OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2011 …D. Cox, J. Little, D.O. O'Shea, Ideals, varieties, and...

FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n. Campus Universitario Sur

15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813130

FAX: 981 597 054 e-mail: [email protected]

OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2011-2012 – FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Código Al01 Área de coñecemento

Álxebra

Título Clasificación de Módulos finitamente generados sobre un anillo de Dedekind

Director Leovigildo Alonso Tarrío

Breve descrición do contido

Exponer la clasificación de módulos finitamente generados sobre un anillo de Dedekind, una generalización de la clasificación conocida de grupos abelianos finitamente generados. Se incluirá una breve descripción de las propiedades básicas de estos anillos conmutativos.

Recomenda-cións

Haber superado la asignatura “Estructuras algebraicas”.

Outras observacións


Álxebra

Título Residuos algebraicos Director Leovigildo Alonso Tarrío


Una generalización natural del anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo es el anillo de series de potencias. Tiene sentido algebraico estudiar la teoría de residuos en este contexto. Se pretende dar una exposición de sus propiedades básicas y obtener alguna aplicación geométrica a las curvas algebraicas.

Recomenda-cións

Haber superado las asignaturas del área.



Álxebra

Título Os teoremas de incompletitude de Gödel Director/a Javier Barja Pérez


En un artículo publicado por Kurt Gödel en 1931, con el título "Sobre sentencias formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines I", se encuentra lo que se conoce como el Teorema de incompletitud de Gödel. Dice, textualmente,

Teorema VI: Para cada clase recursiva primitiva y �- consistente K de fórmulas, hay un signo de clase r, tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a Flg(K) (donde v es la variable libre de r). Se trata de estudiar este primer teorema de incompletitud de Gödel relativo a la incompletitud de la aritmética y el segundo teorema de incompletitud relativo a la imposibilidad de probar la consistencia misma de un sistema formal que incluya los axiomas de la aritmética elemental. De una indiscutible importancia no sólo como teoremas (meta) matemáticos, sino en la lógica (en la teoría de sistemas formales) y en la filosofía, así como las consecuencias que de él se han derivado no sólo la respuesta negativa a la pretensión de David Hilbert de confiar en “un número finito de procesos puramente lógicos” para evitar problemas, sino en las





consecuencias positivas como es la propuesta de función recursiva como modelo de función efectivamente calculable.

Recomendacións


Davis, M. The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions (1965), Raven Press, Hewlett, N.Y. Enderton, H.B. A mathematical introduction to logic (1972), Academic Press. Gödel K. Uber formal unentscheidbase Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik und Physik, vol 38 (1931), 173-198. Gödel K. Obras Completas. Introducción y notas J.Mosterin (1981), Alianza Editorial, Alianza Universidad, n° 286, 430. Kleene, S. C.Introduction to metamathematics (1971)Wolters-Noordhoff, Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic 4Ed (1997), Chapman Hall. Yasuhara, N. Recursive function theory and logic (1971), Academic Press.


Álxebra

Título Grupo de Brauer dun anel conmutativo

Director/a José Manuel Fernández Vilaboa


Trátase de introducir a noción de álxebras de Azumaya como unha xeneralización das álxebras centrais simples sobre un corpo e de definir o grupo de Brauer dun anel conmutativo R: Br(R). Complementarase co establecemento de un funtor dende a categoría de aneis conmutativos ata categoría de grupos abelianos e con o estudo de varios exemplos e relacións entre grupos de Brauer.

Recomendacións Outras observacións


Alxebra

Título Extensiones de dominios de Dedekind. Finitud del número de clase de un cuerpo global. Director/a Leoncio Franco Fernández


Se trata de plantear la factorización de ideales primos en extensiones de dominios de Dedekind y, en particular, en cuerpos globales. A continuación se probará el teorema de finitud del número de clase para tales cuerpos. 1. Valores absolutos y divisores primos de un cuerpo. Extensiones de valores absolutos [3,5] 2. Extensiones de dominios de Dedekind. Caso separable y no separable.[4] 3. Teorema de Kummer. [2,3,5] 4. Cuerpos globales.[2,5] 5. Retículos.[4] 6. Teoría de Minkowski.[4] 7. Finitud del número de clase.[1,4]

Recomendacións

[1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [4] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999





[5] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963



Alxebra

Título Extensiones de Galois infinitas. Teorías de Kummer y de Artin-Schreier. Director/a Leoncio Franco Fernández


Se comienza con una introducción a la teoría de Galois infinita, lo que involucra nociones básicas de grupos profinitos. Esta teoría describe las subextensiones de una extensión de Galois en términos de su grupo de Galois. Descripciones de las extensiones abelianas en términos de objetos asociados al cuerpo base (grupos de clases) está lejos de ser elemental y es parte de la Teoría de cuerpos de clases. Pero la descripción de extensiones abelianas de exponente m en términos del cuerpo base cuando éste contiene las m-raíces de 1, sí es elemental: teorías de Kummer y de Artin-Schreier.

1. Grupos profinitos [1,3,5] 2. Teoría de Galois infinita [1,3,5] 3. Extensiones abelianas (y de exponente m) [2] 4. Teoría de Kummer [1,2,4,6] 5. Teoría de Artin-Schreier [3,6]

Recomendacións

[1] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [2] Cohn, Algebra V2, Wiley 1977 [3] Jacobson, Lectures in Abstract Algebra III. Theory of Fields and Galois Theory, Springer 1964 [4] Lang, Algebra, Addison-Wesley 1965 [5] Ribenboim, L’Arithmétique des Corps, Hermann 1972 [6] Serre, Corps Locaux, Hermann 1968



Álxebra

Título Números de Mersenne e números de Fermat Director/a José Luis Gómez Pardo


Estudo dos números de Mersenne e de Fermat, incluindo os tests de primalidade específicos (Lucas-Lehmer e Pépin), o estudo dos posibles factores, a exposición dos principais problemas abertos e, no caso dos números de Mersenne, a relación cós números perfectos e a aplicación á xeración de números pseudo-aleatorios (Mersenne Twister).

Recomendacións


Bibliografía: D. Bressoud, S. Wagon, A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, 2000. R. Crandall, C. Pomerance, Prime numbers: A Computational Perspective, 2nd. Edition. Springer, 2005. M. Krizek, F. Luca, L. Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers, Springer, 2001. Mersenne Twister Home Page: www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.htm. P. Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, 2nd Edition, Springer, 2004.






Álxebra

Título O Teorema Chinés dos Restos e as súas aplicacións en criptografía Director/a José Luis Gómez Pardo


Formulacións do teorema. Complexidade computacional do algoritmo. Aplicacións en criptografía: Descifrado RSA, extracción de raíces cadradas módulo un número composto. Aplicacións en criptoanálise: Ataque de Hastad, algoritmo de Pohlig-Hellman para logaritmos discretos.

Recomendacións É recomendable ter cursada a materia “Códigos correctores e criptografía”.


Bibliografía: R. Crandall, C. Pomerance, Prime numbers: A Computational Perspective, 2nd. Edition. Springer, 2005. J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, 2008. J. Katz, Y. Lindell, Introduction to Modern Cryptography. Chapman & Hall/CRC, 2008. S.S.Wagstaff, Cryptanalysis of Number Theoretic Ciphers. Chapman & Hall/CRC, 2003.


Álxebra

Título Bases de Gröbner Director/a Manuel Ladra González


Algoritmo da división. Algoritmo de Buchberger. Bases de Gröbner reducidas, Problema de pertencer a un ideal. Relación cos algoritmos de Euclides e de Gauss. Algunhas aplicacións: Demostracións automáticas en xeometría euclideana do plano. Cálculo de polinomios mínimos de elementos en extensións de corpos.

Recomendacións É recomendable cursar a materia “Álxebra, Números e Xeometría”.


Bibliografía: W.W. Adams, P. Loustaunau, An Introduction to Gröbner Bases, Graduate Studies in Mathematics 3, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994. S.C. Coutinho, Polinômios e Computação Algébrica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2009. http://www.dcc.ufrj.br/~collier/e-books/Compalg.pdf D. Cox, J. Little, D.O. O'Shea, Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1992.


Álxebra

Título Xeometría dos números complexos e dos cuaternios: os grupos de rotacións de R3 e R4

Director/a Manuel Ladra González


As rotacións no plano arredor dun punto pódense identificar con S1. S1 ademais de ser un obxecto xeométrico ten estrutura alxébrica de grupo de Lie. Pero S1 é un grupo de Lie conmutativo. Para obter grupos de Lie máis interesantes, estudarase S3 a esfera de dimensión 3 dos cuaternios unidade. S3 é un grupo de Lie non conmutativo coñecido como





SU(2) e estreitamente relacionado ao grupo SO(3) do grupo das rotacións do espazo R3, que é un grupo simple. Tamén se estudará o grupo de rotacións de R4, SO(4) que pode describirse tamén con axudá dos cuaternios. Ao contrario que SO(3), SO(4) é un grupo non simple.

Recomendacións


Bibliografía: Y. Kosmann-Schwarzbach, Groups and Symmetries. From Finite Groups to Lie Groups, Springer, New York, 2010. A. Savage, Introduction to Lie Groups, University of Ottawa, 2010. http://mysite.science.uottawa.ca/asavag2/mat4144/ J. Stillwell, Naive Lie Theory, Springer, New York, 2008.


Álgebra

Título Leyes de Reciprocidad Director/a Javier Majadas Soto Breve descrición do contido

Tras un recorrido por la ley de reciprocidad cuadrática y algunas de sus principales demostraciones, se estudian algunas leyes de reciprocidad superiores.

Recomendacións Es conveniente haber cursado o cursar simultáneamente la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”.


Código An01 Área de coñecemento

Análise Matemática

Título Resultados de Unicidade para ecuacións diferenciais ordinarias Director/a Alberto Cabada Fernández


Neste traballo estudaránse diferentes criterios que garanten a unicidade de solución de ecuacións diferenciais ordinarias. Ademáis do amplamente coñecido resultado de Lipschitz, serán probados outros criterios moi usados na teoría das ecuacións diferenciais ordinarias, como poden ser, por citar só algúns exemplos, os de Peano, Osgood, Montel – Tonelli, Nagumo, Krasnosel’skii – Krein ou o de Perron. Farase un estudo destes e outros resultados, coas súas correspondentes probas, así como de exemplos nos que son aplicados.

Recomendacións


Bibliografía básica: R. P. Agarwal, V. Lakshmikantham, Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations.







Título Algúns aspectos da dinámica de sistemas de ecuacións diferenciais non lineais. Teoría local. Director/a Fernando Costal Pereira


Partindo da base de que é ben coñecida a dinámica dun sistema de ecuacións diferenciais lineal autónomo, e da necesidade de tratar modelos matemáticos cuxa dinámica está rexida por un sistema non lineal de ecuacións diferenciais, trátase de estudar distintos comportamentos que se poden presentar para este último tipo de sistemas. Dun modo especial, estudarase cal é a dinámica nunha contorna dun punto de equilibrio para sistemas no plano, e aplicarase a información obtida a sistemas que modelen algún problema da vida real.

Recomendacións É fundamental coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de ecuacións diferenciais ordinarias do grao en matemáticas.




Título Transformada de Fourier, Transformadas de Fourier discretas. Aplicacións. Director/a Francisco Javier Fernández Pérez


O traballo consta de dúas partes, na primeira estúdase a transformada de Fourier, a súa inversa e as principais propiedades, así como a aplicación á resolución dalgún problema de ecuacións en derivadas parciais. Na segunda parte adícase a transformada de Fourier discreta, e a súa aplicación ó tratamento dixital de imáxenes, procesamento de señais e ó estudo das características da estructura xeométrica dunha imaxe.



ANÁLISE MATEMÁTICA

Título Ideales de operadores Director/a Manuel Antonio Fugarolas Villamarín


1. Ideales de operadores quasi-normados en espacios de Banach 2. Ideales de operadores p-normados 3. Operadores nucleares 4. Operadores integrales 5. Operadores absolutamente sumantes 6. Operadores de Hilbert. 7. Relaciones de orden entre ideales de operadores quasi-normados 8. Norma nuclear finita.








Título Funcións reais de variable real, medida de Lebesgue e ecuacións diferenciais Director/a Rodrigo López Pouso


Funcións de variación limitada. Propiedades. Funcións que aplican conxuntos de medida cero en conxuntos de medida cero. Funcións absolutamente continuas. Propiedades. O Teorema Fundamental do Cálculo na integral de Lebesgue. Aplicación ás ecuacións diferenciais. Bibliografía básica: K. R. Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth Inc., California (1981). J. K. Hale, Ordinary differential equations, Wiley-Interscience, New York (1969).




Título A hipótese de Riemann Director/a Juan José Nieto Roig


Describir o enunciado da famosa Hipótese de Riemann e a súa relación con distintos campos da matemática (teoría de números, variable complexa, probabilidade, física matemática, criptografía, computación, etc…) e algunhas das súas implicacións.




Título Aspectos topolóxicos da dinámica discreta Director/a Miguel Antonio del Río Vázquez


Consideraranse algúns conceptos topolóxicos básicos do estudo abstracto da dinámica discreta, incidindo especialmente naqueles que tratan de expresar ou medir a complexidade dinámica dun sistema, como son a transitividade, a entropía topolóxica e as distintas nocións de caos.




Título CICLOS LÍMITE EN SISTEMAS DINÁMICOS PLANOS. Director/a Gerardo Rodríguez López






Enmárcase o traballo no contexto da análise global dos sistemas diferenciais autónomos non lineais no plano e debe contemplar os aspectos incluídos no seguinte esquema: 1. Presentación das notacións e conceptos básicos, exemplos, e primeiros criterios a aplicar no estudo da existencia de ciclos límite. 2. Estudo dalgún instrumento de interese na determinación de ciclos límite . 3. Conclusións sobre a existencia (ou non existencia) de ciclos límite en certo tipo de campos diferenciais no plano. 4. Interpretacións físicas e notas históricas. BIBLIOGRAFÍA: Existe na biblioteca da Facultade de Matemáticas abundante bibliografía sobre o tema. Como referencias básicas tomaranse: PERKO,L. "Differential Equations and Dynamical Systems". Springer- Verlag.1996. YE YAN-QUIAN and others. "Theory of Limit Cycles". Translations of mathematical monographs. Vol 66. Am. Math. Soc.

Recomendacións No momento de inicio do traballo, o alumno debe ter un dominio razoable da teoría xeral de ecuacións diferenciais ordinarias, estudada nas distintas materias do grao.




Título Recursos didácticos baseados nas novas tecnoloxías para o estudo das ecuacións diferenciais ordinarias

Director/a Rosana Rodríguez López


O traballo consiste nunha recopilación de ferramentas web relacionadas co estudo das ecuacións diferenciais ordinarias, así coma na elaboración de materiais baseados en aplicacións informáticas que permitan resolver ecuacións diferenciais e visualizar o comportamento das súas solucións. Será de interese particular poñer de manifesto cómo a utilización de programas de cálculo simbólico, especialmente aqueles de libre distribución, son de utilidade para complementar o estudo das ecuacións diferenciais, e para a visualización e interpretación de conceptos e técnicas correspondentes a este eido das matemáticas.

Recomendacións

Ter superadas as materias G1011226 Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias G1011322 Ecuacións Diferenciais Ordinarias G1011329 Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico




Título Funcións e os seus promedios Director/a Rosa Mª Trinchet Soria






Na vida cotiá, moitas informacións chégannos en forma de promedios, polo que, de xeito natural, xorden certas cuestións: Qué relacións poderíamos establecer entre estes promedios e os datos orixinais? E, en particular, ata que punto poderíamos recuperar estes datos a partir dos seus promedios?

O obxectivo do traballo é explorar algunhas destas cuestións, en relación a promedios obtidos a partir de integrais, o tempo que se desenvolven sinxelos programas (de representación gráfica e/ou de cálculo) ilustrativos das cuestións tratadas

Recomendacións


O desenvolvemento do traballo dará pé a que os alumnos mostren as distintas habilidades acadadas en relación ás competencias contempladas na memoria do Grao; ademais das competencias específicamente sinaladas na normativa dos TFG, farase máis fincapé naquelas competencias que se refiren ó uso de programas informáticos, por exemplo, a efectos de representación gráfica, etc.)



Título Transformacións de Möbius: unha introdución Director/a Rosa Mª Trinchet Soria


Dende moitos puntos de vista, é interesante considerar ás funcións complexas dunha variable complexa como transformacións do plano complexo en si mesmo (e, mesmo a algunhas das súas extensións ó plano ampliado coma transformacións deste en si mesmo). Entre elas, as transformacións de Möbius (tamén chamadas transformacións homográficas; transformacións lineais fraccionarias, ...) constitúen unha importante familia de funcións, con conexións en distintos campos, se cadra, debido en parte ás súas relacións coas xeometrías non euclideanas.

O obxectivo do traballo é iniciar o estudo desta familia de transformacións, das que se consideraran as súas propiedades básicas. O traballo incluirá, tamén, aqueles conceptos e feitos máis significativos que poidan convir como prerrequisitos ó tema en estudo (por exemplo: significado xeométrico da derivada complexa; conservación de ángulos, etc.)

Recomendacións


O desenvolvemento do traballo dará pé a que os alumnos mostren as distintas habilidades acadadas en relación ás competencias contempladas na memoria do Grao; ademais das competencias específicamente sinaladas na normativa dos TFG, farase máis fincapé naquelas competencias que se refiren ó uso de programas informáticos, por exemplo, a efectos de representación gráfica, etc.)

Código As01 Área de coñecemento

Astronomía e Astrofísica

Título A eclipse de 1912 en Galicia Director/es José Angel Docobo Durántez


A comezo do pasado século houbo tres eclipses de Sol que xunto co achegamento do cometa Halley deron lugar a un importante pulo da Astronomía no estado español. O vindeiro ano cúmplense cen dunha histórica eclipse que puido ser vista dende Galicia como total-anelar.





Trátase de estudar sobre o mapa de Galicia as distintas zonas nas que se contemplou o fenómeno. Para elo o alumnado deberá poñerse ó dia sobre o cálculo de eclipses e facer unha programación dos correspondentes algoritmos.

Recomendacións Ter cursado Fundamentos de Astronomía Outras observacións



Título Programación do problema de dous corpos Director/es José Angel Docobo Durántez


O Problema de dous corpos é a base da Mecánica Celeste e, en particular, do cálculo de órbitas keplerianas. Proponse facer un estudo global deste problema, programando distintos algoritmos como a Ecuación de Kepler e as leis horarias para os movementos parabólico e hiperbólico.

Recomendacións Ter cursado Fundamentos de Astronomía Outras observacións



Título Fotografía astronómica con CCD Director/es Josefina F. Ling


- Traballo teórico-observacional - Estrutura e fundamentos das cámaras electrónicas - Introdución a fotográfica astronómica dixital. - Manexo básico de cámaras CCD acopladas a telescopios, para a obtención de

imaxes fotográficas. - Adquisición e tratamento de imaxes de obxectos astronómicos co software e o

instrumental existente no Observatorio Astronómico R. M. Aller. Recomendacións Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía


Se valorarán: - Coñecementos de programas de tratamento de imaxes. - Soltura na utilización de recursos de Internet. - Habilidade no uso de instrumental electrónico e/ou astronómico


Astronomía y Astrofísica

Título Propiedades orbitales y astrofísicas de estrella eruptiva UV Ceti Director V. Tamazian


Se propone que el/la alumno/a prepare inicialmente los archivos de datos dinámicos y astrofísicos de UV Ceti utilizando distintas herramientas de investigación (software dedicado y programación básica) y aprendiendo a manejar grandes bases de datos y catálogos estelares. Se hará un análisis estadístico de los parámetros orbitales y fotométricos del sistema binario UV Ceti. En base de abundante material fotométrico en fases de flare (erupciones), el/la alumno/a estudiará la relación entre actividad de UV Ceti y la posición de





sus componentes en la órbita. Se pretende aclarar en qué medida la actividad estelar está relacionada con los parámetros dinámicos del sistema.

Recomendacións Tener cursado Fundamentos de Astronomía Outras observacións

Código Es01 Área de coñecemento

Estadística e Investigación Operativa

Título El Nucleolus de Juegos Cooperativos

Directora Balbina Virginia Casas Méndez


Uno de los tres conceptos de solución más estudiados en el ámbito de la teoría de los juegos cooperativos, con el núcleo y el valor de Shapley, es el denominado nucleolus, que fue propuesto por David Schmeidler en 1969. Intuitivamente, el nucleolus trata de maximizar el grado de satisfacción de las coaliciones que resultan menos favorecidas ante una determinada imputación del juego. Se han propuesto diversas caracterizaciones axiomáticas del nucleolus así como algoritmos para su cálculo, que están basados en el enunciado y la resolución de problemas de programación lineal. Algunas de sus aplicaciones más relevantes se enmarcan en el contexto de los problemas de bancarrota, de la amortización del coste de construcción de la pista de un aeropuerto o, muy recientemente, del reparto de los costes de construcción y de mantenimiento de una autopista entre los usuarios de la misma. Referencias: An introductory course on mathematical game theory. J. González Díaz, I. García Jurado y G. Fiestras Janeiro. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 115. American Mathematical Society, 2010.

Recomendacións Cursar la materia Teoría de Juegos puede ser conveniente, incluso aunque se haga de forma más o menos simultánea a la realización del trabajo fin de grado.



Estatística e Investigación Operativa

Título Modelos y Algoritmos en Problemas de Rutas de Vehículos Directoras Balbina Virginia Casas Méndez


Los modelos de rutas de vehículos son de gran aplicación en problemas que aparecen en la vida real. El alcance exacto del modelo es contrastado mediante la programación informática con AMPL. Debido a que resolver este tipo de problemas es caro desde un punto de vista de los recursos informáticos, es frecuente la introducción de algoritmos heurísticos. Se ilustrarán estas técnicas con problemas de distribución que acaecen en el ámbito de cooperativas agrícolas de diferentes tipos.





Referencias: [1] The vehicle routing problem: latest advances and new challenges. Operations research computer science interfaces series, vol. 43. B. L. Golden, S. Raghavan y A. E. Wasil (Eds.). Springer, 2008. [2] AMPL: A modeling languaje for mathematical programming. R. Fourer, D. M. Gay y B. W. Kernigham. Duxbury Press, 2002.

Recomendacións Sería conveniente que el alumno cursara la materia Programación Lineal y Entera. Outras observacións



Título Contando eventos no tempo: o proceso de Poisson Director/a Rosa M. Crujeiras Casais


O obxectivo deste TFG é que o alumno/a se familiarice co modelado de sistemas estocásticos estudando un caso sinxelo: o proceso de Poisson. O proceso de Poisson é un proceso de conteo en tempo continuo, con aplicacións en campos como as ciencias actuariais ou a teoría de redes de comunicación. O traballo comprende as seguintes tarefas: a) Revisión das distribucións exponencial e de Poisson. b) Construción do proceso de Poisson e estudo das súas propiedades. c) Simulación do proceso de Poisson. d) Extensión ao caso de procesos non homoxéneos. e) Aplicacións prácticas.

Recomendacións

a) Ter superadas as materias do Modulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa.

b) Ter coñecementos de programación en R. c) Ser capaz de ler e entender bibliografía en inglés.


Bibliografía: Kulkarni, V.G. (1995) Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Chapman & Hall.



Título Evolución de poboacións: Procesos de Nacemento e Morte Director/a Pedro Faraldo Roca


O obxectivo deste TFG é que o alumno/a se familiarice co modelado de sistemas estocásticos estudando o proceso de Nacemento e Morte .O proceso de Nacemento e Morte é un proceso de Markov en tempo continuo, con aplicacións en campos como a evolución das poblacións. O traballo comprende as seguintes tarefas: a) Revisión dos procesos de Markov en tempo continuo e espazo de estados discreto. b) Ecuacións diferenciais de Kolmogorov. c) Propiedades das matrices de transicións d) Procesos de nacemento e morte. e) Aplicacións prácticas.





Recomendacións

d) Ter superadas as materias do Modulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa.

e) Ter coñecementos de programación en R. f) Ser capaz de ler e entender bibliografía en inglés.


Bibliografía: Ross,s.M.(2ª ed. 1996) Stochastic Processes. John Wiley and Sons,Inc. Kulkarni, V.G. (1995) Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Chapman & Hall.



Título Exemplos notables de Probabilidade e Estatística Director/a Manuel Febrero Bande


O obxectivo deste traballo é desenrolar nun entorno informático amigable exemplos notables da didáctica da Probabilidade e da Estatística complementando ferramentas xa existentes como o paquete TeachingDemos do programa R.

Recomendacións Soltura co paquete estatístico R Outras observacións



Título Problemas de Localización. Modelado y resolución.

Director/a Julio González Díaz


En un problema de localización se busca ubicar algo (una fábrica, un banco, una central térmica, un vertedero,...) en el lugar óptimo de acuerdo a unos determinados criterios. A pesar de la sencillez de su planteamiento, la resolución de estos problemas es mucha veces un problema complejo. La toma de decisiones sobre localizaciones atrae, por su impacto social y económico, creciente interés de geógrafos, economistas y matemáticos. En este trabajo el alumno estudiará las aportaciones que se han hecho a este campo desde las Matemáticas y, más concretamente, desde la Investigación Operativa. El trabajo se centrará tanto en el modelado y los aspectos teóricos del mismo como en la resolución práctica de problemas de localización.

Recomendacións Sería conveniente que el alumno hubiese cursado la asignatura Programación Lineal y Entera.




Título Problemas de Optimización en redes. Teoría y algoritmos.





Director/a Julio González Díaz


En este trabajo de fin de grado el alumno profundizaría en el estudio teórico de algunos de los problemas clásicos de optimización en redes. Además, se abordaría el diseño e implementación de los algoritmos para resolverlos. Ejemplos de problemas que se estudiarían en este trabajo serían:

Problema general de flujo a coste mínimo Problema del camino más corto Problema del flujo máximo Problema de asignación Problema del transporte Problema del árbol de expansión mínima Problema del viajante Problema de la mochila ...

Recomendacións Sería conveniente que el alumno hubiese cursado la asignatura Programación Lineal y Entera. Además, sería también importante una cierta familiaridad con el lenguaje de programación R.




Título Modelos de regresión con efectos aleatorios Director/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de revisar y describir los modelos de regresión con efectos aleatorios con respuesta cualitativa y continua que surgieron en los últimos años. Elaborar una posible lista de macros en R relacionadas con las distintas metodologías e ilustrar la potencialidad de los métodos en modelos de predicción de datos medioambientales y biomédicos que le serán suministrados al alumno.

Recomendacións Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso.


Se aconseja tener conocimientos de R.



Título Una Introducción al bootstrap mediante R Director/a José Manuel Prada Sánchez


El objetivo de este trabajo es que el alumno conozca el fundamento así como las principales aplicaciones en el ámbito de la estadística de la metodología bootstrap, ilustradas con el software estadístico R. Se pretende estimular la visión crítica del alumno mediante el planteamiento de estudios de simulación con R, que permitan comparar el comportamiento de las técnicas inferenciales clásicas con el relativo a la técnica de remuestreo bootstrap, a la hora de abordar los principios metodológicos básicos de la inferencia estadística

Recomendacións Se recomienda que el alumno tenga experiencia en el manejo de lenguajes de programación.








Título Revisión de métodos de estimación no paramétricos de la función de regresión y algunas aplicaciones

Director/a Luis Alberto Ramil Novo


Se trata de revisar dos métodos de estimación de la función de regresión que se basan en estimaciones polinómicas locales. Los conocidos como estimador spline suaves (o smoothing spline), y el estimador polinómico local. La revisión incluye el análisis de algunas aplicaciones en los contrastes de evaluación de modelos de regresión polinómicos. Las aplicaciones de estos métodos requieren la búsqueda de software disponible o de su desarrollo.

Recomendacións

Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso. Conocimiento de algún lenguaje de programación.


Las tutorías necesarias tendrán lugar en la sede del Departamento de Estadística e I.O. en el campus de Lugo.



Título Teoría matemática do Monopoly: as cadeas de Markov

Director/a Alberto Rodríguez Casal


As cadeas de Markov permiten analizar procesos aleatorios onde a evolución no tempo do proceso está determinada completamente polo estado en que se encontra o proceso no instante actual, sen influír a historia pasada. Moitos procesos da física, bioloxía ou economía, ou de xogos de azar, poden ser modelados como unha cadea de Markov. O obxectivo deste traballo é a) revisar a teoría matemática que permite analizar o comportamento das cadeas de Markov, b) estudar exemplos concretos que permitan comprender mellor tanto a teoría como a súa aplicación práctica c)aprender a modelar mediante cadeas de Markov procesos de interese práctico d) comprender as limitacións dos modelos nalgunhas situacións complexas e aprender a utilidade das técnicas de simulación para estudar a evolución do proceso nestas situacións.

Recomendacións

a) Ter superadas as materias do Modulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa.

b) Ter coñecementos de programación en R. c) Ser capaz de ler e entender bibliografía en inglés.


Bibliografía: Rick Durret (2004), Essentials of Stochastic Process, Springer ROSS, S.M. (1996) Stochastic Processes (2nd Edition). John Wiley & Sons.

Código Es12





Área de coñecemento


Título Modelos de regresión cuantil

Director/a César A. Sánchez Sellero


Los modelos de regresión cuantil describen el comportamiento de cierto cuantil de la variable respuesta condicionado a las variables explicativas. Gozan de buenas propiedades de robustez y flexibilidad frente a los modelos clásicos basados en la esperanza condicionada y el método de mínimos cuadrados. Este trabajo consiste en revisar los modelos de regresión cuantil y efectuar una evaluación comparativa de sus propiedades mediante estudios de simulación. Para los estudios de simulación se empleará el software R, en el cual destacamos el paquete quantreg, dedicado a la regresión cuantil. Bibliografía: Koenker, R. (2005). Quantile regression. Cambridge University Press.

Recomendacións

Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Programación Lineal y Entera, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística. Asimismo, es recomendable cursar la materia Modelos de regresión y análisis multivariante. Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Disponer de conocimientos generales del lenguaje R.


Código MA01 Área de coñecemento

Matemática Aplicada

Título Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de elementos finitos

Director/a José A. Alvarez Dios


Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamiento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de elementos finitos mediante descomposición de dominios e uso dun precondicionador ou do complemento de Schur.

Recomendacións

O estudante debe ter coñecementos de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto.


Código MA02







Título Desenvolvemento de software paralelo para a resolución de EDPs usando o método de diferencias finitas

Director/a José A. Alvarez Dios


Proponse a realización de programas en Fortran 2000 e MPI para a resolución de EDPs que aproveiten a capacidade de procesamiento simultáneo das arquitecturas multinúcleo de última xeración. Os devanditos códigos deben comprender exemplos de esquemas paralelos de diferenzas finitas mediante coloreado ou outras técnicas.

Recomendacións

O estudante debe ter coñecementos de resolución numérica de ecuacións en derivadas parciais e de programación en Fortran usando librerías. Nese sentido, recoméndase ter cursado ou cursar Informática, Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, e Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais. Así mesmo, debe ter a suficiente competencia en lingua inglesa para ler bibliografía de carácter científico sobre o tema proposto.


Codigo MA03

Título Modelización e simulación numérica das deformacións termomecánicas de estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil durante un incendio.

Director/es Patricia Barral Rodiño


Trátase de realizar: 1) A modelización matemática das deformacións termomecánicas sufridas por estruturas sinxelas de aceiro e/ou formigón usadas na Enxeñería Civil durante un incendio. 2) A simulación numérica utilizando o paquete de software libre Code_Aster.



Recomendacións Ter cursado: Taller de Simulación Numérica e Modelización Matemática Outras observacións



Título Modelos matemáticos de sistemas de reaccións químicas Director/a Alfredo Bermúdez de Castro


No caso dun “tanque axitado” a evolución das concentracións dos compostos presentes nun sistema de reaccións químicas con diferentes escalas de tempo, está rexido por un conxunto formado por ecuacións diferenciais ordinarias e ecuacións alxebraicas. O traballo comezará pola introdución e o estudo destes modelos e seguirá polo establecemento de algoritmos eficientes para a resolución numérica, que serán implementados en ordenador.








Título Modelos matemáticos non lineares de circuítos eléctricos Director/a Alfredo Bermúdez de Castro


Trátase da modelización matemática de circuitos eléctrico con compoñentes que teñen un comportamento non linear. O modelo consiste nun sistema de ecuacións diferenciais ordinarias. O traballo incluirá a resolución de mesmo co emprego de métodos numéricos axeitados


CÓDIGO MA06 Título Algunos elementos matemáticos empleados en la Mecánica de los Medios Continuos. Director/es Óscar López Pouso.


Contenidos:

(1) Conceptos de cuerpo y deformación.Teoremas integrales del Cálculo Vectorial.Campos gradiente. Fuerza. Ecuación del movimiento.

(2) Definición de cuerpo como una variedad tridimensional con esquinas. Teoremas integrales del Cálculo Vectorial en variedades con esquinas.

(3) Regularidad del potencial φ(x,t) conocida la regularidad del campo gradiente u(x,t) = grad φ(x,t). Existencia de potenciales regulares para campos gradiente regulares.

Objetivos: Este Trabajo Fin de Grado (TFG) se propone con tres objetivos:

- Por un lado, el estudio de ciertos conceptos y elementos muy conocidos e importantes de la Mecánica del Continuo, pero que ya no se estudian dentro del Grado en Matemáticas.

- Por otro, continuar el Trabajo Académicamente Dirigido (TAD), en fase de

elaboración, del estudiante D. Néstor León Delgado (referencia [4]), cuyo objetivo es el de conectar los conceptos matemáticos de la Mecánica del Continuo con los equivalentes de la Geometría Diferencial.

- Por último, enfrentar al alumno con una cuestión no resuelta en la bibliografía (punto

(3) de los contenidos), de una complejidad adecuada a un estudiante de último año de Grado en Matemáticas, sobre la que debe reflexionar y dar alguna respuesta.

Motivación: La Mecánica del Continuo hace uso de numerosas herramientas matemáticas; un curso introductorio basado en los conceptos de la Mecánica Racional de Truesdell y Noll, como el expuesto en el libro de Gurtin [1], recurre a conceptos como el de “cuerpo”, que en términos matemáticos es una variedad con esquinas, y de “deformación”, que en términos matemáticos es un C1-difeomorfismo entre dos cuerpos que cumple ciertas propiedades. Es natural, por otra parte, que en las obras de Mecánica del Continuo no se preste atención a esos conceptos desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, Gurtin no incluye una definición completa de lo que entiende por “cuerpo”, remitiendo al lector al libro de O. D. Kellogg Foundations of Potential Theory, publicado por Springer en el año 1929 y reimpreso





por Dover en 1953. Si combinamos los contenidos de los dos párrafos anteriores, llegamos a la conclusión de que tiene cabida una revisión de esos elementos matemáticos desde el punto de vista de un matemático o, en este caso, de un estudiante de Matemáticas. Bibliografía:

[1] Morton E. GURTIN. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, 1981. [2] Dominic JOYCE. On Manifolds with corners. arXiv:0910.3518, version 2, October 2010. [3] Steven G. KRANTZ y Harold R. PARKS. Geometric Integration Theory. Birkhäuser, Boston, 2008. [4] Néstor LEÓN DELGADO. Sobre las deformaciones en la Mecánica de los Medios Continuos. Trabajo Académicamente Dirigido por Óscar López Pouso y José Antonio Oubiña Galiñanes. Facultad de Matemáticas de la USC, curso 2010-2011. [5] Richard B. MELROSE. Diferential Analysis on Manifolds with Corners, Massachusetts Institute of Technology. Unpublished notes.


Matemática Aplicada.


El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.

Código M07 Título La ecuación de Boltzmann. Director/es Óscar López Pouso.


A mediados del s. XIX, Maxwell descubrió la fórmula para la distribución de probabilidad de las velocidades de las partículas de un gas en equilibrio, pero fue Boltzmann quien, hacia finales del mismo siglo, derivó la ecuación que gobierna la evolución dinámica de esa distribución de probabilidad, ecuación llamada “de Boltzmann”, que describe cómo cambia conforme avanza el tiempo, es decir, cómo evoluciona, el estado de un gas, no necesariamente en equilibrio. Las ideas de Boltzmann fueron clave en el análisis que Planck haría más adelante al analizar la radiación emitida por un cuerpo negro, así como en dos de los artículos que Einstein publicó en 1905: uno en el que proporcionó un método para determinar las dimensiones moleculares y otro en el que explicaba la naturaleza del movimiento browniano. La ecuación de Boltzmann tuvo también importancia desde el punto de vista puramente matemático, pues fue la primera ecuación que describió la evolución de una probabilidad en el tiempo. A partir de la ecuación de Boltzmann se pueden obtener, mediante reescalados y pasos al límite, ecuaciones macroscópicas de tanta trascendencia como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes de la mecánica de fluidos. Por nuestra parte, hemos llegado a esta propuesta de Trabajo de Fin de Grado (TFG) porque la ecuación de Boltzmann está siendo en estos últimos años utilizada en modelos matemáticos ligados al tratamiento del cáncer con radioterapia. El alumno debe estudiar y hacer un resumen de partes seleccionadas del libro





[1] Carlo CERCIGNANI. Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms. Oxford University Press, Oxford, 2006 (segunda impresión; fecha de la primera edición: 1998).

La información contenida en esta descripción ha sido tomada, en su mayoría, de las partes introductorias de la referencia [1].





Código MA08

Título Simulación numérica de sistemas de camuflaxe nun modelo simple de propagación de ondas

Director/es Andrés Prieto Aneiros


O obxectivo principal deste traballo consiste na simulación numérica dun sistema de camuflaxe (ou anti-detección) nun modelo simple (linear e nunha dimensión). En concreto, no traballo realizaranse as seguintes tarefas: a) facer unha revisión bibliográfica das ecuacións diferenciais ordinarias (EDOs) máis habituais que se usan para modelar os sistemas de camuflaxe, b) a partir dun sistema de EDOs coas súas respectivas condicións de contorno, escribir un problema co que se calcula a propagación das ondas no sistema de camuflaxe, c) implementar nun código (en Matlab ou Fortran) un método de diferencias finitas (ou elementos finitos) co que simular numericamente o sistema de camuflaxe.



Recomendacións

a) Ter superadas as materias: Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais, Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais e Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue. b) Estar a cursar as materias: Modelización Matemática, Taller de Simulación Numérica e/ou Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais.




Título Modelado e simulación numérica do dano sufrido por estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil sometidas a altas temperaturas.

Director/a Peregrina Quintela Estévez


Trátase de realizar a modelización matemática do dano sufrido por estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil cando son sometidas a altas temperaturas, como por exemplo cando a estrutura é sometida a un incendio. Ademais deberán obter da bibliografía os parámetros termo mecánicos máis importantes e realizar a correspondente simulación numérica utilizando o paquete COMSOL.

Recomendacións Ter cursado as materia de Modelización Matemática e Taller de Simulación Numérica. Outras





observacións

Código MA10 Título Métodos de Galerkin discontinuos. Director/es Jerónimo Rodríguez García.


En las últimas décadas, los métodos de Galerkin discontinuos han adquirido gran importancia entre los métodos numéricos para resolver EDP. Ello es debido a que combinan interesantes propiedades que podemos encontrar en los métodos de elementos finitos, como la posibilidad de tener alto orden, con la gran flexibilidad proporcionada por la imposición de la continuidad entre los elementos de forma débil mediante flujos numéricos. El alumno debe estudiar partes seleccionadas del libro Nodal discontinuous Galerkin methods: algorithms, analysis, and applications (New York: Springer, 2007), de Jan S. Hesthaven y Tim Warburton, además de programar algún ejemplo.



Recomendacións

Se recomienda estar cursando o haber superado la asignatura “Métodos Numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales” del Grado en Matemáticas de la USC, u otras con contenidos similares (por ejemplo, “Diferencias Finitas en EDP” o “Elementos Finitos en EDP” de la Licenciatura de Matemáticas de la USC). Los programas de esas asignaturas pueden ser consultados en la dirección web http://www.usc.es/gl/centros/matematicas/programa_materias.html.



Código MA11 Título Introdución ás fórmulas de Gauss da cuadratura numérica Director/es Carmen Rodríguez


O obxectivo principal deste traballo consiste en realizar unha introdución motivada á integración numérica e ás distintas fórmulas de cuadratura. O proxecto centrarase no estudo e aplicación das fórmulas de Gauss.



Recomendacións Ter superadas as materias: Cálculo Numérico nunha Variable, Integración de Funcións dunha Variable Real e Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais.




Título Aproximación numérica de los autovalores y autovectores de una ecuación diferencial monodimensional de cuarto orden.

Director/a María Luisa Seoane Martinez


La aproximación numérica de ecuaciones diferenciales de cuarto orden mediante elementos finitos conformes exigen el uso de bases de grado y regularidad elevados lo que conlleva un alto coste computacional. Para reducirlo es ya clásica la alternativa de realizar formulaciones mixtas del problema, que permiten expresarlo en términos únicamente de la derivada segunda preservando además, en este caso, la simetría del problema original.





El objetivo de este trabajo es el estudio y programación en ordenador de la aproximación numérica de los autovalores y autovectores de la ecuación de cuarto orden 1D mediante la discretización con elementos finitos de una formulación mixta y la resolución del problema resultante con el método de la potencia iterada inversa.

Recomendacións Haber superado la materia Análise Numérica Matricial y estar matriculado en Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais


Código MA13

Título Elaboración de un programa de análisis de las propiedades de los métodos de integración para E.D.O.

Director/es María Luisa Seoane Martínez


Se trata de implementar en MATLAB un programa que, dados los coeficientes del método, analice las propiedades de consistencia, orden, estabilidad y convergencia y construya las funciones asociadas al estudio de la estabilidad numérica. En particular, deberá ser capaz de analizar familias paramétricas de métodos lineales multipaso o de tipo Runge-Kutta. Además, deberá construir los coeficientes de métodos significativos (Runge-Kutta de Gauss-Legendre, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF).



Recomendacións Haber superado todas las materias obligatorias de métodos numéricos y ecuaciones diferenciales ordinarias del grado u otras con contenidos equivalentes. Poseer conocimientos de MATLAB.


Código MA 14

Título Análise e resolución numérica dun modelo de contacto dun sólido elástico sobre unha fundación.

Director/es Juan M. Viaño Rey


Trátase de analizar un método numérico para a resolución dun modelo de contacto sen e con rozamento de un sólido elástico sobre unha fundación ríxida e de resposta elástica. Incluirá: Busca de bibliografía e referencias para a descrición do problema mecánico e do

modelo matemático e a súa análise. Descrición e análise dun método numérico para a súa discretización e resolución Programación en ordenador do método nun caso simple unidimensional ou

bidimensional. Comparación de resultados cos obtidos en paquetes de elementos finitos (COMSOL) Escritura e presentación da memoria de resultados e conclusións.



Recomendacións Ter cursado G1011445 Taller de Simulación Numérica G1011448 Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais






Código XT01 Área de coñecemento

Xeometría e Topoloxía

Título Clasificación de superficies non compactas Director/a Jesús A. Álvarez López


Trátase de estender a clasificación de superficies do caso compacto ao caso non compacto. Ademais do xénero, que pode ser infinito, o novo invariante clave a estudar é o espazo de finais, xunto cos seus subespazos de finais con xénero non nulo (floridos) e orientables. Primeiro trataríase de describir estes invariantes e probar que son completos. Ademais probaríase que calquera espazo compacto Hausdorff totalmente disconexo, con un par de subespazos pechados, se poden realizar como espazo de finais dalgunha superficie, e os seus subespazos de finais floridos e orientables.




Título Teoría de Morse en Superficies Director/es Álvarez López Jesús A.


Trátase de desenrolar a teoría de Morse en superficies compactas. Comezaríase por estudar singularidades de funcións de dúas variables usando o Hessiano. Logo estudarase a transformación do Hessiano nun punto crítico por cambios de coordenadas, a partir do que se xeneralizaría ese estudio a superficies. Despois estudarase o Lema de Morse, que describe calquera función arredor dun punto crítico non dexenerado. Usaranse as funcións de Morse para dar unha construción de superficies compactas con discos e cintas. Esas construcións permiten dar unha demostración da clasificación de superficies compactas distinta da vista na materia “Topoloxía de Superficies”. Tamén se probará que a característica de Euler se pode expresar usando os puntos críticos dunha función de Morse. Referencias:

1. A. Gramain, Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1971.

2. J. Milnor, Morse Theory. Annals of Math. Studies, N. 51, Princeton Univ. Press, Princeton, 1963.



Recomendacións O alumno debe ter cursado a materia “Topoloxía de Superficies”. É desexable, aínda que non imprescindible, que curse a materia “Variedades Diferenciables”.








Título Curvas de Bertrand. Aplicación a superficies minimales Director/a Agustín Bonome Dopico


Neste traballo trátase en primeiro lugar de demostrar as principais propiedades das curvas de Bertrand e o teorema de caracterización de curvas de Bertrand. Utilizando curvas esféricas, presentarase un método de construción de curvas de Bertrand . Ademais, utilizando a relación destas curvas coas hélices circulares, probarase que o helicoide recto é, aparte do plano, a única superficie reglada minimal. Bibliografía básica: [1] Do Carmo, M.P. Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza Universidad Textos 1990. [2] González Herrera, A.; Núñez Valdés, J. Algunas aplicaciones de las curvas de Bertrand. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol. XVI, Núm. 1, 2008, pp. 11-22 Universidad del Valle.Colombia.




Título Converxencia en espazos topolóxicos Director/a Xosé Manuel Carballés Vázquez


Despois de utiliza-las sucesións no primeiro curso para o estudo da topoloxía euclidiana, o alumno, no terceiro curso, puido constata-las dificultades para repeti-lo procedemento en espazos topolóxicos xerais. Neste traballo deberá afondar no problema mediante o estudo dos seguintes temas: 1.- Inadecuación das sucesións. Espazos secuenciais e as súas propiedades. 2.- Converxencia xeneralizada: redes e filtros. 3.- Uso de redes e filtros para a caracterización de propiedades topolóxicas.

Recomendacións Ter superadas “Topoloxía xeral” e “Topoloxía de superficies” e cursar “Topoloxía alxébrica” Outras observacións



Título Demostración dos Teoremas Fundamentais da Teoría Local de Curvas e de Superficies Director/a Luis A. Cordero Rego


O alumno deberá obter e describir as ecuacións de Frenet (para o caso das curvas) e de Gauss e Codazzi-Mainardi (para o caso das superficies), e proceder ao enunciado e demostración dos teoremas fundamentais de existencia e unicidade de curvas e mais de superficies. No caso das curvas o estudo deberá completarse ca descrición dalgúns exemplos. Bibliografía: Calquera texto adicado ao estudo da teoría de curvas e superficies pode servir como texto de apoio. En particular, recoméndase o libro de M.P. Do Carmo (“Geometría





Diferencial de Curvas y Superficies”, Alianza Universidad Textos).

Recomendacións O alumno terá cursada a materia de “Curvas e Superficies” do 2º curso do Grao, polo que un bo repaso dos contidos de dita materia é imprescindible.




Título Superficies de revolución con curvatura de Gauss constante Director/a Eduardo García Río


Descrición das superficies de revolución con curvatura de Gauss constante. A realización de dito estudo precisará do uso de integrais elípticas, que serán utilizadas para a descrición das correspondentes curvas xeratrices. O cálculo da curvatura media de ditas superficies permitirá un acercamento á clasificación das superficies con curvaturas principais constantes. Unha boa referencia bibliográfica para a realización do traballo é a segunda edición do libro de A. Gray “Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica”.

Recomendacións

A realización do traballo require dunha boa comprensión das materias “Curvas e Superficies” e “Teoría Global de Superficies”, correspondentes ao segundo e terceiro curso, respectivamente. Asemade, ter cursado a materia “Variedades diferenciables” permitirá ao estudante un mellor aproveitamento da realización do traballo.


Será de utilidade que o estudante dispoña de coñecementos previos de programación e/ou do uso de software tipo “Mathematica” ou “Mapple”.



Título Espazos fibrados principais localmente triviais Director/a Luis Mª Hervella Torrón


Pretendese que o estudante se familiarice coa noción de espazo fibrado principal co obxecto fundamental de encontrar exemplos de variedades diferenciais. Como un primeiro paso, farase a construción do espazo fibrado das referencias

Recomendacións O alumno deberá cursar a materia de “Variedades” do 4º curso do Grao Outras observacións

Con este traballo preténdese proporcionar ó alumno do material necesario para poder empezar a traballar en xeometría diferencial.



Título Hipersuperficies de Rn Director/a Luis Mª Hervella Torrón


O alumno comezará estudando conceptos elementais como as aplicacións esfera e de Weingarten e as ecuacións de Gauss a partir da conexión estándar do espazo real Euclidiano n-dimensional.Para elo deberá ter claros os conceptos de subvariedades diferenciables. Recoméndase o libro de Noel J. Hicks “Notas sobre geometría diferencia” para unha fácil lectura do tema.





Recomendacións O alumno deberá cursar a materia de “Variedades” do 4º curso do Grao, Outras observacións

Con este traballo pretendese estimular a intuición xeométrica do alumno de tal xeito que xeneralizacións que se fagan posteriormente resulten naturais.



Título Espazos Fibrados Vectoriais Director/a Xosé M. Masa Vázquez


Un Espazo Fibrado Vectorial (EFV) é un obxecto que asocia de forma continua a cada punto dun espazo topolóxico un espazo vectorial. Preséntase como unha función continua E-->B, do espazo total, E, sobre a base, B. Por exemplo, a colección de espazos tanxentes en cada punto nunha variedade diferenciable, ou nunha superficie, constitúe un espazo fibrado vectorial. Os EFVs son obxectos que aparecen de forma natural en Xeometría, e teñen unha gran importancia tanto en Matemáticas como en Física. No traballo proposto, trátase de definilos, considerar algúns exemplos, estudar as súas propiedades e demostrar o Teorema de Clasificación destas estruturas. O Teorema de Clasificación di que cada clase de isomorfía dun EFV se corresponde biunívocamente coa clase de homotopía dunha función da base nun espazo clasificante, unha grassmaniana.




Título O Anel de Funcións continuas Director/a Xosé M. Masa Vázquez


O conxunto de funcións reais continuas con dominio un espazo topolóxico pódese dotar dunha estrutura de anel, usando a suma e o produto en IR. A estrutura topolóxica do espazo e a estrutura alxébrica do anel están estreitamente relacionadas, de xeito que, baixo certas hipóteses, existe unha equivalencia natural entre espazo e anel. A un punto corresponde o ideal maximal das funcións que se anulan nel. O traballo consiste en explorar esta relación, reconstruíndo o espazo, cando menos para espazos compactos, a partir do anel, e construíndo, no caso de espazos completamente regulares non compactos, unha compactificación co mesmo anel de funcións reais continuas limitadas do espazo de partida.








Título Topoloxía de Espazos de Funcións Director/a Xosé M. Masa Vázquez


Os espazos de funcións xogan un papel primordial en Análise Matemática, en Topoloxía e en Xeometría. Trátase de estudar algúns dos principais espazos de funcións, especialmente as topoloxías denominadas admisibles. Segundo o contexto, máis analítico ou máis xeométrico, tratarase do estudo da topoloxía da converxencia uniforme ou da topoloxía compacto-aberto.




Título Orixe das variedades diferenciables e teoremas de Whitney Director José Antonio Oubiña Galiñanes


A introdución da noción de diferenciabilidade en espazos topolóxicos fai aparecer as variedades diferenciables. O obxectivo deste traballo consiste en analizar a orixe das variedades como espazos topolóxicos abstractos e facer un estudo dos teoremas de Whitney de encaixamento de variedades diferenciables en espazos euclidianos. En particular estableceranse os conceptos e resultados necesarios para probar o teorema de Whitney segundo o cal cada variedade diferenciable de dimensión n pódese encaixar no espazo euclidiano (2n+1)-dimensional.

Recomendacións Cursar a materia “Variedades Diferenciables” Outras observacións


XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA

Título Xeometría do fibrado tanxente dunha variedade: sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde

Director/a Modesto R. Salgado Seco


Descrición do fibrado tanxente TM como variedade diferenciable. Construción dos campos de vectores canónicos e da estrutura tanxente canónica. O propósito fundamental é estudar un tipo especial de campos de vectores na variedade TM, coñecidos como SOPDEs ou sprays, e que son a representación xeométrica dos sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias de segunda orde.

Recomendacións Cursar a materia: Variedades diferenciables Outras observacións







Título Xeodésicas e curvatura Director/a María Elena Vázquez Abal


Obtención das xeodésicas do plano euclidiano, a esfera e a pseudo-esfera utilizando cálculo variacional. Estudo de diversas definicións da curvatura en termos da análise das xeodésicas. Discusión das diferencias entre os espazos de curvatura cero, positiva e negativa. Breve estudo histórico deste tema. Bibliografía: Simanca, Santiago R. Geodésicas y curvatura: una introducción elemental. Miscelánea Mat. No. 35 (2001), 17–40. 53C22 (53-01) MR1910048 (2003e:53044)

Recomendacións Estar familiarizado/a cos métodos da xeometría diferencial de curvas e superficies. Outras observacións

OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2011 …D. Cox, J. Little, D.O. O'Shea, Ideals, varieties, and...

Documents

Transcript of OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2011 …D. Cox, J. Little, D.O. O'Shea, Ideals, varieties, and...