Op Fin Interes Compuesto

MATEMÁTICA FINANCIERA

NOTA DE CÁTEDRA:

OPERACIONES FINANCIERAS A INTERÉS COMPUESTOOPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN

Preparada por: Cra. Susana Hernández

- Ushuaia 2001 -

UNPSJB Fac. de Ciencias Ecoómicas Cra. Susana Hernandez

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INTERÉS COMPUESTO

Se dice que un capital ha sido colocado a interéscompuesto, cuando se conviene que el interés simple producidopor el, al final de cada intervalo de tiempo previamentedeterminado, llamado período de capitalización, se suma adicho capital para producir nuevos intereses.

0 1 2 3

C0------>C0 + I(0,1)= C1

C1------>C1+I(1,2)= C2

C2------>C2+I(2,3)= C3

Deducción de la fórmula del MONTO

Dado un capital (Co), colocado a interés compuesto a la tasaperiódica i, durante n períodos; hallaremos el monto finalconsiderando para cada período, el capital inicial (Co) y losintereses simples ganados.

PERIODO CAP INICIAL INT.DEL PER. MONTO AL CABO DEL PERIO.

1 C0 C0i Co+Coi= Co(1+i)

2 Co(1+i) Co(1+i)i Co(1+i)+Co(1+i)i = Co (1+i)(1+i) = Co (1+i)2

3 Co (1+i)2 iCo(1+i)2 Co (1+i)2 + i Co(1+i)2 =Co(1+i)2 (1 + i) =Co (1+i)3

n Co(1+i)n-1 Co(1+i)n-1i Co(1+i)n-1 + Co(1+i)n-1i = Co(1+i)n-1(1+i) =Co(1+i)n

podemos escribir:

Cn = Co (1+i)n

Esta fórmula para poder aplicarla, exige la mismacondición que vimos al referirnos al int. simple, respecto aque la unidad de tiempo en que se expresa el plazo, y la


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unidad de tiempo a que está referida la tasa, debe ser lamisma; es decir sincrónicas; y además, que esa unidad sea elperíodo de capitalización.

Ejercicios:

1. Calcular el monto que se obtendrá depositando $ 3.000durante 90 días, al 5 % de interés cada 30 días, concapitalización cada 30 días. R.: .......... .-

2. En diciembre de 19x3 se efectuó una inversión de $ 5.000al 5 % anual capitalizable anualmente. Cuánto podrá retirarseen diciembre de 19x7?. R.: .............. .-

Fórmulas derivadas

En la fórmula del monto se vinculan: Co, n, i y Cn; dadostres de esos valores, podemos calcular el cuarto.

Le propongo estos problemas:

1. ¿ Cuál fue el depósito original que a la tasa del 12 %mensual, produjo un monto de $ 1.973,82 al cabo de 6 meses?.

Escriba en este recuadro la fórmula que le permitióresolver el problema:


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Esta fórmula le permite hallar el CAPITAL INICIAL,conociendo i, n y C.

2. Se desea conocer que tasa de interés, ha redituado uncapital de $ 1.000 que colocado durante 6 meses permitióobtener $1.973,82 de monto.

Deduzcamos a partir de Cn = Co(1+i)n la fórmula pararesolver el problema y escríbala en el recuadro:

También podríamos despejar i, aplicando logaritmos de lasiguiente forma:

Cn = Co(1+i)n

log Cn = log Co + n log (1+i)

log Cn - log Co ---------------- = log (1+i) n

Llamaremos A al primer termino de la igualdad; y haremos:

antilog A = 1 + i luego:

( antilog A ) - 1 = i


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3. Durante cuánto tiempo habrá estado colocado un capital de$ 700 si produjo un monto de $ 911,58 a la tasa del 4,5 %mensual ?.

Deduzca a partir de Cn = Co(1+i)n la fórmula que aplicópara resolver el problema y escríbala en el recuadro:

...COMBINEMOS FORMULAS ...

Ud. podrá resolver problemas deduciendo otras fórmulas confacilidad, sólo es necesario tener claro los conceptos deltema. Veamos otros problemas para demostrar la afirmaciónexpuesta.

4. ¿ Cuál fue el interés ganado en una colocación al 5 %mensual, durante un año; si el monto obtenido es de $2.693,78 ?.

Recordemos que: I = Cn – Co

Cn = Co(1+i)n y

Cn Co = ------ (1+i)n

¿ SE ANIMA A COMBINAR ESTAS FORMULAS PARARESOLVER EL PROBLEMA ?:


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Fórmula que permite hallar el INTERÉS en función delMONTO.

Ahora resuelva el planteo:

También podemos hallar el INTERÉS en función del CAPITAL;y con el mismo razonamiento que hicimos en el punto anterior,llegamos a:

I = Co{(1+i)n - 1]

Le recuerdo que en esta asignatura, debemos siempre teneren cuenta que uno de los objetivos, es suministrarinstrumental que simplifique los cálculos; de manera quenunca pierda de vista como puede combinar fórmulas paralograrlo.

... CONSTRUYAMOS TABLAS ...

!!!! CONSTRUCCIÓN Y USO DE TABLAS FINANCIERAS El uso de las Tablas Financieras ofrecen la ventaja defacilitar los cálculos, sobre todo en tareas rutinarias,aunque actualmente el uso de las calculadoras y computadorascon su desarrollo han desplazado su utilización. Pero, aúnasí, es indudable que quien tenga la posibilidad de utilizaruna P.C. para los cálculos, debe necesariamente conocer comose usa una tabla y fundamentalmente como se construye. Deallí deviene la importancia de aprender su construcción yuso. Comenzaremos construyendo la TABLA DE MONTOS. Esta tabla se construye para capitales de $ 1, para unatasa i dada y haciendo variar el tiempo expresado (n) ennúmero entero de períodos de capitalización. Tomando Co = 1 tenemos Cn = (1+i)n;construyamos para 5períodos y para i = 10 %. PERIODO MONTO 1 (1,10)1 1,10 2 (1,10)2 = 1,10 x 1,10 = 1,21 3 (1,10)3 = 1,21 x 1,10 = 1,331


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4 (1,10)4 = 1,331 x 1,10 = 1,4641 5 (1,10)5 = 1,4641 x 1,10 = 1,61051 Como se observa, la Tabla de Montos, resulta demultiplicar en forma recurrente los valores obtenidos, por(1+i). Para su aplicación en la fórmula: Cn = Co (1+i)n

Como la tabla tiene tabulado el valor de (1+i)n para un Co = 1; bastará con buscar para la tasa y tiempo expresadosen el problema el valor de (1+i) y multiplicarlo por elcapital inicial. Las tablas con las que nos manejamos, vienen calculadaspara distintos valores de i y con un número máximo de 60períodos de capitalización; con lo que si en un problema senos presentan por ejemplo 135 períodos de capitalización,podemos recurrir a la aplicación de la propiedad de laspotencias de igual base, descomponiendo el factor decapitalización en exponentes que estén tabulados. Co (1+i)135 = Co (1+i)60 (1+i)60 (1+i)15 o bien: Co (1+i)135 = Co (1+i)45 (1+i)45 (1+i)45 = = Co {(1+i)45]3

esta última expresión nos permite trabajar con un sólo valortabular y simplificar el cálculo. Construyamos ahora la TABLA DE VALORES ACTUALES o CAPITALINICIAL Se construye para montos unitarios, para una tasa i dada yhaciendo variar el tiempo n, expresado en número entero deperíodos. 1 Tomando Cn = 1 tenemos: Co = ------- , o bien: (1+i)n

1 Co = vn pues v = ------- (1+i)n Igual que en el caso de la Tabla de Montos, construyamosla Tabla para i = 0,10 en 5 períodos: PERIODOS CAP.INICIAL


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1 1/(1+i)1 0,909090 2 1/(1+i)2 = 0,909090/1,10 = 0,826446 3 1/(1+i)3 = 0,826446/1,10 = 0,751314 4 1/(1+i)4 = 0,751314/1,10 = 0,683013 5 1/(1+i)5 = 0,683013/1,10 = 0,620921 Como se observa, a partir del período 1 se obtienen losvalores, dividiendo sucesivamente por (1+i). La fórmula delCapital Inicial podemos escribirla: Co = Cnvn

y la del monto: Cn = Cov-n

Conviene aclarar que resulta aconsejable construir ambasTablas en forma conjunta, pues la de Valores Actuales essimplemente la inversa de la de Montos. Asimismo, valen lasmismas consideraciones vistas para n > z , siendo z elúltimo período tabulado en la Tabla.

... CAPITALICEMOS SUBPERIODICAMENTE ...

! CAPITALIZACIÓN SUBPERIÓDICA

Recordemos que cuando realizamos la deducción del monto,insistimos en la exigencia de la unidad de tiempo del plazo yde la tasa, y agregamos que esa unidad sea el período decapitalización; como condición de aplicabilidad de lafórmula. Por esta razón, cuando en los problemas prácticos si elenunciado nos es dado en los términos expresados en elpárrafo anterior, no tenemos dificultad para aplicarla. Pero ello no ocurre siempre así; lo que en la realidadsucede, es que nos dan una tasa para un período, generalmenteanual, con períodos de capitalización menores al año. La capitalización subperiódica, entonces, se presenta cadavez que el período de la tasa es mayor que el período de lacapitalización. Como el período de la tasa no coincide con lacapitalización, debemos encontrar la tasa que corresponde alsubperíodo. Veamos el problema planteado gráficamente:


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i = anual |-------------------|------------------...--| capitaliz.mensual ¿tasa que corresponde al subperíodo? La cuestión se resuelve con la tasa proporcional, que seobtiene dividiendo la tasa periódica i, por el número desubperíodos que tiene el año, que se representa con la letram. Para nuestro gráfico m = 12 pues la capitalización esmensual para la tasa anual. i ---- = tasa proporcional para el mes 12 Ejercicio Para una tasa anual del 60 %, encontrar la proporcionalsemestral; la proporcional cuatrimestral y la proporcionalbimestral. i Proporc.semestral ------ = m i Proporc. cuatrimest ------ = m i Proporc.bimestral ------ = m De manera que el número de subperíodos de capitalización,siendo n el número total de años, lo obtenemos haciendo n.m,entonces la fórmula del monto a aplicar resulta:

Cm.n = Co.(1+i/m)m.n

Resolvamos un problema: Encontrar el monto que a la tasa del 20 % anual concapitalización semestral produce un capital de $21.400 alcabo de: a) 1 año; b) 4 años.


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¿ si la capitalización fuera cada 15 días, con los datosanteriores, cuál sería el monto ?. Trabajo con interésexacto, esto es, año de 365 días.

Cada vez que nos presenten capitalización en días,trabajaremos con año civil, pues en las operacionesbancarias, financieras, esa es la forma de trabajar,obteniendo así el interés exacto. Si bien en el comercio se conviene en utilizar para loscálculos el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 díascada uno, con el sólo motivo de favorecer la rapidez, hoy endía con el uso de las calculadoras y procesadoraselectrónicas no existe inconveniente en trabajar con año de365 días, con lo que podemos decir que ha desaparecido lacausa de la convención comercial. Resolvamos otro ejercicio para luego comparar losresultados. Datos: C = 1.000 Supuestos: a)capitaliz.anual n = 1 año b)capital.semestral i = 1,20 anual c)capit.trimestral Cn= ¿? Solución Para a) Capitalización anual i = 1,20 Cn = Co(1+i)n Cn = 1.000(1+1,20) =2.200 Para b) Capitalización semestral i/m = 1,20/2 = 0,60 Cm.n = Co (1+i/m)m.n

Cm.n = 1.000 (1+0,60)2.1 = 2.560


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Para c) capitalización trimestral i/m = 1,20/4 - 0,30 Cm.n = Co (1+i/m)m.n

Cm.n = 1.000 (1+0,30)4.1 = 2.856,10 El monto obtenido para el mismo capital, la misma tasaenunciada y el mismo tiempo de colocación, observamos queresulta superior cuando existen capitalizacionessubperiódicas, que al que se obtiene con capitalizaciónperiódica. Demostraremos esto, desarrollando por Newton ambasfórmulas, esto es: (A) Co(1+i)n de Capitalización periódica, y (B) Co(1+i/m)m.n de Capitaliz.Subperiódica

Para Co = 1 n(n-1)i2 n(n-1)(n-2)i3 (A) (1+i)n = 1 + ni +-------- + ------------- +... 2! 3!

mn(mn-1) i2 (B) (1+i/m)m.n = 1 + n.m.i/m + -------- -- + 2! m2 mn(mn-1)(mn-2) i3 + ----------------- -- + ... 3! m3

n(n-1/m) n(n-1/m)(n-2/m) = 1 + ni + -------- i2 + --------------- i3 + ... 2! 3! Analicemos comparando (A) y (B). 1ª) los dos primeros términos son iguales. 2ª) el tercer termino de (B) es mayor que el tercero de (A) n - 1/m > n - 1 3ª) el cuarto termino de (B) es mayor que el cuarto terminode (A) n - 1/m > n - 1 ; n - 2/m > n - 2 4ª) Consideremos también que si n y m son enteros eldesarrollo de (B) tiene más términos.


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Resulta entonces, que el desarrollo de (B) es mayor que(A), o sea que: Cm.n = Co (1+i/m)m.n > Cn = Co (1+i)n

En palabras: para un mismo capital y en el mismo tiempo,la capitalización subperiódica con tasa proporcional, produceun monto mayor que la capitalización periódica. También es dable observar que a medida que aumenta elnúmero de subperíodos en el período de la tasa, aumenta elmonto que se obtiene. Compare los resultados que seobtuvieron en los supuestos b) y c). Ejercicio: i = 1,20 anual a)capitalización c/15 días C = 1.000 b) capitalización diaria n = 1 año Solución:

... CUANDO EL TIEMPO NO ALCANZA ...

! TIEMPO FRACCIONARIO Las fórmulas vistas para capitalización periódica ycapitalización subperiódica, las hemos utilizado con númerosde períodos o subperíodos enteros; veremos ahora como podemossolucionar aquellos casos que tienen tiempos fraccionarios. Supongamos n = n' + p/q donde n' es entero y p < q Para resolver este planteo, existen dos convenciones: 1) Convención lineal


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En la que se calcula el interés compuesto para el tiempoentero y se toma el monto así calculado como capital inicialpara calcular por la parte fraccionaria el interés simple.

Cn'+p/q = {Co(1+i)n'](1+p/q.i) 2) Convención exponencial Se calcula el monto a interés compuesto durante todo eltiempo, incluido el fraccionario. Cn'+p/q = Co(1+i)n'+p/q

Los montos obtenidos con cada convención son distintos.Es menor el obtenido con convención exponencial. En el puntosiguiente veremos esto con mayor profundidad.

LAS COMPARACIONES SON NECESARIAS ...

COMPARACIÓN ANALÍTICA Y GRAFICA DE LOS MONTOS A INTERÉSSIMPLE Y COMPUESTO Para Co = 1 Ms = 1 + i.n y Cn = (1+i)n

Podemos observar: 1º) para n = 0 Ms = Cn = 1 2º) para n = 1 Ms = Cn = 1 + i 3º) para 0 < n < 1 desarrollaremos (1+i)n por Newton n(n-1)i2 n(n-1)(n-2)i3 (1+i)n = 1 + n.i + -------- + -------------- + ... 2! 3! Int.simple Siendo n < 1 ; son (n-1), (n-2), etc. todos negativos yla suma algebraica será negativa, con lo que: Ms = 1 + i.n y Cn = (1+i.n) - o sea


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Ms > Cn 4º) Para n > 1 ; será: Ms = 1 + i.n y Cn = (1 + i.n) + o sea Cn > Ms Estas conclusiones nos ayudan a graficar los montos: monto

Co

0 1 tiempo y a confirmar que la convención lineal produce un monto mayorque la exponencial. Grafique Usted los intereses:

Interés

0 1 tiempo

!!!! APLICACIONES EN LA CARPETA DE TRABAJOS PRÁCTICOS

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