Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales...

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Aeroespacial

Optimización del vuelo de planeo de aviones

comerciales mediante cálculo variacional.

Autor: Javier Pachón Álvarez

Tutor: Damián Rivas Rivas

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de

Fluidos

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Aeroespacial

Optimización del vuelo de planeo de aviones

comerciales mediante cálculo variacional.

Autor:

Javier Pachón Álvarez

Tutor:

Damián Rivas Rivas

Catedrático

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Trabajo Fin de Grado: Optimización del vuelo de planeo de aviones comerciales mediante cálculo variacional.

Autor: Javier Pachón Álvarez

Tutor: Damián Rivas Rivas

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2014

El Secretario del Tribunal

A mi familia y amigos

A mis maestros

5

Resumen

En este proyecto se analiza la optimizacion del vuelo de planeo de aviones comerciales mediantecalculo variacional, de tal forma que se maximiza el alcance.

El trabajo se estructura en tres partes. En las dos primeras partes se sigue un esquema comun,pues en cada una de ellas se reserva un capıtulo para la optimizacion del planeo estacionario, otropara la del planeo no estacionario, y un ultimo capıtulo en el que se presenta una comparacion entrelos resultados obtenidos al tener o no tener en cuenta respectivamente el termino de la aceleraciontangencial en la ecuacion dinamica. Para cada uno de estos tres capıtulos , se hace uso de un modelotıpico de aeronave civil de pasajeros, Boeing 767-300ER y los resultados se comparan con los queproporciona un modelo aerodinamico de avion mas simple, esto es el caso incompresible de una polarparabolica de coeficientes constantes.

De esta forma se recoge una amplia gama de particularizaciones, simplificaciones y modelos que,tras la resolucion de la Ecuacion de Euler-Lagrange, permiten la comparacion bajo distintos puntosde vista de las funciones optimas que maximizan el alcance: C∗L, M∗, V ∗, V ∗e /CAS

∗, γ∗; las variablesglobales y el perfil de vuelo para una trayectoria que empieza a 10 km de altitud y termina a 3 kmsobre el nivel del mar.

No obstante, hay un importante matiz que diferencia las dos primeras partes, ya que mientras queen la primera se trabaja en el planeo sin viento y se analiza la influencia del peso de la aeronave (que semantendra constante a lo largo del vuelo de planeo), en la segunda parte los esfuerzos se concentran enlos efectos que tienen sobre los resultados optimos diferentes perfiles de viento horizontal dependientesde la altitud (caracterizados por dos parametros, la velocidad del viento medio y la pendiente del perfilmas conocida como parametro de wind-shear).

Finalmente, en la ultima parte concerniente al presente proyecto se elabora un resumen de comoafectan el peso de la aeronave, las condiciones de viento, el modelo dinamico y aerodinamico mediantela comparacion entre los resultados del problema optimo. De esta forma, el lector puede percatarse delas repercusiones que los diferentes modelos y simplificaciones tienen en los resultados.Asimismo, se hace un balance de los objetivos logrados y el posible trabajo futuro.

Indice general

1. Introduccion 111.1. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Formulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I Planeo sin viento. 15

2. Optimizacion del planeo estacionario 172.1. Polar parabolica de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero de Mach . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Comparacion con polar parabolica de coeficientes constantes . . . . . . . . . . 30

3. Optimizacion del planeo no estacionario 373.1. Polar parabolica de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero de Mach . . . . . . . . . . . 44

3.2.1. Comparacion con polar parabolica de coeficientes constantes. . . . . . . . . . . 48

4. Comparacion de planeo no estacionario con planeo estacionario. 574.1. Polar parabolica de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero de Mach . . . . . . . . . . . 59

II Planeo con viento. 65

5. Optimizacion del planeo estacionario con viento. 675.1. Polar parabolica de coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero de Mach . . . . . . . . . . . 81


6. Optimizacion del planeo no estacionario con viento. 1036.1. Polar parabolica de coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero de Mach . . . . . . . . . . . 114


7. Comparacion de planeo no estacionario con planeo estacionario con viento. 1357.1. Polar parabolica de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero de Mach . . . . . . . . . . . 145

7

III Resumen y conclusiones. 155

8. Resumen de resultados. 1578.1. Planeo sin viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2. Planeo con viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9. Conclusiones y trabajo futuro. 165

Apendices 169

A. Modelo de aeronave 171A.1. Modelo aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B. Modelo de atmosfera. 173B.1. Troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173B.2. Estratosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Bibliografıa 175

Notacion

Sımbolo Nombrea Velocidad del sonido

Ve Velocidad equivalente

CAS Velocidad calibrada

CD Coeficiente de resistencia

CL Coeficiente de sustentacion

D Resistencia

g Aceleracion de la gravedad

h Altitud

h Altitud media

L Sustentacion

M Numero de Mach

m Masa de la aeronave

p Presion

S Superficie alar de referencia

t Tiempo

tf Tiempo de vuelo

V Velocidad aerodinamica

W Peso de la aeronave

w Viento

w Viento medio

r Distancia horizontal

Rmax Alcance maximo

γ Angulo de trayectoria

∆w Parametro de wind-shear

Θ Temperatura

ρ Densidad

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Contexto

El sector del transporte aereo juega un papel fundamental en la economıa de los paıses desarro-llados, prueba de ello es el exponencial crecimiento al que ha estado sometido en los ultimos anos.Puesto que los pronosticos estiman que ası seguira ocurriendo, surge un gran interes porque se hagaun buen uso del espacio aereo mediante trayectorias optimas que reduzcan el coste de las aerolıneas.Es por ello que desde 2005 el Departamento de Ingenierıa Aeroespacial y Mecanica de Fluidos dela Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa de la Universidad de Sevilla ha llevado a cabo numerosostrabajos relacionados con este tema. La disciplina de la optimizacion de trayectorias abarca todas lasfases de vuelo, aunque es cierto que cada una esta mas ligada a un criterio de optimizacion.

Ası, para el crucero Rivas et al. [1] estudian el vuelo de mınimo combustible sin restricciones yBernad y Rivas [2] analizan el vuelo de mınimo coste y sin restricciones.

Por otro lado el problema del planeo de maximo alcance ha sido estudiado por diferentes autores,que si bien han propuesto soluciones basandose en diferentes metodos, todos comparten las mismaspretensiones de maximizar el alcance de la aeronave para que el descenso sin empuje pueda iniciarse loantes posible, de esta forma se minimizan los impactos economicos y ambientales. Por ejemplo Francoet al. [3] emplean la teorıa del control optimo singular, que permite imponer los valores de la altitudy la velocidad con los que se empieza y con los que se termina, ya que de forma optima empalmael tramo inicial con el arco singular y, una vez recorrido dicho arco, otro segmento engancha con lacondicion final.

Pueden obtenerse resultados similares empleando el calculo variacional (utilizado en este proyecto),que presenta la posibilidad de analizar el mismo problema con una tecnica distinta, mas limitada, puesse empieza y termina en la misma curva. Basicamente esta tecnica consiste en encontrar una serie defunciones que optimizan un funcional.

Asimismo, la teorıa de la optimizacion parametrica utilizada en Valenzuela et al. [4] consiste enencontrar un conjunto de parametros que optimizan una funcion y permite imponer restricciones alvuelo con facilidad.

1.2. Objetivos

Los objetivos generales del presente documento son:

11

CAPITULO 1. INTRODUCCION 12

Analizar la exactitud de los resultados obtenidos con diversos modelos, con distintos grados desimplificacion.

Estudiar la influencia del viento en el planeo.

Para ello este trabajo ha sido estructurado en tres partes , las cuales a su vez estan subdivididasde acuerdo a los distintos modelos aplicados para estudiar un vuelo de planeo ( planeo estacionario/noestacionario; polar incompresible/compresible)

En la primera parte se trabaja sobre el planeo sin viento, en concreto se hace uso del calculovariacional para hallar la ley optima de vuelo que maximiza el alcance. Para poder emplearcalculo variacional las funciones han de ser continuas. Por ello, el planeo empezara por debajode la tropopausa, de tal forma que se evite ası la falta de regularidad que hay al pasar de laestratosfera a la troposfera. Tambien ha de tenerse en cuenta que debe realizarse el planeo hastauna altitud que no sea lo suficientemente pequena como para que el Mach este por debajo de0.4, ya que el modelo de polar descrito en el apendice A presentarıa una discontinuidad queimposibilitarıa la aplicacion de calculo variacional a este problema.

En la segunda parte se trabaja sobre el planeo con viento con el mismo objetivo y lasmismas herramientas que se presentaban en la primera parte. Para el modelo de viento utilizadose ha considerado la aproximacion mas general de suponer el viento lineal con el valor absolutode la velocidad aumentando con la altitud, pero en la realidad no tienen por que darse siempreesas caracterısticas .

En la tercera parte se presenta un resumen de los resultados obtenidos, permitiendo ası unavision mas global del conjunto, de la que extraer conclusiones sobre los diferentes parametros(peso de la aeronave, viento medio y wind-shear), modelos y simplificaciones realizadas encada parte, en cuanto a su forma de afectar a los resultados. De modo que sirva ademas como unanalisis que permita ver de que forma los objetivos del proyecto han sido satisfechos, ası comoposibles avances futuros.

El principal atractivo y la motivacion de este proyecto residen en que la filosofıa que subyace a lolargo del mismo puede extrapolarse a la hora de resolver cuaquier problema de ingenierıa que provengatanto de fenomenos naturales, como de fenomenos artificiales, ciencia y tecnica. Ya que en cualquiercaso se pretende alcanzar una solucion en la que se mantenga un compromiso entre la calidad y losrecursos utilizados (tiempo y coste). Para la consecucion de soluciones exitosas se requiere el uso de unametodologıa que permita modelar el problema y el proceso de resolucion del mismo. El modelado desistemas grandes y complejos es importante porque no es posible abarcarlos en su totalidad. Ademas,el hecho de modelar ayuda a comprender mejor el sistema en desarrollo y permite saber hasta que nivelde precision merece la pena refinar los resultados, pues el hecho de reducir las simplificaciones se vepenalizado con un mayor esfuerzo temporal.

Maximizar el alcance de un vuelo de planeo no es mas que un claro ejemplo de un problema conuna gran utilidad, porque aunque en la practica las soluciones optimas no suelen estar permitidas porlas regulaciones del trafico aereo, su estudio puede servir como una referencia de la optimalidad de lastrayectorias usadas en la realidad.

1.3. Formulacion

Sea cual sea el metodo de resolucion es frecuente que en la formulacion del problema se considerenlas siguientes hipotesis generales:

1.3. FORMULACION


La aeronave es considerada un cuerpo rıgido, por lo que no se tienen en cuenta las deformaciones.De modo que el estudio de las actuaciones del avion se reduce al movimiento del centro de masasdel avion, el cual es considerado como una masa puntual.

La aeronave presenta un plano de simetrıa.

Tierra plana. Para cualquier sistema inercial fijo que se considere con respecto a ella puedendespreciarse las fuerzas de inercia causadas por la Tierra, coriolis y centrıfuga.

Empuje paralelo a la velocidad aerodinamica de la aeronave. Aunque en este proyecto se hara lahipotesis adicional de empuje nulo.

Gravedad constante, esto es, no varıa a pesar de que sı lo haga la altitud de vuelo.

De esta forma, se considera el planeo desde una altitud inicial hi hasta una altitud final hf < hi.Se van a hacer las siguientes hipotesis adicionales:

Empuje nulo (T = 0)

Peso constante (W = cte)

Viento horizontal dependiente solo de la altitud.

Vuelo simetrico en un plano vertical.

A continuacion se formula el caso mas general de las ecuaciones del vuelo de planeo con las hipotesisanteriores (ver Rivas [5]) :

mdV

dt= −mwcosγ −D(h, V, L)−mgsinγ (1.1)

mVdγ

dt= mwsinγ + L−mgcosγ (1.2)

dr

dt= (V + w(h))cosγ (1.3)

dh

dt= V sinγ (1.4)

Teniendo en cuenta que

w =dw

dh

dh

dt=

dw

dhV sinγ (1.5)

La segunda ecuacion podrıa expresarse:

mVdγ

dt= msin2γ V

dw

dh+ L−mgcosγ (1.6)

Ası que al anadir las hipotesis:

Angulo de trayectoria muy pequeno: γ � 1 ⇒ γ2 ≈ 0

Aceleracion normal a la trayectoria despreciable: dγdt ≈ 0

1.3. FORMULACION


Se consigue la siguiente formulacion

W

g

dV

dt= −D −Wγ

(1 +

V

g

dw

dh

)(1.7)

L = W (1.8)

dr

dt= V + w(h) (1.9)

dh

dt= V γ (1.10)

A partir de aquı, a lo largo de este proyecto, se obtendran los diferentes casos particulares.

Como principal limitacion del calculo variacional cabe destacar que, para todas las casuısticascontempladas en este problema, no se pueden imponer las condiciones de contorno. Es decir, con estateorıa tan simple es imposible la obtencion de una ley optima que pase por los puntos de velocidadfinal V (hf ) = Vf y velocidad inicial V (hi) = Vi deseados, ya que al operar en la Ecuacion de Euler-Lagrange no se llega a una ecuacion diferencial.

Ademas de la velocidad se van a presentar tambien resultados para el numero de Mach, la veloci-dad equivalente y la velocidad calibrada (CAS). Por lo que se hara uso de las siguientes definiciones:

M =V

a(1.11)

Ve = V

√ρ

ρ0= V√σ (1.12)

CAS =

(((((V 2(κ− 1)ρ

2κp+ 1

) κκ−1

− 1

)p

p0+ 1

)κ−1κ

− 1

)2κp0

(κ− 1)ρ0

) 12

(1.13)

Los resultados se van a representar desde una altitud inicial hi = 10000 m hasta una altitud finalhf = 3000 m

El modelo de aeronave empleado para las aplicaciones numericas se especifica en el apendice A.En cuanto al modelo de atmosfera se emplea la Atmosfera Estandar Internacional ISA, descrito en

el apendice B.

1.3. FORMULACION

Parte I

Planeo sin viento.

15

Capıtulo 2

Optimizacion del planeo estacionario

Si en las ecuaciones del vuelo de planeo se hace:

Aceleracion tangencial despreciable: dVdt ≈ 0,

Ausencia de viento: w = 0

Se llega a:

D +Wγ = 0 (2.1)

L = W (2.2)

dr

dt= V (2.3)

dh

dt= V γ (2.4)

Ası pues, de las dos ultimas ecuaciones se obtiene :

dr

dh=

1

γ(2.5)

Mientras que mediante las dos primeras ecuaciones1:

γ = −D(h, V )

W(2.6)

Por tanto, se puede expresar el alcance como:

R =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

dh

γ=

∫ hf

hi

− W

D(h, V )dh (2.7)

Donde W es una constante y h es la variable independiente. Es decir, se procede a la busqueda de laley optima de velocidad en funcion de la altitud que hace que el alcance sea maximo, o lo que es lomismo, se va a minimizar el opuesto:

mın−R =

∫ hf

hi

W

D(h, V )dh (2.8)

1Notese que al ser la sustentacion igual al peso, la resistencia pasa a depender unicamente de h y V .

17

CAPITULO 2. OPTIMIZACION DEL PLANEO ESTACIONARIO 18

Al ser el integrando ,F = WD(h,V ) , independiente de V , queda una expresion muy sencilla de la Ecuacion

de Euler-Lagrange (ver Rivas [5]):

∂F

∂V−��d

dh(∂F

∂V) = 0 ⇒ ∂D

∂V= 0 (2.9)

Ası, puede obtenerse la funcion optima V ∗(h) . Como no aparece una ecuacion diferencial, no sepueden imponer las condiciones V (hi) = Vi , V (hf ) = Vf . Es decir, con este modelo, es imposiblela obtencion de una ley optima que pase por esos dos puntos.

Para el desarrollo de ∂D∂V en terminos de la polar, que a su vez depende de M y de CL, se tendra en

cuenta:

D = 12ρV

2SCD(M,CL) ; M = Va(h) ; CL = W

12ρV 2S

∂CD(M,CL)∂V = ∂CD

∂M∂M∂V + ∂CD

∂CL∂CL∂V ; ∂M

∂V = 1a(h) ; ∂CL

∂V = − 2V CL

Al final se llega a la siguiente funcion de M y CL:

∂D

∂V=

1

2ρV S

(2CD +M

∂CD∂M

− 2CL∂CD∂CL

)(2.10)

Se hace pues:∂D

∂V= 0⇒ 2CD +M

∂CD∂M

− 2CL∂CD∂CL

= 0 (2.11)

Que junto con:

CL =W

q0δM2(2.12)

Constituyen el sistema de dos ecuaciones que hay que resolver para obtener la ley optima de Machen funcion de δ, es decir M∗(δ) . Notese que: δ = p

p0; q0 = κ

2p0S ; 12ρV

2S = q0δM2

Siendo S la superficie alar del avion; p0 la presion ISA al nivel del mar; a(h) =√κRaΘ(h) la

velocidad del sonido (con κ = 1,4 para el aire).

A continuacion, se procedera al estudio de la solucion para dos tipos de polar del avion, pues me-diante analisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional del coeficiente de resistencia:

CD = CD(α,M,Re) (2.13)

Donde M es el numero de Mach y Re es el numero de Reynolds. Aunque en este proyecto no se vaa considerar la dependencia con el numero de Reynolds por simplicidad , sı se va a hacer un analisisde la dependencia con el numero de M ya que ,como se vera mas adelante, puede despreciarse abajas velocidades (M < 0,6) , mientras que es importante a altas velocidades, cuando los efectos decompresibilidad son importantes.

2.1. Polar parabolica de coeficientes constantes

Es un modelo sencillo de polar parabolica simetrica que ,en el caso de vuelo a bajas velocidades(M < 0,6) ,es una buena aproximacion a la polar real de un avion.

El coeficiente de resistencia puede descomponerse en dos partes:

CD = CD0 + kC2L (2.14)

2.1. POLAR PARABOLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES


Siendo CD0 el coeficiente de resistencia parasita (con sustentacion nula) y kC2L, el de resistencia

inducida (inducida por la sustentacion). Ası pues:

∂CD∂M

= 0 (2.15)

∂CD∂CL

= 2kCL (2.16)

Para mas adelante poder ver la diferencia de tener una polar compresible en lugar de una polarincompresible, sera necesario un valor de k y un valor de CD0 , por lo que se establecen los coefi-cientes de la polar parabolica incompresible: k = CD2,i CD0 = CD0,i. Las funciones optimas sehallan a continuacion tras haber resuelto el sistema de ecuaciones (2.11) y (2.12). En concreto, la

particularizacion de la ecuacion (2.11) conduce a C∗L =

√CD0k = cte = 0,469

Figura 2.1: C∗L(h) para polar incompresible.

El coeficiente de sustentacion permanece invariable ante el peso de la aeronave y el descenso de lamisma. No sera este el caso del numero de Mach, el cual comienza a decrecer a medida que avanzael planeo, pues esto se traduce en un aumento de la presion, que se presenta en el denominador dela expresion de M∗(h), al ser δ = p

p0. Ademas, se alcanzan valores menores para pesos menores del

avion, tal y como queda reflejado en la siguiente expresion y su respectiva figura:

M∗(h) =

√W

q0δ(h)

(k

CD0

) 14

(2.17)



Figura 2.2: M∗(h) para polar incompresible.

Se representa la velocidad a partir de la relacion V ∗(h) =√

2Wρ(h)S

(k

CD0

) 14

Figura 2.3: V ∗(h) para polar incompresible.

El comportamiento que se observa en la velocidad es analogo al del numero de Mach, esto es, valoresinferiores para altitudes y pesos mas pequenos. Lo cual se desprende inmediatamente de su formula,



al estar el peso en el numerador y la densidad, que disminuye con la altitud, en el denominador.

Por otro lado, la definicion de la velocidad equivalente permite llegar a V ∗e =√

2Wρ0S

(k

CD0

) 14

= cte

Entiendase constante para cualquier altitud de planeo de una aeronave, no obstante, otra aeronaveprovista con mas carga, y por ende, mas peso, tendrıa una velocidad equivalente mayor.

Figura 2.4: V ∗e (h) para polar incompresible.

Finalmente:

γ∗ = −D(h, V ∗(h))

W= −2

√kCD0 = − 1

Emax= cte = −0,0563rad = −3,227o (2.18)

Donde la eficiencia aerodinamica maxima Emax = 12√kCD0

se obtiene a partir del valor de C∗L. De

hecho , las graficas del coeficiente de sustentacion y del angulo de trayectoria presentan el mismocomportamiento, esto es, permanecen invariables ante el peso de la aeronave y el descenso de lamisma.



Figura 2.5: γ∗(h) para polar incompresible.

Ademas, conviene calcular las variables globales2,esto es, el alcance maximo Rmax y el tiempode vuelo asociado tf .

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

dh

γ∗(h)=

∫ hf

hi

−Emaxdh = Emax(hi − hf ). (2.19)

En el calculo del tiempo de vuelo influira el modelo de atmosfera, ademas, se define Vref =√

2Wρ0S

de

tal modo que V ∗(h) =Vref√σ√C∗L

, con lo que resulta:

tf =

∫ tf

0dt =

∫ hf

hi

dh

V ∗(h)γ∗=Emax

√C∗L

Vref

∫ hf

hi

(−√σ)dh (2.20)

Al considerar el modelo de atmosfera estandar internacional3, modelo ISA, la densidad del aire enfuncion de altitud en la troposfera viene dado por:

σ =ρ

ρ0=

(1− αTh

Θ0

) gRaαT

−1

(2.21)

Teniendo todo ello en cuenta, para un planeo desde hi = 10000m hasta hf = 3000m, se obtiene:

Para W = 1400kN : Rmax = 124,273 km; tf = 11,312 minutos

2En este caso no hay consumo de combustible. En caso de haberlo tambien se calcularıa.3Explicado con mas detalle en el apendice.





Ası pues, para el caso de polar parabolica de coeficientes constantes, el alcance maximo esindependiente del peso, a diferencia del tiempo de vuelo asociado, el cual aumenta al disminuir elpeso de la aeronave.

(a) Tiempo de vuelo en funcion del peso de la aeronave. (b) Alcance maximo en funcion del peso de la aeronave.

Figura 2.6: Variables globales para polar incompresible.

Por otro lado, resulta de interes representar el perfil de vuelo h(r), que puede obtenerse integrandohasta una h generica, en vez de integrar hasta la altitud final,esto es:∫ r

0dr =

∫ h

hi

dh

γ∗(h)→ r =

1

γ∗(h− hi) = Emax(hi − h). (2.22)

Es decir, en el caso incompresible, al ser γ∗ constante, se obtiene una recta.



Figura 2.7: Perfil de vuelo para polar incompresible.

Esta trayectoria resulta independiente del peso de la aeronave para el caso incompresible.

2.2. Polar parabolica de coeficientes dependientes del numero deMach

En este caso, el coeficiente de resistencia aerodinamica tiene en cuenta los efectos decompresibilidad. El modelo aerodinamico, explicado con detalle en el apendice A, establece:CD = CD(M,CL)

Analogamente al apartado anterior , los esfuerzos radican en maximizar el alcance, por lo que esnecesario plantear un funcional, aplicar la Ecuacion de Euler-Lagrange y resolverla. Todo ello en

terminos de la polar y sus derivadas

(∂CD∂M ; ∂CD∂CL

). Resolviendo las ecuaciones numericamente (en

concreto, usando la funcion fsolve de Matlab, que permite resolver sistemas algebraicos) se obtienenlas funciones optimas para un peso dado. De la misma forma que en el apartado anterior, se va aproceder a resolver el problema con diferentes pesos, para ver su influencia en las distintas funcionesa lo largo del vuelo de planeo.

2.2. POLAR PARABOLICA DE COEFICIENTES DEPENDIENTES DEL NUMERO DE MACH


Figura 2.8: C∗L(h) para polar compresible.

Para pesos mayores que los representados en la grafica anterior, a altitudes elevadas se estarıanrozando los lımites de funcionamiento de la aeronave, pues serıa necesario un CL muy grande paravolar. Esto no supondra ningun problema para modelar un vuelo comercial, en el que el planeo serealiza al final del vuelo ,y por ende, se ha consumido la mayor parte de combustible, por ello lascurvas representadas son como maximo para un peso de 1400 kN. En caso de un fallo de motor queobligue al avion a planear cargado de combustible, este se verıa obligado a tirar combustible, ya quesi quiere aterrizar no puede superar el peso maximo al aterrizaje 4 (Maximum Landing Weight) . Enconcreto ,para el modelo de aeronave presentado en el apendice A, Boeing [6] establece unMLW = 1422,47kN .

4MLW es el peso maximo con el que se autoriza al avion aterrizar. Depende normalmente de la resistencia a losimpactos en el aterrizaje de ciertas partes de la estructura.



Figura 2.9: M∗(h) para polar compresible.

Tanto el numero de Mach como la velocidad disminuyen a medida que avanza el planeo. Ademasambos alcanzan valores superiores cuando el peso de la aeronave es mayor.

Figura 2.10: V ∗(h) para polar compresible.



Figura 2.11: CAS∗(h) para polar compresible.

Para la CAS∗ tambien se observa una tendencia creciente con el peso de la aeronave. Comoaclaracion, la velocidad calibrada (CAS) es una velocidad obtenida con la unica medida de ladiferencia de presiones ∆p. El anemometro a bordo del avion indica la velocidad que se conoce comovelocidad indicada o IAS, que coincide con la CAS salvo por los errores del instrumento.En vuelo a bajas velocidades, en regimen incompresible, la velocidad calibrada coincide con lavelocidad equivalente.

En cuanto al angulo de trayectoria se emplea la expresion obtenida para el planeo estacionario:

γ = −D(h, V )

W(2.23)



Figura 2.12: γ∗(h) para polar compresible.

Logicamente el valor del angulo de trayectoria es negativo, al estar el avion descendiendo. Notese quepodrıa haberse definido el angulo de planeo (glide angle) γd = −γ. De cualquier forma, en valorabsoluto, la variacion que sigue esta funcion a lo largo de toda la trayectoria es de poco mas de unadecima de grado. Siendo levemente mas acusada para un mayor peso de la aeronave.

Para el calculo de las variables globales, se hara uso de la funcion trapz de Matlab que permite hacer

las integrales presentadas en la seccion anterior, esto es, Rmax =∫ hfhi

dhγ∗(h) ; tf =

∫ hfhi

dhV ∗(h)γ∗

Ası, para un planeo desde hi = 10000m hasta hf = 3000m, se obtiene:




Para el caso compresible se tiene menor alcance maximo cuanto mas pese el avion, a diferencia delcaso incompresible en el que el alcance maximo resultaba independiente del peso de la aeronave. Noobstante, el tiempo de vuelo asociado, tiene la misma tendencia, es decir, aumenta al disminuir elpeso de la aeronave.




Figura 2.13: Variables globales para polar compresible.

Ahora el peso tambien tiene influencia en el perfil de vuelo h(r), aunque de forma muy leve:

Figura 2.14: Perfil de vuelo para polar compresible.

Logicamente, a 3 km de altitud se recogen los resultados anteriormente obtenidos para el alcancemaximo.



2.2.1. Comparacion con polar parabolica de coeficientes constantes

Se van a comparar las funciones optimas para los distintos pesos estudiados, ya que aunque este noafecte a C∗L ni a γ∗ en el caso de polar incompresible, sı tiene influencia en M∗(h);V ∗(h);CAS∗(h)como se observa a continuacion:

Figura 2.15: Comparacion C∗L(h) polar compresible con polar incompresible.

En el eje de ordenadas se aprecia la leve variacion de C∗L con la altitud. Conforme aumenta el pesode la aeronave mayor es el desvıo entre los resultados aportados con polar compresible y el resultadoconstante dado con polar incompresible.

En cuanto a la comparacion hecha a continuacion para M∗, puede observarse que cuanto menor eseste, mas aproximados son los resultados entre los dos tipos de polar. En caso contrario, llevado alextremo del inicio del planeo y para W = 1400 kN parece que los resultados divergen.



Figura 2.16: Comparacion M∗(h) polar compresible con polar incompresible.





Con la velocidad ocurre exactamente lo mismo que lo que se ha observado anteriormente con elnumero de Mach.

Figura 2.19: Comparacion V ∗(h) polar compresible con polar incompresible.



Figura 2.22: Comparacion CAS∗(h) polar compresible con polar incompresible.

Para polar incompresible la CAS∗ es monotona decreciente. Mientras que en el caso de polarcompresible se alcanza un maximo al principio de vuelo de planeo, para luego disminuir y volver aaumentar muy levemente, pues dado un peso, se produce una variacion de apenas 3 m

s a lo largo detoda la trayectoria.



Figura 2.23: Comparacion γ∗(h) polar compresible con polar incompresible.

En el caso de polar compresible, el angulo de trayectoria respecto de la altitud no permanececonstante, sin embargo, su variacion no resulta ser muy acusada.

Finalmente, mencionar que para polar compresible se alcanzan mayores valores de las variablesglobales, ası por ejemplo, para W = 1200 kN , el alcance maximo llega a ser hasta un 13,25 %superior que para polar incompresible, mientras que el tiempo de vuelo asociado presenta unincremento del 10,31 %.


Figura 2.24: Comparacion de variables globales.



Con el perfil de vuelo se ratifica que se adquiere un mayor alcance para la polar compresible con unaleve dependencia con el peso de la aeronave.

Figura 2.25: Comparacion perfil de vuelo polar compresible (rojo) con polar incompresible (azul) paraW = 1200, 1300, 1400 kN .


Capıtulo 3

Optimizacion del planeo noestacionario

En las ecuaciones del vuelo de planeo ahora se mantiene la aceleracion tangencial, con lo que se llegaa:

W

g

dV

dt= −D −Wγ (3.1)

L = W (3.2)

dr

dt= V (3.3)

dh

dt= V γ (3.4)

Ası pues, de las dos ultimas ecuaciones se deduce :

dr

dh=

1

γ(3.5)

Ahora, la ecuacion 1 que define γ viene dada por:

W

g

dV

dh= −D(h, V ) +Wγ

V γ→ γ = −D

W

(1 +

V

g

dV

dh

)−1(3.6)

De modo que el angulo de trayectoria resulta ser el que se tenıa para planeo estacionario, pero con

un factor nuevo, que es el termino no estacionario. Por tanto, el alcance puede expresarse como:

R =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

dh

γ=

∫ hf

hi

− W

D(h, V )

(1 +

V

gV

)dh (3.7)

Ya ha sido puesto de manifiesto que en este problema de optimizacion se busca una funcion que hagaque la integral anterior sea un maximo, esto es, ha de minimizarse:

min−R =

∫ hf

hi

W (1 + Vg V )

D(h, V )dh (3.8)

1Notese que al ser la sustentacion igual al peso, la resistencia pasa a depender unicamente de h y V .

37

CAPITULO 3. OPTIMIZACION DEL PLANEO NO ESTACIONARIO 38

El nuevo funcional, F =W (1+V

gV )

D(h,V ) , queda con un factor que depende de V . Ası,en principio, no seanula ningun termino de la Ecuacion de Euler-Lagrange:

∂F

∂V− d

dh

(∂F

∂V

)= 0 (3.9)

Siendo:∂F

∂V= W

1

D2

(1

gV D − (1 +

V

gV )

∂D

∂V

)(3.10)

∂F

∂V=W

D

V

g(3.11)

Aunque todo parece indicar que se va a obtener una ecuacion diferencial, operando se llega a unaecuacion algebraica, que nos da la ley optima V ∗(h):

∂D

∂V− V

g

∂D

∂h= 0 ⇒ V ∗(h) (3.12)

Por lo que con esta teorıa tan simple, vuelve a aparecer la casuıstica de un problema en el cual no sepueden imponer condiciones de contorno en velocidad, de manera que lo unico que se saca es un arcoque ,si se desea mantener la trayectoria optima, no hay forma de imponer que pase por los puntos develocidad final y velocidad inicial deseados. Para modelar un vuelo comercial, en el que cuando se vaa aterrizar la velocidad inicial es la que se lleva en crucero y la velocidad final esta impuesta en lanormativa, existe una teorıa mas avanzada que de forma optima empalma el tramo inicial con el arcoobtenido en este problema,y una vez recorrido dicho arco,otro segmento (que puede ser a altitudconstante) engancha con la condicion final.

La funcion de M y CL: ∂D∂V = 1

2ρV S(2CD +M ∂CD∂M − 2CL

∂CD∂CL

) fue obtenida ya en planeo

estacionario, pero ahora ademas, hay que hacer ∂D∂h , para lo que se tendra en consideracion:

D = 12ρV

2SCD(M,CL) ; M = Va(h) ; CL = W

12ρV 2S

∂CD(M,CL)∂h = ∂CD

∂M∂M∂h + ∂CD

∂CL∂CL∂h ; ∂M

∂h = −M a′

a ; ∂CL∂h = −CL ρ

′

ρ

Con lo que se llega a que:

∂D

∂h=

1

2ρV 2S

(ρ′

ρCD −

a′

aM∂CD∂M

− ρ′

ρCL

∂CD∂CL

)(3.13)

Ası, la ecuacion de Euler-Lagrange se sustituye por:

CD

(2− M2a2

g

ρ′

ρ

)+M

∂CD∂M

(1 +

M2a2a′

ga

)− CL

∂CD∂CL

(2− M2a2

g

ρ′

ρ

)= 0 (3.14)

La cual depende de M,CL, h . Ademas, junto con:

CL =W

q0δM2(3.15)

Constituyen el sistema de dos ecuaciones que hay que resolver para obtener la ley optima M∗(h)para los dos tipos de polar.



Para k y CD0 constantes, se define la polar incompresible CD = CD0 + kC2L, de la que se obtiene:

∂CD∂M

= 0 (3.16)

∂CD∂CL

= 2kCL (3.17)

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (3.14) y (3.15) se llega a los siguientes valoresoptimos:

C∗L =

√CD0

k= cte = 0,469 (3.18)

Figura 3.1: C∗L(h) para polar incompresible.

El coeficiente de sustentacion no depende del peso de la aeronave ni de la altitud a la que esta seencuentra. Por lo que permanecera, en cualquier caso, con un valor constante de 0,469 para esteapartado de polar incompresible.

El numero de Mach y la velocidad pueden ser analizados conjuntamente al presentar uncomportamiento analogo, esto es, para un mismo peso, M y V disminuyen conforme lo hace laaltitud. Mientras que para una misma altitud, M y V son mayores cuanto mayor sea el peso de laaeronave. Estas conclusiones se deducen facilmente mediante las expresiones:

M∗(h) =√

Wq0δ(h)

(k

CD0

) 14

y V ∗(h) =√

2Wρ(h)S

(k

CD0

) 14



Figura 3.2: M∗(h) para polar incompresible.

Figura 3.3: V ∗(h) para polar incompresible.

A continuacion se representa la velocidad equivalente:

V ∗e =

√2W

ρ0S

(k

CD0

) 14

= cte (3.19)



Figura 3.4: V ∗e (h) para polar incompresible.

Da la coincidencia de que hasta el momento se han obtenido las mismas expresiones que en planeoestacionario. Sin embargo, esto no ocurre para el angulo de trayectoria optimo, que en planeoestacionario era constante mientras que ahora con el termino no estacionario aparece una variacioncon la altitud. Ası, partiendo de:

γ∗(h) = −D(h, V ∗)

W

(1 +

V ∗

g

dV ∗

dh

)−1(3.20)

Y teniendo en cuenta:

D(h, V ∗) =1

2ρV ∗2SCD0 + k

W 2

12ρV

∗2S= 2W

√kCD0 (3.21)

V ∗dV ∗

dh=

1

2

dV ∗2

dh=

1

2

d

dh

(2W

ρS

√k

CD0

)= −1

2

ρ′

ρV ∗2(h) (3.22)

Se llega a:

γ∗(h) = − 1

Emax

(1 +

1

2g

dV ∗(h)2

dh

)−1= − 1

Emax

(1− ρ′

ρ

V ∗(h)2

2g

)−1(3.23)



Figura 3.5: γ∗(h) para polar incompresible.

Por lo que el angulo de trayectoria pasa a disminuir a lo largo del planeo. Siendo los resultado masnegativos para menores pesos de la aeronave.

El calculo de las variables globales queda de la siguiente forma:

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

dh

γ∗(h)= Emax

((hi − hf ) +

V 2ref

2gC∗L

(1

σi− 1

σf

))=

= Emax

((hi − hf ) +

V 2i − V 2

f

2g

)(3.24)

Donde se ha hecho uso de Vref =√

2Wρ0S

, de tal modo que V ∗(h) =Vref√σ√C∗L

. De manera que queda

una expresion que relaciona la distancia horizontal recorrida con la perdida de energıas potencial ycinetica durante el planeo.

Para el tiempo de planeo se tiene:

tf =

∫ tf

0dt =

∫ hf

hi

dh

V ∗(h)γ∗=Emax

√C∗L

Vref

∫ hf

hi

(−√σ)dh+

EmaxVref

g√C∗L

(1√σi− 1√σf

)=

=Emax

√C∗L

Vref

∫ hf

hi

(−√σ)dh+ Emax

Vi − Vfg

(3.25)

Cabe resaltar que el primer sumando de Rmax y de tf coincide con el valor que tenıan estas variablesglobales en el capıtulo de planeo estacionario. Los resultados obtenidos para un planeo desdehi = 10000m, hasta hf = 3000m son:






En esta ocasion, el alcance maximo es mayor cuanto mayor es el peso de la aeronave, ya que mayores la perdida de energıa cinetica. El tiempo de vuelo sigue manteniendo la misma tendencia quehabıa en el caso estacionario.


Figura 3.6: Variables globales para polar incompresible.

En cuanto al perfil de vuelo h(r), se va a llevar a cabo un procedimiento analogo al realizado en elplaneo estacionario. No obstante, hay que tener en cuenta que, ahora el peso influye en el perfil devuelo. ∫ r

0dr =

∫ h

hi

dh

γ∗(h)→ r = Emax

((hi − h) +

V 2i − V 2

2g

)(3.26)



Figura 3.7: Perfil de vuelo para polar incompresible.

Efectivamente, puede comprobarse que a una altitud de 3 km se tienen los alcances maximoshallados previamente.


Para tener en cuenta los efectos de compresibilidad, se trabajara con el coeficiente de resistenciaaerodinamica definido en el apendice A. Esto afectara a la ecuacion de Euler-Lagrange , pues enalgunos terminos aparecen la polar y sus derivadas. Todo ello permitira obtener las funcionesoptimas para distintos pesos.

Se observa que para los tres pesos estudiados, son similares los valores de C∗L que hay en el mınimorelativo y el maximo de la figura.



Figura 3.8: C∗L(h) para polar compresible.

El numero de Mach y la velocidad vuelven a presentar el mismo comportamiento. De modo quedisminuyen al hacerlo la altitud y el peso de la aeronave.

Figura 3.9: M∗(h) para polar compresible.



Figura 3.10: V ∗(h) para polar compresible.

En la velocidad calibrada se observa un maximo al inicio del vuelo, teniendo una variacion maximade 4 m

s a lo largo de toda la trayectoria para un peso dado. Segun este peso sea mayor o menor, lasgraficas se trasladan hacia arriba o hacia abajo respectivamente.

Figura 3.11: CAS∗(h) para polar compresible.



Figura 3.12: γ∗(h) para polar compresible.

En cuanto al angulo de trayectoria, se aprecia en el eje de ordenadas que la variacion con la altitudes muy leve. El cambio de tendencia que ocurre a altitudes elevadas se debe a que las curvas deV ∗(h) dejan de crecer tan rapido en este rango. Es menester recordar que el angulo de trayectoria

ahora tiene un factor que incluye el efecto no estacionario: γ∗(h) = −D(h,V ∗)W

(1 + V ∗

gdV ∗

dh

)−1

En el calculo de las variables globales se tendra en cuenta la expresion anterior de γ∗(h) para

hacer : Rmax =∫ hfhi

dhγ∗(h) ; tf =

∫ hfhi

dhV ∗(h)γ∗

Ası, para un planeo desde hi = 10000 m, hasta hf = 3000 m, se obtiene:




De modo que el alcance maximo aumenta de forma no lineal con el peso de la aeronave, justo alcontrario que el tiempo de vuelo asociado, que disminuye.




Figura 3.13: Variables globales para polar compresible.

De nuevo resulta satisfactoria la verificacion del alcance maximo a nivel del mar para cada uno de lospesos de la aeronave mediante el perfil de vuelo h(r),

Figura 3.14: Perfil de vuelo para polar compresible.

3.2.1. Comparacion con polar parabolica de coeficientes constantes.

Se procede a continuacion a la comparacion de las funciones optimas obtenidas para distintos pesoscon los dos tipos de polar considerados.



Figura 3.15: Comparacion C∗L(h) polar compresible con polar incompresible.

El valor constante de C∗L para la polar incompresible permamece siempre inferior a los alcanzadospara polar compresible, habiendo una desviacion maxima de hasta 0.03.

Respecto a la velocidad y el numero de Mach, para cualquier peso que tenga la aeronave y dada unaaltitud, los resultados de la polar compresible pasan siempre por debajo de los de la polarincompresible,aunque llegan a ser muy similares e igualmente aceptables para bajas velocidades. Lamaxima diferencia entre las siguientes curvas aparece a 10 km de altitud en el caso de W = 1400 kN ,mientras que cuando los pesos de la aeronave son menores, la mayor separacion se presenta aaltitudes algo inferiores.





La velocidad calibrada para polar incompresible disminuye a lo largo de la trayectoria, quedandosiempre por encima de la correspondiente a polar compresible, la cual presenta un cambio de



curvatura.

Figura 3.22: Comparacion CAS∗(h) polar compresible con polar incompresible.

El angulo de trayectoria para polar compresible aumenta hasta alcanzar un maximo al inicio delplaneo, y ası comenzar a disminuir, mientras que la curva correspondiente a polar incompresible esmonotona decreciente. Conforme el avion se aproxima al nivel del mar, no convergen los valoresobtenidos para cada polar.



Figura 3.23: Comparacion γ∗(h) polar compresible con polar incompresible.


Figura 3.24: Comparacion de variables globales.

Al comparar los alcances de la polar de coeficientes constantes y la polar de coeficientes variables, seaprecia una diferencia que para W = 1200 kN es de mas de un 9 % atribuible a la imprecision de lapolar incompresible. De la misma forma, para polar compresible el tiempo de vuelo asociado aW = 1200 kN es un 11,64 % superior al de la polar de coeficientes constantes.

A la hora de comparar los perfiles de vuelo puede apreciarse que las curvas se cruzan ligeramente. Demodo que si bien es cierto que la polar compresible proporciona un mayor valor del alcance maximo,



si se fija una altitud y un peso al comienzo del planeo la distancia horizontal recorrida con la polarincompresible es levemente superior.

Figura 3.25: Comparacion perfil de vuelo polar compresible (rojo) con polar incompresible (azul) paraW = 1200, 1300, 1400 kN .


Capıtulo 4

Comparacion de planeo no estacionariocon planeo estacionario.

Con este capıtulo se pretende discutir como de buena es la simplificacion que se hace al eliminar losfactores que incluyen el efecto no estacionario. Para ello, se dividira el capıtulo en dos secciones quetraten por separado cada polar estudiada hasta el momento.


Puesto que el angulo de trayectoria optimo es la unica expresion que difiere debido al termino noestacionario, sera la que aquı se represente:

Figura 4.1: Comparacion γ∗(h) planeo estacionario con planeo no estacionario.

Senalar la falta de precision aportada por la solucion estacionaria, que permanece totalmente

57

CAPITULO 4. COMPARACION DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEOESTACIONARIO. 58

invariable, mientras que en el planeo no estacionario se registran valores superiores que aumentancon la altitud y peso de la aeronave.

Para las variables globales se tiene:

Figura 4.2: Comparacion tf (W ) planeo estacionario con planeo no estacionario.

Figura 4.3: Comparacion Rmax(W ) planeo estacionario con planeo no estacionario.



El tiempo de vuelo asociado presenta la misma tendencia, mientras que el alcance maximo paraplaneo no estacionario deja de ser constante para aumentar con el peso, consecuencia ligada a que setiene en cuenta la mayor perdida de energıa cinetica. De modo que para W = 1400 kN , en planeo noestacionario llega a haber un 20, 29 % mas de alcance maximo, ası como un aumento del 19, 66 % deltiempo de vuelo asociado. Esta desviacion se reduce cuando los pesos de la aeronave son menores ,ası pues, para W = 1200 kN , estos incrementos son solo del 17,392 % y 16,84 % respectivamente.

Con el perfil de vuelo se aprecia que a cualquier altitud de vuelo la distancia horizontal recorridapara planeo no estacionario es superior a la correspondiente para planeo estacionario.

Figura 4.4: Comparacion perfil de vuelo planeo estacionario (azul) con planeo no estacionario (rojo)para W = 1200, 1300, 1400 kN .


Empezando por el coeficiente de sustentacion, se observa que las curvas correspondientes a planeoestacionario, para una altitud dada, se encuentran por encima de las correspondientes a planeo noestacionario. Ambas curvas tienen el mismo comportamiento, salvo este gap que va disminuyendoconforme avanza el vuelo de planeo. Por otro lado, salta a la vista que a 10 km hay un desmesuradoaumento de CL para W = 1400 kN cuando no se tienen en cuenta efectos no estacionarios.



Figura 4.5: Comparacion C∗L(h) planeo estacionario con planeo no estacionario.

Tanto para el numero de Mach como para la velocidad, aunque las respectivas curvas de planeo noestacionario y planeo estacionario no llegan a superponerse , las discrepancias entre ellas vanmenguando hasta llegar a existir apenas una tenue diferencia.

Figura 4.6: Comparacion M∗(h) planeo estacionario con planeo no estacionario.



Figura 4.7: Comparacion V ∗(h) planeo estacionario con planeo no estacionario.

Figura 4.8: Comparacion CAS∗(h) planeo estacionario con planeo no estacionario.

En cuanto a la CAS, al igual que ocurrıa en la velocidad y el M, el planeo estacionario esta pordebajo del planeo no estacionario, aunque ahora las diferencias entre ambas curvas son mas notables



en toda la trayectoria. Cuando se tienen pesos adecuados para el aterrizaje se presenta un planeo conCAS practicamente constante.

Para planeo no estacionario se observa que una vez pasado el maximo del angulo de trayectoria quehay al principio, el valor absoluto de este aumenta conforme avanza el vuelo . Resultado opuesto alobtenido en el caso de planeo estacionario. Ademas, es justo en este maximo donde se acentuan lasdiferencias entre estacionario y no estacionario.

Figura 4.9: Comparacion γ∗(h) planeo estacionario con planeo no estacionario.

Finalmente, para un mayor peso de la aeronave se aprecia un aumento adicional de los valores quetienen las variables globales para planeo no estacionario respecto a los correspondientes de planeoestacionario. Ası, por ejemplo, para W = 1400 kN los incrementos que se presentan son de un18,275 % y un 17,216 % en el alcance maximo y el tiempo de vuelo, respectivamente.



Figura 4.10: Comparacion tf (W ) planeo estacionario con planeo no estacionario.

Figura 4.11: Comparacion Rmax(W ) planeo estacionario con planeo no estacionario.

El perfil de vuelo permite observar que a lo largo de toda la trayectoria esta presente la superioridadde los valores de la distancia horizontal recorrida para planeo no estacionario respecto a los de planeo



estacionario dada una altitud. Ademas las tendencias de ambos casos con el peso son opuestas.

Figura 4.12: Comparacion perfil de vuelo planeo estacionario (azul) con planeo no estacionario (rojo)para W = 1200, 1300, 1400 kN .


Parte II

Planeo con viento.

65

Capıtulo 5

Optimizacion del planeo estacionariocon viento.

El peso de la aeronave, que resultaba ser el unico parametro con el que hasta ahora se habıaestudiado el descenso del avion, permanecera fijo con un valor de W = 1200kN , para ası poderrehacer todos los calculos de los capıtulos anteriores poniendo especial enfasis en dos efectos delviento que suscitan un gran interes, como son:

La influencia del viento medio sin presencia de wind-shear.

La influencia del wind-shear cuando tenemos un viento de cara o un viento de cola.

Para ello, se empleara un modelo de viento que establece un viento horizontal dependiente solo deh con una funcion conocida que en valor absoluto aumenta linealmente con la altitud , tal y comosigue a continuacion:

w(h) = w +∆w

∆h(h− h) (5.1)

Donde w es el viento medio, ∆w es el parametro de cizalladura o wind-shear, ∆h = h2 − h ,h = (h1 + h2)/2 es la altitud media, y h1, h2 > h1 son altitudes de referencia. Para valores dados deh1 y h2, ∆w define dw

dh , y , en particular, ∆w = 0 define un perfil de viento uniforme.Una mayor aclaracion de este modelo sera ilustrada con los dos ejemplos mostrados a continuacion,en los que se considera tanto el caso de viento de cola (tailwinds, TW ) como el de viento de cara(headwinds, HW ). Para TW se tiene w > 0 y ∆w ≥ 0, mientras que para HW w < 0 y ∆w ≤ 0. Enparticular, se establece h1 = 0 m y h2 = 12000 m.

67

CAPITULO 5. OPTIMIZACION DEL PLANEO ESTACIONARIO CON VIENTO. 68

Figura 5.1: Ejemplo con viento de cola.

Figura 5.2: Ejemplo con viento de cara.

Estos perfiles variaran ante una modificacion en el wind-shear, ∆w , lo cual se traduce en un cambiode la pendiente. Notese que para cada uno de los casos anteriores |∆w| debe ser menor o igual que


|w|, de modo que puede garantizarse que el viento sigue el mismo sentido desde abajo hasta arriba,esto es, con viento de cola o con viento de cara siempre, pues este es el modelo mas extendido.

Las ecuaciones del vuelo de planeo son ahora:

D +Wγ

(1 +

V

g

dw

dh

)= 0 (5.2)

L = W (5.3)

dr

dt= V + w(h) (5.4)

dh

dt= V γ (5.5)

El viento aparece en la ecuacion dinamica (5.2), ası como en el segundo termino de la ecuacion (5.4),que no es mas que la velocidad respecto de tierra. Sin embargo, en la ecuacion (5.5) no aparece elviento, al ser este horizontal.

Ademas, de estas dos ultimas ecuaciones se deduce:

dr

dh=V + w(h)

V γ(5.6)

Siendo:

γ =−D

W

(1 + V

gdwdh

) (5.7)

El viento jugara un importante papel en el alcance:

R =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

V + w(h)

V γdh =

hf∫hi

−

(V + w(h)

)(1 + V

gdwdh

)W

VD(h, V )dh (5.8)

Tal y como se llevo a cabo en el problema sin viento, se minimizara el opuesto del alcance:

mın−R =

hf∫hi

(V + w(h)

)(1 + V

gdwdh

)W

VD(h, V )dh (5.9)

El funcional , F = W

(V + w(h)

)(1 + V

gdwdh

)(V D(h, V )

)−1, no presenta una dependencia con V ,

con lo que la Ecuacion de Euler-Lagrange resulta:

∂F

∂V−��

��d

dh(∂F

∂V) = 0 ⇒ ∂D

∂V

(1 +

w(h)

V

)(1 +

V

g

dw

dh

)− D

g

dw

dh+w(h)D

V 2= 0 (5.10)


Que expresada en terminos de M,CL, h se convierte en:(2CD +M

∂CD∂M

− 2CL∂CD∂CL

)(1 +

w(h)

Ma

)(1 +

Ma

g

dw

dh

)− MaCD

g

dw

dh+w(h)CDMa

= 0 (5.11)

Por lo que proporciona la ley optima M∗(h) al resolverse conjuntamente con:

CL =W

q0δM2(5.12)

5.1. Polar parabolica de coeficientes constantes.

Para el coeficiente de resistencia CD = CD0 + kC2L se tiene la particularizacion ∂CD

∂M = 0 ;∂CD∂CL

= 2kCL en la ecuacion de Euler-Lagrange . Sin embargo, ello no sera suficiente para la directaobtencion de CL a partir de dicha ecuacion, a diferencia de lo que ocurrıa en ausencia de viento. Esdecir, ahora CL sera una funcion variable con la altitud,C∗L(h) que, junto con M∗(h), se obtienemediante la resolucion del sistema algebraico anteriormente definido. De cualquier forma, esta claroque el CL es una consecuencia de la ecuacion dinamica L = W , por lo que se tiene que cumplirCL = W

12ρV 2S

, o expresado de otra forma CL = Wq0δM2 , de modo que resultan C∗L mayores con viento

de cola porque el avion no necesita volar con tanta velocidad respecto del aire como necesitarıa conviento de cara. Todo se reduce a una cuestion de mantener esa ecuacion de equilibrio modificando elangulo de ataque para controlar el avion, esto es, cambiando CL.

Figura 5.3: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

5.1. POLAR PARABOLICA DE COEFICIENTES CONSTANTES.


Figura 5.4: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,w = −25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms, |∆w| = 0ms

Figura 5.5: M∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

Queda justificado el comportamiento del coeficiente de sustentacion , al obtener, efectivamente, un



M∗ de vuelo mas pequeno con vientos de cola. Por lo que las curvas de M∗(h) bajo la influencia delviento medio sin wind-shear se desplazan hacia abajo conforme aumenta w, mientras que las curvasde C∗L(h) bajo la influencia del viento medio sin wind-shear tienen justo el comportamiento opuesto,se desplazan hacia arriba conforme aumenta w.Ademas puede observarse que ante la presencia de un viento de cara a altitudes elevadas, se inviertela variacion con |∆w| ,tanto de C∗L(h) como de M∗(h), lo cual, a su vez, provocara el mismo efectoen V ∗(h) y V ∗e (h), tal y como puede constatarse mas adelante . Sin embargo, esto no ocurre nuncacon vientos de cola. En concreto, puede comprobarse a lo largo de las figuras de esta seccion que,para TW, un incremento de |∆w| siempre se traduce en un aumento de M∗, V ∗, V ∗e y γ∗, ası comode una reduccion de C∗L.Tampoco se da el caso de que se invierta la variacion con w de las curvas sin wind-shear.

Figura 5.6: M∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms

La inmediata obtencion de la velocidad a partir del numero de Mach, resulta de:V ∗(h) = a(h)M∗(h). Obviamente con viento de cola son necesarias velocidades de vuelo respecto delaire mas pequenas que con viento de cara.



Figura 5.7: V ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

Figura 5.8: V ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms



Haciendo V ∗e (h) = V ∗(h)√

ρ(h)ρ0

se consiguen las curvas correspondientes a la velocidad equivalente.

Figura 5.9: V ∗e (h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

Figura 5.10: V ∗e (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms



Como fue hallado al principio del capıtulo:

γ∗(h) =−D(h, V ∗(h))

W

(1 + V ∗(h)

gdwdh

) (5.13)

Figura 5.11: γ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

En la figura anterior se aprecia que una variacion de |∆w| afecta en mayor medida a γ∗(h) cuando sevuela a mas altitud. Justo al contrario de lo que ocurre en el resto de funciones optimas halladas enesta seccion, que son mas sensibles a variaciones de |∆w| a bajas altitudes.

A continuacion se muestra γ∗(h) bajo la influencia del viento medio sin wind-shear. Se ha decidoseparar w < 0 de w > 0 para mayor claridad de las figuras, pues al fijarse en los valores obtenidospuede afirmarse que en ausencia de wind-shear γ∗(h) es practicamente constante.



Figura 5.12: γ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0ms

Figura 5.13: γ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =0, 5, 10, 15, 20, 25ms

Como es logico, en todas las curvas en las que se han reunido simultaneamente las condiciones



|∆w| = 0ms y w = 0ms , se han recuperado los resultados respectivos obtenidos en la optimizacion delplaneo estacionario sin viento, entre ellos, los valores constantes de C∗L = 0,469[−];V ∗e = 121,3786ms ;γ∗ = −3,227o

Haciendo uso de las funciones optimas para el calculo de las variables globales:

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

V ∗(h) + w(h)

V ∗(h)γ∗(h)dh (5.14)

tf =

∫ tf

0dt =

∫ hf

hi

dh

V ∗(h)γ∗(h)(5.15)

En la seccion de polar incompresible del capıtulo 2, en la que el viento no fue considerado, para unplaneo desde hi = 10000 m hasta hf = 3000 m, se llego a los siguientes resultados con W = 1200 kN :

Rmax = 124,273 km

tf = 733,140 s= 12,219 minutos

Estos puntos de no wind (NW ) aparecen indicados en negro en las figuras de abajocorrespondientes. A partir de ellos, al disminuir o aumentar w se llega a los puntos rojo y azulrespectivamente. Los cuales coinciden con los puntos de partida de las graficas que representan lasvariables globales en funcion del wind-shear. Ası pues, para w = −25 m

s , se tiene Rmax = 106,330 km(decremento de un 14,438 % del NW ); tf = 700,524 s = 11,675 minutos (decremento de un 4,449 %del NW ); mientras que para w = 25 m

s , se logra Rmax = 142,909 km (incremento de un 14,996 % delNW ); tf = 756,386 s= 12,606 minutos (incremento de un 3,171 % del NW ).Una vez se llega a los puntos de partida de las graficas que representan las variables globales enfuncion del wind-shear, es posible obtener un incremento/decremento adicional con el efecto de |∆w|,permitiendo alcanzar valores tan favorables con viento de cola como Rmax = 154,021 km ytf = 797,694 s = 13,295 minutos, es decir un incremento adicional de hasta un 7,776 % y un 5,461 %respectivamente. Por el contrario, con viento de cara los resultados pueden llegar a reducirse aRmax = 97,615 km y tf = 662,560 s= 11,043 minutos, es decir, un decremento adicional de hasta un8,196 %, y un 5,419 % respectivamente.



Figura 5.14: Alcance maximo en funcion del viento medio con |∆w| = 0.

Figura 5.15: Alcance maximo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola.



Figura 5.16: Tiempo de vuelo en funcion del viento medio con |∆w| = 0.

Figura 5.17: Tiempo de vuelo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola.

Los siguientes perfiles de vuelo permiten observar que en ausencia de wind-shear y a una altitud fijala distancia horizontal recorrida aumenta con valores de w mayores.



Figura 5.18: Perfil de vuelo sin wind-shear con w = −25, 0, 25 ms .

Figura 5.19: Perfil de vuelo con viento de cola w = 25 ms ; ∆w = 0, 15, 25 m

s y con viento de caraw = −25 m

s ; ∆w = 0,−15,−25 ms

Cuando el perfil de vuelo incluye la influencia del wind-shear, a bajas altitudes se aprecia que alfijarse un valor de esta, se recogen mayores valores de la distancia horizontal recorrida conforme



aumenta ∆w, aunque por supuesto la influencia del viento medio es mas significativa.


Nuevamente se procede a dilucidar el problema con la particularizacion del modelo aerodinamicoplanteado en el apendice A. La resolucion del sistema algebraico expuesto aporta:




Figura 5.21: C∗L(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms

En la figura de arriba se ha marcado con una lınea mas gruesa el coeficiente de sustentacion que seobtuvo ya en el planeo sin viento, por encima de esta lınea se encuentran todos los C∗L hallados conun viento de cola, ya sea con wind-shear o sin el; por otro lado, por debajo de esta curva estan losC∗L obtenidos con viento de cara.No resulta casualidad que esta caracterıstica coincida con la de polar parabolica de coeficientesconstantes, pues como ya se comento, es una consecuencia de la ecuacion dinamica L = W queestablece que CL se presente con la tendencia contraria a la del M , la cual, como se puede ver masadelante, es tal que para un viento de cara en general se necesita un numero de Mach aerodinamicomas elevado. De la misma forma, las curvas de V ∗ y CAS∗ para HW estan por encima de las de TW.De modo que en ausencia de wind-shear, las curvas de C∗L se desplazan hacia arriba conformeaumenta w. Justo al contrario sucede con M∗,V ∗,CAS∗ las cuales se desplazan hacia abajo alaumentar el valor del viento medio.

Del analisis de la influencia del wind-shear, se tiene que dada una altitud fija:

Para TW, un aumento de |∆w| se traduce en un decremento de C∗L. Mientras que M∗, V ∗,CAS∗, γ∗ son mayores cuando mayor sea |∆w|

Para HW, al inicio del planeo un aumento de |∆w| supone un aumento de M∗,V ∗,CAS∗ y undecremento de C∗L. Aunque a lo largo de la trayectoria se invierte la tendencia de estas curvascon |∆w|, excepto para γ∗ que a cualquier altitud disminuye para un mayor |∆w|.





Con HW la velocidad de vuelo respecto del aire ha de ser mayor de lo que es con TW.



Figura 5.26: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

Figura 5.27: CAS∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms

Hasta ahora, a altitudes bajas todas las funciones optimas han sido mas sensibles a variaciones de



|∆w| que a altitudes elevadas, sin embargo con γ∗ ocurre justo lo contrario, esto es, al inicio delplaneo hay una mayor sensibilidad con variaciones de |∆w|.

γ∗(h) =−D(h, V ∗(h))

W

(1 + V ∗(h)

gdwdh

) (5.16)


En ausencia de wind-shear, los valores de γ∗(h) para vientos medios positivos son bastante similaresa los respectivos valores para vientos medios negativos, por lo que se ha optado por representarlos enfiguras separadas, que como se puede observar varıan en algo mas de una decima a lo largo de todala trayectoria del avion.



Figura 5.29: γ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0ms

Figura 5.30: γ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =0, 5, 10, 15, 20, 25ms



Los resultados obtenidos con W = 1200 kN, en terminos de las variables globales, para un planeodesde hi = 10000 m hasta hf = 3000 m con polar compresible y ausencia de viento, fueron:

Rmax = 137,082 km

tf = 830,28 s= 13,838 minutos

A partir del punto de no wind (NW), la introduccion de valores negativos de w lleva hasta el puntorojo de w = −25 m

s con Rmax = 116,706 km y tf = 797,772 s= 13,296 minutos, es decir, undecremento respecto del NW de un 14,864 % y un 3,915 % respectivamente. Por el contrario, unaumento de w conduce hasta el punto azul de w = 25 m

s con Rmax = 158,134 km y tf = 852,398s= 14,207 minutos, es decir, un incremento respecto del NW del 15,357 % y 2,664 % respectivamente.Partiendo de los puntos azul/rojo es posible un incremento/decremento adicional de las variablesglobales al modificar |∆w|. Ası, para vientos de cola se llega hasta Rmax = 170,164 km ytf = 900,673 s=15,011 minutos , esto es, un incremento adicional del 7,607 % y 5,663 %respectivamente.Mientras que para los vientos de cara, los valores pueden llegar a reducirse hastaRmax = 107,413 km y tf = 752,465 s= 12,541minutos, de modo que se tiene un decremento adicionalde hasta un 7,963 % y un 5,679 % respectivamente.

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

V ∗(h) + w(h)

V ∗(h)γ∗(h)dh (5.17)

tf =

∫ tf

0dt =

∫ hf

hi

dh

V ∗(h)γ∗(h)(5.18)





El perfil de vuelo muestra que dada una altitud, se tiene una distancia horizontal recorrida mayorconforme aumenta el valor de w.


De forma algo menos significativa, se puede apreciar a bajas altitudes que la distancia horizontal



recorrida correspondiente a una altitud fija aumenta cuando lo hace ∆w.



s ; ∆w = 0,−15,−25 ms


Para los dos tipos de polar de avion analizadas, C∗L,M∗, V ∗ y CAS∗ presentan valores similares a

bajas altitudes, ya que al ser allı los valores de M∗ menores no aparecen efectos de compresibilidad.A altitudes elevadas aparece un maximo en el coeficiente de sustentacion de la polar compresible, elcual no se recoge en la polar parabolica de coeficientes constantes, por lo que se alejan los resultados.Otra caracterıstica apreciable es que, dada una altitud, los valores de C∗L y γ∗ obtenidos para polarcompresible estan por encima de los correspondientes valores que se obtendrıan con polarincompresible. Para el resto de funciones optimas M∗, V ∗, CAS∗ ,sucede precisamente lo contrario,es decir, que el valor de una de estas funciones asociado a la polar compresible, a una altituddeterminada, esta por debajo del valor que presenta si esta asociado a la polar incompresible.



Figura 5.37: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.

Figura 5.38: C∗L(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.



Figura 5.39: M∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.

Figura 5.40: M∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.



Figura 5.41: V ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.

Figura 5.42: V ∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.



Figura 5.43: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible en lıneadiscontinua.

Figura 5.44: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.

El angulo de trayectoria presenta ciertas peculiaridades respecto al resto de funciones optimas, como



que los valores a bajas altitudes ya no son semejantes entre la polar incompresible y compresible,ası como que deja de suceder el hecho de que para ambas polares en ausencia de wind-shear todas lascurvas de HW esten por un lado, mientras que las de TW por otro. Ahora se intercalan las curvas deHW con las de TW.

Figura 5.45: γ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.

La polar incompresible recoge un γ∗ practicamente constante con la altitud de vuelo, mientras quecon la polar compresible se avanza suavemente a lo largo del planeo hacia menores valores absolutosdel angulo de trayectoria.



Figura 5.46: γ∗(h) para distintas condiciones de viento, w = −25,−20,−15,−10,−5, 0ms , |∆w| =0ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.

Figura 5.47: γ∗(h) para distintas condiciones de viento, w = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polarincompresible en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.

En todas las figuras siguientes, las variables globales halladas con la polar compresible presentanvalores superiores a los respectivos obtenidos con la polar parabolica de coeficientes constantes. Porlo tanto, se va a especificar el maximo y el mınimo incremento de cada figura y en que condiciones



del viento se obtienen.

Figura 5.48: Alcance maximo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polarincompresible en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.

TW: maximo incremento de un 10,637 % para w = 25 ms ; |∆w| = 0 m

smınimo incremento de un 10,520 % para w = 25 m

s ; |∆w| = 25 ms

HW: maximo incremento de un 10,030 % para w = −25 ms ;|∆w| = 25 m

smınimo incremento de un 9,784 % para w = −25 m

s ; |∆w| = 0 ms



Figura 5.49: Alcance maximo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Polar incompresible en lıneacontinua, polar compresible en lınea discontinua.

Maximo incremento de un 10,637 % para w = 25 ms ; |∆w| = 0 m

sMınimo incremento de un 9,784 % para w = −25 m

s ; |∆w| = 0 ms

Figura 5.50: Tiempo de vuelo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polarincompresible en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.





s ; |∆w| = 0 ms

HW: maximo incremento de un 13,890 % para w = −25 ms ;|∆w| = 0 m


s ; |∆w| = 25 ms

Figura 5.51: Tiempo de vuelo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Polar incompresible en lıneacontinua, polar compresible en lınea discontinua.

Maximo incremento de un 13,890 % para w = −25 ms ;|∆w| = 0 m

sMınimo incremento de un 12,692 % para w = 25 m

s ;|∆w| = 0 ms

Una ultima caracterıstica es que para polar compresible todas las figuras siguen la misma tendenciacon w y |∆w| que la que tienen con polar parabolica de coeficientes constantes.

El perfil de vuelo muestra que para cualquier altitud que se fije de todo el rango de la trayectoria, ladistancia horizontal recorrida que se experimenta para polar compresible es superior a la que seobtiene para polar incompresible con las mismas condiciones de viento.



Figura 5.52: Comparacion del perfil de vuelo sin wind-shear con w = −25, 0, 25 ms .Polar incompresible

en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.



s ; ∆w = 0,−15,−25 ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible en lınea

discontinua.


Capıtulo 6

Optimizacion del planeo noestacionario con viento.

Ahora se retiene la aceleracion tangencial dVdt de la primera ecuacion, quedando el resto exactamente

igual que en el planeo estacionario:

W

g

dV

dt= −D −Wγ

(1 +

V

g

dw

dh

)(6.1)

L = W (6.2)

dr

dt= V + w(h) (6.3)

dh

dt= V γ (6.4)

A partir de las ecuaciones del problema se llega a las dos importantes expresiones siguientes:

dr

dh=V + w(h)

V γ(6.5)

γ(h) =−D(h, V (h))

W

(1 + V (h)

g

(dV (h)dh + dw

dh

)) (6.6)

Donde se ha utilizado la expresion dVdt = dV

dh V γMediante las ecuaciones (6.5) y (6.6) se puede hallar el alcance como:

R =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

V + w(h)

V γdh =

hf∫hi

−

(V + w(h)

)(1 + V

g

(dVdh + dw

dh

))W

VD(h, V )dh (6.7)

Nuevamente el interes radica en minimizar el opuesto del alcance.

103

CAPITULO 6. OPTIMIZACION DEL PLANEO NO ESTACIONARIO CON VIENTO. 104

mın−R =

hf∫hi

(V + w(h)

)(1 + V

g

(dVdh + dw

dh

))W

VD(h, V )dh (6.8)

Operando el nuevo funcional , F = WVD(h,V )

((V + w(h)

)(1 + V

g

(dVdh + dw

dh

)))se obtiene:

∂F

∂V= −∂D

∂V

(1 +

w(h)

g

(dV

dh+

dw

dh

))+

(dV

dh+

dw

dh

)D − V ∂D

∂V

g− w(h)

(D + V ∂D

∂V

V 2

)(6.9)

∂F

∂V=W

g

(V

D(h, V )+

w(h)

D(h, V )

)(6.10)

d

dh

(∂F

∂V

)=

V D − V

(∂D∂h + ∂D

∂V V

)+ dw

dhD − w(h)

(∂D∂h + ∂D

∂V V

)g

(6.11)

De modo que se rehace la Ecuacion de Euler-Lagrange

∂F

∂V− d

dh

(∂F

∂V

)= 0 (6.12)

∂D

∂V

(1 +

w(h)

V

)(1 +

V dwdh

g

)− ∂D

∂h

(V + w(h)

g

)+D

w(h)

V 2= 0 (6.13)

Expresada en terminos de M,CL, h presenta la siguiente forma:

Ma

(2CD +M

∂CD∂M

− 2CL∂CD∂CL

)(1 +

w(h)

Ma

)(1 +

Ma

g

dw

dh

)−

− (Ma)2

(ρ′

ρCD −

a′

aM∂CD∂M

− ρ′

ρCL

∂CD∂CL

)(Ma+ w(h)

g

)+ w(h)CD = 0 (6.14)

No se pueden imponer las condiciones inicial y final ya que no queda una ecuacion diferencial. Dehecho al eliminar las componentes del viento se obtendrıa el mismo resultado que se consiguio en elplaneo no estacionario sin viento.

Ası pues, la expresion anterior junto con

CL =W

q0δM2(6.15)

constituyen el sistema de dos ecuaciones del que extraer la ley optima M∗(h) que hace que elalcance sea maximo. Con ello, dos tipos de polar de avion son objeto de estudio.


6.1. Polar parabolica de coeficientes constantes.

Se introduciran las siguientes particularizaciones en el sistema a resolver:

CD = CD0 + kC2L ⇒

∂CD∂M

= 0;∂CD∂CL

= 2kCL (6.16)

Algunos de los resultados que se obtienen en esta seccion son esperados, por ejemplo, ya seexplico que con un viento de cara se necesita un M∗ aerodinamico mayor que para viento de cola,consecuentemente sucede los mismo con V ∗ y V ∗e .Por otro lado, La relacion CL = W

q0δM2 establece elcomportamiento contrario para el coeficiente de sustentacion, por lo que las curvas de C∗L sedesplazan hacia arriba conforme aumenta w.A la hora de analizar la influencia del wind-shear hay que tener presente que para C∗L,M∗,V ∗ y V ∗e seinvierte la tendencia con |∆w| a partir de la mitad del vuelo de planeo, en concreto para TW antesque para HW.


En la figura de abajo, la lınea mas gruesa representa el planeo en ausencia de viento. Las curvassuperiores corresponden a w positivos que dejan de dar un CL constante para aumentar ligeramentea lo largo del vuelo. Al contrario, las curvas inferiores resultan de w negativos que disminuyenlevemente su valor a lo largo de la trayectoria.



Figura 6.2: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,w = −25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms, |∆w| = 0ms





A continuacion se representa la velocidad de vuelo:





La velocidad equivalente y el coeficiente de sustentacion guardan la relacion CL = W12ρ0V 2

e S, que hay

que tener presente a la hora de interpretar sus respectivas figuras.

Figura 6.7: V ∗e (h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .



Figura 6.8: V ∗e (h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms

Efectivamente, la figura anterior es sumamente parecida a la que se tiene en esta seccion para C∗L, conla diferencia en la tendencia con w, es decir, ahora las curvas por debajo de la lınea gruesa son lasque corresponden a w positivos y disminuyen levemente a lo largo del vuelo ,mientras que las curvaspor encima se obtienen con w negativos y aumentan ligeramente conforme avanza la trayectoria.

El angulo de trayectoria aumenta su valor absoluto a medida que disminuye la altitud del vuelo. Enla figura en la que se analiza la influencia del wind-shear, las lıneas de HW y TW se intercalancuando |∆w| = 0, por ello no es de extranar que en la figura bajo la influencia del viento medio sinwind-shear no se guarde una tendencia fija con w, sino que se cortan las curvas para distintos w

γ∗(h) =−D(h, V ∗(h))

W

(1 + V ∗(h)

g

(dV ∗(h)

dh + dwdh

)) (6.17)




γ∗(h) es mas sensible ante modificaciones del wind-shear que ante variaciones del viento medio.

Figura 6.10: γ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms



Una vez halladas las funciones optimas se procede al calculo de las variables globales, quecasualmente tienen la misma expresion que en planeo estacionario.

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

V ∗(h) + w(h)

V ∗(h)γ∗(h)dh (6.18)

tf =

∫ tf

0dt =

∫ hf

hi

dh

V ∗(h)γ∗(h)(6.19)

En la seccion de polar parabolica de coeficientes constantes del capıtulo de optimizacion del planeosin viento no estacionario, para un planeo desde hi = 10000 m hasta hf = 3000 m, se llego a lossiguientes resultados con W = 1200 kN :

Rmax = 145,887 km

tf = 856,620 s = 14,277 minutos

Logicamente coinciden con el punto de no wind (NW) indicado en las figuras de abajo. A partir deeste punto, pueden introducirse valores negativos de w con los que se llega al punto rojo de w = −25ms con Rmax = 125,211 km y tf = 826,404 s = 13,773 minutos, lo cual supone una reduccionrespecto del NW de un 14,173 % y un 3,527 % respectivamente. De la misma manera, con vientosmedios positivos se alcanza el punto azul de w = 25 m

s con Rmax = 167,155 km y tf = 877,516s = 14,625 minutos, o lo que es lo mismo, un incremento respecto del NW de un 14,578 % y un2,439 % respectivamente. Ademas, una vez en estos puntos, puede producirse unincremento/decremento adicional al entrar en juego el efecto del wind-shear, capaz de presentar envientos de cola hasta un Rmax = 177,097 km y tf = 920,830 s= 15,347 minutos , es decir, unincremento adicional de un 5,948 % y un 4,936 % respectivamente. De igual forma, en vientos de caralos resultados pueden reducirse hasta Rmax = 118,454 km y tf = 786,899 s = 13,115 minutos, demodo que se alcanzarıa un decremento adicional del 5,396 % y 4,780 % respectivamente.





El perfil de vuelo refleja que a una altitud dada la distancia horizontal recorrida es mayor cuandoaumenta el valor del viento medio.

Figura 6.15: Perfil de vuelo sin wind-shear con w = −25, 0, 25 ms ..

La influencia del wind-shear es mas leve que la del viento medio, no obstante a bajas altitudes puede



apreciarse un aumento de la distancia horizontal recorrida con ∆w para una altitud fija



s ; ∆w = 0,−15,−25 ms


Se presentan algunas caracterısticas comunes con las analizadas para polar parabolica de coeficientesconstantes. Ası en las curvas de C∗L, M∗,V ∗,CAS∗ bajo la influencia del wind-shear se invierte latendencia con |∆w| cuando se ha recorrido mas de la mitad de la trayectoria, en concreto a mas bajasaltitudes para HW que para TW. Otra propiedad comun con la seccion anterior es la tendencia conel viento medio en las figuras de C∗L,M∗,V ∗,CAS∗ con ausencia de wind-shear, pues para vientos decara se desplazan hacia arriba las curvas de M∗,V ∗,CAS∗ mientras que C∗L se desplaza hacia abajo.




Poco despues del inicio del vuelo de planeo el coeficiente de sustentacion alcanza un maximo. Paraser mas precisos, el maximo aparece antes cuando mayor sea el valor de w y de |∆w|.

Figura 6.18: C∗L(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms



El numero de Mach y la velocidad de vuelo son simplemente funciones monotonas decrecientes amedida que avanza la trayectoria.







El planeo comienza con el maximo valor de CAS para HW. No ocurre lo mismo con TW bajo lainfluencia del wind-shear, pues sucede que en algunos casos al invertirse la tendecia de las curvas con



|∆w| se alcanzan mayores valores a menores altitudes.

Figura 6.23: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms .

Figura 6.24: CAS∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms



En ausencia de wind-shear, para cualquier valor del viento medio, la velocidad calibrada inicia elplaneo con su maximo valor.

Bajo la influencia del wind-shear, las curvas del angulo de trayectoria para TW estan en su mayorparte por encima de las de HW, aunque hay una zona en la que se mezclan. Esta zona se caracterizaporque surge un maximo de γ∗(h) con HW, mientras para TW la funcion esta decreciendo pues tuvosu maximo a 10 km.

γ∗(h) =−D(h, V ∗(h))

W

(1 + V ∗(h)

g

(dV ∗(h)

dh + dwdh

)) (6.20)

En ausencia de wind-shear, las curvas se mezclan y no mantienen la misma tendencia con w en todala trayectoria, esto solo ocurre en el rango que queda indicado en la figura. Por otro lado, a altitudeselevadas el angulo de trayectoria presenta un maximo.

γ∗(h) es menos sensible ante modificaciones del viento medio que ante variaciones de wind-shear.




Figura 6.26: γ∗(h) influenciado bajo distintas condiciones de viento, |∆w| = 0ms , w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms

Finalmente se hara un estudio de las variables globales.

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

V ∗(h) + w(h)

V ∗(h)γ∗(h)dh (6.21)

tf =

∫ tf

0dt =

∫ hf

hi

dh

V ∗(h)γ∗(h)(6.22)

En la seccion de polar compresible del capıtulo de optimizacion del planeo sin viento no estacionario,para un planeo desde hi = 10000 m hasta hf = 3000 m, se llego a los siguientes resultados conW = 1200 kN :

Rmax = 159,183 km

tf = 956,340 s = 15,939 minutos

Valores que obviamente coinciden con el punto de no wind (NW) indicado en las siguientes figuras.La presencia de un viento medio negativo provocara el alejamiento del NW hasta llegar al puntorojo de w = −25 m

s con Rmax = 136,397 km y tf = 928,664 s = 15,478 minutos, de modo queaparece un decremento respecto de NW de un 14,314 % y un 2,894 % respectivamente. Si el vientomedio aumenta positivamente, se alcanzara el punto azul de w = 25 m

s con Rmax = 182,430 km ytf = 973,890 s = 16,232 minutos, lo que puede suponer un incremento respecto de NW de un14,604 % y un 1,835 % respectivamente.Ya alcanzado estos puntos, se puede conseguir un incremento/decremento adicional, a partir delefecto del wind-shear. Proporcionando ası, para TW hasta un Rmax = 193,228 km y untf = 1022,679 s = 17,045 minutos, es decir, un incremento adicional de hasta un 5,919 % y un



5,009 % respectivamente. Por otro lado, para HW los resultados pueden llegar a reducirse hastaRmax = 128,861 km y tf = 881,827 s = 14,697 minutos, lo cual supone un decremento adicional dehasta un 5,525 % y un 5,043 % respectivamente.







El perfil de vuelo muestra que al fijar una altitud cualquiera de la trayectoria se logra una mayordistancia horizontal recorrida cuando aumenta el viento medio.






s ; ∆w = 0,−15,−25 ms

El perfil de vuelo bajo la influencia del wind-shear pone de manifiesto que ∆w solo aporta una



variacion apreciable cuando el avion ha descendido lo suficiente, en concreto se puede distinguir unadistancia horizontal recorrida que ligeramente aumenta conforme lo hace el valor de ∆w.

Algunos resultados similares a los de esta seccion pueden encontrarse en Franco et al. [3], que analizael mismo problema con una tecnica distinta, en concreto mediante la teorıa del control optimosingular, que permite imponer la altitud y la velocidad con la que se empieza y con la que setermina. Mientras que mediante calculo variacional se empieza y termina en la misma curva.


En todas las figuras en las que hay un cambio de tendencia con |∆w|, este se produce a altitudessimilares para los dos tipos de polar de avion analizadas.

Es importante destacar que las curvas de C∗L correspondientes a polar compresible estan a lo largo detoda la trayectoria por encima de sus respectivas curvas con polar incompresible. Hecho contrario alobtenido en M∗,V ∗,CAS∗ para los cuales estan por encima las curvas de polar incompresible.Bajo la influencia de wind-shear C∗L,M∗,V ∗,CAS∗ presentan las curvas con TW por un lado paraambas polares, mientras que las que tienen HW aparecen por otro.Una ultima consideracion general para C∗L,M∗,V ∗,CAS∗ es que a 3 Km los resultados entre ambaspolares son mas proximos, mientras que los resultados se alejan en mayor medida en la zona de latrayectoria en la que mas se pronuncia la curvatura de las graficas para polar compresible, ya que lasgraficas correspondientes a polar parabolica de coeficientes constantes son practicamente rectas.

Figura 6.33: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.

El coeficiente de sustentacion para polar compresible sufre mayores variaciones con la altitud quepara polar incompresible.



Figura 6.34: C∗L(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.

Figura 6.35: M∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.



Figura 6.36: M∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.

Figura 6.37: V ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.



Figura 6.38: V ∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.

Figura 6.39: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible en lıneadiscontinua.



Figura 6.40: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.

Los angulos de trayectoria hallados para polar compresible tienen valores superiores que loscorrespondientes a polar incompresible. Es mas, en general la polar compresible esta por encimahaya un viento de cara o un viento de cola. Por otro lado, para polar incompresible elcomportamiento de γ∗(h) es el de decrecer a menores altiudes durante toda la trayectoria, sinembargo para polar compresible existe un maximo poco despues del inicio del planeo en caso deausencia de wind-shear, o cuando este esta presente y hay vientos de cara.



Figura 6.41: γ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms ,TW w = 25ms ,HW w = −25ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible enlınea discontinua.

Figura 6.42: γ∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Polar incompresible en lınea conti-nua, polar compresible en lınea discontinua.



Con la polar compresible se logran mayores valores de las variables globales que los resultadoscorrespondientes que se consiguen con polar incompresible. Se va a indicar el maximo y el mınimoincremento que hay para cada una de las figuras a continuacion.

Figura 6.43: Alcance maximo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polarincompresible en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.



s ; |∆w| = 15 ms

HW: maximo incremento de un 8,946 % para w = −25 ms ; |∆w| = 0 m


s ; |∆w| = 25 ms



Figura 6.44: Alcance maximo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Polar incompresible en lıneacontinua, polar compresible en lınea discontinua.

Maximo incremento de un 9,116 % para w = 0 ms ; |∆w| = 0 m

sMınimo incremento de un 8,946 % para w = −25 m

s ; |∆w| = 0 ms



Figura 6.45: Tiempo de vuelo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Polarincompresible en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.



s ; |∆w| = 0 ms



s ; |∆w| = 25 ms



Figura 6.46: Tiempo de vuelo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Polar incompresible en lıneacontinua, polar compresible en lınea discontinua.

Maximo incremento de un 12,379 % para w = −25 ms ; |∆w| = 0 m


s ; |∆w| = 0 ms

Finalmente, mencionar que para polar compresible todas las figuras siguen la misma tendencia con wy |∆w| que la que tienen con polar parabolica de coeficientes constantes.

En las siguientes dos figuras de comparacion del perfil de vuelo resulta evidente que para una altituddada la distancia horizontal recorrida que proporciona la polar compresible es mayor que lacorrespondiente de polar incompresibe con las mismas condiciones de viento.



Figura 6.47: Comparacion del perfil de vuelo sin wind-shear con w = −25, 0, 25 ms .Polar incompresible

en lınea continua, polar compresible en lınea discontinua.



s ; ∆w = 0,−15,−25 ms . Polar incompresible en lınea continua, polar compresible en lınea

discontinua.


Capıtulo 7

Comparacion de planeo no estacionariocon planeo estacionario con viento.

En primer lugar cabe resaltar una serie de caracterısticas comunes encontradas para las dos polaresdel avion analizadas.

Para vuelo con TW, en las curvas C∗L,M∗,V ∗,V ∗e / CAS∗ bajo la influencia del wind-shear, paraplaneo no estacionario se invierte la tendencia con |∆w|, mientras que esto no sucede en planeoestacionario .

Para vuelo con HW, en las curvas C∗L,M∗,V ∗,V ∗e / CAS∗ bajo la influencia del wind-shear, paraplaneo no estacionario se invierte la tendencia con |∆w| a menos altitud de la que ocurre enplaneo estacionario.

Las curvas C∗L,M∗,V ∗,V ∗e / CAS∗ bajo la influencia del wind-shear, a altitudes elevadas sonmas sensibles ante variaciones de |∆w| en planeo no estacionario que en planeo estacionario;mientras que a bajas altitudes estas curvas son mas sensibles ante variaciones de |∆w| enplaneo estacionario que en planeo no estacionario.

Las curvas C∗L,M∗,V ∗,V ∗e / CAS∗ en ausencia de wind-shear, son ligeramente mas sensiblesante variaciones de w en el planeo estacionario que en planeo no estacionario. De cualquierforma, las curvas son bastante similares.

Para el angulo de trayectoria y las variables globales aparece una mayor discrepancia en losresultados, por lo que seran analizados con mayor profundidad en las dos secciones siguientes.

135

CAPITULO 7. COMPARACION DE PLANEO NO ESTACIONARIO CON PLANEOESTACIONARIO CON VIENTO. 136


Figura 7.1: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . .Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.2: C∗L(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.3: M∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.4: M∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.5: V ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.6: V ∗(h) para distintas condiciones de viento, w = −25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms, |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.7: V ∗e (h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.8: V ∗e (h) para distintas condiciones de viento, w = −25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms, |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.9: γ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.10: γ∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



El angulo de trayectoria en planeo no estacionario disminuye ligeramente conforme avanza el planeo,mientras que permanece practicamente constante en planeo estacionario. Los resultados se acercanen mayor medida para menores altitudes, aunque durante todo el vuelo el angulo de trayectoria enplaneo no estacionario esta por encima del que se obtiene en planeo estacionario.Se observa que el angulo de trayectoria es mas sensible ante variaciones de |∆w| que a variaciones dew.

Las variables globales alcanzan mayores valores en planeo no estacionario que los correspondientes enplaneo estacionario. Ası pues, se va a indicar el incremento maximo y mınimo que existe para cadauna de las figuras siguientes.

Figura 7.11: Alcance maximo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeoestacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



s ; |∆w| = 25 ms



s ; |∆w| = 0 ms



Figura 7.12: Alcance maximo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Planeo estacionario en lıneadiscontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



s ; |∆w| = 0 ms

Figura 7.13: Tiempo de vuelo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeoestacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.





s ; |∆w| = 25 ms



s ; |∆w| = 0 ms

Figura 7.14: Tiempo de vuelo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Planeo estacionario en lıneadiscontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



s ; |∆w| = 0 ms

En las siguientes dos figuras del perfil de vuelo, se cumple el hecho de que para las mismascondiciones de viento, a una altitud dada, con el planeo no estacionario se recorre mas distanciahorizontal que con el planeo estacionario.



Figura 7.15: Comparacion del perfil de vuelo sin wind-shear con w = −25, 0, 25ms . Planeo no estacio-nario en lınea continua, planeo estacionario en lınea discontinua.


s y con viento de caraw = −25ms ; ∆w = 0,−15,−25 m

s . Planeo no estacionario en lınea continua, planeo estacionario enlınea discontinua .




Figura 7.17: C∗L(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . .Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.18: C∗L(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.19: M∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.20: M∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.21: V ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.22: V ∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.23: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w =25ms ,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lıneacontinua.

Figura 7.24: CAS∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



Figura 7.25: γ∗(h) para distintas condiciones de viento,|∆w| = 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , TW w = 25ms,HW w = −25ms . Planeo estacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.

Figura 7.26: γ∗(h) para distintas condiciones de viento, w =−25,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, 25ms , |∆w| = 0ms . Planeo estacionario en lınea discon-tinua, planeo no estacionario en lınea continua.



γ∗(h) en planeo estacionario aumenta ligeramente a lo largo de la trayectoria, mientras que disminuyeen planeo no estacionario a partir del maximo que se alcanza a altas altitudes. Los resultados seacercan en mayor medida para menores altitudes, aunque durante todo el vuelo el angulo detrayectoria en planeo no estacionario esta por encima del que se obtiene en planeo estacionario.

γ∗(h) es menos sensible ante modificaciones del viento medio que ante variaciones de wind-shear.

Por otro lado, cabe destacar que las curvas de las variables globales que estan siempre por encimacorresponden al planeo no estacionario. Para cada una de las siguientes graficas se especıfica elincremento maximo y mınimo sobre las respectivas curvas de planeo estacionario.

Figura 7.27: Alcance maximo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeoestacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



s ; |∆w| = 25 ms



s ; |∆w| = 0 ms



Figura 7.28: Alcance maximo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Planeo estacionario en lıneadiscontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



s ; |∆w| = 0 ms

Figura 7.29: Tiempo de vuelo en funcion del wind-shear para viento de cara y viento de cola. Planeoestacionario en lınea discontinua, planeo no estacionario en lınea continua.





s ; |∆w| = 25 ms



s ; |∆w| = 0 ms

Figura 7.30: Tiempo de vuelo en funcion del viento medio con |∆w| = 0. Planeo estacionario en lıneadiscontinua, planeo no estacionario en lınea continua.



s ; |∆w| = 0 ms

Resulta interesante senalar que las diferencias obtenidas entre las curvas de planeo estacionario yplaneo no estacionario son mayores que las diferencias entre las curvas comparativas de polarcompresible y polar incompresible.

Los siguientes perfiles de vuelo muestran que al fijar una altitud y las mismas condiciones de vientoen planeo no estacionario que en planeo estacionario, con el primero se recorre una mayor distanciahorizontal que con este ultimo.



Figura 7.31: Comparacion del perfil de vuelo sin wind-shear con w = −25, 0, 25ms . Planeo no estacio-nario en lınea continua, planeo estacionario en lınea discontinua.


s y con viento de caraw = −25ms ; ∆w = 0,−15,−25 m

s . Planeo no estacionario en lınea continua, planeo estacionario enlınea discontinua .


Parte III

Resumen y conclusiones.

155

Capıtulo 8

Resumen de resultados.

8.1. Planeo sin viento.

En el camino a recorrer durante el problema de optimizacion, se presentan unas disyuntivassimplificativas de gran repercusion en el resultado buscado, el cual consiste en el hallazgo de la leyoptima de vuelo que maximiza el alcance. Estas distintas opciones han sido el objeto de analisis delos capıtulos anteriores, argumentando pues las siguientes conclusiones:

Sea un peso de la aeronave dado, las variables globales asociadas a la polar parabolica enfuncion del coeficiente de sustentacion y del numero de Mach presentan valores superiores quelas correspondientes a polar parabolica de coeficientes constantes. Esto sucede tanto si el planeoes estacionario como si no lo es.

Sea un peso de la aeronave dado, las variables globales proporcionadas por el planeo noestacionario superan en magnitud a las pertinentes en el planeo estacionario. Esto ocurre conindependencia de la polar del avion utilizada.

Por tanto, el mayor alcance maximo se tiene para polar compresible y planeo no estacionario,resultando ser Rmax = 161,133 km con W = 1400 kN . Para ese mismo peso, el menor valor delalcance maximo Rmax = 124,273 km se recoge efectivamente en el planeo estacionario para la polarparabolica de coeficientes constantes, tal y como muestra la tabla comparativa siguiente, en la que elmodelo mas pobre es en torno a un 77 % el valor del modelo mas completo

157

CAPITULO 8. RESUMEN DE RESULTADOS. 158

Figura 8.1: Tabla comparativa de alcances maximos.

En la figura anterior, aparece en rojo la relacion porcentual que guardan las celdas unidas por unamisma flecha. Ası por ejemplo, el alcance maximo para un peso de 1400 kN y polar compresible enplaneo estacionario resulta ser un 84,55 % del Rmax correspondiente a polar compresible en planeono estacionario. Analogamente, el alcance maximo para un peso de 1400 kN y polar incompresible enplaneo no estacionario resulta ser un 92,77 % del Rmax correspondiente a polar compresible enplaneo no estacionario. De modo que, tras el analisis de todas las casuısticas de la figura, se extraeque los valores referentes a polar incompresible son en media un 91,53 % de sus respectivos valorescorrespondientes para polar compresible. De igual forma, los valores referentes a planeo estacionarioson en media un 84,71 % de sus respectivos valores correspondientes en planeo no estacionario.Esta ultima diferencia media del 15,29 % es razon mas que suficiente para aducir que el hecho dedespreciar la aceleracion tangencial conlleva un impacto en el resultado mas significativo que elhecho de despreciar los efectos de compresibilidad, que solo producen una diferencia media del8,47 % respecto al resultado correspondiente de polar compresible. La razon fundamental radica enque unicamente se registran M superiores a 0.6 en menos de la mitad de la trayectoria, por lo queaunque la polar parabolica de coeficientes constantes proporcione peores resultados, no da lugar avalores disparatados.Las conclusiones del parrafo anterior quedan respaldadas gracias a los similares resultadosporcentuales indicados en la siguiente tabla comparativa de los tiempos de vuelo asociados.

8.1. PLANEO SIN VIENTO.


Figura 8.2: Tabla comparativa de tiempos de vuelo.

Tambien resulta interesante destacar que el tiempo de vuelo muestra siempre una tendenciadecreciente con el peso de la aeronave, incluso cuando el alcance maximo aumente con dicho peso. Lasimple razon por la que se recorren mayores distancias en menos tiempo es, obviamente, porque lascurvas de velocidad se desplazan hacia arriba para un mayor peso, tal y como se puede apreciar entodas las figuras que representan V ∗(h).

Por otro lado, como se dedujo en los capıtulos para planeo estacionario y no estacionario:

Rmax =

∫ R

0dr =

∫ hf

hi

dh

γ∗(h)(8.1)

Lo cual resulta ser una expresion simple al mismo tiempo que informativa, pues permite conocer deantemano las tendencias del alcance maximo con el peso de la aeronave, con solo analizar elcomportamiento del valor absoluto de γ∗(h) ante una variacion de W. Ası por ejemplo, tal y como severifica en los resultados obtenidos, si las curvas de γ∗(h) se desplazan hacia mayores valoresabsolutos cuando mayor es el peso, el Rmax tiene una tendencia decreciente con el W. En el casocontrario, es decir, cuando las curvas de γ∗(h) se desplazan hacia menores valores absolutos conformeaumenta el peso, se tendra una tendencia creciente del Rmax con W. Como caso particular, cuandoγ∗(h) es una constante independiente del peso y de la altitud de vuelo, el Rmax tambien es constante.

8.1. PLANEO SIN VIENTO.


En cualquier caso, el efecto del peso de la aeronave no juega el mismo papel en todos los resultados,pues su influencia en el alcance maximo es muy inferior a su influencia en el tiempo de vuelo.

8.2. Planeo con viento.

Hay una serie de comportamientos comunes para los dos tipos de polar de avion estudiadas, ası comopara cuando se consideran los efectos no estacionarios y para cuando estos no estan presentes:

Tal y como era de esperar, con viento de cola las variables globales siempre alcanzan valoressuperiores a los obtenidos en el planeo sin viento, los cuales son a su vez mayores que losvalores de las variables globales que se tienen con viento de cara.

Para un vuelo de planeo en ausencia de ∆w, las variables globales aumentan conforme lo haceel viento medio.

Para un vuelo de planeo con un w dado, las variables globales aumentan conforme lo hace elwind-shear.

El alcance maximo es mas sensible ante cambios de w y |∆w| de lo que es el tiempo de vuelo.

El alcance maximo es mas sensible ante cambios de w en ausencia de wind-shear, de lo quees ante cambios de wind-shear para un viento medio dado.

El tiempo de vuelo y el angulo de trayectoria son mas sensible ante cambios de |∆w| paraun viento medio dado, de lo que son ante cambios de w en ausencia de wind-shear.

Es decir, que de los dos ultimos puntos se extrae que unas veces el efecto del viento medio es loque tiene mayor influencia en los resultados, mientras que otras veces las variaciones masacusadas son debidas a la presencia del wind-shear.

Por otro lado, la eleccion del tipo de polar o de si se tienen en cuenta o no los efectos noestacionarios, tiene las mismas repercusiones que en el planeo sin viento. Es decir, para unascondiciones de viento dadas, continua el mismo orden indicado en la siguiente lista, desde losmenores hasta los mayores valores de las variables globales:

Planeo estacionario con polar incompresible.

Planeo estacionario con polar compresible.

Planeo no estacionario con polar incompresible.

Planeo no estacionario con polar compresible.

Sin embargo, en una comparativa en la que las condiciones de viento no sean las mismas para cadacaso, puede darse el hecho de que, por ejemplo, un planeo estacionario con polar compresible tengaun mayor valor en las variables globales que un planeo no estacionario con polar compresible, tal ycomo se muestra en las siguientes tablas que resumen los resultados.

8.2. PLANEO CON VIENTO.


Figura 8.3: Tabla resumen de alcance maximo con distintas condiciones de viento. w = −25, 0, 25 ms ,

∆w = −25, 0, 25 ms .

Figura 8.4: Tabla resumen de tiempo de vuelo con distintas condiciones de viento. w = −25, 0, 25 ms ,

∆w = −25, 0, 25 ms



Las tablas anteriores estan ordenadas acorde a la ultima columna, que presenta las variables globalesde menor a mayor valor con un degradado de rojo a azul. En el resto de la tabla no se sigue la mismaescala de colores, sino que cada una de las combinaciones posibles entre las dos primeras columnasestan rellenas del mismo color. De esta forma, al elegir un color para las dos primeras columnaspuede sacarse en claro el papel que el viento ejerce. Por ejemplo, si se hace un analisis sujeto a lacondicion de mantener el color rojo en las dos primeras columnas, se obtiene que el orden en el queaumentan las variables globales es:

w = −25 ms ; ∆w = −25 m

s

w = −25 ms ; ∆w = 0 m

s

w = 0 ms ; ∆w = 0 m

s

w = 25 ms ; ∆w = 0 m

s

w = 25 ms ; ∆w = 25 m

s

Esta secuencia coincide con la que se obtiene al fijar cualquier otro color en las dos primerascolumnas.

Por lo tanto, resulta de interes hacer una recopilacion ,tanto para el caso estudiado mas completocomo para el que se asumen las hipotesis mas simplificativas, que recoja los resultados con vientomas favorable y desfavorable, ası como en ausencia de viento. De esta manera, se identifica acontinuacion el nivel en el que las diferentes casuısticas afectan a los resultados.

Figura 8.5: Tabla comparativa de alcances maximo

Figura 8.6: Tabla comparativa de tiempos de vuelo

Se extraen los siguientes puntos:



Los resultados en ausencia de viento tienen una menor disminucion respecto a los resultadosextremos con viento de cola, de la que los resultados extremos con viento de cara tienenrespecto a los resultados en ausencia de viento.

El tiempo de vuelo es menos sensible ante variaciones de viento de lo que es el alcance maximo.

Para unas condiciones de viento dadas, la disminucion del tiempo de vuelo para planeoestacionario con polar incompresible respecto del planeo no estacionario con polar compresiblees ligeramente superior a la que sufre el alcance maximo.

La disminucion de las variables globales para planeo estacionario con polar incompresiblerespecto de planeo no estacionario con polar compresible es menor en el caso extremo conviento de cola que en el de ausencia de viento,y en este a su vez la disminucion es menor que enel caso extremo con viento de cara.

Ası pues, todas las consideraciones expuestas en este capıtulo han de ser tenidas en cuenta a la horade interpretar que, entre los casos mas extremos, el alcance maximo casi duplique su propio valor .No obstante, el problema variacional presenta un cierto defecto, y es que todas las comparacionesrealizadas del alcance maximo y del tiempo de vuelo han empezado y terminado para puntos de Vi yVf distintos. A pesar de que las condiciones iniciales y finales no sean las mismas entre los casos quese han comparado, esto suele influir muy poco, por lo que no deben ponerse en duda las afirmacioneshechas acerca de que modelo es mejor que otro, aunque sı tener presente la limitacion del metodo.


Capıtulo 9

Conclusiones y trabajo futuro.

Se ha llevado a buen termino el objeto asignado a este proyecto, esto es, comparar los distintosmodelos a la hora de estudiar un planeo. Pues se ha puesto de manifiesto que las simplificacionesafectan a los resultados. De este analisis se concluye que conforme mejora el modelo mayor es elalcance obtenido. De modo que la siguiente numeracion va desde el modelo mas pobre hasta elmodelo mas completo:

Planeo estacionario con polar incompresible.

Planeo estacionario con polar compresible.

Planeo no estacionario con polar incompresible.

Planeo no estacionario con polar compresible.

Cabe puntualizar que el hecho de despreciar la aceleracion tangencial conlleva un impacto en elresultado mas significativo de lo que supone despreciar los efectos de compresibilidad, aunque porsupuesto siempre sera mejor cuanto mas completo sea el modelo.

El objetivo del proyecto tambien incluıa demostrar la importancia del viento en el planeo mediantecalculo variacional. Ası, se ha visto que no solo el viento medio tiene un efecto importante, sino queademas el wind-shear contribuye como un factor clave. De tal forma que las condiciones de vientosegun el orden en el que aumentan las variables globales son:

w = −25 ms ; ∆w = −25 m

s

w = −25 ms ; ∆w = 0 m

s

w = 0 ms ; ∆w = 0 m

s

w = 25 ms ; ∆w = 0 m

s

w = 25 ms ; ∆w = 25 m

s

Los valores numericos anteriores concretos carecen de relevancia, la unica mision que se pretende conellos es que sirvan de ayuda para ilustrar que los vientos de cola contribuyen mas favorablemente alalcance de lo que lo hace la ausencia de viento, a su vez la ausencia de viento tiene un impactofavorable en el alcance respecto al que tienen los vientos de cara. El wind-shear potencia los efectostanto del viento de cola como del viento de cara.

165

CAPITULO 9. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO. 166

En este proyecto se ha hecho la hipotesis de que la aceleracion normal a la trayectoria esdespreciable: dγ

dt ≈ 0, pero en caso de no haber sido ası los resultados habrıan sido algo mas precisos,de la misma forma que han ido mejorando conforme se completaba el modelo a lo largo del proyecto.Para justificar la hipotesis de despreciar γ se analiza la ecuacion en el caso general

mVdγ

dt= mwsinγ + L−mgcosγ (9.1)

De tal forma que hay que comprobar que el cociente de aceleraciones mV γmg queda un numero muy

pequeno. Al ser γ = dγdh

dhdt = dγ

dhV γ ,el cociente queda

γV 2∆γ

g∆h(9.2)

De modo que cogiendo unos valores tıpicos puede realizarse un sencillo calculo. No obstante, paraque resulte mas ilustrativo, a continuacion se representa graficamente la variacion del cociente deaceleraciones a lo largo de la trayectoria para el modelo mas completo, esto es, planeo noestacionario con polar compresible. Para un peso de la aeronave de W = 1200 kN , la lınea continuacorresponde al planeo sin viento, mientras que la lınea discontinua pertenece al viento de cara masdesfavorable considerado en el proyecto. De cualquier forma, con solo observar que el eje deordenadas es del orden de 10−4 queda mas que justificada la validez de suponer la aceleracion normala la trayectoria despreciable.

Figura 9.1: Cociente de aceleraciones para planeo no estacionario compresible. w = 0ms |∆w| = 0ms(lınea continua) ;HW w = −25ms ∆w = −25ms (lınea discontinua).

Finalmente mencionar que los valores mınimos de la velocidad optima, representada para cada caso,se han comprobado que siempre estan por encima de la velocidad de entrada en perdida (Stall speed)

CAPITULO 9. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO. 167

que se obtiene de:

Vs =

√2W

ρ(h)SCLmax(9.3)

Donde CLmax depende de la configuracion aerodinamica del avion(despegue, aterrizaje, configuracionlimpia). En despegue y aterrizaje, al ser las velocidades menores,para compensar el peso se usandispositivos hipersustentadores que aumentan CLmax , retrasando la perdida. En configuracion limpia,segun los datos de BOEING 767-200/300ER FLIGHT OPERATIONS MANUAL[7], Vs = 158kts = 81,28 m

s .Por lo que efectivamente no se entra en perdida. 1

En vista de todo esto, lo que se propone para continuar con este trabajo es estudiar como influye elmodelo dinamico, o incluso el modelo de avion, en los resultados para otras fases de vuelo como porejemplo subidas o cruceros.

1La entrada en perdida ocurre ante un desprendimiento del flujo de aire en el ala, tal que esta no puede producir lasustentacion necesaria para volar,con la inminente perdida de altitud.

Apendices

169

Apendice A

Modelo de aeronave

En este apendice se presenta el modelo de aeronave empleado a lo largo del proyecto para lasaplicaciones numericas. Representa un modelo tıpico de aeronave civil de pasajeros de fuselaje anchoy dos motores, que opera en regimen subsonico pero a numeros de Mach elevados donde sonimportantes los efectos de compresibilidad.

En particular se ha escogido el Boeing 767-300ER, algunas caracterısticas se presentan en la tablaA.1:

Superficie alar de referencia, S [m2] 283.3

Peso maximo al despegue, WTO[N] 1832666

Peso maximo de combustible [N] 722112

Tabla A.1: Caracterısticas del Boeing 767-300ER

A.1. Modelo aerodinamico

El modelo aerodinamico define la polar parabolica CD = CD(CL,M), que proporciona el coeficientede resistencia aerodinamica en funcion del coeficiente de sustentacion y del numero de Mach. Tieneen cuenta, por tanto, los efectos de compresibilidad, aunque se desprecian los asociados al numero deReynolds y a la variacion del centro de gravedad de la aeronave. Se considera la polar parabolicapropuesta por Cavcar [8] :

CD(M,CL) =

(CD0,i +

5∑j=1

k0jHj(M)

)+

(CD1,i +

5∑j=1

k1jHj(M)

)CL +

(CD2,i +

5∑j=1

k2jHj(M)

)C2L (A.1)

donde

H(M) =(M − 0,4)2√

1−M2(A.2)

Los coeficientes de la polar parabolica incompresible valen: CD0,i = 0,01322, CD1,i = −0,00610 yCD2,i = 0,06000. Los coeficientes de la polar parabolica compresible estan dados en la tabla A.2. Estapolar es valida para M ≥ 0,4; para M ≤ 0,4 se aplica la polar parabolica incompresible, que seobtiene haciendo H = 0 en la ecuacion (A.1).

171

APENDICE A. MODELO DE AERONAVE 172

j 1 2 3 4 5

k0j 0.0067 -0.1861 2.2420 -6.4350 6.3428k1j 0.0962 -0.7602 -1.2870 3.7925 -2.7672k2j -0.1317 1.3427 -1.2839 5.0164 0.0000

Tabla A.2: Coeficientes de polar parabolica compresible

A.1. MODELO AERODINAMICO

Apendice B

Modelo de atmosfera.

En este proyecto se ha considerado el modelo de atmosfera estandar internacional, o lo que es lomismo, modelo ISA (International Standard Atmosphere). De modo que para proporcionar latemperatura, la presion y la densidad del aire en funcion de la altitud se realiza la hipotesis deconsiderar el aire como un gas perfecto.

B.1. Troposfera

Esta region se extiende para 0 < h < h11, siendo h11 = 11000 m la altitud de la tropopausa. Se tiene:

θ = θ0 − αTh (B.1)

p = p0

(1− αTh

θ0

) gRaαT

(B.2)

ρ = ρ0

(1− αTh

θ0

) gRaαT

−1

(B.3)

Donde g = 9,80665 ms2

, αT = 6,5 10−3 Km y Ra = 287,05 J

kgK .

Ademas, a nivel del mar θ0 = 288,15 K, p0 = 1,01325 105 Nm2 y ρ0 = 1,225 kg

m3

B.2. Estratosfera

Para h > h11 se tiene:

θ = θ11 (B.4)

p = p11exp

(−g(h− h11)

Raθ11

)(B.5)

ρ = ρ11exp

(−g(h− h11)

Raθ11

)(B.6)

En la tropopausa θ11 = 216,65 K, p11 = 0,22632 105 Nm2 y ρ11 = 0,3639 kg

m3

173

Bibliografıa

[1] Rivas, D., O. Lopez-Garcıa, S. Esteban y E. Gallo: An Analysis of Maximum Range CruiseIncluding Wind Effects. Aerospace Science and Technology, 14:38-48, 2010.

[2] A.Bernad y D.Rivas: Analisis del vuelo de crucero de mınimo coste de aviones comerciales.

[3] Franco, A.,Rivas, D., and Valenzuela, A.,:Optimization of Unpowered Descents of CommercialAircraft in Altitude-Dependent Winds. Journal of Aircraft, Vol.49, No.5, 2012

[4] Valenzuela, A., Perez-Saborid, M., and Rivas, D. : Aircraft Trajectory Optimization UsingParametric Optimization Theory. Universidad de Sevilla, 2012

[5] D.Rivas: Apuntes de mecanica del vuelo.

[6] Boeing Commercial Airplanes: 767 Airplane Characteristics for Airport Planning . Septiembre2005. Disponible en la Web:http://www.boeing.com/assets/pdf/commercial/airports/acaps/767.pdf

[7] Flying Tigers Fleet Operations Department Boeing 767-200/300ER Operations Manual.Edition: FS2002 Boeing 767− 200/300ER. Effective: February 12, 2003.Copyright: The FlyingTigers Group

[8] Cavcar, A. y M. Cavcar: Approximate solutions of range for constant altitude - constant highsubsonic speed flight of transport aircraft. Aerospace Science and Technology, 8:557-567, 2004.

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