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Sistemas no lineales, caos y

fractales

Objetivos

• Comprender la diferencia entre simplicidad y complejidad.

• Demostrar como nace el caos a partir de sistemas determinísticos sencillos.

• Obtener una visión de los modelos no lineales caóticos en biología, fisiología y anatomía.

• Comprender la relación entre el caos y los fractales.

• Analizar algunos ejemplos interesantes de la aparición de estructuras fractales en la naturaleza.

Observación

• Caos no es una técnica de modelización, es

una propiedad matemática de algunas

ecuaciones determinísticas.

Organización

• Introducción y Motivación

• Simplicidad vs Complejidad

• Estabilidad y Caos.

• Caos en sistemas discretos:

– La ecuación logística.

• Caos en sistemas continuos

• Fractales.

¿Quién creo el caos?

• Un médico, un ingeniero civil y una informática estaban discutiendo

acerca de cuál era la profesión más antigua del mundo. El médico

señaló: “Bueno, en la Biblia dice que Dios creó a Eva de una costilla

que le quitó a Adán. Evidentemente, esto requirió cirugía, y por eso

bien puedo afirmar que la mía es la profesión más antigua de mundo.”

El ingeniero civil interrumpió y dijo: “Pero incluso antes, en el

Génesis, se dice que Dios creó el orden de los cielos y la tierra a partir

de caos. Esta fue la primera y desde luego la más espectacular

aplicación de la ingeniería civil. Por lo tanto, querido doctor, está usted

equivocado: la mía es la más antigua de las profesiones.” La

informática se reclinó en su silla, sonrió, y dijo tranquilamente: “Pero

bueno, ¿quién piensan que creó el caos?”

G. Booch, Complejidad.

Caos vs Cosmos

• Caos (“χάος”) es el estado sin forma y

vacio que precede a la formación del

cosmos en las cosmogonías antiguas.

• Cosmos (“κόσμος”) es un sistema

ordenado o armonioso. Deriva del

término griego que significa orden.

Es la antítesis del caos.

2

Del Caos al Cosmos

• Auto-génesis (p.ej. Egipcios) vs Creación.

• “En el principio era el verbo y el verbo

estaba en Dios, y el verbo era Dios. Todas

las cosas fueron hechas por Él y sin Él no

se hizo nada de todo lo que existe.” (Jn 1:1)

Notas históricas

• 500 a.C.: Leucipo de Mileto

– Determinación ontológica:

• “Nada sucede porque sí, sino que todo sucede con

razón y por necesidad”,

• Esta formulación es la que ha pasado a la

Filosofía con el nombre de principio de

causalidad o principio de razón

suficiente.

Notas históricas

• 1776: El determinismo laplaciano

– Laplace, matemático francés, afirmaba que, si

se conociera la velocidad y la posición de todas

las partículas del Universo en un instante, se

podría predecir su pasado y su futuro.

Notas históricas

• 1903: El cuestionamiento de Poincaré

– Henri Poincaré, matemático francés, fue el

primero en pensar en la posibilidad del caos, en

el sentido de comportamiento que dependiera

sensiblemente en las condiciones iniciales.

“El azar no es más que la medida de

la ignorancia del hombre”

Notas históricas

• 1920: El debate Bohr-Einstein

– Aparece la teoría cuántica y toma fuerza el

indeterminismo. Se retoma la discusión acerca

de la existencia de un azar objetivo y no

meramente epistemológico. Se cuestiona el

principio de causalidad.

Einstein: “Dios no juega a los dados”,

Bohr: “Señor Einstein, ¡deje de decirle a

Dios lo que debe hacer!”

Notas históricas

• 1961: Edward Lorenz (meteorólogo MIT): – Realizó predicciones con 12 ecuaciones y 6 cifras decimales.

– Luego utilizó sólo 3 cifras decimales.

– Encontró diferencias significativas en los pronósticos.

– Simplificó el sistema a sólo tres ecuaciones.

– Encontró sensibilidad importante a las condiciones iniciales.

– Comportamiento que parecía aleatorio con ecuaciones determinísticas.

Descubrimiento “casual”

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Notas históricas

• 1961: Edward Lorenz (meteorólogo MIT): – Graficó la salida obteniendo un espiral doble, un número 8

“acostado”, como las “alas de una mariposa”.

– A este comportamiento se le dio el nombre de “efecto mariposa”.

– Surge teoría del caos.

"el aleteo de las alas de una mariposa

puede provocar un tornado al otro

lado del mundo"

Notas históricas

• 1997: Ilya Prigogine (Premio Nobel 1977):

– Publica su libro “El fin de las certidumbres”: afirma que el determinismo no es una creencia científica viable, es fundamentalmente una negación de la “flecha” del tiempo y pierde su poder explicativo frente a la irreversibilidad y la inestabilidad (por ej. en sistemas caóticos).

– Otro libro “Explorando la Complejidad”

“Cuanto más sabemos acerca de nuestro

universo, más difícil se vuelve a creer en

el determinismo.”

Complejidad vs simplicidad

• No hay una definición unánime acerca del significado del término “complejidad”.

• Proviene del latín “complectere”, cuya raíz “plectere” significa trenzar, enlazar. El prefijo “com” añade el sentido de la dualidad de dos elementos opuestos que se enlazan íntimamente, pero sin anular su dualidad.

• Se utiliza para caracterizar algo (i.e. un sistema) con muchas partes, de índole diversa, que forman un arreglo intrincado y que interactúan entre sí.


• Enfoque clásico “lineal” y reduccionista de la causalidad:

– sólo mediante las leyes probabilísticas es posible obtener conocimiento científico “causal”,

– grandes causas se corresponden siempre con grandes efectos y viceversa.

• Enfoque “de la complejidad”:

– la causalidad surge y se diluye en una topología de redes de interacciones no lineales distribuidas,

– emergencia de fenómenos de auto-organización.


• El enfoque “de la complejidad” está llamado a transformar profundamente el marco teórico y conceptual de la ciencia:

– distinguir cuándo nos enfrentamos a un problema complejo o a uno lineal,

– reconocer cuando uno se transforma en el otro;

– reconocer leyes, principios y categorías que rigen la causalidad en la complejidad,

– construir modelos matemáticos para el estudio de los sistemas complejos,

No todos los sistemas complejos generan caos

Estabilidad, orden y caos

• Generalmente tendemos a tratar con situaciones estables.

• En caso contrario:

– Si los cambios duran muy poco tiempo en relación a los períodos estables los ignoramos.

– Si los cambios duran un cierto tiempo tratamos de encontrar alguna regularidad en ellos y de no encontrar ningún patrón estable los encasillamos dentro de los ruidos o los tratamos como fenómenos aleatorios.

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• La teoría del caos retoma estos últimos

casos: – Ciertos sistemas no lineales muestran un

comportamiento impredecible a pesar de no

tener ninguna influencia del azar y ser

enteramente determinísticos.

– Llamativamente esto puede suceder en sistemas

extremadamente simples.


• En estos sistemas no lineales puede identificarse un parámetro del cual depende su comportamiento.

• Cuando este parámetro cambia podemos encontrarnos con un comportamiento: – Ordenado: puntos fijos o ciclos límite en el

espacio de fase. – Desordenado: atractores extraños en el espacio

de fase.

Preguntas importantes

• ¿Qué es un atractor?

• ¿Qué es una bifurcación?

• ¿Qué son los mapas iterados?

• ¿Qué son los exponentes de Lyapunov?

• ¿Qué sistemas pueden producir caos?

• ¿Como identificar el caos?

Atractor

• Un atractor es un objeto matemático en el

cual la dinámica de un sistema queda

eventualmente confinada.

• Cualitativamente, el objeto es el conjunto de

soluciones de las ecuaciones dinámicas

cuando al sistema se le permite “correr”

durante mucho tiempo.

Tipos de Atractores

• Punto fijo: es sólo un nombre

elegante para un punto de equilibrio.

• Ciclo límite: es una curva cerrada

que representa las soluciones

repetitivas.

• Toroidal: es una superficie en el

espacio de fase en forma de anillo,

que puede ser estirada y retorcida.

• Extraño: es una superficie similar

pero más complicada a la que las

soluciones se limitan.

Bifurcaciones

• Una estructura se bifurca cuando se divide

en dos ramas, como en los caminos o las

ramas de los árboles.

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Bifurcaciones

• La palabra se aplica a ecuaciones ya que

cualitativamente se puede representar a las

posibles soluciones de una ecuación como

un camino por el que atravesamos, no a

través del tiempo o espacio físico, sino a

través del espacio de los parámetros.

• El parámetro que se altera es llamado el

parámetro de control.

Del orden al caos: Bifurcaciones

• Cuando variamos continuamente este

parámetro encontramos que existe un

período en el que el sistema pasa de la

estabilidad al caos.

• Las bifurcaciones consisten en una pérdida

de la estabilidad de una solución atractiva

dando lugar a otra de periodicidad doble.

Diagrama de Bifurcaciones

• Los efectos del parámetro de control sobre

la dinámica cualitativa están representados

en el diagrama de bifurcación, que es una

gráfica x-y con el parámetro de control en el

eje de abscisas y los valores a largo plazo de

la variable de estado en la ordenada.

Algoritmo p/Diagrama de

Bifurcaciones 1. Establecer valor inicial y máximo del parámetro y N° de

valores a muestrear.

2. Ejecutar la simulación durante M pasos de tiempo (para

que el sistema se establezca en el comportamiento de largo plazo).

3. Mientras que el valor del parámetro sea inferior al

máximo, hacer:

1. Ejecutar la simulación durante M pasos de tiempo adicionales.

2. Guardar una muestra de la dinámica [por ejemplo, encontrar los

picos (caso continuo), o guardar el valor actual (caso discreto)].

3. Incrementar el valor del parámetro y volver al paso 1.

M ~ 200 a veces más, diferentes condiciones iniciales…

Ecuaciones de recurrencia

• Podemos expresar en forma genérica la solución

de una ecuación en diferencias de primer orden y

tiempo discreto mediante la siguiente expresión:

donde k es algún parámetro de la función F.

x F xn k n 1 ( )

Ecuaciones de recurrencia

• La iteración de un sistema lineal sólo puede dar

lugar a una sucesión creciente, o a una sucesión

que converge a cero.

• La dinámica iterativa de ecuaciones no lineales

puede dar lugar a comportamientos “extraños”.

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Recurrencia con la calculadora...

• Ponga el modo radianes para la unidad angular.

• Elija un número inicial cualquiera.

• Pulse una y otra vez el botón de la función coseno.

• La serie de números que aparece en la pantalla oscilará y al cabo de un cierto número de pasos se aproximará a un valor estable y no habrá más cambios:

• Dicha serie de números recibe el nombre de órbita, y el punto final se llama punto fijo estable.

3.00000000000000000000000000000000

-0.98999249660044545727157279473126

0.548696133603097038516641574908931

0.85320531150574707016222532057684

...

0.739085128310922996144139146959862

Mapas iterados

• Una forma de representar la

evolución de un sistema

dinámico discreto es a través de

mapas iterados o diagramas de

recurrencia.

• Colocamos en las abcisas los

valores de xn+1 (=y) y en las

ordenadas los de xn (=x).

• Luego dibujamos la función yA=

g(x) = F(xn) y la recta yB=x que

representa xn+1= xn.

Punto fijo

x F xn k n 1 ( )

Mapa iterado del coseno

1 cos( )n nx x

0.739085128310922996144139146959862

x

n

x

y

Atractor o punto fijo estable

• En el siguiente mapa iterado se encuentra nuevamente un punto fijo estable o atractor para la salida del sistema.

• En este caso también se cumple que cuando t la salida del sistema se aproxima a la intersección de la recta yB=x con la función yA=g(x).

• En este caso, el punto fijo del mapa de recurrencia se corresponde con un punto crítico estable en el plano de fase del sistema dinámico equivalente.

Puntos fijos inestables Condición de estabilidad

• La condición de estabilidad de un punto fijo

xn* es:

• La derivada F’ puede calcularse derivando a

F o por medio de:

F xn '( *) 1

F xF x F x

nn n

' ( ) = lím( ) ( )

0

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Una medida del caos

• En las dinámicas caóticas encontramos existe una gran dependencia de las condiciones iniciales.

• La separación de órbitas vecinas está dada en promedio por una función exponencial (no necesariamente exacta).

• Es por esto que en la práctica se hace imposible predecir el comportamiento futuro.

• Estas ideas pueden ser cuantificadas mediante la utilización de los exponentes de Lyapunov.

Exponentes de Lyapunov

• La iteración de una ecuación de recurrencia

a partir de los valores iniciales x0 y x0 + da

como resultado:

• Supongamos que existe un k tal que:

F x F xkn

kn( ) y ( + )0 0

.

0 0( + ) ( ) . knn n

k kF x F x e

n: iteración, k: parámetro


• A medida que 0 y n siempre que también 0, tendremos:

que expresa la separación exponencial promedio entre la órbita partiendo de x0 y la órbita partiendo de x0 + .

.. kne

.0( ) k

nnk

n

dF xe

dx


• Luego podemos escribir:

• Si este límite existe, k es una medida de la separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos de una órbita alrededor de un atractor.

01 2 0

( )1 1lím ln lím ln '( ). '( )... '( )

n

kk k n k n k

n nn

dF xF x F x F x

n dx n

1

0

1lím ln '( )

n

k k in

i

F xn

Regla de la Cadena


• Separación exponencial promedio de las órbitas vecinas a todos los puntos de una órbita alrededor de un atractor.


• Para ciclos estables k < 0 y las órbitas convergen.

• Para atractores extraños encontramos que k > 0 y

las órbitas no convergen.

• Siendo cuando ocurre una bifurcación

tenemos entonces k= 0.

• Se llaman ciclos superestables cuando k - ya

que en estos casos y la velocidad de

convergencia a la estabilidad es máxima.

'( ) 1k nF x

'( ) 0k nF x

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Caos en sistemas discretos

La ecuación logística

Ejemplo: la ecuación logística

• Una de las ecuaciones más sencillas que describen sistemas caóticos.

• Está inspirada en un modelo poblacional (Lotka-Verhulst):

Población de N(t) individuos y recursos limitados dados por r

dN

dtr N

N

N

1


• Si discretizamos esta ecuación utilizando el método de Euler podemos llegar a:

Nt +1 = k Nt (1- Nt ), 0 < N < 1,

donde k juega el papel de r.

• Esta ecuación de recurrencia se denomina ecuación logística.


• Observación:

– Este modelo demográfico simple de tiempo

discreto podemos considerarlo basado en

generaciones.

– Puede considerarse que cada 20 años aparece

una nueva generación, por lo que no es

necesario considerar los instantes de tiempo

intermedios.

¿Que pasa cuando cambiamos k?



• En la notación anterior:

• En este caso tendremos puntos fijos de la

recurrencia cuando:

F N k N Nk t t t( ) ( ) . 1

F N N k N kNk t t t t( ) ( - ) + 121 0

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• Para k < 1 (mortandad mayor que natalidad)

la ecuación anterior posee una única

solución Nt(1)=0.

• Para k >1 encontramos dos soluciones:

(1) (2) 10 y =t t

kN N

k

• Para k = 2.9 tenemos el siguiente resultado:



• En el contexto demográfico:

– la vida no aparece espontáneamente de la nada,

pero si hay una cantidad de individuos, por

pequeña que sea, la especie no desaparecerá (en

este modelo simple), sino que tenderá a un

valor estacionario no nulo que dependerá de la

cantidad de alimento disponible.


• Para llegar a un punto fijo en la recurrencia

debe cumplirse que:

• Entonces:

F N k Nk t t'( *) ( *) 1 2 1.

1 1F N kk t'( )(1)

1 2 1F N kk t'( )(2)


• Para k > 3 ambos puntos

fijos son inestables.

• La desestabilización de Nt(1)

cuando k=1 se produce

porque F1’(0)=1.

• Para Nt(2) en k=3 tenemos

F1’(0)= -1. Así en k=3 se

produce la bifurcación o

duplicación de período.

• Para k = 3.1 se produce la bifurcación:


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• Ahora la comida ha aumentado hasta el punto en que una generación pequeña dispone de tanto alimento que tiene un rápido crecimiento de forma súbita, mientras que en la siguiente generación hay demasiados individuos pero una cantidad insuficiente de comida, por lo que la población vuelve a bajar en la siguiente generación, y así sucesivamente.

• Este comportamiento estable puede observarse en algunas colonias de bacterias.


• Si seguimos aumentando k, este ciclo de periodo 2 se convierte en un ciclo de periodo 4, después en uno de periodo 8, y así sucesivamente.

• En cada bifurcación, el sistema sufre un cambio drástico en su comportamiento a largo plazo.

• Para k > 3.5699 el sistema ya no sigue un ciclo periódico, sino que siempre varía sin repetirse a sí mismo.

• Este comportamiento recibe el nombre de caos.


• Para k = 3.9 tenemos:


• Si representamos los puntos fijos estables, o los puntos

pertencientes a ciclos estables, en función de k, se puede

ver que cada uno de los ciclos se bifurca en otro de periodo

doble que el original.


N,k

k Diagrama de bifurcación

• Por encima de k=3.5699 el comportamiento es caótico, por

lo que un continuo puntos corresponden a un mismo valor

de k (la órbita ya no es periódica, y toma infinitos valores

de Nt).

• Se puede apreciar la “autosemejanza” típica de las

estructuras fractales.


N,k

k Diagrama de bifurcación


N,k

k

k

• Existen ventanas de comportamiento periódico en la zona

caótica. El exponente de Lyapunov predice éstas

haciéndose repentinamente negativo.

• Las bifurcaciones se corresponden con los k=0.

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• Conclusión: Un sistema tan sencillo como el descripto

por la ecuación logística puede presentar, bajo ciertas

condiciones, comportamiento caótico y estructura fractal.

N,k

k

Caos vs inestabilidad numérica

Condiciones iniciales Observación

• Si las condiciones iniciales fueran

exactamente las mismas, las trayectorias

también serían exactamente iguales porque

las ecuaciones siguen siendo

determinísticas.

Caos en sistemas continuos

Vance / Lorenz


• La discusión anterior se basó en ecuaciones

en diferencias finitas, es posible también

que surja caos en sistemas continuos.

• Pero el sistema debe tener por lo menos tres

variables de estado.

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• Ejemplo: Modelo de dos presas y un

predador (Vance 1978)


Ecuaciones de Lorenz

Identificando el caos

Series de tiempo

“Firmas” del caos

• Es sorprendentemente difícil determinar sin

ambigüedad la existencia de caos en series

de tiempo teóricas o empíricas.


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“Firmas” del caos “Firmas” del caos


• Sugihara (1994):

1. Patrones en la serie de tiempo (o su espectro).

2. Estructura en el espacio de fase (atractores).

3. Dimensionalidad de esta estructura (fractal).

4. Sensibilidad a condiciones iniciales.

5. Controlabilidad de la serie de tiempo.



• Dimensionalidad de la estructura:

– Dimensión de correlación (Mullin 1993).

• Sensibilidad a las condiciones iniciales:

– Exponentes de Lyapunov.

– Predictibilidad.

• Controlabilidad:

– Control de un sistema caótico (Ott y Yorke

1990).

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Ejemplo: Escarabajos Tribolium Ejemplo: Escarabajos Tribolium

Ejemplo: Escarabajos Tribolium Caos en biología

• ¿Existe el caos biológico o sólo existe el

caos matemático?

• En el caso que exista, ¿Es algo común en la

naturaleza?

• ¿Puede aparecer caos en un sistema

fisiológico saludable o indica la presencia

de enfermedad?

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Fractales Fractales en la naturaleza

• “Las nubes no son esferas, las montañas no

son conos, y la luz no viaja en línea recta.

La complejidad de las estructuras de la

naturaleza difiere en tipo, no meramente en

grado, de aquella proveniente de las formas

de la geometría ordinaria”.

Fractales en la naturaleza Fractales en la

naturaleza

Fractales en la naturaleza

Brocoli Romanesco


• Montañas

“fractales”

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• También es posible

modelizar mediante

geometría fractal

diversos procesos

naturales como, por

ejemplo, los

procesos erosivos

sobre un terreno.


• Un ejemplo clásico de estructura fractal se

observa en hidrodinámica cuando un fluido

poco viscoso desplaza a otro más viscoso. La

interfase que se crea tiene estructura

compleja.

Fractales en Fisiología

• Estructura del árbol bronquial.


• Estructura del árbol arterial.


• Estructura del cerebro.

Señales Fractales

• Señal artificial.

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• Señal de EEG.


• Señal de

VFC.

Fractales en Biología

• Crecimiento

bacteriano en

una cápsula

de Petri.

Fractales en las Matemáticas

• Desde principios del siglo XX matemáticos

como Cantor , Poincaré o Julia , se

interesaron por el estudio de objetos extraños

(“monstruos matemáticos”) que no encajaban

en las ideas de la geometría clásica.

• Muchos de estos objetos se construían

mediante algoritmos iterativos, partiendo de

un “iniciador” y aplicando reiterativamente un

conjunto de transformaciones.

Fractales en las Matemáticas

• De esta forma se

pueden definir gran

cantidad de objetos

matemáticos con

propiedades comunes,

como la

autosemejanza .

Longitud infinita encerrada en

un área finita!!!!

Fractales: el conjunto de

Mandelbrot • Si consideramos ahora

iteraciones de la función z2+c, para distintos valores de c (complejo).

• Y graficamos aquellos valores de c donde la órbita está acotada.

• Encontramos un objeto que posee estructura a cualquier escala y contiene copias de sí mismo.

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Fractales: el conjunto de

Mandelbrot Como generar el Conjunto de Mandelbrot

• Se genera estudiando el comportamiento de la iteración de la ecuación

compleja :

Zn+1 = Zn2 + C

• donde Z, C son complejos, la condicion inicial es Z = 0 + 0i y a C se le asignan

todos los puntos del plano complejo.

• Se convierte para cada pixel de la pantalla a coordenadas del plano complejo,

se le asigna a C este punto y se comienza a iterar la ecuación.

• Si |Z|>2 y no se supero MaxIterations, se sale del bucle y se le asigna a ese

pixel un color de acuerdo al número de iteraciones realizadas, entonces ese

pixel esta fuera del Conjunto de Mandelbrot.

• Si se alcanza el número máximo de iteraciones MaxIterations, y el módulo

sigue siendo |Z|<2 entonces se asume que el pixel esta dentro del Conjunto de

Mandelbrot, y le asignamos el color negro.

Formalización del concepto de

Fractal • La geometría fractal permite estudiar fenómenos

irregulares que no pueden ser caracterizados con las

teorías geométricas clásicas.

• Invarianza a cambios de escala: Misma estructura

(determinística o estadística) a cualquier escala.

¿Cuál es el largo de la costa de

Gran Bretaña?

Dimensión fractal

La dimensión fractal

• El desarrollo de la geometría fractal ha permitido

obtener parámetros cuantitativos para definir el

“grado de irregularidad ” de un determinado objeto.

• Uno de los parámetros más representativos es el de

dimensión fractal , una generalización de la

dimensión euclídea para objetos autosemejantes.


• El concepto de dimensión euclídea asigna un

número natural a los distintos objetos geométricos

que pueden definirse en un espacio dado.

• Este concepto de dimensión tiene diversas

interpretaciones intuitivas como: el número de

parámetros necesarios para definir un objeto.


• Otra forma: Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos

en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que

N(L).L1 = 1, cualquiera que sea L.

• Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos

con unidades cuadradas, cuyo lado tenga de longitud L, el número de

unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L2 = 1.

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• De todo esto podemos generalizar que la dimensión de un objeto

geométrico es el número D que cumple:

N(L).LD = 1, y D = log(N(L))/log(1/L)

• donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de

tamaño L que recubren el objeto.

Ejemplo:

Al reducir la escala de la curva de

Koch a 1/3, nos encontramos con

que se descompone en 4 partes.

D = log 4 / log 3 = 1, 2618. . .


• Otros ejemplos:


• Demostración:

coast\coast.exe

¿Cómo construyo un modelo

fractal o caótico? • Ejemplo: 1) Detecto si el fenómeno

posee estas características (medidas).

2) Recojo datos experimentales.

3) “Armo” mi modelo.

4) Encuentro parámetros o soluciono el problema inverso (por ej: Algoritmos Evolutivos).

La complejidad de los problemas

hace que, en la práctica, pueda ser

necesario utilizar algún tipo de

estrategia híbrida para resolverlos.

Bibliografía

• James W. Haefner, “Modeling Biological Systems”, 2nd

Ed., 2005 (Cap. 18).

• Cambel, A. B., “Applied Chaos Theory”. Academic

Press, 1993.

• Wiggins, Stephen, “Introduction to applied nonlinear

dynamical systems and chaos”. Springer-Verlag, 1990.

• Drazin, P.G., “Nonlinear systems”. Cambridge

University Press, 1992.

• Verhulst, Ferdinand, “Nonlinear differential equations

and dynamical systems”. Springer-Verlag, 1990.

Bibliografía

• Michael C. K. Khoo, “Physiological Control Systems:

Analysis, Simulation, and Estimation”, Wiley-IEEE Press

,1999 (Cap. 10).

• Mandelbrot, Benoit B., “The fractal geometry of nature”.

W. H. Freeman, 1982.

• Peitgen, H. O. - Ritcher, P. H., “The beauty of fractals:

images of complex dynamical systems”. Springer Verlag,

1986.

• Ilya Prigogine, “El fin de las certidumbres”. Andrés Bello,

1996.

• Gutiérreza Cabria, Segundo. “Dios: ciencia y azar”.

Madrid, BAC, 2003.

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