Operaciones con intervalos

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos. 

Debido a su gran utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.

conjuntos. Se define la intersección de   y   y se denota, al conjunto cuyos elementos pertenecen a   y también a 

Simbólicamente se tiene que: 

Ejemplo 

Si   y  . Determine 

Solución 

Los elementos que están en   y también en   son: 4 y 5. Por lo tanto: 

Ejemplo 

Si   y  .  Determine   

Solución 

Geométricamente podemos representar los conjuntos   y   de la manera siguiente:

 

De aquí podemos observar que los elementos que están en   y también en son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

Ejemplo 

Si   y  Determine   

Solución  

Geométricamente podemos representar a los conjuntos   y   de la siguiente manera:

De aquí observamos que los únicos elementos que están en   y también en son -2 y 3; por lo que: 

Ejemplo 

Si   y  .Determine   

Solución  

 

Como podemos observar   y   no tienen elementos comunes por lo que: 

Ejercicio 

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto  . 

1. ;   

2. ;   

3. ;   

4. ;   

 

y conjuntos. Se define la unión de   y   y se denotaconjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos

Simbólicamente se tiene que: 

Ejemplo 

Si   y  . Determine   

Solución 

 

Ejemplo 

Si   y  .Determine   

Solución 

Representaremos a   y a   geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en   o en  , son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así: 

Ejemplo 

Si   y  . Determine   

Solución 

Representaremos a   y a   geométricamente:

 

De aquí observamos que:   

Ejemplo 

Si   y  . Determine   

Solución 

Representemos a   y a   geométricamente:

De aquí observamos que:   

Ejemplo   

Si   y  . Determine   

Solución

Representaremos a   y a   geométricamente:

 

 

De aquí observamos que:   

Geométricamente podemos representar   así:

 

 

Ejercicios  

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto   y represente geométricamente los conjuntos A, B y  .

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

Definición

Sean   y   conjuntos. Se define la diferencia de   y   y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen a   y no a  .

 

Ejemplo   

Si   y  . Determine   y   

Solución

i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son  ; por lo

que   

ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son  ; por lo

que  

Ejemplo  

Si   y  , determine   

Solución

 o sea:   

Ejemplo   

Si   y  , determine   y   

Solución

Representemos a   y a   geométricamente.

 

 

De aquí podemos observar que:

i.   

 

ii.  ; o sea:   

Ejercicios  

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto   y  .

1. ;   

2. ;   

3. ;   

4. ;   

5. ;   

OPERACIONES CON INTERVALOS: REUNIÓN, INTERSECCIÓN, DIFERENCIA Y COMPLEMENTO

      OPERACIONES CON INTERVALOS

Al operar con intervalos se aplica las definiciones de las operaciones entre conjuntos,

pero el trabajo se realiza en la recta numérica para los números reales.

Al operar con intervalos el conjunto universo es el conjunto de los números reales, a

menos que se especifique otra cosa.      1) REUNIÓN DE INTERVALOS

Ejemplo:

Solución:

2) INTERSECCIÓN DE INTERVALOSEjemplo:

      Solución:

Ejemplo:

 3) DIFERENCIA DE INTERVALOSSolución:

Ejemplo:

4) COMPLEMENTO DE INTERVALOSSolución:

    OPERACIONES  CON LOS EXTREMOS DE LOS INTERVALOS

Presentamos las operaciones con los extremos de los intervalos:

http://1.bp.blogspot.com/-kjzARiPtvhM/U4m_HPXJraI/AAAAAAAAAZE/LOw1s7FmJW0/s1600/Sin+t%C3%ADtulo.png