Operaciones con racionales

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Vedani, Silvia https://www.facebook.com/pormasmatematica/

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e1

UNICADAD Nº NÚMEROS RACIONALES Fracciones. Representaciones gráficas. Fracciones y expresiones decimales. Números racionales. Orden y representación en la recta numérica. Operaciones en forma fraccionaria. . Expresiones decimales exactas y periódicas. Operaciones combinadas. Operaciones con expresiones decimales

Ejercicio Nº 1. Resuelve la ecuación e indica a que conjuntos numéricos pertenece

ECUACIÓN SOLUCIÓN N

Naturales

Z

Enteros

Q

Racional

R

Real

3 +2.( x – 5 ) =x + 8

7.( x +5 ) – 4.( x -5 ) = 5

2.( 1 -5x ) – 3(2 – x ) = (105)2 :( 103 . 106 )

1 + (5x + 6 ) : 3 = -x + 2. ( x – 1 )

Ejercicio Nº 2. Ubica las soluciones y

completa con más ejemplos numéricos

Definiciones previas

Todo número compuesto puede escribirse como el producto de

números primos. Para factorizar un número se recurre a divisiones

sucesivas.

Un número primo es aquel que solamente es divisible por sí

mismo y por la unidad.

Una fracción es una “parte” de un entero. Por ejemplo, si tengo la mitad de un chocolate, esa

mitad es una fracción.

El numerador indica la cantidad de partes que se tiene.

El denominador indica la cantidad de partes en que está partido el entero.

Las fracciones se expresan de la siguiente manera:

APLICACIONES REALES El resultado de una medición, en general, no se puede expresar con un

número entero. Por ejemplo, la estatura de una persona o la longitud de un

objeto son cantidades que se escriben habitualmente con números que tienen

coma. Todo número racional se puede expresar como fracción o como

expresión decimal. De acuerdo con cada situación en particular, puede resultar

más cómodo adoptar una de estas formas de escritura.

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e2

Clasificación

Fracciones propias:

Son las que tienen el

NUMERADOR menor que

el DENOMINADOR.

Fracciones aparentes:


NUMERADOR múltiplo del

DENOMINADOR

.

Fracciones impropias:


NUMERADOR mayor que

el DENOMINADOR.

Ejercicio Nº 3. Clasifica las siguientes fracciones colocando una O en las Ordinarias, A en las

Aparentes y por ultimo una I en las Impropias

a) 4

9→

b)

3

9→

c)

4

3→

d)

4

8→

e)

14

9→

f) 3

15→

g)

5

12→

h)

8

7→

i)

10

9→

j)

4

7→

k) 5

6→

l)

9

2→

m)

6

18→

n)

4

20→

o)

14

3→

Número Mixto: son los que tienen una parte entera y otra fraccionaria.

Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción se obtiene la

expresión decimal de la fracción.

Ejercicio Nº 4. Completar el siguiente cuadro

Fracción

impropia 4

9

3

7

5

12

8

15

11

18

Número mixto 5

21

3

23

4

31

10

95

EXPRESIÓN

DECIMAL

CLASIFICACIÓN

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e3

Fracciones equivalentes cuando representan la misma cantidad. Para obtener fracciones equivalentes, se debe multiplicar o

dividir el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

Cuando se multiplica, se está ampliando la fracción:

18

12

63

62

3

2

→

56

35

78

75

8

5

12

27

34

39

4

9

Cuando se divide, se está simplificando la fracción y obtener la fracción irreducible

4

3

3.4

3.3

12

9

3.12

3.9

36

27 irreducible

4

1

4.5

1.5

20

5

5.20

5.5

100

25 irreducible

Ejercicio Nº 5. Tacha la fracción que no resulte equivalente con las otras dos

a) 30

45,

12

27,

4

9 b)

8

20,

8

10,

2

5 c)

56

18,

12

9,

7

3

Ejercicio Nº 6. Completa para que resulten equivalentes

a) 364

9 b)

122

5 c)

567

3 d)

155

3 e)

568

3 f)

909

3

Ejercicio Nº 7. Simplificar e indica con la letra que corresponda la fracción de la 2da.

A=36

27 B=

6

27 C=

36

24 D=

40

25 E=

35

14 F=

10

4 G=

81

72 H=

60

36 E=

36

32 F=

55

20

3

2

5

2

4

3

5

3

9

8

2

9

11

4

8

5

9

8

5

2

Ejercicio Nº 8. Indicar en la columna siguiente la fracción que falta para llegar al entero

Ejercicio Nº 9. Resolver los siguientes problemas teóricos con fracciones

a) Si un curso está compuesto por 18 varones y 14 mujeres, entonces ¿cuál es la fracción que

representa el número de varones del curso?

b) Martín faltó al colegio el lunes y el miércoles, esta semana. ¿Qué fracción de semana

hábil estuvo Martín ausente esta semana?

c) ¿Qué fracción de un siglo son 40 años?

d) ¿Qué fracción representa la cantidad de letras “a” en la palabra armario?

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e4

RELACIÓN DE ORDEN

La relación de orden en el conjunto de los números racionales permite establecer cuándo

una fracción es menor, igual o mayor que otra.

Existen tres maneras de analizar si una fracción es menor, mayor o igual a otra:

Ejemplo 1: Se buscan fracciones equivalentes a las dadas de igual denominador. Se comparan los

numeradores de las fracciones obtenidas y es mayor la que tiene mayor numerador.

4

5

3

4y

12

16

9

12

6

8

3

4 y

12

15

8

10

4

5

12

15

12

16

4

5

3

4

Ejemplo 2: Se transforman en expresiones decimales. Primero se comparan las partes enteras; si éstas

son iguales, entonces se comparan las cifras de los décimos. Si las cifras de los décimos son iguales, se

comparan las cifras de los centésimos, y así sucesivamente hasta que las cifras sean distintas.

.8

3

4

1y .25,0

4

1 y 375,0.

8

3 375,025,0 .

8

3

4

1

Ejemplo 3: Se efectúa el producto cruzado y se comparan ambos resultados, respetando el orden de las

multiplicaciones.

10

3

5

2y

1535

20102

1520

10

3

5

2

Ejercicio Nº 10. Completar con los signos > , < o

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Para representar números racionales en la recta numérica, primero se deben escribir con el

mismo denominador, buscando fracciones equivalentes, luego se divide cada unidad de la

recta en tantas partes como indica el denominador.

Ejemplo: Representar en la recta numérica 3

1

2

7

6

12

2

5

3

4

6

1

Primeramente buscamos fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador

6

2

3

1;2

6

12;

6

9

2

3;

6

8

3

4;

6

1

Ejercicio Nº 11. Representar en la recta numérica los siguientes números racionales

a) 10

3;

10

15;

4

3;

2

3;

5

1

b) 8

15;

4

5;

2

3;

8

1;

4

7

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e5

Suma o resta de fracciones de igual denominador

La suma o resta de o más fracciones con igual denominador es otra fracción que tiene el mismo denominador y

cuyo numerador es la suma de los numeradores de los sumandos. Es decir,

b

ca

b

c

b

a

Suma o resta de fracciones de distinto denominador

Ejemplo 1

Ejemplo 2

↓ ↓

12 es el múltiplo de los denominadores 3 y 4

Obtenemos fracciones equivalentes con el

denominado común = 12

12

4

4.3

4.1

3

1

12

3

3.4

3.1

4

1

.

Ejemplo 3

Para sumar o restar un número entero con uno racional es conveniente resolverlo aplicando la siguiente regla: Multiplicar el denominador dado por el número

entero y sumarle o restarle el otro numerador; se mantiene siempre el denominador dado

Ejemplo 3

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e6

Ejercicio Nº 12. Obtener las fracciones equivalente y resolve la operaciòn indicada

a) A=20

16

15

12

10

8

5

4

B= 15

25

12

20

9

15

6

10

3

5

A + B = 1515

25

15

12

3

5

5

4

b) A= 5

2……………………….

B= 15

4…………………………..

A + B = 1515

c) A= 4

3……………………….

B= 6

5…………………………..

d) A + B =

e) A= 9

1……………………….

B= 6

5…………………………..

f) A + B =

g) A= 10

3……………………….

B= 15

4…………………………..

h) A + B =

i) A= 8

3……………………….

B= 6

7…………………………..

j) A + B =

Ejercicio Nº 13. Resuelve siguiendo los siguientes pasos:

Obtener el denominador comun

Trnsformar en fracciones equivalentes del mismo denominador,

ordenar de mayor a menor .

Calcular la diferencia entre la primera y la suma de las dos segundas

Ejercicio Nº 14. Resolver las sumas sacando el denominador común y utilizando la regla

práctica

a) 126

17

13

5 b)

5

2

10

3

8

5 c)

8

2

4

5

2

1

5

2

d) 12

9

4

7

6

5

2

1 e)

14

1

3

71 f)

6

5

4

3

3

2

g) 4

9

10

7

5

2

2

1 h)

9

71

15

2 i)

9

7

6

5

3

2

Ejercicio Nº 15. Resolver al máximo, simplificando cuando sea posible

a)

2

13

9

13

7

13

2

13

5 b)

12

9

12

7

12

5

12

1 c)

4

3

12

7

6

5

3

2

d)

8

2

4

5

2

1

5

2

10

3

16

5 e)

5

2

20

1

15

2

10

9 f)

2

11

4

14

8

523

g) 5

2

2

7

10

3

5

1 h)

2

1

5

3

7

2

5

2 i)

5

2

15

7

10

3

3

1

Ejercicio Nº 16. Resolver de la manera más conveniente

1)

6

92 2) 5

4

63 3) 5

3

2 4)

4

634 5) 7

4

10

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Pag

e7

MULTIPLIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Situación inicial Para aprovechar al máximo la superficie de su campo, un granjero hizo un

plano del mismo y lo dividió en cuatro partes sobre el fondo y en tres sobre

el frente. Quiere que el ganado ocupe 4

3 partes del frente y 3

2 partes del

fondo. En el plano se ve que el ganado ocupará 6 de los 12 rectángulos del

plano. Sin hacer el dibujo, la zona que ocupará la casa puede obtenerse

como una fracción multiplicando ambas medidas:

2

1

12

6

34

23

3

2

4

3

Para multiplicar fracciones, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, teniendo en cuenta el signo de cada fracción

y aplicando la regla de los signos. Antes de efectuar la multiplicación

de los numeradores y los denominadores, es conveniente simplificar

cualquier numerador con cualquier denominador y viceversa.

En matemática la preposición de significa multiplicación.

Ejercicio Nº 17.

a) 3

7

4

9 b)

35

25

45

7 c)

36

40

16

9 d)

5

6

12

5

e)

35

8

12

5 f)

12

7

14

9 g)

30

7

4

15 h)

3

7

4

9

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Como la división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir dos fracciones

multiplicamos la primera por la inversa de la segunda utilizando los pasos indicados para la

multiplicación.

Ejercicio Nº 18. Resolver las siguientes operaciones utilizando el procedimiento más

conveniente simplificando siempre que sea posible

a)

24

2536

5

b)

21

67

33

c) 4

1

24

81:

36

162 d)

45

60

3

21

35

96

25

64 e)

18

3024

36

Ejercicio Nº 19. Separar en términos y resolver las siguientes operaciones combinadas

1) 4

1

2

5

5

3

5

1 2)

1

4

3:

8

5

10

3:

5

21 3)

4:

5

1

3

2

4

31

4)

2

2

3

2

1

5

6:3 5)

5:

4

23

3

4

15

2 6)

1

2

31

3

2

6

1

7)

3:

4

2

2

3

3

2

4

1

8

7 8)

2

1

3

5

5

1

3

1 9)

1

4

3:

8

5

10

3:

5

21

¾ de largo

2/3

del an

cho

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Pag

e8

Ejercicio Nº 20. Resolver

a) Javier ganó un premio de $4800 y utilizó ese dinero de la siguiente forma: 2/5 para

refaccionar su casa, 1/3 para realizar un viaje y el resto lo guardó en la caja de ahorro del

banco. ¿Cuánto dinero destinó en cada caso?¿qué parte del dinero guardó en el banco?

b) Del total de turistas que ingresó en una ciudad, la tercera parte son argentinos, y el resto,

extranjeros. De éstos, la cuarta parte proviene de Europa y el resto, de distintos países de

América. Escriban la fracción del total que representan los turistas europeos y los americanos

no argentinos.

c) Las 2/3 partes de una tubería de agua de 150m de largo se encuentran en mal estado.

¿Qué longitud de tubería debe comprarse para sustituir la parte dañada?

d) Juan tiene $180, su hermano Pedro ¼ del dinero de Juan y su hermana Mercedes 1/3 del

dinero de Pedro. ¿Cuánto tienen entre los tres?

e) Debemos hacer un recorrido de 800km, las ¾ partes del mismo las haremos en avión y el

resto en automóvil. ¿Qué distancia recorremos en cada medio de transporte?

f) Una muchacha tiene pagado $700 de su equipo de sonido, lo que representa las 4/5

partes del precio total del mismo. ¿Cuánto costó el equipo?

g) Un ganadero propuso en un mercado la venta de 500 reses; un comprador adquirió 2/5

partes de las mismas y otro ¼ del total. ¿Cuántas reses le quedaron?

h) Un trabajador tiene pagado $12000 por una vivienda cuyo precio total es de $40000.

¿Qué parte de la misma es suya?

Ejercicio Nº 21. Realizar los siguientes ejercicios combinados con fracción de fracción

a) 2

7

5

4

2

3 b)

14

15:

5

4

2

3

c)

2

7

5

4

2

3 d)

10

9:

5

6

2

3.

9

2

e)

6

5

3

1:

4

1

2

3 f)

4

12:

3

1

4

31

g) 2

7:

3

4

2

3.

7

6 h)

2

7

5

4

2

3:

10

21

i) 8

5

2

7

14

3 j)

2

7

5

4

2

3

k) 8

5

2

7

14

3

8

5

2

7

14

3 l)

8

5

2

7

14

3

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Pag

e9

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

De la misma manera que se escribe abreviadamente, por ejemplo, 35 , en lugar de 555 ,

también es posible expresar el producto de fracciones iguales, en forma abreviada, como

una potencia con exponente natural. Por ejemplo:

9

25

3

5

3

5

3

5

3

52

22

Para elevar una fracción a un exponente natural, el numerador y el denominador de la

racción a elevan a ese exponente. Es decir, si n es un número natural, entonces

n

nn

b

a

b

a

Para elevar una fracción a un exponente negativo,

132

5

3

5

3:

5

3

3

5

5

3:1

5

3

1

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

5

3

3

2

. 3

5

5

31

Para elevar una fracción a un exponente negativo, se invierte la fracción y se eleva al

exponente opuesto. Es decir, si n es un número natural, entonces

nn

a

b

b

a

Ejercicio Nº 22. Calculen las siguientes potencias

3

3

4

3

2

3

4

2

3

2

5

2

2

5

4

1

5

2

2

5

2

3

5

2

2

2 3

3 42 2

3

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

La potenciación de números racionales mantiene las mismas propiedades de los números enteros.

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y la división.

La potenciación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta.

Producto de potencias de igual base se suman los exponentes.

Cociente de potencias de igual base se restan los exponentes.

Potencia de otra potencia se multiplican los exponentes.

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Pag

e10

a) Expresa

Ejercicio Nº 23. en forma de una potencia que tenga como base un número primo:

a) 5 · 5 · 5 · 5 b) 81 c) -27

d) 3·3·3

e) 2·2·2·2·2

1

f) 25

1

g) -128 h)

125

1 i)

625

1

Ejercicio Nº 24. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y

expresa el resultado como potencia única:

5- : 5-5- 4532

24223 6 : 66

24

6

5:

6

5

7

4:

7

43

32

3

2

3

2

3

2 3

254

3

2:

3

2.

3

2

8243

1,0.1,0:1,0

Ejercicio Nº 25. 5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la

siguiente operación como una única potencia:

21

52

16·32

8·4

RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

La RADICACIÓN de números racionales mantiene las mismas propiedades de los

números enteros.

n

n

n

b

a

b

a

81

16 3

125

64 3

64

1 4

625

1

4

81

16 6

64

1

64

1

144

121

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Pag

e11

Ejercicio Nº 26. Resolver las siguientes operaciones combinadas

a) 2

7

5

4

2

3:252

b)

10

3

3

2:

4

3

3

10

4

3

5

3

c) 132 1055 d)

5

2

25

36

3

2:16

3

e)

3

2

64

1:

8

3

9

5

5

3 f)

2

3:

2

13).(

9

81

3

2

g)

1

51

3

5

5

3)1()3(:

9

4 h)

5

2

25

36

3

2:16

3

i)

3

2

64

1:

8

3

9

5

5

3 j)

2

3:

2

13).(

9

81

3

2

k)

2

5

7

4

3

5

2

l)

2

12

3

11

4

34

2

13

m)

3

1

3

1

28

7

7

2

3

2

n)

2

3:

2

13).(

9

81

32

o)

3

2

1

64

125

2

1)2(

4

1

p)

22

4

3

2

5:

5

24 q)

10:5

41.

2

12

11

r)

31 3)2(

4

5

2

1 s)

49

25)7(

21

10

5

6

3

7 1

2

t)

)2(

2

12

27

261:

4

1

2

13 u)

)2(

2

12

27

261:

4

1

2

13

v)

6

1

25

27

5

22)2(

4

1

2

13

121

w)

6

1

25

27

5

22)2(

4

1

2

13

121

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Pag

e12

Las expresiones decimales

Clasificación de las expresiones decimales

♣ Expresiones decimales finitas: tienen un número finito de cifras decimales.

♣ Expresiones periódicas puras: tienen infinitas cifras decimales periódicas.

♣ Expresiones periódicas mixtas: tienen una parte decimal no periódica seguida de otra

periódica

♣ Expresiones decimales infinitas no periódicas: tienen infinitas cifras decimales no

periódicas. Constituyen los llamados números irracionales. Por ejemplo: , 2 .

Ejercicio Nº 27. Transformar las siguientes expresiones decimales en fracciones

irreducibles

a) 050,0 b) 53,2

c) 18,2 d) 16,4 e) 426,2

f) 163,1 g) 56,4

h) 621,1 i) 2403,0 j) 38,5

k) 421,0 l) 16,3 m) 51,2

n) 623,0 o) 12,8

p) 6,3

q) 030,2 r) 8268,5 s) 0320,3 t) 000026,0

PASAJE DE UNA EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICA A FRACCIÓN

♣ Expresiones periódicas puras

♣ Expresiones periódicas mixtas

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e13

Ejercicio Nº 28. Resolver las siguientes operaciones combinadas

1- Indica en el casillero correspondiente el ítem que consideres correcto

1- 313,06,03,0

= 2-

7,2:5,3

6

91

3

2

3-

1,1

1

06,0

02,0

2,004,0

09,017,0 4-

4

31

3

3

0016,0

000512,0

125,009,0

000729,0

5-

)6,0.(7,23

2:20,1 6- 100 . 0,3

2 - 23 . 0,2

2 - 40009,0

7-

15

24:)2,12,1(

11

7)5,14,03,0(

8-

123

1

)4(:22

3.8

4

3

2

1

9-

)6,0.(7,23

2:20,1 10-

3,0.2,03,022

15:25,1

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e14

2- De los siguientes números indica a qué conjuntos numéricos ( RIQZN ,,,, ) pertenecen (siguiendo el

ejemplo):

√ RQZN ;;,3 √ 7 √ 35,1

√ 4

2 √ 7 √ ......101101110,3

3- Resolver el siguiente problema: “ En una clase de educación física, 9

4de los alumnos han

elegido baloncesto y el 43% fútbol. ¿Cuál de estos dos deportes es el más elegido?”

4- Seleccionar la respuesta correcta. Justificar

5- Aplicando las propiedades de la potenciación expresar los siguientes productos y cocientes como potencias únicas; nombrar la propiedad o propiedades aplicada/s; luego calcular el resultado final.

a)

32

3

2

3

2

3

2 b)

7

4:

7

43

c)

24

6

5:

6

5

d) 0,33 . 0,3

-2 . 0,3 = e) (- 0,9)

-8 : (- 0,9)

-6 = f)

23

3

2

g) [(1,1)-1

]2 = h)

3

3

2

5,1 i)

2

5

5

6

4

3

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Pag

e15

7- Escribir las siguientes expresiones como radical único; nombrar la propiedad aplicada en cada caso.

a) 2324 b) 33 16,04,0 c) 32

3

9

1

3

1mm

d) 33 10:1250 e) 3:432 f)

3

1

3

50

8:

5

2

8- Elige la respuesta correcta: 1) (-2-2)-2 = a)-6 b)-1/6 c) 1/16 d) NRA (ninguna de las respuestas anteriores) 2) - (-3)-2 = a) 1/9 b)9 d)- 1/9 d) NRA

3) _

3,5 a) 53/9 b) 53/10 c) 16/3 d)NRA

4) 1/32 . 1/33 es a) 1/36 b)1/3 -1 c) 1/35 d) NRA

5) _

50,1 a) 105/100 b)105/9 c) 105/90 d) NRA

6) si simplificamos: 18 . 22 . 34. 52 da: a) 5/2 b) 15/2 c) 1/3 d)NRA 9. 2

4 . 15. 3

2

Operaciones con racionales

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