Ordenamiento atómico

3.- ORDENAMIENTO ATMICO DE LOS SLIDOS

3.1.- Orden de corto y largo alcance 3.2.- Estructuras cristalinas 3.3.- Puntos, direcciones y planos de una celda unitaria 3.4.- Las Celdas Tridimensionales 3.5.- Puntos, planos y direcciones en una celda unitaria. 3.6.- Sitios intersticiales 3.7.- Cristale inicos y covalentes 3.8.- Transformacines alotrpicas o polimrficas 3.9.- Difraccin de Rayos-X (led de Bragg)

Los materiales al estado slido pueden ser o no cristalinos. Aunque puedan obtenerse materiales en forma de monocristales es ms comn encontrarlos en forma policristalina. Los cristales que conforman un agregado policristalino se denominan granos. Los granos pueden ser tan pequeos que es necesario observarlos por un microscopio a 100 y 1000 aumentos. Microestructura. Cuando la estructura puede distinguirse a simple vista se le llama macroestructura. La estructura al interior de los granos sigue un patrn de ordenamiento denominado estructura cristalina.

CIENCIA E INGENIERA DE LOS MATERIALES CAPITULO 3: ORDENAMIENTO ATMICO DE LOS SLIDOS J.D.O. Barceinas Snchez y A. Jurez Hernndez

3.1. Orden de Corto y Largo Alcance Orden de corto alcance.- es el arreglo espacial de los tomos o molculas que se extiende slo a los vecinos ms cercanos de stos. A estas estructuras se les denomina como estructuras no cristalinas. Ejemplos de estas estructuras son los vidrios, geles y recubrimientos por deposicin de vapor, Figura 3.1.

Figura 3.1. Nivel de arreglo atmico en vidrio Vidrios.- durante la solidificacin los tomos no tienen el tiempo suficiente para formar una estructura peridica. Una estructura vtrea puede tambin obtenerse por solidificacin rpida de materiales que normalmente forman estructuras cristalinas. Los vidrios tienen las siguientes caractersticas generales: 1. Estructura isotrpica (las propiedades son uniformes en todas direcciones). 2. Son tpicamente transparentes, pero pueden formularse para absorber o transmitir ciertas longitudes de onda. 3. Buenos aislantes elctricos y trmicos. 4. Reblandece antes de fundir, por lo que puede moldearse por soplo.

Figura 3.2. Estructura tetradrica en la slice


Un ejemplo de estructura vtrea es la slice (SiO2) cuya unidad estructural es un tetraedro en el que cuatro tomos de oxgeno se unen de manera covalente con un tomo de silicio. Puesto que los tomos de oxgeno deben formar ngulos de 109.5 para satisfacer los requerimientos de direccionalidad de los enlaces covalentes, se obtiene una estructura con orden de corto alcance. Dentro de las estructuras vtreas se encuentra un grupo denominado Estructuras Moleculares en el que se ubican los compuestos orgnicos (con enlaces covalentes), donde los ms comunes son los hidrocarburos los cuales pueden contener algunos otros elementos o grupos reemplazando a uno o ms hidrgenos, como halgenos (Cl y F), hidrxido (OH), acetato, amonio y silicones. Hidrocarburos.- stos se clasifican en saturados y no saturados. El incremento del punto de fusin con el peso molecular se debe en parte al decremento de la morbilidad y en mayor grado a los enlaces de Van der Waals entre molculas. Entre ms grande sea la molcula habr ms sitios en donde puedan ocurrir enlaces de Van der Waals. Bajo las condiciones adecuadas los hidrocarburos no saturados pueden romper sus dobles o triples enlaces para formar molculas ms grandes, por ejemplo los polmeros. Esto se denomina reaccin de polimerizacin. Geles.- slidos no-cristalinos formados por reaccin qumica en lugar de fusin. Estos materiales son tiles en la unin de cermicos y metales (al actuar como cementos). Ejemplos de stos son Si(OH)4 y Al(H2PO4)3. Recubrimientos por Deposicin de Vapor.- slido no-cristalino producido por condensacin rpida de un vapor sobre un substrato fro o por reaccin de un gas sobre con un substrato caliente. El vapor pude producirse por bombardeo inico, evaporacin mediante haz de electrones o evaporacin trmica. Los recubrimientos as obtenidos por lo general son no-porosos, tienen granos finos y muestran propiedades nicas. A los materiales con un ordenamiento de corto alcance se denominan comnmente como materiales amorfos. Sntesis de polmeros Polimerizacin por adicin.- el principio de este proceso es la obtencin de un monmero (unidad mrica) la cual se une con otra para formar cadenas largas.

nA (-A-) nH C H = H C Cl Calor, presin Luz, catalizador n H H C C H Cl H H C C H Cl H H C C H Cl n

Normalmente la polimerizacin se da en molculas idnticas, sin embargo, la polimerizacin entre molculas diferentes ocurre, a esto se le llama copolimerizacin.calor, presin, etc

nA + mB

( AnBm )


Este tipo de polimerizacin puede ocurrir s ms de un doble enlace est presente (p.ej. la polimerizacin del butadieno para formar hule no vulcanizado). Los polmeros producidos por adicin son generalmente termoplsticos (reciclables). Polimerizacin por condensacin.- involucra la reaccin qumica de dos molculas orgnicas diferentes para formar una nueva, acompaada por la formacin de un subproducto (agua, alcohol o cido).calor, presin, etc

pC + pDH H C C C C C H H O || C C H | H C | H O || O C

( E ) + pFH | O C H | H H | H O C | H H | C O H | H

n

+ n

Dimetilteraftalato

Dimetilglicol

H O || O C C C C C C H

H O || C C H H | | O C C | H H | H H | H C O H | H

+ 2nn

Dacron o mylar

Metanol

El dacrn es un ejemplo de este proceso. Este sintetiza por la reaccin de dimetil tereftalato y etilen glicol, produciendo alcohol metlico como subproducto. La sntesis del fenol-formaldehido (baquelita) es otro ejemplo. La mayora de los polmeros obtenidos por este proceso son conocidos como resinas termoendurecibles, los cuales tienen mayor resistencia que los termoplsticos, pero son ms caros de fabricar.H H H H H H H H H H H H H H

C H

=

C

C C

C H

C H

C C

=

C

C H

C H

=

C

C C

C H

C H

C C

H

H

=

C

CH

SH H H H

SH H

S C H

SH

+S

H

C H

=

C H

C C H

C H

C H

C C H

=

C H

CH

C H

=

C H

C C H

C H

C C H

=

C H

C H

Hule natural

Hule vulcanizado


Las propiedades de los polmeros se ven afectadas por el grado de cristalinidad, el entrelazamiento y la ramificacin de las molculas; estas dos ltimas tienen un efecto mayor. Orden de largo alcance.- es el arreglo espacial de los tomos o molculas que se extiende por todo el slido, formando un patrn repetitivo, regular, que resulta en una red. Los materiales pueden diferenciarse entre s por el tipo de red que posean. El tipo de red de un material depende del tamao de los tomos o iones, y del tipo de enlace. Al patrn geomtrico que sigue una red de un material se le denomina estructura cristalina, y se define en funcin de su tamao, forma y ordenamiento atmico.

3.2. Estructura cristalina de los materialesLos materiales slidos se pueden clasificar de acuerdo a la regularidad con que los tomos o iones estn ordenados uno con respecto al otro. Un material cristalino es aquel en que los tomos se encuentran situados en un arreglo repetitivo o peridico dentro de grandes distancias atmicas; tal como las estructuras solidificadas, los tomos se posicionarn de una manera repetitiva tridimensional en el cual cada tomo est enlazado al tomo vecino ms cercano. Todos los metales, muchos cermicos y algunos polmeros forman estructuras cristalinas bajo condiciones normales de solidificacin. Celda Unitaria.- es el agrupamiento ms pequeo de tomos que conserva la geometra de la estructura cristalina, y que al apilarse en unidades repetitivas forma un cristal con dicha estructura. La estructura cristalina de un slido depende del tipo de enlace atmico, del tamao de los tomos (o iones), y la carga elctrica de los iones en su caso). Existen siete sistemas cristalinos los cuales se distinguen entre s por la longitud de sus aristas de la celda (llamados constantes o parmetros de la celda) y los ngulos entre los bordes de sta. Estos sistemas son: cbico, tetragonal, ortorhmbico, rombohdrica (o trigonal), hexagonal, monoclnico y triclnico. La Tabla 1 muestra las relaciones de los parmetros de red. Los diferentes sistemas cristalinos se forman por el apilamiento de capas de tomos siguiendo un patrn particular. 3.2.1. Construccin de cristales ccp y hcp a partir de capas de tomos con un arreglo hexagonal compacto.


La manera ms simple de apilar una capa hexagonal compacta es colocar una sobre de otra, dando como resultado una estructura hexagonal simple. Sin embargo, no existen ejemplos de sta en la naturaleza, debido a que los tomos de la segunda capa tienden a "deslizarse" hacia los "huecos" o intersticios de la primer capa. Esto est de acuerdo con las consideraciones energticas de que un empacado compacto de tomos posee la energa libre ms baja. Al colacar una segunda capa compacta sobre los intersticios de la primera, y una tercera sobre los tomos de la primera, de manera que la secuencia resultante es ABAB., la estructura obtenida es una hexagonal compacta (hcp). En cambio, si la tercer capa se coloca sobre la siguiente lnea de intersticios, de manera que la secuencia resultante es ABCABC., la estructura obtenida es una cbica compacta (ccp).

Una caracterstica distintiva entre estas dos estructuras es que en la hcp existen "canales" perpendiculares a las capas compactas, mientras que en la ccp esos canales son bloqueados debido a la secuencia de apilamiento.

Un hecho que puede causar confusin es que la estructura ccp puede construirse apilando capas "cuadradas" de tomos, de manera que los tomos de la segunda capa se coloquen sobre los intersticios de la primera y as sucesivamente. Ntese como se forman las capas hexagonales compactas. Si las capas cuadradas se apilaran una exactamente sobre la otra, se formara la estructura cbica simple.


Aunque las estructuras hcp y ccp son la formas ms comunes de apilamiento, existen algunos elementos en la naturaleza que presentan una "mezcla" de ambas, por ejemplo el americio que tiene una secuencia repetitiva de cuatro capas ABACABAC. En algunos elementos o compuestos ocurren "errores naturales" en la secuencia de apilamiento durante el desarrollo de un cristal o por la aplicacin de esfuerzos o deformaciones. Por ejemplo elementos que tienen una estructura ccp puede mostrar una secuencia apilamiento. ABABC.., que a la vista parece una combinacin de las estructuras ccp y hcp. 3.2.2. Construccin de cristales bcc. Muchos metales poseen esta estructura, la cual no se puede obtener apilando capas hexagonales compactas o cuadradas. En esta caso el tomo del centro de la celda "empuja" hacia afuera los tomos de las esquinas, lo que hace que el plano ms compactamente formado sea el que est sobre la diagonal de una cara del cubo.

Si tomamos a este plano como la capa base A, la siguiente capa B se coloca sobre los espacios intersticiales, la tercer capa es similar a la A, por lo que la secuencia resultante es ABAB. Los espacios intersticiales de estas capas poseen una configuracin alargada, lo que presumiblemente ocasionara que el tomo que se coloca sobre de l, podra deslizarse hacia un lado o hacia el otro, conduciendo a una distorsin de la estructura.CIENCIA E INGENIERA DE LOS MATERIALES CAPITULO 3: ORDENAMIENTO ATMICO DE LOS SLIDOS J.D.O. Barceinas Snchez y A. Jurez Hernndez

Al comparar el plano ms compacto de la estructura bcc con la capa hexagonal compacta de las estructuras ccp y hcp, se puede observar que al cerrar los "huecos" del primero se obtiene un plano hexagonal compacto. Esto indica que las transformaciones bcc ccp y bcc hcp pueden ocurrir como resultado de una distorsin de las capas compactas. 3.2.3. Patrones y redes en dos dimensiones Motivo.- es la unin repetitiva de un patrn. Celda.- es un arreglo de puntos en el espacio en el cual el ambiente de cada punto es idntico. Puntos de celda.- son las intersecciones de las lneas que definen una celda. Una vez que se construye una celda, sta se puede clasificar de acuerdo a los elementos de simetra que posea. 3.2.4. Elementos de simetra en dos dimensiones. a) Espejo de simetra b) Diada (eje de rotacin de orden 2) c) Triada (eje de rotacin de orden 3) d) Tetrada (eje de rotacin de orden 4) e) Hexada (eje de rotacin de orden 6) Todos estos elementos resultan en 10 simetras o grupos de planos de puntos, llamados as por todos los elementos de simetra que pasan a travs de un punto. Estos grupos se etiquetan de acuerdo a los elementos presentes; m por un plano espejo, mm o mm2 por dos planos espejo (ms una diada) y 2 por una diada), 3 por una triada, 3m por una triada y tres planos espejo y as sucesivamente. 3.2.5. Las 5 celdas planas El principal criterio para determinar el tipo de celda plana es que la celda por s misma debe poseer la simetra del motivo; puede poseer ms pero no menos. En la prctica la mejor decisin para definir una celda es que sta debe ser lo ms pequea posible (o primitiva, p), la cual no contenga puntos de celda dentro de ella. Aunque algunas veces se prefiere a aquellas cuyos ngulos entre ejes sean de 90 a pesar de que sean de un tamao mayor. Existe otro elemento de simetra llamado lnea de deslizamiento g, la cual es parecida al plano de simetra solo que la simetra se logra si parte de celda se deslizara una con respecto de la otra un medio de la unidad del espaciamiento de la celda.


La combinacin de todos los elementos de simetra dan como resultado 17 grupos planos de simetra 3.2.6. Las 14 celdas tridimensionales Redes de Bravais.- son las diferentes opciones disponibles para el apilamiento de tomos en forma de celdas unitarias derivadas de los siete sistemas cristalinos. Por ejemplo, existen tres opciones para la celda cbica, 1) tomos en las esquinas del cubo, 2) un tomo adicional en el centro del cubo, y 3) un tomo adicional en cada cara del cubo. En el caso de redes tridimensionales existen elementos de simetra adicionales: a) Punto de simetra.- el que permite describir la simetra de un arreglo tridimensional, siendo stos: centro de simetra, planos espejo y ejes de inversin. b) Elementos de simetra de translacin.- los cuales se requieren (como las lneas de deslizamiento en dos dimensiones) para describir todos los patrones posibles que surgen de la combinacin de motivos de diferentes simetras con sus celdas apropiadas. Estos elementos son: planos de deslizamiento y ejes helicoidales. La aplicacin y permutacin de todos los elementos de simetra en 3D resulta en 230 grupos espaciales en lugar de 17 en 2D.

Grupos espaciales Celdas Grupos puntuales de simetra

2D 15 5 10

3D 230 14 32

Las redes de Bravais propuestas pueden provocar confusin debido al patrn que sigue el motivo en la celda. Las celdas unitarias simplemente representan maneras arbitrarias pero convenientes de unir los puntos de una red. Al comparar las tres celdas cbicas nos podemos dar cuenta que la celda P slo contiene un tomo por celda, mientras que la I contiene 2 y la F contiene 4. Si la definicin de celda primitiva (P) dice que sta debe contener 1 punto (o tomo) por celda, las celdas I y F no son primitivas, pero, sin embargo se pueden definir celdas primitivas dentro de stas las cuales son rombohedrales con aristas iguales pero ngulos entre aristas de 109.47 y 60 , respectivamente. La no utilizacin de estas celdas se debe a que son no ortogonales y porque no revelan la simetra cbica. Una manera alternativa de visualizar la relacin entre la celda rombohedral y las cbicas, es mediante el ngulo entre ejes resultante del apilamiento de capas hexagonales, el que puede ser 90, 60 o 109.47. Por otra parte, las redes de Bravais pueden asumirse como el resultado del apilamiento de "capas" de las cinco celdas planas. Por ejemplo, las celdas cbica y tetragonal estaran basadas en el apilamiento de celdas cuadradas; la ortorombica P e I resultaran del apilamiento de celdas rectangulares. La diferencia pricipal entre la celda hexagonal (P) y la rombohedral es la secuencia de apilamiento de las capas compactas, de manera similar que entre la ccp y hcp.


Al comparar las celdas ortorhombicas con las tetragonales, por qu hay cuatro celdas ortorhombicas P, C, I y F y slo dos tetragonales P e I?, o por qu no hay tetragonal C y F?. 3.2.7. Simetra de las 14 redes de Bravais Las elementos utilizados en dos dimensiones aplican para el caso de tres, pero con las siguientes consideraciones: 1) Las lneas espejo se convierten en planos espejo. 2) Los ejes de simetra son los mismos, pero con la complicacin de que en 3D pueden haber varios ejes pasando a travs de la celda. Por ejemplo un cubo tiene 9 planos espejo, 3 tetradas, 4 triadas y 6 diadas. Esta "coleccin" de elementos de simetra es llamado grupo puntual de simetra del cubo porque todos ellos pasan a travs del punto central de ste. El puntual de simetra de una celda es independiente si las stas son centradas o no. Por lo que las redes de Bravais estn agrupadas en 7 sistemas cristalinos. Sin embargo, existe una complicacin con la celda hexagonal. Cristales que poseen simetra hexagonal, como el cuarzo, presentan una triada, por lo que dicho sistema se determina como trigonal (que incluye las celdas de Bravais hexagonal y rombohedral). El nico sistema que no posee ejes o planos de simetra es el triclnico, el que slo posee centro de simetra.

3.3. -Puntos, planos y direcciones en una celda unitaria.Puesto que la celda unitaria es la representacin ms simple de la estructura de un cristal, sta es usada como la base para la definicin de planos y direcciones dentro de un cristal.


3.3.1. Elementos de simetra en dos dimensiones. a) Espejo de simetra (lnea de simetra)

b) Diada (eje de rotacinde orden 2)

c) Triada (eje de rotacin de orden 3)

d) Tetrada (eje de rotacin de orden 4)

e) Hexada (eje de rotacinde orden 6) Nota: 10 grupos puntuales de simetra (planos), llamados as por todos los elementos de simetra que pasan a travs de un punto. Plano.- se designa por medio de smbolos llamados ndices de Miller (hkl). Donde hkl son el inverso de las intersecciones del plano con los ejes x, y, z. Los planos se denotan mediante los ndices dentro de parntesis redondos, mientras que para una familia de planos se utiliza corchetes {hkl}. 3.3.2. Las 5 celdas planas Una celda plana debe poseer la simetra del motivo; puede poseer ms pero no menos.

La red-p oblicua

La red-p cuadrada

La red-p rectangular

La red-p hexagonal

La red-c rectangular


La celda se define como el grupo de motivos ms pequea posible (primitiva, p), que no contenga motivos dentro de ella.

A veces se prefiere definir una cuyo ngulo entre ejes sea de 90, a pesar de que sean de un tamao mayor.

Otro elemento de simetra es la lnea de deslizamiento g, que se parece al lnea de simetra. La simetra se logra s parte de la celda se desliza una con respecto de la otra un medio de la unidad del espaciamiento. La combinacin de todos los elementos de simetra dan como resultado 17 grupos planos de simetra. Estos grupos se etiquetan de acuerdo a los elementos presentes; m por un plano espejo, mm o mm2 por dos planos espejo y 2 por una diada (en su caso 3 por una triada), 3m por una triada y tres planos espejo y as sucesivamente. Direcciones.- se denota por las coordenadas dentro de parentesis cuadrados [hkl]. Las coordenadas resultan del unir el origen de la celda a una esquina o punto de la celda unitaria. La notacin se hace de la combinacin de los enteros ms pequeos en lugar de las distancias reales, p.ej. [222] se denota como [111]. En el caso de que las coordenadas sean 1/2,1/2,1, hay que multiplicar por 2 para obtener [112].



3.4. Las Celdas Tridimensionales3.4.1 Redes de Bravais.- son las diferentes opciones disponibles para el apilamiento de tomos en forma de celdas unitarias derivadas de los siete sistemas cristalinos. Por ejemplo, existen tres opciones para la celda cbica, 1) tomos en las esquinas del cubo, 2) un tomo adicional en el centro del cubo, y 3) un tomo adicional en cada cara del cubo.

Cbico simple (P) Cubico a=b=c

Cbico centrado en el cuerpo (l) ===90C

Cbico centrado en la cara (F)

Tetragonal simple (P) Tetragonal

Tetragonal centrado en el cuerpo (l) a = b c === 90

Ortorrmbico simple (P) Ortorrmbico

Ortorrmbico centrado en el cuerpo (l) a b c === 90

Ortorrmbico centrado en la base (C)

Ortorrmbico centrado en la cara(F)

Romboedral (R) a=b=c = = 90

Hexagonal (P) a=bc == 90, = 120

Monoclnico simple (P) Monoclnico

Monoclnico centrado en la base (C) a b c = = 90

Triclnico (P) abc 90


En el caso de redes tridimensionales existen elementos de simetra adicionales: a) Punto de simetra.- el que permite describir la simetra de un arreglo tridimensional, siendo stos: centro de simetra, planos espejo y ejes de inversin. b) Elementos de simetra de translacin.- los cuales se requieren (como las lneas de deslizamiento en dos dimensiones) para describir todos los patrones posibles que surgen de la combinacin de motivos de diferentes simetras con sus celdas apropiadas. Estos elementos son: planos de deslizamiento y ejes helicoidales.

La aplicacin y permutacin de todos los elementos de simetra en 3D resulta en 230 grupos espaciales en lugar de 17 en 2D. Las redes de Bravais propuestas pueden provocar confusin debido al patrn que sigue el motivo en la celda. Las celdas unitarias simplemente representan maneras arbitrarias pero convenientes de unir los puntos de una red. Al comparar las tres celdas cbicas nos podemos dar cuenta que la celda P slo contiene un tomo por celda, mientras que la I contiene 2 y la F contiene 4. Si la definicin de celda primitiva (P) dice que sta debe contener 1 punto (o tomo) por celda, las celdas I y F no son primitivas, pero, sin embargo se pueden definir celdas primitivas dentro de stas las cuales son rombohedrales con aristas iguales pero ngulos entre aristas de 109.47 y 60 , respectivamente. La no utilizacin de estas celdas se debe a que son no ortogonales y porque no revelan la simetra cbica.


Una manera alternativa de visualizar la relacin entre la celda rombohedral y las cbicas, es mediante el ngulo entre ejes resultante del apilamiento de capas hexagonales, el que puede ser 90, 60 o 109.47. Por otra parte, las redes de Bravais pueden asumirse como el resultado del apilamiento de "capas" de las cinco celdas planas. Por ejemplo, las celdas cbica y tetragonal estaran basadas en el apilamiento de celdas cuadradas; la ortorombica P e I resultaran del apilamiento de celdas rectangulares. La diferencia principal entre la celda hexagonal (P) y la rombohedral es la secuencia de apilamiento de las capas compactas, de manera similar que entre la ccp y hcp. Ejercicio

Al comparar las celdas ortorhombicas con las tetragonales, por qu hay cuatro celdas ortorhombicas P, C, I y F y slo dos tetragonales P e I?, o por qu no hay tetragonal C y F?. 3.4.2 Simetra de las 14 redes de Bravais Los elementos utilizados en dos dimensiones aplican para el caso de tres, pero con las siguientes consideraciones: 1) Las lneas espejo se convierte en planos espejo. 2) Los ejes de simetra son los mismos, pero con la complicacin de que en 3D pueden haber varios ejes pasando a travs de la celda. Por ejemplo un cubo tiene 9 planos espejo, 3 tetradas, 4 triadas y 6 diadas. Esta "coleccin" de elementos de simetra es llamada grupo puntual de simetra del cubo porque todos ellos pasan a travs del punto central de ste.


El puntual de simetra de una celda es independiente si las stas son centradas o no. Por lo que las redes de Bravais estn agrupadas en 7 sistemas cristalinos.

Sin embargo, existe una complicacin con la celda hexagonal. Cristales que poseen simetra hexagonal, como el cuarzo, presentan una triada, por lo que dicho sistema se determina como trigonal (que incluye las celdas de Bravais hexagonal y rombohedral). El nico sistema que no posee ejes o planos de simetra es el triclnico, el que slo posee centro de simetra. 3.4.3 Contenido atmico.-contenido de los atmos por celda unitaria Cubica P contiene 1 tomo Cubica I contiene 2 tomos Cubica F contiene 4 tomos


3.5. Punto, planos y direcciones en una celda unitariaPuesto que la celda unitaria es la representacin ms simple de la estructura de un cristal, sta es usada como la base para la definicin de planos y direcciones dentro de un cristal. Plano.- se designa por medio de smbolos llamados ndices de Miller (hkl). Donde hkl son el inverso de las intersecciones del plano con los ejes x, y, z. Los planos se denotan mediante los ndices dentro de parntesis redondos, mientras que para una familia de planos se utiliza corchetes {hkl}.

Direcciones.- se denota por las coordenadas dentro de parntesis cuadrados [hkl]. Las coordenadas resultan del unir el origen de la celda a una esquina o punto de la celda unitaria. La notacin se hace de la combinacin de los enteros ms pequeos en lugar de las distancias reales, p.ej. [222] se denota como [111]. En el caso de que las coordenadas sean 1/2,1/2,1, hay que multiplicar por 2 para obtener [112].


3.6. Sitios intersticialesComo se vi anteriormente la secuencia de apilamiento de tomos sirve para definir la estructura cristalina de un material, sin embargo, puede ser til para definir la estructura de compuestos de tiene dos o ms elementos. En particular, en compuestos en los que uno de los tomos o iones son relativamente "pequeos". Las diferentes estructuras de los compuestos dependen del nmero y tamao de los sitios intersticiales que pueden estar presentes en cualquier estructura cristalina. En una estructura ccp existen dos tipos y tamaos de intersticios: tetrahdrico y octahdrico. La relacin de radios para el intersticio tetrahdrico es 0.225

y para el octahdrico 0.414.

En una estructura BCC existen dos tipos y tamaos de intersticios: tetrahdricos y octahdricos. La relacin de radios para el intersticio tetrahdrico es 0.154


La relacin de radios para el intersticio octahdrico es 0.291

En una estructura cbica simple slo existe un intersticio en el centro del cubo, por lo que a este sitio se le llama intersticio cbico. La relacin de radios para este intersticio es 0.732.

3.7. Cristales inicos y covalentes.Cristales inicos.- formados por aniones y cationes de tal manera que la neutralidad electrosttica se mantiene y cada tomo logra su estabilidad. La estructura cristalina est determinada por el nmero de tomos de cada elemento requeridos para lograr la neutralidad elctrica y el empaquetamiento optimo basado en el tamao relativo de los iones. El tamao de in se denomina radio inico y depende en cierto grado de los iones que lo rodean. El tamao relativo de los iones puede ser una buena referencia para determinar el nmero de coordinacin (nmero de vecinos ms cercanos) ms probable de stos dentro de la red. Para el caso de aleaciones binarias: A/X = 0.155 - 0.225 [n] = 3 A/X = 0.225 - 0.414 [n] = 4 A/X = 0.414 - 0.732 [n] = 6 A/X > 0.732 [n] = 6 o 8


Una manera simple de calcular el nmero de coordinacin de alguno de los iones es mediante la expresin: [Vc]/(CN)c = [Va]/(CN) a, la cual surge de la condicin de mantener la neutralidad elctrica. La mayora de los cristales inicos tiene estructuras compactas. El enlace inico esta asociado con los electrones del orbital s (el cual tiene una distribucin de probabilidad esfrica), por lo que sera un enlace no direccional si fuera puramente inico. Sin embargo, hay una tendencia hacia una concentracin de electrones entre los centros de los tomos, lo que produce cierto grado de carcter no-inico, lo que causa desviaciones en los nmero de coordinacin esperados. En el caso de compuestos ternarios el estudio de las estructuras cristalinas se vuelve bastante complejo. Cristales covalentes.- por lo general son estructuras complejas que satisfacen las restricciones direccionales impuestas por los enlaces covalentes. La estructura cristalina ms importante de los cristales covalentes es la cbica de diamante, la que se presenta en el Si, Ge y C.

En un cristal de Si cada tomo est unido a otros cuatro para formar un tetrahedro. El apilamiento de grupos tetrahdricos resulta en un cubo "grande", el cual contiene ocho cubos del mismo tamao que los "cubos tetrahdricos", sin embargo, solo cuatro de stos contienen tetrahedros. El cubo "grande" es la celda unitaria de la cbica diamante, la cual se define como una celda fcc con cuatro tomos en sitios tetrahdricos Un caso particular de importancia es la slice cristalina, en la cual los enlaces son en parte inicos y en parte covalentes. El nmero de coordinacin es 4, por lo que se forman tetrahedros los cuales se pueden agrupar para formar la b-cristobalita, la que es una celda fcc.


3.8. Transformaciones alotrpicas o polimrficasConforme la presin y la temperatura cambian, la distancia interatmica y el nivel de vibracin cambian, de tal manera que una estructura deja de ser estable bajo estas nuevas condiciones producindose un cambio. Este cambio es denominado transformacin alotrpica o polimrfica. El trmino alotropa se reserva a elementos puros, mientras que polimorfismo se utiliza preferentemente cuando nos referimos a compuestos. Existen dos tipos de transformacin polimrfica, por desplazamiento y reconstructiva.

ALTO CUARZO

RECONSTRUCTIVA 867C

ALTA TRIDIMITA

RECONSTRUCTIVA 1470C

ALTA CRISTOBALITA

DESPLAZAMIENTO 160C DESPLAZAMIENTO 573C V 1.6%

V 0.3% DESPLAZAMIENTO 200-270C V >3%

TRIDIMITA MEDIA DESPLAZAMIENTO 105C V 0.8%

BAJO CUARZO

BAJA TRIDIMITA

BAJA CRISTOBALITA

En la primera no hay ruptura de enlaces pero si una distorsin de la estructura debida al cambio del ngulo entre enlaces. Un posible inconveniente de esta transformacin son los grandes cambios de volumen asociados. La transformacin martenstica en metales es un ejemplo de esta transformacin. En el segundo tipo una estructura nueva se forma despus de la ruptura de los enlaces originales. La energa requerida para la transformacin reconstructiva es mayor que para la transformacin por desplazamiento, por lo que ser ms lenta. Su aprovechamiento se da en la retencin a temperatura ambiente de fases que slo son estables a altas temperaturas, mediante un enfriamiento rpido. En la fabricacin de ladrillos de silica se adiciona CaO o CaCO3 como fundente para disolver el cuarzo y precipitarlo como tridymita, la cual sufre mucho menos contraccin durante la transformacin, por lo que disminuye la tendencia a la fractura o debilitamiento.

3.9. Difraccin de Rayos-X (ley de Bragg)Histricamente mucho del entendimiento que tenemos de los arreglos atmicos y moleculares en los slidos han sido resultado de investigaciones mediante rayos-X.


La difraccin ocurre cuando una onda encuentra una serie de obstculos espaciados regularmente, tal que son (1) capaces de dispersar la onda , y (2) que los espacios son comparables en magnitud a la longitud de onda. Por otro lado, la difraccin es consecuencia de las relaciones especificas de las fases que se establecen entre dos o ms ondas que han sido dispersadas por obstculos. Considerando las ondas 1 y 2 de la siguiente figura, las cuales tienen la misma longitud de onda () y estn sobre el mismo plano O-O`, y suponiendo que ambas ondas son dispersadas de tal manera que siguen diferentes trayectorias. La relacin de fase entre las ondas dispersadas, dependen de la diferencia del patrn de longitud del camino recorrido. Una posibilidad es que esta diferencia de longitud del camino recorrido sea un nmero integral de longitudes de onda. Como se nota en la Figura (a), estas ondas dispersadas (ahora denotadas 1`y 2`) estn en fase. Se dice que se refuerzan mutuamente (interferencia constructiva) y , cuando las amplitudes son aadidas, la onda resultante se intensifica como se muestra en la parte derecha de la figura. Esta es una manifestacin de difraccin, y la referimos como un rayo difractado compuesto de un gran nmero de ondas dispersadas, que se refuerzan unas con otras.

(a) Demostracin de como dos ondas (1 y 2) que tienen la misma longitud de onda y que estn en fase despus del evento de dispersin (1`y 2`) interfieren constructivamente una con la otra. (b) Demostracin de como dos ondas ( 3 y 4) que tienen la misma longitud de onda y que llegan a estar fuera de fase despus del evento de dispersin (3`y 4`), interfieren destructivamente una con la otra.CIENCIA E INGENIERA DE LOS MATERIALES CAPITULO 3: ORDENAMIENTO ATMICO DE LOS SLIDOS J.D.O. Barceinas Snchez y A. Jurez Hernndez

Otras relaciones de fase son posibles entre las ondas dispersadas que no resultan en un reforzamiento mutuo. La otra situacin extrema se demuestra en la Figura (b), donde la diferencia de las longitudes de los caminos recorridos despus de la dispersin es un nmero integral de la mitad de la longitud de onda. Las ondas dispersadas estn fuera de fase esto es, se cancelan las amplitudes correspondientes o se anulan una a la otra, interfieren destructivamente (p.ej. la onda resultante tiene una amplitud cero), como se indica en el lado derecho de la Figura. Es claro que una relacin de fase intermedias entre estos dos casos extremos es posible, dando como resultado un reforzamiento parcial. La ley de Bragg: Los rayos-X son un tipo de radiacin electromagntica que tiene una alta energa y longitudes de onda muy cortas, las longitudes de onda son del orden de espacios atmicos de los slidos. Cuando un haz de rayos-X incide sobre un material slido, una porcin de este rayo se dispersar en todas las direcciones por los electrones asociados a cada tomo o in que est dentro del camino del haz. Consideremos ahora las condiciones necesarias para la difraccin de rayos-X por un arreglo peridico de tomos. Si se tienen dos planos de tomos A-Ay B-B , como se muestra en la siguiente Figura, que poseen los mismos ndices de Miller h,k y l, y estn separados por la distancia interplanar dhkl . Asumiendo que un haz de rayos-X de longitud de onda , paralelo, monocromtico y coherente (en fase) incide en estos dos planos con un ngulo , dos rayos de este haz (1 y 2), son dispersados por los tomos P y Q. Ocurrir una interferencia constructiva entre los rayos dispersados (1y 2) a un ngulo de los planos, si la diferencia de la longitud del camino recorrido entre 1-P-1y 2-Q-2 (p.ej., SQ +QT ) es igual a un nmero n, de longitudes de onda. Esta es la condicin de difraccin: n = SQ +QT

Difraccin de rayos-X por los planos de tomos A-A y B-BCIENCIA E INGENIERA DE LOS MATERIALES CAPITULO 3: ORDENAMIENTO ATMICO DE LOS SLIDOS J.D.O. Barceinas Snchez y A. Jurez Hernndez

W. L. Bragg visualiz la difraccin de rayos-X en trmino de reflexiones provenientes de los planos de un cristal, dando como resultado la simple relacin (conocida como la Ley de Bragg): n = 2dhkl sin

Para que una familia de planos cristalogrficos difracte, la diferencia del camino recorrido por ondas dispersadas sea un mltiplo entero de la longitud de onda:

(SQ +QT) = nl = (dhkl sin + dhkl sin) = 2dhkl sin Cuando esta condicin no se cumple, se obtiene interferencia destructiva. La difraccin de rayos-X de cristales cbicos est condicionada de la siguiente manera: a) cbica P.- todos lo planos difractan b) cbica F.- los ndices hkl son todos pares o impares c) cbica I.- la suma de los ndices hkl sea un nmero par

Tcnicas de difraccin. Una tcnica comn de difraccin consiste en utilizar polvos del espcimen en estudio, el cual consiste de partculas orientadas al azar que estn expuestos a una radiacin-X monocromtica. Cada partcula de polvo es un cristal, y teniendo una gran cantidad de stos con orientaciones al azar asegura que algunas partculas estn apropiadamente orientadas, de manera que cada grupo posible de planos de difraccin sea capaze de difractarse. El difractmetro es un aparato usado para determinar los ngulos a los cuales la difraccin ocurre en una muestra, sus caractersticas se muestran en la siguiente Figura. Una muestra S, en forma de una placa se coloca de manera que la rotacin se lleve acabo en el eje O. Este eje es perpendicular al plano de la pgina. El haz de rayos-X monocromtico es generado en el punto T, y las intensidades de los haces difractados son detectadas por un contador C. La muestra, la fuente de rayos-X y el contador son todos coplanares. El contador se encuentra en un dispositivo movil, el cual tambin puede ser rotado alrededor del eje O; su posicin angular en trminos de 2 se marca en una regla graduada. El contenedor y la muestra estn mecnicamente acoplados, de tal manera que la rotacin de la muestra en un ngulo est acompaada por una rotacin del contador n de 2; sto asegura que los ngulos incidentes y de reflexin se mantengan igual uno con respecto al otro.CIENCIA E INGENIERA DE LOS MATERIALES CAPITULO 3: ORDENAMIENTO ATMICO DE LOS SLIDOS J.D.O. Barceinas Snchez y A. Jurez Hernndez

O S C T

Diagrama esquemtico de un difractmetro de rayos-X; T= fuente de rayos-X, S= muestra, C = detector y O= eje de rotacin alrededor del cual rota el detector y la muestra

Como el contador se mueve a una velocidad constante, un medidor grfica automticamente las intensidad de los rayos difractados (monitoreados por el contador) como una funcin de 2. 2 es el de ngulo de difraccin, el cual se mide experimentalmente. La siguiente Figura muestra un patrn de difraccin de polvos de espuma de aluminio. Los picos de alta intensidad resultan cuando las condiciones de difraccin de Bragg se satisfacen por un grupo de planos cristalogrficos.110 100 90 80 Intensidad Relativa 70 60 50Al (311) SiC (111) Al (220) Al (200) Al (111)

Espuma C Espuma B Espuma A

40 30 20

Si (111) SiC (220) SiC (311) Si (220) SiC (200) Si (311) Al (222)

10 0 30 40 50 2 60 70 80

Difractograma de espumas de aluminio mostrando las fases presentes y los planos de difraccin. Espumas A, B y C representan diferentes tamaos de clula. (Cortesa de J.O.D. Barceinas 2001).



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