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OPERACIONES CON FUNCIONES UNIDAD 1 FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.1 J. POMALES OCTUBRE 2013 Naguabo PR Curso: Funciones y
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FUNCIONES Y MODELOS - Unidad 1: FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES - A.PR.11.3.1 Presentación sencilla sobre las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones.
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OPERACIONES CON
FUNCIONESUNIDAD 1
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.3.1
J. POMALES OCTUBRE 2013Naguabo PR Curso: Funciones y
Modelos
Observa los siguientes conjuntos:
A = {6, 9, 12} B = {3, 9, 15}
A B =
A B = { 9 }{3, 6, 9, 12, 15}
INTRODUCCIÓN
• Hasta el momento hemos visto como las funciones sirven para representar procesos.
• Hoy trataremos a las funciones como objetos.
• Al estudiarlas como objetos matemáticos, las funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones.
SUMA DE FUNCIONES
• Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente)
• En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma.
• Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.
SUMA DE FUNCIONES
• Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo:
Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
SUMA DE FUNCIONES
• Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios.
• La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g.
• En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g
SUMA DE FUNCIONES
• Al lado aparecen tablas de valores para dos funciones f y g.
• Observa que estas funciones tienen sólo 3 elementos comunes en su dominios.
• Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir la nueva función f + g
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
¿Puedes identificar estos 3 elementos
comunes en el dominio?
SUMA DE FUNCIONES
• El dominio de f + g es {3, 9, 11}
• No es posible definir los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
EJEMPLO
SUMA DE FUNCIONES
• Naturalmente que si los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2 x (f + g)(x)
3 4 + 1 = 5
9 -1 + 0 = -1
11 3 + 1 = 4
Finalmente, en este caso si podremos sumar
aquellos valores donde los dominios eran comunes
EJEMPLO
OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES
• De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división.
• Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
x (f – g)(x)
3 3
9 -1
11 2
x (f · g)(x)
3 4
9 0
11 3
311
43
(f / g)(x)x
Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida,
así que ese valor queda excluido en la división
EJEMPLO
DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES• Sean f y g funciones, y sea
D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x D.
)()())((
)()())((
)()())((
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf
• La función ( f / g)(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador {x D | g ≠ 0}
EN OTROS CASOS
• Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas.
• Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.
Si y realiza las siguientes operaciones
EJEMPLO
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
353
154)(3
)15()43(
)()())((
23
23
23
xxx
xxx
xxx
xhxfxhf
D =
15)( xxh
EJEMPLO
553
1543
)15())(4)(3(
)()())((
23
23
23
xxx
xxx
xxx
xhxfxhf
D =
Si y realiza las siguientes operaciones
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
15)( xxh
EJEMPLO
420815
4320515
)15)(4)(3(
)()())((
234
2334
23
xxxx
xxxxx
xxx
xhxfxhf
D =
Si y realiza las siguientes operaciones
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
15)( xxh
EJEMPLO
15
4)(3
)(/)())(/(23
x
xx
xhxfxhf
Si y realiza las siguientes operaciones
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
15)( xxh
D = , pero x ≠ 51
(Dominio Restringido)
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
• Utiliza las tablas de la izquierda para realizar las siguientes operaciones
)/()4
)()3
)()2
)()1
gf
gf
gf
gf
x f(x)
-50 5
-20 3.2
-3 8
-1.1 -1
-1 4
0 3
2 10.5
e 9
17.3 6
41 -5
109 14
x g(x)
-50 4
-21 -8
-3 -3
-1.4 4
-1.2 7.2
10 8
2 0
e -1
16 -1
41 4
109 3.9
Utiliza la tabla de la próxima página para contestar estos ejercicios
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
x f + g f – g f ∙ g f / g
Puedes utilizar esta tabla para contestar los ejercicios anteriores
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
• Utiliza las tablas de la izquierda halla los siguientes valores, si es posible
)0)(/()9
)20)(()8
)1)(()7
)3)(()6
))(()5
gf
ff
gg
fg
efg
x f(x)
-50 5
-20 3.2
-3 8
-1.1 -1
-1 4
0 3
2 10.5
e 9
17.3 6
41 -5
109 14
x g(x)
-50 4
-21 -8
-3 -3
-1.4 4
-1.2 7.2
10 8
2 0
e -1
16 -1
41 4
109 3.9
EJERCICIOS DE PRÁCTICA• Sean
Escribe en su forma más simple y especifica su dominio.
nn enjenh
nngnnnf
3)()(
45)(153)(
2
2
gf
fg
gf
gf
/)13
)12
)11
)10
hj
jh
jh
g
/)17
)16
)15
)14 3
21
)18 h
REFERENCIAS
• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas
• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
