Optimizacin de parmetros de flujo en formaciones geolgicamente fracturadas.

Leonardo David Donado1, Nadir Bashir Yaver-Orjuela1

(1) Grupo de Investigacin en Recursos hidrulico, Universidad Nacional de Colombia, Bogot, Colombia (lddonadog@bt.unal.edu.co, nbyavero@unal.edu.co).

RESUMEN:

El entendimiento del flujo de agua en medios fracturados es un problema muy complejo, este tipo de rocas

tiene un gigantesco nmero de fracturas con propiedades desconocidas, razn por la cual estos medios son

modelados en un marco estocstico. Una de los mtodos para la modelacin de los macizos fracturados es la

aproximacin por redes de fracturas discretas (DFN) donde las fracturas son modeladas por medio de funcio-

nes de densidad de probabilidad [e.g., Donado, 2009]. Se usaron pruebas hidrulicas, que fueron realizadas en

el sitio el Berrocal (Centro de Espaa), cinco familias geolgicas fueron identificadas en este macizo. Cuatro

algoritmos de optimizacin fueron utilizados para representar las pruebas, (i) Simulaciones de Monte Carlo,

(ii) Mtodo de mxima verosimilitud, (iii) SCE-UA, [Holland, 1975]. Y (iv) PSO. Como resultado se obtuvo

una representacin del sistema que modelo los procesos de flujo en la formacin objeto de estudio y se sugie-

re una metodologa para abordar este tipo de casos.

PALABRAS CLAVE:

Optimizacin, Estocstico, Funciones de densidad de probabilidad, Medios fracturados, redes de fracturas discretas.

ABSTRACT:

The understanding of groundwater flow in fractured media is a very complex, these types of rocks have a

gigantic number of fractures with unknown properties, reason why these media are modeled in a stochastic

framework. One of the methods for the modeling of fracture massif is the Discrete Fracture Network (DFN)

approach where fractures are modeled by means of probability density functions [e.g., Donado, 2009]. We use

hydraulic tests, which were realized, in El Berrocal Site (center Spain), five families of fractures were defined

in this massif. Four algorithms of optimization were used to represent the tests, (i) Monte Carlo simulations,

(ii) Maximum likelihood, (iii) SCE-EA, [Holland, 1975]. And (iv) PSO, The result was a representa-

tion of the model system flow processes in order to study the formation and suggests a methodolo-

gy to address such cases.

KEYWORDS:

Optimization, stochastic, function de distribution de probability, fracture media, discrete fractures network.

1 INRODUCCIN

En general todos los procesos en medios fractu-

rados pueden ser modelados desde una serie de en-

foques que se pueden ser clasificados en tres (3)

grupos dependiendo del grado de heterogeneidad

[Committee on Fracture Characterization and Fluid

Flow, 1996; Molinero, 2001; Wang, et al., 2008]:

medio poroso equivalente (EPM), medio poroso

embebido con fracturas (aproximacin mixta), y las

redes de fracturas discretas (DFN). Todas estas

aproximaciones han sido ampliamente aplicadas pa-

ra el problema de evaluacin y migracin de conta-

minantes.

El mtodo de las DFN es una aproximacin espa-

cial discreta que considera el flujo en macizos roco-

sos fracturados mediante un sistema de fracturas co-

nectadas. Por esta razn, es necesario crear un

conjunto de fracturas que se intersecten, lo cual re-

presenta en trminos cuantitativos las diferentes fa-

milias registradas dentro del dominio tridimensional.

Desde este punto de vista se hace importante la ca-

racterizacin geolgica, geomtrica e hidrulica de

estas fracturas [Hudson, et al., 1980; Long, et al.,

1982; Long, et al., 1987].

2 GENERACIN DE LA RED DE FRACTURAS DISCRETAS

La generacin de la red es iniciada por medio de

una distribucin espacial de Poisson que localiza de

forma aleatoria los nodos, al tiempo que respeta los

lmites de densidad volumtrica de nodos en un do-

minio cubico. Entonces para un determinado umbral

de flujo, aumenta el nmero de nodos con la desvia-

cin estndar de la distribucin de la conductividad.

3 FLUJO EN MEDIOS FRACTURADOS

Una vez que la DFN ha sido creada, el siguiente

paso corresponde en convertirla en una malla que

pueda ser representada por un cdigo. Se adopta

aqu una metodologa de conceptualizacin de flujo

en una red de fracturas, como la de una red de cana-

les interconectados. La metodologa que se utiliza es

una modificacin del modelo de canal desarrollado

por [Cacas, et al., 1990]. El punto inicial es encon-

trar las fracturas conductivas (un conjunto de toda la

red), esta red est formada por grupos de fracturas

que estn fsicamente interconectadas y solo conec-

tadas hidrulicamente por los lmites, tal que sean

capaces de conducir agua.

La creacin de la grilla de elementos 1-D (cana-

les) es desarrollada en tres (3) etapas.

Dos (2) discos que se intersectan son conectados

por dos (2) segmentos. Cada uno tiene un final (no-

do) localizado en el centro del disco. Estos dos (2)

puntos son conectados por la definicin de un nodo

adicional, localizado en la interseccin de las fractu-

ras.

El paso anterior se repite para todos los disco que

se intersectan a lo largo de reas que se interconec-

tan, (Ver Figura 1).

Dado que desde el paso uno (1) se deduce que

cada elemento generado puede ser asociado a una

fractura particular, por lo que es posible transferir

propiedades de las fracturas a los elementos. Estas

propiedades no solo incluyen parmetros hidruli-

cos, sino tambin el hecho de que cada elemento

puede estar asociado a una de las familias de fractu-

ras.

Figura 1 Red conductiva interfracturas propuesta en HIDROBAT

[Vives, et al., 2004].

4 ZONA DE ESTUDIO

El proyecto Berrocal es un estudio internacional

con el objetivo de entender y modelar los procesos

de migracin que han controlado la distribucin na-

tural de los radionucleicos en una ambiente de frac-

turas granticas. [Miller, et al., 1994]. La investiga-

cin utiliza un enfoque plenamente integrado de las

caractersticas estructurales, hidrogeolgicas y geo-

qumicas del sitio.

4.1 Prueba de bombeo Dos (2) tipos de pruebas hidrulicas fueron desa-

rrolladas en el sitio: (i) de agujero simple y (ii) prue-

bas de largas duracin [Rivas, et al., 1997]. Las pri-

meras fueron probados en pozos aislados, de ms de

veinte (20) metros en longitud, con una inyeccin de

carga constante bajo la suposicin de flujo radial en

2D . Las cargas fueron medidas en los pozos

.2, .13 .15S S y S por medio de medidores de presin

despus de largos periodos de bombeo (alrededor de

4 das) con un caudal constante de 0.1 / minL en el

pozo .2S . La distancia de los pozos de observacin

.13, .15S S al pozo de inyeccin es de 19 m y 22 m

respetivamente y se analiz un periodo de recupera-

cin de cuatro (4) das [Donado, 2009].

4.2 Problema inverso El problema inverso consiste en la estimacin de

los parmetros del modelo a partir de mediciones de

la respuesta del sistema y un apropiado conocimien-

to previo de los parmetros. Mientras que en la mo-

delacin tradicional, y en particular la modelacin

inversa, es vista como una simple rutina de un pro-

grama de cmputo, el problema en cuestin es mu-

cho ms complejo y debe ser visto bajo una perspec-

tiva ms amplia, ya que implica la interaccin de

varios pasos de los cuales la estimacin paramtrica

no es necesariamente la ms importante ni la que

consume ms tiempo.

5 MTODOS

A continuacin se presenta los mtodos imple-

mentados para realizar la modelacin de los proce-

sos de flujo en formaciones geolgicamente fractu-

radas.

5.1 Mtodo de mxima verosimilitud:

Definicin del mtodo. Sea R un conjunto de ob-

servaciones (medidas de cargas piezomtricas) y sea H una hiptesis acerca del problema fsico (parme-

tros del modelo y ecuacin de flujo). Sea ( / )f R H

la funcin de densidad de probabilidad de los datos

observados R dada una hiptesis H de acuerdo a un

modelo estadstico dado. La probabilidad de H da-

do R es definida como ( / ) ( / )L H R kf R H= , don-

de k es una constante arbitraria. Debe tenerse en

cuenta que la constante k tiene un solo valor para

todas las hiptesis, dados los mismos datos y marco

de modelo estadstico.

El cociente de probabilidad entre dos (2) hipte-

sis para algunas observaciones se define como la re-

lacin entre probabilidades. Esta se define como

2 11

2

( / )( , )( / )

H L H RL HR L H R

=.

5.2 Shuffled Complex Evolution method (SCE-UA) La filosofa detrs del SCE es tratar la bsqueda

global como un proceso natural de evolucin. Los

puntos de muestreo constituyen una poblacin. La

poblacin es fraccionada dentro de varias Subpobla-

ciones, a cada una de las cuales se les permite evo-

lucionar independientemente. Despus de cierto n-

mero de generaciones, las subpoblaciones son

forzadas a mezclarse, y nuevas subpoblaciones son

formadas a travs de procesos de mezcla. Esto pro-

cedimiento mejora la supervivencia por medio de

una intercambio de informacin ganada indepen-

dientemente por cada subpoblaciones.

5.3 Particle swarm optimization (PSO) En el PSO un nmero de entidades simples (par-

tculas) son colocadas en la bsqueda del espacio del

problema o funcin, y cada una evala la funcin

objetivo en su posicin actual. Cada partcula luego

determina su movimiento a travs del espacio de

bsqueda, por combinacin de la historia de su ac-

tual y mejor localizacin con uno o ms miembros

de su colonia, con algunas perturbaciones aleatorias.

La siguiente iteracin tiene lugar despus que todas

las partculas se han movido. Eventualmente, la co-

lonia en su conjunto, como una bandada de pjaros

en busca de alimento probablemente que se mueva

cerca del ptimo de la funcin objetivo.

5.4 Monte Carlo Analisys Tool El Monte Carlo Analysis Tool es una coleccin

de funciones de visualizacin y funciones de Matlab

integradas a travs de una interfaz grfica. El paque-

te puede ser usado para el anlisis de resultados de

muestreos experimentales o de mtodos de optimi-

zacin que estn basados en tcnicas de evolucin

de poblacin, por ejemplo algoritmo genticos

[Goldberg, 1989]. Un gran nmero de poderosas

tcnicas son incluidas en esta herramienta para in-

vestigar la estructura, sensibilidad, y la incertidum-

bre y parmetros de modelos matemticos. A pesar

de que esta herramienta ha sido desarrollada dentro

del contexto de la investigacin hidrolgica, todas

las funciones pueden ser usadas para la investiga-

cin de modelos matemticos dinmicos.

6 RESULTADOS

En la Figura 2 se observa la tendencia evolutiva

del algoritmo SCE-UA hacia el ptimo en el espacio

de bsqueda paramtrica.

Figura 2 Tendencia evolutiva del SCE-UA hacia el valor ptimo.

La elevada correlacin paramtrica en estas for-

maciones no permite la identificacin de valores p-

timos nicos, en vez de eso, se observan multiplici-

dad de los mismos (Ver Figura 3).

Figura 3 Correlacin paramtrica en el espacio de bsqueda (SCE-

UA)

Los proceso de calibracin resultaron satisfacto-

rios, la metodologas de busque global SCE-UA y

PSO fueron las que lograron los mejores resultados

(Ver Figura 4).

Figura 4 Ajustes logrados en el proceso de calibracin.

7 ESCALADO

El proceso de escalado es el ltimo paso del pre-

sente trabajo y consisti en la obtencin de parme-

tros efectivos o promedios, que representen de ma-

nera homognea o heterognea el medio. Este paso

se hizo mediante el respectivo anlisis estadstico de

cada uno de los parmetros hidrodinmicos de cada

fractura; en este caso, ya no se trabaja solamente con

el parmetro de familia, el cual es utilizado para

afectar todas la propiedades de cada fractura perte-

neciente a cada una de las familias y con ellos defi-

nir un valor nico para toda la zona geolgica.

Figura 5 Densidad de Probabilidad de parmetros efectivos de fami-

lias.

El hecho de poder representar el medio con tan

solo diez valores sin la necesidad de requerir par-

metros de familias y parmetros de fracturas, permi-

tir estudiar procesos de transporte de contaminantes

en el mismo.

8 CONCLUSIONES

Las tcnicas de optimizacin global SCE-UA y

PSO resultaron idneas para este tipo de problemas,

dada la gran versatilidad en entornos con multiplici-

dad de mnimos y superficies paramtricas comple-

jas, que es nuestro tema particular. Como propuesta

para la solucin de este tipo de casos se sugiere el

uso del SCE-UA, debido a sus bondades de ajustes,

tiempo de cmputo manejable y excelentes resulta-

dos en la convergencia.

En general la modelacin de procesos de flujo en

este tipo de formaciones es muy compleja, se deben

tener en cuenta demasiados variables que resultan

imposibles de representar dentro de un modelo ma-

temtico, todo esto sumado a la limitada informa-

cin dada la dificultad del muestreo en campo, hace

que la aplicabilidad del problema inverso sobre este

tipo de formaciones sea muy dispendiosa y deman-

dante en calculo numrico. Esta metodologa que se

propuso en el presente trabajo es sin duda la mejor

aproximacin que se puede tener en la caracteriza-

cin hidrulica en este tipo de medios.

9 BIBLIOGRAFA

Cacas, M. C., Ledoux, E., de Marsily, G., Tillie, B., Barbreau, A., Durand, E., et al. (1990). Modeling Fracture Flow With a Stochastic Discrete Fracture Network: Calibration and Validation 1. The Flow Model. Water Resour. Res , 26(3), 479489.

Committee on Fracture Characterization and

Fluid Flow, U. N. (1996). Rock Fractures and Fluid Flow: Contemporary Understanding and Applications. National Academy Press, Washington.

Donado, J. D. (2009). On multicomponent

reactive transport in porous media: From the natural complexity to analytical solutions. Ph. D. Dissertation , pp. 27-56.

Dynamic Graphics. (1992). EarthVision 2.0

User's Guide. Dynamic Graphics. Alameda, CA. ENRESA. (1996). El Berrocal Project:

characterization and validation of natural radionuclide migration processes under real conditions on the fissured granitic environment. Empresa nacional de residuos radioactivos, s.a.

Goldberg, D. E. (1989). Genetic algorithms in

search optimization and machine learning. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA .

Holland, J. H. (1975). Adaptation in Natural and

Artificial Systems, University of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan.

Holland, J. H. (1975). Adaptation in Natural and

Artificial Systems, University of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan.

Hudson, J. A., & Lapointe, P. R. (1980). Printed-

Circuits for Studying Rock Mass Permeability, Int. J. Rock Mech. Min. Sci. , 17(5), 297-301.

Long, J., & Billaux, D. M. (1987). From Field

Data to Fracture Network Modeling: An Example Incorporating Spatial Structure. Water Resour. Res. , 23(7), 12011216.

Long, J., Remer, J. S., Wilson, C. R., &

Witherspoon, P. A. (1982). Porous-Media Equivalents for Networks of Discontinuous Fractures. Water Resour. Res , 18(3), 645-658.

Miller, W. M., Rivas, P., Perez del Villar, L.,

Gomez, P., de la Cruz, B., Hernan, P., et al. (1994). The International El Berrocal Project. Fourth International Conference on the Chemistry and Migration Behaviour of ,\ctinides and Fission Products in the Geosphere, SC, USA, 12 17

December 1993. R. Otdenberg Verlag, Mtinchen. pp 805 812.

Molinero, J. (2001). Testing and validation of

numerical models of groundwater flow, solute transport and chemical reactions in fractured granites: A quantitative study of the hydrogeological and hydrochemical impact produced 253 pp. Enresa, Madrid.

Rivas, P., Hernn, P., Bruno, J., Carrera, J.,

Gmez, P., Guimera, J., et al. (1997). El Berrocal Poject: Characterization and validation of natural radionuclide migartion processes under real conditions on the fissured granic environmet, 522 pp, Nuclear Science and Technology, EUR 17478, D.-G. S. R. a. Development, European Commission, Luxembourg.

Vives, L., Snchez-Vila, X., Ruiz, E., Carrera, J.,

Javier Elorza, F., Bajos, C., et al. (2004). APLICACIN DEL PROBLEMA INVERSO EN LA SIMULACIN DEL FLUJO DE AGUA SUBTERRNEA Y EL TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MODELOS DISCRETOS DE FRACTURAS. Mecnica Computacional Vol. XXIII .

Wang, M. Y., & Kulatilake, P. (2008). Understanding of hydraulic properties from configurations of stochastically distributed fracture networks. Hydrological Processes , 22(8), 1125-1135.

White , M. J., Murray, T., del Olmo, C., &

Chapman, N. A. (1996). Modelling the Geological Environment of Radioactive Waste Repositories The Use of Computer Mapping, Modelling and Visualization Tools in Site Characterisation Proceedings of the European TopScal '96 Conference. Stockholm, Sweden , Volume 11, pp. 156 159.

White, M. J., & del Olmo, C. (1996). The

Application of Geological Computer Modelling Systems to the Characterisation and Assessment of Radioactive Waste Repositories. Proceedings of the International Conference on Deep Geological Disposal of Radioactive Waste. Canadian Nuclear Society, Winnepeg, Manitoba. Canada , pp. 3-2235 3-244.

1 INRODUCCIN 2 GENERACIN DE LA RED DE FRACTURAS DISCRETAS 3 FLUJO EN MEDIOS FRACTURADOS 4 ZONA DE ESTUDIO4.1 Prueba de bombeo4.2 Problema inverso

5 MTODOS5.1 Mtodo de mxima verosimilitud:5.2 Shuffled Complex Evolution method (SCE-UA)5.4 Monte Carlo Analisys Tool

6 RESULTADOS7 ESCALADO8 CONCLUSIONESBIBLIOGRAFA