Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i...
Transcript of Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i...
-
Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i Codina
1
OPTIMiTZACIÓ. INTEGRACIÓ.2n Batxillerat. Curs 04/05
OPTIMITZACIÓDels 3 problemes, n’heu de fer els 2 que vulgueu. Cada problema val 2 punts
1. S'ha de construir un gran dipòsit cilíndric de 81π m3 de volum. La superfície lateral ha de serconstruïda amb un material que costa 30 € el m2 i les dues bases amb un material que costa 45 € elm2.
a. Determineu la relació que hi haurà entre el radi r de les bases circulars i l'altura h del cilindre, idoneu el cost C(r) del material necessari per construir aquest dipòsit en funció de r.
Volum del cilindre =
€
πr2h = 81π → h = 81r 2
, que és la relació que hi haurà entre r i h.
Cost = Superfície lateral · Preu material lateral + Superfície de les bases · Preu material bases
€
C(r ) = 2π rh ⋅ 30 + 2 ⋅ π r2 ⋅ 45 = 2π r 81r 2
⋅ 30 + 2 ⋅ π r2 ⋅ 45 = 4860πr
+ 90π r 2;
€
C(r ) = 90π 54r
+ r2
;
b. Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè el cost del material necessari perconstruir-lo sigui el mínim possible?
Cal trobar el mínim del cost C(r):
€
′ C (r ) = 90π − 54r2
+ 2 r
= 180π −
27r 2
+ r
;
€
′ C (r ) = 0 → − 27r 2
+ r = 0 → r 3 = 27 → r = 3.
€
′ ′ C (r ) = 180π 54r3
+ 1
> 0
Per tant, la funció C(r) és mínima si r = 3 i aquest valorim que . El corresponent valor de h és
€
h = 81r 2
=8132
= 9
Llavors, el radi de la base del cilindre ha de ser de 3 metres i l’altura ha de ser de 9 metres per talque el cost del material necessari sigui mínim.
c. Quin serà, en aquest cas, el cost del material?
€
C(r ) = 90π 54r
+ r2
→ C(3) = 90π
543
+ 32
= 2430π ≈ 7634.07 . El cost mínim és de 7634.07 €.
2. Volem unir el punt M situat en un costat d’un carrer de 3 m d’amplada amb el punt N situat a l’altrecostat i 9 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a un punt P situat a l’altre costatdel carrer i un altre des de P fins a N seguint el mateix costat del carrer, segons l’esquema següent:
-
Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i Codina
2
El cost de la instal·lació del cable MP és de 12 € per metre i del cable PN de 6 € per metre.Anomenem x a la longitud del cable que uneix els punts P i N.
a. Trobeu l’expressió de la funció, C(x), que dóna el cost total dels dos cables en funció de x.
MP (x) =
€
32 + 9 − x( )2 = 9 + 9− x( )2 ; PN (x) = x
Cost = MP · Preu cable MP + PN · Preu cable PN
€
C(x) = 12 9 + 9 − x( )2 + 6x
b. Trobeu les longituds dels dos cables per tal que el cost total sigui mínim i el cost en aquest cas.
Cal trobar el mínim del cost C(r):
€
′ C (x) = 12 x − 9
9 + (9 − x)2+ 6 = 6 1− 2(9 − x)
9 + (9 − x)2
;
€
′ C (x) = 0 → 1− 2(9 − x)
9 + (9 − x)2= 0 → 9 + (9 − x)2 = 2(9 − x) → 9 + (9 − x)2 = 4(9 − x)2 →
€
3(9 − x)2 = 9 → (9 − x)2 = 3 → 9 − x = ± 3 → x = 9 ± 3
Si comprovem aquests dos valors, veiem que
€
x = 9 + 3 no és solució de la solució
€
′ C (x) = 0 (amés no té sentit segons el dibuix). Comprovem que l’opció
€
x = 9 − 3 minimitza el cost.
€
′ ′ C (x) = 108
9 + (9 − x)2[ ]32
→ ′ ′ C (9 − 3) = 108
9 + ( 3)2
32
> 0 .
Llavors,
MP (
€
x = 9 − 3 ) =
€
= 9 + 3
2
= 12 = 2 3 ≈ 3.46
PN (
€
x = 9 − 3 ) =
€
9 − 3 ≈ 7.23
€
C(9 − 3) = 12 9 + 3
2
+ 6(9 − 3) = 18(3 + 3) ≈ 85.18 €.
Per tant, les longituds dels dos cables per tal que el cost total sigui mínim són MP ≈ 3.46 metres iPN ≈ 7.23 metres. El cost en aquest cas serà de aproximadament 85.18 €.
3. Un camp té forma de trapezi rectangle, de bases 240 m i 400 m, i el costat perpendicular a les basestambé de 400 m. Es vol partir tal com indica la figura per fer dos camps rectangulars C1 i C 2.Anomenem x i y els catets d’un dels triangles rectangles que es formen.
-
Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i Codina
3
a. Fent servir la semblança entre triangles, proveu que 2y = 5x.
El trapezi es pot descompondre en un rectangle i un triangle rectangle. Aquest triangle rectangleté 160 metres de base i 400 metres d’altura. Aquest triangle rectangle i el triangle rectangle debase x i altura y són semblants i, per tant, els seus costats són proporcionals. Llavors tenim:
€
400160
=52
=yx
→ 2y = 5x → y = 52
x
b. Utilitzant la igualtat anterior, escriviu les funcions S1(x ) i S2(x) que donen, respectivament, lesàrees dels rectangles C1 i C2 en funció de x.
€
S1(x) = (400 − x)y = 52 (400− x) x ;
€
S2(x) = 240(400− y) = 240(400− 52 x) = 600(160 − x)
c. El camp C1 es vol sembrar amb blat de moro i el camp C2 amb blat. Amb el blat de moro s’obtéun benefici de 0,12 € per m2 i amb el blat un benefici de 0,10 € per m2. Determineu les mides decada un dels camps per obtenir el benefici màxim i calculeu aquest benefici màxim.
Benefici =
€
B(x) = 0.12 ⋅S1(x) + 0.10 ⋅S2(x) = 0.12 ⋅ 52 (400− x) x + 0.10 ⋅ 600(160 − x) ;
€
B(x) = −0.3x2 + 60x + 9600
Cal trobar el màxim del benefici:
€
′ B (x) = −0.6x + 60
€
′ B (x) = 0 → − 0.6x + 60 = 0 → x = 100
€
′ ′ B (x) = −0.6 < 0
€
B(100) = −0.3 ⋅1002 + 60 ⋅100 + 9600 = 12600
Per tant, el benefici és màxim si x = 100.
Llavors les dimensions dels camps han de ser:
Base AlturaC1 300 m 250 mC2 240 m 150 m
I el benefici màxim és de 12600 €.
INTEGRACIÓDels 6 exercicis, n’heu de fer els 4 que vulgueu. Cada exercici 1.5 punts
4. Calculeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les corbes y = e 2x i y = e -2x i la recta y = 5representada en l'esquema següent:
-
Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i Codina
4
Per simetria, l’àrea demanada és
€
A = 2 (5 − e2x )dx0
a
∫ ,on a és el punt d’abscissa on es tallen les corbes de les funcions y = e2x i y = 5.
Llavors, tenim e2a = 5 →
€
a = 12
ln5
Per tant,
€
A = 2 (5 − e2x )dx0
12 ln5
∫ = 2 5x − 12 e2x[ ]012 ln5
= 2 52
ln5− 12
eln5( ) − 0− 12( )
= 5ln5− 4
5. Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació y = ax + 2a i laparàbola y = ax2 valgui 18.
Els punts d’intersecció de les dues corbes són:
ax + 2a = ax2 → x2 – x – 2 = 0 → x = - 1 i x = 2.
Llavors, ha de ser
€
18 = (ax + 2a − ax2)dx−1
2
∫ = a (x + 2− x2)dx−1
2
∫ = a 12 x2 + 2x − 13 x3[ ]−12
= 92
a = 92
a → a = 4 → a = ± 4
6. Calculeu la integral definida
€
2ln3 xx
dx1
e
∫ fent servir el canvi de variable ln x = t.
€
lnx = t →
dxx
= dt → dx = xdt
x = 1→ t = ln1= 0x = e → t = lne = 1
i llavors,
€
2ln3 xx
dx1
e
∫ = 2 t3
xxdt
0
1
∫ = 2 t3dt0
1
∫ = 2 14 t 4[ ]01
= 12
7. Considereu les funcions f(x) = 3x2 i g(x) = 3.
a. Regresenteu gràficament l’àrea tancada per les corbes de les dues funcions.
b. Calculeu aquesta àrea.
€
A = 2 (3 − 3x2)dx0
1
∫ = 2 3x − x3[ ]0
1= 4 u.a.
8. Considereu la integral
€
x + 1+ x + 1x + 1
dx0
3
∫ . Calculeu-la pels dos procediments següents.
a. Demostrant que es pot simplificar fins a obtenir-ne
€
dx + x + 1( )−12
0
3
∫ dx0
3
∫ .
-
Optimització. Integració Jose Barrera. IES Thos i Codina
5
€
x + 1+ x + 1x + 1
dx0
3
∫ = x + 1x + 1 +(x + 1)
12
x + 1
dx
0
3
∫ = 1+ (x + 1)−12
dx
0
3
∫ = dx0
3
∫ + (x + 1)−12 dx
0
3
∫ = x[ ]03
+ 2(x + 1)12
0
3= 5
b. Demostrant que si es fa el canvi de variable
€
x + 1 = t s’obté la integral equivalent
€
2 t + 1( )1
2
∫ dt .
€
x + 1 = t → x = t2 −1 →dx = 2tdt
x = 0 → t = 1x = 3→ t = 2
Llavors,
€
x + 1+ x + 1x + 1
dx0
3
∫ = t2 + tt2
2tdt1
2
∫ = 2 (t + 1)dt1
2
∫ = 2 12 (t + 1)2[ ]12
= 9 − 4 = 5
9. Calculeu la primitiva de la funció
€
f (x) = x x2 −1 que s’anul·la en el punt d’abscissa x = 2.
€
F (x) = f (x)dx∫ = x x2 −1dx∫ = x(x2 −1)12 dx∫ = 13 (3x)(x2 −1)
12 dx∫ = 13 (x2 −1)
32 + C
€
F (2) = 0 → 13
(22 −1)32 + C = 0 → C = − 1
33
32 = − 3
Llavors,
€
F (x) = 13
(x2 −1)32 − 3