INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO

“IUPSM”

METODO DE LAGRANGE,MATRIZ JACOBIANA Y CONDICIONES

DE KUHN TUCKER

Realizado por:Betty Bolaños

Ing. De Sistemas

Porlamar, noviembre 2014

METODO LAGRANGEEjemplo1: Encontrar los valores máximos y mínimos de la función f(x,y)= 4xy sujeto a la restricción

Entonces g(x,y) = 1, Resolviendo en forma grafica seria:

Grafica con intersección seria K=24.4

donde se intersecta de forma positiva

METODO LAGRANGE

Ejemplo2 : utilizando el sistema de ecuaciones Max f( x, y) = 4xy ------------->

Derivada parcial de f con respecto a x 4y ------------->

Derivada parcial de f con respecto a y= 4x ------------->

Tiene que cumplir la restricción------------->

Despejando landa ----------------->

METODO LAGRANGE

Si se sustituye -------------> Quedaría así------------->

Se suma --------> Se encuentran dos soluciones

Solución seria -------->

24 24

METODO LAGRANGE

MATRIZ JACOBIANAEjemplo: hallar la matriz jacobiana de f:IR2

Se tiene dos funciones que son las siguientes

f=(1,2)

Se calcula la matriz jacobiana de

Resultado seria

CONDICIONES DE KUHN TUCKER

Representación matemática de las condiciones necesarias de Karush Kuhn Tucker que ayudan a satisfacer los óptimos de problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad.

Considere el problema de optimización

Sujeto a

CONDICIONES DE KUHN TUCKERTeorema I:Suponga una formulación para el problema anterior de minimización. Si x0= (a1,a2,…an) es un optimo, entonces deben existir reales llamados multiplicadores ʎ1 , ʎ2 , ……ʎm no negativos, tales que (a1,a2,…an , ʎ1…..ʎm) es un punto critico para F.

CONDICIONES DE KUHN TUCKERSi el problema de maximización para su solución se cambia a un problema de minimización para –f(x). En este caso la función F queda en la forma:

Teorema II:Suponga una formulación para el problema anterior en el caso de maximización. Si x0 = es un optimo, entonces deben existir números reales llamados multiplicadores ʎ1 , ʎ2 ,….. ʎm no negativos tales que (a1,a2,…an , ʎ1…..ʎm) es un punto critico para F. Es decir, que se cumple:Bloque I bloque II bloque III

CONDICIONES DE KUHN TUCKER

En la tabla vemos que solo el ultimo reglón tiene valores de los multiplicadores no negativos. Por tanto el mínimo valor de f(x1,x2) lo alcanza en P(0,2) y es 1.

CONDICIONES DE KUHN TUCKER

• Primero se cambia las restricciones a la forma gi < 0:

• Se resuelve el problema de minimización primeramente. En este caso las condiciones son:

CONDICIONES DE KUHN TUCKER