CURSO LÓGICA MATEMÁTICA

90004

TUTOR

Jorge Enrique Taboada Álvarez

Jorge.Taboada@unad.edu.co

DIRECTORA DE CURSO

Lilia Patricia Leguizamón.

Patricia.leguizamon@unad.edu.co

ENCUENTRO B-LEARNING.

Temática fundamental: Unidad II

Dirigida por : Jorge Enrique Taboada Álvarez

19 de Octubre de 2015

CONTENIDO.

. Realimentación de temáticas anteriores.

. Forma de demostración a través de tablas de verdad.

. Conozcamos las reglas de inferencia.

. Forma de demostración a través de las reglas de inferencia

. Método de demostración por Reducción al absurdo.

19 de Octubre de 2015

REFLEXIONEMOS…

19 de Octubre de 2015

Cuando eres creativo y original,

te das la oportunidad de

transformar el mundo.

J.E.T.

Ejemplo.

16 de Abril de 2015

Castellanos, L. (19 de marzo de 2011). Recuperado de

http://es.slideshare.net/LUZCASTELLANO/mtodos-deductivo-y-

inductivo-7318991.

Inductivo.

Premisa 1. Todos los Colombianos, somos seres humanos.

Premisa 2. Ningún humano, es extraterrestre.

Conclusión: Ningún Colombiano es extraterrestre.

Premisa 1. En el Tolima se tiene un gobernador.

Premisa 2. En la Guajira se tiene un gobernador.

Premisa 3. En Amazonas se tiene un gobernador

Conclusión: En todos los departamentos de Colombia se tiene un

Gobernador.

Deductivo.

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p p

V F

F V

Símbolos

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p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

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p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

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p q P q

V V F

V F V

F V V

F F F

Conector Lógico donde una de las

proposiciones es verdadera y la otra

es falsa, para obtener una valuación

Verdadera.

Ejemplos:. O es Lunes o es Martes.

. O Pepe está Vivo o ésta Muerto.

• O no nos gusta tener calidad de vida o no

nos gusta vivir solos.

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Existen varias técnicas para demostrar la validez de un razonamiento.

Inferencia Lógica

Técnica tabla de verdad

Reducción al Absurdo

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Se debe transformar el razonamiento en una proposicióncondicional, en donde la conjunción de las premisas formanel antecedente y la conclusión forma el consecuente.

Si al realizar la tabla de verdad de un razonamiento dacomo resultado una tautología, se considera unrazonamiento válido, en cualquier otro caso será unrazonamiento inválido.

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Por ejemplo:

Dado el siguiente razonamiento determinar su validez a través de la técnica de la tabla de verdad:

Si lógica matemática es un curso de primer semestre, entonces no requiere prerrequisito. Lógica matemática es un curso de primer semestre. Por lo tanto, no requiere prerrequisito.

Se procede a simbolizar el razonamiento, denotando proposiciones simples. Lógica matemática es un curso de primer semestre p

Lógica matemática no requiere prerrequisito q

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Se simbolizan las proposiciones compuestas identificando premisas y conclusión.

La conclusión se identifica a través de términos como:“por lo tanto”“Por consiguiente”“Luego”“En conclusión”“Es por ello”

1. Si lógica matemática es un curso de primer semestre,entonces no requiere prerrequisito

2. Lógica matemática es un curso de primer semestre.

3 Lógica matemática No requiere prerrequisito

p q

p

q

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Se estructura la proposición condicional, cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión:

[ ( p q ) p ] q

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Se elabora la tabla de verdad del razonamiento

p q q ( p q ) ( p q ) p [ ( p q ) p ] q

V V F F F V

V F V V V V

F V F V F V

F F V V F V

[ ( p q ) p ] q

Conclusión: Es un razonamiento válido porque la tabla de verdad resultó ser

una proposición tautológica.

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Se llama inferencia lógica a la aplicación de una regla detransformación que permite transformar una fórmula o expresiónbien formada de un sistema formal en otra como teorema delmismo sistema.

Una regla de inferencia es un esquema para construirinferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticasentre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserciónllamada conclusión.

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El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dosenunciados una relación de causa-efecto.La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicionalestablece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma,necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)p “Llueve” (premisa)

__________________________________________________

q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)

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‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”. Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)¬q “Las calles no se mojan” (premisa)

__________________________________________________

¬p “Luego, no llueve” (conclusión)

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¬¬p ↔ p

El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.

¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante” (premisa)_____________________________________________________

p “Ana es una estudiante” (conclusión)

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Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción).

p “Juan es cocinero” (premisa)

q “Pedro es policía” (premisa)___________________________________

p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía” (conclusión)

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Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera” (premisa)____________________________________________

p “Tengo una manzana” (conclusión)

q “Tengo una pera” (conclusión)

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La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens(negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.

p V q “He leído un libro o he vísto televisión” (premisa)

¬q “No he vísto televisión” (premisa)__________________________________________________________

p “Por tanto, he leído un libro” (conclusión)

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Ejemplo:¿Qué conclusión , se puede deducir de cada uno de los conjuntos de premisasutilizando la regla TP?Juan o ha terminado el libro o ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca. Juan no haterminado el libro.

Solución:

Juan ha terminado el libro pJuan ha ido a devolver el libro hoy a la biblioteca. q

1) Juan o ha terminado el libro o ha ido a devolverlo hoy a la biblioteca. p q2) Juan no ha terminado el libro. pConclusión3) Juan ha ido a devolver el libro hoy a la biblioteca. q

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Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.

m “He estudiado lógica matemática” (premisa)______________________________________________________________

m V n “He estudiado lógica matemática o he estudiado algebra” (conclusión)

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Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:

p → q ”Si Jorge Taboada dirige una webconference entonces es tutor de la UNAD” (premisa)

q → r “Si Jorge Taboada es tutor de la UNAD, tiene a cargo cursos virtuales” (premisa)______________________________________________________________________

p → r “Si Jorge Taboada dirige una webconference, es porque tiene cursos virtuales a cargo” (conclusión)

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Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyosmiembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en unanueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentesde las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre doscausas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos,que es el sentido de esta regla.

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”

r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

p V r “Llueve o la tierra tiembla”____________________________________________________

q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”

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Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para ladisyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo queel orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción espresentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presenteesta elección. Así pues,

p Λ q ↔ q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»”

p V q ↔ q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»

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Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, esdecir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, secambian los valores de afirmación y negación de los términos de ladisyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, comopodemos observar aquí:

p Λ q p V q___________ ____________

¬(¬p V ¬q) ¬(¬p Λ ¬q)

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Construir una demostración formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos, utilizando en cada caso la notación sugerida.

Si se requiere ya sea álgebra o geometría, entonces todos los estudiantes cursarán matemáticas. Se requiere el álgebra y se requiere la trigonometría. Por lo tanto, todos los estudiantes tomaran matemáticas. Solución:a Algebra es requisito. g Geometría es requisito .m Todos los estudiantes cursarán

matemáticas. t Trigonometría es requisito.

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Éste Link sirve de apoyo para aprender más sobre el

método de reducción al absurdo.

Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=3jqzuqDHOkQ

Método en el que partir de un

argumento o enunciado, se procede

mostrar que conduce a una

contradicción (Absurdo).

FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

Éste Link sirve de apoyo para aprender más sobre el

método de reducción al absurdo.

Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=3jqzuqDHOkQ

Frases de reducción al absurdo:1. Si es verdad que me ayudas para que trabaje menos, ¿porqué cuando lo haces tengo que trabajar más?

2. Si no buscas nada, ¿Qué hace tu mano en mi bolsillo?

3. Sí quieres adelgazar ¿por qué comes tanto?

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O me ha puesto la zancadilla usted o ha sido otra persona. Pero si ha sido otra

persona, debería estar aquí. Pero no está. Luego no ha sido otra persona, por lo

tanto ha sido usted.

Definiendo las premisasPremisa 1 : O me ha puesto la zancadilla usted o ha sido otra persona.Premisa 2: Si ha sido otra persona, debería estar aquí.Premisa 3: Pero no está.Premisa 4: Luego no ha sido otra persona.Conclusión: Ha sido Usted.

FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013

O me ha puesto la zancadilla usted o ha sido otra persona. Pero si ha sido otra

persona, debería estar aquí. Pero no está. Luego no ha sido otra persona, por lo

tanto ha sido usted.

Definiendo las premisasPremisa 1 : O me ha puesto la zancadilla usted o ha sido otra persona.Premisa 2: Si ha sido otra persona, debería estar aquí.Premisa 3: Pero no está.Premisa 4: Luego no ha sido otra persona.Conclusión: Ha sido Usted.

Lenguaje Simbólico.

𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 1: 𝑝 ∨ 𝑞𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 2: 𝑞 → 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 3: ~ 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 4: ~ 𝑞𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 ∴ 𝑝

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En el método de reducción al absurdo se Niega la conclusión, es decir se supone

que la conclusión es Falsa absolutamente todas las premisas deben ser verdaderas

Como se supone que en la conclusión. P=Falso.

En la premisa 4 para qué~ 𝑞 𝑠𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝑞 = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜En la premisa 3 para qué~ 𝑟 𝑠𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝑞 = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

Lenguaje Simbólico.

𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 1: 𝑝 ∨ 𝑞𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 2: 𝑞 → 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 3: ~ 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 4: ~ 𝑞𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 ∴ 𝑝

Automáticamente, en la premisa 2, es verdadero porque sí recordamos la tabla de verdad de la implicación.

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En el método de reducción al absurdo se Niega la conclusión, es decir se supone

que la conclusión es Falsa absolutamente todas las premisas deben ser verdaderas

Lenguaje Simbólico.

𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 1: 𝑝 ∨ 𝑞𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 2: 𝑞 → 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 3: ~ 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 4: ~ 𝑞𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 ∴ 𝑝

Finalmente en la premisa 1 no es posible que sea verdadera, porque ya habíamos afirmado que p= Falso y q= Falso. Y si observamos la tabla de verdad de la Disyunción cuando ambas proposiciones son falsas el argumento es falso. Así:

Por lo tanto llegamos a un ABSURDO, ya que la premisa 1 debería ser verdadera, pero No se fue así. Por lo tanto el razonamiento si es Válido.

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Para estar más seguros, vamos a visualizar la tabla y mostramos que este ejercicio

efectivamente es una tautología. (Es decir al ser tautología el razonamiento es

válido) Lenguaje Simbólico.

𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 1: 𝑝 ∨ 𝑞𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 2: 𝑞 → 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 3: ~ 𝑟𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 4: ~ 𝑞𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 ∴ 𝑝

(( 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ (𝑞 → 𝑟) ∧ ~ 𝑟) ∧ ~ 𝑞) → 𝑝

(2008). Castro, M. LA LÓGICA IF Y LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS. SignosFilosóficos. Vol. 19, (págs145-171). Disponible en la Biblioteca virtual de laUNAD: http://web.ebscohost.com/ehost/pdfviewer/pdfviewer?vid=12&sid=62c2135b-9db5-45d5-a2fb-0d1d842c739d%40sessionmgr198&hid=113

(2007). Aritmética : Manual de preparación pre-universitaria: Nociones de Teoría deConjuntos. (págs: 17-18). Lima, Perú: Lexus Editores S.A. Disponible en la Biblioteca virtualde la UNAD:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2130/ps/basicSearch.do?inputFieldValue%280%29=TEORIA+DE+CONJUNTOS&inputFieldName%280%29=OQE&method=doSearch&search=SEARCH&searchType=BasicSearchForm&sgHitCountType=None&inPS=true&nwf=y&userGroupName=unad&prodId=GVRL

(1983). SUPPES P. Introducción a la Lógica Matemática. Ed.Reverté.