Operaciones algebraicas vectoriales

Igualdad de vectores:

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.

^^BABABA

,BB,AA

BABA

yxyx

yxyx

B,BjBiBB

A,AjAiAA

senBB

cosBB

senAA

cosAA

y

x

y

x

yy

xx

BA

BA

Vector negativo

Un vector es negativo de otro si tienen la misma magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto al primero.

^^BABABA

,BB,AA

180BABA

yxyx

yxyx

B,BjBiBB

A,AjAiAA

180senBsenBB

180cosBcosBB

senAA

cosAA

y

x

y

x

yy

xx

BA

BA

Suma de vectores

BAR

x

y

A

Ax

Ay

Bx

By

B

Rx=Ax+Bx

Ry=Ay+By

R

Bx

Ay

Suma de vectores

BAR

jRiRR;jBiBB;jAiAA yxyxyx

jBiBjAiAjRiRBAR yxyxyx

yyyyyy

xxxxxx

BAR0BAR

BAR0BAR

Resta de vectores

BABAR

jRiRR;jBiBB;jAiAA yxyxyx

jBiBjAiAjRiRBAR yxyxyx

yyyyyy

xxxxxx

BAR0BAR

BAR0BAR

Producto de un escalar por un vector

AtR

jRiRR;jAiAA yxyx

jAiAtjRiRAtR yxyx

jtAitAjRiR yxyx

yyyy

xxxx

tAR0tAR

tAR0tAR

Ejemplo 2.1: Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determine su resultante.

Respuesta:

Primero hacemos un diagrama de fuerzas.

y escribimos las coordenadas polares de cada vector

45,N60Q;20,N40P

Ahora encontramos las coordenadas rectangulares o componentes

N4264.4245senN60Q

N4264.4245cosN60Q

N6808.1320senN40P

N5877.3720cosN40P

y

x

y

x

Respuesta:

N4264.4245senN60Q

N4264.4245cosN60Q

N6808.1320senN40P

N5877.3720cosN40P

y

x

y

x

Entonces hacemos la suma de los vectores:

N1071.5645senN6020senN40QPR

N0141.8045cosN6020cosN40QPR

yyy

xxx

0388.35R

Rarctan

N7255.97RRR

x

y

2y

2x

Ejemplo 2.2: Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del lanchón, determine: a) la tensión en cada una de las cuerdas sabiendo que =45°, y b) si el valor de es tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima, ¿cuáles son las magnitudes de las tensiones?

Respuesta: Primero hacemos un diagrama de fuerzas.

senC,cosCA,A0,lb5000CAD 21

23

0senCA

lb5000cosCA

21

23

A,A30senA,30cosAA 21

23

senC,cosCC

0,lb5000lb0sen5000,lb0cos5000D

a) =45°

045senCA

lb500045cosCA

0senCA

lb5000cosCA

21

23

21

23

0CA

lb5000CA

22

21

22

23

0C2A

lb10000C2A3

lb10000C213C2C23C2A3

C2A

lb2540.3660lb

13

10000A

lb1905.2588lb213

10000C

b) El valor de para que C sea mínima es de 60°, entonces,

0senCA

lb5000cosCA

21

23

060senCA

lb500060cosCA

21

23

0CA

lb5000CA

23

21

21

23

lb5000C2CCCC3CA

C3A

21

23

21

23

21

23

lb1270.4330lb32500A

lb2500C

Ejercicio 2.31: Determine la resultante de las fuerzas mostradas en la figura.

Respuesta: El diagrama de fuerzas es

160,kip9C;110,kip7B;40,kip5A

kips0781.3

160senkips9Ckips4572.8

160coskips9C

kips5778.6

110senkips7Bkips3941.2

110coskips7B

kips2139.3

40senkips5Akips8302.3

40coskips5A

y

x

y

x

y

x

kips0781.3C

kips5778.6B

kips2139.3A

kips4572.8C

kips3941.2B

kips8302.3A

y

y

y

x

x

x

kips8698.12Rkips0211.7R yx

kips6604.14

kips8698.12kips0211.7R 22

6146.118kips0211.7

kips8698.12arctan

Ejercicio 2.36: Un collarín que puede deslizarse sobre una varilla vertical se somete a las tres fuerzas mostradas en la figura. Determine a) el valor del ángulo para que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal, b) la magnitud correspondiente a la resultante.

Respuesta: El diagrama de fuerzas es

270,lb130,lb130C;90,lb90B;,lb70A

senlb70A

coslb70A,lb70A

y

x

lb9090senlb90B

090coslb90B90,lb90B

y

x

coslb130270senlb130C

senlb130270coslb130C270,lb130C

y

x

coslb130lb90senlb70R

senlb130coslb70R

y

x

0coslb130lb90senlb70R

senlb130coslb70R

y

x

a) Valor del ángulo para que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal.

Vector horizontal significa componente vertical igual a cero. Entonces

coslb130lb90senlb70

222 coslb130lb90senlb70

222222 senlb16900lb16900lb8100senlb12600lb4900

222 sen1lb130lb90senlb70

039sen126sen169 2

039sen126sen169 2

1692

391694126126sen

2

2341.2819808.0

6080.132353.0

338

42240126sen

Si No

b) La magnitud correspondiente a la resultante.

0coslb130lb90senlb70R

senlb130coslb70R

y

x

senlb130coslb70R

6080.13

lb6210.98R