede servir a un promedio de 6 carros por hora de acuerdo a una distribución exponencial; determinar las estadísticas de congestión de este taller.

Llegadas Poisson; servicios exponenciales con cola finita; X = 18 carros / hora; p = 6 carros / hora; K = 3; P0 = ?; p = ?; L = ?; Lq = ?; W = ?; Wq = ?; Ws = ?; S = 1

En promedio el tiempo improductivo

del taller es el 2,5%.

El tiempo promedio que el taller permanece ocupado es el 97,5%.

L = 2 , 8 6 En promedio la cantidad de

autos a cambiar el aceite por hora es de 2,86.

En promedio el número de vehículos en la

línea de espera es de 1,88 por hora.

En promedio un auto permanece en el taller

9 ,53 minutos.

Los vehículos permanecen en promedio

en la fila 6 ,26 minutos.

Un cambio de aceite

tarda en promedio 3 ,27 minutos.

402

Una máquina fotocopiadora es utilizada por 3 secretarias de una oficina para obtener las copias que su sección requiere; como la magnitud del trabajo difiere de acuerdo al número de copias que cada quien traiga, se hizo un análisis el cual dejó concluir que la máquina tiende a un proceso de Poisson con un promedio de 8 trabajos por hora. Los requerimientos de utilización son también aleatorios de acuerdo a un proceso Poissoniano con una tasa media de 5 trabajos por hora. Calcular las características de utilización de la fotocopiadora.

El tiempo ocioso promedio de la fotocopiadora es del 14,96 %.

En promedio el factor de uti l ización de la

fotocopiadora es del 85,04%.

En la fotocopiadora permanecen en

promedio 1,63 personas.

En la fila para acceder

a la fotocopiadora permanecen en promedio 0 ,78 personas.

El tiempo total promedio en el sistema es

de 19 ,56 minutos.

En promedio en la cola para llegar a

obtener un servicio en la fotocopiadora el tiempo gastado es de 9 ,36 minutos.

403

w s = W - W q ; Ws = 0 , 3 2 - 0 , 1 5 6 ; Ws = 0 ,164 hor = 9 ,84 min Un servicio promedio en

la fotocopiadora es de 9 ,84 minutos.

el Banco considera que con 4 servidores es suficiente. Los clientes llegan en promedio a una tasa de 2 0 por hora de acuerdo a una distribución Poisson y se sabe que se requieren en promedio 2 minutos para atender a cada cliente con una distribución aproximadamente exponencial. Calcular las estadísticas de operación del Banco.

P0 = 50 ,56% En promedio el tiempo improductivo del sistema es del 50,56%.

En promedio la cantidad de personas en la línea de espera es de 0 ,01627 por

personas por hora.

404

En el banco permanecen en promedio 0 ,6829

hora.

del tiempo el sistema permanece ocupado.

El Banco Departamental desea operar una nueva sucursal; luego de realizados los estudios,

mecánico para reparar un mecanismo que se descompone con una tasa promedio de 4 por hora de acuerdo con una distribución Poisson; el tiempo improductivo de cualquiera de los mecanismos está costando $ 5 0 0 0 por hora a la Empresa. La Compañía puede contratar dos tipos distintos de mecánicos: uno lento, pero poco costoso a $ 2 5 0 0 por hora y el otro rápido, pero más costoso a $ 4 5 0 0 por hora; el mecánico lento puede reparar exponencialmente los mecanismos a una tasa promedio de 6 por hora, mientras que el mecánico rápido repara exponencialmente a razón de 8 por hora. Basándose en los datos anteriores ¿cuál mecánico debe contratarse?

CO L = $ 2 5 0 0 ; CO R = $ 1250

Costo Total = Costo Ocioso * No de máquinas dañadas en el período + Costo de Mano de Obra en el período.

CTL = 2 5 0 0 * 4 + 2500 ; CTL = $ 1 2 5 0 0

405

min Las personas permanecen

en promedio 0 ,04881 min en la línea de espera.

Una persona

permanece en promedio en el banco 2 ,0488 min.

Ws = W - Wq ; Ws = 0 , 0 3 4 1 4 - 0 , 0 0 0 8 1 3 5 ; Ws = 0 ,03332 hor = 1,9992 min, Un servicio

en promedio dura 1,9992 min.

Una Compañía debe tomar una decisión con respecto a su política de contratar un

Llegadas Poisson; servicios exponenciales; mecanismos / hora; reparaciones /

hora; = 8 reparaciones / hora; WL = ?; WR = ?; CTL = ? ; CTR = ?; S = 1 ;

CTR = 1250 * 4 + 4 5 0 0 ; CTR = $ 9500

Donde COL , COR, CT l y CTR corresponden a costo ocioso para el mecánico lento, costo ocioso para el mecánico rápido, costo total para el mecánico lento y costo total para el mecánico rápido.

La decisión es entonces finalmente contratar el mecánico rápido, porque la Compañía ahorra costos.

terminal en línea con el sistema de computación central de la compañía para poder depurar sus programas. La firma opera las 24 horas del día y 48 programadores, como promedio, necesitan usar el terminal una vez al día. Los programadores llegan al terminal en forma de distribución Poisson; el tiempo que cada programador utiliza el terminal es exponencial y como promedio es de 20 minutos.

La compañía recibe cada día varias quejas del personal de programación en el sentido que las esperas experimentadas en el terminal son demasiado largas y que se pierde productividad; los programadores afirman que necesitan más terminales. La administración está preocupada porque el terminal se emplea sólo dos terceras partes del tiempo, por lo que considera innecesario aumentar el número de terminales.

Analizar la situación de esta compañía y determinar si se requieren terminales adicionales.

406

Llegadas Poisson; servicios exponenciales;

66,7% El tiempo que permanece ocupado en promedio el sistema es el

66,7%.

En una compañía de asesoría computacional, los programadores necesitan usar un

El tiempo ocioso promedio del sistema es del 33,3%.

En promedio la cantidad de personas en el sistema es de

2 ,03 .

La cantidad de clientes promedio en la cola es de 1,36

personas.

407

Los clientes llegan a la tienda a razón de 30 personas por hora; de acuerdo a lo anterior la función asociada de la exponencial es 30 exp (- 30 t). Entonces la probabilidad es:

El intervalo de tiempo es de 2 horas, así que

El número de personas que ingresan a un local comercial se comporta de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de 3 0 personas por hora. Calcular la probabilidad de la llegada de 50 clientes, sabiendo que el intervalo de tiempo es de 2 horas.

El número promedio de llegadas por hora al consultorio de un hospital es de 60 pacientes. Si acaba de llegar un paciente, ¿cuál es la probabilidad que el próximo paciente llegue dentro del siguiente minuto? ¿y que se tarde más de 4 minutos?

Este resultado significa que un 10% de los programadores, aproximadamente unos cinco (5) por día esperan casi 114 minutos (cercano a las dos horas) en el terminal antes de poder utilizarlo.

de la atención es de 4 0 minutos.

El tiempo de espera promedio en la fila antes

antes de ser atendido 1 hora.

hor En promedio una persona espera en el sistema

de equipaje ligero se realizan a razón de 12 por minuto. Es de aclarar que las llegadas al sistema son de tipo Poisson y los servicios son aproximadamente exponenciales.

A) ¿Cuál es la probabilidad que un pasajero tenga que esperar antes que le revisen el equipaje?

B) ¿Cuántos pasajeros en promedio esperan en la cola?

C) ¿Cuánto tiempo total tienen que esperar en promedio los pasajeros?

A) Espera si hay alguien en el sistema, es decir, si el número de personas en el sistema es diferente de cero.

408

A un aeropuerto el número de personas que llegan es de 10 por minuto; las revisiones

Entonces la solución es: es la probabilidad que un pasajero tenga que esperar antes que le revisen el equipaje.

es el número promedio de pasajeros en la fila. B)

C) tiempo que tienen que esperar en promedio los pasajeros.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Se tiene un sistema de colas con dos servidores en una condición de estado estable en donde el número de clientes en el sistema varía entre cero y cuatro. Para n = 0, 1, 2, 3, 4, la probabilidad Pn que

haya exactamente n clientes en el sistema es

determine:

A) El número de clientes esperado en el sistema. B) El número de clientes esperado en la fila. C) El número esperado de clientes que están siendo servidos. D) Dado que la tasa media de llegadas es de 2 clientes por hora, determine le tiempo de espera

en el sistema y en la línea de espera. E) Dado que ambos servidores tienen el mismo número esperado de servicio, utilice los resultados

de D) para determinar este tiempo esperado de servicio.

Un sistema de filas tiene dos servidores, una distribución de tiempos entre llegadas exponencial con media de 2 horas y una distribución de tiempos de servicio exponencial con media de 2 horas para cada servidor; lo que es más a las 12:00 del día acaba de llegar un cliente .

A) ¿Cuál es la probabilidad que la siguiente llegada ocurra i) Antes de la 1:00 p.m.? ii) ¿Entre la 1:00 y las 2:00 p.m.? iii) ¿Después de las 2:00 p.m.?

B) Suponga que no llegan más clientes antes de la 1: p.m. ahora ¿Cuál es la probabilidad que la siguiente llegada tenga lugar entre la 1:00 p.m. y las 2:00 p.m.?

C) ¿ Cuál es la probabilidad que el número de llegadas entre la 1:00 p.m. y las 2:00 p.m. sea i) 0 ii) 1 iii) 2 o más?

D) Suponga que ambos servidores están atendiendo clientes a la 1:00 p.m. ¿ Cuál es la probabilidad que ningún cliente haya completado su servicio i) Antes de las 2:00 p.m. ? ii) Antes de la 1:10 p.m.? iii) Antes de la 1:01 p.m.?

Un sistema de líneas de espera tiene dos servidores, cuyos tiempos de servicio son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con una distribución exponencial con media de 15 minutos. El cliente X llega cuando ambos servidores están ociosos; cinco minutos después llega el cliente Y, mientras que el cliente X está siendo atendido. Otros diez minutos más tarde, llega el cliente Z y los dos clientes X y Y están todavía siendo servidos; no llegan más clientes durante este intervalo de quince minutos.

A) ¿Cuál es la probabilidad que el cliente X complete su servicio antes que el cliente Y?

409

B) ¿Cuál es la probabilidad que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente X?

C) ¿Cuál es la probabilidad que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente Y?

D) Determine la función de distribución acumulada del tiempo de espera en el sistema para el cliente X; encuentre además la media y la desviación estándar.

E) Repita D) para el cliente Y.

F) Determine el valor esperado y la desviación estándar del tiempo de espera en el sistema para el cliente Z.

G) Determine la probabilidad que lleguen exactamente dos clientes más durante el próximo intervalo de quince minutos.

X, = 2, A,2= 1, A.n = 0 para n = 3, 4, ...

A) Construya el diagrama de tasas.

B) Calcule P0, P b P2, P3 y Pn para n = 4, 5,...

C) Calcule L, Lq, W y Wq.

de inversión están separadas entre dos dependientes; las formas de depósito llegan aleatoriamente al escritorio de Clara con una tasa media de 16 por hora; las formas de retiro llegan también de manera aleatoria al escritorio de Claricia con una tasa media de 14 por hora. El tiempo requerido para procesar cualquiera de las dos transacciones tiene una distribución exponencial con tasa media de 3 minutos. Para reducir el tiempo de espera en el sistema para ambas formas el Departamento de Actuaría ha hecho las siguientes recomendaciones: 1) Capacitar a las dos dependientes para que puedan manejar depósitos y retiros. 2) Colocar a los dos tipos de transacciones en la misma cola con acceso a las dos dependientes.

A) Determine el tiempo esperado en el sistema bajo los procedimientos actuales para cada tipo de transacción. Después combine estos resultados para calcular el tiempo esperado en el sistema para una llegada aleatoria de cualquier tipo.

B) Si se adoptan las recomendaciones, determine el tiempo esperado en el sistema para las transacciones que llegan.

410

Considere el proceso de nacimiento y muerte con todas las pn = 2 (n = 1, 2, ...), X0 = 3,

En la compañía Seguros Atalaya, las funciones de depósito y retiro asociadas con cierto producto

C A P Í T U L O XIV

O P T I M I Z A C I Ó N E S T O C Á S T I C A

"Dos cosas son infinitas: el universo y la estupidez humana; y yo no estoy seguro sobre el universo ". Albert Einstein

INTRODUCCIÓN

Hasta este momento todas las formulaciones que se han presentado de Programación Matemática asumen que los datos son conocidos. Sin embargo, en muchos problemas reales los datos no pueden ser conocidos con exactitud. En ocasiones por errores de medida o a falta de datos fiables, pero más generalmente porque son datos sobre circunstancias que se darán en el futuro y simplemente no pueden ser conocidos con anticipación.

La Optimización Estocástica resuelve problemas de Programación Matemática (en general), a los cuales se les incorpora la incertidumbre en los parámetros.

Una variante de la misma especialmente interesante es la Programación Lineal Estocástica, que puede ser resuelta de modo óptimo, aunque con un coste computacional elevado.

Uno de los mecanismos para abordar la incertidumbre en los datos es el uso de los denominados escenarios. Estos constituyen un posible conjunto de valores para los parámetros. Cada uno de estos escenarios puede tener una probabilidad asociada, aunque no necesariamente.

Existen diferentes modos de formular mediante un problema de Programación Lineal, un Problema Estocástico aunque básicamente consiste en obtener una decisión para el instante actual teniendo en cuenta los escenarios futuros. De este modo, la decisión a tomar no será óptima, en general, para ninguno de los escenarios aunque sí para el conjunto de ellos. Este modo de plantear y resolver el problema tiene un elevado coste computacional pero se puede abordar mediante descomposiciones y computación en paralelo con índice de paralelización elevado.

Otro modo de enfocar la estocasticidad en los parámetros es obtener el óptimo para cada escenario y comparar el valor que esta decisión tendría para el resto de escenarios, eligiendo como decisión definitiva la más buena, o la menos mala o cualquier otro mecanismo que se considere oportuno.

Este tipo de problemas se dan con mucha frecuencia, puesto que en muchas ocasiones las decisiones se toman de modo recurrente. Por ejemplo, el departamento de compras de una empresa toma la decisión de adquirir cierta cantidad de materia prima atendiendo a una demanda conocida para el presente pero estimada para el futuro. Y cuando ese futuro sea presente se tomará una nueva decisión.

411

El anterior es un ejemplo de reeursividad. Ésta es, básicamente, la capacidad de emprender acciones correctivas después de que la situación incierta ocurra.

Hay que destacar también la propiedad de no anticipación que se exige a la Programación Estocástica. Se puede definir ésta como la imposibilidad de vincular la decisión en el primer período, la cual no depende de lo que de hecho ocurra en el segundo periodo. La decisión de hoy para hoy no puede ser modificada mañana.

Los modelos que se presentan en Optimización Estocástica son:

• Función obj etivo estocástica y restricciones determinísticas.

• Función obj etivo determiní stica y restricciones estocásticas.

• Función objetivo y restricciones estocásticas.

Donde son valores conocidos y Cj son valores aleatorios.

Los problemas estocásticos son especialmente complicados debido a su tamaño que crece con el número de escenarios. Pero además, la propia generación de los escenarios y la definición de probabilidades a los mismos pe es un tema de gran complejidad.

Una de las principales ventajas de la Optimización Estocástica es que las soluciones que obtiene para los períodos congelados (x) son estables ante los diferentes escenarios.

Existen paquetes de computación específicamente destinados a la solución de problemas con escenarios, pero también se pueden utilizar paquetes estándar, aunque la complejidad anteriormente aludida es una limitación evidente en su uso.

Para resolver problemas estocásticos se recurre básicamente a:

412

con sus restricciones:

La formulación del Problema Lineal Estocástica es la siguiente:

FORMULACIÓN DE UN MODELO DE OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA

• Se resuelven en primer lugar de forma determinística para cada escenario de demanda por separado; luego se soluciona el problema para el valor medio de la demanda.

• Se contrastan las soluciones para ver semejanzas y diferencias entre ellas y a partir de enfoques heurísticos se construyen planes para resolver la incertidumbre. El procedimiento anterior no garantiza la consecución del óptimo; se debe tener en cuenta que la solución óptima estocástica no tiene por qué ser óptima para ningún escenario.

Es importante advertir que una forma de resolver modelos de Optimización Estocástica corresponde a una manera de transformarlo en un modelo determinístico con la ayuda de las funciones de distribución de los coeficientes, equivalentes a los modelos estocásticos.

Finalmente, el tratamiento de esta situación presenta diversos modelos según las aplicaciones que se realicen de acuerdo a los objetivos que se pretendan alcanzar; los enfoques más importantes son:

• Optimización de la esperanza de la función objetivo.

• Minimización de la varianza de la función objetivo.

• Maximización de la probabilidad que la función obj etivo sea mayor o menor que una constante dada.

• Teniendo una probabilidad, maximizar un valor de manera que la función objetivo sea mayor que un valor con la probabilidad dada.

• Optimización de la esperanza de una función de utilidad definida sobre la fúnción objetivo.

Para el tratamiento de este tipo de problemas existen dos técnicas, una conocida como restricciones aleatorias y la obtención de los equivalentes determinísticos.

Una idea básica para la solución de los problemas de Optimización Estocástica es la de recurso, es decir, la posibilidad de corregir las decisiones una vez que ha ocurrido el evento; la dificultad es que esto no siempre es posible, para lo cual se han desarrollado los siguientes procedimientos:

• "Espere y observe": En las cuales las decisiones se toman una vez resuelta la incertidumbre, se resuelve el problema independientemente para cada escenario, un caso particular es el escenario para el valor medio de los parámetros, las decisiones serán diferentes para cada escenario y la solución de un escenario puede ser infactible en otro escenario. Finalmente, una vez que se toma la decisión no es posible corregirla y se debe esperar el resultado general del problema. El decidor espera que la naturaleza fije su estado, la observa y resuelve dicho modelo tomando la decisión.

• "Aquí y ahora": En este modelo las decisiones se toman antes de resolver la incertidumbre, las decisiones sólo pueden utilizar información disponible hasta ese momento, no información futura, las únicas decisiones relevantes son las de la primera etapa, ya que son las que se toman de manera inmediata, la solución de un problema estocástico nos protege de la incertidumbre y permite insertar opciones aversas al riesgo. El tomador de decisiones debe decidir sin que la naturaleza haya determinado su estado.

413

• Decisión en dos pasos: Este es un caso intermedio entre los dos anteriores; es un caso particular de los problemas polietápicos. El primer paso corresponde al modelo aquí y ahora y en el segundo paso estamos en el modelo espere y observe, pues al final el problema de decisión es determinístico, ya que la naturaleza se ha manifestado, lo cual no ha sucedido en el primer caso.

MODELOS Y MÉTODOS DE SOLUCIÓN EN OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA

Está claro que luego de ver las diferentes situaciones presentadas en los problemas de Optimización Estocástica, el enfoque de "espere y observe" es el más sencillo de resolver, el cual termina en un modelo de Programación Lineal determinístico.

Existe un modelo llamado Programación Lineal Estocástica; lo anterior nos indica que los elementos aleatorios pueden estar en la función objetivo, en la matriz de coeficientes tecnológicos y/o en los recursos. Esto nos dice que, a diferencia del modelo determinístico, la naturaleza no está en un solo estado sino que puede presentarse en varios con diferentes probabilidades. En el caso de ser conocida esta ley nos encontramos en un ambiente de riesgo; si es desconocida esta ley nos encontramos en un ambiente de incertidumbre. En el primer caso se dice que la naturaleza sigue una estrategia mixta pero conocida y en el segundo caso decimos que la naturaleza sigue una estrategia mixta pero desconocida. Un problema de incertidumbre se convierte en un problema de riesgo por medio de métodos bayesianos.

El problema consiste en elegir sobre un vector X (xj) que pertenecen a la región convexa que está definida por las restricciones, antes de conocer los valores que toman los elementos aleatorios cj del modelo:

414

con sus restricciones:

para lo cual se tienen, entre otros, los siguientes modelos:

Mode lo de Valor Esperado

Se comienza eligiendo el vector X y se realiza tomando como función objetivo:

donde c. es la esperanza matemática de c, con las hipótesis que la distribución de los elementos c, es

independiente de las variables a optimizar. Por tanto, la decisión x está dada por la solución del problema:

415

con sus restricciones:

el anterior es un problema de Programación Lineal Deterministico. Cuando la hipótesis sobre la distribución de cj no es factible, lo cual ocurre a menudo, es decir, si c¡ depende de x, se puede escribir

y como la esperanza es un operador lineal, la función objetivo es:

La solución corresponde a la del problema:

con sus restricciones:

El anterior problema es deterministico, de programación convexa separable.

Modelo de Mín ima Var ianza

El modelo anterior es un modelo optimista, pues se debe tener en cuenta la aleatoriedad de c. Cuando con ese modelo seleccionamos un cierto se debe tener en cuenta la dispersión que

tendrá en torno a su media ya que por la dispersión una vez tomada la decisión por nos pueden dar valores de menores que los de e x 1 con alguna frecuencia a pesar de ser menores que Por lo anterior, este criterio sólo es aplicable cuando el problema de decisión sobre x se presente un gran número de veces.

Podemos encontrar una solución X que nos satisfaga los valores de la función objetivo C X más concentrada, aunque tenga menor valor para su media. Lo anterior nos lleva a una segunda forma de elegir el vector X tomando como función objetivo la varianza de OPT Z = CX.

Si con este criterio buscamos entre todas las distribuciones C X1 (X1) que nos satisfagan las restricciones, entonces ésta puede ser una solución óptima, la de menor varianza podemos estar en peor situación que con el modelo del valor esperado, pues los valores de la distribución encontrada con este modelo pueden ser muy pequeños. De acuerdo a lo anterior, lo que hacemos es buscar la distribución de mínima varianza entre un conjunto de distribuciones; este conjunto está formado por todas aquellas distribuciones que tienen su media mayor que un valor dado z0 = C0 X0.

La solución x se encuentra minimizando la varianza de la función objetivo haciendo que la esperanza de dicha función sea igual o mayor que un cierto nivel prefijado z, con lo cual el modelo nos queda:

OPT V

Sujeta a:

El cual es un modelo deterministico no necesariamente lineal.

Se supone que Cj es independiente de x¡ y que se conoce la varianza así como la covarianza

La varianza V de la función objetivo viene dada por la función cuadrática siguiente:

Se pueden plantear tres casos:

Lo cual da la siguiente igualdad: En este caso partimos de la función objetivo OPT

con las mismas restricciones, lo cual nos genera un problema de programación lineal

determinístico. Se puede hacer variar zn, considerado como un parámetro para estudiar su efecto sobre V.

ii. Si los elementos c¡ son independientes, es decir,

416

Lo cual nos da un problema de programación convexa separable.

iii. Si V es una forma cuadrática cualesquiera, cuando es semidefinida positiva se puede pasar al caso ii. considerando una transformación lineal, se puede aplicar también un método general de programación cuadrática de Wolfe. En los dos criterios anteriores se toma en cuenta la subjetividad del tomador de decisiones, teniendo en cuenta la función objetivo a optimizar. En el criterio del valor esperado se opta por la solución aproximada, de acuerdo a la ley de los grandes números. En el criterio de mínima varianza, de acuerdo al establecimiento de una cantidad zO de la función objetivo satisfactoria y prefiriendo tener una solución lo más estable posible.

Un método alternativo para eliminar las dificultades del método del valor esperado sería:

Sujeta a:

Donde K es una constante predeterminada que indica el máximo grado de dispersión de los valores de la distribución C X en torno de su media que el tomador de decisiones fija y V es la varianza. Se resuelve aplicando el criterio del valor esperado en el conjunto de distribuciones que tienen su varianza V (z) menor que el nivel fijado a priori, con lo cual se evitan las grandes dispersiones de valores en torno de la media de la distribución, ya que con este modelo esas distribuciones no se consideran: este nroblema es de nroeramación convexa.

Modelo de Mín imo Riesgo a Nivel k

Este modelo consiste en maximizar la probabilidad que la función objetivo sea menor que un valor constante k predeterminado: en este caso los costos c¡ son variables aleatorias de función de probabilidad conocida.

Inicialmente transformaremos este modelo estocástico en un modelo equivalente y determinístico; se supone conocida la función de distribución de las variables aleatorias el problema original es:

417

Como la función de distribución es una función credente, el paso al modelo deterministico es:

418

Donde c0j y c¡j son constantes y t una variable aleatoria de función de distribución conocida, F (t). En estas condiciones tenemos dos casos:

En algunas situaciones reales se puede considerar que los costos cj son funciones aleatorias de una sola variable t:

Sujeta a:

El cual se convierte en:

con sus restricciones:

419

fraccionaria.

Mode lo donde los c. están normalmente distribuidos

En este caso trabajamos con la distribución normal multivariante, como la variable aleatoria n -dimensional.

minimizar: Los casos i y ii se resuelven con algoritmos de programación lineal

El modelo determinístico equivalente es:

restricciones que el problema original.

. Esta nueva variable sigue una N (0,1). Luego el

modelo deterministico equivalente será:

420

distribución una distribución normal:

multivariante: Igual que en el caso anterior, la variable aleatoria tendrá como

En este modelo se fija la probabilidad a y se desea maximizar el valor k; se considera como una variante del modelo anterior; este problema se ha resuelto para el caso particular que las variables aleatorias c¡ están normalmente distribuidas, siendo su distribución conjunta, la distribución normal

Mode lo de Kataoka

anterior se transforma en el siguiente para aplicarle los algoritmos de programación cuadrática fraccionaria:

sujeta a las restricciones originales. El modelo

aleatoria . Luego:

Donde es la varianza es la media de la variable

su distribución será:

sigue una distribución por tanto la variable aleatoria de las

Donde

por facilidad:

es el vector de las medias y es la matriz de covarianza, a la que llamaremos V

Escribimos entonces:

N (0, 1). Parametrizando se puede determinar el valor del cuantil de orden o la abscisa

correspondiente. Representando a este valor por . Luego despejando k:

reemplazando S y M por sus valores nos queda el siguiente problema:

sujeta al mismo sistema de restricciones que el modelo

original.

Modelos con Restricciones Aleatorias

El planteamiento de este modelo corresponde a:

Sujeta a:

Donde la significancia de la doble desigualdad corresponde a que la i - ésima condición puede dejar de verificarse como máximo una proposición de 1 - p¡ veces.

Una manera de resolver este problema es:

i. Se supone conocida la distribución de las variables aleatorias. ii. El modelo se transforma en otro determinístico equivalente.

421

iii. Se debe demostrar que las funciones que intervienen en este modelo son convexas o cóncavas.

iv. Se resuelve aplicando modelos de Programación No Lineal, teniendo en cuenta que las b¡ son variables aleatorias de función de distribución conjunta conocida y las a¡j son variables aleatorias y para cada i la distribución de a¡j es independiente de la de a¡k, j ^ k.

Supongamos que y (bj, b2, b 3 , . . . , bn) es la función de densidad conjunta, por lo cual es posible calcular la marginal correspondiente a b¡:

Cuando le damos el valor a p¡ se puede encontrar un b¡ tal que:

Se debe observar que los valores de M¡ y s¡ contienen a x¡; entonces los valores encontrados para tj dependen de los valores de x¡. De acuerdo a esto, lo anterior sólo es válido si la media y varianza

existen y si t¡ es independiente de x¡. Se aplica si la distribución de es la misma que la

de

422

i. Cuando las variables son independientes y normalmente distribuidas

423

Modelos con Restricciones Conjuntamente Distribuidas

El modelo estudiado inieialmente era

Sujeta a:

¡i. Cuando las variables son dependientes y normalmente distribuidas

Realizando las mismas consideraciones que en el caso anterior, obtendremos que la condición

i - ésima es equivalente a

Donde V¡ es la matriz de covarianzas de los elementos de la fila i - ésima.

Donde es el fractil de orden p¡.

típica uno, entonces la condición , lo cual es equivalente a:

Luego se tipifica y como esta variable está distribuida según una normal de media cero y desviación

entonces u¡ está normalmente distribuida con media y varianza:

distribuidas con media y vananzas , luego si definimos por

Supone que para la restricción i - ésima las variables son independientes y normalmente

Las distribuciones marginales conjunta es:

se suponen conocidas y continuas y la distribución

424

Los modelos determinísticos que se obtienen son:

El anterior modelo se resuelve en dos casos particulares:

A) El número de restricciones queda limitado a dos y las variables aleatorias tienen como distribución la normal.

B) Se da una cota inferior de la restricción anterior, teniendo en cuenta la desigualdad:

cóncava y se le pueden aplicar los algoritmos de la Programación No Lineal.

Luego se estudió un modelo con condiciones de la forma:

en otras que lo sean aplicando logaritmos: . La anterior función generalmente es

En general se puede determinar que las funciones G¡ no son cóncavas, pero se pueden transformar

Si se hace G¡ = 1 - F¡ entonces la condición deterministica equivalente a la del modelo estocàstico es:

Es decir, las variables b], ... , bm son independientes.

Los elementos de las matrices c, q, A, M y T son variables aleatorias independientes con función de distribución conocida; W y representa la compensación para los errores que tienen lugar en el problema bajo riesgo siendo la correspondiente función de pérdida d 'y;Nz representa la compensación

425

Sujeta a:

Estos modelos permiten intercambios entre los atributos. Este modelo corresponde a la siguiente formulación:

Modelo con Compensación Lineal

En lo anterior se ha supuesto que las variables aleatorias son los coeficientes y los , en tanto que los Cj permanecen constantes. Luego de demostrar que todas las funciones que intervienen son convexas o cóncavas, el modelo se resuelve por Programación No Lineal.

Donde las z¡ son las variables tipificadas.

Modelo P,:

MIN c' X

Modelo P2:

MIN c' X

por las inexactitudes encontradas cuando se toma una decisión sin tener un conocimiento previo de M y q, la pérdida correspondiente debida a la incertidumbre viene reflejada en la función objetivo por la expresión

En este modelo se supone la normalidad de las variables aleatorias, la transformación del problema en otro determinístico, la demostración que las variables que intervienen en el nuevo modelo son convexas o cóncavas y se debe resolver aplicando uno de los métodos de Programación No Lineal.

PROGRAMACION LINEAL ESTOCASTICA

Una alternativa a la solución deterministica corresponde a la Optimización Estocástica con Recurso, la cual consiste en la posibilidad de corregir las decisiones tomadas inicialmente, o sea antes que se realice el suceso aleatorio.

Los problemas lineales estocásticos los podemos modelizar como la adición de minimizar (maximizar) el costo de las decisiones del primer período más el costo esperado de las decisiones corregidas de la segunda etapa:

Sujeta a:

Donde Q (x, w) = MIN d (w) y

Sujeta a:

En la función objetivo Z el primer término minimiza el costo de las decisiones (x), mientras que el segundo término es el costo esperado de O (x, w) sobre todos los posibles escenarios que satisfacen las restricciones

El costo corregido Q depende tanto de las variables del primer período (x) como de los eventos aleatorios (w). El segundo problema lineal describe cómo elegir las variables y (w), la cual corresponde a una decisión diferente para cada uno de los escenarios, que minimiza el costo d (w) y, sujeto a la función recursiva: T (w) x + W (w) y (w) = h (w). Esta restricción puede interpretarse como la acción necesaria para corregir el sistema después de ocurrir el suceso w.

Se debe destacar que en los programas estocásticos, las decisiones del primer período (x), son independientes del escenario que pueda suceder en el segundo período; dado que el futuro es incierto, las decisiones de hoy no pueden tomar en consideración lo que ocurrirá en el futuro (propiedad de no anticipación). Ejemplo:

426

Sujeta a:

Donde bj y b2 son variables aleatorias con idéntica distribución igual a F (b). Utilizando la teoría anterior el problema se convierte en:

Las condiciones de optimización conducen a:

De las anteriores ecuaciones obtenemos:

Donde es la distribución inversa de F; la decisión óptima es producir un poco más de la mediana de la demanda.

En la Optimización Estocástica también se presenta el problema del transporte, en los cuales las variables aleatorias con distribución de probabilidad conocida corresponden a las demandas y/o ofertas.

Optimización Estocástica de Doble Etapa y Mult ietapa

Si se tiene el siguiente modelo:

427

428

Ejemplo

Suponemos una matriz M dada por:

Los problemas de planificación dinámica deben proporcionar decisiones óptimas para momentos discretos en el tiempo; éstos se conocen genéricamente como problemas lineales multietapa. Aparecen en el estudio de procesos dependientes del tiempo, donde las actividades de un período están conectadas con las del período anterior, pero no con otros.

• El valor de cada variable aleatoria es independiente de los niveles de todas las variables de decisión.

• Los niveles de las variables de decisión deben fijarse antes que se conozcan los valores exactos de las variables aleatorias. Esta suposición corresponde a la primera etapa; la segunda etapa es estocástica.

• Las restricciones contienen únicamente las variables de la primera etapa (las variables de decisión) y los valores asociados de a¡j y b¡ se conocen con exactitud.

• Siempre existen valores factibles para las llamadas variables de la segunda etapa; éstos se establecen después de conocer los valores de las variables aleatorias.

• Existe un número finito de posibles valores de la variable aleatoria y de los coeficientes determinísticos.

En estas estructuras aleatorias se encuentra un problema complejo de solucionar: si alguna componente a¡j de A o b, de B es una variable aleatoria, su restricción se debe resignificar en el sentido de que una solución es factible, sólo si satisface la restricción para todos los valores posibles de las variables aleatorias.

En este algoritmo se suponen las siguientes hipótesis:

Donde los vectores c, b y la matriz A tienen componentes aleatorias. La función objetivo se convierte en variable aleatoria, entonces el valor esperado es:

Sujeta a:

MAX Z = c X

Donde los elementos c¡, c2, a31 y a32 son variables aleatorias; suponemos que los valores de c 1 y a31 son (3, 3) y (4, 2) y que para c2 y a32 son (5, 2) y (4, 3). Entonces la matriz puede adoptar las siguientes estructuras:

Además conocemos la probabilidad pk que M se convieta en Mk, k = 1, 2, 3, 4 y que ésta es igual a P i = P2 = P3 = P4 = 0,25. También suponemos que los valores adoptados por cj, c2, a31 y a32 se conocen antes de obtener una decisión final en la variable X[ y X2 respectivamente. Por lo tanto:

Sea el valor asignado a la variable X| cuando se observan las matrices , es decir, cuando se conoce que las variables aleatorias c¡ y a3) adoptan los valores (3, 3) respectivamente; sea

el valor que se asigna a la variable X) cuando se observan las matrices , es decir, cuando se conoce que las variables aleatorias cj y a3I adoptan los valores (4, 2) respectivamente. De igual

forma el valor asignado a la variable X2 cuando se observan las matrices , es decir,

429

cuando se conoce que las variables aleatorias c2 y a32 adoptan los valores (5, 2) respectivamente; sea el valor que se asigna a la variable cuando se observan las matrices , es decir, cuando

se conoce que las variables aleatorias C! y a31 adoptan los valores (4, 2) respectivamente. Entonces:

El programa lineal equivalente al estocástico consiste en encontrar los vectores X1, X2, X3 y X 4 :

Sujeta a:

Como las restricciones 5, 7, 10 y 11 son redundantes se pueden eliminar; entonces el modelo anterior es equivalente a:

430

Sujeta a:

La solución, por medio del programa WINQSB corresponde a:

OPTIMIZACIÓN NO LINEAL ESTOCÁSTICA

El problema de Optimización No Lineal Estocástica se puede plantear así:

Sujeta a:

Xj, j = 1, 2, 3, ... , n Xj variable no restringida en signo

Donde b¡ y dj son variables aleatorias con valor esperado conocido para toda i = 1,2, 3, . . . , m y j = 1, 2, 3, ... , n; los demás parámetros son determinísticos. Uno de los modelos sugeridos para este problema consiste en el método de solución de doble etapa. En la primera etapa se definen los valores

431

de todas las variables que se deben conocer antes de saber los valores de cualquiera de las variables aleatorias. Para resolver este problema se aplican los siguientes pasos:

• Se reemplazan en el modelo anterior los valores esperados de d¡ y b¡, j = 1, 2, 3, . . . , n; i = 1, 2,3, ... ,m.

• Se sustituye en la función objetivo.

• Se agrupan términos en en la función objetivo resultante.

• El problema no restringido se resuelve igualando a cero todas las derivadas parciales de la función objetivo con respecto a cada una de las Xj, j = m + 1, . . . , n y solucionando el sistema de (n - m) ecuaciones lineales resultante.

• Conocidas las que resuelven el sistema de ecuaciones del paso anterior, se obtienen del reemplazamiento del segundo paso las X¡ óptimas, i = 1, 2, 3, . . . , m .

• El procedimiento se repite cuando se conoce el siguiente conjunto de variables aleatorias.

Existen algunos problemas de éstos de naturaleza cuadrática y no restringida.

OPTIMIZACIÓN ROBUSTA

Consiste en una nueva aproximación a la solución de problemas en ambiente de incertidumbre, que combina las aproximaciones del análisis de sensibilidad y la programación por objetivos; para plantear un modelo de optimización estocástico, se definen dos grupos de variables:

x e Mnl que representa el vector de las variables de decisión cuyos valores óptimos no están condicionados por la realización de la incertidumbre de los parámetros.

y e IR."2 que representa el vector de variables de control que están sujetas al ajuste una vez se ha observado la incertidumbre de los parámetros; su valor depende, tanto de la realización del escenario como del valor óptimo de las variables de decisión. Estas últimas son las que determinan qué tipo de estructura de proceso se debe utilizar.

Para definir un problema de optimización robusta se debe introducir un conjunto de escenarios; con cada escenario se asocia un conjunto de realización de los coeficientes de las diferentes variables de control y también la probabilidad de este escenario.

El término robusto lo podemos aplicar con dos significados: relacionado con la optimalidad y relacionado con la factibilidad. La solución óptima es robusta con respecto a la optimalidad si se mantiene cerrada en el óptimo, es decir, si varía muy poco de la solución óptima, para la realización de cualquier escenario. En el caso que se mantenga factible para cualquier realización, entonces el modelo es robusto con relación a la factibilidad.

432

Se presenta pocas veces que una solución del problema se mantenga, tanto óptima como factible para todos los escenarios. Por lo anterior, es necesario medir la desviación entre la robustez de la solución y el modelo. Para realizar esta medición se introduce el conjunto de variables de control para cada escenario y el conjunto de vectores de errores que mide la infactibilidad de las restricciones de control bajo cada escenario. El primer término de la función objetivo se llama función agregada; para definirla se deben considerar múltiples escenarios. La función objetivo es una variable aleatoria; se puede hacer que la función agregada tome el valor medio, lo cual representaría la función usada en la formulación de los problemas lineales estocásticos o tomar el valor máximo, el cual corresponde al método del peor caso. También se pueden introducir momentos de orden superior de la distribución; esta posibilidad es una de las diferencias con la programación estocástica.

El segundo término de la función objetivo es una función de penalización de factibilidad; se usa para penalizar las violaciones de las restricciones de control bajo los diferentes escenarios. La ponderación se usa para obtener el espectro de las respuestas de la desviación de la solución para la robustez del modelo.

Lo que diferencia la optimización robusta de otros procedimientos con datos inexactos es la introducción de la función de penalización; el modelo reconoce que no es posible encontrar soluciones factibles bajo todos los escenarios y genera decisiones que, analizadas por el tomador de decisiones, pueden presentar el menor número de infactibilidades.

Algunas funciones de penalización son aplicables a problemas con restricciones de igualdad, en donde las desviaciones de las restricciones, tanto positivas como negativas, son no deseables. Otras funciones de penalización son aplicables a las restricciones de control de desigualdad, cuando sólo tienen interés las violaciones de las restricciones en sentido positivo. Se concluye que el modelo propuesto anteriormente toma la forma de objetivo multicriterio.

REDES ESTOCÁSTICAS

Una red estocástica corresponde a un conjunto de nodos y arcos que corresponden a operaciones lógicas y distribuciones de probabilidad asociadas a la realización de ciertos eventos aleatorios, estas redes se conocen con el nombre de GERT (Evaluación y Revisión Técnica de Gráficas). Por medio de esta técnica se analizan sistemas bastante complejos.

Las redes estocásticas se estructuran de tres maneras: en serie, en paralelo y en circuito. Los elementos probabilísticas de GERT son de naturaleza multiplicativa y las variables de tiempo son aditivas; se requiere de una transformación para hacer congruente la naturaleza de ambos parámetros; la transformación sugerida para GERT corresponde a las funciones generadoras de momentos, que convierten la característica aditiva del parámetro tiempo en multiplicativa, haciéndola congruente con la del parámetro probabilístico.

Uno de los métodos para solucionar analíticamente una red estocástica genera los siguientes pasos

433

• Se transforma la descripción cualitativa del sistema bajo estudio en una red estocástica tipo GERT.

• Se consigue para la red toda la información asociada al tiempo necesario para realizar cada actividad, así como la probabilidad de la realización.

• Se emplean las funciones generadoras de momentos para compactar la red a su mínima expresión posible.

• Se realizan inferencias estadísticas (cálculo de valores esperados, desviaciones estándar, entre otros) de las diferentes porciones de la red, utilizando las derivadas de orden correspondiente de las funciones generadoras de momentos.

Esta solución analítica se ha aplicado a la solución de diversos problemas, sin dificultades mayores. Pero es de advertir que para sistemas complejos pueden resultar bastantes tropiezos, se ha generado en FORTRAN un lenguaje de simulación llamado GERTS III para analizar y solucionar este tipo de redes. Algunas de las aplicaciones de GERT se presentan en problemas de sistemas de inventarios y líneas de producción.

Redes Bajo Incert idumbre

Resuelven problemas más complejos que la programación lineal bajo incertidumbre, debido a su estructura de red.

En estas redes el flujo de salida de un nodo es una variable aleatoria con distribución de probabilidad conocida; la estructura básica de las redes bajo incertidumbre considera dos tipos de nodos: de replicación y de recolección. Un nodo de replicación tiene una entrada sencilla y varias salidas; se le asocia la propiedad que el flujo en cada una de las salidas debe ser igual a la entrada. El nodo recolector funciona de manera opuesta al anterior.

La esencia de este método consiste en estructurar un problema aleatorio por medio de nodos de replicación y de recolección y construir una red con un solo origen y un solo destino; a esta red se le aplica un algoritmo similar al del flujo máximo a costo mínimo, pero con ciertos ajustes.

EJERCICIOS RESUELTOS

I • Encontrar el modelo determinístico equivalente a:

M I N W = ( 2 + 3 t ) X] + ( 1 + 2 t ) X 2 + ( 4 + t ) X 3

Sujeta a:

434

Donde t es una variable aleatoria con función de densidad:

y supuesto que se ha fijado un nivel de riesgo k.

La función objetivo en este caso es:

Para nuestro caso esta probabilidad es:

Sujeta a:

Este problema se transforma en:

Resolver el siguiente modelo mediante el método de las dos fases:

435

Sujeta a:

M I N W = XI + X2 + X3

436

Entonces el mínimo es:

Para abreviar la notación hagamos:

I = 2 X, + X2 + 3 X3

Sujeta a:

Fijando Xi , X2 y X3 lo transformamos en el siguiente:

Sujeta a:

Este problema se puede escribir:

Se introducen las variables auxiliares:

suponiendo que los costos de penalización son gi = 4 y h] = 6.

Donde V es una variable aleatoria con función de densidad: