PROLOGO

Este libro se ha escrito con el objetivo primario de servir de texto guía de la asignatura CF 461 Física III que se imparte a los alumnos de las carreras de Ingeniería de la Universidad de Antofagasta. Esta orientado a entregar los fundamentos básicos para comprender como se propaga la luz, como interactúa con la materia y las propuestas de los primeros modelos atómicos.

Para ello se presentan inicialmente las ideas básicas del movimiento ondulatorio, para luego desarrollar el tema de las ondas electromagnéticas, tanto en sus características principales como su propagación a través de medios dieléctricos, tratándose temas tales como la reflexión, refracción, polarización e interferencia. No se trata la difracción. Para explicar los fenómenos de interacción entre la radiación electromagnética y la materia, se desarrollan las ideas introducidas en la Física a partir del año 1900, los corpúsculos de energía y su aplicación en las explicaciones de fenómenos tales como el efecto fotoeléctrico, rayos X, efecto Compton, producción de pares y absorción. Además se explica como esas ideas influyeron en los primeros modelos propuestos para comprender la estructura atómica.

Este libro consta de seis capítulos, cada uno de los cuales incluye un desarrollo de los temas, a un nivel intermedio, un conjunto de problemas resueltos, a modo de ejemplos y un grupo de problemas propuestos con sus resultados, para que el estudiante pueda aplicar sus conocimientos. Para facilitar la comprensión de los temas expuestos, el tratamiento incluye la mayor pare de los pasos matemáticos requeridos para obtener una determinada relación, así como su interpretación física, que es lo más relevante.

El tratamiento de algunos tópicos de los dos primeros capítulos requieren que el estudiante tenga conocimientos elementales de ecuaciones diferenciales y cálculo vectorial. Sin embargo, los ejercicios y problemas de esas unidades no emplean tales herramientas matemáticas. El resto del texto sólo emplea conocimientos de álgebra y vectores. Por lo anterior, este libro puede ser empleado por estudiantes de carreras de ingeniería, ciencias o afines.

CAPÍTULO I

MOVIMIENTO ONDULATORIO

1.1 Definición de onda

Existe una amplia variedad de fenómenos naturales y de aplicaciones tecnológicas que para su adecuada comprensión requieren el entendimiento del modelo de ondas.

Uno de los ejemplos más conocidos lo constituye el caso de una piedra que cae sobre la superficie de un líquido en reposo. Se aprecia que en el punto que la piedra atraviesa la superficie del líquido, se genera una perturbación al romper el equilibrio del líquido. Esto implica que tal perturbación entregó energía al líquido generando una deformación en su superficie. De ese modo se observa que las partículas de la superficie del líquido alcanzan posiciones que están por sobre o por debajo de sus respectivas posiciones de equilibrio Designando como deformación a la distancia que existe entre la posición de cada partícula del Iíquido en cierto instante y su correspondiente posición de equilibrio, es posible observar que esas deformaciones varían en cada punto de la superficie del líquido con el tiempo.

La perturbación producida en el líquido viaja sobre la superficie en todas las direcciones radiales a partir del punto donde cayó la piedra. Se observan ondas circulares que avanzan en la superficie. Si existen cuerpos o partículas flotando, al pasar las ondas estos sólo experimentan un movimiento alrededor de su posición de equilibrio inicial, pero no se observa que se muevan junto con la onda. El movimiento de las partículas flotantes se debe a la energía y momentum lineal que transporta la onda al propagarse.

En general, en todos los procesos en los que se propagan ondas, existe una fuente que se encuentra en el punto o zona donde se genera la perturbación. La fuente produce variaciones locales de una o más propiedades físicas, mediante algún procedimiento que supone un aporte externo de energía. Estas alteraciones de las propiedades físicas se transmiten al espacio que rodea la fuente o está próximo a ella y se inicia la propagación de las ondas.

En el ejemplo anterior, la fuente es la piedra que al llegar a la superficie, la deforma. El desplazamiento de líquido respecto a su posición de equilibrio o deformación es la propiedad física que se propaga ondulatoriamente. Cuando se propagan las ondas tal desplazamiento varía con la posición y el tiempo. En este caso las ondas se propagan en una superficie, o sea en dos dimensiones.

Como ejemplo de ondas que se propagan en una dimensión considere que una larga cuerda tiene un extremo fijo a un poste, y el otro extremo lo sostiene una persona con la mano. Suponga que en la posición de equilibrio la cuerda esta horizontal. Si la persona mueve verticalmente hacia arriba el extremo que sostiene y lo regresa a su posición de equilibrio, se observa que una onda se propaga en la cuerda. En este caso la dirección de propagación de la onda es la dirección de la cuerda y la propiedad física que varía ondulatoriamente, es el desplazamiento de los puntos de la cuerda respecto de su posición de equilibrio.

Otro ejemplo interesante se observa cuando ocurre una explosión en una cierta región del espacio. Las capas de aire que se encuentran rodeando el lugar de explosión son violentamente expulsadas en todas direcciones debido a una gran presión. Tales capas empujan a las capas vecinas más próximas y así sucesivamente. Luego las capas que inicialmente se expandieron, regresan a ocupar sus posiciones iniciales, siendo seguidas en tal movimiento por las más próximas, lo que genera ondas en el espacio.

En este caso, lo que se propaga es el sonido provocado por la explosión y generalmente se propaga

en todas las direcciones del espacio. En esta oportunidad hay más de una magnitud física que se propaga ondulatoriamente y estas son la presión, el desplazamiento de las capas de aire respecto a su posición de equilibrio y la densidad del aire.

En todos los ejemplos dados, las ondas que se propagan requieren de un medio en el cual propagarse, como eran el líquido, la cuerda o el aire. Sin embargo existe también un tipo de ondas, que se propagan no sólo en medios materiales, sino que en el vacío. Estas son las ondas electromagnéticas, y bajo esta denominación se incluye un grupo importante de fenómenos ondulatorios, como son la luz, las ondas de radio, los rayos X, los rayos gamma, las radiaciones ultravioleta e infrarroja, las microondas, etc.

El modelo de ondas ha sido propuesto incluso para explicar la estructura de la materia, y es así como durante la segunda década del siglo pasado se introdujo la onda de materia para representar partículas atómicas, obteniendo así un cuadro explicatorio para fenómenos físicos relacionados con la estructura y comportamiento de los materiales.

Buscando las características comunes de los ejemplos mencionados, es posible establecer una definición de onda.

Una onda es una perturbación de una o más magnitudes físicas, que se propaga por sí misma, transportando energía y momentum lineal, sin transportar materia y que debe su existencia a una fuente o causa que inicialmente produjo la perturbación.

En toda onda que se propaga en una región del espacio, existen una o más magnitudes físicas que varían con la posición y el tiempo.

1.2 Descripción matemática de las ondas unidimensionales

Para una descripción matemática inicial de las ondas, se harán las siguientes consideraciones:

• Las ondas se propagan en una sola dirección.

• La velocidad de propagación de la onda es constante.

• La onda mantiene su forma al propagarse.

Como ejemplo de estas consideraciones, recuerde una onda que se propaga a lo largo de una cuerda. Si se designa por la letra , a la magnitud física que varía al propagarse la onda, entonces =x , t . Esto significa que la magnitud física que describe la onda toma diferentes valores en los distintos puntos del eje x, y que en cada punto tales valores varían al transcurrir el tiempo. En este caso, ele eje x coincide con la dirección de propagación de la onda.

En la Fig. 1.1, se muestra gráficamente una onda unidimensional que se propaga a lo largo del eje x, en sentido positivo, sin perder su forma geométrica con rapidez constante v.

La curva de trazo continuo representa a la onda en cierto instante t1, y la curva en trazo discontinuo de la derecha, representa la misma onda, en un instante posterior t2.

Tomando en cuenta que la onda conserva una forma geométrica al propagarse, entonces se debe cumplir que aa' = bb' = cc' = v·(t2 -t1). Es decir, la curva que representa a la onda en el instante t2, se puede obtener, mediante una operación de traslación, a partir de la forma matemática de la onda en un instante anterior, como por ejemplo, su forma en el instante t1, trasladando todos los puntos paralelamente al eje x, una distancia v·(t2 -t1) = v·Δ t.

Para recordar como afecta una operación de traslación a una función cualquiera y= f x , se considera el caso de una función sencilla, como y=x , que gráficamente corresponde a una recta que pasa por el origen. Luego se dibujan las posiciones cuando la recta es trasladada a ciertas distancias, a lo largo del eje x .

Como otro ejemplo, considere la función y=2 x2 , que gráficamente corresponde a una parábola, de la cual sólo se dibujará su rama derecha. Luego se dibuja la misma función trasladada 2 unidades y a unidades a la derecha y 3 unidades a la izquierda.

En los ejemplos dados se observa que si en una función y= f x , se reemplaza x por x−a , donde a es una cierta distancia, medida respecto al origen, se obtiene una gráfica de f x−a que mantiene la forma de esa función, pero desplazada a unidades a la derecha, o sea en el sentido positivo

Figura 1.1: Representación de una perturbación que se propaga ondulatoriamente con velocidad constante en dos instantes de tiempo.

Figura 1.2: Traslación de la función y=x .

del eje x . Si por otra parte, se reemplaza x por xa , se obtiene una gráfica de la misma función, pero desplazada a unidades a la izquierda, en el sentido negativo del eje x , que corresponde a f xa .

Si la distancia a , se reemplaza por a=v⋅t , donde t es la variable tiempo, y v representa una velocidad constante, entonces y= f x−v t representa una función viajera, que se desplaza en el sentido positivo del eje x , con velocidad constante v , sin cambiar su forma geométrica. Conocida la velocidad v , bastará dar un valor numérico a la variable t , para obtener la función en ese instante de tiempo, graficando y en función de x .

Es así como, considerando los ejemplos anteriores, y=x−v t , representa a una recta que viaja a lo largo del eje x , manteniéndose paralela a sí misma. Por otra parte, y=2x−v t 2 es una parábola que manteniendo su forma viaja en el sentido positivo del eje x .

Para una función viajera, que se desplaza en el sentido negativo del eje x , la velocidad se invierte, quedando esa función representada por y= f xv t .

Las ideas sobre funciones viajeras anteriormente desarrolladas se pueden aplicar para describir matemáticamente una onda que viaja con velocidad constante, en una sola dirección y que mantiene su forma mientras se propaga. En vez de la variable y de la función viajera, se considerará una magnitud física que se propaga ondulatoriamente, a la que se designará como =x , t . Se supone que la onda viaja con velocidad constante v , en la dirección positiva del eje x . Por lo tanto, la expresión general que describe esta onda es:

x , t = f x−v t (1.1a)

Si la onda se propaga en sentido opuesto, entonces corresponde la expresión

x , t = f xv t (1.1b)

Que es similar a la anterior, cambiando v por −v , debido al cambio en el sentido de propagación de la onda.

La forma geométrica que adopta la onda depende del modo en que se genera la perturbación inicial en la fuente, lo que condiciona los valores que toma la magnitud física , cuando la perturbación de esa magnitud se autopropaga en el espacio, dando lugar a la forma geométrica que presenta la onda.

Como ejemplo, considere una larga cuerda horizontal atada en un extremo a un punto fijo y sostenida en la mano de una persona por el otro extremo. Si la mano sube verticalmente y regresa a su posición inicial, se genera una onda en la cuerda. Sin embargo, la forma de la onda en la cuerda depende

Figura 1.3: Traslación de la función y=2 x2 .

de cómo se movió la mano, si lo hizo rápido o lento, y de la altura que alcanzó en la vertical antes de volver a su posición inicial. La mano en este caso, sería la fuente que provoca la perturbación y se puede mover verticalmente de distintas formas, generando para cada una de ellas, una onda con determinada forma geométrica.

Un caso interesante ocurre, cuando la mano se mueve verticalmente entre dos posiciones, de manera periódica, ya que en tal caso se generan en la cuerda ondas periódicas. Es decir, se observa en la cuerda una forma geométrica que se repite a cada cierto intervalo espacial, y que a la vez se propaga a lo largo de la cuerda.

A cada forma geométrica de la onda, le corresponde una determinada función matemática, descrito por el tipo de relación de la Ec. (1.1). Considerando lo expuesto, ¿Qué tipo de funciones describen ondas que sean importantes de estudiar y por qué tal importancia?

Desde el punto de vista práctico, una clase importante de ondas que conviene conocer son las ondas periódicas. Estas ondas, muestran que la propiedad física que varía ondulatoriamente presenta una forma geométrica determinada, que se va repitiendo espacialmente a lo largo de la dirección de propagación y que puede ser descrita por una función tal que f xv t = f xv t±P donde P es el período.

Se sabe que toda función periódica puede ser representada por una serie de Fourier, es decir, por una suma de funciones seno y/o coseno, multiplicadas por determinados coeficientes. Ello se basa en la periodicidad que presentan tales funciones.

Si la onda está descrita por una función que no es periódica, se podría expresar por una integral de Fourier, la cual también emplea las funciones seno y/o coseno. Por lo tanto cualquier onda, periódica o no periódica, se puede expresar como una suma o superposición de ondas que en la relación (1.1) se expresan mediante funciones seno y/o coseno. Luego es importante conocer las ondas que son descritas matemáticamente por tales funciones, ya que sirven de base para analizar otras ondas representadas por otros tipos de funciones, periódicas o no periódicas. Las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones armónicas.

1.3 Ondas armónicas

Una onda es armónica si la magnitud física que varía, se puede expresar matemáticamente por una función seno o coseno.

Sin pérdida de generalidad, en este texto se trabajará preferentemente con la función seno, pues cualquier función coseno se puede expresar como una función seno según la siguiente equivalencia:

cos=sen /2 (1.2)

(compruébelo desarrollando el seno de la suma)

Una onda armónica que se propaga en la dirección del eje x está dada por

x , t = 0 sen {k x−v t 0 } (1.3)

donde la función seno entrega un valor numérico adimensional (sin unidades físicas) que varía entre -1 y +1. Luego, el factor que multiplica a la función seno, 0 , tiene las mismas unidades físicas de x , t , y se llama amplitud de la onda, pues será el máximo valor que puede alcanzar la cantidad física x , t .

El argumento de la función seno, {k x−v t 0 } , se llama fase y debe expresarse en unidades angulares. Como el término x−v t tiene unidades de longitud, puesto que la coordenada x se expresa en unidades de longitud, v es la velocidad de la onda y t es la variable tiempo, por lo que v⋅t es

también una longitud, es necesario introducir la constante k , expresada en unidad angular dividida por unidad de longitud [rad/m], para que el producto k x−v t quede sólo en unidades angulares. La constante k recibe el nombre de número de onda.

En la fase se tiene un término que depende de la posición, k x , otro término que depende del tiempo, −k v t , y un término que es constante (no depende ni de la posición ni del tiempo), 0 , y que se llama constante de fase. También corresponde al valor de la fase inicial (t = 0) en el origen (x = 0).

Un caso interesante ocurre cuando 0=±/2 , en tal caso:

x , t = 0 sen{k x−v t ±2 }=±0cos k x−v t (1.4)

A menos que se indique expresamente, de aquí en adelante se tomará 0 = 0 , para expresar la onda armónica sinusoidal como

x , t = 0 sen k x−v t (1.5)

Esto facilita la notación y es equivalente a redefinir el punto que se entenderá como x = 0 o redefinir el instante que se entenderá como t = 0, o ambas cosas.

Si se define la frecuencia angular como

=k v (1.6)

entonces la onda armónica se puede escribir como

x , t = 0 sen k x− t (1.7)

Considerando que la función periódica seno, vuelve a tomar el mismo valor si su fase k x− t varía en 2 o en −2 , y que la cantidad física depende de dos variables: la posición x y el tiempo t, se analizará el comportamiento de cuando se mantiene una de las variables fija y se permite que varíe la otra.

Variación espacial:

La variable tiempo t, se mantiene constante. La variable x se incrementa desde un valor x1 hasta un valor x2 , tal que la fase aumente en 2 . Entonces la propiedad física , vuelve a tomar el mismo valor y presenta el mismo comportamiento,

x1 , t = x2 ,t (1.8a)

0 sen k x1− t = 0sen k x2− t (1.8b)

Para que se cumpla esta igualdad, la fase (el argumento de la función seno) en x2 es igual a la fase en x1 , más 2π radianes, es decir:

k x2− t = k x1− t 2 (1.9)

Entonces,

x2− x1 = 2k

(1.10)

corresponde al período espacial, o distancia mínima entre dos puntos en los cuales la propiedad física tiene el mismo valor y comportamiento. Por comportamiento nos referimos a la pendiente de la función dependiente de x , es decir, la derivada parcial de respecto a x .

A este periodo espacial en las ondas, se le denomina longitud de onda y se representa por la letra λ.

= 2k

(1.11)

Longitud de onda es la menor distancia que existe entre dos puntos en los cuales la propiedad física que varía ondulatoriamente tiene el mismo valor y presenta el mismo comportamiento.

Variación temporal:

La variable posición x , se mantiene constante. La variable t se incrementa desde un valor t 1 hasta un valor t 2 , tal que la fase decrece en 2 . Entonces la propiedad física , vuelve a tomar el mismo valor y presenta el mismo comportamiento,

x , t1 = x ,t 2 (1.12a)

0 sen k x− t1 = 0sen k x− t 2 (1.12b)

Para que se cumpla esta igualdad, la fase (el argumento de la función seno) en el instante t 2 es igual a la fase en el instante t 1 , menos 2π radianes, es decir:

k x− t 2 = k x− t 1 −2 (1.13)

Entonces,

t 2−t 1 = 2

(1.14)

corresponde al período temporal, o intervalo mínimo de tiempo entre dos instantes en los cuales la propiedad física tiene el mismo valor y comportamiento. Por comportamiento nos referimos a la pendiente de la función dependiente de t , es decir, la derivada parcial de respecto a t .

A este periodo temporal, se le denomina período P de la onda, tel que

Figura 1.4: Onda armónica, considerando t constante

P = 2

(1.15)

Período de una onda es el menor intervalo de tiempo que debe transcurrir en cualquier punto por donde se propague la onda para que la propiedad física que varía ondulatoriamente vuelva a tomar el mismo valor con el mismo comportamiento.

La frecuencia de una onda armónica se define como el número de ondas que en la unidad de tiempo pasa por un punto determinado. Se designa generalmente con una de las letras, f o ν . Así

= 1P

(1.16)

La unidad de frecuencia es un hertz = 1 [Hz] que corresponde a 1 [onda/s]. Los múltiplos son: un kilohertz = 1 [kHz] = 103 [Hz]; un megahertz = 1 [MHz] = 106 [Hz]; un gigahertz = 1 [GHz] = 109 [Hz]; y así.

De las ecuaciones (1.6), (1.11), (1.15) y (1.16) se puede deducir

v = (1.16)

Esto también se puede deducir al pensar que al transcurrir un tiempo P se debe repetir idéntica forma de la onda en el espacio, pero esto se consigue trasladando la onda en una distancia λ. Entonces, la onda recorre una distancia λ en un tiempo P con lo cual su rapidez de propagación es

v = /P = 1P

=

Para varios tipos de ondas, la velocidad de propagación sólo depende de las propiedades físicas del medio de propagación. Para medios homogéneos, en los que estas propiedades se mantienen constantes, la velocidad de la onda se mantendrá constante, independientemente de la forma en que la fuente genere las ondas. Así, si la fuente aumenta la frecuencia de las ondas generadas, entonces disminuye la longitud de onda de éstas, y viceversa.

Figura 1.5: Onda armónica, considerando x constante

Un espectro de ondas, se define como el rango en que pueden variar la longitud de onda o la frecuencia de las ondas armónicas que corresponden a una misma propiedad física, que se propagan ondulatoriamente en un determinado medio.

1.4 Ondas planas

La expresión de la relación (1.1) x , t = f x∓v t , representa una propiedad física que se propaga ondulatoriamente en la dirección del eje x, con velocidad constante. Sin embargo, esto no implica que en los únicos puntos donde se evalúa la función sean sólo los puntos del eje x.

Para ampliar la interpretación de la función x , t = f x−v t , es conveniente recordar que todos los puntos de un plano infinito, perpendicular al eje x, tienen el mismo valor de la coordenada x (matemáticamente dicho plano se expresa mediante una ecuación x = cte.). Entonces, si queremos expresar la propiedad física en un punto arbitrario del espacio cuya posición es r=x u x y u y z uz , obtenemos el valor de la coordenada x mediante:

u x⋅r = ux⋅ x u x y uy z uz = x

Así, la ecuación (1.1) puede también escribirse como x , t = f ux⋅r−v t y representa una propiedad física que se propaga ondulatoriamente en la dirección y sentido del eje x, con velocidad constante v, extendida a todos los puntos del espacio.

De este modo, para cierto valor particular de la variable tiempo, el valor de es el mismo en todos los puntos de un plano perpendicular al eje x. Al pasar de un plano perpendicular a otro plano perpendicular al eje x, la función cambia su valor, ya que varía con la variable x.

En todos los planos perpendiculares al eje x, para un determinado valor del tiempo, toma diferentes valores, pero todos los puntos de cada plano tiene el mismo valor de la función .

FRENTE DE ONDA: es el lugar geométrico de todos los puntos en los cuales, en un instante dado, llega la onda y así la función Ψ tiene el mismo valor en todos esos puntos.

Por lo tanto, los frentes de onda de la función x , t = f ux⋅r−v t son planos perpendiculares al eje x. Por esto se dice que:

x , t = f ux⋅r−v t (1.17)

es la ecuación de una onda plana que se propaga en la dirección del eje x.

En general, la dirección de propagación puede ser sobre un eje que no coincida con el eje x. Entonces, encontremos la relación que representa a una onda plana propagándose en una dirección arbitraria del espacio.

Llamemos β al eje de propagación y a la coordenada de posición sobre ese eje. El vector unitario en la dirección de propagación lo denotaremos como u (vector de módulo 1 y que apunta paralelo al eje β). La ecuación de una onda que se propaga en la dirección del eje β es

, t = f −v t (1.17)

Si P es cualquier punto del frente de onda plano, su vector posición es, en el sistema cartesiano, r=x u x y u y z uz . Como el vector unitario u , indica la dirección de propagación, entonces = u⋅r , corresponde a la proyección de r en la dirección del vector unitario u . Luego

r , t = f u⋅r−v t (1.18)

En este caso, al variar la posición del punto P en el frente de onda plano, varían las tres coordenadas (x, y, z), por ello, la función de onda ψ, tiene ahora dependencia con las tres coordenadas de posición y con el tiempo

x , y , z ,t = f u⋅r−v t (1.19)

Esta relación representa, en general, una propiedad física ψ que se propaga como una onda plana en la dirección indicada por el vector u , con velocidad constante v.

Si el tipo de función que se emplea en la relación (1.19), corresponde a una función seno, entonces se puede escribir la ecuación de las ondas armónicas planas x , y , z ,t =0 sen k u⋅r−v t . Definiendo como vector de propagación k

k = k u (1.20)

cuyo módulo es el número de onda, y cuya dirección y sentido son los mismos que el vector unitario u , se puede escribir

x , y , z ,t =0 sen k⋅r− t (1.21)

Esta es la ecuación general de una onda armónica, plana, que se propaga en la dirección del vector de propagación k .

Figura 1.6: Onda plana propagándose a lo largo del eje β.

bajo, una distancia total de 0,6 [m]. El pescador ve que la distancia entre crestas es de 7,0 [m].

a) ¿con qué rapidez viajan las olas?

b) ¿Qué amplitud tiene una ola?

c) Si la distancia vertical total recorrida por el bote fuera de 0,4 [m], con todos los demás datos iguales, comó cambiarían sus respuestas a als preguntas a) y b).

Rp: a) 1,75 [m/s]. b) 0,3 [m]. c) 1,75 [m/s], 0,2 [m].

5. Mientras hace su tarea, un estudiante de Ingeniería escucha la transmisión de un juego de fútbol. En cierto momento una tormenta que avanza de oeste a este, se hace notar de 3 maneras: 1) El estudiante ve un relámpago (y escucha el pulso electromagnético en su receptor), 2) 3,00 segundos después escucha el trueno por la radio, 3) 4,43 segundos después del relámpago, el trueno hace vibrar su ventana. Además, el estudiante sabe que está a 1,12 [km] al norte de la caseta de transmisión del estadio. La rapidez del sonido es 344 [m/s]. ¿Dónde ocurrió el relámpago en relación con el estadio?

Rp: S98ºO.

6. Un buzo bajo la superficie de un lago escucha el sonido de la sirena de un bote en la superficie directamente encima de él, al mismo tiempo que un amigo parado en tierra a 22 [m] del bote. La sirena está a 0,8 [m] sobre la superficie del agua. Los oídos del amigo están a 1,8 [m] sobre la superficie del agua. La rapidez del sonido en aire es 344 [m/s] y en agua 1498 [m/s].

7. Cierta onda transversal en un hilo tiene una velocidad de propagación de 60 metros por segundo, una amplitud de 4 milímetros y una longitud de onda de 0,3 metros. El hilo está sobre el eje z y oscila en el plano yz, tal que la onda se propaga en sentido positivo del eje z. En t = 0, el extremo z = 0 del hilo tiene un desplazamiento cero y se mueve en sentido positivo del eje y. a) Encuentre la frecuencia, el periodo y el número de onda de esta onda, indicando correctamente la

respectiva unidad.

b) Determine la función de onda que describe a esta onda, escribiendo explícitamente todas las cantidades que no sean las variables posición y tiempo.

c) Dibuje un esquema que muestre esta onda en el instante inicial t = 0, para el intervalo espacial entre z = 0 y z = 0,6 [m], indicando los valores relevantes.

d) Calcule el desplazamiento transversal de un punto del hilo ubicado en z = 0,2 [m], en el instante t = 5 [ms].

e) ¿Cuánto tiempo debe pasar después de t = 5 [ms] para que el punto z = 0,2 [m] tenga desplazamiento cero?

8. Cierta magnitud vectorial física F , se propaga en forma ondulatoria, tal que sus componentes se pueden expresar como:

F x = 2,0[a ] sen 400 x300 y500 z−240⋅103 t F y = 1,5[a ] sen 400 x300 y500 z−240⋅103 t F z = 2,5[a ] sen 400 x300 y500 z−240⋅103 t

con F en [a], x, y, z, en [m] y t en [s]. Encuentre: a) el número de onda, la frecuencia angular y la velocidad de propagación de esta onda, indicando

correctamente la respectiva unidad,

b) el vector de propagación de la onda,

c) el vector amplitud de F .

d) Determine si la onda es longitudinal o transversal.

9. La ecuación de cierta onda es

x , t =−0,8 sen [2 t0,04

−x

36 ] uy

con unidades del sistema internacional. Determine:

a) Si la onda es transversal o longitudinal. Explique.

b) La amplitud, el periodo y la longitud de onda con sus respectivas unidades.c) La frecuencia angular, el número de onda y la rapidez de propagación con sus respectivas

unidades. También indique la dirección en que se propaga y por qué..

d) Escriba la ecuación de la onda usando la función coseno en vez de la función seno.