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C A P T U L O 1 1

Modelos determinsticos de inventarios

Una empresa o una industria suele tener un inventario razonable de bienes para asegurar sufuncionamiento continuo. En forma tradicional se considera a los inventarios como un malnecesario: si son muy pocos, causan costosas interrupciones; si son demasiados equivalen atener un capital ocioso. El problema del inventario determina la cantidad que equilibra los doscasos extremos.

Un factor importante en la formulacin y la solucin de un modelo de inventario es quela demanda de un artculo (por unidad de tiempo) sea determinstica (que se conozca con cer-tidumbre) o probabilstica (que se pueda describir con una distribucin de probabilidad. Estecaptulo est dedicada a la presentacin de modelos determinsticos. Los modelos probabils-ticos, por lo general ms complejos, se describirn en el captulo 16.

11.1 MODELO GENERAL DE INVENTARIO

La naturaleza del problema de los inventarios (o existencias) consiste en colocar y recibir en for-ma repetida pedidos (u rdenes) de determinados tamaos a intervalos de tiempo establecidos.Desde este punto de vista, una poltica de inventario contesta las dos siguientes preguntas:

1. Cunto pedir?2. Cundo pedir?

La respuesta de estas preguntas se basa en minimizar el siguiente modelo de costo:

Todos esos costos se deben expresar en la cantidad econmica de pedido (cunto pedir?) y eltiempo entre los pedidos (cundo pedir?).

Costo totaldelinventario

= aCosto decompra b + a Costo depreparacinb + a Costo dealmacenamientob + aCosto defaltante b

430 Captulo 11 Modelos determinsticos de inventarios

Momentos en que se recibe el pedido

Inventario promedio

Tiempo

Nivel deinventario

y

t0 yD

y2

FIGURA 11.1

Comportamientodel inventario enel modelo CEP, oEOQ clsico

1. El costo de compra se basa en el precio por unidad del artculo. Puede ser constante, opuede ofrecerse con descuentos.

2. El costo de preparacin representa el costo fijo incurrido cuando se coloca un pedido.Es independiente de la cantidad pedida.

3. El costo de almacenamiento o de posesin representa el costo de mantener una existen-cia de inventario. Comprende el inters sobre el capital y el costo de almacenamiento,mantenimiento y manejo.

4. El costo de faltante es la penalizacin en que se incurre cuando se terminan las existen-cias. Incluye la prdida potencial de ingresos y el costo, ms subjetivo, de prdida de labuena voluntad del cliente.

Un sistema de inventario se puede basar en la revisin peridica (por ejemplo, pedircada semana o cada mes), cuando se reciben nuevos pedidos al iniciar cada periodo. En formaalternativa, el sistema se puede basar en una revisin continua, cuando se colocan los nuevospedidos y la cantidad de inventario baja hasta cierto nivel, que se llama punto de reorden.

Los modelos de inventario de este captulo abarcan dos clases de modelos determinis-tas: estticos y dinmicos. Los modelos estticos tienen una demanda constante en funcindel tiempo. En los modelos dinmicos, la demanda cambia en funcin del tiempo. Los casosen los que la demanda es probabilstica se explican en el captulo 16.

11.2 MODELOS ESTTICOS DE CANTIDAD ECONMICA DE PEDIDO (CEP, O EOQ)

En esta seccin se explican tres variaciones del modelo de cantidad econmica de pedido(CEP, o EOQ, del ingls economic order quantity) con demanda esttica.

11.2.1 Modelo clsico de cantidad econmica de pedido

El ms sencillo de los modelos de inventario implica una tasa constante de demanda con elsurtido instantneo del pedido y sin faltante. Se definen

y Cantidad pedida (cantidad de unidades)D Tasa de demanda (unidades por unidad de tiempo)t0 Duracin del ciclo de pedido (unidades de tiempo)

El nivel de inventario sigue el patrn de la figura 11.1. Cuando el inventario llega al valor ce-ro, se coloca un pedido cuyo tamao es y unidades, y se recibe en forma instantnea. Despus,

11.2 Modelos estticos de cantidad econmica de pedido (CEP, o EOQ) 431

la existencia se consume uniformemente a la tasa constante de demanda D. El ciclo de pedidopara este comportamiento es

El nivel promedio de inventario que resulta es

El modelo de costo requiere dos parmetros:K Costo de preparacin correspondiente a la colocacin de un pedido ($/pedido)h Costo de almacenamiento ($ por unidad en inventario por unidad de tiempo)

El costo total por unidad de tiempo (TCU, de total cost per unit time) se calcula como sigue:TCU(y) Costo de preparacin por unidad de tiempo Costo de almacenamiento por uni-

dad de tiempo

El valor ptimo de la cantidad de pedido y se determina minimizando TCU(y) con res-pecto a y. Suponiendo que y sea continua, una condicin necesaria para determinar el valorptimo de y es

Esta condicin tambin es suficiente, porque TCU(y) es convexa.La solucin de la ecuacin da como resultado la siguiente cantidad econmica de pedi-

do, :

As, la poltica ptima de inventario para el modelo propuesto se resume como sigue:

En realidad, no se necesita hacer un nuevo pedido en el instante en que se pide, como seha descrito aqu. En lugar de ello puede transcurrir un tiempo de entrega positivo, L, entre lacolocacin y la recepcin de un pedido, como se ve en la figura 11.2. En este caso, el puntode reorden se presenta cuando el nivel de inventario baja a LD unidades.

En la figura 11.2 se supone que el tiempo de entrega L es menor que la longitud del ci-clo , lo cual en general no es el caso. Para tener en cuenta otras situaciones, se definir eltiempo efectivo de entrega como sigue:

Le = L - nt0*

t0*

Pedir y* = 22KDh unidades cada t0* = y*D unidades de tiempo

y* = A 2KD

h

y*

dTCU1y2

dy= - KD

y2+ h

2= 0

= K1 yD2 + h1y2 2

= K + h1 y2 2 t0

t0

= Costo de preparacin + Costo de almacenamiento por ciclo t0

t0

Nivel promedio de inventario = y2

unidades

t0 = yD

unidades de tiempo

432 Captulo 11 Modelos determinsticos de inventarios

Puntos de reorden

L L Tiempo

Nivel deinventario

y*

FIGURA 11.2

Punto de reorden en elmodelo CEP, o EOQclsico

donde n es el entero mayor no mayor que . Este resultado se justifica, porque despus de nciclos de cada uno, el estado del inventario es como si el intervalo entre colocar un pedido yrecibir otro es Le. As, el punto de reorden est en las LeD unidades, y la poltica de inventariose puede reenunciar como sigue:

Pedir la cantidad y* siempre que la cantidad de inventario baja a LeD unidades

Ejemplo 11.2-1

Se cambian luces de nen en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estasluces de nen se piden en forma peridica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se esti-ma que una luz de nen en el almacn cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entrela colocacin y la recepcin de un pedido es de 12 das. Determine la poltica ptima de in-ventario para pedir las luces de nen.

De acuerdo con los datos de este problema,D 100 unidades por daK $100 por pedidoh $0.02 por unidad y por daL 12 das

As,

La longitud del ciclo correspondiente es

Como el tiempo de entrega L 12 das es mayor que la longitud del ciclo ,se debe calcular Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es

= 1

= 1Entero mayor 12102n = 1Entero mayor Lt0*2

t0* 1= 10 das2

t0* = y

*

D =1000100 = 10 das

y* = A 2KD

h= A

2 * $100 * 1000.02

= 1000 luces de nen

t0*

Lt0*

11.2 Modelos estticos de cantidad econmica de pedido (CEP, o EOQ) 433

Entonces

Entonces, el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a

La poltica de inventario para pedir las luces de nen esPedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades

El costo diario de inventario correspondiente a la poltica propuesta es

Solucin de cantidad econmica de pedido en hoja de clculo. El modelo ch11EOQ.xlsde Excel est diseado para efectuar clculos de CEP, o EOQ. Ese modelo resuelve el proble-ma general de cantidad econmica de pedido que se describe en el problema 9, conjunto 11.2a,del cual un caso especial es el modelo que se describi arriba. El uso del archivo ch11EOQ.xlsse demuestra en el ejemplo 11.2-2 (Seccin 11.2.2), porque esa hoja de clculo tambin es pa-ra el caso de discontinuidades en el precio. Para usar la plantilla con el modelo actual, se escri-be 1 en las celdas C3:C5, C8 y C10, para indicar que los datos correspondientes no se aplican.

CONJUNTO DE PROBLEMAS 11.2A

1. En cada uno de los siguientes casos no se permiten faltantes, y los tiempos de retraso entre la co-locacin y la recepcin de un pedido son 30 das. Determine la poltica ptima de inventario y elcosto diario correspondiente.a) unidades diariasb) unidades diariasc) unidades diariasd) unidades diarias

2. McBurger pide carne molida al comenzar cada semana, para cubrir la demanda semanal de 300 lb. El costo fijo por pedido es de $20. Cuesta unos $0.03 por libra y por da refrigerar y al-macenar la carne.a) Determine el costo semanal de inventario para la poltica actual de pedidos.b) Determine la poltica ptima de inventario que debera usar McBurger, suponiendo tiempo de

entrega cero entre la colocacin y la recepcin de un pedido.c) Determine la diferencia de costos semanales entre las polticas actual y ptima de pedidos.

3. Una empresa almacena un artculo que se consume a una tasa de 50 unidades diarias. Le cuesta$20 colocar un pedido. Una unidad de inventario en almacn durante una semana costar $0.35.a) Determine la poltica ptima de inventario, suponiendo 1 semana de tiempo de entrega.b) Determine la cantidad ptima de pedidos en un ao de 365 das.

K = $100, h = $ 0.04, D = 20K = $100, h = $ 0.01, D = 40K = $50, h = $ 0.05, D = 30K = $100, h = $ 0.05, D = 30

= $10011000100 2 + $ 0.02 11000

2 2 = $20 por da

TCU1y2 = K1 yD2 + h1y2 2

LeD = 2 * 100 = 200 luces de nen

Le = L - nt0* = 12 - 1 * 10 = 2 das

434 Captulo 11 Modelos determinsticos de inventarios

4. El departamento de compras de una empresa propuso dos polticas de inventario:Poltica 1. Pedir 150 unidades. El punto de reorden es de 50 unidades, y el tiempo entre la co-

locacin de un pedido y la recepcin del siguiente es de 10 das.Poltica 2. Pedir 200 unidades. El punto de reorden es de 75 unidades y el tiempo entre la co-

locacin de un pedido y la recepcin del siguiente es de 15 das.El costo de preparacin por pedido es de $20, y el costo de almacenamiento por unidad de in-ventario y por da es de $0.02. a) Cul de las dos polticas debera adoptar la empresa?b) Si a usted le encargaran disear una poltica de inventario para la empresa, qu recomenda-

ra suponiendo que el proveedor necesita un tiempo de entrega de 22 das?5. Walmark Store comprime y entarima cajas de mercanca, para reciclarlas. En los almacenes se

generan cinco tarimas diarias. El costo de almacenar una tarima en el patio trasero es de $0.10por da. La empresa que se lleva las tarimas al centro de reciclado cobra una tarifa uniforme de$100 por la renta de su equipo de carga y un costo variable de transporte de $3 por tarima. Hagauna grfica del cambio de cantidad de tarimas en funcin del tiempo y proponga una poltica p-tima para llevar las tarimas al centro de reciclado.

6. Un hotel usa servicio externo de lavandera, para contar con toallas limpias para los huspedes. Segeneran 600 toallas sucias por da. El servicio de lavandera recoge las toallas sucias y las cambiapor limpias, a intervalos regulares. La tarifa de este servicio es de $81 fijos por cada servicio de recogida y entrega, y $0.60 por lavar cada toalla. Al hotel le cuesta $0.02 diarios guardar cada toa-lla sucia, y $0.01 guardar cada toalla limpia. Con qu frecuencia debe pedir el hotel el servicio de lavandera? (Sugerencia: hay dos clases de artculos de inventario, en este caso. Cuando aumenta lacantidad de toallas sucias, la cantidad de toallas limpias disminuye a una tasa igual.)

7. Se tiene el caso de un inventario en el que la existencia se reabastece uniformemente (no instant-neamente) a la tasa a. El consumo sucede a la tasa constante D. Como el consumo tambin se pre-senta durante el periodo de reabastecimiento, es necesario que a D. El costo de preparacin esK por pedido, y el costo de almacenamiento es h por unidad y por unidad de tiempo. Si y es el ta-mao del pedido y no se permiten faltantes, demuestre que los siguientes resultados son vlidos:a) El nivel mximo de inventario es .b) El costo total y por unidad de tiempo es

c) La cantidad econmica de pedido es

d) Demuestre que la CEP, o EOQ con reposicin instantnea se puede deducir de la frmula delpunto c).

8. Una empresa puede producir un artculo o comprarlo a un contratista. Si lo produce le costar$20 cada vez que prepare sus mquinas. La tasa de produccin es 100 unidades diarias. Si locompra a un contratista le costar $15 colocar un pedido. El costo de mantener el artculo enexistencia, sea producido o comprado, es de $0.02 por unidad y por da. El consumo estimado de ese artculo por la empresa es de 26,000 unidades anuales. Suponiendo que no se permiten los faltantes, la empresa lo debe producir o lo debe comprar?

9. En el problema 7 suponga adems que se permiten los faltantes y que el costo de faltante porunidad y por unidad de tiempo es p. Si w es el faltante mximo, demuestre que son vlidos losresultados siguientes:

y* = A 2KD

h11 - Da 2, D 6 a

TCU1y2 = KDy + h211 - Da 2y

y 11 - Da 2