UNIVERSIDAD POPULAR AUTONOMA DEL ESTADO DE PUEBLA

INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN

PRE-CÁLCULO

APUNTES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS BÁSICASITI

2009

TEMA 1MATRICES

MATRICES Y LA VIDA COTIDIANA

La siguiente tabla muestra la inflación en Diciembre del 2009

Inflación medida por: Mensual Acumuladaen el año

Anual

INPC índice general 0.69 6.53 6.53

INPC subyacente (nueva definición)1/ 0.62 5.73 5.73

INPC no subyacente (nueva definición) 0.88 8.72 8.72

 

INPP mercancías excluyendo petróleo 0.33 10.48 10.48

INPP mercancías y servicios excluyendo petróleo 0.38 7.75 7.75

 

Definición anterior

INPC subyacente2/ 0.68 5.73 5.73

INPC no subyacente 0.71 8.15 8.15

A continuación se muestran los pronósticos del clima en la Ciudad de México para la semana del 12 al 17 de Enero del 2009.

PronósticoFecha

Hoy Mar Mié Jue Vie SábMínima 7°C 3°C 6°C 6°C 6°C 5°C

Máxima 20°C 17°C 21°C 20°C 20°C 21°C

Todas estas situaciones se expresan mediante cuadros de números en filas y columnas denominados matrices.

1.1 DEFINICIÓN, TIPOS DE MATRICES Y PROPIEDADES

Una disposición rectangular de n filas y m columnas, con n x m elementos de un mismo conjunto, es lo que se denomina matriz de orden n por m. Cada elemento de la matriz se llama entrada y usualmente se denota con una letra y un par de subíndices que indican la fila y la columna donde está ubicado. Por ejemplo, a23

está en el cruce de la segunda fila con la tercera columna. Dos matrices del mismo orden son iguales si sus respectivas entradas son iguales.

Los elementos de una matriz pueden ser, en general, objetos matemáticos de muy variados tipos. Por ejemplo, números de un conjunto o determinado tipo de funciones. Nosotros trabajaremos exclusivamente con matrices cuyas entradas son números reales.

EJEMPLO

B=(2 0 03 4 04 5 6 )

Es la matriz B de orden 3x3.Es decir, de forma genérica de tercer orden (mismo número de renglones que de columnas). El elemento b32= 5.

De lo anterior se establece entonces que, Los renglones de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal.

2 0 0 Primer renglón, R1

3 4 0 Segundo renglón, R2

4 5 6 Tercer renglón, R3

Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical

EJEMPLO

Amn=Bmn si y sólo si a ij=b ij ;∀ i , j

(2 4 9 8 43 7 6 5 03 5 7 6 10 3 5 9 6

)

A=

La palabra arreglo implica un orden que, en el manejo de las matrices es muy importante; en los ejemplos anteriores cada columna y cada renglón pueden tener significados específicos que cambiarán si los números cambian de posición.En resumen:

Para trabajar las matrices en matemáticas utilizamos la siguiente notación:• Utilizamos las letras mayúsculas del abecedario para nombrar a las

matrices, esto es: A, B, C, R, T, W, etc., con uno (n) o dos (m y n) subíndices que indican el tamaño de la misma.

• Utilizamos la misma letra con que nombramos a la matriz pero minúscula para nombrar a las componentes, con dos subíndices i y j, por ejemplo: a12, b43, w33, etc.

Los subíndices nos indican el renglón y la columna en la que se ubica dicha componente dentro de la matriz.

Anm An a ij

De esta forma podemos identificar el componente de cada matriz. Por ejemplo

EJEMPLO

C es una matriz de tercer orden (Es decir 3 renglones y 3 columnas)

Componente de A en el renglón i

Componente de A en la columna j

Matriz A de n renglones y m

columnas.

Matriz A con n renglones y n columnas

Sea:

C3=(3 9 −10 4 85 −4 6 )

c11=3c12=9c13=−1

c21=0c22=4c23=8c31=5c32=−4c33=6

Es decir, se define el valor de cada elemento de la matriz C según su posición ij.

CLASIFICACIÓN DE MATRICES

Denominación Descripción Ejemplo

Matriz FilaMatriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1 x m

A= [ 1 5 −1 ]

Matriz ColumnaMatriz que tiene una sola columna, siendo su orden n x 1 A=¿ [−5 ¿ ] [ 0 .2 ¿ ] ¿

¿¿¿

¿

¿

Matriz Cuadrada

Matriz que tiene mismo número de filas que de columnas. Es decir, n=m.Diagonal Principal: Elementos con subíndices iguales.Traza de una matriz: Suma de los elementos de la diagonal principal.

H=¿ [1 0 −2¿ ] [ 5 3 4 ¿ ]¿¿

¿¿

Traza (H)= 1+3-6=-2

Matriz Nula Matriz donde todos sus elementos son nulos.

C=¿ [ 0 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

Matriz Identidad

Es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos, salvo los

de la diagonal principal que son iguales a 1. La matriz identidad de cualquier orden se denota por I.

I=¿ [ 1 0 0 ¿ ] [ 0 1 0 ¿ ]¿¿

¿¿

Matriz Diagonal

Es aquella en las que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

P=¿ [2 0 0 0 ¿ ] [ 0 3 0 0 ¿ ] [ 0 0 2 0 ¿ ] ¿¿

¿¿

Matriz Opuesta

La matriz opuesta de una matriz A, es la matriz que tiene por entradas las de la matriz A cambiadas de signo. Esta matriz se denota por –A.

A=¿ [1 −2¿ ] [−51

3¿]¿

¿¿¿

Matriz Triangular

Matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos cero. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz triangular inferior, y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz triangular superior.

B=¿ [ 3 0 0 ¿ ] [1 2 0¿ ]¿¿

¿¿ Triangular Inferior

D=¿ [ 4 1 −2¿ ] [ 0 1 5¿ ]¿¿

¿¿ Triangular superior

Matriz Transpuesta

La matriz transpuesta de la matriz A es la matriz At que se obtiene de la matriz A intercambiando filas por columnas

A=¿ [1 −2¿ ] [ 3 8¿ ]¿¿

¿¿

At=¿ [ 1 3 0 ¿ ]¿¿

¿¿

Matriz Simétrica

Matriz cuadrada donde al transponerla se cumple que aij=aji

A=¿ [ 1 −3 5 ¿ ] [−3 2 0¿ ]¿¿

¿¿

At=¿ [1 −3 5 ¿ ] [−3 2 0 ¿ ]¿¿

¿¿Como aij=aji Por lo tanto es una matriz

simétrica.

1.2 OPERACIONES CON MATRICESLas operaciones posibles a realizarse con matrices son: Suma o Adición, Resta, Multiplicación.

Adición o Suma de matrices

Una industria de la confección tiene dos plantas P1 y P2. En P1 se confecciona ropa para niños y en P2 ropa para adultos. Los costos de elaboración y venta de cada prenda se muestran en la siguiente tabla:

COSTO DE PRODUCCIÓN POR PRENDA (Bs)Niños Niñas Mujeres Hombres

P1 45000 46000 0 0P2 0 0 95000 97000

Mientras que las ganancias por venta de cada prenda es:

Niños Niñas Mujeres HombresP1 20000 16000 0 0P2 0 0 40000 43000

Si deseamos determinar los precios de venta (P) de cada prenda de vestir, podríamos considerar una matriz M donde en cada una de sus entradas se coloca la suma de los costos de producción y las ganancias. Así resulta que:

M=¿ [ 45000 +20000 46000+16000 0+0 0+0 ¿ ]¿¿

¿¿

M=¿ [ 65000 62000 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

De esta manera, la matriz M corresponde matemáticamente a la suma de las matrices C y G.

M=C+G

Sustracción o resta de matrices:La sustracción o resta de dos matrices m x n está definida por

A – B = A + (-B)

Así, para restar dos matrices, sustraemos los elementos de las posiciones correspondientes.

EJEMPLO

[ 45 ¿ ] [ 04 ¿ ] ¿¿

¿¿

Definición del producto de un número real y una matriz El producto de un número real c y una matriz A = (aij) de m x n es:

cA = (caij)

Observa que para hallar cA, multiplicamos cada elemento de A por c.

EJEMPLO

3¿ [ 4−1 ¿ ]¿¿

¿

TEOREMA SOBRE PROPIEDADES DE MATRICES

Si A y B son matrices m x n y si c y d son números reales, entonces:1) c(A+B)= cA +cB2) (c +d)A = cA + dA3) (cd)A = c(dA)

La definición del producto AB de dos matrices que sigue puede parecer poco común, pero tiene mucho usos en matemáticas y en aplicaciones prácticas. En la multiplicación, al contrario que en la suma, A y B pueden ser de tamaños

diferentes, pero el número de columnas de A ha de ser el mismo que el número de renglones (filas) de B . Por lo tanto, si A es de m x n, entonces B debe ser n x p para alguna p. Según veremos, el tamaño a AB es entonces m X p.

El diagrama que sigue puede ayudar a recordar la relación entre el tamaño de matrices al trabajar con un producto AB

TAMAÑO A TAMAÑO B m x n n x p

Igual

Tamaño de AB es m x p

EJEMPLO

TAMAÑO A TAMAÑO B TAMAÑO AB2 X 3 3 X 5 2 X 54 X 2 2 X 3 4 X 33 X 1 1 X 3 3 X 31 X 3 3 X 1 1 X 1 5 X 3 3 X 5 5 X 55 X 3 5 X 3 AB no está definida

DEFINICIÓN DEL PRODUCTO DE DOS MATRICESSea A=(aij) una matriz de m x n y sea B = (bij) una matriz de n x p. El producto AB es la matriz C = (cij) m x p tal que:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j +…+ ainbnj

para i = 1, 2, 3, …, m y j =1, 2, 3, …, p

EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL PRODUCTO DE DOS MATRICESEncuentra el producto AB si

A=¿ [1 2 −3 ¿ ]¿¿

¿¿Solución:La matriz A es 2 x 3 y la matriz B es 3 x4; por lo tanto, el producto C =AB está definido y es 2 x 4. A continuación usamos las guías para hallar los elementos c11, c12, …, c24 del producto. Por ejemplo.Para encontrar el elemento c23 separamos el segundo renglón, R2, de A y la tercera columna, de B. Así:

c11=(1)(5 )+(2 )(−1 )+(−3)(7 )=−18c12=(1 )(−4 )+(2 )(6)+(−3 )(0 )=8c13=(1)(2)+(2)(3 )+(−3)(5 )=−7

c14=(1)(0 )+(2 )(1)+(−3 )(8)=−22c21=(4 )(5)+(0 )(−1 )+(−2)(7 )=6

c22=(4 )(−4 )+( 0)(6 )+(−2)(0 )=−16c23=(4 )(2 )+(0 )(3 )+(−2 )(5 )=−2

c24=(4 )(0 )+(0 )(1)+(−2 )(8 )=−16

Por tanto,

AB=¿ [ 1 2 −3¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

¡Así de fácil!

Una matriz es una matriz renglón si tiene sólo un renglón. Una matriz columna nada más tiene una columna.Para llevar a cabo el producto de matrices renglón columna se toman en cuenta las mismas reglas que se mencionaron con anterioridad.

EJEMPLOS

[−2 4 ¿ ] [0 −1 ¿ ] ¿¿

¿¿

[−2¿ ]¿¿

¿¿

La operación del producto para matrices no es conmutativa; por ejemplo, si A es 2 x 3 y B 3 x 4, , entonces puedes encontrar AB, puesto que el número de columnas de A es el mismo que la cantidad que de renglones de B. Sin embargo, BA no está definido porque el número de columnas de B es diferente de la cantidad de renglones de A. Incluso si AB y BA están definidos, a menudo estos productos son diferentes.

¡A TRABAJAR!

1. Si A=¿ [ 2 2¿ ]¿

¿¿¿

demuestre que AB ¿BA2. Tres inversionistas, I1, I2 e I3 poseen individualmente determinado

número de porciones de cuatro acciones S1, S2, S3 y S4, según la matriz A. La matriz B contiene el valor actual V de cada porción de acción. Encuentra AB e interpreta el significado de sus elementos.

Inversionistas ¿ [50 100 30 25 ¿ ] [100 150 10 30 ¿ ]¿¿

¿