OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
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Tema VI.1 Optimi zación dinámica Simulación y Optimización de Procesos Químicos 1 OPTIMIZACIÓN DINÁMICA • Optimización dinámica. • Cálculo de variaciones. • Ecuación de Euler-Lagrange. • Aplicación a sistemas de control.. Principio del máximo de Pontryagin. • Procesos lineales con coste cuadrático. • Ecuación de Riccati. • Sistemas de tiempo mínimo.
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OPTIMIZACIÓN DINÁMICA. Optimización dinámica. Cálculo de variaciones. Ecuación de Euler-Lagrange. Aplicación a sistemas de control.. Principio del máximo de Pontryagin. Procesos lineales con coste cuadrático. Ecuación de Riccati. Sistemas de tiempo mínimo. - PowerPoint PPT Presentation
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Tema VI.1 Optimización dinámica
Simulación y Optimización de Procesos Químicos
1
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
• Optimización dinámica.
• Cálculo de variaciones.
• Ecuación de Euler-Lagrange.
• Aplicación a sistemas de control.. Principio del máximo de Pontryagin.
• Procesos lineales con coste cuadrático.
• Ecuación de Riccati.
• Sistemas de tiempo mínimo.
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CALCULO DE VARIACIONES.
Cálculo de trayectorias óptimas. Caso escalar. Minimizar el funcional
b
a
dttxxLJ ),,(
Método: Cálculo variacional. Solución: Ecuación de Euler.
0),,(),,(
x
txxL
dt
d
x
txxL
Ecuación de 2º orden en x. Dos condiciones de contorno. Casos. 1. Extremos fijos. x(a) y x(b) conocidos. 2. Extremo final variable.
a) b y x(b) libres. b) x(b) debe pertenecer a una curva y(t).Condición de transversalidad.
0)(
bx
LxLbx
x
L
bb
Para el caso 2. tenemos la condición de contorno general que se puede escribir de la siguiente manera:
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FUNCION DE ESTADO DE PONTRYAGIN. Planta
Indice de comportamiento
Problema. Escoger u= k (x(t),t) que minimice J sobre el intervalo [a,b] Solución. Método de los multiplicadores de Lagrange.Paso 1. Se forma la función de estado de Pontryagin
Paso 2. Resolver la ecuación
para obtenerPaso 3. Encontrar la función H óptima
Paso 4. Resolver el conjunto de 2n ecuaciones diferenciales
con las condiciones de contorno x(a) y x(b). Paso 5. Sustituir los resultados del paso 4 en la expresión de uº para obtener el control óptimo.
),,( tuxfx
b
a
dttuxLJ ),,(
),,(),,(),,,( tuxftuxLtuxH
0),,,(
u
tuxH
),,(ºº txuu
),,º,(),,(º tuxHtxH
),,(º txH
x
x
txH
),,(º
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PROBLEMA GENERAL DE CONTROL OPTIMO.
),,( tuxfx
nmibbxhi ,..2,1;0)),((
)),((),,( bbxSdttuxLJb
a
Ecuación de la planta
Condiciones de contorno sEstado inicial y tiempo inicial fijos. Tiempo terminal fijo o libre. Estado final fijo,
libre o especificado por un conjunto de relaciones de la forma
c
Indice de comportamiento
Región de control El vector de control u pertenece a un conjunto U llamado región de control.
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SOLUCION AL PROBLEMA GENERAL DE CONTROL OPTIMO. Paso 1. Formar la función H de Pontryagin
),,(),,(),,,( tuxftuxLtuxH Paso2. Minimizar ),,,( tuxH con respecto a los vectores de control admisibles para obtener ),,(ºº txuu Paso 3. Encontrar la función H óptima
Uu
tuxminHtuxHtxH
),,,(),,º,(),,(º
Paso 4. Resolver el conjunto de 2n ecuaciones diferenciales
),,(º txH
x
x
txH
),,(º
con las condiciones de contorno inicial y final dadas por la condición de contorno generalizada
0),(
),,(º),(
dtt
txStxHdx
x
txS
Paso 5. Sustituir los resultados del paso 4 en la expresión de uº para obtener el control óptimo.
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SISTEMAS LINEALES CON COSTE CUADRATICO
PROBLEMA DE LA ENERGÍA MINIMA.
Sistema
con x(a) y x(b) conocidos(condiciones de contorno).Encontrar u(t) que minimice el criterio:
con P matriz simétrica y definida positiva. Si no hay restricciones en el vector de control, la solución se obtiene a partir de :
y de las ecuaciones canónicas, que da lugar al sistema siguiente de dimensión 2n:
con las 2n condiciones de contorno x(a) y x(b). Problema de condiciones de contorno en dos puntos diferentes (TPBP) difícil siempre de resolver. Sin embargo este puede reducirse a uno con condiciones en un solo extremo.
)()( tButAxx
b
adttPutuJ )()(
2
1
)()(*0 1 tBPtuu
H P
u
H
2
2
Ax
H
BuAxxH
x
A
BBPAx
0
1
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Si ponemos la solución en función de la matriz de transición, tendremos:
Haciendo t=b en las ecuaciones anteriores puede obtenerse el valor de (a) como:
que permite tener las condiciones de contorno en un solo punto o sea x(a) y (a). Por tanto la solución del problema de control óptimo será:
)(
)(
),( .0
),( ),(
)(
)(),(
)(
)(
22
1211
a
ax
at
atat
a
axat
t
tx
)(),()(),()( 111
12 axabbxaba
)(),()()(* 2211 aatBPtBPtu
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CONTROL DE TEMPERATURA EN UN RECINTO
• Estado final fijo • Estado final libre
aT
attx
aTb
aetu
Solución
TTxx
contornodesCondicione
dttuJ
COSTE
buaxx
ttx
bua
DINÁMICA
at
a
T
a
a
sinh
sinh10)(
sinh
10)(
70)(;60;10)(;0)0(
)(2
1
)()(
)(
**
0
2
aTsbae
atsbtx
aTsbae
absetu
Solución
x
contornodesCondicione
dttuTxsJ
COSTE
buaxx
ttx
bua
DINÁMICA
aTaT
at
a
T
a
a
sinh
sinh10)(
sinh
10)(
;60;0)0(
)(2
110)(
2
1
)()(
)(
2
2*
2*
0
22
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SISTEMAS LINEALES CON COSTE CUADRATICO
PROBLEMA DEL SERVOSISTEMA
Sistema
Criterio
Las matrices S,P y Q deben ser simétricas. S y Q semidefinidas positivas y P definida positiva.Hamiltoniano
Vector de control óptimo
que garantiza un mínimo al ser P definida positiva.
)()( tButAxx
dttPututQxtxbSxbxJb
a )()()()(2
1)()(
2
1
)()(2
1BuAxPuuQxxH
BPuu
H 1*0
Pu
H
2
2
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Ecuaciones canónicas:
(**)
que pueden ser resueltas con las condiciones de contorno.x(a) conocidoLa matriz del sistema canónico es :
y puede demostrarse que sus valores propios(2n) son simétricos respectos respecto del eje imaginario. Introduciendo la matriz de transición la solución será:
Con ayuda de la condición de contorno podemos escribir (t) como función de x(t).Así:
Puede demostrarse que R(t) es una matriz no singular y además que:
R(b)=S
Este método de calcular R(t) es bastante complejo.
AQxx
H
BuAxxH
)()( bSxb
AQ
BBPA
1
)(
)(
),( ),(
),( ),(
)(
)(),(
)(
)(
2221
1211
t
tx
tbtb
tbtb
t
txtb
b
bx
battxtRtxtbtbStbStbt ,. );()()(),(),(),(),()( 21111
1222
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UUna alternativa es la siguiente: DerivarOObtenemosCCComo x(t) puede ser cualquier valor arbitrario la ecuación anterior se reduce a:QQque se conoce como la ecuación matricial de Riccati con la condición inicial R(b)=SEEl control óptimo será:Un caso muy particular es cuando b tiende a infinito, lo que equivale a decir que el intervalo de optimización es mucho mayor que las constantes de tiempo del proceso. Por tanto no tendrá significado el ponderar el estado final, con lo cual se puede resolver el problema haciendo S=0. Por otra parte podemos obtener la solución a la ecuación algebraica de Riccati haciendo nula la derivada de la matriz R. O sea resolvemos
D
ac
)()()( txtRt
)()()()()( txtRtxtRt
)(0)(1 txtxQRBRBPRARAR
01 QRBRBPRARAR
)()()()()()( 11* txtGtxtRBPtBPtu
01 QRBRBPRARA
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PROBLEMA DE TIEMPO MÍNIMO
Se desea llevar el sistema
del estado x(a) conocido al estado x(b) asimismo conocido en un tiempo mínimo. Por tanto el coste será:
Además suponemos que existe una limitación en el vector de controlEl hamiltoniano se escribirá así:
y su minimización con respecto a u es inmediata:
El control es de tipo bang-bang o sea cada elemento de u debe conmutar instantáneamente del máximo valor permitido al mínimo(o viceversa).La solución de (t) para el caso de valores propios reales de A puede ponerse así:
y la solución óptima tendrá la forma siguiente:
donde son los valores propios reales de la matriz A.Puede demostrarse que en este caso el número de saltos coincidente con el número de ceros de la expresión anterior entre corchetes es igual a n-1.
)()( tButAxx
b
aabdtJ
rjUu mjj ,...,2,1;
AxBuH 1
rjUmjtBsigntu jj ...,2,1;))(()(*
)()( )( aet atA
Umjesignun
i
tijj
i
1
*
