Investigación de Operaciones I

Introducción – Formulación

Investigación de Operaciones

Esta disciplina se aplica a la problemática relacionada con la conducción y la coordinación de actividades en una organización.La IO incluye el término investigación en el nombre porque utiliza un enfoque similar al que se aplica en las áreas científicas establecidas. El método científico se utiliza para explorar los diversos problemas que debe ser enfrentados.

Investigación de Operaciones

Uso de las matemáticas para tomar decisiones racionales en la resolución de problemasTipos de problemas:• Determinísticos: toda la información necesaria

para obtener la solución se conoce con certeza

• Estocásticos: parte de la información necesaria se comporta de forma probabilística

Fases para Implementar la IO

1. Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes.

2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema.

3. Desarrollo de un procedimiento para derivar una solución para el problema a partir del modelo.

4. Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades.

5. Implementación.

1. Definición del problema

• Identificar tres elementos principales del problema de decisión:– Descripción de las alternativas de decisión,– Determinación del objeto de estudio, y– Especificación de las limitaciones bajo las cuales

funciona el sistema modelado.

2. Construcción del modelo

• Transformar la definición del problema en relaciones matemáticas.

• ** ADICIONAR LO RELACIONADO CON LA CONSTRUCCION DE MODELOS -**

3. Desarrollo o solución del modelo

• Se realiza por medio de los algoritmos de optimización definidos.

• Se busca el valor optimo para el modelo.• Se realiza un análisis cuando el modelo

experimenta algunos cambios de parámetros (análisis de sensibilidad).

4. Validación del Modelo

• Comprueba si el modelo corresponde con la realidad planteada.

• Predice el comportamiento del sistema en estudio.

5. Implementación

• Comprueba si el modelo corresponde con la realidad planteada.

Ejercicio 01La compañía «Luces» produce dos dispositivos para lámparas (productos A y B) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto A se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto B se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad está fuera de consideración.

Solución

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

– X1 = Unidades de Producto A que se producirán– X2 = Unidades de Producto B que se producirán

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio al fabricar los productos A y B.– Maximizar Z = X1 + 2X2

• Restricciones:Uso de partes y Disponibilidad de partescomponentes ≤ y componentes

Formulación

• Restricciones: X1 + 3X2 <= 200 ---- Partes de Metal (1)

2X1 + 2X2 <= 300 ---- Componentes eléctricos (2)

X2 <= 60---- Exceso que no genera ganancia (3)

X1 >= 0 ---- No negatividad

X2 >= 0 ---- No negatividad

Ejercicio 02En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (lb) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo.

Ib por Ib de alimento Alimento Proteínas Fibras Costo ($/lb)Maíz 0.09 0.02 0.30Soya 0.60 0.06 0.90

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : libras de maíz en la mezcla diaria

X2 : libras de soya en la mezcla diaria

• Función Objetivo:Obtener el menor costo diaria de la mezcla de alimentos.Minimizar Z = 0.3X1 + 0.9X2

• Restricciones:Uso de partes y <= Disponibilidad de partescomponentes y componentes

Formulación

• Restricciones: X1 + X2 ≥ 800 ---- Mínimo de libras de alimento(1)

0.09X1 + 0.6 X2 ≥ 0.3(X1+X2) ---- Proteína(2)

0.02X1 + 0.06X2 ≤ 0.05(X1+X2) ---- Fibra (3)

X1, X2 ≥ 0 ---- No negatividad

Formulación

Minimizar Z = 0.3X1 + 0.9X2

Sujeta a:

X1 + X2 ≥ 800 --- (1)

-0.21X1 + 0.30X2 ≥ 0 --- (2)

-0.03X1 + 0.01X2 ≤ 0 --- (3)

X1, X2 ≥ 0

Ejercicio 03

En un laboratorio se fabrican 4 productos P1, P2, P3, P4 que consumen un día por unidad en su proceso completo de producción, aunque se pueden producir varias unidades simultáneamente. El espacio (m2) en el almacén y la mano de obra (número de trabajadores) disponibles limitan la producción. La siguiente tabla contiene los datos relevantes del proceso de producción, así como los costos de fabricación y precios de venta.

La empresa posee un área de 900 m2 en almacén y solo 80 trabajadores

P1 P2 P3 P4Área (m2/Unidad) 10 30 80 40Trabajadores/ Unidad 2 1 1 3Costos / Unidad 20 30 45 58Precio de Venta / Unidad 30 50 85 90

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Cantidad de producto tipo P1

X2 : Cantidad de producto tipo P2

X3 : Cantidad de producto tipo P3

X4 : Cantidad de producto tipo P4

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio de la fabricacion de los productos P1, P2, P3, P4.Maximizar Z = (30-20)X1 + (50-30)X2 + (85-45)X3 + (90-58)X4

Formulación

• Restricciones:10X1 + 30X2 + 80 X3 + 50 X4 ≤ 900 --- Terreno

2X1 + X2 + X3 + 3 X4 ≤ 80 --- Cantidad Obr.

X1, X2, X3, X4 ≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 04Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima ganancia, dado un beneficio neto de S/. 100 por cada silla y de S/. 120 por cada mesa fabricada.

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Cantidad de sillas

X2 : Cantidad de mesas

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio de la fabricación de mesas y sillas.Maximizar Z = 100 X1 + 120 X2

Formulación

• Restricciones:2X1 + 2 X2 ≤ 8 --- Piezas de tamaño pequeño

X1 + 2 X2 ≤ 6 --- Piezas de tamaño grande

X1, X2≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 05Una persona preocupada por su salud se atendió con un especialista, el cual le indico las necesidades semanales mínimas en cuanto a proteínas, hidratos de carbono y grasas, las cuales son 7, 13 y 10 unidades respectivamente. Supongamos que debemos de obtener un preparado con esa composición química mezclando los Productos SuperVita ($ 500 por kilogramo) y ForteMax ($ 300 por kilogramo), cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la tabla:

ProductoProteínas (unidades)

Hidratos de carbono

(unidades)

Grasas (unidades)

SuperVita 3 5 2

ForteMax 2 3 1

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

X1 : Kilogramos de producto Supervita

X2 : Kilogramos de producto ForteMax

• Función Objetivo:Obtener el menor costo empleando los dos productos.Minimizar Z = 500 X1 + 300 X2

Formulación

• Restricciones:3X1 + 2 X2 ≥ 7 --- mínimo de proteínas

5X1 + 3 X2 ≥ 13 --- mínimo de hidratos de carbono

2X1 + X2 ≥ 10 --- mínimo de grasas

X1, X2≥ 0 ---- No negatividad

Ejercicio 06Una empresa produce listones de madera en cuatro medidas: P, M, G y XG. Estos listones pueden producirse en tres máquinas: A, B y C. La cantidad de metros que puede producir por hora cada máquina es:

Sabemos que cada máquina puede ser usada 48 horas a la semana y que el costo por hora de cada una de ellas es 40, 60 y 75 soles respectivamente.Tienen un pedido de 9 000, 6 500, 5 000 y 3 500 metros de cada tipo de listón para la semana.

MaquinasMedidas A B CP 250 300 500M 150 300 350G 200 300 600XG 100 200 300

Formulación del Problema• Variables de Decisión:

Xij : Horas a empleas de la maquina i (i=A,B,C) semanalmente en la producción de listones tipo j (j=P, M, G, XG)

• Función Objetivo:Obtener el mayor beneficio de la fabricación de listones.Minimizar Z = 40 (X11 + X12 + X13 + X14) + 60 (X21 + X22 + X23 + X24) + 75 (X31 + X32 + X33 + X34)

Formulación

• Restricciones:

• X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 48

• X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 48

• X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 48

• 250 X11 + 300 X21 + 500 X31 ≥ 9000

• 150 X12 + 300 X22 + 350 X32 ≥ 6500

• 200 X13 + 300 X23 + 600 X33 ≥ 5000

• 100 X14 + 200 X24 + 300 X34 ≥ 3500Xij ≥ 0 ---- No negatividad