Ondas Electromagneticas - Leyes de Maxwell

�07/09/2015

�1

UNIVERSIDAD DISTRITALFRANCISCO JOSE DE CALDAS

Ondas Electromagnéticas

Tema IV

Por:

Carlos A. Suárez F.

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSE DE CALDAS

Ondas Electromagnéticas Curso 2015/2 LIMER

CONTENIDO DEL CURSO

1. Introducción2. Repaso Algebra y cálculo vectorial3. Las Ecuaciones de Maxwell4. Ondas Electromagnéticas.5. Propagación de Ondas Electromagnéticas6. Ondas Guiadas7. Radiación de Ondas Electromagnéticas

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Ondas electromagnéticas

Introducción

Una de las primeras aplicaciones de las ecuaciones de Maxwel lse llevará entorno a los fenómenos de la propagación de ondaselectromagnéticas, la cual fue predicha por tales ecuacion es,sin embargo fue comprobada posteriormente por Hertz en susexperimentos, mediante los cuales Hertz logró generar ydetectar ondas de radio.En este sentido, dentro los ejemplos de ondas deelectromagnéticas mas comunes se pueden mencionar lassiguientes: las ondas de radio, las señales de TV, la telefon íamóvil, los haces de radar, los rayos luminosos entre otros.Todas las formas de energía electromagnética comparten tre scaracterísticas fundamentales a saber: se desplazan a granvelocidad, adoptan al hacerlo las propiedades de las ondas eirradian hacia afuera desde una fuente sin la ayuda de unvehículo físico determinable.




Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell permitendeterminar las expresiones para los camposelectromagnéticos en problemas con condiciones de fronter adefinidos. Estas soluciones son ecuaciones diferencialesparciales de primer orden, sin embargo, las ecuaciones deMaxwell resultantes de este proceso son ecuacionesdiferenciales parciales acopladas, es decir, cada ecuació ncontiene más de un campo desconocido (más de una variable)Como se mostró en secciones anteriores, las ecuaciones deMaxwell pueden ser desacopladas, con el inconveniente que e lorden de las mismas se incrementa, de tal manera que cadauno de los campos desacoplados, son determinados porecuaciones diferenciales parciales desacopladas de segun doorden, las cuales son usualmente denominadas comoecuaciones de onda.


Introducción

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En la sección anterior han sido establecidas lasecuaciones de Maxwell para corrientes y cargaseléctricas, sin embargo, en ciertos problemas como esel caso del análisis de las antenas de apertura, esconveniente introducir unas distribuciones ficticias dedensidad de corriente magnética � y de densidad decarga magnética ��, las cuales no son físicamenterealizables, pero permiten balacear las ecuaciones deMaxwell, logrando simplificar los cálculos de loscampos producidos por este tipo de estructuras.Introduciendo estas cantidades ficticias, lasecuaciones de Maxwell toman la forma:

Ecuaciones de onda con fuentes eléctricas y magnética






Ecuaciones de Maxwell con fuentes eléctricas y magnética

tσ ε ∂∇× = +

∂

�

� � � EH J + E

i

�

J = J Densidad de corriente aplicad a

c σ=�

J E Densidad de corriente de conducción

d tε ∂=

∂

�

EJ Densidad de corriente de desplazamiento

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tµ ∂∇× = − −

∂

�

�� HE Μ

m∇⋅ =�

B ρ

e∇ ⋅ =�

D ρ






e

t

∂∇ ⋅ = −∂

� ρJ

m

t

∂∇ ⋅ = −∂

�

Μρ

Es importante recalcar que las densidades de cargas y corrie ntes magnéticasson una herramienta matemática solamente, sin tener un sign ificado físico.


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tµ ∂∇× = − −

∂

�

�� HE Μ

( )t t

µ µ∂ ∂∇×∇× = − ∇× − ∇× − ∇× − ∇×∂ ∂

�

�� HE Μ = H Μ

∇×∇×�

E

Ecuaciones de onda vectoriales para E





tσ ε ∂∇× = +

∂

�

� � � EH J + E

∇×∇×�

H

( )t

σ ε ∂∇×∇× = ∇× ∇× + ∇×∂

� � � �

H J + E E

Ecuaciones de onda vectoriales para H

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( ) ( )2

tµ ∂∇×∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇ = − ∇× − ∇×

∂� ��

E E E H Μ

( ) 2

t tµ σ ε∂ ∂ ∇ ∇ ⋅ − ∇ = − + − ∇× ∂ ∂

�

�� EJ + EE E Μ

tσ ε ∂∇× = +

∂

�

� � � EH J + E






( )2

22t t t

µ µσ µε∂ ∂ ∂∇ ∇ ⋅ − ∇ = − − − − ∇×∂ ∂ ∂

� � �

��

E E ΜJ E E

( ) 2

t tµ σ ε∂ ∂ ∇ ∇ ⋅ − ∇ = − + − ∇× ∂ ∂

�

�� EJ + EE E Μ


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( )2

22t t t

µ µσ µε∂ ∂ ∂∇ ∇ ⋅ − ∇ = − − − − ∇×∂ ∂ ∂

� � �

��

E E ΜJ E E

e ε∇ ⋅ =�

E ρ

( )2

22e t t t

ε µ µσ µε∂ ∂ ∂∇ − ∇ = − − − − ∇×∂ ∂ ∂

� � �

��

E ΜJ E E

ρ






( )2

22e t t t

ε µ µσ µε∂ ∂ ∂∇ − ∇ = − − − − ∇×∂ ∂ ∂

� � �

��

E ΜJ E E

ρ

22

2et t tµ ε µσ µε∂ ∂ ∂∇ = ∇× + ∇ + +

∂ ∂ ∂

� � �

�� J E EρE Μ +


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( )t

σ ε ∂∇×∇× = ∇× ∇× + ∇×∂

� � � �

H J + E E

t t tσ µ ε µ ∂ ∂ ∂∇×∇× = ∇× − − + − − ∂ ∂ ∂

� �

� � ��

H J +H H

Μ Μ

tµ ∂∇× = − −

∂

�

�� HE Μ






2

2t t tσ σµ ε εµ∂ ∂ ∂∇×∇× = ∇× − − − −

∂ ∂ ∂

� ��

� ��

H JH Μ H

Μ

t t tσ µ ε µ ∂ ∂ ∂∇×∇× = ∇× − − + − − ∂ ∂ ∂

� �

� � ��

H J +H H

Μ Μ


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( )2

22t t t

σ σµ ε εµ∂ ∂ ∂∇ ∇ ⋅ − ∇ = ∇× − − − −∂ ∂ ∂

� ��

� � ��

H H JH Μ H

Μ

2

2t t tσ σµ ε εµ∂ ∂ ∂∇×∇× = ∇× − − − −

∂ ∂ ∂

� ��

� ��

H JH Μ H

Μ

( ) 2A A A∇×∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇� � �






( )2

22t t t

σ σµ ε εµ∂ ∂ ∂∇ ∇ ⋅ − ∇ = ∇× − − − −∂ ∂ ∂

� ��

� � ��

H H JH Μ H

Μ

m µ∇ ⋅ =�

H ρ

( )2

22m t t t

µ σ σµ ε εµ∂ ∂ ∂∇ − ∇ = ∇× − − − −∂ ∂ ∂

� ��

� ��

ρ H JH Μ H

Μ


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( )2

22m t t t

µ σ σµ ε εµ∂ ∂ ∂∇ − ∇ = ∇× − − − −∂ ∂ ∂

� ��

� ��

ρ H JH Μ H

Μ

( )2

22

1m t t t

σ ε σµ εµµ

∂ ∂ ∂∇ = −∇× ∇ + + +∂ ∂ ∂

� ��

� ��

H J + ρΜ H H

Μ+




Ecuaciones de onda vectoriales para E en regiones sin fuentes


0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

22

2t tµσ µε∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

�

EE E

22

2et t tµ ε µσ µε∂ ∂ ∂∇ = ∇× + ∇ + +

∂ ∂ ∂

� � �

�� J E EρE Μ +

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( )2

22

1m t t t

σ ε σµ εµµ

∂ ∂ ∂∇ = −∇× ∇ + + +∂ ∂ ∂

� ��

� ��

H J + ρΜ H H

Μ+

0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

Ecuaciones de onda vectoriales para H en regiones sin fuentes

22

2t tσµ εµ∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

� H HH




Ecuaciones de onda vectoriales para E en regiones sin fuentes y en medio sin pérdidas


0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

22

2t tµσ µε∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

�

EE E

0σ =

22

2tµε ∂∇ =

∂

�

�

EE

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0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

22

2t tσµ εµ∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

� H HH

Ecuaciones de onda vectoriales para H en regiones sin fuentes y en medio sin pérdidas

0σ =

22

2tεµ ∂∇ =

∂

�

�

HH




Ecuaciones de onda con variación temporal armónica.


Para variaciones armónicas en el tiempo de la forma �� , lasecuaciones de onda pueden deducirse usando el procedimient oexpuesto en secciones anteriores mediante el empleo de faso res, de talmanera que se hace el remplazo de las siguientes relaciones:

( )22 2 2,t j t jω ω ω∂ ∂ ⇔ ∂ ∂ ⇔ = −

��

E , H , D , B , , ,E H D B� � � �

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Ecuaciones de onda con variación temporal armónica para E.


22

2et t tµ ε µσ µε∂ ∂ ∂∇ = ∇× + ∇ + +

∂ ∂ ∂

� � �

��

E Μ +J E E

ρ

2 2eE J j E Eωµ ρ ε ωµσ ω µε∇ = ∇×Μ + ∇ + −

� � � ��

+ j

( )22 2 2

t j

t j

ω

ω ω

∂ ∂ ⇔

∂ ∂ ⇔ = −, , ,E H D B� � � �

��

E , H , D , B





Ecuaciones de onda con variación temporal armónica para H.

( )2

22

1m t t t

σ ε σµ εµµ

∂ ∂ ∂∇ = −∇× ∇ + + +∂ ∂ ∂

� ��

� ��

H J + ρΜ H H

Μ +

( )22 2 2

t j

t j

ω

ω ω

∂ ∂ ⇔

∂ ∂ ⇔ = −

��

E , H , D , B

, , ,E H D B� � � �

( )2 21mH J j j H Hσ ρ ωε ωσµ ω εµ

µ∇ = −∇× Μ ∇ + Μ + −� � � ��

+ +

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0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

22

2t tµσ µε∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

�

EE E

Ecuaciones de onda con variación temporal armónica en regiones sin fuentes; E.

2 2 2E j E E Eωµσ ω µε γ∇ = − =� � � �

( )22 2 2

t j

t j

ω

ω ω

∂ ∂ ⇔

∂ ∂ ⇔ = −





0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

Ecuaciones de onda con variación temporal armónica en regiones sin fuentes; H.

( )22 2 2

t j

t j

ω

ω ω

∂ ∂ ⇔

∂ ∂ ⇔ = −

22

2t tσµ εµ∂ ∂∇ = +

∂ ∂

� �

� H HH

2 2 2H j H H Hωσµ ω εµ γ∇ = − =� � � �

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Ecuaciones de onda con variación temporal armónica en regiones sin fuentes,


( )2 2j j jγ ωµσ ω µε ωµ σ ωε= − = +

jγ α β= + Constante de propagación

�� ó ��/��

� �� /��





Ecuaciones de onda con variación temporal armónica en regiones sin fuentes y medio sin pérdidas, E

2 2 2E j E E Eωµσ ω µε γ∇ = − =� � � �

0 0y= = = =��

J Me mρ ρ0σ =

2 2 2E E Eω µε β∇ = − = −� � �

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Ecuaciones de onda con variación temporal armónica en regiones sin fuentes y medio sin pérdidas, H

2 2 2H H Hω µε β∇ = − = −� � �

0 0y= = = =��

J Me mρ ρ0σ =

2 2 2H j H H Hωσµ ω εµ γ∇ = − =� � � �

En la literatura la constante de fase � es a menudo representada por




Solución de las ecuaciones de onda.


Los campos electromagnéticos asociados con un problema jun to consus condiciones de frontera deben satisfacer las ecuacione s deMaxwell o las ecuaciones de vector de onda. Para varios casos , lasecuaciones vectoriales de onda se reducen a un número deecuaciones escalares de Helmholtz (onda) y la solución gene ral puedeser construida en base a las soluciones de cada una de lasecuaciones escalares de Helmholtz encontradas.

La solución de estas ecuaciones de onda se plantea inicialme nte encoordenadas cartesianas para el caso de un medio sin pérdida s y sinfuentes y un medio con pérdidas y sin fuentes como a continuac iónse detalla:

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Solución de las ecuaciones de onda vectoriales en regiones sin fuentes y medio sin pérdidas, E

2 2 2E E Eω µε β∇ = − = −� � �

Solución en coordenadas cartesianas

( ) ( )( )( )

ˆ, , , ,

ˆ , ,

ˆ , ,

x x

y y

z z

E x y z a E x y z

a E x y z

a E x y z

=

+

+

( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x x y y z z x x y y z zE E a E a E a E a E a E a Eβ β∇ + = ∇ + + + + + =






( ) ( )2 2, , , , 0x xE x y z E x y zβ∇ + =

( ) ( )2 2, , , , 0y yE x y z E x y zβ∇ + =

( ) ( )2 2, , , , 0z zE x y z E x y zβ∇ + =

La cual se reduce a tres ecuaciones escalares de on da a saber:

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( ) ( )2 2, , , , 0x xE x y z E x y zβ∇ + =

( )2 2

2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ

x x y y z z x x

y y

z z

a E a E a E a E

a E

a E

∇ + + = ∇

+ ∇

+ ∇2 2 2

2 2 22 2 2

0x x xx x x

E E EE E E

x y zβ β∂ ∂ ∂∇ + = + + + =

∂ ∂ ∂





Haciendo uso del método de separación de variables, se asume que lasolución para !"�", $, %� puede ser escrita en la siguiente forma:


( ), , ( ) ( ) ( )xE x y z f x g y h z=

2 2 22 2 2

2 2 20x x x

x x x

E E EE E E

x y zβ β∂ ∂ ∂∇ + = + + + =

∂ ∂ ∂

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Donde las variaciones de x,y,z de !" son separables (por estosu nombre). Si se encuentra alguna inconsistencia al asumireste tipo de solución, se debe intentar con otro planteamien to.Este es el procedimiento usualmente utilizado para solucion areste tipo de ecuaciones diferenciales. Sustituyendo la sol uciónen la ecuación diferencial se tiene:







2 2 22

2 2 20

f g hgh fh fg fgh

x y zβ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

( ), , ( ) ( ) ( )xE x y z f x g y h z=

2 2 22 2 2

2 2 20x x x

x x x

E E EE E E

x y zβ β∂ ∂ ∂∇ + = + + + =

∂ ∂ ∂

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Teniendo en cuenta que las funciones & " , ' $ $(�%� son cada una devariable única, es posible remplazar las derivadas parcial es por derivadasordinarias. Llevando a cabo este remplazo y dividiendo cada término por fghse tiene:

2 2 22

2 2 2

1 1 10

d f d g d h

f dx g dy h dzβ+ + + =

2 2 22

2 2 20

f g hgh fh fg fgh

x y zβ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂






2 2 22

2 2 2

1 1 10

d f d g d h

f dx g dy h dzβ+ + + =

2 2 22

2 2 2

1 1 1d f d g d h

f dx g dy h dzβ+ + = −

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Cada uno de los tres primeros términos en la anterior ecuació nson de una sola variable independiente; por lo tanto, la sumade estos términos puede ser igual a )�* solo si cada términoes una constante. Por lo tanto, la anterior ecuación se puedeseparar en tres ecuaciones de la forma:






2 22 2

2 2

1x x

d f d ff

f dx dxβ β= − ⇒ = −

2 22 2

2 2

1y y

d g d gg

g dy dyβ β= − ⇒ = −

2 22 2

2 2

1z z

d h d hh

h dz dzβ β= − ⇒ = −

2 2 2 2x y zβ β β β+ + =

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Por otra parte, �", �$, �% son conocidas como lasconstantes de onda (números) o constantes de fase en lasdirecciones x, y, z respectivamente, las cuales sondeterminadas mediante las condiciones de frontera.Algunos autores denominan a estas constantes número deonda.Las soluciones de cada ecuación pueden tomar diferentesformas. Algunas soluciones típicas validas para &�"�pueden ser:






1 1 1( ) x xj x j xf x A e B eβ β− += +

( ) ( ) ( )2 1 1cos x xf x C x D sen xβ β= +

Las soluciones exponenciales representan ondas viajeras

Las soluciones sinusoidales representan ondas estacionarias.

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1 2 2( ) y yj y j yg y A e B eβ β− += +

( ) ( ) ( )2 2 2cos y yg y C y D sen yβ β= +

1 3 3( ) z zj z j zh z A e B eβ β− += +

( ) ( ) ( )2 3 3cos z zh z C z D sen zβ β= +







Aunque todas las soluciones arriba mencionadas son validaspara &�"� , '�$� y (�%� , la forma más apropiada debe serseleccionada para simplificar la complejidad del problema porsolucionar.Una vez se ha determinado la forma de solución apropiadapara &�"�, '�$� y (�%�, la solución para la función escalar!"�", $, %� puede ser escrita como el producto de &�"�, '�$� y(�%�. Para demostrar esto, se considera un ejemplo específico,en el cual se asumirá que la solución para &�"�, '�$� y (�%�,puede ser escrita como el producto de dos ondasestacionarias por una onda viajera, es decir, esta puede serescrita como:

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( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1

2 2

3 3

, , cos

cos

z z

x x x

y y

j z j z

E x y z C x D sen x

C y D sen y

A e B eβ β

β β

β β− +

= +

× +

× +






Esta es una solución apropiada para alguna de lascomponentes de campos eléctrico o magnético dentro de unaguía de onda rectangular como la mostrada en la figurasiguiente, la cual es sellada en las direcciones x, y y, posee sulongitud a lo largo del, eje z. Teniendo en cuenta que la guía d eonda es sellada en las direcciones x, y, las ondas estacionarias(sinusoidales) han sido seleccionadas como solución para l asfunciones &�"�, '�$�. Sin embargo, debido a que la guía deonda no es sellada en la dirección z, ondas viajerasrepresentadas por funciones exponenciales han sidoseleccionadas como solución para (�%� . Una discusióncompleta sobre los campos dentro de una guía se llevará acabo en una sección posterior.

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Guía de onda rectangular






Para variaciones armónicas en el tiempo de la forma ��, elprimer término exponencial complejo representa una ondaque viaja en la dirección +z; la segunda exponencialrepresenta una onda que viaja en la dirección –z. Parademostrar esto, se parte de la función compleja escalar!"�", $, %� y se determina si valor instantáneo:

( ) ( ), , ; Re , , j tx xx y z t E x y z e ω = �

E

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Considerando solo el exponencial negativo y asumiendo que t odaslas constantes son reales, se puede expresar la forma instan táneapara la función solución como:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 3

, , ; Re , ,

Re cos cos z

j tx

j t zx x y y

x y z t E x y z e

C x D sen x C y D sen y A e

ω

ω ββ β β β

+

−

=

= + +

��

+

xE






O si las constantes: +,, -,, +*, -*$./ son reales, el campo instantáneo se escribe como:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1 1

2 2

3

, , ; cos

cos

cos

x x

y y

z

x y z t C x D sen x

C y D sen y

A t z

β β

β β

ω β

= +

× +

× −

�

+

xE

Donde el superíndice + indica una onda viajera posi tiva.

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El campo instantáneo normalizado en función de z paradiferentes instantes de tiempo �� 0, �,, … �2, �23,� semuestra en la figura siguiente. De esta figura se nota que enla medida que el tiempo se incrementa ��2 4 �23,�, la formade onda del campo instantáneo en la dirección +z esesencialmente la misma, con la excepción de undesplazamiento aparente en la misma dirección, indicandoque la onda se desplaza en el sentido +z. Estedesplazamiento en la dirección +z puede ser demostradoexaminando que ocurre con un punto dado %5 en la formade onda del campo instantáneo, para los instantes �� 0, �,, … �2, �23,�.






Onda viajera positiva.

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0 cos tanz pt z C teω β− = =

El cual a derivarlo con respecto al tiempo se reduc e a:

0p pz p

z

dz dz

dt dt

ωω β υβ

− = ⇒ = = +

Al seguir el punto %5 para diferentes valores de t, se mantiene constante laamplitud del último término coseno. Esto es acompañado fija ndo suargumento �� ) �%%5 constante, esto es:






El punto %5 es referido como un punto equifase y suvelocidad es denominada la velocidad de fase. Unprocedimiento similar puede ser utilizado para demostrar qu ela segunda exponencial compleja representa una ondaviajera en el sentido de –z.

Al término �� ) �%� de igual manera se le denomina la fase(en radianes) de la onda, la cual depende del tiempo t y de lavariable espacial z.

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Dada su variación tanto con el tiempo como con la variable z,el campo E puede representarse gráficamente como unafunción de t manteniendo constante z y viceversa. Por ejemplo,la figura siguiente muestra los diagramas de la función! %, � .6�2�� ) �%�para el caso de ! %, � 7826�92�� y! �, % 7826�92�� . En la primera de ellas se observa que laonda tarda en repetirse una distancia λ, la cual por esta razónse denomina longitud de onda (en metros). En la segunda, laonda tarda en repetirse el tiempo T (periodo en segundos).






Diagrama de la onda ! %, � .6�2�� ) �%�; a) con t constante b) con z constante.

! %, � .6�2�� ) �%�;

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Puesto que para que la onda recorra la distancia λ a la velocidad :5 ,transcurre el tiempo T, es de suponer que:

pTλ υ=Pero teniendo en cuenta que ; , &⁄ , siendo f la frecuencia, entonces:

p fυ λ=Por otra parte, antes se demostró que:

pβ ω υ=Así mismo, ; , &⁄ *= �⁄ , De igual manera se tiene que:

2β π λ=





Solución de las ecuaciones de onda vectoriales en regiones sin fuentes y medio con pérdidas, E

2 2 2E j E E Eωµσ ω µε γ∇ = − =� � � �

0 0y= = = =��

J Me mρ ρ

0σ ≠

( )2 j jγ ωµ σ ωε= +

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2 2 2E j E E Eωµσ ω µε γ∇ = − =� � � �

( ) ( )( )( )

ˆ, , , ,

ˆ , ,

ˆ , ,

x x

y y

z z

E x y z a E x y z

a E x y z

a E x y z

=

+

+

( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x x y y z z x x y y z zE E a E a E a E a E a E a Eγ γ∇ − = ∇ + + − + + =






( ) ( )2 2, , , , 0x xE x y z E x y zγ∇ − =

( ) ( )2 2, , , , 0y yE x y z E x y zγ∇ − =

( ) ( )2 2, , , , 0z zE x y z E x y zγ∇ − =

La cual se reduce a tres ecuaciones escalares de on da a saber:

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�32





( )2 2j j jγ ωµσ ω µε ωµ σ ωε= − = +

jγ α β= + Constante de propagación

�� ó ��/��

� �� /��







Al igual que en el caso sin pérdidas, las tres ecuaciones esca lares poseen elmismo tipo de solución, por tanto se examina una sola de ellas . Una vez más,aplicando el método de separación de variables y usando un pr ocedimientosimilar al caso sin pérdidas se tiene que:

( ), , ( ) ( ) ( )xE x y z f x g y h z=Las soluciones de cada ecuación pueden tomar diferentes for mas. Algunassoluciones típicas validas para &�"� pueden ser:

1 1 1( ) x xx xf x A e B eγ γ− += +

( ) ( ) ( )2 1 1cosh x xf x C x D senh xγ γ= +

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�33






Similarmente, las soluciones para '�$� y (�%� pueden ser escritasrespectivamente como:

1 2 2( ) y yy yg y A e B e

γ γ− += +

( ) ( ) ( )2 2 2cosh y yg y C y D senh yγ γ= +

1 3 3( ) z zz zh z A e B eγ γ− += +

( ) ( ) ( )2 3 3cosh z zh z C z D senh zγ γ= +

2 2 2 2x y zγ γ γ γ+ + =






La forma más apropiada para &�"�, '�$� y (�%�, que representa la solución de!"�", $, %� debe ser dada examinando la geometría del problema en cuesti ón.Como en el caso sin pérdidas, las soluciones exponenciales r epresentanondas viajeras atenuadas y las soluciones hiperbólicas representan ondasestacionarias atenuadas.

Para determinar la forma de las constantes >, determinemos la forma de >% ,examinado uno de los exponenciales vistos antes, para lo cua l seselecciona el primero, de tal manera que las cuarto posibles combinacionespara >% serán:

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( )( )( )( )

z z

z z

z

z z

z z

j

j

j

j

α βα β

γα βα β

+ +

− += + −− −






Si queremos que el primer exponencial represente una onda qu e seatenúa a lo largo del eje +z, entonces remplazando las anteri oresecuaciones en la exponencial se tiene:

3 3

3 31

3 3

3 3

( )

z z z

z z z

z z z

z z z

z z j

z z j

z z j

z z j

A e A e e

A e A e eh z

A e A e e

A e A e e

γ α β

γ α β

γ α β

γ α β

− − −

− + ++

− − +

− + −

=

== =

=

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Examinando las anteriores ecuaciones y asumiendo una varia ción armónicaen el tiempo ��, las siguientes apreciaciones pueden hacerse:

La primera ecuación representa una onda que viaja en la direc ción +z estodebido al término �?��%% la cual de igual manera se atenúa en la mismadirección, determinado por el termino �?@%%.La segunda ecuación representa una onda que viaja en la direc ción -z estodebido al término �3��%% la cual de igual manera se atenúa en la mismadirección, determinado por el término �3@%%.La tercera ecuación representa una onda que viaja en la direc ción -z estodebido al término �3��%% la cual de igual manera se incrementa en la mismadirección, determinado por el término �?@%%.La cuarta ecuación representa una onda que viaja en la direcc ión +z estodebido al término �?��%% la cual de igual manera se incrementa en la mismadirección, determinado por el término �3@%%.






De los anteriores planteamientos se deduce que �?�>%% que representa unaonda que viaja en la dirección +z la cual de igual manera se ate núa en lamisma dirección (representando la propagación en un medio p asivo y conpérdidas) y para satisfacer las leyes de conservación de ene rgía, la únicaforma correcta para >% es >% @% A ��%. La misma conclusión puede hacersesi tomamos el segundo exponencial para una onda viajando en l a dirección –z y de igual manera decae, por lo tanto la forma general de un >B es que:

i i ijγ α β= +

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Ahora bien, si en un medio con pérdidas se asume que la constan te depropagación es dada como: > @ A ��, donde:

( ) 2j j j jγ α β ωµ σ ωε ω µε ωµσ= + = + = − +Elevando al cuadrado la anterior ecuación e igualando sus pa rtes reales eimaginarias se tiene que:

2 2 2α β ω µε− = −

2αβ ωµσ=






1 22

11 1

2Np m

σα ω µεωε

= + −

1 22

11 1

2rad m

σβ ω µεωε

= + +

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La constante de atenuación α es usualmente expresada en dB/m, de talmanera que la conversión entre Neper por metro y decibelios p or metros seobtiene a continuación: examinando la exponencial real de l as funciones&,�"�, ',�$�, 8(,�%� deducidas antes, los cuales representan el factor deatenuación de una onda en un medio con pérdidas y teniendo en c uenta queeste factor representa la atenuación relativa de un campo el éctrico omagnético, su conversión a decibelios (dB) se obtiene como:

( ) ( )( ) ( )

10 1020log 20( ) log

20( ) 0.434 8.68

zdB e z e

z z

α α

α α

−= = −

= − = −






( ) ( )1

8.68Np m dB mα α=

Para el caso de % ,� la magnitud @�C5/�� se determina como:

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UNIVERSIDAD DISTRITALFRANCISCO JOSE DE CALDAS

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