ORQUESTACIÓN INSTRUMENTAL COMO REFERENTE PARA UNA REFLEXIÓN DIDÁCTICA.

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1 ORQUESTACIÓN INSTRUMENTAL COMO REFERENTE PARA UNA REFLEXIÓN DIDÁCTICA.

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Nuestro marco de referencia, para nuestro objeto de estudio, es el enfoque instrumental propuesto RABARDEL y retomado por Michèle Artigue y Luc Trouche

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 Tres marcos teóricos básicosla teoría de las situaciones (Brousseau); la teoría antropológica de lo didáctico(TAD), la noción de institución (Chevallard); la teoría de los campos conceptuales, la noción de esquema (Vergnaud)                

TROUCHE (2011)

4 Artefacto : VIENE DADO, SON PROPOSICIONES Instrumento: EL USUARIO LO CONSTRUYE, UNA PARTE ARTEFACTO Y OTRA PARTE ESQUEMA DE UTILIZACIÓN “El instrumento se distingue del objeto, ya sea material o simbólico, en el cual se basa y para el cual utilizamos el  término “artefacto”. Es una entidad mixta constituida por una parte de artefacto y por otra de los esquemas que lo convierten en instrumento” ARTIGUE (2007).

5 El proceso en que el artefacto se convierte en instrumento en manos de los estudiantes es lo que denominamos génesis instrumental, para que esto suceda el sujeto desarrolla y aplica esquemas mentales. “Llamamos “esquema” a la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones dada”. VERGNAUD (1990 p2)“El descubrimiento progresivo que realizan los sujetos de las propiedades  (intrínsecas) del artefacto se acompaña de la acomodación de sus esquemas, pero también, de cambios de significado del instrumento que resultan de la asociación del artefacto con nuevos esquemas.” (RABARDEL 2011 p 220-221)

6 Proponemos una orquestación instrumental, alrededor de situaciones problema que movilicen la actividad matemática del alumno generando tareas que permitan conocer y entender el objeto matemático y a su vez desarrollar

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técnicas instrumentadas en el uso del artefacto.

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Orquestación instrumental: gestión didáctica de los artefactos disponible en relación con los objetivos didácticos. La orquestación instrumental se define por cuatro componentes: un conjunto de individuos; un conjunto de objetivos; una configuración didáctica; un sistema de utilización de esas configuraciones. TROUCHE y GUIN (2002) Utiliza la metáfora del director de orquesta para describir la tarea que debe realizar el profesor (TROUCHE & DRIJVERS, 2010) y esta metáfora ha evolucionado. El profesor debe combinar la orientación de los procesos de instrumentación con el reconocimiento de nuevas técnicas instrumentadas propuestas por los estudiantes. En este sentido, la metáfora de la orquestación ha de entenderse como un líder de una banda de jazz más que director de una orquesta sinfónica.

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Al realizar la orquestación instrumental se debe pensar el espacio, el tiempo, la gestión de los artefactos disponibles (o a introducir), en relación con el problema, las fases de resolución, las variables didácticas, los objetivos educativos. Esta relación debe hacerse a priori como también el modo de funcionamiento o explotación de las configuraciones elegidas. Una vez realizada la experiencia se realizará un ajuste de las configuraciones y los modos de explotación, es decir una revisión de la orquestación.El problema juega un papel fundamental, es la herramienta que permite re-significar conocimientos matemáticos y construir saberes artefactuales y matemáticos. Trouche(2011) plantea que la orquestación instrumental es el eslabón que falta para vincular el entorno y una situación con el medio de aprendizaje.Serán éstas las categorías a considerar en un análisis a priori: la génesis instrumental y la mediación del instrumento, con la intención de proponer una orquestación instrumental, a través de una secuencia didáctica que permita construir la noción del lugar geométrico desde una mirada instrumental.

9 La razón de ser de nuestra propuesta es que el estudiante comience a apropiarse del artefacto, como instrumento para construir conocimiento matemático, a partir de sus conocimientos previos.

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10En una etapa inicial de descubrimiento de un entorno mediado por un instrumento, en este caso la utilización del software Geogebra en la resolución de situaciones problemáticas.En el inicio estamos en una etapa de descubrimiento de los comandos y selección de aquellas teclas relevantes, para llegar en el futuro a una etapa de personalización y transformación de la herramienta.

11 El proceso en que el artefacto se convierte en instrumento en manos de los estudiantes es lo que denominamos génesis instrumental, para que esto suceda el sujeto desarrolla y aplica esquemas mentales. La “instrumentalización” que se dirige hacia el artefacto, donde el conocimiento y los esquemas previos que posee el sujeto determinan la forma y el sentido en que es usado el artefacto. Es un proceso de apropiación creativa. El otro proceso es el de “instrumentación” que se dirige hacia el sujeto, donde las limitaciones y posibilidades del artefacto influencian las estrategias y los conceptos que emergen en la resolución de los problemas, apareciendo nuevos esquemas de uso. El estudiante necesita recurrir a viejos esquemas para construir nuevos. Un esquema es una manera más o menos estable de hacer frente a tareas específicas. ”No se puede imaginar que un proceso de este tipo interviene sin que sean reconocidas por el sujeto analogías y parentescos (semejanzas sobre ciertos criterios, diferencias sobre otros) entre la clase de situaciones sobre la cual el esquema era ya operatorio para el sujeto, y las situaciones nuevas a conquistar. El reconocimiento de invariantes es por tanto la clave de la generalización del esquema.” VERGNAUD (1990 p4-5)Si tenemos un instrumento, tenemos un esquema, porque este es parte de él. Dentro de los esquemas de instrumentación se distinguen los de acción y los de utilización, relacionados éstos con los artefactos y que constituyen bloque de construcción de esquemas más integrados de acción. En estos esquemas mentales los aspectos técnicos y conceptuales están entrelazados. (TROUCHE & DRIJVERS, 2010)Un esquema está constituido por técnicas instrumentadas y conocimientos que dirigen y guían esas técnicas. A su vez los conocimientos contenidos en los esquemas se designan “por la expresión “concepto-en-acto” y “teorema-en-acto”” VERGNAUD (1990 p4) que son lo que deberemos identificar como la manifestación visible de un esquema para luego diversificar las situaciones para desestabilizar a los teoremas en acto y proponer finalmente problemas que involucren la construcción de nuevos conocimientos. TROUCHE (2011).

12 “El descubrimiento progresivo que realizan los sujetos de las propiedades  (intrínsecas) del artefacto se acompaña de la acomodación de sus esquemas, pero también, de cambios de significado del instrumento que resultan de la asociación del artefacto con nuevos esquemas.” (RABARDEL 2011 p 220-221)

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A partir de las situaciones problema el estudiante resignifica los contenidos de función lineal y cuadrática y nuestra intención es que el alumno comprenda que una ecuación con dos variables se puede representar como una curva en el plano, a la que se le denomina lugar geométrico.

14 Las situaciones problema fueron llevadas al aula con modalidad taller en grupos de estudiantes que poseen netbook, quieren incorporar su uso en clase y casi no conocen el programa Geogebra. La modalidad de trabajo será la de taller, generando tareas que permitan construir el objeto matemático y a su vez desarrollar técnicas instrumentadas en el uso del artefacto.El trabajo propuesto permite que el estudiante pueda apreciar la relación íntima de la geometría y su correspondiente modelo algebraico, sirviendo esta propuesta como una introducción a la geometría analítica.Se supone que los estudiantes dominan la construcción de fórmulas y gráficas de funciones lineales y cuadráticas, esto les permitirá reconocerlas cuando aparezcan en pantalla

15 En los problemas que les proponemos, el análisis parte del gráfico para finalmente llegar a conjeturar una ecuación que el programa les ayudará a validar.El tratamiento en papel y lápiz no hace visible el lugar geométrico de los puntos que cumplen con determinada relación, mientras que la geometría dinámica sí. La ayuda de la imagen permite hacer conjeturas que luego podrán validar.Intención: Desde la gestión didáctica procuramos que el artefacto potencie la actividad matemática del alumno recurriendo a sus conocimientos geométricos previos para lograr la construcción propuesta y esto a su vez permitirá que el alumno se apropie del artefacto. Una de las tareas del alumno será estudiar la relación entre lado y área de un rectángulo y la relación funcional que se establece para lo que deberá recurrir a conocimientos previos de función lineal. Nuestra intención es que el alumno comprenda que una ecuación con dos variables se puede representar como una curva en el plano, a la que se le denomina lugar geométrico y se corresponde con algunos puntos de la relación funcional que se establece entre ambas variables. Enunciado: Representa, usando Geogebra, los rectángulos cuyo perímetro es menor o igual a 14 y su altura es 3.

16 Intención: Propone un acercamiento al comportamiento cuadrático desde la

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relación entre variables, es un problema que permite conjeturar desde la construcción. La intención de la propuesta es que puedan inferir relaciones a partir de una construcción que se le dará con el enunciado del problema fig.2. Analizaremos a partir de esta construcción cómo es la relación que se puede establecer entre la base del cuadrilátero y el área del mismo.Los estudiantes podrán observar el rectángulo que queda inscripto en el triángulo, analizar la variación de la figura con el movimiento del punto D, relacionar los triángulos que quedan formados, y sus relaciones de semejanza. Nuevamente para explorar tendrán que recurrir a sus conocimientos geométricos en este caso de triángulos semejantes. La dificultad, o el problema a resolver, será determinar el rectángulo de mayor área y para ello que utilice la herramienta lugar geométrico que ya utilizaron en el problema 1. También recurrirán a sus conocimientos de función cuadrática.Enunciado:En el archivo Prob2.ggb encontrarás la representación del problema.

Las técnicas desarrolladas en relación con las tareas del primer problema, serán herramientas a utilizar en una nueva tarea.

17 Ya que al usar las herramientas del programa durante la resolución de los problemas se produce una evolución y acomodación de los esquemas de exploración. (RABARDEL 2011 p215) Vemos la evolución de los esquemas de exploración cuando los estudiantes reciben el archivo del problema 2 y pueden interpretar la vista algebraica y avanzar en la resolución e incorporar la hoja de cálculo en el caso de los profesores.

De nuestra observación al grupo de estudiantes, podemos inferir que no se apropian de las propiedades del software ni realizan un proceso de enriquecimiento de las propiedades del mismo, entonces nos atrevemos a conjeturar que aparentemente no se da el proceso de instrumentalización, o bien es algo momentáneo. De todas maneras no están las condiciones dadas para analizar dicho proceso en los estudiantes, si para afirmar que requiere de diferentes situaciones problematizadoras y de una adecuada gestión del docente.La génesis instrumental, es un proceso complejo y continuo, que requiere, de una organización matemática que sea producto de prácticas matemáticas situadas institucionalmente y de tiempo para relacionar las características del artefacto con la actividad matemática del sujeto.

18 Consideramos que los problemas son acordes a la intención de la propuesta y coherente la sucesión de las tareas. El conocimiento matemático es el eje que orienta las tareas y el software utilizado como instrumento es el medio que permite explorar, conjeturar, argumentar con otras posibilidades que no ofrece el lápiz y el papel. Las situaciones problemas fueron una herramienta para

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resignificar y construir conocimientos matemáticos y a través de su resolución construir saberes artefactuales.En un medio dinámico la percepción modifica la exploración, permite al alumno la posibilidad de construir y transformar en un mismo momento, posibilitando la intuición. La visualización orienta el trabajo del alumno, la posibilidad de medir, comparar, cambiar y obtener información, desde su propia acción aborda el problema y experimenta con el mismo. La gestión del docente exige un análisis a posteriori in situ, aún habiéndose anticipado las variables didácticas son dinámicas en función de las necesidades que surjan. Las situaciones que se presentan generan nuevas situaciones a-didácticas. El docente debe estar atento y proponer variables para que los alumnos no se precipiten en las generalizaciones, ya que lo visual puede obstaculizar la validación y demostración de las formulaciones

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