F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G AUNIDAD ACADMICA SANTA CRUZFacultad de Ciencia y TecnologaIngeniera de SistemasPRIMER SEMESTRESYLLABUS DE LA ASIGNATURALGEBRARevisado por: Lic. Rodolfo E. Arana GonzalesGestin Acadmica I/2008U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A1F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G AUDABOLUNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIAAcreditada como PLENA mediante R. M. 288/01VISIN DE LAUNIVERSIDADSer la Universidad lder en calidad educativa.MISIN DE LA UNIVERSIDADDesarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.Estimado (a) estudiante:El Syllabusqueponemosentusmanosesel frutodel trabajointelectual detusdocentes, quienes han puesto sus mejores empeos en la planificacin de los procesos de enseanza para brindarte una educacin de la ms alta calidad. Este documento te servir de gua para que organices mejor tus procesos deaprendizaje y los hagas mucho ms productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.Aprobado por:Fecha: Enero del 2008SELLO Y FIRMAJEFATURA DE CARRERAU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A2F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ASYLLABUSAsignatura: lgebraCdigo: MAT 101ARequisito: NingunoCarga Horaria: 100 horasHoras Tericas 50 horasHoras Prcticas 50 horasCrditos: 10I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.En esta asignatura tenemos objetivos de dos tipos: uno encaminados a la formacin Cientfica y otros a la Formacin Personal.Formacin Cientfica: Se pretende que el alumno domine todo lo relacionado con el lgebra y su uso en el estudio de los conjuntos, la lgica y las estructuras algebraicas.Al final del cursoel estudianteconocerel usodesmbolosenlarepresentacindela realidad. Podr usar expresiones algebraicas para resolver problemas. Nos ponemos como meta que el alumno adquiera nuevos conceptos, tcnicos y resultados que son importantes para su formacin como universitario, yporquedichosconocimientos son necesarios para la comprensin de otras asignaturas del curriculum.II. PROGRAMA ANALTICO DE LA ASIGNATURA.UNIDAD I: INTRODUCCIN AL LGEBRATEMA I. Introduccin al lgebra1.1. lgebra1.2. Propiedades de los nmeros reales R1.3. Expresiones algebraicas1.4. Operaciones algebraicas1.4.1. Suma algebraica1.4.2. Resta algebraica1.4.3. Multiplicacin algebraica1.4.4. Divisin algebraica1.4.5. Divisin sinttica1.5. Reduccin de trminos semejantes1.6. Productos y cocientes notables1.7. Factorizacin 1.8. Fracciones Algebraicas1.9. Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo1.10. Operaciones con fracciones algebraicas1.11. Simplificacin de Fracciones algebraicas.TEMA II. Ecuaciones2..1 Ecuaciones Algebraicas.2..2 Ecuaciones de primer grado con una incgnita.2..3 Problemas de aplicacin de ecuaciones de primer grado con una incgnita.2..4 Sistema de ecuaciones lineales de 2 x 22..4.1. Mtodo de Sustitucin.2..4.2. Mtodo de Reduccin.2..5 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales de2x22..6 Ecuaciones de grado superior2..6.1. Ecuaciones Cuadrticas2..6.2. Ecuaciones Polinmicas.2..7 Ecuaciones exponenciales y logartmicas con una incgnita 2..8 Sistema de ecuaciones exponenciales y logartmicas de 2 x 22..9 Aplicaciones de las Ecuaciones de grado superior.TEMA III. Inecuaciones3..1 Definicin y caractersticas de los conjuntos numricos.3..1.1. Notacin de conjuntos por extensin.3..1.2. Notacin de conjuntos por comprensin.3..2 Desigualdades, teoremas e intervalos.3..3 Inecuaciones Lineales.3..4 Inecuaciones de grado superior.3..5 Inecuaciones con valor absoluto.U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A3F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A3..6 Problemas de Aplicacin.TEMA IV. Logaritmos.4..1 Leyes de exponentes.4..2 Problemas de aplicacin de leyes exponenciales.4..3 Definicin de logaritmo.4..4 Propiedades de los logaritmos.4..5 Problemas de aplicacin de propiedades de logaritmos. TEMA V. Trigonometra5..1 Definicin de Trigonometra5..2 Crculo y sistema de medicin de ngulos.5..3 Razones trigonomtricas y teorema de Pitgoras.5..4 Identidades trigonomtricas.5..5 Ecuaciones trigonomtricas.5..6 Ley de senos y cosenos.5..7 Aplicacin de la trigonometraTEMA VI. Geometra Plana.6..1 Definicin.6..2 Sistemas de coordenadas.6..3 Relaciones y Funciones6..4 Distancia entre dos puntos.6..5 La recta.6..5.1. Pendiente.6..5.2. Angulo de inclinacin.6..5.3. Ecuaciones de la recta.6..6 Cnicas.6..7 La circunferencia: Ecuacin general y radical.6..8 La parbola: Ecuacin general y radical.6..9 La Elipse: Ecuacin general y radical.6..10 La Hiprbola: Ecuacin general y radical.UNIDAD II: LGICA Y CONJUNTOSTEMA VII. Lgica y Conjuntos.7.1. Definicin.7.2. Lgica preposicional.7.3. Nocin intuitiva de conjunto.7.4.- Operaciones entre conjuntos.7.5. Diagramas de Venn-Euler.7.6. Relacin entre la teora de conjuntos y la Lgica proposicional.7.7. Las proposiciones con cuantificadores.TEMA VIII. Induccin Matemtica.8. Principio de Induccin Matemtica 8.1 Conjuntos Inductivos. 8.2 Definicin.8.3 Teorema fundamental de Induccin Matemtica.III.- ACTIVIDADES A REALIZAR POR LAS BRIGADAS UDABOLTipo de Asignatura: De acuerdo a las caractersticas de la carrera y de la materia lgebra es una materia de TIPO A.Diagnosticopara ladeteccindel problema:Enlaactualidad los estudiantes decolegios y estudiantesuniversitarios en el rea de la Ingeniera novaloran la importanciay aplicacindelas materias de las ciencias exactas,como ser lgebra,Calculo I,Fsica I,etc.en eldiario vivir de la sociedad en general.Nombredel proyecto: APLICACINEIMPORTANCIADELASCIENCIASEXACTASENLA FORMACIN PROFESIONAL DEL INGENIERO.Contribucin de la asignatura al proyecto: La asignatura aportara al proyecto, con los trabajos que sern expuestos en la feria de ciencias exactas, los cuales estarn enfocados especficamente en la aplicacin del lgebra.TRABAJO A REALIZAR POR LOS ESTUDIANTESLOCALIDAD, AULA O LABORATORIOINCIDENCIA SOCIALFECHA PREVISTAProfundizar losAula Estudiantes deEn el transcurso U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A4F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Aconceptos y solucin a problemas especficos del lgebra.Primer Semestre del semestreIdentificar en la ciudad la aplicacin e incidencia del lgebra.Calles, Avenidas, construcciones, etc.Estudiantes de Primer Semestre Semana 10 a la Semana 14Plasmar en maquetas la actividad anteriorLaboratorio Estudiantes de Primer SemestreSemana 14 y 15Presentar sus proyectos en la feria de ciencias exactasLoby de la UniversidadAlumnos de la Universidad y estudiantes de colegios24 de JunioIV. EVALUACIN DE LOS APRENDIZAJES. DIAGNOSTICASe realizar un examen diagnostico el primer da de clases, as como pregunta de control al comienzo de cada tema.Se calificarn como B; R o M. y no se les asignar puntaje. PROCESUAL Durante elsemestre se realizarn exmenes prcticos, talleres, exposiciones que sern propuestos por el docentes, adems de Work Paper, Difs y trabajos prcticos que se especifican en el presente Syllabus, las cualestendrnunaponderacinde0a50 puntos, tantos en el primer y segundo parcial.Las actividades debrigadas que se lleven acabo en el primer y segundo parcial tambin sern evaluadas sobre 0 a 50 puntos.Enlaterceraetapalosexmenesprcticos, talleres, exposiciones, Work Paper, Difs y trabajos prcticos tendrn una ponderacin de 0 a 20 puntos, la presentacin del proyecto de la materia en la feria de ciencias exactas ser evaluada sobre 0 a 20 puntos. DE RESULTADOS Serealizan3evaluaciones: 2parcialescon contenido terico prctico los cuales sern evaluados sobre 50 puntos y elexamen final ser evaluado sobre 60 puntos en la tercera etapa.V. BIBLIOGRAFA BSICA. Lazo, Sebastin: lgebra Con TrigonometrayGeometra, Editorial Soipa Ltda, La Paz, 2006. (Signatura Topogrfica: 512.1 L45, 512.1 L45 c.2). Goi Galarza, Juan:lgebra, LatinasEditoresOruro, 1993. (Signatura Topogrfica: 511 G58) Goi Galarza, Juan:Geometra plana y del espacio. Latinas Editores. Oruro. 1999. (Signatura Topogrfica: 516.22 G58) Rojo, Armando,lgebra I, dcimo octava edicin, Librera Editorial El Ateneo, Cochabamba, 2003. (Signatura Topogrfica: 512 R63 t.1, 512 R63 t.1 c.2) Gutierrez , Pedro: La prctica del Calculo Diferencial e Integral, Editorial la Hoguera, 1990. (Signatura Topogrfica:515.33 G97 v.1,515.33 G97 v.2,515.33 G97 v.1 c.2,515.33 G97 v.2 c.2) Baldor, Aurelio:lgebra, Dcimo terceraedicin, Mxico, 1995. (Signatura Topogrfica: 512 B19).COMPLEMENTARIA. Cceres,Braulio:LgicayTeora de Conjuntos., Bolivia, Santa Cruz, 1992.U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A5F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A Ross W:Matemticas discretas, Editorial. Prentice Hall,Mexico, 1994. Lehman,Geometra analtica, Mxico, Editorial Limusa, 1990.U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A6F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G AVI. PLAN CALENDARIO.SEMANA ACTIVIDADES OBSERVACIONES.1 TEMA I Introduccin al lgebra: 1.1 hasta 1.32 TEMA I : 1.4 hasta 1.63 TEMA I : 1.7,1.8,1.9 hasta 1.11Ejercicios sobre el Tema4 TEMA II Ecuaciones: 2.1 hasta 2.4.25 TEMA II 2.5 hasta 2.7Ejercicios sobre el Tema6TEMA III Inecuaciones: 3.1 hasta3.31 EVALUACINPresentacin de notas7 TEMAIII : 3.4 hasta 3.68 TEMA IV Logaritmos: 4.1 y 4.29 TEMA IV : 4.3 y 4.710 TEMA V Trigonometra:5.1 y 5.4Ejercicios sobre el Tema11 TEMA V : 5.5 y 5.712TEMA VI Geometra Analtica: 6.1 hasta 6.4.32 EVALUACINPresentacin de notas13 TEMA VI : 6.5 y 6.914 TEMA VII Lgica Proposicional: 7.1 y 7.2Ejercicios sobre el Tema15 TEMA VII : 7.3 y 7.716 TEMA VIII Induccin matemtica: 8.1 a 8.3Presentacin de trabajos en la Feria17 EVALUACIN FINALPresentacin de notas18 EVALUACIN FINALPresentacin de notas19 SEGUNDA INSTANCIAPresentacin de notasU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A7F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 1UNIDAD O TEMA:1. INTRODUCCIN AL LGEBRATITULO:I. OPERACIONESALGEBRAICASFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Primer etapa.1.1. lgebraEl lgebra es la parte de las matemticas en la cual las operaciones aritmticas son generalizadas empleando nmeros, letras y signos. Cada letra o signo representa simblicamente un nmero u otra entidad matemtica. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incgnita o variable.Enlgebrase usan frmulas pararepresentar relaciones numricas. Al igual que en la aritmtica, lasoperacionesfundamentalesdel lgebra son adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races, generalmente en el cuerpo de los nmeros realesR. La aritmtica, sinembargo, noescapazdegeneralizar las relaciones matemticas, comoel teoremade Pitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo el rea del cuadrado que tiene como ladolahipotenusaesigual alasumadelas reas deloscuadrados cuyos ladossonlos catetos. La aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El lgebra, por el contrario, puede dar una generalizacin que cumple las condiciones del teorema: a2+ b2=c2El lgebra clsica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos. El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebraclsicaal poner msatencinenlas estructuras matemticas. Los matemticos consideran al lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectanorelacionan. As, ensuformams general, se dice que el lgebra es el idioma de las matemticas.Las operaciones algebraicas son: suma,resta, multiplicacin y divisin de monomios o polinomios.1.2. Propiedades de los nmeros reales R1. La suma y la multiplicacin son operaciones binarias dentro de los nmeros reales R.2. La suma y la multiplicacin son conmutativas.3. La suma y la multiplicacin son asociativas.4. Los R tienen un elemento neutro aditivo nico, a saber, el cero.5. Los R tienen un elemento neutro multiplicativo nico, a saber el uno.6. Todo nmero real a tiene un opuesto o inverso aditivo nico, -a.7. Todo nmero real a tiene un opuesto o inverso multiplicativo nico, 1/a.8. Propiedad distributiva del producto sobre la suma: para cualesquiera nmeros reales a,b, c: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)9. La suma de dos reales positivos es positiva.10. El producto de dos reales positivos es positiva.11. Ley de la tricotoma: Para todo a Res verdadera solamente una de las siguientes proposiciones:a) a es positivob) -a es positivo; esto es a es negativo.c) a es cero.U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A8F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ALey de exponentes.Exponentes con la misma base:an.am = an+mPotencia de potencia:(an)m = an.mLey de signos.Para la suma: Signos iguales se suman y al resultado se pone mismo signo. Signos desiguales se restan, y alresultado se pone el signo del mayor(valor absoluto).Para la multiplicacin:+ * += ++ * - = --* += --* - = +1.3. Expresiones AlgebraicasLas expresiones algebraicas se clasifican segn su nmero de trminos. Monomio. Un solo trmino de la forma axn. Por ejemplo: Grado de un monomio.El grado de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las variables.Por ejemplo,el grado del monomio 4x3y2 es 5.Binomio. Suma de dos monomios.Por ejemplo: Trinomio. Suma de tres monomios.Por ejemplo: Polinomio. En general,un polinomioes una funcin de la forma:donde x es una variable escalar, n es un entero no negativo y los a0,...,an son escalares fijos que reciben el nombre decoeficientesdel polinomio P. La potencia ms alta de x(nsi el coeficiente anes distinto de cero) se denomina grado de P.Grado de un polinomio:Es el grado (relativo) del trmino de mayor grado. Tambin se define el gradoabsolutodeunpolinomiocomoel grado del trmino cuya suma de exponentes es el mayor. Esto ltimo se aplica a polinomios de mas de una variable.-El trmino de primer grado se llama trmino lineal. -Eltrmino de grado cero se denomina trmino independiente.Teorema del restoSe llama valor de un polinomio P(x) = a0xn + a1x n -1 ++ an -1x + an para x = c, y se designa P(c), el valor numrico que toma el polinomio cuando se sustituye la indeterminada,x, por el nmero c y se realizan las operaciones. Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x - 20para x = 2 se obtiene: P(2) = 324 - 522 + 32 - 20 = 14Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que eldivisor es un polinomio de grado 1, elresto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un nmero):P(x)| x - a R(x) Q(x)El teorema del resto afirma que el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)C(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R1.4. Operaciones algebraicasSuma o adicinPara sumar dos polinomios se escriben uno a continuacin de otro, intercalando entre ambos el signo de la adicin, y se reducen trminos semejantes.Para que entiendas mejor: Para sumar dos polinomios se agrupan los Trminos del mismo grado y se suman sus coeficientes. El resultado es otro polinomio.Ejemplos:Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 3 x + 1Q(x) = 3 x3 6 x2 5 x 2U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A900112211... ) ( x a x a x a x a x a x Pnnnnnn n+ + + + + F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ASumar aplicando la reglaP(x) + Q(x)=-2 x4 + (5 + 3) x3 6 x2 + (-3 5)x + (1 2) =-2 x4 +8 x3 6 x2 8x - 1Disposicin prctica-2 x4 +5 x3 + 0 x2 3 x + 1 3 x3 6 x2 5 x 2---------------------------------------2 x4 +8 x3 - 6 x2 8 x 1Resta o sustraccinLa sustraccin de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.Ejemplos:Para restar Q(x) de P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x).P(x) - Q(x) = P(x) + [- Q(x)]Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 3 x + 1Q(x) = 3 x3 6 x2 5 x 2Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes.Aplicando la reglaP(x) - Q(x)=-2 x4 + 5 x3 - 3 x + 1 + (-3) x3 + ( 6)x2 + ( 5) x + 2=-2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2x + 3Disposicin prctica-2 x4 +5 x3 + 0 x2 3 x + 1 -3 x3 + 6 x2 + 5 x + 2-------------------------------------2x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3MultiplicacinPara la multiplicacin se tienen que multiplicar los trminos entre ellos.Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada trmino de uno por cada uno de los trminos del otro y luego se suman los coeficientes de los trminos semejantes.Para operar se deben tener en cuenta la propiedad distributiva del producto sobre la suma de nmeros reales y la ley del producto de potencias de la misma base.Sean nuevamente los polinomios: P(x) = -2x4 +5x3 3x + 1 Q(x) = 3x2 x + 2determinar el polinomio producto P(x).Q(x) Aplicando la reglaP(x).Q(x) = 3x2 P(x) + (-x) P(x)+ 2 P(x)= (-2x4 +5x3 3x + 1) 3x2 + (-2x4 +5x3 3x + 1)(-x) + (-2x4 +5 x3 3x + 1) 2 == - 6x6 + 15x5 - 9x3 + 3x2 + 2x5 5x4 + 3x2 x 4x4 + 10x3 6x + 2 == - 6x6 + 17x5 - 9x4 + x3 + 6x2 7x + 2Disposicin prctica-2 x4 +5x3 3x + 13x2 x + 2-----------------------------------6x6 + 15x5 + 0x4 9x3+ 3x22x5 5x4+ 0x3 + 3x2 x- 4x4 + 10x3 + 0x2 - 6x + 2----------------------------------------------------- 6x6 + 17x5 9x4 + x3+6x2 7x + 2DivisinLa divisin es una operacin que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo)P(x)y el otro de los factores (divisor) Q(x) hallar el otro tercer factor llamado (cociente) D(x). El grado del divisor debe ser menor o igual que el grado del divisor. Luegoseprocedeadividir trminoatrmino, hastaobtener unrestoR(x)cuyogradosea menor que el grado del divisor.Si el restoescerosedicequeladivisines exacta.Lareversindelospasosefectuados enlos clculos muestra que:P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)Ejemplo: dividir P(x) entre Q(x)P(x) =6x4 + 7x3 + 12x2 + 10x +1 Q(x) = 2x2 +x +46x4 + 7x3 + 12x2 +10x +1|2x 2+x +4 6 x 43x 312x 2 6x2 +2x -1 4x3 + 0x2 + 10x +1 4x 32x 28x . 2x2+ 2x +1 2 x 2 +x +4 3x + 5Divisin sintticaU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A10ResiduoCocienteF A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ACuando el divisor es un binomio de la forma x a se puede aplicar la divisin sinttica: Ejemplo: dividir 5x3 + 3x2 + 4x + 5 entre x 2CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1I. Resolver las siguientes operaciones algebraicas:1) 5x +5 {5x 4 -[-2x +5- (2 x)] 2x }2) -3x2 +4x {2x 7x2 -[-6x +2x2- (5 x)] 2x2 }3) 2xy +5 {3x 4 -[-6xy +5x- y(3 3x)] 4x }4) z3 { 3x[-2y + 5x ( 8x +3y )] Z3 2(xy + 3)}5) (3x +1) [-4x + 5 - (2 8x)] 5x6) -3x2 + 4x{2x 7 -[-( 3x +2 )( 2 x )] 2x2 }7) 4xy - 2{3x 4[-6xy +5x - 2y(3 5x)] 7xy }8) (3x - 1)[-2x -4 (2 x)]9) (-3x2 + 4x 2)(2x 7x2 2)10) (2y +5)(3x 4)(5x y)11) (z3 3x2 + 5x 8)(-3y 2xy + 3)12) ) 3 8 (3 2 5 2 8 4 7 5b a b a b a b a + por ) 7 5 7 8 (4 8 6 4 4 5 4 3b a b a b a b a + +13) ) 3 8 4 17 (7 6 5 8 2 8 4 4 3b a b a c b a c b a + por) 7 13 7 5 (7 3 3 2 4 3 4 3b a b a c ab c b a + +14) ) 21 13 9 2 (9 4 3 2 8 2 7 9 9 5b a b a c b a c b a + ) 5 3 8 (3 5 2 3 2 7 5 2 8 4 4 7 5c b a b a c b a b a c b a + 15) x4 x2 - 2x 1 entre x2 + x +116) x5 + Y5entre x + Y17) x6 + 6x3 2x5 7x2 4x + 6 entre x4 3x2 + 2 18) x4 2x2 + 4x 6 entre x2 + 5 19) -3x2 + 4x 2 entre 6x 320)x xm xm 24 ; entre:x xm+21)1 4 42 4 5 6 + + m m m m m; entre: 1 42 3 + m m m22)4 3 8 18 11 32 3 4 5 7+ + + m m m m m m; entre: 4 32 4+ m m23)10 10y x ; entre: 2 2y x 24)7 2 4 2 3 2 2 24 +a a a ax x x x; entre: 2 1 3 + + a a ax x x25)n x n xb b a ab a + 1 1 ;entre:b a II. Otros ejerciciosDados los siguientes polinomios : U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A11F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A ; ; t(x) = x+1Determine el polinomio que resulta de cada operacin:a) p(x) + q(x) b) p(x) - h(x)c) r(x) h(x) d) p(x) t(xU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A12F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 2UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIN AL LGEBRATITULO:REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTESFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Primer etapa.1.5. Tecnicismo AlgebraicoTrminos SemejantesLos trminos algebraicos que difieren nicamente en su coeficiente se llaman trminos semejantes, osea, sonsemejantes aquellos trminos algebraicos que tienen la misma parte literal.Puestoqueuntrminoconcoeficiente0se reduce a 0, y en un trmino que contenga un factor o divisor literal con exponente 0 se puede sustituir dicho factor o divisor por 1, es por ellos que se aplica la siguiente Definicin: Dos trminos son semejantes cuando son ambos numricos o cuando ambos se componen de los mismos factores o divisores literales con exponentes correspondientes iguales. Enesteltimocasoloscoeficientes numricos puedenser nmeros cualesquiera distintos de cero.Ejemplos: Son trminos semejantes:+ 5y- 22aby-4ab- 3y4CUESTIONARIO WORK PAPER # 2Reducir a trminos semejantes los siguientes polinomios.1.- 7 a 9b + 6 a 4 b 2.- a + b c b c + 2 c a3.- 5x 11y 9 + 20x 1 y4.- - 6m + 8n + 5 m n 6m 115.- - a + b + 2b 2c + 3 + 2c 3b6.- - 81x + 19y 30z + 6y + 80x + x 25y7.- - 71a3b84a4b2+50a3b+84a4b2 45a3b + 18 a3b8.- 5a2 - 6ab - 8ab + 20 - 5ab 31 + a2 - ab9.-x4y-x3y2+x2y3-8x4y-x2y3-7x3y29+ 21x4y - y5 + 5010.- 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a - 0,7b - 0,9c + 3a - 3b - 3c11.- 214361433 23121 + + + y x y x y x12.- 5 x-2y + 3 xy-2 2 x-2y + 3 x-2y + 4xy-213.- 2 ab-1 + 5 a-1b + 6 a-2b-3 + 6 ab-1 + 3 a-1b14.- xy - xy + x2y2 - xy + 2 x2y215.- x-2 + x-1 + 2 x0 + 3 x + 6 x-1 + 2 x-2 + 4 x016.- 4 xnym + 2 xnym 5 x2ym 3 xnym + 6 x2ym17.- x - x + x - x18.-o.4 x2y + 31 + xy2 0.6 y3 - x2y 0.2 xy2 + y3 6U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A13F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 3UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIN AL LGEBRATITULO:PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLESFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Primer etapa.1.6. Productos Notables.Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas cuyos resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir sin verificar la multiplicacin. Entre estos productos tenemos: binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados, binomio al cubo y producto de dos binomios.ElBinomioal cuadradoesel cuadradodel primero ms el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo.(a + b) = a + 2ab + b(a b) = a 2ab + bEjemplo:a) Desarrollar la siguiente expresin algebraica aplicando el producto notable: el binomio al cuadrado: 22 21213 ,_

++yaax =( )( )( ) y y a aa a x x 2 222 2 1 1221213 2 3+ + + + + ,_

+=y yx xa ax x4 4 2 21 2 2413 9+ ++ ++ La Diferencia de cuadradosllamada tambin Binomios Conjugados es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.(a + b) (a b) = a - bEjemplo:a) Desarrollar la siguiente expresin algebraicaaplicandoel productonotable: diferencia decuadrados: 2 2) 5 ( ) 3 ( ) 5 3 )( 5 3 ( + xy xy xy25 92 2 y xElBinomioal cuboesel cubodel primero ms el triple producto del cuadrado del primero ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo ms el cubo del segundo.(a + b) = a + 3ab + 3ab + b(a-b) = a - 3ab + 3ab - bEjemplo:a) Desarrollar la siguiente expresin algebraica aplicando el producto notable: diferencia decuadrados: ( )35 3 x xy = 3 2 2 3) 5 ( ) 5 )( 3 ( 3 ) 5 ( ) 3 ( 3 ) 3 ( x x xy x xy xy + + + =3 3 2 3 3 3125 45 135 27 x y x y x y x + ElCuadrado de un trinomio se desarrolla de la siguiente manera:(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bcU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A14x axbF A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ACocientes Notables.Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspeccin.Cocientedeladiferenciadeloscuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades:b ab ab a +2 2;b ab ab a+ 2 2Cociente de lasuma o diferencia de los cubosde dos cantidades entre la suma o diferencia de dos cantidades: 2 23 3b ab ab ab a+ ++2 23 3b ab ab ab a+ + Cociente de lasuma o diferencia de potencias igualesde dos cantidades entre la suma o diferencia de dos cantidades:Ejemplos:3 2 2 34 4b ab b a ab ab a+ + + ++3 2 2 34 4b ab b a ab ab a + +4 3 2 2 3 45 5b ab b a b a ab ab a+ + + + 4 3 2 2 3 45 5b ab b a b a ab ab a+ + ++En resumen:Losresultadosanteriorespuedenexpresarse abreviadamente de este modo:1. an bn es siempre divisible por a b, siendo n cualquier numero par o impar.( / siempre + )2. an bn es solo divisible por a + b, cuando n es un numero par. (/+ n par)3. an + bn es solo divisible por a + b, cuando n es un numero impar. (+/+ n impar)4. an + bn nunca es divisible por a b ni por a + b, siendo n un numero par. (+/ nunca)CUESTIONARIO WORK PAPERS # 31. Hallar los siguientes productos: 1) 3x2 ( x y + z )2) ( a b ) ( x+ y )3) ( a + 3b )24) ( 2a 5b )25) ( a b + c )26) ( x + 10y ) ( x 10y )7) ( x 8 ) ( x + 6 )8) ( 2x + 3 ) ( 5x + 1)9) ( 2a + b )310) ( a 2b )311) ( x + 5 ) ( x2 - 5x + 25 )12) (6a2+2ab5)32. Hallar los siguientes cocientes: 1) 4a 2+ 6ab + 8ac 2a2) 9c 2+ 6cd + d 2 3c + d3) x 2 4xy + 4y 2

x 2y4) a 2 64 a + 85) 25 y 2 5 y6) 3a 2 b 2 c 2 2abc + ab 2 c abc7) 16x 4+ 8x 2 y 2+ y 4 4x2 + y28) 9p 2 24pq + 16q 2 3p 4q9) a 4 16 a2 + 410) 81 z 4 9 z2Problemas elementales: 1) En un patio rectangular se construye una piscina cuyas dimensiones se muestran en la figura.Sielpiso alrededor de la piscina tiene un ancho constante, cul es el rea total de ste?2) Demuestre queladiferencia delos cuadrados de dos nmeros impares consecutivos es divisible por 8. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A15F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD1.7. Descomposicin FactorialLa Factorizacin es la descomposicin de una expresin algebraica de varios trminos, en un producto de factores equivalente.a2 + ab= a(a + b) Los factores a y (a + b) que multiplicadas entre s dan como producto a2+ ab, son factores o divisoresdea2+ ab, es por ello que descomponer en factores o factoraruna expresin algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.A continuacin resumimos los diez casosms comunes de Factorizacin:CASO ICUANDOTODOS LOSTRMINOS DEUN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMNSe trata de encontrar un o ms factores comunesdetipomonomioopolinomiodentro de una expresin.a2 + 2 a = a(a + 2 a)10b 30 ab2 = 10b(1 3ab)Consiste en encontrar grupos de trminos que contengan factores comunes, que a su vez volvern a ser factores comunes.ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b)= (a + b) (x + y)CASO IIITRINOMIO CUADRADO PERFECTOConsisteenencontrar enuntrinomio, races cuadradas exactas de dos de sus trminos, de modoquesuproductomultiplicadopor 2sea igual al trmino restante.25 + 10b + b2La raiz cuadrada de 25 es 5La raiz cuadrada de b2 es bEl doble producto de ambos es 2.5.b es 10bPor tanto se trata de un trinomio cuadrado perfecto. 2 2b) (a b 10b 25 + + +CASO IVDIFERENCIAS DE CUADRADOS PERFECTOSSedeterminanlasracescuadradasdecada uno de los trminos U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I AWORK PAPER # 4 UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIN AL LGEBRATITULO:FactorizacinFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Primera etapa.16F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ACASO VTRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN Y SUSTRACCINx4 + x2y2 + y4 no es un cuadrado perfecto ya que faltaenel 2do. Trmino2x2y2,porlotantoes necesario adicionarlex2y2pero para que el trinomio novare hay querestarle lamisma cantidad:x4 + x2y2 + y4+ x 2 y 2 - x 2 y 2 x4 + 2 x2y2 + y4 x2y2 = (x4 + 2 x2y2 + y4) x2y2 = (x2 + y2)2 x2y2 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 xy) = (x2 + xy + y2) (x2 xy +y2)CASO VITRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + cx2 + 5x + 6El trinomiosedescomponeendosbinomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada de x2 o sea x:x2 + 5x + 6(x) (x)En el primer binomio despusde x se pone el signo + porque el segundo trmino del trinomio +5x tiene signo +. Enel segundo binomio, despusdex, seescribeel signoqueresulta de multiplicar elsigno de + 5x por elsigno de +6 y se tiene que + por + da +, o sea:x2 + 5x +6(x + ) (x + )Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos nmeros que cuya suma sea5ycuyoproductosea6. Esosnmeros son 2 y 3, luego:x2 + 5x + 6 = (x +2) (x + 3)CASO VIITRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c6 x2 7x 3Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene:36 x2 6(7x) 18, pero 36x2 = (6x)2y 6(7x) = 7(6x), luego podemos escribir:(6x)2 7(6x) 18 descomponiendo el nuevo trinomio: (6x -) (6x + ), Buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18. Estos son 9 y 2. Tendremos entonces: (6x 9) (6x + 2)Comohabamosmultiplicadoel trinomiopor6 al comienzo debemos dividirlo por lamisma cantidad para que no vare, tendremos:(6x 9) (6x+2) = (6x 9) (6x + 2)=(2x 3) (3x+ 1) 63 x 2por lo tanto: 6x2 7x 3 = (2x 3)(3x + 1)CASO VIIICUBO PERFECTO DE BINOMIOSParaqueunaexpresinalgebraicaordenada conrespectoaunaletraseael cubodeun binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:I. Tener cuatro trminos (ordenados)II. Queel primeroyel ltimotrminosea cubos perfectos.III. Que el 2do. trmino sea ms o menos el triplo del cuadrado de la raz cbica del primer trminomultiplicadopor laraz cbica del ltimo trmino.IV. Que el3er.Trmino sea ms o menos el triplo de la raz cbica del primer trmino por el cuadrado de la raz cbica del ltimo.Ej. Halla si 8x3 + 12x2 + 6x + 1 es el cubo de un binomioVeamossi cumplelascondicionesexpuestas anteriormente:- Tiene cuatro trminos- La raz cbica de 8 x3 es 2xLa raz cbica de 1 es 1- 3(2x)2 (1) = 12 x2, segundo trmino- 3(2x) (1)2 = 6x, tercer trminoCumple las condiciones, y como todos sus trminos son positivos, la expresin es el cubo de (2x + 1), es decir, de otro modo la expresin es equivalente a (2x + 1)3 CASO IXSUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOSRegla 1: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:i. La suma de sus races cbicasU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A17F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Aii. El cuadrado de la primera raz, menos el producto de las dos races, ms el cuadrado de la segunda raz.Ej: x3+1La raz cbica de x3 es x; la raz cbica de 1 es 1. Segn la regla i: x3 + 1 = (x + 1) [x2 x(1) + 12] = (x + 1) (x2 x + 1)Regla 2: Ladiferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:i. La diferencia de sus races cbicas.ii. El cuadradodelaprimeraraz, msel producto de las dos races, ms el cuadrado de la segunda raz.Ej: x38La raz cbica de x3 es x; la raz cbica de 8 es 2.Segn la regla i: x3 8 = (x 2) [x2 + x(2) + 22]= (x 2) (x2 + 2x + 4)CASO XSUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALESPor ejemplo:m5 + n5Dividiendo entre m + nlos signos delcociente son alternativamente +y - :m 5+ n 5= m4 m3n + m2n2 mn3 + n4, m + nluego: m5 + n5 = (m + n) ( m4 m3n + m2n2 nm3 + n4)La diferencia se realiza con las mismas reglas, excepto que los signos delcociente son todos +. CASOS ESPECIALESFactorizacindepolinomios:Parafactorizar unpolinomioseutilizael mtododeRufini el cual consiste en expresar un polinomio en producto de binomios.Mtodo de Ruffini Se aplica a polinomios de grado n. Consiste en buscar un valor x=a; tal que este valor reemplazado al polinomiodacomoresultado cero(Recuerde el teorema del resto). Luego el trmino(x - a)ser unfactor del polinomio original.En un polinomio P(x) existirn n valores de x segn sea el grado del polinomio. Para factorizar el polinomioutilizandoel mtodode Rufini se sigue los siguientes pasos:1. Ordenar el polinomio en forma descendente.2. Copiar loscoeficientes del polinomioysi falta un trmino asignarle coeficiente cero.3. Buscar un valor tal que al realizar la operacinseelimineel ltimotrmino. Se pueden probar con factores del termino independiente.4. Una vez encontrado los valores de x copiarlos como productos de binomios.Ejemplo4 4 3 42 3 4 + + x x x xLos factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -41 -43 4 -4x=1 . 1 -3 0 4 1 -3 0 4 0x=2 .2-2 -4 1 -1 -2x=-1 .-1 2 1 -2 0Por tanto:) 2 )( 1 )( 2 )( 1 ( 4 4 3 42 3 4+ + + + x x x x x x x xCUESTIONARIO WORK PAPER 41. 5 a2 + a2. m2 + 2mx + x23. x2 364. 9 x2 xy + y25. 27 a3 16. x5 + m5 7. a3 3 a2b + 5 ab28. 2 xy 6y + xz 3z9. 4 x4 + 3 x2y2 + y410. x8 6 x4y4 + y811. a2 a 3012. 15 m2 + 11m 1413.8 m3 27 y614.16 a2 24ab + 9 b215.x4 + 4x2 2116.6 x2 + 19x -2017.a(x + 1) b(x + 1) + c(x + 1)18. 1 a2b419. x6 + 4 x3 7720. 1 + (a 3)321. 343 + 8 a322. 6am 4an 2n + 3m23. 16 (2 + b)2U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A18F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A24.n2 + n 4225.x3 64 x426.(x + 1)2 8127.a2 (b + c)228.7 x2 + 31x 2029.81 x4 + 25 y2 90 x2y30.c4 4 d431.9 n2 + 4 a2 12an32.x2 + 3x 1833.1 + 18ab + 81 a2b234.4 a6 135.a4 + 3 a2b 40 b236.8(a + 1)3 137.1 + 1000x638.49 a2 x2 9y2 + 6 xy39.x 2 -y 6 481 40.x4 + 11 x2 39041. (x + y)2 + x + y42. a2- b2 + a3 b3Ejercicios Resueltos1. 4 42 3+ x x x (grupos)) 4 ( ) 4 (2 3 x x x) 4 ( ) 4 (2 2 x x x) 4 )( 1 (2 x x) 2 )( 2 )( 1 ( + x x xDe aqu:) 2 )( 2 )( 1 ( 4 42 3 + + x x x x x x2.32 24 x (combinacin)) 16 ( 2 32 24 4 x x) 4 )( 4 ( 22 2 + x x) 2 )( 2 )( 4 ( 22+ + x x xDe aqu:) 2 )( 2 )( 4 ( 2 32 22 2+ + x x x x3.y y x x 16 16 32 24 42 2+ + +(combinacin)Sumando y restando 4:4 16 16 36 24 42 2 + + + y y x x) 1 4 4 9 6 ( 42 2 + + + y y x x[ ] ) 1 4 4 ( ) 9 6 ( 42 2+ + + y y x x[ ]2 2) 1 2 ( ) 3 ( 4 + y x)]} 1 2 ( ) 3 )][( 1 2 ( ) 3 {[( 4 + + + y x y x[ ] ) 1 2 3 )( 1 2 3 ( 4 + + + + y x y xFinalmente:) 4 2 )( 2 2 ( 4 + + + y x y x4. 5 1032y x + (+/+)) 16 8 4 2 )( 2 (4 3 2 2 3 4 5y xy y x y x x y x + + + 5.814 xPrimera forma:) 27 9 3 )( 3 ( 32 3 4 4+ + + x x x x x)] 3 ( 9 ) 3 ( )[ 3 (2+ + + x x x x) 9 )( 3 )( 3 (2+ + x x xOtra forma:) 27 9 3 )( 3 ( 32 3 4 4 + + x x x x x) 3 ( 9 ) 3 ( )( 3 (2 + + x x x x) 9 )( 3 )( 3 (2+ + x x x6.4 4 3 42 3 4 + + x x x x(Rufini)Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -41 -43 4 -4x=1 . 1 -3 0 4 1 -3 0 4 0x=2 .2-2 -4 1 -1 -2x=-1 .-1 2 1 -2 0Por tanto:) 2 )( 1 )( 2 )( 1 ( 4 4 3 42 3 4+ + + + x x x x x x x xEjercicios propuestos115 11 22+ + x x (Trinomio de la forma 2)Resp. ) 5 2 )( 3 ( + + x xU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A19numeradordenominadorF A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A2 2 22y xy x (Trinomio de la forma 1)Resp.) )( 2 ( y x y x + 364 202 4+ x x (Trinomio de la forma 1 y dif. cuad.)Resp. ) 2 ) 2 )( 2 )( 4 ( + + x x x x4 2 26 9 y x x + + (trinomio perf. y dif. cuad.)Resp.) 3 )( 3 ( + + + + y x y xPROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD1.8. Fracciones algebraicasEsel cocienteindicadopor dosexpresiones algebraicas, como ser:Mnimo Comn Mltiplo de monomios (M.C.M.).-Sefactorizanloscoeficientesyse toman los factores con mayor exponente. En el caso de las literales se toman las literales con mayor exponente sin que stas se repitan.Ejemploa) Encontrar el mnimo comn mltiplo de los siguientes monomios: m b xmaxa4 2 2 2 324 , 36 , 10) 3 )( 2 ( 24) 3 ( ) 2 ( 36) 5 )( 2 ( 1032 2Literales con mayor exponente: m b x a4 2 2 3Entonces:m b x a m b x a4 2 2 3 4 2 2 3 2 3360 ) )( 5 )(3)(2( Mnimo comn mltiplo de polinomios (m.c.m.) En el caso de los polinomios se aplica la factorizacin a cada polinomio, luego en m.c.m. esel productodelosfactoresprimos comunes y no comunes con su mayor exponente.Ejemplo:a) Encontrar el mnimo comn mltiplo de los siguientes polinomios:y a axyxa224 8 4 + y y b x b2 26 6 xy y x y y xxy xyxy xyxa y a axyxa2 ) )( ( 2 , ,) 2 () 2 ( 4 4 8 422222222 + + + + ) 2 ( 422y xyxa donde de ) ( 222y x a Por otra parte: y b x b2 26 6 ) ( 62y x b ) ( 3 . 22y x b Por tanto, el M.C.M.entreambospolinomios ser:2 2) ( 12 y x ab 1.9.MximoComnDivisor demonomios (M.C.D.).-Se factoriza cada monomio y se toman los factores comunes con menor exponente.EjemploU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I AWORK PAPER # 5UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIN AL LGEBRATITULO:FRACCIONES ALGEBRAICASFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Primer etapa.20) 5 )(3)(2(2 3yx53F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Aa) Encontrar elmximo comn divisor de las siguientes expresiones: zyx3 212 ; z y x218 ;zyx2 324zyx zyx3 223 2) 3 ( ) 2 ( 12 z y x z y x2 2 2) 3 )( 2 ( 18 zyx zyx2 332 3) 3 ( ) 2 ( 24 xyz xyz D C M 6 ) 3 )( 2 ( . . . Simplificacin de factores: S factoriza tanto numerador como denominador, se cancelan los factores iguales y,se agrupan los factores que quedan, en un solo trmino.Ejemplo:a) Simplificar la siguiente expresin: mb ab a3 35 264 mb ab amb ab a3 35 23 35 2) 3 )( 2 () 2 )( 2 (64 amb3221.10. Operaciones AlgebraicasLas operaciones que se puede realizar con dos o ms expresiones algebraicas son: Suma, Resta, Multiplicacin y Divisin.Suma defracciones:Se obtiene el comn denominador a travs delmnimo comn mltiplo, dicho denominador se dividir entre los denominadores de cada fraccin; el cociente que resulte ser el nuevo numerador, el cual se simplificar con trminos semejantes. Una vez simplificado se observa si el numerador se puede simplificar1. Se obtiene el mnimo comn mltiplo de los denominadores2. Sedivideel mnimocomnmltiploentre cada uno de los denominadores3. Se multiplica resultado obtenido en el paso 2 por su respectivo numerador.4. Sesustituyenlosnuevos numeradores y denominador y se procede a la simplificacin.Restadefracciones:Seobtieneel mnimo comn mltiplo de los denominadores y se aplica el procedimiento de la suma recordando que el sustraendo es afectado por el signo de la operacin.Multiplicacin:Sefactorizatantonumerador como denominador en cada factor de la multiplicacin, se establece la multiplicacin de fracciones numerador por numerador y denominador por denominador.Finalmente se simplifica cada multiplicacin.Divisin:Para realizar la divisin de fraccionessecambialaoperacindela divisin por la multiplicacin con solo invertir el numerador por el denominador y el denominador por el numerador del segundo termino, una vez invertido se factorizan tanto numerador como denominador y se aplica elprocedimiento de la multiplicacin de fracciones.CUESTIONARIO WORK PAPER # 51. Realizar lassiguientes operaciones con fracciones algebraicas:1)112 213 312+++ x x x2)2 2x ax aaxx aax ax+++3)3 2) 1 (1) 1 ( 12++++++ aaa aa4)y y xy x 125)1214 32+y y xyx6)) ( ) ( 172b ab ab aaabab++++7)3 3 2 2 23 12y xy xy xy xx yy xy x + ++ 8)( )2 222 22 1 11 1b axab b ax b aabxb a + ++ + ,_

+9) ,_

+

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+b ab abbaa 1 22U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A21F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A10)2222221 11 1

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yxxyxyyxU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A22F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G AEjercicios resueltos1. Simplificar 2 224y xxy xy xy xy x+++Elm.c.m. de los denominadores es (x - y)(x + y) ) )( (4 ) ( ) (2 2 2y x y xx y x y x+ + + ==) )( (4 ) 2 ( ) 2 (2 2 2 2 2y x y xx y xy x y xy x+ + + + + ==) (4) )( () ( 4) )( (4 42y xxy x y xy x xy x y xxy x++ + 2. Simplificar

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2222221 11 1yxxyxyyx

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,_

222222 222 2222222) 1 ( ) 1 (1 11 11 1yxyxxyxy xyy xyxxyxyyx( )( ) ( )( )) 1 )( 1 )( 1 )( 1 (1 1) 1 ( ) 1 (1 12 2 2 22 22 2 2 2 + + + xy xy xy xyy x y xxy xyy x y x( )( )( )( )11 11 12 2 2 22 2 2 2 y x y xy x y xU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A23F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 6UNIDAD O TEMA:2. ECUACIONESTITULO:ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITAFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Primer perodo Ecuaciones algebraicasUna ecuacin algebraica es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadasincgnitasyquesoloseverificala igualdad de la ecuacin para determinados valores de la incgnita.Las Incgnitasde una ecuacin son representadas por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, etc.Transposicin de trminosConsiste en cambiar los trminos de una ecuacindeunmiembroaotro,pararealizar estos cambios se deben cumplir las siguientes reglas:1. Todaexpresinqueestesumandoenun miembro; pasa a restar al otro miembro.2. Todaexpresinqueesterestandoenun miembro; pasa a sumar al otro miembro.3. Todaexpresinqueestemultiplicandoen un miembro, pasa al otro miembro a dividir.4. todaexpresinqueestedividiendoenun miembro, pasa al otro miembro a multiplicar.Races osolucin de una ecuacin:Las races de una ecuacin son valores que reemplazados en las incgnitas o variables satisfacen la igualdad de la ecuacin. Una ecuacin tiene uno, dos o mas soluciones esto depender del grado de la ecuacin.Grado de una ecuacin:Las ecuacin pueden ser lineales o de primer grado, cuadrticas o de segundo grado y polinmicas de grado mayores o iguales a 3. El grado de la ecuacin es el mayor exponente que tienen la variable o exponente.Ejemplo: Indicar el grado de las siguientes ecuaciones4 3 5 x ecuacin de 1er grado3 6 3 22 + x x ecuacin de 2do grado6 2 3 72 3 + x x x ecuacin de 3er grado340 11 142 5 + x x xecuacin de 5 gradoSolucin de las ecuacionesExiste un teorema que indica que el grado de una ecuacin determina el nmero de soluciones que tiene la ecuacin. En estas soluciones se incluyen las soluciones complejas.Ecuaciones lineales de primer grado con una incgnita: Son aquellas ecuaciones que tienen grado uno; para resolver este tipo de ecuacin solo se debe despejar la variable o incgnita.Ejemplo:a) Resolver: 9 3 3 x9 3 3 x3 9 3 + x312 x 4 xU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A24F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Ab) Resolver:23) 1 )( 3 (+ xx x2 1 + x 3 xCUESTIONARIO WORK PAPER # 6 1. Resolver las siguientes ecuaciones lineales algebraicas1) 5 3 3 + x x2) 3( a- 4x ) +7( 2x - a) - 5( 3x +2a) = 03))]} 1 2 ( [ 5 { ) 1 2 ( 6 + + x x x x4) } 10 )] 5 ( 3 [ { ) 5 2 ( ) 3 )( 1 2 ( 32 2x x x x x + + + + +5)22 2 236 7156 45) 4 ( 237 2xxxxxx x ++6)1 321 963222x xx2. Problemas sobre ecuaciones lineales de primer grado con una incgnita.1) Un Hacendado ha comprado caballos y vacas por$us40000. Por cada caballo pag $us 600 y por cada vaca $us 800. Si compr 6 vacas menos que caballos, Cuantas vacas y cuantos caballos compr? 2) En cada da, de lunes a jueves,gano $us 6 ms que lo que gano el da anterior. SI el jueves gan el cuadruplo de lo que gan el lunes, Cunto gan cada da?3) % personas han comprado un negocio contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido 2 socios ms, cada uno hubiera pagado $us 800 menos. Cunto cost el negocio?4) Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La liebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto como la liebre en 8. Cuntos altos debe dar el perro para alcanzar a la liebre?5) Dos autos que llevan la misma velocidad pasan en el mismo instante por dos puntos, A y B, distante entre si 186 Km y van uno hacia el otro. A que distancia de A se encontraran?Pr obl emas r esuel t os y pr opuest osEjercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 aos ms que el segundo y este 3 ms que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 aos qu edad tiene cada hermano ? Para resolver estos problemas debemos elegir algn valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos: x = edad del hermano menor. A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuacin) con ellos: Ser: x + 3 : edad del hermano mediano x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor Ecuacin: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40, Resolviendo la ecuacin se obtiene x = 10, luego la solucin del problema es: Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 aos. Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, cuntos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) El permetro de un jardn rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. ms que el lado menor. Cunto miden los lados del jardn ? (Sol: 9 y 20 m)b) Halla un nmero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual al nmero pedido. (Sol: 4). U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A25F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 7UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONESTITULO: SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES ECUACIONES DE GRADO SUPERIORFECHA DE ENTREGAPERIODO DE EVALUACIN: Primer perodoSistema de ecuaciones lineales:Para resolver sistemasdedosecuacionescondos incgnitas se los realiza utilizando los siguientes mtodos: Sustitucin, Igualacin y Reduccin.Mtodo de sustitucin:Este mtodo consiste en despejar una incgnita en una ecuacin y se sustituye en la otra ecuacin para obtener una delasvariables; unavezobtenidaunadelas variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable. Ejemplo:a) Determinar los valores de las variables en el siguiente sistema de ecuacin :' +19 3 824 5 2y xy xDespejamos lavariablex delaprimera ecuacin:24 5 2 + y xy x 5 24 2 25 24 yx Reemplazo la x en la segunda ecuacin:19 3 8 y x19 325 248 ,_

yy19 3 ) 5 24 ( 4 y y19 3 20 96 y y96 19 23 + y 23115 y 5 yy = -5;reemplazo en la ecuacin 125 24 yx 225 24 + x 21 xPor lo tanto la solucin del sistema de ecuacin es 21 x;5 yMtodo de reduccin:Este consiste en prepararan las dos ecuaciones (multiplicando por los nmeros convenientes) para que una de las incgnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, una vez multiplicadas se suman ambas ecuaciones y desaparece una incgnita de donde se despeja una de las variables; una vez obtenida una de las variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable.Ejemplo:a) Determinar los valores de las variables en el siguiente sistema de ecuaciones:' 3 66 2 4y xy xU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A262) 5 ( 5 24 xF A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G AParaeliminar lavariableymultiplicamospor -2 a la segunda ecuacin:6 2 4 y x6 2 12 + y x12 0 8 + x 812 x 23 xx = 5; reemplazo en la ecuacin 16 2 4 y x6 2234 ,_

y ; 6 2 6 y6 6 2 y212 y 6 yCUESTIONARIO WORK PAPER # 71. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:1)' +7 4 326 5 2y xy x2)' + 13 8 95 4 7y xy x3)' + +5 31 2y xy x4)' + +754439 972y xy x5)' + 473543523y xy x2. Problemas de aplicacin1) Jorge se arriesga a preguntar la edad de su novia y ella le responde: Tengo el doble de laedadquettenascuandoyotenala edad que tienes, y cuando t tengas la edadque tengo nuestras edades sumarn 63 aos. Halle lasedadesactuales delos novios. (Resp. 28, 21)2) UntrensaledeCochabambahaciaSanta Cruz, a216kmdedistancia, alas9.00 a.m . Una hora ms tarde, un tren sale de Santa Cruz hacia Cochabamba. Se encuentran al medioda. Si el segundo tren hubiese partido a las 9.00 a.m y el primero a las 10.30 a.m, tambin se hubieran encontrado al medioda. Averige la velocidad de cada tren. (Resp. 36 Km/h, 54 Km/h)3) Parael dadecomienzodel Forumsobre Ingeniera de Sistemas, se vendieron 1000 boletos. Los asientos de platea costaron 8 Bs., los delmedio 6 Bs., y los delfondo 5 Bs. El nmero combinado de boletos vendidos para platea y del medio excedan por 400 el doble de los boletos del fondo. El total deingresosparaeseForumfuede 6280Bs.. Cuntosboletossevendieron de cada uno? (Resp. 240, 560, 200)4) EnunafbricadeTelecomunicacionesse fabricandostiposdeantenasparablicas que se venden a 3 y 5 $us, respectivamente. Si se venden 140 antenas de los dos tipos, los ingresos obtenidos son de 526 $us. Cuntas antenas se vendieron de cada tipo? (Resp. 87, 53)5) LafamiliaGonzlez, lafamiliaLpezyel matrimonio Ugarte almorzaron en el mismo restaurante. Los Gonzlez, que comieron 3 bifes,2 ensaladasy 5 gaseosas,gastaron 53 Bs.Los Lpez que comieron 5 bifes,3 ensaladasy9gaseosas, gastaron91Bs. Cunto gastaron los Ugarte que comieron entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1 gaseosa?6) Roxanacuentaquecuandocumpliaos en el 2005 descubri que su edad era igual a la suma de las cifras del ao de su nacimiento. Cuntos aos tena?7) Laspersonasqueasistieronaunexamen de grado se estrecharon las manos. Uno de ellos advirti que los estrechones de mano U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A27F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Afueron 66. Cuntas personas asistieronal examen? (Resp. 12 pers.)8) UnDocentegastalamitaddesusueldo mensualmente en elalquiler de la vivienda yalimentosdesufamiliay3/8del sueldo enotrosgastos. Al cabode5mesesha ahorrado 400 Bs.. Cul es su salario mensual? (Resp. Bs. 640)9) Un comerciante de implementos petroleros vende dos plantas generadoras: la primera en8920$us. ylasegundaen1200$us. Segnel comerciante, lagananciaporla segunda planta fue de 40% sobre su precio de costo y una prdida de 20% por la venta delaprimera. Determinelagananciatotal obtenida por el comerciante.10) Un ingeniero se va a retirar del negocio de lascomputadorasylasreparteentresus cuatrohijos. El primerorecibelamitad, el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta parte y el ltimo las 7 ltimas computadoras.Cuntas computadoras se repartieron?11) El sbado Juan compr 6 disquetes para su computadora. Dosdasdespusel precio delosdisquetesseredujoen1.2Bs. por unidad. Alidacompr10disquetesenla oferta y pag 4 Bs.. ms queJuan por los disquetes. Cul era el precio original?12) Dos remolques deben trasladar cierto nmero de equipos petroleros a un mismo depsito. El primero lo pude hacer tres vecesmsrpidoqueel segundo. Juntos puedencompletar el trabajoen12horas. Determine el tiempo que tardara cada uno en trasladar todos los equipos por s solo.13) En un prado la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Se necesitan 70hombresparacortar en24dasy30 hombres para hacerlo en 60 das. Cuntos hombres seran necesarios para cortar toda la hierba en 96 das?14) Duranteel dadelasBrigadasUdabol se habilitaron 900asientos en los micros que trasladaran a los estudiantes. Se les dieron 2papeletasrojasaMedicina, 3papeletas verdes a Ingeniera y 4 papeletas azules a Empresariales. En cierto monitoreo con todoslosasientosocupados, lamitadde los asientos de Empresariales era iguala Medicina e Ingeniera juntos. Si las papeletas totalizaron 3200. Cuntos de Medicina asistieron a la reunin?15) Isaac Newton naci en el siglo XVII y muri enel sigloXVIII. Sabiendoqueel nmero formado por los dos ltimos dgitos del ao de nacimiento aumentado en 12 es el doble del nmero formado por los dos ltimos dgitos del ao de su muerte, u ste ltimo nmero aumentado enlaunidad es dos tercios del primero. Determinar, a que edad muri Newton?Ecuaciones cuadrticasSon aquellas ecuaciones que tienen grado dos, lasecuacionescuadrticastienenlasiguiente forma:ax2 + bx + c = 0 ; a 0Esta ecuacin se resuelve de la siguiente manera:0 ) ( ) (2 + + ac ax b axac ax b ax + ) ( ) (24 4) ( ) (2 22bacbax b ax + + +4 222bacbax + ,_

+4 222bacbax + t ,_

+4422ac b baxt +2422ac b baxt En consecuencia: aac b bx242 t Estaexpresinencierradosfrmulas, quese pueden expresar en la siguiente forma:U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A28F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Aac a b bx24 22 , 1tUna ecuacin cuadrtica tiene solucin real solo si: (b2 4 a c) 0 esta expresin es denominado discriminante de la ecuacin. Ejemplo:a) Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica: 3 x 2+5 x 2 = 03 2) 2 ( 3 4 5 5 2 t x67 5 624 25 5 t+ t x3167 5 1+ x2 67 5 2 x

b) Resolver la siguiente ecuacin cuadrtica: 2x2 8x = 0A veces tambin es posible resolver la ecuacin cuadrtica, factorizando:2 x 2 8 x = 02 x (x 4)= 02 x = 0 x 1 = 0x 4 = 0x 2 = 4Naturaleza de las races: Sea la ecuacin:ax2 + bx + c = 0, con a , b y c nmeros reales ya 0, x1yx2 susraces,entonces:1. b 24 a c>0x1yx2sonreales ydistintas.2. b 24 a c=0x 1=x 2y ademssonreales.3. b 24 a c0 la parbola se abre hacia arriba. Si p 0 la parbola se abre a la derecha. Si p < 0 la parbola se abre a la izquierda.La elipse.Laelipseesel lugar geomtricodeunpunto que se mueve en elplano de talmanera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor queladistanciaentrelosdospuntos. Los dos puntos fijos sellaman focos dela elipse.XYL V V F F CcbaLAA C FC FLaecuacindeunaelipseconC(h, k) yeje focal paralelo al eje X es:( ) ( )12222+b k ya h xLaecuacindeunaelipseconC(h, k) yeje focal paralelo al eje Y es: ( ) ( )12222+a k yb h xEn donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro hacia cada foco y a, b, c estn ligadas por la siguiente relacin:2 2 2c b a + , en donde c es la distancia desde el centro de la elipse hacia su foco.Tambin para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: abLR22 .La excentricidad de una elipse es:ace .Loselementosdeunaelipsesonlosquese describen en la figura siguiente: F y F, focos. V y V, vrtices C, centro. d(V, V), eje mayor. CF, lado recto. d(A, A) eje menor. L, eje normal. L, eje focal.U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A45F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G ALa hiprbolaLa hiprbola es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera queel valor absolutodeladiferenciadesus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos. XYLF V V CAL A F C F C F La ecuacin de una hiprbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma: ( ) ( )12222b k ya h xSus focos son (h + c, k) y (h .- c, k).Sus vrtices son (h a, k) y (h + a, k).La ecuacin de una hiprbola centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje Y es de la forma:( ) ( )12222b h xa k ySus focos son (h , k + c) y (h, k - c).Sus vrtices son (h - a, k ) y (h + a, k ).Donde para cada parbola a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado y c la distancia del centro a cada foco;a, b, c estn ligadas por la relacin 2 2 2b a c + .Tambin paraladorectodelahiprbola, la longitud decada unode sus lados rectoses: abLR22 .La excentricidad de una elipse es:ace .Sus elementos son los que se muestran en la figura: F y F, focos. V y V, vrtices. L, eje focal. VV, eje transverso. C, centro. L, eje normal. AA, eje conjugado. CF, lado recto.Las asntotas deunahiprbolaestndadas por siguiente ecuacin:( ) k h xaby + t CUESTIONARIO WORK PAPER # 111. Distancia entre dos puntos.1) Demostrar que las coordenadas delossiguientes puntos, formanun triangulo issceles : P1( - 2, - 1) ; P2( 2, 2) ; P3( 5, - 2)2) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 1); P2 (6, 4).3) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 4); P2 (-6, -3).2. Pendientes, ngulos y grafica.1) Hallar el ngulo deinclinacin que tiene la lnea de segmentos formada por los puntos: (5,2), (3,-4).2) Hallar lapendienteyel ngulo de inclinacin de la recta2X + Y 8 = 0.3) Hallar elngulodeinterseccin de las rectas L1: 6X + 3Y 15 =0L2: X + 2Y + 2 =0.3. Distancia entre dos puntos.1) Demostrar que las coordenadas delossiguientes puntos, formanun triangulo issceles :P1( - 2, - 1) ; P2( 2, 2) ; P3( 5, - 2)U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A46F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A2) Hallar la distancia entre los puntos:P1 (2, 1); P2 (6, 4).3) Hallar la distancia entre los puntos:P1 (2, 4); P2 (-6, -3).4. Rectas con sus respectivas grafica.1) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntosP1( 3, 3) ; P2 ( 5, - 3) .2) Hallar la ecuacin de la recta quepasapor el puntoP1( 5, 4) y su pendiente es: m = -3.3) Hallar la ecuacin de la recta que corta al eje de las abscisa en 3 y la ordenada en -2.4) Hallar la ecuacin de la recta que corta alaordenada en-5y su pendiente es 2/ 35. Rectasparalelasyperpendicularescon sus respectivas graficas.1) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por P1( 5, 4)y es paralela a la recta2x + 3y - 9 = 0.2) Hallar la ecuacin de la recta que corta a la abscisa en -3 y es paralela alarecta quepasa por los puntos:P1 ( 0, - 2) ; P2 ( 5, 2)3) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por la interseccin de las rectas:L1: 7x+8Y- 29=0L2: 5X+11Y- 26=0y es perpendicular a la recta:4X+ 2Y- 5=06. La circunferencia consus respectivas graficas.1) Hallar laecuacindelacircunferencia que tiene su centro en P( 5, - 1) y un r adi o R=42) Hallar la ecuacin de la circunferencia que tiene centro en P1 (4, 4) y es tangente al eje X.3) Encontrar la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto P1 (5, 7) y posee un radio R = 37. La parbola con sus respectivas graficas1) Hallar la ecuacin de la parbola que tiene vrtice en V (3,2) y foco en: F (5,2).2) Hallar la ecuacin de la parbola que tiene foco en F (6,-2) y por directriz a la recta X = 2.3) Determinar la ecuacin de la parbola que tiene vrtice en V (-5,-3) y tiene directriz en Y = 48. Graficar las siguientes cnicas1) x2 4x 12x + 6 =02) y2 +6y +2x -3 = 03) x2 + 2x 7y+2 = 54) 9x2 + 4y2 36x 8y 104 = 05) 4x2 25y2 32x + 50y 61 = 06) 1 6 x2+ 2 5 y2- 1 2 8 x -3 0 0 y + 7 5 6 = 07) 2 5 x2+ 9 y2- 2 2 5 = 08) x2+ 4 y2- 4 x - 8 y - 2 8 = 09) 5 x2- 4 y2- 2 0 x + 2 4 y + 2 0 = 010) 2 5 x2- 4 9 y2-1 0 0 x + 2 9 4 y + 8 8 4 = 0U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A47F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 12UNIDAD O TEMA: 7. LGICA Y CONJUNTOSTITULO:LGICA PROPOSICIONALFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Tercer PerodoProposicinUna proposicin es cualquier enunciado lgico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0). Dada una proposicin p, se define la negacin de pcomo la proposicin p'que es verdadera cuando pes falsa y que es falsa cuando pes verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lgicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en funcin de los valores de las proposiciones de que secomponen, locualserealizaatravs de las tablas de verdad de dichas operaciones.Por ejemplo, la tabla de verdad de la negacin es la siguiente:p p'1 00 1Acontinuacin se describen las principales operaciones lgicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:Conjuncin:es aquella proposicin que es verdadera cuando py qson verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.Se escribe p q, y se lee "p y q".

p q p q 1 1 11 0 00 1 00 0 0Disyuncin:es aquella proposicin que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,y falsaen caso contrario.Se escribe p q, y se lee "p o q".

p q p q 1 1 11 0 10 1 10 0 0Disyuncin exclusiva:es aquella proposicin queesverdaderacuandounayslounade las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso.Se escribe p q, y selee "p o q pero no ambas". p q p q1 1 01 0 10 1 10 0 0Condicional:es aquellaproposicinquees falsa nicamente cuando la condicin suficiente p es verdadera y la condicin U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A48F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Anecesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee "si p entonces q".

p q p q 1 1 11 0 00 1 10 0 1Bicondicional:es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y slo si p entonces q".p q p q 1 1 11 0 00 1 00 0 1Tautologa y contradiccinUna proposicin se dice que es una tautologa si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p' .Una proposicin se dice que es una contradiccinsi su valor de verdad es siempre0independientementedelosvalores delas proposiciones que lo componen; por ejemplo: p p' . Una paradojaes una proposicin a la que no selepuedeasignar ningnvalor deverdad; suelenestar relacionadasconincorrecciones en el lenguaje lgico. Por ejemplo: p="la proposicin p es falsa".Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes sitienen la misma tabla de verdad en funcin de las proposiciones elementales que lo componen; esta definicin equivale a decir que laproposicinpqesunatautologa. Por ejemplo, las proposiciones p q y q' p' sonequivalentes. Estaleysellama"ley del contrarrecproco", y se usa en los razonamientos por reduccin al absurdo.Se pueden obtener fcilmente ms "resultados lgicos" a travs de su relacin con la teora de conjuntos.NOCION INTUITIVA DE CONJUNTOUnconjuntoes la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Sia es un elemento del conjunto A, se denota con larelacin de pertenenciaa A.En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:o : elconjunto vaco, que carece de elementos. o N: el conjunto de los nmeros naturales. o Z: el conjunto de los nmeros enteros. o Q : el conjunto de los nmeros racionales. o R: el conjunto de los nmeros reales. o C: el conjunto de los nmeros complejos. Se puede definir un conjunto: porextensin, enumerandotodosycada uno de sus elementos. porcomprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llavesa sus elementos, si se define por extensin,supropiedadcaracterstica, si sedefinepor comprensin. Por ejemplo:A := {1,2,3, ... ,n} B := {p Z | p es par}SedicequeAestcontenidoenB(tambin que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota AB, si todo elemento de A lo es tambin de B, es decir, a A a B. DosconjuntosAyBsediceniguales, yse denota A = B, sisimultneamente A B y B A; estoequivaleadecir quetienenlosmismos elementos (o tambin la misma propiedad caracterstica).Para cualquier conjunto A se verifica queA y A A; B A es un subconjunto propio de A si A y B A. U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A49F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G AEl conjunto formado por todos los subconjuntos de A se llama partesde A, y se denota (A). Entonces,la relacin B A es equivalente a decir B (A). Ejemplos:Si A={a,b} entonces(A)={, {a}, {b}, A}. Si a A entonces {a} (A). Cuando en determinado contexto se consideransiempreconjuntosquesonpartes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A B := {a A | a B}. Asimismo, se llama diferencia simtrica entre A y B al conjunto A B := (A B) A Si A (U), a la diferencia U - A se le llama complementariodeArespecto deU, yse denotaabreviadamentepor A' (Usesupone fijado de antemano). Esfcil ver quesi AyBsonsubconjuntos cualesquiera de U se verifica: ' = U .U ' =.(A')' = A . A B B' A' . o SiA = { x U | p(x) es una proposicin verdadera} entonces A'= { x U | p(x) es una proposicin falsa}. Sellamaunindedosconjuntos AyBal conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,es decir: A B := { x | x A x B}. Se llama interseccin de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A B := {x | x A x B}. Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fcil ver que AB=AB'. Enestecaso, las llamadas operacionesbooleanas(unin e interseccin) verifican las siguientes propiedades:Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unin e interseccin tenga una estructura de lgebra de Boole.DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de suelen representar grficamentemediante"diagramasdeVenn", con una lnea que encierra a sus elementos.As,todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar grficamente con el fin de obtener una idea ms intuitiva. A B A B A B A - B U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I APROPIEDADES UNIN INTERSECCIN1.- Idempotencia A A = A A A = A 2.- Conmutativa A B = B A A B = B A 3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C 4.- Absorcin A ( A B ) = A A ( A B ) = A 5.- DistributivaA ( B C ) = ( A B ) ( A C )A ( B C ) = ( A B ) ( A C )6.- ComplementariedadA A' = U A A' = 50F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G A A B CUESTIONARIO WORK PAPER # 121.- Dados los conjuntos, escribirlos por comprensin. A = { g ; a ; t ; o} E = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 } 2.- Representar en Diagrama de Venn :R = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; S = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 }3.- Si A = ( a ; b ; c ; d ; e ; f ; k ) B = ( a ; c ; e ; k )Hallar : A -BPROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADWORK PAPER # 13UNIDAD O TEMA: 8. INDUCCION MATEMTICATITULO:INDUCCINFECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIN: Tercer Perodo8. Principio de Induccin Matemtica 8.1 Conjuntos Inductivos. Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designadopor "1"yformando1+1(llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y as sucesivamente.Envirtuddequenosepuededepender del significado un poco oscuro de "y as sucesivamente" ydequesedebetener una base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da una definicin del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo.8.2Definicin.Un conjuntoSdenmeros es unconjuntoinductivos yslosStienelas siguientes propiedades:S a S a iiS i ) 1 ( .1 .+ Ejemplo 1. El conjunto S1={1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porquenoobstanteque 1 S1; (1+1) S1.Elconjunto Z+es elconjunto de nmeros con la propiedad de que sikes cualquier conjunto inductivo de nmeros, entonces Z+ k. Se dice a veces, que el conjunto de los enteros U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A51F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Apositivos, es el "ms pequeo" conjunto inductivo de nmeros.8.3 Teorema fundamental de Induccin Matemtica. Sea Sn una funcin proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+. Si Snsatisface las siguientes dos condiciones:Entonces Sn es cierta para todo nZ+.DemostracinSea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual Sn es cierta. Es decir:De i. se observa que 1 k. De ii. se observa quekk(k + 1) k. Por tantokesunconjuntoinductivoypor la definicin de k se sabe que kZ+. De otra parte Z+k. Por consiguiente Z+= k, es decir Sn es cierta para todonZ+. Ejemplo 2. Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares positivos esn2.Sea Sk=1+3+5+7+... +(2k-1) =kn (hiptesis de induccin) Entonces hay que demostrar que S1 es cierta y que Sk Sk+1 es cierta. S1= 1 = 12 sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) Entonces,sk+1 = sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2 Con lo anterior queda demostrado que la suma de los n impares positivos es n2.CUESTIONARIO WORK PAPER # 131. Demuestre que:para todo n 1.2. Demuestre que:2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2 para todo n 1.3. Demuestre que:para todo n 14. Demuestre que:para todo n 1.5. Demuestre que:para todo n 1.U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A52F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADDIFs# 1UNIDAD O TEMA: 1TITULO: OPERACIONES ALGEBRAICASFECHA DE ENTREGA:PERIODO DE EVALUACIN: PrimerPerodoSe pueden aplicar operaciones algebraicas para analizar fenmenos relacionados con su especialidad, comotareadeinvestigacinbusqueaplicacionesprcticasdesucarrera, paraello consulte con especialistas de ramo..CONCLUSIONES (debern sintetizar la opinin del grupo):COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):GRUPO (mximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMAU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A53F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADDIFs# 2UNIDAD O TEMA: 2TITULO: ECUACIONES Y PROBLEMAS DE ECUACIONESFECHA DE ENTREGA:PERIODO DE EVALUACIN: Segundo PerodoLas ecuaciones, son herramientas matemticas, que permite el anlisis fenmenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigacin busque aplicaciones prcticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramoCONCLUSIONES (debern sintetizar la opinin del grupo):COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):GRUPO (mximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMAU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A54F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADDIFs# 3UNIDAD O TEMA: 5TITULO: APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRAFECHA DE ENTREGA:PERIODO DE EVALUACIN Segundo Perodo:La trigonometra es una herramienta matemtica, que permite el anlisis fenmenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigacin busque aplicaciones prcticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramoCONCLUSIONES (debern sintetizar la opinin del grupo):COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):GRUPO (mximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMAU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A55F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G APROGRAMA DE CONTROL DE CALIDADDIFs# 4UNIDAD O TEMA: 7TITULO: APLICACIONES DE LGICAFECHA DE ENTREGA:PERIODO DE EVALUACIN Segundo Perodo:La lgica matemtica es una herramienta, que permite resolver, plantear o explicar diversos fenmenos relacionados con su carrera. Como tarea de investigacin busque aplicaciones prcticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramoCONCLUSIONES (debern sintetizar la opinin del grupo):COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):GRUPO (mximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMAU N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A56