Operaciones Con Matricesy Vectores en Matlab

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA

OPERACIONES CON MATRICESY VECTORES EN MATLAB

EJERCICIO 01: Escribe los comandos de matlab que genere las siguientes matrices.

1.( 1 1 3 0−3 −1 6 84 4 10 −7)

2.(10 5 −6−5 −8 −4−58

−108

3−5

)>>A=[1 ,1, 3, 0; -3 ,-1, 6 , 8;4 , 4 , 10, -7]

A =

1 1 3 0

-3 -1 6 8

4 4 10 -7

>>B= [10 ,5 ,-6;-5 ,-8, -4;-5 ,-10, 3;8, 8, -5]

B =

10 5 -6

-5 -8 -4

-5 -10 3

8 8 -5

EJERCICIO 02: Escribe un solo comando que cree una matriz 3x5 con cada entrada igual a -3.

ING.JORGE ANÍBAL QUISPE SOSA PROGRAMACION DIGITAL



>> C=-3*ones(3,5)

C =

-3 -3 -3 -3 -3

-3 -3 -3 -3 -3

-3 -3 -3 -3 -3

EJERCICIO 03: Crea una matriz de Hilbert con los siguientes comandos.

>>format rat

>>H=Hilb(5)

>>format

a) >> help format rat

Ajuste el formato de salida de formato.

Todos los cálculos en MATLAB se realizan en doble precisión. El formato

puede ser utilizado para cambiar entre la salida diferente mostrar los

formatos de la siguiente manera:

Formato predeterminado. Igual CORTO.

FORMATO CORTO, formato en escala de punto fijo con 5 dígitos.

FORMATO LARGO, Escalado formato de punto fijo con 15 dígitos

FORMATO E, formato corto formato en punto flotante con 5 dígitos.

FORMATO LARGO E, formato de punto flotante con 15 dígitos.

FORMATO CORTO G, Mejor formato de punto fijo o flotante con 5 dígitos.

MEJOR FORMATO G LONG, formato de punto fijo o flotante con 15

dígitos.

HEX, formato hexadecimal formato.

FORMATO + Los símbolos +, - y se imprimen en blanco

para los elementos positivos, negativos y cero.

Partes imaginarias son ignorados




FORMATO ,formato de banco fijo en dólares y centavos.

FORMATO, Aproximación RAT por la relación de números enteros pequeños.

Espaciado:

COMPACTO FORMATO reprimir prolongación Hoja de feeds.

FORMATO LOOSE Pone la línea extra-feeds interactivo

RAT aproximación racional.

[N, D] RAT = (X, tol) devuelve dos matrices de enteros de modo que N. /

D está cerca de X en el sentido de que abs (N. / D - X) <= tol * abs (X).

Las aproximaciones racionales son generados por truncar continuó

desarrollo en fracciones. tol = 1.e-6 * norma (X (:), 1) es el valor

predeterminado

S = RAT (X) o RAT (X, tol) devuelve la fracción continua representación como

una cadena.

El mismo algoritmo, con el tol forma predeterminada, se usa internamente

por MATLAB para RAT FORMAT.

b) >> help Hilb

Hilb matriz de Hilbert.

Hilb (N) es el N por N elementos de matriz con 1 / (i + j-1),que es un

famoso ejemplo de una matriz mal condicionada.

Ver INVHILB para el inverso exacto.

Esto también es un buen ejemplo de eficiente de programación

MATLAB estilo de bucles convencionales PARA HACER o se sustituyen

por vectorizada declaraciones. Este enfoque es más rápida, pero

utiliza más capacidad de almacenamiento.

>>H=hilb(5)




H =

1 1/2 1/3 1/4 1/5

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

1/4 1/5 1/6 1/7 1/8

1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

Escribe una formula para la posición (i, j)de la matriz H.

La formula viene dado por: 1

i+ j−1Por ejemplo:

para la posición (5,5)la fracción es: 1

5+5−1=1

9

para la posición (3,4)la fracción es: 1

3+4−1=1

6

EJERCICIO 04: Explica la diferencia entre los comandos floor. ceil, round y fix.Apoya tu explicación con 02 ejemplos en MATLAB.

1. >> help floor

Floor (x) redondea los elementos de X a los enteros más próximos hacia menos infinito.

2. >> help ceil

CEIL (X) Redondea los elementos de X a los enteros más próximos hacia el infinito.

3. >> help round

ROUND (X) Redondea los elementos de X a los enteros más próximos.

4. >> help fix

FIX (X) redondea los elementos de X a los enteros más próximos hacia cero.




EJEMPLO 01:

>> F=rand(5)

F =

0.8381 0.5028 0.1934 0.6979 0.4966

0.0196 0.7095 0.6822 0.3784 0.8998

0.6813 0.4289 0.3028 0.8600 0.8216

0.3795 0.3046 0.5417 0.8537 0.6449

0.8318 0.1897 0.1509 0.5936 0.8180

>> floor(F)

ans =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

>> ceil(F)

ans =

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

>> round(F)




ans =

1 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 1

1 0 0 1 1

>> fix(F)

ans =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

EJEMPLO 02:

>> R=[5.085 ,2.009 ,4.675;0.400 ,6.692 ,9.465;10.546, 1.002, 7.987]

R =

5.0850 2.0090 4.6750

0.4000 6.6920 9.4650

10.5460 1.0020 7.9870

>> floor(R)




ans =

5 2 4

0 6 9

10 1 7

>> ceil(R)

ans =

6 3 5

1 7 10

11 2 8

>> round(R)

ans =

5 2 5

0 7 9

11 1 8

>> fix(R)

ans =

5 2 4

0 6 9

10 1 7

COMANDOS DIFERENCIASEste comando redondea a cada




FLOORelemento de la matriz al inmediato anterior ,es decir Hacia el menos infinito. Ejemplo 4,987 es 4.

CEIL

Este comando redondea a cada elemento de la matriz al inmediato posterior, es decir Hacia el más infinito. Ejemplo 6.0023 es 7.

ROUND

Este comando redondea a cada elemento de la matriz tomando en cuenta las décimas; es decir al inmediato posterior: Ejemplo 4.987 es 5; 1.045 es 1.

FIX

Este comando redondea a cada elemento de la matriz sin tomar en cuenta las décimas; es decir al inmediato anterior: Ejemplo 7.954 es 7; 1.045 es 1.

EJERCICIO 05: Escribe un comando MATLAB que genere una matriz 4x4 con los valores aleatorios entre -5 y5.

EJERCICIO 06: El operador ´ genera realmente la conjugada transpuesta de una matriz. Para verlo, introduzca A=[1,2+i,sqrt(2),3-i,sqrt(-1)],teclea entonces A’. Describe el resultado. ¿Que ocurre si ponemos a .’? explica la diferencia entre los operadores de transposición ‘ y .’

>> A=[1,2+i,sqrt(2);3 3-i,sqrt(-1)]

A =

1 2 + 1i 1393/985

3 3 - 1i 0 + 1i

>> A'




ans =

1 3

2 - 1i 3 + 1i

1393/985 0 - 1i

>> A.'

ans =

1 3

2 + 1i 3 - 1i

1393/985 0 + 1i

cuando realizamos el operador A.' pues estamos sacando la transpuesta de la matriz es decir cambiar las filas por las columnas ;por otro lado cuando operamos A' de igual manera resulta la transpuesta de la matriz pero también saca la transpuesta a cada elemento como por ejemplo de 2-i es 2+i

EJERCICIO 07: El sistema de ecuaciones

x+2x 2-3x3=4

2x 1 -3x3 =-2

x 1 + x 3=0

Tiene como matriz y vector de términos independientes a

A=(1 2 −32 0 −30 1 1 ) ,b=( 4

−20 )

Respectivamente .Construye la matriz ampliada M=[A,b] y obtenga su forma reducida por filas con el comando rref(M).

>> A=[1, 2, -3;2, 0, -3;0, 1, 1]




A =

1 2 -3

2 0 -3

0 1 1

>> b=[4;-2;0]

b =

4

-2

0

>> M=[A,b]

M =

1 2 -3 4

2 0 -3 -2

0 1 1 0

>> rref(M)

ans =

1 0 0 -22/7

0 1 0 10/7

0 0 1 -10/7

De la matriz resultante pues podemos hallar los valores de las variables dadas en el sistema de ecuaciones con una simple igualdad por este método de la matriz ampliada de GAUSS GORDAN.

X1=-22/7 ; X2=10/7 ; X3=-10/7

>> help rref

RREF forma escalonada reducida.




R = rref (A) produce la forma escalonada reducida de A. [R, jb] = rref (A) también devuelve un vector, jb, de modo que: r = longitud (JB) es la idea de este algoritmo de la fila de A, x (jb) son las variables enlazadas en un sistema lineal Ax = b, A (:, jb) es una base para el rango de A, R (1: r, jb) es la r por r matriz identidad. [R, jb] = rref (A, TOL) utiliza la tolerancia indicada en las pruebas de clasificación.

EJERCICIO 08:dados los vectores

a=[1234] , b=[−1

02

−3] , c=[−1

−203

] a). Calcular el vector 3a−2b+4c .

>> a= [1;2;3;4]

a=

1

2

3

4

>> b=[-1;0;2;-3]

b =

-1

0

2

-3

>> c=[-1;-2;0;3]




c =

-1

-2

0

3

Por lo tanto lo pedido:

>> k=3*a-2*b+4*c

k =

1

-2

5

30

b). Si A=[a ,b , c] es la matriz cuyas columnas son los vectores a ,b y c , y d=[3,-2,4]’,calcula el producto Ac.

>> A= [a ,b, c]

A =

1 -1 -1

2 0 -2

3 2 0

4 -3 3

>> d=[3 -2 4]'




d =

3

-2

4

>> R=A*d

R =

1

-2

5

30

c). Compara los resultados de los apartados anteriores. ¿que propiedad pone de manifiesto esta coincidencia?

Para el resultado en a) se esta haciendo una adición de los vectores multiplicados cada una por una constante que es (3,-2 y4 respectivamente);por otro lado en el resultado de b) la matriz creada es decir A, está siendo multiplicado por otro vector dado como la transpuesta de los coeficientes anteriores. En conclusión se esta haciendo el mismo procedimiento en ambos casos, ya que el producto de matices es la suma del producto de la primera columna de la primera matriz y la primera fila de la otra, es decir una constante por el primer vector.

EJERCICIO 09: Sean:

A=[ 3 2 −12 0 −2

−1 1 3 ] , b=[121] , c=[ 3−14 ]

a) Calcula Ab, Ac y obtén la matriz [Ab Ac], es decir la matriz cuyas columnas son los vectores calculados.>> A=[3, 2, -1;2 ,0, -2;-1, 1, 3]A =




3 2 -1 2 0 -2 -1 1 3

>> b=[1;2;1]b = 1 2 1

>> c=[3;-1;4]c = 3 -1 4

>> A*bans = 6 0 4

>> A*cans = 3 -2 8

>> K=[A*b, A*c]

K =

6 3 0 -2 4 8

b) Siendo B=[b c],calcula el producto AB.

>> B=[b, c]

B =

1 3




2 -1

1 4

>> A*B

ans =

6 3

0 -2

4 8

c) compara los resultados ¿Que propiedad pone de manifiesto esta coincidencia?

En a) se esta aplicando la propiedad de producto de vectores explicado en el ejercicio 08,y en b) la matriz creada B esta compuesta por los vectores b y c y al multiplicar A*B estamos realizando el mismo procedimiento de a) es decir la suma del producto de la primera columna de A por el primer vector b y así sucesivamente y obtendremos el mismo resultado.

EJERCICIO 10: Escribe la matriz (hay una forma muy rápida de hacerlo usando el comando: y la función reshape)

>> help reshape

RESHAPE Cambiar tamaño. Reformar (X, M, N) devuelve la matriz m-por-n, cuyos elementos se toman por columnas de X. Se produce un error si X hace no tiene M * N elementos. RESHAPE (X, M, N, P, ...) devuelve una matriz con el mismo ND elementos como X pero reconfigurado para tener el tamaño M-por-N-por-P-por-... M * N * P * ... debe ser el mismo que PROD (SIZE (X)).

RESHAPE (X, [M N P ...]) es la misma cosa.

RESHAPE (X, ..., [], ...) calcula la longitud de la dimensión representada por [], tal que el producto de las dimensiones es igual PROD (SIZE (X)). PROD (SIZE (X)) debe ser divisible por el producto de las dimensiones conocidas.




Sólo se puede utilizar un ocurrencia de [].En general, cambiar la forma (X, TAM) devuelve una matriz con el mismo ND elementos como X, pero rediseñado para el SIZ tamaño. PROD (SIZ) debe estar el mismo que PROD (SIZE (X)).

>> A=[1:1:5;6:1:10;11:1:15;16:1:20;21:1:25;26:1:30]

A =

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

Y a partir de ella obtén:

a) la tercera fila

>> x=A(3,:)

x =

11 12 13 14 15

b) la cuarta columna

>> x=A(:,4)

x =

4




9

14

19

24

29

c) el vector formado por los elementos que ocupan las posiciones impares de la fila 4.

>>c=A (4,1 :2 :5)

c =

16 18 20

d) el vector formado por los elementos que ocupan las posiciones pares de la columna 1.

>> t=A(2:2:6,1)

t =

6

16

26

e) La submatriz formado por los elementos que ocupan las posiciones donde se cruzan las filas 2y4 y las columnas 1,3y5.

>> u=A([2,4],[1 ,3, 5])

u =

6 8 10

16 18 20

f) La submatriz que se obtiene al suprimir las filas 2y4, y las columnas1y3.

>> h=A([1, 3, 5 ,6],[2 ,4, 5])

h =




2 4 5

12 14 15

22 24 25

27 29 30

g) La matriz que se obtiene de A al añadirle(pegarle)una fila cuyo i-ésima elemento sea la suma de la i-ésima fila de A(El comando sum te puede ser de ayuda)

>> help sum

SUM Suma de los elementos. Para los vectores, SUM (X) es la suma de los elementos de X. Por matrices, SUM (X) es un vector fila con la suma sobre cada columna. Para N-D conjuntos, SUM (X) opera a lo largo de la primera no-singleton dimensión. SUM (X, DIM) resume lo largo de la dimensión DIM. Ejemplo: Si X = [0 1 2 3 4 5] entonces suma (X, 1) es [3 5 7] y la suma (X, 2) es [3 1 2];

>> h=sum(A,1)h = 81 87 93 99 105

>> T=[A;h]

T = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 81 87 93 99 105>> k=sum(T,2)k =

15 40




65 90 115 140 465

>> G=[T,k]

G =

1 2 3 4 5 15 6 7 8 9 10 40 11 12 13 14 15 65 16 17 18 19 20 90 21 22 23 24 25 115 26 27 28 29 30 140 81 87 93 99 105 465

Por lo tanto la matriz G aquella añadida en una columna y fila.

EJERCICIO 11: Obten las siguientes matrices sin escribirlas explícitamente (en algunos casos puede ser necesario mas de un comando para obtener la matriz deseada)

( i )R=[1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0 ]

>>R=eye(3,5)

R =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

(ii )D=[0 0 0 01 0 0 000

20

0 03 0

]>> D=diag([1,2,3],-1)




D =

0 0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

( iii )M=[0 1 0 00 0 1 000

01

0 12 3

] >> M=diag([1, 1, 1],1)

M =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

>> M(4,2)=1

M =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

>> M(4,3)=2

M =

0 1 0 0




0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 2 0

>> M(4,4)=3

M =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 2 3

(iv ) J=[3 1 0 02 0 1 010

00

00

10]

>> J=diag([1, 1 ,1],1)

J =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

>> J(1,1)=3

J =

3 1 0 0




0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

>> J(2,1)=2

J =

3 1 0 0

2 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

>> J(3,1)=1

J =

3 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

0 0 0 0


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