Oscialciones y Ondas

1 APUNTES DE FISICA OSCILACIONES Y ONDAS MSC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

ACERTIJOEste soporte de una sola botella de vino es un ejemplo interesante de un sistema mecánico que parece desafiar a la gravedad. El sistema (soporte más botella) se equilibra cuando su centro de gravedad está directamente arriba del punto de apoyo más bajo. ¿Cuáles dos condiciones son necesarias para que un objeto presente esta clase de estabilidad?

CAPITULO 12

EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ELASTICIDAD

Líneas generales del capítulo

12.1. Condiciones para el equilibrio12.2. Más acerca del centro de gravedad12.3. Ejemplos de cuerpos rígidos en equilibrio estático12.4. Propiedades elásticas de los sólidos

En los capítulos 10 y 11 se estudió la dinámica de objetos rígidos, es decir objetos cuyas partes permanecen con una separación fija entre sí cuando se someten a fuerzas externas. Parte de este capítulo se ocupa de las condiciones bajo las cuales un objeto rígido está en equilibrio. El término equilibrio implica que el objeto está en reposo o que su centro de masa se mueve a velocidad constante. En este capítulo se tratará sólo con el primero de estos casos, que se conoce como objetos en equilibrio estático. El equilibrio estático es una situación común en la práctica de la ingeniería y los principios implicados son de especial interés para los ingenieros civiles, arquitectos e ingenieros mecánicos. Los lectores que sean estudiantes de ingeniería, sin duda, en el futuro tomarán cursos avanzados de estática.

La última sección de este capítulo trata de cómo los objetos se deforman en condiciones de carga. Dichas deformaciones suelen ser de naturaleza elástica y no afectan las condiciones de equilibrio. Un objeto elástico regresa a su forma original cundo se eliminan las fuerzas deformadoras. Se definen varias constantes elásticas, cada una correspondiente a un tipo diferente de deformación.


12.1. CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO

En el capítulo 5 se estableció que una condición necesaria para equilibrar es q ue la fuerza neta que actúa sobre un objeto sea cero. Si el objeto se trata como una partícula, entonces ésta es la única condición que debe ser satisfecha para el equilibrio. Sin embargo, la situación con objetos reales (extendidos) es más compleja, ya que estos objetos no pueden ser tratados como partículas. Para que un objeto extendido esté en equilibrio estático debe satisfacerse una segunda condición. Esta segunda condición involucra que el momento de torsión neto actúe sobre el objeto extendido. Note que el equilibrio no requiere la ausencia de movimiento. Por ejemplo, un objeto en rotación puede tener velocidad angular constante y todavía estar en equilibrio.

Figura 12.1. Una fuerza única F actúa sobre un objeto rígido en el plano P.

Considere una fuerza aislada F que actúa sobre un objeto rígido como se muestra en la figura 12.1. El efecto de la fuerza depende de su punto de aplicación P. Si r es el vector de posición de este punto relativo a O, el momento de torsión asociado con la fuerza F alrededor de O está dada por la ecuación 11.7:

Recuerde a partir del análisis del producto vectorial en la sección 11.2 que el vector r es perpendicular al plano

formado por r y F. Con la regla de la mano derecha se puede determinar la dirección de ; cierre su mano

derecha de manera tal que sus dedos den vuelta en la dirección de rotación que F tiende a dar al objeto en torno

a un eje a través de O; su pulgar apunto entonces en al dirección de . Por tanto en la figura 12.1 está dirigida

hacia afuera de la página.

Como se puede ver en la figura 12.1, la tendencia de F a hacer girar el objeto alrededor de un eje que pasa por O

depende tanto del brazo de momento d como de la magnitud de F. Recuerde que la magnitud de es Fd (véase

la Ec. 10.19). Suponga ahora que sobre un objeto rígido actúa primero una fuerza F1 y después una fuerza F

2. Si

las dos fuerzas tienen la misma magnitud producirán el mismo efecto sobre el objeto sólo si tienen la misma

dirección y la misma línea de acción. En otras palabras:

Dos fuerzas F

1 y F

2 son equivalentes si y solo sí F

1 = F

2 y únicamente si las dos producen el mismo

momento de torsión en torno a cualquier eje.

Las dos fuerzas mostradas en al figura 12.2 son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Ellas no son

perpendiculares. La fuerza dirigida hacia la derecha tiende a hacer girar al objeto en el sentido de las manecillas

del reloj alrededor de un eje perpendicular al diagrama y que pasa por O, en tanto que la fuerza dirigida hacia la

izquierda tiende a hacerlo girar en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno de ese eje.


Figura 12.2. Las fuerzas F1 y F

2 no son equivalentes porque no producen el mismo momento de torsión sobre

algún eje, aun cuando sean iguales en magnitud y opuestas en dirección.

Suponga que un objeto está pivoteado alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, como se ilustra en la

figura 12.3. Dos fuerzas de igual magnitud actúan en direcciones opuestas a lo largo de líneas de acción

paralelas. Dos fuerzas que actúan de este modo forman lo que se conoce como un par. (Las dos fuerzas

mostradas en al figura 12.2 también forman un par). No cometa el error de pensar que las fuerzas en un par son

resultado de la tercera ley de newton. No pueden ser fuerzas de la tercera ley porque actúan sobre el mismo

objeto. Los pares de fuerzas de la tercera ley actúan sobre objetos diferentes. Puesto que cada fuerza produce el

mismo momento de torsión, Fd, el momento de torsión neto tiene una magnitud de 2Fd. Es claro que el objeto

gira en el sentido de las manecillas del reloj y experimenta una aceleración angular alrededor del eje. Esta es

una situación de no equilibrio en relación con el movimiento rotacional. El momento de torsión neto sobre el

objeto produce una aceleración angular de acuerdo con la relación = 2Fd = I (véase la ec. 10.21).

Figura 12.3. Dos fuerzas de igual magnitud forman un par si sus líneas de acción son diferentes líneas paralelas.

En este caso el objeto gira en el sentido de las manecillas del reloj. El momento de torsión neto sobre cualquier

eje es 2Fd.

En general, un objeto está en equilibrio rotacional únicamente si su aceleración angular = 0. Puesto que =

I para la rotación alrededor de un eje fijo, la segunda condición necesaria para de equilibrio es que el

momento de torsión neto alrededor de cualquier eje debe ser cero. Ahora se tienen dos condiciones

necesarias para el equilibrio de un objeto:

1. La fuerza externa resultante debe ser igual a cero: F = 0

2. El momento de torsión externo resultante debe ser cero alrededor de cualquier eje: = 0


La primera condición de equilibrio es un enunciado del equilibrio traslacional que establece que la aceleración lineal del centro de masa del objeto debe ser cero cuando se observa desde un marco de referencia inercial. La segunda condición es un enunciado del equilibrio rotacional que indica que la aceleración angular alrededor de cualquier eje debe ser cero. En el caso especial del equilibrio estático, que es el principal tema de este capítulo, el objeto está en reposo, por lo que no tiene rapidez lineal o angular (esto es, vCM = 0 y = 0) Pregunta sorpresa 12.1

(a) ¿Es posible que exista una situación en la cual se satisfaga la ecuación 12.1 pero no la ecuación 12.2? (b) ¿Puede ser satisfecha la ecuación 12.2 mientras la ecuación 12.1 no lo sea?

Las dos expresiones vectoriales dadas por las ecuaciones 12.1 y 12.2 son equivalentes, en general, a seis ecuaciones escalares, tres a partir de la primera condición de equilibrio y tres a partir de la segunda condición de equilibrio (correspondientes a las componentes x, y y z): Por consiguiente, en un sistema complejo en el que actúan varias fuerzas en diferentes direcciones será necesario resolver un conjunto de ecuaciones con muchas incógnitas. En este caso el análisis se limita a situaciones en las que todas las fuerzas están en el plano xy. (Se dice que las fuerzas cuyas representaciones vectoriales están en el mismo plano son coplanares) Con esta restricción se tratará sólo con tres ecuaciones escalares. Dos de estas surgen de equilibrar las fuerzas en las direcciones x y y. La tercera proviene de la ecuación del momento, es decir, el momento de torsión neto alrededor de cualquier punto en el plano xy debe ser cero. Por tanto, las dos condiciones de equilibrio proporcionan las ecuaciones:

(12.3)

Donde el eje de la ecuación del momento de torsión es arbitrario, como se mostrará después.

Figura 12.4. La construcción muestra que si el momento de torsión neto es cero en torno al origen O, también es

cero en torno a cualquier otro origen, como O’.

Independientemente del número de fuerzas que actúan, si un objeto está en equilibrio traslacional y si el

momento de torsión neto es cero en relación con algún punto, también debe ser cero respecto a cualquier otro

punto. El punto puede estar dentro o fuera de las fronteras del objeto. Considere un objeto bajo la acción de

varias fuerzas de modo que la fuerza resultante F = F1 + F

2 + F

3 + … + = 0. La figura 12.4 describe esta

situación (por claridad sólo se muestran cuatro fuerzas). El punto de aplicación de F1 relativo a O se especifica

por medio del vector de posición r1. De modo similar, los puntos de aplicación de F

2, F

3, .. se especifican

mediante r2, r

3, .. (los cuales no se muestran). El momento de torsión neto alrededor de O es:


Considere ahora otro punto arbitrario, O’, que tiene el vector de posición r’ relativo al punto O. El punto de

aplicación de F1 relativo a O’ se identifica por medio del vector r

1 r’. De igual modo, el punto de aplicación de

F2 relativo a O’ es r

2 r’, y así sucesivamente. En consecuencia, el momento de torsión alrededor de O’ es:

Como se supone que la fuerza neta será cero (puesto que el objeto está en equilibrio traslacional), el último

desaparece y se ve que el momento de torsión respecto de O’ es igual al momento de torsión alrededor de O. Por

tanto, si un objeto está en equilibrio traslacional y el momento de torsión neto es cero alrededor de un

punto, entonces el momento de torsión neto debe ser cero respecto de cualquier otro punto. 12.2. MÁS ACERCA DEL CENTRO DE GRAVEDAD

Se ha visto que el punto en el cual se aplica una fuerza puede ser crítico para determinar como responderá el objeto a dicha fuerza. Por ejemplo, dos fuerzas de igual magnitud pero direcciones opuestas pueden estar en equilibrio si se aplican al mismo punto sobre un objeto. Sin embargo, si el punto de aplicación de una de las fuerzas se mueve, de tal modo que las dos fuerzas ya no actúan a lo largo de la misma línea de acción, entonces resulta un par de fuerzas y el objeto experimenta una aceleración angular. /Esta es la situación que se muestra en la figura 12.3).

Siempre que trabaje con objetos rígidos una de las fuerzas que debe considerar es la fuerza de gravedad que actúa sobre él, y se debe conocer el punto de aplicación de dicha fuerza. Como se aprendió en la sección 9.6, en todo objeto existe un punto especial llamado centro de gravedad. Todas las fuerzas gravitacionales que actúan sobre todos los diversos elementos de masa del objeto son equivalentes a una sola fuerza gravitacional que actúa a través de este punto. Por tanto, para calcular el momento de torsión debido a la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa M, sólo se debe considerar la fuerza Mg que actúa en el centro de gravedad del objeto.

Figura 12.5. Un objeto se puede dividir en muchas pequeñas partículas cada una con masa y coordenadas específicas. Estas partículas se pueden usar para localizar el centro de masa ¿Cómo se encuentra este punto especial? Como se mencionó en la sección 9.6 si se supone que g es uniforme sobre el objeto, entonces el centro de gravedad del objeto coincide con su centro de masa. Para comprobar que esto es así considere un objeto de forma arbitraria ubicado en el plano xy, como el que se ilustra en la figura 12.5. Suponga que el objeto se divide en numerosas partículas de masa m1, m2, m3, …. con coordenadas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3),.. En la ecuación 0.28 se definió la coordenada x del centro de masa de un objeto con estas características como:


Se emplea una ecuación similar para definir la coordenada y del centro d emasa reemplazando cada x con su contraperte y.

Figura 12.6. El centro de gravedad de un objeto se localiza en el centro de masa si g es constante sobre el objeto.

Ahora se examinará la situación desde otro punto de vista al considerar la fuerza de gravedad ejercida sobre cada partícula, como se muestra en al figura 12.6. Cada partícula contribuye a un momento de torsión debido a la fuerza m1g; es m1g1x1, donde g1 es la magnitud del campo gravitacional en la posición de la partícula de masa m1. Ahora se quiere ubicar el centro de gravedad, el punto en el cual la aplicación de la fuerza gravitacional individual Mg (donde M = m1 + m2 + m3 + .. es la masa total del objeto) tiene el mismo efecto sobre la rotación como lo tiene el efecto combinado de todas las fuerzas gravitacionales individuales migi. Al igualar el momento de torsión resultante de Mg que está en el centro de gravedad con la suma de los momentos de torsión que actúan sobre las partículas individuales se obtiene:

Esta expresión explica el hecho de que por lo común la intensidad del campo gravitacional, g, puede variar

sobre el objeto. Si se supone que g es uniforme sobre el objeto (como suele ser el caso), entonces los términos g

se cancelan y se obtiene:

(12.4)

Al comparar este resultado con la ecuación 9.26 se ve que el centro de gravedad se localiza en el centro de

masa siempre y cuando el objeto se encuentre en un campo gravitacional uniforme.


Una gran roca balanceada en el “Jardín de los Dioses” en Colorado Sptings: un ejemplo del equilibrio estable.

En algunos ejemplos que se presentan en la siguiente sección se tratará con objetos simétricos y homogéneos

para los cuales el centro de gravedad coincide con su centro geométrico.12.3. EJEMPLOS DE CUERPOS RÍGIDOS EN EQUILIBRIO ESTÁTICO

La fotografía del soporte de una botella de vino en la primera página de este capítulo muestra un ejemplo de un sistema mecánico balanceado que parece desafiar la gravedad. Para que el sistema (soporte más botella) esté en equilibrio, tanto la fuerza externa neta (véase la Ec. 12.1) como el momento de torsión externo neto (véase la Ec. 12.2) deben ser cero. La segunda condición de equilibrio puede ser satisfecha sólo cuando el centro de gravedad del sistema está directamente arriba del punto de apoyo-

Al trabajar con problemas de equilibrio estático es importante reconocer las fuerzas externas que actúan sobre el objeto. Cualquier error al hacer esto producirá un análisis incorrecto. Se recomienda aplicar el siguiente método cuando se analice un objeto en equilibrio bajo la acción de varias fuerzas externas. Sugerencia para resolver problemas

Objetos en equilibrio estático

Dibuje un diagrama simple y claro del sistema. Aisle el objeto a ser analizado. Dibuje un diagrama de cuerpo libre y asigne una letra a todas las fuerzas

externas que actúen sobre él, indicando donde se aplican dichas fuerzas. No incluya las fuerzas que el objeto ejerce sobre sus alrededores. (Para sistemas que contengan más de un objeto dibuje diagramas de cuerpo libre separados para cada uno). Intente adivinar la dirección correcta de cada fuerza. Si elige una dirección que conduce a una fuerza negativa no se alarme, esto sólo significa que la dirección de la fuerza es opuesta a la que usted eligió.

Establezca un sistema coordenado conveniente para el objeto y encuentre las componentes de las fuerzas a lo largo de los dos ejes. Aplique después la primera condición de equilibrio. Recuerde conservar los signos de las diferentes componentes de fuerza.

Elija un eje conveniente para calcular el momento de torsión neto sobre el objeto. Recuerde que la elección del origen para la ecuación del momento de torsión es arbitraria, por tanto, elija un origen que simplifique sus cálculos lo más posible. Observe que una fuerza que actúa a lo largo de una línea que pasa por el punto elegido como el origen proporciona una contribución cero al momento de torsión y, por tanto, puede ser ignorada.

La primera y segunda condiciones para el equilibrio proporcionan un juego de ecuaciones lineales que contienen varias incógnitas, y esas ecuaciones se pueden resolver de manera simultánea-

EJEMPLO 12.1. El sube y baja (balancín)

Un tablón uniforme de 40,0 N de peso soporta a un padre y su hija que pesan 800 N y 350 N, respectivamente, como se muestra en al figura 12.7. Si el soporte (llamado punto de apoyo) está debajo del centro de gravedad del tablón y si el padre se encuentra a 1,00 m del centro, (a) Determine la magnitud de la fuerza hacia arriba N ejercida sobre el tablón por el soporte. (b) Determine dónde debe sentarse la niña para equilibrar el sistema. (c) Repita la parte (b) para otro eje.


Figura 12.7. Un sistema balanceadoSolución

(a) Observe primero que, además de N, las fuerzas externas que actúan sobre el tablón son las fuerzas descendentes ejercidas por cada persona y la fuerza de gravedad que actúan sobre el tablón. SE sabe que el centro de gravedad del tablón está en su centro geométrico porque se ha señalado que el tablón es uniforme. Puesto que el sistema está en equilibrio estático, la fuerza N hacia arriba debe equilibrar todas las fuerzas hacia abajo. De acuerdo con Fy = 0 se tiene, una vez definida como positiva la dirección y ascendente:

(La ecuación Fx = 0 también se aplica, pero no es necesario considerarla, ya que no hay fuerzas que actúen horizontalmente sobre el tablón)

(b) Para encontrar esta posición se debe apelar a la segunda condición de equilibrio. Si se toma un eje perpendicular a la página a través del centro de gravedad del tablón como el eje para la ecuación del momento de torsión (esto significa que los momentos de torsión producidos por N y la fuerza de gravedad que actúan sobre el tablón en torno a este son cero), se ve que, de acuerdo con = 0:

(c) Para ilustrar que la elección del eje es arbitraria elija un eje perpendicular a la página que pase por la ubicación del padre. Recuerde que el signo del momento de torsión asociado con una fuerza es positivo si dicha fuerza tiende a girar al sistema en sentido contrario al de las manecillas del reloj, mientras que el signo del momento de torsión es negativo si la fuerza tiende a girar al sistema en el sentido de las manecillas del reloj. En este caso = 0 produce:

De la parte (a) se sabe que N = 1 190 N. Por tanto, se puede resolver para x y encontrar que:

x = 2,29 m

Este resultado está en concordancia con el obtenido en la parte (b)

Pregunta sorpresa 12.2

En el ejemplo 12.1, si el punto de apoyo no se encuentra bajo el centro de gravedad de la tabla, ¿qué otra estimación sería necesaria para resolver el problema?

EJEMPLO 12.2. Una mano que soporta un peso

Una persona sostiene una esfera de 50,0 N en su mano. El antebrazo está en posición horizontal, como se muestra en al figura 12.8a. El músculo del bíceps está unido a 3,00 cm de la articulación, y la esfera se encuentra a 35,0 cm de ésta. Encuentre la fuerza hacia arriba que el bíceps ejerce sobre el antebrazo y que actúa en la articulación. Ignore el peso del antebrazo.


Figura 12.8. (a) El músculo bíceps jala hacia arriba con una fuerza F que está esencialmente en ángulos rectos con el antebrazo. (b) Modelo mecánico para el sistema descrito en la parte (a)

Solución

La situación se simplifica al modelar el antebrazo como una barra, como se muestra en al figura 12.8b, donde F es la fuerza hacia arriba ejercida por el bíceps y R es la fuerza hacia abajo ejercida por la parte superior del brazo en al articulación. De acuerdo con la primera condición de equilibrio se tiene, con la dirección y positiva hacia arriba:

(1)

Al partir de la segunda condición de equilibrio se sabe que la suma de los momentos de torsión alrededor de

cualquier punto debe ser cero. Con la articulación O como el eje se tiene;

Este valor para F puede sustituirse en al ecuación (1) para producir:

R = 533 N

Como este ejemplo muestra, las fuerzas en las articulaciones y en los músculos pueden ser extremadamente

grandes.

Ejercicio: En realidad el bíceps forma un ángulo de 15,0º con la vertical, por lo que F tiene tanto una

componente vertical como una horizontal. Encuentre la magnitud de F y las componentes de R e incluya este

hecho en su análisis

Respuesta: F = 604 N, Rx = 156 N; R

y = 533 N

EJEMPLO 12.3. Parado sobre una viga horizontal


Una viga horizontal uniforme de 8,00 m de largo y 200 N de peso está unida a un muro por medio de una conexión de perno. Su extremos alejado está sostenido por un cable que forma un ángulo de 53,0º con la horizontal (Fig. 12.9a). Si una persona de 600 N está parada a 2,00 m del muro, encuentre la tensión en el cable así como la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida por el muro sobre la viga.

Figura 12.9. (a) Una viga uniforme soportada por un cable. (b) El diagrama de cuerpo libre para la viga. (c) El diagrama de cuerpo libre para la viga que muestra las componentes de R y T.

Solución Debe identificar primero todas las fuerzas externas que actúan sobre la viga. Estas son la fuerza de gravedad de 200 N, la fuerza T ejercida por el cable, la fuerza R ejercida por el muro en el pivote, y la fuerza de 600 N que la persona ejerce sobre la viga. Todas ellas se indican en el diagrama de cuerpo libre de la viga mostrada en la figura 12.9b. Cuando se consideran las direcciones para las fuerzas, en ocasiones es útil imaginar qué ocurriría si una fuerza fuese súbitamente eliminada. Por ejemplo, si la pared desapareciera en forma repentina, el extremo izquierdo de la viga quizá se movería hacia la izquierda conforme comenzara a caer. Esto dice que la pared no sólo sostiene a la viga sino que también la empuja hacia afuera. Por tanto, se dibuja el vector R como se muestra en al figura 12,9b. Si se descomponen T y R en las componentes horizontal y vertical, como se muestra en la figura 12.9c, y se aplica la primera condición de equilibrio, se obtiene:

(1)

(2)

donde se han elegido hacia la derecha y hacia arriba como las direcciones positivas. Como R, T y son incógnitas no se puede obtener una solución sólo a partir de estas dos expresiones (El número de ecuaciones simultáneas debe ser igual al número de incógnitas para poder resolver tales incógnitas)

Es necesario ahora recurrir a la condición de equilibrio rotacional. Un eje conveniente para la ecuación del momento de torsión es el que pasa por el perno de conexión. La característica que hace que este punto sea tan conveniente es que tanto la fuerza R como la componente horizontal de T tiene un brazo de momento igual a cero, por lo que su momento de torsión también es cero respecto de este pivote. Recordando la convención de que la dirección contraria a las manecillas del reloj es positiva para el signo del momento de torsión alrededor de un eje, y al observar que los brazos de momento de las fuerzas de 600 N, 200 N y T sen 53,0º son de 2,00 m, 4,00 my 8,00 m, respectivamente, se obtiene:


T = 313 m

Así, la ecuación del momento de torsión con este ¿proporciona directamente una d elas incógnitas! Este valor se

sustituye en (1) y (2) para obtener:

R cos = 188 N

R sen = 550 N

Al dividir la segunda ecuación entre la primera, y recordando la identidad trigonométrica sen /cos = tan se

obtiene:

= 71,1º

Este resultado positivo indica que la estimación de la dirección de R fue correcta.

Por último:

Si hubiera escogido algún otro eje para la ecuación del momento de torsión la solución habría sido la misma.

Por ejemplo, si hubiera elegido el eje que pasa por el centro de gravedad de la viga, la ecuación del momento de

torsión incluiría tanto a T como a R. Sin embargo, esta ecuación, acoplada con (1) y (2), podría seguirse

resolviendo con respecto a las incógnitas. ¿Inténtelo!

Cuando muchas fuerzas están implicadas en un problema de esta naturaleza es conveniente elaborar una tabla.

Por ejemplo, en el ejercicio anterior se construiría la siguiente tabla. Hacer la suma de los términos en al última

columna igual a cero representa la condición de equilibrio rotacional.

Componentes de fuerza Brazo de momento relativo a O (m) Momento de torsión en torno a O

(N . m)

T sen 53,0º 8,00 (8,00) T sen 53,0º

T cos 53,0º 0 0

200 N 4,00 (4,00) (200)

600 N 2,00 (2,00) (600)R sen

0 0

R cos 0 0


EJEMPLO 12.4. La escalera inclinada

Una escalera uniforme de longitud ℓ y peso mg = 50 N descansa contra una pared vertical lisa (Fig, 12.10a): Si

el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo es e = 0,40, encuentre el ángulo mínimo mín

en el

cual la escalera no se deslice.

Figura 12.10. (a) Una escalera uniforme en reposo, apoyada contra una pared plana. El piso es rugoso. (b)

Diagrama de cuerpo libre para la escalera. Advierta que las fuerzas R, mg y P pasan por un punto común O’.

Solución

El diagrama de cuerpo libre que muestra todas las fuerzas externas que actúan sobre la escalera se ilustra en la

figura 12.10b. La fuerza de reacción R ejercida por el suelo sobre la escalera es la suma vectorial de la fuerza

normal N y la fuerza de fricción estática fe. La fuerza de reacción P ejercida por la pared sobre la escalera es

horizontal, puesto que la pared no presenta fricción. Advierta cómo se han incluido sólo fuerzas que actúan

sobre la escalera. Por ejemplo, las fuerzas ejercidas por la escalera sobre el piso y la pared no son parte del

problema y por lo mismo no aparecen en el diagrama de cuerpo libre. Al aplicar la primera condición de

equilibrio a la escalera se tiene:

En la segunda ecuación se ve que N = mg. Además, cuando la escalera está a punto de deslizarse, la fuerza de

fricción debe ser un máximo dado por fs,máx

= e N = 0,40 (50 N) = 20 N. (Recuerde la ecuación 5.8: f

e s

N).

De modo que, a este ángulo, P = 20 N.

Para encontrar min se debe utilizar la segunda condición de equilibrio. Cuando los momentos de torsión se

toman alrededor del origen O en el pie de la escalera se obtiene:


Pero como P = 20 N cuando la escalera casi empieza a deslizarse, y mg = 50 N, esta expresión produce:

Un método alternativo para analizar este problema es considerar la intersección O’ de las líneas de acción de las

fuerzas mg y P. Puesto que el momento de torsión alrededor de cualquier origen debe ser cero. Esto requiere

que la línea de acción de R (la resultante de N y f) pase por O’. En otras palabras, puesto que la escalera está

estacionaria, las tres fuerzas que actúan sobre ella deben pasar a través de algún punto común. (Se dice que tales

fuerzas son concurrentes). Con esta condición podría entonces obtener el ángulo que R forma con la

horizontal (donde es más grande que ). Como esta aproximación depende de la longitud de la escalera usted

tiene que conocer el valor de ℓ para obtener un valor de mín

.

Ejercicio. Para los ángulos indicados en la figura 12.10, muestre que tan = 2 tan

EJEMPLO 12.5. Superando una guarnición

(a) Estime la magnitud de la fuerza F que una persona debe aplicar a la rueda principal de una silla de ruedas

para rodarla sobre la guarnición de una acera (Fig. 12.11a). Esta rueda principal, la cual es la que llega a estar en

contacto con la guarnición, que tiene una altura h, tiene un radio r. (b) Determine la magnitud y dirección de R

Figura 12.11. (a) Persona y silla de ruedas con peso total mg que son elevados sobre una guarnición por una

fuerza F. (b) detalles de la rueda y la guarnición. (c) Diagrama de cuerpo libre para la rueda cuando está justo a

punto de ser elevada. Tres fuerzas actúan sobre la rueda en este instante: F, la cual es ejercida por la mano, R,

ejercida por la guarnición; y la fuerza gravitacional mg. (d) El vector suma de las tres fuerzas externas que

actúan sobre la rueda es cero

Solución

Por lo general las manos de la persona suministran la fuerza requerida a una rueda ligeramente más pequeña que

es concéntrica a la rueda principal. Se supone que el radio de la rueda más pequeña es el mismo que el de la

rueda principal de modo que se puede usar r para el radio. Estime un peso combinado de mg = 1 400 N para la


persona y la silla de ruedas y elija un radio de rueda de r = 30 cm, como se muestra en la figura 12.11b.

También seleccione una altura de guarnición de h = 10 cm. Se supone que la silla de ruedas y su ocupante son

simétricos y que cada rueda soporta un peso de 700 N. Entonces se procede a analizar una de las ruedas.

Cuando la rueda está a punto de ser elevada de la calle, la fuerza de reacción ejercida por el piso sobre la rueda

en el punto Q tiende a cero. Por tanto, en este momento sólo actúan tres fuerzas sobre la rueda, como se muestra

en la figura 12.11c. Sin embargo, la fuerza R, que es la fuerza que la guarnición ejerce sobre la rueda, actúa en

el punto P, de modo que si se elige tener el eje de rotación que pase por el punto P no es necesario incluir R en

al ecuación del momento de torsión. A partir del triángulo OPQ mostrado en al figura 12.11b se ve que el brazo

de momento d de la fuerza gravitacional mg, que actúa sobre la rueda en relación con el punto P, es:

El brazo de momento de F relativo al punto P es 2r h. Por tanto, el momento de torsión neta que actúa sobre la

rueda en torno al punto P es:

(Advierta que se ha mantenido sólo un dígito como significativo). Este resultado indica que la fuerza que debe

aplicarse a cada rueda es sustancial. Usted acaso querrá estimar la fuerza requerida para rodar una silla de

ruedas hacia arriba de una rampa de acceso en una acera típica para comparar)

(b) Se usa la primera condición para el equilibrio para determinar la dirección:

Dividiendo la segunda ecuación entre la primera se obtiene:

Se puede usar al triángulo recto mostrado en la figura 12.11d para obtener N:


Ejercicio. Resuelva este problema con base en la observación de que las tres fuerzas que actúan sobre la rueda

son concurrentes (esto es, que las tres pasan por el punto C). las tres fuerzas forman los lados del triángulo

mostrado en al figura 12.11d.

APLICACIÓN. Análisis de una armadura

Los techos, puentes y otras estructuras que deben ser fuertes pero ligeras a la vez, casi siempre están hechas de

apuntalamientos similares al mostrado en la figura 12.12a. Imagine que estos apuntalamientos representan parte

de un puente. Para aproximarse a este problema se supone que las componentes estructurales están conectadas

por puntas. También suponga que toda la estructura se puede deslizar horizontalmente porque está asentada en

“balancines” a cada extremo, lo cual le permite moverse atrás y adelante conforme experimenta expansión y

contracción térmica. Suponiendo que la masa de la estructura del puente es despreciable comparada con la carga

calcule las fuerzas de tensión o compresión en todas las componentes estructurales cuando está soportando una

carga de 7 200 N en su centro (véase el problema 58)

Figura 12.12. (a) Estructura de apuntalamiento para un puente. (b) Las fuerzas que actúan sobre los pernos en

los puntos A, C y E. Como ejercicio, el lector deberá dibujar diagramas de las fuerzas que actúan entre los

pernos en el punto B.

La notación de fuerza que se usará aquí no es del formato usual. Hasta ahora se ha usado la notación FAB

para

significar ·la fuerza ejercida por A sobre B”. Sin embargo, para esta aplicación todas las letras dobles suscritas a

F indican sólo el cuerpo que ejerce la fuerza. El cuerpo sobre el cual actúa una fuerza dada no es nombrado en el

subíndice. En la figura 12.12, por ejemplo, FAB

es la fuerza ejercida por el poste AB sobre el perno en A.


Primero se aplica la primera ley de Newton a la estructura como un todo en la dirección vertical. Las fuerzas

internas no entran en cada consideración. Se balancea el peso de la carga con las fuerzas normales que los

soportes sobre los cuales descansa el puente ejercen en los dos extremos:

A continuación se calcula el momento de torsión en torno a A notando que la longitud total de la estructura del

puente es L = 50 m.

Aunque se podría repetir el cálculo del momento de torsión para el extremo derecho (punto E), debería estar

claro que, por razones de simetría, NA = 3 600 N.

Ahora balancee las fuerzas verticales que actúan sobre el perno en el punto A. Si se supone que el poste AB está

en compresión, entonces la fuerza FAB

que ejerce el poste sobre el perno en el punto A tiene una componente y

negativa. (Si el poste está en tensión los cálculos resultarán con valor negativo para la magnitud de la fuerza,

aunque de la extensión correcta).

El resultado positivo muestra que la suposición de compresión fue correcta.

Ahora se pueden encontrar las fuerzas que actúan sobre al viga considerando las fuerzas que actúan en el perno

del punto A. Porque el punto A no se acelera, se puede suponer con seguridad que FAC

apuntará hacia la derecha

(Fig. 12.12b); esto indica que la viga entre los puntos A y C está bajo tensión:

Considere las fuerzas verticales que actúan en el perno del punto C. Se supondrá que el poste BC está en

tensión. (Imagine que el movimiento subsecuente del perno en el punto C del poste BC se rompe súbitamente).

Con base en al simetría se argumenta que FBC

= FDC

y que FAC

= FEC

:


Finalmente se balancean las fuerzas horizontales sobre B suponiendo que el poste BD está en compresión:

De esta forma la viga superior en un punto con este diseño debe ser muy fuerte.

12.4. PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS SÓLIDOS

En el estudio de mecánica hasta ahora se ha supuesto que los objetos permanecen indeformables cuando las fuerzas externas actúan sobre ellos. Pero, en realidad, todos los objetos son deformables. Es decir, es posible cambiar la forma o tamaño de un objeto (o las dos características) al aplicar fuerzas externas. Sin embargo, conforme se suscitan estos cambios las fuerzas internas en el objeto resisten la deformación.

Se analizará la deformación de sólidos en función de los conceptos de esfuerzo y deformación. El esfuerzo es una cantidad proporcional a la fuerza que produce una deformación; más específicamente, el esfuerzo es la fuerza externa por unidad de área de sección transversal que actúa sobre el objeto. La deformación es una medida del cambio fraccionario de la extensión. Se encuentra que, para esfuerzos suficientemente pequeños, la deformación es proporcional al esfuerzo; la constante de proporcionalidad depende del material que se está deformando y de la naturaleza de la deformación. Por tanto, el módulo elástico es la proporción entre el esfuerzo y la deformación resultante:

(12.5)

En un sentido muy real, es una comparación entre lo que le ocurre a un objeto sólido (al aplicársele una fuerza) y la forma en la que éste responde al suceso (se deforma a cierta extensión)


Modelo plástico de una estructura en arco en condiciones de carga. Las líneas onduladas indican regiones donde las tensiones son mayores. Tales modelos son útiles para diseñar componentes arquitectónicos.

Se considerarán tres tipos de deformaciones y se definirá un módulo para cada uno:

1. Módulo de Young. Mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud.

2. Módulo de corte. Mide la resistencia de los planos de un sólido a moverse deslizándose uno sobre otro.

3. Módulo volumétrico. Mide la resistencia que sólidos o líquidos presentan a los cambios en su volumen.

Módulo de Young: elasticidad en al longitud

Considere una larga barra de área de sección transversal A y longitud inicial L 0 que está sujeta en un estreno, como se indica en la figura 12.13. Cuando una fuerza externa F se aplica perpendicular a la sección transversal, las fuerzas internas en la barra resisten la distorsión (“alargamiento”), aunque la barra alcanza un equilibrio en el que su longitud final L es mayor que L0, en el cual la fuerza externa está exactamente equilibrada por fuerzas internas. En una situación de este tipo se dice que la barra está bajo esfuerzo. Se define el esfuerzo de tensión como la relación entre la magnitud de la fuerza externa F y el área de la sección transversal A. La deformación por tensión en este caso se define como la proporción entre el cambio en la longitud L = L – L0 y la longitud original L0. El módulo de Young Y se define mediante una combinación de estas dos proporciones.

(12.6)

En general el módulo de Young se utiliza para caracterizar una barra o alambre sometido a esfuerzos, ya sea por

tensión o compresión. Advierta que debido a que la deformación es una cantidad sin dimensiones, Y tiene

unidades de fuerza por unidad de área. En la tabla 12.1 se presentan valores comunes. Los experimentos

demuestran que: (a) para una fuerza aplicada fija, el cambio en la longitud es proporcional a la longitud original,


y (b) la fuerza necesaria para producir una deformación determinada es proporcional al área de sección

transversal. Las dos observaciones concuerdan con al ecuación 12.6

Figura 12.13. Una larga barra sostenida por uno de sus extremos es alargada por una cantidad L bajo la acción

de una fuerza F.

El límite elástico de una sustancia se define como el máximo esfuerzo que puede aplicársele antes de que se

deforme de manera permanente. Es posible exceder el límite elástico de una sustancia al aplicar un esfuerzo

suficientemente grande, como se ve en la figura 12.14. Al inicio una curva esfuerzo deformación es una línea

recta, sin embargo, conforme el esfuerzo se incrementa, la curva ya no es más una recta. Cuando el esfuerzo

supera el límite elástico, el objeto se deforma de manera permanente y no regresa a su forma original después

de que se elimina el esfuerzo. Por tanto, la forma del objeto cambia de manera permanente. Si el esfuerzo se

incrementa aún más el material terminará por romperse.

Figura 12.14. Curva de esfuerzo versus deformación para un sólido elástico.


¿Cuál es el módulo de Young para el sólido elástico cuya curva esfuerzodeformación se muestra en la figura

12.14?

Pregunta sorpresa 12.4.

Se dice que un material es dúctil si se puede tensar más allá de su límite elástico sin que se rompa. Un material

quebradizo es aquel que se rompe al poco tiempo de alcanzar su límite elástico. ¿Cómo clasificaría el material

de la figura 12.14?

Módulo de corte: elasticidad de la forma


Otro tipo de deformación ocurre cuando un objeto se somete a una fuerza tangencial a una se sus caras mientras

que la cara opuesta se mantiene fija mediante otra fuerza (Fig. 12.15a). En este caso el esfuerzo recibe el

nombre de esfuerzo de corte. Si el objeto es originalmente un bloque rectangular, un esfuerzo de corte produce

una forma cuya sección transversal es un paralelogramo. Un libro que se empuja de lado, como se muestra en la

figura 12.15b, es un ejemplo de un objeto bajo un esfuerzo de corte. Para una primera aproximación (para

distorsiones pequeñas) no hay cambio en el volumen bajo esta deformación

Figura 12.15. (a) Deformación de corte en al cual un bloque rectangular es distorsionado por dos fuerzas de

igual magnitud pero direcciones opuestas aplacadas a dos caras paralelas. (b) Un libro bajo tensión de corte.

El esfuerzo de corte se define como F/A, la proporción entre la fuerza tangencial y el área A de la cara a la que

se aplica el esfuerzo. La deformación de corte se define como la razón x/h, donde x es la distancia

horizontal que la cara bajo esfuerzo se mueve, y h es la altura del objeto. En función de estas cantidades el

módulo de corte S es:

(12.7)

En la tabla 12.1 se presentan valores de módulos de corte para algunos materiales representativos. Las unidades

del módulos de corte son fuerzas por unidad de área.

Experimento sorpresa

Estime el módulo de corte para las páginas de su libro de texto. ¿El grosor del libro tiene algún efecto sobre los

valores del módulo?

Módulo volumétrico: elasticidad de volumen

El módulos volumétrico caracteriza la respuesta de una sustancia a una compresión uniforme o a una reducción

en la presión cuando el objeto se coloca en un vacío parcial. Suponga que las fuerzas externas que actúan sobre

un objeto forman ángulos rectos en todas sus caras, como se ilustra en la figura 12.18, y que se distribuyen

uniformemente sobre todas ellas. Como se verá en el capítulo 15, dichas fuerzas distribuidas de manera

uniforme ocurren cuando un objeto está inmerso en un fluido. Un objeto sometido a este tipo de deformaciones

experimenta un cambio en su volumen pero no en su forma. El esfuerzo de volumen se define como la


proporción entre la magnitud de la fuerza normal F y el área A dela sección trasversal. La cantidad P = F/A

recibe el nombre de presión. Si la presión sobre un objeto cambia por una cantidad P = F/A, entonces el

objeto experimentará un cambio V en su volumen. La deformación de volumen es igual al cambio en el

volumen V dividido entre el volumen inicial V0. Así pues, de acuerdo con la ecuación 12.5, se puede

caracterizar una compresión de volumen (“volumétrico”) en función del módulo volumétrico B definido como:

(12.8)

Un signo negativo se inserta en esta ecuación de definición de modo que B sea un número positivo. Esta

maniobra es necesaria porque el aumento en la presión (P positivo) produce una disminución en el volumen

(V negativo), y viceversa.

Figura 12.16. Cuando un sólido está bajo presión uniforme experimenta un cambio en el volumen pero no

cambia su forma. Este cubo está comprimido en todos sus lados por fuerzas normales a sus seis caras.

La tabla 12.1 registra los módulos volumétricos de algunos materiales. Si usted busca dichos valores en una

fuente diferente, con frecuencia encontrará que se incluye el reciproco del módulo volumétrico. El reciproco del

módulo volumétrico se denomina compresibilidad K del material.

En la tabla 12.1 observe que tanto los sólidos como los líquidos tienen un módulos volumétrico. Sin embargo,

no hay módulos de corte ni módulos de Young para líquidos porque no soportan un esfuerzo de corte o un

esfuerzo de tensión (en lugar de eso, fluyen)

TABLA 12.1. Valores típicos para módulos elásticos

Sustancia Módulo de Young(1010N/m2)

Módulo de corte(1010N/m2)

Módulo volumétrico(1010N/m2)

Tungsteno 35 14 20Acero 20 8,4 6Cobre 11 4,2 14Latón 9,1 3,5 6,1Aluminio 7,0 2,5 7,0Vidrio 6,5 7,8 2,0 3,2 5,0 5,5


Cuarzo 5,6 2,6 2,7Agua 0,21Mercurio 2,8

Concreto precomprimido

Si el esfuerzo sobre un objeto sólido excede cierto valor, el objeto se fracturará. El máximo esfuerzo que puede aplicarse antes de que ocurra la fractura depende de la naturaleza del material y del tipo de esfuerzo aplicado. Por ejemplo, el concreto tiene una resistencia a la tensión de casi 2 x 10 6 N/m2, una resistencia a la compresión de 20 x 106 N/m2 y una residencia al corte de 2 x 106 N/m2. Si el esfuerzo aplicado sobrepasa estos valores, el centro se fractura. Es una práctica común utilizar grandes factores de seguridad para evitar fallas en estructuras de concreto.

En general el concreto es muy quebradizo cuando se moldea en secciones delgadas. Por ello las losas de concreto tienden a pandearse y a presentar fisuras en áreas sin soporte, como se ve en la figura 12.17a. Es posible darle más resistencia a la losa usando varillas de acero para reforzar el concreto, como se muestra en la figura 12.17b. Puesto que el concreto es mucho más resistente bajo compresión que bajo tensión o corte, las columnas verticales de concreto pueden soportar cargas muy pesadas, en tanto que las vigas horizontales de concreto tienden a pandearse y fisurarse. Sin embargo, se logra un aumento significativo en la resistencia al corte si el concreto es reforzado, como se muestra en la figura 12.17c. A medida que se moldea el concreto, las varillas de acero se mantienen bajo tensión por fuerzas externas. Estas se eliminan después de que el concreto fragua, lo cual produce una tensión permanente en el acero y, en consecuencia, un esfuerzo de compresión sobre el concreto. Esto permite que la losa de concreto soporte una carga mucho más pesada.

Figura 12.17. (a) Una losa de concreto sin reforzamiento tiende a romperse bajo una carga pesada. (b) La resistencia del concreto se incrementa al usar barras de acero de refuerzo. (c) El concreto se fortalece aún más al precomprimirlo con barras de acero bajo tensión.


Sostenga una goma de borrar nueva sobre dos lápices paralelos separados al menos 3 cm. Presiones hacia abajo en al parte media de la superficie superior del borrador lo suficiente para hacer que su cara superior se curve un poco. ¿La cara superior está bajo tensión o compresión? ¿Por qué una losa plana de concreto sostenida en sus extremos tiende a romperse en la cara inferior y no en la superior?

EJEMPLO 12.6. Diseño de escenario

Recuerde el ejemplo 8.10 en el cual se analizó un cable usado para sostener a un actor mientras se balaceaba hacia el escenario. La tensión en el cable era de 940 N. ¿Qué diámetro debería tener un cable de acero de 10 m de largo si no se quiere que se alargue más de 0,5 cm en estas condiciones?

Solución


A partir de la definición dl módulo de Young se puede resolver para el área de sección transversal requerida. Suponiendo que la sección transversal es circular se puede determinar el diámetro del cable. A partir de la ecuación 12,6 se tiene:

El radio del cable puede encontrarse a partir de A = r2

:

EJEMPLO 12.7. Compresión de una esfera de latón

Una esfera de latón inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es 1,0 x 105

N/m2

(presión atmosférica normal). La esfera se sumerge en el océano a una profundidad a la cual la presión es 2,0 x

107

N/m2

. El volumen de la esfera en el aire es de 0,50 m3

. ¿En cuánto cambiará este volumen una vez que la

esfera esté sumergida?

Solución

A partir dela definición de módulo volumétrico, se tiene:

Como la presión final es mucho mayor que la inicial se puede despreciar la presión inicial y establecer que P =

P P0 = 2,0 x 10

7

N/m2

. Por tanto:

El signo negativo indica una disminución en el volumen.

RESUMEN


Un objeto rígido está en equilibrio si y sólo si la fuerza externa resultante sobre él es cero y el momento de

torsión externa resultante sobre él es cero respecto a cualquier eje:

(12.1)

(12.2)

La primera condición es la de equilibrio traslacional, y la segunda es la de equilibrio rotacional. Estas dos

ecuaciones permiten analizar una gran variedad de problemas. Asegúrese de identificar las fuerzas de manera

inequívoca, crear diagramas de cuerpo libre y luego aplicar las ecuaciones 12.1 y 12.2 para resolver las

incógnitas.

La fuerza de gravedad ejercida sobre un objeto puede considerarse que actúa en un solo punto llamado centro de

gravedad. El centro de gravedad de un objeto coincide con el centro de masa si el objeto está en un campo

gravitacional uniforme.

Las propiedades elásticas de una sustancia pueden describirse con los conceptos de esfuerzo y deformación. El

esfuerzo es una cantidad proporcional a la fuerza que produce una deformación; la deformación es una medida

del cambio de extensión. El esfuerzo es proporcional a la deformación, y la constante de proporcionalidad es el

módulo elástico:

(12.5)

Tres tipos comunes de deformación son: (1) la resistencia de un sólido a elongarse bajo una carga, caracterizada

por el módulo de Young, Y; (2) la resistencia de un sólido al movimiento de planos internos que se deslicen

uno sobre otro, caracterizada por el módulo de corte, S; (3) la resistencia de un sólido o fluido a un cambio de

volumen, caracterizada por el módulo volumétrico, B.

(12.6)

(12.7)

(12.8)

PREGUNTAS

1. ¿Un cuerpo puede estar en equilibrio si sólo actúa una fuerza externa sobre e´l? Explique.

2. ¿Un cuerpo puede estar en equilibrio si está en movimiento? Explique.


3. Localice el centro de gravedad de los siguientes objetos uniformes: (a) esfera, (b) cubo, (c) cilindro

circular recto.

4. El centro de gravedad de un objeto puede localizarse fuera del objeto. Proporcione unos cuantos ejemplos

en los cuales éste sea el caso.

5. Se le da a usted un pedazo de triplay, cuya forma es arbitraria, junto con un martillo, un clavo y una

plomada. ¿Podría usar estos artículos para localizar el centro de gravedad del triplay? (Sugerencia: Use el

clavo para suspender el triplay).

6. Con el fin de que una silla se equilibre sobre una pata, ¿Dónde debe estar localizado el cetro de gravedad

de la silla?

7. ¿Un objeto puede estar en equilibrio si los únicos momentos de torsión que actúan sobre él producen una

rotación en el sentido de las manecillas del reloj?

8. Una caja alta y una caja corta de igual masa de colocan una al lado de la otra sobre una pendiente (sin

tocarse entre sí). Conforme el ángulo se inclinación se incrementa, ¿cuál caja se volteará primero?

Explique.

9. Cuando se levanta un objeto pesado, ¿por qué se recomienda mantener la espalda lo más vertical posible,

efectuando el movimiento sobre rodillas en lugar de flexionarse y levantarla con la cintura?

10. Proporcione algunos ejemplos donde varias fuerzas actúen sobre un sistema de modo tal que su masa sea

cero aunque el sistema no esté en equilibrio.

11. Si usted mide el momento de torsión neto y la fuerza neta sobre un sistema y encuentra que sus valores

son cero, (a) ¿el sistema podría mantenerse rotando en relación con usted? (b) ¿Podría estarse trasladando

en relación con usted?

12. Una escalera descansa inclinada contra una pared. ¿Se sentiría seguro al subir por ella si se le hubiera

informado que el piso es sin fricción pero que la pared es rugosa, o que ésta es sin fricción pero el piso es

rugoso? Justifique sus respuestas.

13. ¿Qué tipo de información presenta un cubo de gelatina cuando “tiembla”?


14. Las ruinas de los templos griegos con frecuencia tienen columnas verticales intactas, pero pocas de las

losas horizontales de piedra siguen aún en su lugar. ¿Tiene alguna idea de a qué se debe esto?

PROBLEMAS

Sección 12.1. Condiciones para el equilibrio

12-1. Un jugador de béisbol sostiene un bat de 36 onzas (peso = 10.0 N) con una mano en el punto O (Fig. P12.1). El bate está en equilibrio. El peso del bate actúa a lo largo de una línea a 60.0 cm a la derecha de O. Determine la fuerza y el momento de torsión que se ejercen en el bate por el jugador.

Figura P12-1

RESPUESTA: 10,0 N hacia arriba; 6,00 N . m en sentido contrario a las manecillas del reloj.

12-2. Escriba las condiciones de equilibrio necesarias para el cuerpo que se muestra en la figura P12.2. Considere el origen de la ecuación del momento de torsión en el punto O.

Figura P12-2

12-3. Una viga uniforme de masa mb y longitud ℓ soporta bloques de masas m1 y m2 en dos posiciones, como se muestra en la figura P12.3. La viga descansa en dos puntos. ¿En qué valor de x la viga estará equilibrada en P de tal manera que la fuerza normal en O sea cero.

Figura P12-3

RESPUESTA: (m1 + m2) d + m1 ℓ/2/m2

12-4. El carro de un estudiante queda atascado por una ventisca de nieve. No tan perdido, con algunos conocimientos de física, une un extremo de una cuerda al vehículo y el otro extremo al tronco de un árbol cercano, y deja una pequeña cantidad de cuerda. El estudiante ejerce después una fuerza F sobre el centro de la cuerda en dirección perpendicular a la línea carro-árbol, como se muestra en la figura P12.4. Si la cuerda no se extiende y si la magnitud de la fuerza aplicada es de 500 N, ¿cuál es la fuerza ejercida sobre el carro? (suponga condiciones de equilibrio.)


Figura P12-4

Sección 12.2 Más acerca del centro de gravedad

12-5. Una partícula de 3.00 kg está ubicada en el eje x en x = 5.00 m, y una partícula de 4.00 kg está ubicada sobre el eje x en x = 3.00 m. Encuentre el centro de gravedad de este sistema de dos partículas.

RESPUESTA: 0,429 m

12-6. En la figura P12.6 se muestra cómo a una pizza circular de radio R se le cortó un pedazo circular de radio R/2. Es claro que el centro de gravedad se movió de C a C' a lo largo del eje x. Demuestre que la distancia de C a C' es R/6. (Suponga que el espesor y la densidad de la pizza son uniformes.)

Figura P12-6

12-7. En la figura P12.7 se ve una escuadra de carpintero en forma de "L". Localice su centro de gravedad.

Figura P12-7

RESPUESTA: (3,85 cm; 6,65 cm)

12-8. Pat construye tranquilamente una pista de madera para su carro a escala como se ilustra en la figura PI2.8. La pista tiene 5.00 cm de ancho, 1.00 m de altura y 3.00 m de largo y es sólida. El camino se corta de manera tal que forma una parábola descrita por la ecuación y = (x 3)2/9. Localice la posición horizontal del centro de gravedad de esta pista.


Figura P12-8

12-9. Considere la siguiente distribución de masa: 5.00 kg en (0, 0) m, 3.00 kg en (0, 4.00) m y 4.00 kg en (3.00, 0) m. ¿Dónde se debe ubicar una cuarta masa de 8.00 kg de modo que el centro de gravedad del arreglo de cuatro masas esté en (0, 0)?

RESPUESTA: ( 1,50 m; 1,50 m)

12-10. La figura P12.10 muestra tres objetos uniformes: una barra, un triángulo recto y un cuadrado. Se proporcionan sus masas en kilogramos y sus coordenadas en metros. Determine el centro de gravedad para el sistema de los tres objetos.

Figura P12-10

Sección 12.3 Ejemplos de objetos rígidos en equilibrio estático

12-11. Stephen empuja a su hermana Joyce en una carretilla cuando ésta es detenida por un ladrillo de 8.00 cm de altura (Fig. P12.11). Los manubrios forman un ángulo de 15.0° con la horizontal. Sobre la rueda, que tiene un radio de 20.0 cm, se ejerce una carga hacia abajo de 400 N. (a) ¿Qué fuerza debe aplicar Stephen a lo largo de los manubrios para apenas poner en camino la rueda sobre el ladrillo? (b) ¿Cuál es la fuerza (magnitud y dirección) que el ladrillo ejerce sobre la rueda justo cuando la rueda empieza a levantarse sobre éste? Suponga en ambas partes (a) y (b) que el ladrillo permanece fijo y no se desliza por el suelo.

Figura P12-11

RESPUESTA: (a) 859 N; (b) 1 040 N a la izquierda y hacia arriba a 36,9º


12-12. Dos platillos de una balanza están separados 50.0 cm. Un tendero deshonesto ha movido el punto de apoyo de la balanza 1.00 cm más allá del centro. ¿Qué porcentaje del verdadero peso de la mercancía está registrando de más el tendero? (Suponga que la balanza tiene masa despreciable.)

12-13. Una escalera uniforme de 15.0 m que pesa 500 N descansa contra una pared sin fricción. La escalera forma un ángulo de 60.0° con la horizontal. (a) Encuentre las fuerzas horizontal y vertical que el suelo ejerce sobre la base de la escalera cuando un bombero de 800 N está a 4.00 m de la parte inferior. (b) Si la escalera está a punto de deslizarse cuando el bombero está 9.00 m más arriba, ¿cuál es el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo?

RESPUESTA: (a) fe = 268 N; N = 1 300 n; (b) 0,324

12-14. Una escalera uniforme de longitud L y masa m1 descansa contra una pared sin fricción. La escalera forma un ángulo con la horizontal. (a) Encuentre las fuerzas horizontal y vertical que el suelo ejerce sobre la base de la escalera cuando un bombero de masa m2 está a una distancia x de la parte inferior. (b) Si la escalera está a punto de deslizarse cuando el bombero está a una distancia d desde el pie de la escalera, ¿cuál es el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo?

12-15. La figura P12.15 muestra un martillo de carpintero en el momento de sacar un clavo de una superficie horizontal. Si una fuerza de 150 N se ejerce horizontalmente como se muestra, encuentre (a) la fuerza ejercida por las uñas del martillo sobre el clavo, y (b) la fuerza ejercida por la superficie sobre el punto de contacto con la cabeza del martillo. Suponga que la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo es paralela a éste.

Figura P12-15

RESPUESTAa) 1,04 kN a 60,0º; (b) (370 i + 900 j) N

12-16. Un tablón uniforme con una longitud de 6.00 m y masa de 30.0 kg descansa de manera horizontal entre dos barras horizontales de un andamio. La barras están separadas 4.50 m, y 1.50 m del tablón cuelga fuera de un lado del andamio. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el tablón. ¿Cuán lejos puede caminar un pintor de 70.0 kg de masa sobre la parte que sobresale del tablón antes de caer?

12-17. Un automóvil de 1 500 kg tiene una base de ruedas (la distancia entre los ejes) de 3.00 m. El centro de masa del automóvil está sobre la línea central en un punto a 1.20 m tras el eje delantero. Encuentre la fuerza ejercida por el piso sobre cada rueda.

RESPUESTA: 2,94 kN sobre cada engrane y 4,41 kN sobre cada rueda frontal

12-18. Un poste vertical con sección transversal cuadrada tiene 10.0 m de alto. Su extremo inferior está encerrado en una base de 1.50 m de alto que es precisamente cuadrada pero hasta cierto punto holgada. Una fuerza de 5.50 N a la derecha actúa sobre la parte superior del poste. La base mantiene al poste en


equilibrio. Encuentre la fuerza que la parte superior de la pared derecha de la base ejerce sobre el poste. Encuentre la fuerza que el fondo de la pared izquierda de la base ejerce sobre el poste.

12-19. Una cadena flexible que pesa 40.0 N cuelga entre dos ganchos ubicados a la misma altura (Fig. P12.19). En cada gancho la tangente a la cadena forma un ángulo = 42.0° con la horizontal. Encuentre (a) la magnitud de la fuerza que cada gancho ejerce sobre la cadena y (b) la tensión en la cadena en su punto medio. (Sugerencia: Para la parte (b) haga un diagrama de cuerpo libre para la mitad de la cadena.)

Figura P12-19

RESPUESTAa) 29,9 N; (b) 22.2 N

12-20. Una señal hemisférica de 1.00 m de diámetro y densidad de masa uniforme es sostenida por dos cuerdas, como se muestra en la figura P12.20. ¿Qué fracción del peso de la señal es sostenido por cada cuerda?

Figura P12-20

12-21. Sir Despistado porta su armadura y sale del castillo montado en su fiel jamelgo para buscar la manera de mejorar la comunicación entre las doncellas y los dragones (Fig. PI2.21). Desafortunadamente su escudero baja demasiado el puente levadizo y al final éste se detiene cuando forma un ángulo de 20.0° bajo la horizontal. Despistado y su caballo se detienen cuando su centro de masa combinado está a 1.00 m del final del puente. Éste tiene 8.00 m de largo y una masa de 2 000 kg. El cable que lo levanta está unido al puente 5.00 m desde la bisagra en el extremo del castillo y hacia un punto sobre la pared del castillo 12.0 m arriba del puente. La masa de Despistado combinada con su armadura y corcel es de 1 000 kg. Determine (a) la tensión en el cable y las componentes de fuerza (b) horizontal y (c) vertical que actúan sobre el puente en la bisagra.

Figura P12-21


RESPUESTAa) 35,5 kN; (b) 11,5 kN; (c) 4,19 kN

12-22. Dos ladrillos uniformes idénticos de longitud L se colocan uno sobre el otro en el borde de una superficie horizontal sobresaliendo lo máximo posible sin caer, como se ve en la figura P12.22. Encuentre la distancia x.

Figura P12-22

12-23. La figura P12.23 muestra a una saltadora con garrocha que sostiene en equilibrio una garrocha de 29.4 N ejerciendo una fuerza hacia arriba U con una mano adelante, y una fuerza hacia abajo D con una mano atrás. El punto C es el centro de gravedad de la garrocha. ¿Cuáles son las magnitudes de U y D?

Figura P12-23

RESPUESTA: 88,2 N y 58,8 N

Sección 12.4 Propiedades elásticas de sólidos

12-24. Suponga que el módulo de Young para un hueso es de 1.5 x 1010 N/m2, y que un hueso se fractura si se ejerce más de 1.50 x 108 N/m2. (a) ¿Cuál es la fuerza máxima y que puede ejercerse sobre el hueso fémur en la pierna si éste tiene un diámetro efectivo mínimo de 2.50 cm? (b) Si una fuerza de esta magnitud se aplica compresivamente, ¿cuánto se acorta un hueso de 25.0 cm de largo?

12-25. Una carga de 200 kg cuelga de un alambre de 4.00 m de largo, con 0.200 X 10-4 m2 de área de sección transversal, y módulo de Young de 8.00 x 1010 N/m2. ¿Cuánto aumenta su longitud?

RESPUESTA: 4,90 mm

12-26. Un alambre de acero de 1 mm de diámetro puede soportar una tensión de 0.2 kN. Suponga que usted necesita un cable hecho de estos alambres para soportar una tensión de 20 kN. ¿De qué orden de magnitud debería ser el diámetro del cable?

12-27. Un niño se desliza a través de un piso en un par de zapatos con suela de goma. La fuerza friccionante que actúa sobre cada pie es de 20.0 N. El área de la huella de cada suela del zapato es de 14.0 cm2, y el grosor de cada suela es de 5.00 mm. Encuentre la distancia horizontal que se desplazan las partes superior e inferior de la suela. El módulo de corte del hule es de 3.00 x 106 N/m2.

RESPUESTA:0,023 8 mm


12-28. Un martillo de 30.0 kg golpea una alcayata de acero de 2.30 cm de diámetro mientras se mueve a una rapidez de 20.0 m/s. El martillo rebota a una rapidez de 10.0 mis después de 0.110 s. ¿Cuál es la deformación promedio en la alcayata durante el impacto?

12-29. Si el límite elástico del cobre es de 1.50 x 108 N/m2, determine el diámetro mínimo que un alambre de cobre puede tener bajo una carga de 10.0 kg si su límite elástico no va a excederse.

RESPUESTA:0,912 mm

12-30. Un alambre cilíndrico de acero de 2.00 m de largo con un diámetro de sección transversal de 4.00 mm se coloca sobre una polea ligera sin fricción. Un extremo del alambre se conecta a una masa de 5.00 kg y el otro extremo se conecta a una masa de 3.00 kg. ¿Cuánto se alarga el alambre mientras las masas están en movimiento?

12-31. Un alambre cilíndrico de acero de longitud Li con un diámetro de sección transversal d se coloca sobre una polea ligera sin fricción. Un extremo del alambre se conecta a una masa m1 y el otro extremo se conecta a una masa m2. ¿Cuánto se alarga el alambre mientras las masas están en movimiento?

12-32. Calcule la densidad del agua del mar a una profundidad de 1 000 m, donde la presión hidráulica es aproximadamente de 1.00 x 107 N/m2. (La densidad del agua de mar en la superficie es de 1.030 x 10 3

kg/m2.)

12-33. Si el esfuerzo del corte en el acero excede aproximadamente 4.00 x 108 N/m2 el acero se rompe. Determine la fuerza de corte necesaria para: (a) cortar un perno de acero de 1.00 cm de diámetro, y (b) hacer un hoyo de 1.00 cm de diámetro en una placa de acero de 0.500 cm de espesor.

RESPUESTA: a) 3,14 x 104 N; (b) 6,28 x 104 N

12-34. (a) Encuentre el diámetro mínimo de un alambre de acero de 18.0 m de largo que no se elongará más de 9.00 mm cuando se cuelga una carga de 380 kg en su extremo inferior. (b) Si el límite elástico para este acero es de 3.00 x 108 N/m2, ¿ocurrirá una deformación permanente con esta carga?

12-35. Cuando el agua se congela se expande cerca de 9.00%. ¿Cuál sería el aumento de presión dentro del bloque del motor de su automóvil si el agua en él se congelara? (El módulo volumétrico del hielo es de 2.00 x 109 N/m2.)

RESPUESTA: 1,80 x 108 N/m2

12-36. Para su seguridad en el ascenso un montañista utiliza una cuerda de nylon de 50.0 m que tiene 10.0 mm de diámetro. Cuando sostiene al alpinista de 90.0 kg en un extremo la cuerda se elonga 1.60 m. Encuentre el módulo dé Young correspondiente al material de la cuerda.

PROBLEMAS ADICIONALES

12-37. Un puente de 50.0 m de largo y 8.00 x 104 kg de masa está soportado sobre un pilar en cada extremo, como se muestra en la figura P12.37. Una camioneta con 3.00 x 104 kg de masa se localiza a 15.0 m de un extremo. ¿Cuáles son las fuerzas sobre el puente en los puntos de soporte?

Figura P12-37


RESPUESTA: NA = 5,98 x 105 N; NB = 4,80 x 104 N

12-38. Un marco con la forma de la letra "A" se integra con dos pedazos uniformes de metal, cada uno de 26.0 N de peso y 1.00 m de largo, articulados en la parte superior y mantenidos juntos por medio de un alambre horizontal de 1.20 m de longitud (Fig. P12.38). La estructura descansa sobre una superficie sin fricción. Si el alambre se conecta en puntos a una distancia de 0.650 m de la parte superior del marco, determine la tensión en el alambre.

Figura P12-38

12-39. Remítase a la figura 12.17c. Un dintel de concreto reforzado precomprimido tiene 1.50 m de largo. El área de sección transversal del concreto es de 50.0 cm2. El concreto encierra una barra de refuerzo de acero con área de sección transversal de 1.50 cm2. La barra une dos fuertes placas terminales. El módulo de Young para el concreto es de 30.0 x 109 N/m2. Después de que el concreto fragua y la tensión original T1 en la barra se relaja, el concreto estará bajo un esfuerzo de compresión de 8.00 x 10 6 N/m2. (a) ¿Cuánta distancia comprimirá la barra al concreto cuando se libere la tensión original en ella? (b) ¿Bajo qué tensión T2 estará la barra? c) ¿Cuánto más larga que la longitud sin tensión será la barra? (d) Cuando se vertió el concreto, ¿la barra habría estado elongada por cuánta extensión de su longitud sin tensión? (e) Encuentre la tensión original requerida T1 en la barra.

RESPUESTA: (a) 0,400 mm; (b) 40,0 kN; (c) 2,00 mm; (d) 2,40 mm; (e) 48,0 kN

12-40. Una esfera sólida de radio R y masa M se coloca en un canal, como se ilustra en la figura P12.40. Las superficies interiores del canal no ofrecen fricción. Determine las fuerzas ejercidas por el canal sobre la esfera en los dos puntos de contacto.

Figura P12-40

12-41. La figura P12-41 muestra a un chango de 10.0 kg que sube por una escalera uniforme de 120 N y longitud L. Los extremos superior e inferior de la escalera descansan sobre superficies sin fricción. El extremo inferior está fijo a la pared mediante una cuerda horizontal que puede soportar una tensión máxima de 110 N. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la escalera. (b) Encuentre la tensión en la cuerda cuando el chango ha subido un tercio de la escalera. (c) Encuentre la distancia máxima d que el chango puede subir por la escalera antes de que se rompa la cuerda. Exprese su respuesta como una fracción de L.


Figura P12-41

RESPUESTA: (b) 69,8 N; (c) 0,877 L12-42. Un oso hambriento que pesa 700 N camina sobre una viga con la intención de llegar a una canasta de

comida que cuelga en uno de sus extremos (Fig. P12-42). Ésta es uniforme, pesa 200 N y su largo es de 6.00 m; la canasta pesa 80.0 N. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la viga. (b) Cuando el oso está en x = 1.00 m encuentre la tensión en el alambre y las componentes de la fuerza ejercida por la pared sobre el extremo izquierdo de la viga. (c) Si el alambre puede soportar una tensión máxima de 900 N, ¿cuál es la distancia máxima que el oso puede caminar antes de que se rompa el alambre?

Figura P12-42

12-43. El viejo MacDonald tenía una granja en la que había una puerta (Fig. P12-43). La puerta medía 3.00 m de ancho y 1.80 m de altura con bisagras en las partes superior inferior. El alambre de retenida hace un ángulo de 30,0o con la parte superior de la puerta y estaba sujeto por medio de un tensor a una tensión de 200 N. la masa de la puerta era de 40 kg. (a) determine la fuerza horizontal ejercida sobre la puerta por la bisagra inferior. (b) Encuentre la fuerza horizontal ejercida sobre la puerta por la bisagra superior. (d) Determine la fuerza vertical combinada ejercida por ambas bisagras. (d) ¿Cuál debe ser la tensión en el alambre de retenida de manera que la fuerza horizontal ejercida por la bisagra superior sea cero?

Figura P12-43


RESPUESTAa) 160 n derecha; (b) 13,2 N derecha; (c) 292 N hacia arriba; (d) 192 N

12-44. Un pescante uniforme de 1 200 N se sostiene por medio de un cable, como se ilustra en la figura P12.44. El pescante gira alrededor de un pivote en la parte inferior, y un objeto de 2 000 N cuelga de su parte superior. Encuentre la tensión en el cable y las componentes de la fuerza de reacción ejercida por el piso sobre el pescante.

Figura P12-44

12-45. Un letrero uniforme de peso Fg y ancho 2L cuelga de una ligera viga horizontal, articulada en la pared y soportada por un cable (Fig. P12.45). Determine (a) la tensión en el cable y (b) las componentes de la fuerza de reacción ejercida por la pared sobre la viga en términos de Fg, d, L y .

Figura P12-45

RESPUESTA: (a) T = Fg (L `d)/ sen (2L + d); (b) Rx = Fg (L + d) cot /(2L + d); Ry = Fg L/(2L +d)

12-46. La figura P12-46 muestra una grúa de 3 000 kg de masa que soporta una carga de 10 000 kg. La grúa se articula con un perno sin fricción en A y descansa contra un soporte liso en B. Encuentre las fuerzas de reacción en A y B.

Figura P12-46

12-47. Una escalera con densidad uniforme y masa m descansa contra una pared vertical sin fricción, formando un ángulo de 60.0° con la horizontal. El extremo inferior descansa sobre una superficie plana, donde el coeficiente de fricción estática es s = 0.400. Un limpiaventanas con masa M = 2m intenta ascender la escalera. ¿Qué fracción de la longitud L de la escalera habrá alcanzado el trabajador cuando la escalera comience a deslizarse?


RESPUESTA: 0,789 L

12-48. Una escalera uniforme que pesa 200 N está reclinada contra una pared (Fig. 12.10). La escalera se desliza cuando = 60.0°. Suponiendo que los coeficientes de fricción estática en la pared y en el suelo son los mismos obtenga un valor para s.

12-49. Un tiburón de 10 000 N está sostenido por medio de un cable unido a una barra de 4.00 m que está articulada en la base. Calcule la tensión necesaria en la cuerda de unión entre la pared y la barra si ésta mantiene el sistema en la posición mostrada en la figura P12-49. Encuentre las fuerzas horizontal y vertical ejercidas sobre la base de la barra. (Ignore el peso de la barra.)

Figura P12-49

RESPUESTA: 5,08 kN; Rx = 4,77 kN; Ry = 8,26 kN

12-50. Cuando una persona se para sobre la punta del pie (una posición difícil), la posición del pie es como se indica en la figura P12-50a. El peso total del cuerpo Fg es soportado por la fuerza n ejercida por el piso sobre la punta del pie. En la figura P12-50b se presenta un modelo mecánico para esta situación, donde T es la fuerza ejercida por el tendón de Aquiles sobre el pie y R es la fuerza ejercida por la tibia sobre el pie. Encuentre los valores de T, R y cuando Fg = 700 N.

Figura P12-50

12-51. Una persona se flexiona y levanta un objeto de 200 N con la espalda en posición horizontal (una manera terrible de levantar un objeto) como en la figura P12.51a. El músculo de la espalda unido en un punto dos tercios arriba de la espina dorsal mantiene la posición de la espalda, donde el ángulo entre la espina dorsal y este músculo es de 12.0°. Con el modelo mecánico que se presenta en la figura P12.51b, y considerando el peso de la parte de arriba del cuerpo igual a 350 N, encuentre la tensión en el músculo de la espalda y la fuerza compresiva en la espina dorsal.


Figura P12-51

RESPUESTA: T = 2,71 kN; Rx = 2,65 kN

12-52. Dos semáforos de 200 N están suspendidos de un solo cable como se indica en la figura P12-52. Ignore el peso del cable y a) demuestre que si 1 = 2 entonces T1 = T2. (b) Determine las tres tensiones T1, T2

y T3 si 1 = 2 = 8.00°.

Figura P12-52

12-53. La figura P12.53 muestra una fuerza que actúa sobre un armario rectangular que pesa 400 N. (a) Si el armario se desliza con rapidez constante cuando F = 200 N y h = 0.400 m, encuentre el coeficiente de fricción cinética y la posición de la fuerza normal resultante. (b) Si F = 300 N determine el valor de h para el cual el armario apenas empieza a ladearse.

Figura P12-53. Problemas 53 y 54

RESPUESTA: (a) C = 0,571; la fuerza normal actúa 20,1 cm a la izquierda del límite frontal del gabinete deslizante; (b) 0,501 m

12-54. Considere el armario rectangular del problema 53, pero ahora una fuerza F se aplica horizontalmente en su borde superior. (a) ¿Cuál es la fuerza mínima requerida para que el armario empiece a ladearse? (b) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática requerido para evitar que el armario se deslice con la aplicación de una fuerza de esta magnitud? (c) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza mínima requerida para volcar el armario si el punto de aplicación puede elegirse en cualquier parte de éste.


12-55. Una barra uniforme de peso Fg y longitud L se sostiene en sus extremos por una depresión rugosa, como se muestra en la figura P12.55. (a) Demuestre que el centro de gravedad de la barra está directamente sobre el punto O cuando la barra está en equilibrio. (b) Determine el valor de equilibrio del ángulo .

Figura P12-55

RESPUESTA: (b) 60,0º

12-56. Un bastón golpea una bola y le proporciona un impulso horizontal de tal forma que la bola rueda sin deslizarse mientras comienza a moverse. ¿A qué altura sobre el centro de la bola (en términos del radio de la bola) se realizó el golpe?

12-57. Una viga uniforme de masa m está inclinada a un ángulo respecto de la horizontal. Su extremo superior produce una inclinación de 90° en una cuerda muy rugosa amarrada a la pared, y su extremo inferior descansa sobre un piso rugoso (Fig. P12-57). a) Si el coeficiente de fricción estática entre la viga y el piso es de c determine una expresión para la masa máxima M que puede colgarse de la parte superior antes de que la viga se deslice. (b) Determine la magnitud de la fuerza de reacción en el piso y de la fuerza ejercida por la viga sobre la cuerda en P en función de m, M y .

Figura P12- 57

RESPUESTA: (a) M = (m/2) (2e sen - cos ) ( cos s sen )1: (b) R = (m + M) g (1 + s2)1/2 ; F = g M2 +

e2 (m + M)21/2

12-58. La figura P12.58 muestra una armadura que soporta una fuerza hacia abajo de 1 000 N aplicada al punto B. Ignore el peso de la armadura. Los pilares en A y C son uniformes. (a) Aplique las condiciones de equilibrio para demostrar que nA = 366 N y que nC = 634 N. b) Muestre que, debido a las fuerzas que actúan sobre la armadura sólo en las bisagras, cada barra de la armadura debe ejercer en cada perno de la bisagra sólo una fuerza a lo largo de dicha barra, una fuerza de tensión o compresión. (c) Encuentre la fuerza de tensión o compresión en cada una de las tres barras.

Figura P12-58

12-59. Una escalera de tijera de peso despreciable se construye como se muestra en la figura P12.59. Una pintora de 70.0 kg de masa está parada sobre la escalera a 3.00 m del punto inferior. Suponga al piso sin fricción y encuentre, (a) la tensión en la barra horizontal que conecta las dos partes de la escalera, (b) las


fuerzas normales en A y B, y (c) las componentes de la fuerza de reacción en la articulación única C que la pata izquierda de la escalera ejerce sobre la pata derecha. (Sugerencia: Trate cada pata de la escalera por separado.)

Figura P12-59

RESPUESTA: (a) 133 N; (b) NA = 4,29 N y NB = 257 N; (c) Rx = 133 N y Ry = 257 N

12-60. Una pista de baile que mide 20.0 m por 20.0 m tiene una masa de 1 000 kg. Tres parejas de bailarines, cada una de 125 kg de masa están al principio en las esquinas superior izquierda, superior derecha e inferior izquierda. (a) ¿Dónde está el centro de gravedad inicial? (b) La pareja en la esquina inferior izquierda se mueve 10.0 m a la derecha. ¿Dónde está el nuevo centro de gravedad? (c) ¿Cuál es el centro de gravedad si esa pareja tarda 8.00 s en cambiar su posición?

12-61. Una repisa está montada sobre una pared vertical por medio de un solo tornillo, como se muestra en la figura P12-61. Ignore el peso de la repisa y encuentre la componente horizontal de la fuerza que el tornillo ejerce sobre la repisa cuando se aplica una fuerza vertical de 80.0 N en la forma en que se indica. (Sugerencia: Imagine que la repisa está un poco suelta.)

Figura P12-51

RESPUESTA: 66,7 N

12-62. La figura P12.62 muestra una fuerza vertical aplicada tangencialmente a un cilindro uniforme de peso Fg. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y todas las superficies es de 0.500. Encuentre, en función de Fg la máxima fuerza P que puede aplicarse sin ocasionar que gire el cilindro. (Sugerencia: Cuando el cilindro está en el punto de deslizamiento, ambas fuerzas de fricción están en sus valores máximos. ¿Por qué?


Figura P12-62

12-63. Un alambre de longitud Li, módulo de Young Y y área de sección transversal A se extiende elásticamente en una cantidad L. Por la ley de Hooke la fuerza restauradora es kL. (a) Muestre que k = YA/ Li. (b) Pruebe que el trabajo que se hace al extender el alambre en una cantidad L es W = YA(L)2/2Li.

12-64. Dos bolas de tenis se colocan en un recipiente de cristal, como se muestra en la figura PI2-64. Sus centros y el punto A se encuentran sobre una línea recta. (a) Suponga que las paredes son sin fricción y determine P1, P2 y P3. (b) Determine la magnitud de la fuerza ejercida sobre la bola derecha por la bola izquierda. Suponga que cada bola tiene una masa de 170 g.

Figura P12-64

12-65. En la figura P12-65 las balanzas registran Fg1 = 380 N y Fg2 = 320 N. Si se ignora el peso del tablón de soporte, ¿a qué distancia del pie de la mujer está su centro de masa, dado que su altura es de 2.00 m?

Figura P12-55

RESPUESTA:1,09 m

12-66. Un cable de acero de 3.00 cm2 de área de sección transversal tiene una masa de 2.40 kg por metro de longitud. Si 500 m de cable cuelgan de un peñasco vertical, ¿cuánto se estira el cable bajo su propio peso? (Para el módulo de Young del acero consulte la tabla 12.1)

12-67. a) Calcule la fuerza con la cual un maestro de karate golpea una tabla si la rapidez de su mano en el momento del impacto es de 10.0 m/s y disminuye a 1.00 m/s durante un tiempo de contacto de 0.002 00 s con la tabla. La masa de la mano y el brazo coordinados es de 1.00 kg. (b) Estime el esfuerzo del corte


si esta fuerza es ejercida sobre una tabla de pino de 1.00 cm de espesor que mide 10.0 cm de ancho. (c) Si el máximo esfuerzo de corte que una tabla de pino puede recibir antes de romperse es de 3.60 x 10 6

N/m2, ¿se romperá la tabla?

RESPUESTA: (a) 4 500 N; (b) 4,50 x 106 N/m2; (c) sí

12-68. Una cubeta está hecha de hoja de metal delgada. El fondo y la parte superior de una cubeta tienen radios de 25.0 cm y 35.0 cm, respectivamente. La cubeta mide 30.0 cm de altura y está llena de agua. ¿Dónde está el centro de gravedad? (Ignore el peso de la propia cubeta.)

12-69. Problema de repaso. Un tráiler con una carga Fg se jala por un vehículo con una fuerza P, como se ilustra en la figura P12-69. El tráiler se carga de tal forma que su centro de masa se ubica como se muestra. Ignore la fuerza de fricción de rodamiento y considere que a representa la componente x de la aceleración del tráiler. (a) Encuentre la componente vertical de P en términos de los parámetros dados. (b) Si a = 2.00 m/s2 y h = 1.50 m, ¿cuál debe ser el valor de d para que Py = O (es decir, ninguna carga vertical sobre el vehículo)? (c) Encuentre los valores de Px y Py dado que Fg = 1 500 N, d = 0.800 m, L = 3.00 m, h = 1.50 m y a = 2.00 m/s2.

Figura P12-69

RESPUESTA: (a) Py = (Fg/L) (d ah/g); (b) 0,306 m; (c) P = (306 i + 553 j) N

12-70. Un alambre de aluminio tiene 0.850 m de longitud y una sección transversal circular de 0.780 mm de diámetro. Fijo en su extremo superior, el alambre soporta una masa de 1.20 kg que se balancea en un círculo horizontal. Determine la velocidad angular requerida para producir deformación de 1.00 x 10-3.

12-71. El armazón de un puente de 200 m de longitud se extiende a través de un río (Fig. PI2.71). Calcule la fuerza de tensión o compresión en cada componente estructural cuando un carro de 1 360 kg está en el centro del puente. Suponga que la estructura es libre de deslizarse horizontalmente para permitir expansión y contracción térmica, que las componentes estructurales están conectadas por pernos articulados y que las masas de las componentes estructurales son pequeñas comparadas con la masa del carro.

Figura P12-71

RESPUESTA: NA = NE = 6,66 kN; FAB = 10,4 kN = FBC = FDC = FDE; FAC = 7,94 kN = FCE; FBD = 15,9 kN

12-72. El armazón de un puente de 100 m de largo está soportado en sus extremos por lo que puede deslizarse libremente (Fig. P12-72). Un carro de 1 500 kg está a la mitad entre los puntos A y C. Demuestre que el peso del carro está distribuido de manera uniforme entre los puntos A y C, y calcule la fuerza en cada componente estructural. Especifique si cada componente estructural está bajo tensión o compresión. Suponga que las componentes estructurales están conectadas por pernos articulados y que las masas de las componentes son pequeñas comparadas con la masa del carro.


Figura P12-72


ACERTIJODentro del reloj de bolsillo se encuentra un pequeño disco (llamado péndulo de torión) que oscila hacia atrás y hacia adelante a intervalos muy precisos y controla los engranes del reloj. Un reloj de péndulo mantiene el tiempo preciso debido, justamente, a su péndulo. El armazón grande de madera provee el espacio necesario para el largo péndulo mientras hace avanzar los engranes del reloj con su balanceo. En cada uno de estos dos artefactos de medición de tiempo la vibración de un componente cuidadosamente conformado es crucial para asegurar la operación. ¿Qué propiedades de los objetos en oscilación hacen que sean tan útiles en los dispositivos de medición del tiempo?

CAPITULO 13

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Líneas generales del capítulo

13.1. Movimiento armónico simple13.2. Nueva vista al sistema bloqueresorte13.3. Energía del oscilador armónico simple13.4. El péndulo13.5. Comparación del movimiento armónico simple con el movimiento circular uniforme13.6. Oscilaciones amortiguadas13.7. Oscilaciones forzadas


Una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es porporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza siempre se dirige hacia la posición de equilibrio, hay un movimiento repetitivo hacia adelante y hacia atrás alrededor de esta posición. Dicho movimiento se llama movimiento periódico, movimiento armónico, pscilación o vibración (los cuatro términos son equivalentes).

Es muy probable que el lector esté familiarizado con algunos ejemplos de movimiento periódico, como las oscilaciones de un bloque unido a un resorte, el balanceo de un niño en un columpio en el parque de juegos, el movimiento de un péndulo y las vibraciones de un instrumento musical de cuerda. Además de estos ejemplos, cotidianos, numerosos sistemas muestran movimiento oscilatorio. Por ejemplo, las moléculas en un sólido oscila alrededor de sus posiciones de equilibrio; las ondas electromagnéticas, como las ondas luminosas, de radar y radio, se caracterizan por campos vectoriales oscialantes eléctrico y magnético, y en variaciones periodicas con el tiempo de circuitos eléctricos de corriente alterna, de voltaje, de corriente y de carga eléctrica.

La mayor parte del material de este capítulo se relaciona con el movimiento armónico simple, en el cual un objeto oscila de tal forma que su posición está especificada por una función sinusoidal del tiempo sin perder energía mecánica. En los sistemas mecánicos reales las fuerzas retardadoras (friccionantes) siempre están presentes. Dichas fuerzas se estudian en la sección 13.6 al final del capítulo. 13.8. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Considere un sistema físico que consiste de un bloque de masa m unido al extremo de un resorte, con el bloque en libertad de moverse sobre una superficie horizontal sin fricción (Fig. 13.1). Cuando el resorte no está ni comprimido ni elongado, el bloque está en la posición = 0, que se conoce como posición de equilibrio del sistema. Se sabe por experiencia que tales sistemas oscilan hacia atrás y hacia adelante si se desplazan de su posición de equilibrio.

Figura 13.1. Un bloque unido a un resorte se mueve sobre una superfciie sin fricción. (a) Cuando el bloque se desplaza a la derecha del equilibrio (x > 0) la fuerza ejercida por el resorte actúa hacia la izquierda. (b) Cuando el bloque está en su posición de equilibrio (x = 0) la fuerza ejercida por el resorte es cero. (c) Cuando el bloque se desplaza a la izquierda del equilibrio (x < 0) la fuerza ejercida por el resorte actúa a la derecha. Se puede comprender el movimiento en la figura 13.1 de manera cualitativa al recordar primero que cuando el bloque se desplaza un apequeña distancia x del equilibrio, el resorte ejerce sobre el bloque una fuerza que es proporcional al desplazamiento y que está dada por la ley de Hooke (vea la sección 7.3):

(13.1)

A esto se le llama fuerza restauradora porque siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio y, por tanto,

se opone al desplazamiento. Esto es, cuando el bloque se desplaza a la derecha de x = 0 en la figura 13.1 el

desplazamiento es positivo y la fuerza restauradora está dirigida hacia la izquierda. Cuando el bloque se

desplaza hacia la izquierda de x = 0, el desplazamiento es negativo y la fuerza restauradora está dirigida a la

derecha.


Al aplicar la segunda ley de Newton al movimiento del bloque, junto con la ecuación 13.1, se obtiene:

(13.2)

Es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque, y su dirección es opuesta a la dirección

del desplazamiento. Los sitemas que se comportan de esta forma se dice que presentan movimiento armónico

simple. Un objeto se mueve con movimiento armónico simple siempre que su aceleración es proporcional

al desplazamiento a partir de alguna posición de equilibrio y su dirección es opuesta.

Un arreglo experimental que exhibe movimiento armónico simple está ilustrado en al figura 13.2. Una masa con

una plumillaunida a ella, oscila de manera vertical en unresorte. Mientras la masa oscila una hoja d epapel se

mueve de manera perpendicular a la dirección del movimiento del resorte, y la pluma traza un patrón con forma

de onda.

Figura 13.2. Un aparato experimental para demostrar el movimiento armónico simple. Una pluma unida a la

masa oscilante traza un patrón ondulatorio sobre el papel que se mueve.

En general, si una partícula se mueve a lo largo del eje x, se dice que lo hace con un movimiento armónico

simple cuando x, el desplazamiento de la partícula desde el punto de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo

conla relación:

(13.3)

Donde A, y son cosntantes. Con el fin de proporcionar significado físico a estas constantes se ha graficado x

como función de t en la figura 13.3a. Este es justo el patrón que se observa con el aparato experimental

mostrado en al figura 13.2. La amplitud A del movimiento es el desplazamiento máximo de la partícula en al

dirección x, ya sea positiva o negativa. La constante se conoce como frecuencia angular del movimiento y

sus unidades son radianes por segundo. (La significación geométrica de se analizará en la sección 13.2). El

ángulo constante , que recibe el nombre de constante de fase (o ángulo de fase), está determinado por el


desplazamiento y la velocidad iniciales de la partícula. Si la partícula está en su posición máxima x = A en t = 0,

entonces = 0 y la curva de x versus t se muestra en la figura 13.3b. Si la partícula está en alguna otra posición

en t = 0, las constantes y A indican cuál era el desplazamiento en el tiempo t = 0. La cantidad (t + ) se

conoce como fase del movimiento y es útil para comparar los movimientos de dos osciladores.

Figura 13.3. (a) Curva x vs t para una partícula sometida a movimiento armónico simple. La amplitud del

movimiento es A, el periodo es T, y la cosnatnte de fase es . (b) La cuerva x vs t en el caso especial en que x =

A en t = 0 y, por tanto, = 0.

Advierta que, a partir de la ecuación 13.3, la función trigonométrica x es periódica y se repite a sí misma cada

vez que t se incrementa en 2 rad. El periodo T del movimiento es el tiempo que tarda la partícula en

completar un ciclo. Se dice que la partícula ha efectuado una oscilación. Esta definición de T dice que el valor

de x en un tiempo t es igual al valor de x en un tiempo t + T. Se puede demostrar que T = 2/ usando la

obsrevación anterior de que la fase (t + ) aumenta en 2 rad en un tiempo T:

Por tanto, T = 2, o:

(13.4)

El inverso del periodo recibe el nombre de frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el número

de oscialciones que efctúa la partícula por unidad de tiempo:

(13.5)

Las unidades de f son ciclos por segundo = s1

, o hertz (Hz).

Al reescribir la ecuación 13.5 se obtiene la freceuncia angular:

(13.6)


¿Cuál tendrá que ser la cosntante de fase en la ecuación 13.3 si se estuviera describiendo un objeto oscilatorio

que por casualidad está en el origen en t = 0?



Un objeto experiemnta movimiento armónico simple de amplitud A. ¿A través de qué distancia total el objeto se

mueve durante un ciclo completo de su movimiento? (a) A/2, (b) A; (c) 2A; (d) 4A

Se puede obtener la velocidad lineal de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple

diferenciando la ecuación 13.3 respecto del tiempo:

(13-7)

La acelración de la partícula es:

(13.8)

Como x = A cos (t + ), se puede expresar la ecuación 13.8 en la forma:

(18.9)

Puesto que la función seno oscila entre 1, en la ecuación 13.7 se ve que que los valores extremos de v son

A. Como la función coseno también oscilaentre 1, la ecuación 13.8 indica que los valores extremos de a

son 2

A. En cosecuencia la rapidez máxiam y la magnitud de la aceleración máximade una partícula que s

emueve en movimiento armónico simple son:

(13.10)

(13.11)

La figura 13.4a expresa el desplazamiento versus tiempo para un valor arbitrario de la constante de fase. Las

curvas de velocidad y aceleración se ilustran en las figuras 13.4b y c. Según estas curvas, la fase de velocidad

difiere de la del desplazamiento en /2 rad, o 90º. Esto significa que cuando x sea un máximo o un mínimo la

velocidad es cero. De igual modo, cuando x es cero la rapidez es un máximo. Advierta también que la fase de la

aceleración difiere de la del desplzamineto en rad, o 180º. Es decir, cuando x es un máximo, a es un máximo

en la dirección opuesta.


Figura 13.4. Representación gráfica del movimiento ermónico simple. (a) Desplazamientpo versus tiempo. (b)

Velocida versus tiempo. (c) Aceleración versus tiempo. Advierta que en cualquier tiempo especçifico, la

velocidad está fuera de fase 90º con el desplazamiento y la aceleración está fuera de fase 180º con el

desplazamiento

La constante de fase es importante cuando se compara el movimiento de dos o más partículas oscilantes.

Imagine dos péndulos idénticos balanceándose de lado a lado en un movimiento armónico simple, y que uno de

ellos fue soltado más tarde que el otro. Los péndulos tienen diferentes constantes de fase. Ahora se mostrará

cómo se puede determinar la constante de fase y la amplitud de cualquier partícula que s emueve en movimiento

armónico simple si se conoce la rapidez y la posición iniciales de la partícula, así como la frecuencia angular de

su movimiento.

Suponga que en t = 0 la posición inicial de un oscilador armónico simple es x = x0 y su rapidez inicial es v

0. En

estas condiciones lase ecuaciones 13.3 y 13.7 producen:

(13.12)

(13.13)

Al dividir la ecuación 13.13 entre la 13.12 se elimina A, lo que produce v0/x

0 = tan , o:

(13.14)

Aún más, si se eleva al cuadrado las ecuaciones 13.12 y 13.13. se divide la ecuación de velocidad entre 2

y

luego se suman términos, se obtiene:


Usando la identidad sen2 + cos2 = 1, se puede resolver para A:

(13.15)

Las siguientes son propiedades importantes de una particula que efctúa un movimiento armónico simple:

La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento pero en dirección opuesta. Esta es la

condición suficiente y necesaria para el movimiento armónico simple, en oposición a todas las otras

clases de vibración.

El desplazamiento desde la posición de equilibrio, la velocidad y la aceleración varian senoidalmente con

el tiempo, pero no están en fase, como se muestra en al figura 13.4.

La frecuencia y el periodo de movimiento son independientes de la amplitui. (Se muestra esto de amnera

explicita en la siguiente sección).

Pregunta sorpresa 13.3.

¿Se puede usar las ecuaciones 2.8. 2.10, 2.11 y 2.12 (véase cinemática) para describir el movimiento de un

oscilador armónico simple?

EJEMPLO 13.1. Un cuerpo oscilante

Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su desplazamiento desde el origen varía

con el tiempo de acuerfo con la ecuación:

Donde t está en segundos y los ángulos en los paréntesis están en radianes. (a) determine la amplitud, la

freceuncia y el periodo del movimiento. (b) Calcule la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier tiempo

t. (c) Con los resultados del inciso (b) determine la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1,00 s.

(d) Determine la rapidez máxima y la aceleración máxima del cuerpo. (e) Encuentre el desplazamiento del

cuerpo entre t = 0 y t = 1,00 s.

Solución

(a) Al comparar esta ecuación con la 13.3 la ecuación general para el movimiento armónico simple: x = A

cos (t + ) se ve que A = 4,00 m y = rad/s, por tanto, f = /2 = /2 = 0,500 Hz y T = 1/f = 2,00 s.


(b) Aplicando derivadas a la ecuación dada, tenemos:

(c) Al obsrevar que los ángulos en las funciones trigonométricas están en radianes se obtiene en t = 1,00 s:

(d) A partir de las expresiones generales para v y a encontrados en el inciso (b) se usa el hecho de que los

valores máximos de las funciones seno y coseno son la unidad. En consecuencia, v varía entre 4,00

m7s, y a varía entre 4,00 2 m7s2 de modo que:

Los mismos resultados se obtienen si se utilizan vmáx

= A y amáx

= 2

A, donde A = 4,00 m y = rad/s

(e) La coordenada x en t = 0 es:

En el inciso © se encontró que la coordenada x en t = 1,00 s es 2,83 m; por tanto, el desplazamiento entre t = 0

y t = 1,00 ses:

Debido a que la velocidad de la partícukla cambia de signo durante el primer segundo, la magnitud de x no es

la msiam que la distancia recorrida en el primer segundo. (Para cuando ha transcurrido el primer segundo, el

objeto ha pasado por el punto x = 2,83 m una vez, viajando a x = 4,00 m y regresando a x = 2,93 m.

Ejercicio. ¿Cuál es la fase del movimiento en t = 2,00 s?


Respuesta: 9/4 rad. 13.2. NUEVA VISITA DEL SISTEMA BLOQUE-RESORTE

Considere de nuevo el sistema bloqueresorte (Fig. 13.5). Suponga otra vez que la superfciie no tiene fricción; por tanto, cuando el bloque se desplace desde el equilibrio, la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza restauradora del resorte. Como se vio en la ecuación 13.2, cuando el bloque se desplaza una distancia x desde el equilibrio experiemnta una aceleración a = (k/m) x. Si el bloque se desplaza una distancia máxima x = A en algún tiempo inicial y luego se libera desde el reposo, su aceleración inicial en este instante es kA/m (su valor negativo extremo). Cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio x = 0, su aceleración es cero. En este momento su rapidez es un máximo El bloque continúa viajando entonces a la izquierda del equilibrio y finalmente alcanza x = A, momento en el cual su aceleración es kA/m (máximo positivo) y su rapidez de nuevo es cero. Por tanto, se ve que el bloque oscila entre los puntos de retorno x = A.

Figura 13.5. Un bloque de masa m unido a un resorte sobre una superfciie sin fricción experimenta movimiento armónico simple. (a) Cuando el bloque se desplaza a la derecha del equilibrio el desplazamiento es positivo y la aceleración es negativa. (b) En la posición de equilibrio x = 0 la aceleración es cero y la rapidez es un máximo. (c) Cuando el nloque se desplaza a la izquierda del equilibrio el desplazamiento es negativo y la aceleración es positiva. Ahora sew describirá el movimiento de oscilación de manera cuantitativa. Recuerde que a = dv/dt = d2x/dt2, de modo que la ecuación 13.2 se puede expresar como:

(13.16)

Si la proporción k/m se denota con el símbolo 2

, esta ecuación se vuelve:

(13.17)

Ahora se requiere una solución para la ecuación 13.17, es decir una función x(t) que satisfaga esta ecuación

diferencial de segundo orden. Como las ecuaciones 13.17 y 13.6 son equivalentes, la solución debe ser la de un

movimiento armónico simple:

Para comprender esto con mayos claridad suponga que x = a cos (t + ). Entonces:


Al comparar las expresiones para x y d2

x/dt2

se ve que d2

x/dt2

= 2

x, de modo que se resuelve la ecuación

13.17. Se concluye que cada vez que la fuerza que actúa sobre una partícula es linealmnete proporcional al

desplazamiento desde alguna posición de equilibrio y actúa en dirección opuesta (F = kx), la partícula

efectúa un movimiento armónico simple.

Recuerde que el periodo de cualquier oscilador armónico simple es T = 2/ (Ec. 13.4) y que la freceuncia es el

inverso del periodo. Se sabe a partir de las ecuaciones 13.16 y 13.17 que = k/m, por lo que se puede

expresar el periodo y la frecuencia del movimiento de este sistema como:

(13.18)

(13.19)

Es decir, el periodo y la frecuencia dependen sólo d ela masa del bloque y d ela cosntante de fuerza del resorte.

Mas aún, la freceuncia y el periodo son independientes de la amplitud del movimiento. Como se podría esperar,

la frecuencia es más grande para un resorte con mayor rígides (cuanto más rígido sea el resorte, será más

elevado el valor de k) y disminuye a medida que crece la masa.


Cuegue un objeto de una banda elástica e inicie una oscilación, Mida T. Ahora ate juntas cuatro bandas elásticas

idénticas, extremo con extremo. ¿Cómo se compararía la k de esta gran banda con la k de la banda sola? De

nuevo tome el tiempo de las ocscilaciones con el mismo objeto. ¿Puede verificar la ecuación 13.19?


Caso especial 1. Considere ahora un caso especial para una mejor comprensión del significado físico de la ecuación 13.3, la expresión que define el movimiento armónico simple. Se usará esta ecuación para describir el movimiento de un sistema blqueresorte oscilatorio. Suponga que jala el bloque una distancia A a partir del punto de equilibrio y lo suelta desde el reposo a esta posición extendida, como se muestra en al figura 13.6. La solución para c debe obedecer las condiciones iniciales de que en t = 0, x= = A y v0 = 0. Estas condiciones se logran si se elige = 0 y se obtiene x = A cos t como la solución. Para verificar esta solución advierta que satisface la condición x0 = A en t = 0, puesto que cos 0 = 1. Así pues, se ve que A y contienen la información en las condiciones iniciales

Figura 13.6. Sistema bloqueresorte que parte del reposo en x = A . En este caso = 0 y, por tanto x = A cos t

Investigue ahora el comportamiento de la velocidad y la aceleración para este caso especial. Puesto que x = A cos t:

A partir de la expresión de la velocidad se ve que, puesto que sen 0 = 0, v0 = 0 en t = 0, como se requiere. La expresión para la aceleración indica que en t = 0, a = 2A. Físicamente esta aceleración negativa tiene sentido puesto que al fuerza que está actuando sobre el bloque está dirigida hacia la izquierda cuando el desplazamiento es positivo. En efecto, en la posición extrema que se muestra en la figura 13.6, F = kA (hacia la izquierda), y la aceleración inicial es 2A = kA/m.

Otro acercamiento para probar que x = A cos t es suponer la solución correcta usando la relación tan = v0/x0 (Ec. 13.14). Puesto que v0 = 0 en t = 0, tan = 0 y por ello = 0. (La tangente de también es igual a cero, pero = da el valor equivocado para x0)

El desplazamiento, la velocidad y la aceleración versus tiempo para este caso especial se grafican en la figura 13.7. Advierta que la aceleración alcanza valores extremos de 2A cuando el desplazamiento tiene valores extremos de A, puesto que la fuerza es máxima en dichas posiciones. Además, la velocidad tiene valores extremos de A, los cuales ocurren en x = 0. En consecuencia, la solución cuantitativa concuerda con al descripción cualitativa de este sistema.


Figura 13.7. Desplazamiento, velocidad y aceleración versus tiempo para un sistema bloqueresorte como el que se muestra en al figura 13.6, experimentando movimiento armónico simple en las condiciones iníciales en que t = 0, x0 = A y v0 = 0 (caso especial 1). Los orígenes en O’ corresponden al caso especial 2, el sistema bloqueresorte en las condiciones iníciales mostradas en al figura 13.8. Caso especial 2. Suponga ahora que se le da al bloque una velocidad inicial v0 hacia la derecha en el momento en que el sistema está en la posición de equilibrio, de manera que en t = 0, x0 = 0 y v0 = v. (Fig. 13.8). La expresión para x ahora debe satisfacer estas condiciones iníciales. Puesto que el bloque se mueve en la dirección x positiva en t = 0, y en vista de que x0 = 0 en t = 0, la expresión para x ahora debe tener la forma x = A sen t.

Figura 13.8. El sistema bloqueresorte indica su movimiento en la posición de equilibrio en t = 0. Si su velocidad inicial es v0 a la derecha, la coordenada x del bloque varía como x = (v0/) sen t

Si se aplica la ecuación 13.14 y la condición inicial de que x0 = 0 en t = 0, se obtiene tan = y = /2. Por tanto, la ecuación 13.3 se convierte ahora en x = A cos (t /2), la cual puede escribirse como x = A sen t. Además, de acuerdo con la ecuación 13.15, se ve que A = v0/, en consecuencia, x se puede expresar como:

La velocidad y la aceleración en este caso son:

Estos resultados son consistentes con los hechos de que (1) el bloque siempre tiene una rapidez máxima en x = 0, y (2) la fuerza y la aceleración son cero en esta posición. Las gráficas de estas funciones versus tiempo en al figura 13.7 corresponden al origen en =’.


¿Cuál es la solución para x si la masa se mueve inicialmente hacia la izquierda en al figura 13.8?

EJEMPLO 13.2. ¿Cuidado con los baches!

Un automóvil de 1300 kg de masa se construye con un armazón soportado por cuatro resortes. Cada resorte

tiene una constante de fuerza de 20 000 N. Si dos personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de

160 kg encuentre la frecuencia de vibración del auto cuando pasa por un bache en el camino.

Solución

Suponga que la masa está distribuida equitativamente, de modo que cada resorte soporta un cuarto de la carga.

La masa total es de 1 460 kg, y en consecuencia, cada resorte soporta 365 kg,


Por consiguiente, la frecuencia de vibración es, según la ecuación 13.19:

Ejercicio. ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en ejecutar dos vibraciones completas?

Respuesta: 1,70 s

EJEMPLO 13.3. Un sistema bloqueresorte

Un bloque de 200 g está conectado a un resorte ligero de constante de fuerza 5,00 N/m y puede oscilar

libremente sobre una superficie horizontal sin fricción. Si el bloque se desplaza 5,00 cm desde el equilibrio y se

suelta a partir del reposo, como se muestra en la figura 13.6. (a) encuentre el periodo de su movimiento. (b)

Determine la rapidez máxima del bloque. (c) ¿Cuál es la aceleración máxima del bloque? (d) Exprese el

desplazamiento, la rapidez y la aceleración como función del tiempo.

Solución

(a) A partir de las ecuaciones 13.16 y 13.17 se sabe que la frecuencia angular de cualquier sistema bloqueresorte es:

y el periodo es:

(b) Se usa la ecuación 13.10:

(c) Por medio de la ecuación 13.11:

(d) Esta situación corresponde al caso especial 1, donde la solución es x = A cos t. Al usar esta expresión y los resultados de (a), (b) y (c) se obtiene:

13.3. ENERGIA DEL OSCILADOS ARMONICO SIMPLE


Ahora se examinará la energía mecánica del sistema bloqueresorte descrito en la figura 13.6. Debido a que la superficie no presenta fricción se espera que la energía mecánica total sea constante, como se demostró en el capítulo 8. Se puede utilizar la ecuación 13.7 para expresar la energía cinética como:

(13.20)

La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x está dada por ½ kx2

(véase la

Ec. 8.4). Con la ecuación 13.3 se obtiene:

(13.21)

Se ve que EC y E

P son simples cantidades positivas. En vista de que

2

= k/m se puede expresar la energía

mecánica total del oscilados armónico simple como:

A partir de la identidad sen2

+ cos2

= 1 se ve que la cantidad entre paréntesis cuadrados es uno. En

consecuencia, esta ecuación se reduce a:

(13.22)

Es decir, la energía mecánica total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y es

proporcional al cuadrado de la amplitud. Advierta que EP es pequeña cuando E

C es grande, y viceversa, puesto

que la suma debe ser constante. De hecho, la energía mecánica total es igual a la energía potencial máxima

almacenada en el resorte cundo x = A, pues en estos puntos v = 0 y, por tanto, no hay energía cinética. En la

posición de equilibrio, doce EP = 0 porque x = 0, la energía total, toda en forma de energía cinética, de nuevo es

½ kA2

. Es decir:

(en x = 0)

En la figura 13.9a se presentan las gráficas de las energías cinética y potencial versus tiempo, donde se ha

tomado = 0. Como se mencionó antes, tanto EC como E

P siempre son positivas y su suma en todo momento es

una constante igual a ½ kA2

, la energía total del sistema. Las variaciones de EC y E

P con el desplazamiento x del

bloque que se grafica en la figura 13.9b. La energía se transforma continuamente de la energía potencial

almacenada en el resorte a la energía cinética del bloque.


Figura 13.9. (a) Energías cinética y potencial versus tiempo para un oscilador armónico simple con = 0. (b)

Energías cinética y potencial versus desplazamiento para un oscilador armónico simple. En cualquiera de las

gráficas observe que EC + E

P = constante.

Figura 13.10. Movimiento armónico simple para un sistema bloqueresorte y en relación con el movimiento de un péndulo simple. Los parámetros en la tabla se refieren al sistema bloqueresorte, suponiendo que x = A en t = 0, por tanto, x = A cos t (véase caso especial 1)

La figura 13.10 ilustra la posición, velocidad, aceleración, energía cinética y energía potencial del sistema bloqueresorte para un periodo completo de movimiento. La mayor parte de las ideas expuestas hasta ahora se incorporan en esta importante figura. Estúdiela cuidadosamente.


Por último, es posible utilizar la ley de conservación de la energía para obtener la velocidad correspondiente a un desplazamiento arbitrario al expresar la energía total en alguna posición arbitraria x como:

(13.23)

Cuando se verifica la ecuación 13.23 para ver si es acorde con los casos conocidos, se encuentra que comprueba

el hecho de que la rapidez es un máximo en x = 0 y es cero en los puntos de retorno, x = A.

Quizá usted pregunte por qué se está empleando tanto tiempo en el estudio de los osciladores armónicos

simples. Esto se hace porque los mismos son buenos modelos de una amplia variedad de fenómenos físicos. Por

ejemplo, recuerde el potencial de LennardJones analizado en el ejemplo 8.11. esta complicada función

describe las fuerzas que mantienen unidos a los átomos. La figura 13.11a muestra que, para pequeños

desplazamientos desde la posición de equilibrio, la curva de la energía potencial para esta función se aproxima a

una parábola, lo cual representa la función energía potencial para un oscilador armónico simple. Por tanto, se

pueden aproximar la complejidad de las fuerzas de unión de los átomos como pequeños resortes, como se

muestra en la figura 13.11b.

Figura 13.11. (a) Si los átomos en una molécula no se mueven demasiado lejos de sus posiciones de equilibrio,

una gráfica de energía potencial versus distancia entre átomos es similar a la gráfica de energía potencial versus

posición para un oscilador armónico simple. (b) Pequeños resortes aproximan las fuerzas que mantienen unidos

a los átomos.

Las ideas presentadas en este capítulo no sólo se aplican a los sistemas bloqueresorte y a los átomos, sino

también a un amplio rango de situaciones que incluyen salto bungee, sintonizar una estación de televisión y ver

la luz emitida por un láser. El lector verá más ejemplos de osciladores armónicos simples conforme trabaje en

este libro.

EJEMPLO 13.4. Oscilaciones sobre una superficie horizontal


Un cubo de 0,500 kg conectado a un resorte ligero para el cual la constante de fuerzas de 20,0 N/m oscila sobre

una pista horizontal sin fricción. (a) calcule la energía total del sistema y la rapidez máxima del cubo si la

amplitud del movimiento es de 3,00 cm.. (b) ¿Cuál es la velocidad del cubo cuando el desplazamiento es igual a

2,00 cm? (c) Calcule las energías cinética y potencial del sistema cuando el desplazamiento es igual a 2,00 cm.

Solución

(a) Con la ecuación 13.22 se obtiene:

Cuando el cubo está en x = 0 se sabe que EP = 0 y E

C = ½ mv

máx2

; por tanto:

(b) Se puede aplicar directamente la ecuación 13.23:

Los signos positivos y negativos indican que el cubo podría estar moviéndose hacia la derecha o hacia la izquierda en este instante.

(c) Utilizando el resultado del inciso (b) se encuentra que:

Advierta que EC + E

P = E

Ejercicio. ¿Para qué valores de x la rapidez del cubo es 0,100 m/s?

Respuesta: 2,55 cm

13.4. EL PENDULO SIMPLE

El péndulo simple es otro sistema mecánico que presenta movimiento periódico. Consiste de una plomada parecida a una partícula de masa m suspendida por una cuerda ligera de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo, como se muestra en la figura 13.12. El movimiento ocurre en un plano vertical y se impulsa por la fuerza gravitacional. Se mostrará que, siempre y cuando el ángulo sea pequeño (menos a aproximadamente 10º) el movimiento es armónico simple.


Las fuerzas que actúan sobre la plomada son al fuerza T ejercida por la cuerda y la fuerza gravitacional mg. La componente tangencial de la fuerza gravitacional mg sen , actúa siempre hacia = 0, opuesta al desplazamiento. Por consiguiente, la fuerza tangencial es una fuerza restauradora, y se puede aplicar la segunda ley de Newton para el movimiento en la dirección tangencial:

Figura 13.12. Cuando es pequeño, un péndulo simple oscila en movimiento armónico simple en torno a la posición de equilibrio = 0. La fuerza restauradora es mg sen , la componente de la fuerza gravitacional tangente al arco.

Donde s es el desplazamiento de la plomada medido a lo largo del arco y el signo menos indica que la fuerza

tangencial actúa hacia la posición de equilibrio (vertical). Puesto que s = L (Ec. 10.1a) y L es constante, esta

ecuación se reduce a:

El lado derecho es proporcional a sen en lugar de , por tanto, con sen presente, no se esperaría movimiento

armónico simple, debido a que esta expresión no es de la forma de la ecuación 13.17. Sin embargo, si se supone

que es pequeño, puede utilizar la aproximación sen = , en consecuencia, la ecuación de movimiento para el

péndulo simple se vuelve:

(13.24)

Ahora se tiene una expresión de la misma forma a la ecuación 13.17, y se concluye que el movimiento para

pequeñas amplitudes de oscilación es armónico simple. En consecuencia, puede escribirse como = máx

cos

(t + ), donde máx

es el desplazamiento angular máximo y la frecuencia angular es:

(13.25)

El periodo del movimiento es:

(13.26)


En otras palabras, el periodo y la frecuencia de un péndulo simple dependen sólo d ela longitud de la

cuerda y la aceleración debida a la gravedad. Como el periodo es independiente de la masa, se concluye que

todos los péndulos simples que tienen la misma longitud y están en al misma ubicación (por lo que g es

constante) oscilan con periodos iguales. La analogía entre el movimiento de un péndulo simple y el sistema

bloqueresorte se ilustra en la figura 13.10.

El movimiento de un péndulo simple, capturado con fotografía de destello múltiple. En este caso, el movimiento oscilatorio es armónico simple.

El péndulo de Foucault en el Instituto Franklin en

Filadelfia. Este tipo de péndulo fue el primero usado por el

físico francés Jean Foucault para verificar la rotación de la

Tierra de manera experimental. Conforme se balancea el

péndulo el plano vertical en el que oscila parece girar

cuando la plomada golpea sucesivamente sobre los

indicadores alineados en un círculo sobre el piso. En

realidad, el plano de oscilación está fijo en el espacio, y la

Tierra rotando bajo el péndulo que se balancea mueve los

indicadores a la posición donde se habrán de derrumbar,


uno tras otro.

El péndulo simple se puede emplear como un marcador de tiempo porque su periodo depende sólo de su

longitud y el valor local de g. también es un dispositivo adecuado para efectuar medidas precisas de la

aceleración en caída libre. Dichas mediciones son importantes, pues las variaciones en los valores locales de g

pueden proporcionar información acerca de la ubicación de petróleo y otros valiosos recursos subterráneos.


A un bloque de masa m primero se le permite colgar de un resorte en equilibrio estático, al cual alarga una

distancia L más allá de su longitud en equilibrio. El bloque y el resorte entonces se ponen a oscilar. ¿El periodo

de este sistema es menor, igual o mayor que el periodo de un péndulo simple que tiene longitud L y una

plomada m?

EJEMPLO 13.5 Conexión entre longitud y tiempo

Christian Huygens (16291695), el mejor relojero de la historia, sugirió que podría definirse una unidad

internacional de longitud como la longitud de un péndulo simple que tuviera un periodo de exactamente 1 s.

¿Cuán corta sería la actual unidad de longitud si se hubiera seguido sus indicaciones?

Solución

Resolver la ecuación 13.26 para la longitud produce:

Por tanto, la longitud del metro sería ligeramente menor que un cuarto de su longitud actual. Advierta que el

número de dígitos significativos depende sólo de cuán precisamente se conoce g debido al tiempo que se definió

exactamente como 1 s.


Sostenga con firmeza una regla de tal modo que cerca de la mitad de su largo esté fuera del límite de su escritorio. Con su otra mano empuje hacia abajo y luego suelte el extremo libre; observe cómo vibra. Ahora deslice la regla de tal forma que sólo cerca de un cuarto de la misma puede vibrar. Esta vez, cuando usted la suelta, ¿cómo se compara el periodo vibracional con su valor anterior? ¿Por qué?

EL PÉNDULO FÍSICO Suponga que usted equilibra su abrigo en un gancho de alambre de forma que esté sostenido por su dedo inidce extendido. Cuando usted le da al gancho un pequeño desplazamiento (consu otra mano) y luego lo suelta, el gancho oscila. Si un objeto colgante oscila alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa, y el objeto no puede aproximarse como una masa puntual, no se puede tratar al sistema como un péndulo simple. En este caso el sistema recibe el nombre de péndulo físico


Figura 13.13. Un péndulo físico

Considere un objeto rígido que gira alrededor de un punto O que está a una distancia d del centro de masa (Fig. 13.13). la fuerza de gravedad proporciona un momento de torsión alrededor de un eje que pasa por O, y la magnitud del momento de torsión es mgd sen , donde es como se muestra en al figura 13.13. Al usar la segunda ley de Newton para el movimiento de rotación = I, donde I es el momento de inercia alrededor del eje que pasa por O, se obtiene:

El signo menos indica que el momento de torsión alrededor de O tiende a disminuir . Es decir, al fuerza de

garvedad produce un momento de torsión restaurador. Puesto que esta ecuación da la aceleración angula d2/dt2

del cuerpo articulado, se le puede considerar la ecuación del movimiento para el sistema. Si se supone de nuevo

que es pequeño, entonces la aproximación sen = es válida y la ecuación de movimiento se reduce a:

(13.27)

Como esta ecuación es de la misma forma que al ecuación 13.17 el movimiento es armónico simple. Es decir, la

solución d ela ecuación es = mín cos (t + ), donde mín es el desplazamiento angular máximo y:

El periodo es:

(13.28)

Se puede utilizar este resultado para medir el momento d einercia de un cuerpo rígido plano. Si se reconoce la

localización del centro de masa y, consecuentemente, el valor de d el momento de inercia puede obtenerse

midiendo el periodo. Por último, advierta que al ecuación 13.28 se reduce al periodo de un péndulo simple

(ecuación 13.26) cuando I = md2 es decir, cuando toda la masa se encuentra en el centro de masa

EJEMPLO 13.6. Una barra oscilante


Una barra de masa M y largo L está articulada en uno de sus extremos y oscila en un plano vertical (Fig. 13.14).

Encuentre el periodo de oscilación si la amplitud del movimiento es pequeña,

Figura 13.14. Una barra rígida que oscuila en torno a un pivote que pasa a través de un extremo es un péndulo

físico con d = L/2, a partir de la tabla 10.2: I = 1/3 ML2

Solución

En el capítulo 10 se encontró que el momento de inercia de una barra uniforme alrededor de un eje que pas por

un extremo es 1/3 ML2. La distancia d desde el pivote al centro de masa es L/2. Al sustituir estas cantidades en

la ecuación 13.28 se obtiene:

Comentario: En uno de los descensos a la Luna un astronauta que caminaba sobre la superfciie tenía un cinto

que colgaba de su traje espacial y oscilaba como un péndulo físico. Desde la tierra un cietífico observó este

movimiento en la TV y a partir de ahí fue capaz de calcular la aceleración en caída libre en la Luna. ¿Cómo

supone usted que se efectúo este cálculo?

Ejercicio. Calcule el periodo de una regla métrica que está articulada alrededor de uno de us extremos y oscila

en un plano vertical.

Respuesta: 1,64 s

PÉNDULO DE TORSIÓN


La figura 13.15 muestra un cuerpo rígido suspendido por un alambre unido en al aprte superior de un soporte fijo. Cuando el cuerpo se hace girar cierto ángulo pequeño , el alambre torcido ejerce un momento de torsíon restaurador sobre el cuerpo que es proporcional al depslazamiento angular. Es decir:

Donde K recibe el nombre de constante elástica de torsión del alambre de soporte. El valor de K puede

obtenerse aplicando un momento de torsión conocido para girar el alambre un ángulo que puede medirse. La

aplicación de la segunda leuy de Newton para el movimiento rotacional produce:

Figura 13.15. Un péndulo de torsión consta de un cuerpo rígido suspendido por un alambre unido a un soporte

rígido. El cuerpo oscila en torno a la línea OP con una ampolitud máx

.

(13.29)

De nuevo, ésta ecuación de movimiento para un oscilador armónico simple con:

y un periodo:

(13.30)

Este sistema recibe el nombre de péndulo de torsión. No hay una restricción de ángulo pequeño en esta

situación, mientras no se exceda el límite elástico del alambre. La figura 13.16 muestra la rueda de equilibrio de

un reloj oscilando como un péndulo de torsión, energizado por el soporte principal.


Figura 13.16. La rueda de equilibrio de este antiguo reloj de bolsillo es un péndulo de torsión y regula el mecanismo que mantiene el tiempo.

13.5. COMPARACION DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE CON EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Se pueden entender y visualizar mejor muchos aspectos del movimiento armónico simple al estudiar su relación con el movimiento circular uniforme. La figura 13.17 es una perspectiva de un arreglo experiemntal que muestra esta relación. Una pelota está unida al borde de un tornamesa de radio A, la cual se ilumina desde un lado con una lámpara. La pelota proyecta una sombra sobre una pantalla. Se encuentra que conforme la tornamesa gira a rapidez angular constante, la sombra de la pelota se mueve hacia atrá y hacia adelante en movimiento armónico simple.

Figura 13.17. Un dispositivo experimental para demostrar la conexión entre movimiento armónico simple y movimiento circular uniforme. Coforme la bola gira sobre la tornamesa con rapidez angular constante susombra sobre la pantalla se mueve hacia atrás y hacia adelante en movimiento armónico simple.

Considere una partícula localizada en el punto P sobre la circunferencia del círculo de radi A, como se muestra en el figura 13.18a ; con la línea OP formando un ángulo con el eje x en t = 0. Este círculo recibe el nomgre de circulo de referencia al comparar el movimiento armónico simple con el movimiento circular uniforme, y se toma la posición de P en t = 0 como la posición de referencia. Si la aprtícula s emueve a lo largo del círculo con rapidez angular constante hasta que OP forma un ángulo con el eje x como en al figura 13.18b, entonces, en cierto tiempo t > 0, el ángulo entre OP y el eje x es = t + . Conforme la partícula se traslada por el círculo, la proyección P sobre el eje x, marcada con el punto Q, se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo del eje x, entre los límites x = A.


Figura 13.18. Relación entre el movimiento circular uniforme de un punto P y el movimiento armónico simple de un punto Q. Una partícula en el punto P se mueve en un círculo de radio A con rapidez angular constante . (a) Un círculo de referencia que muestra la posición de P en t = 0. (b) Las coordenadas x de los puntos P y Q son iguales y varían en el tiempo cuando x = A cos (t + ). (c) La componente x de la velocidad de P es igual a la velocidad de Q. (d) La componente x de la aceleración de P es igual a la aceleración de Q.

Observe que los puntos P y Q siempre tienen la misma coordenada x. De acuerdo con el triçangulo recto OPQ se ve que esta coordenada x es:

Esta expresión demuestra que el pnto Q se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. En

consecuencia, se concluye que:

El movimiento armónico simple a lo largo de una línea recta puede representarse mediante la proyección

de un movimiento circular uniforme a lo largo de un diámetro de un círculo d ereferencia.

Por medio de un argumento similar se puede ver partir de la figura 13.18b que la proyección de P a lo largo del

eje y muestra también un movimiento armónico simple. En cosecuencia, el movimiento circular uniforme

puede considerarse una combinación de dos movimientos armónicos simples, uno a lo alrgo de x y uno a lo

largo de y, donde los dos difieren en su fase por 90º.

Esta interpretación geométrica muestra que el tiempo para una revolución completa del punto P sobre el círculo

de referencia es igual al periodo de movimiento T correspondiente al movimiento armónico simple entre x =

A. Es decir, la rapidez angular de P es la misma que la freceuncia angular de un movimiento armónico

simple a lo largo del eje x (por eso se usa el mismo símbolo). La constante de fase para el movimiento

armónico simple correspondiente al ángulo inicial que OP forma con el eje x. El radio del círculo de referencia,

A, es igual a la amplitud del movimiento armónico simple.

Puesto que la relación entre la rapidez lineal y angular para el movimiento circular es v = r (véase la Ec.

10.10), la partícula que s emueve sobre el círculo de referencia de radio A tiene un avelocidad de magnitud A.

De acuerdo con al geometría en la figura 13.18c se ve que la componente x de la velocidad es A sen (t + ).

Por dsefinición, el punto Q tiene una velocidad dada de dx/dt. Al diferenciar la ecuación 13.31 respecto del

tiempo se encuentra que la velocidad de Q es la misma que la componente x fde la velocidad de P.


La aceleración de P sobre el círculo de referencia está dirigida radialmente hacia adentro en dirección a O y

tiene un amagnitud v2

/A = 2

A. A partir de la geometría en la figura 13.18d se ve que la componente x de esta

aceleración es 2

A cos (t + ). Este valor es también la aceleración del punto proyectado Q a lo largo del eje

x, como usted puede verificar al tomar la segunda derivada de la ecuación 13.31.

EJEMPLO 13.7. Movimiento circular con rapidez angular constante

Una partícula gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj en un círculo de 3,00 m de radio a una

rapidez angular constante de 6,00 rad/s. En t = 0 la partícula tiene una coordenada x de 2,00 m y s emueve a la

derecha. (a) determine la coordenada x como una función del tiempo. (b) Encuentre las componentes x de la

velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier tiempo t.

Solución

(a) Puesto que la amplitud del movimiento de la partícula es igual al radio del círculo, y = 8,00 rad/s, se tiene:

Puede evaluar usando la condición inicial de que x = 2,00 m en t = 0:

2,00 m = (3,00 m) cos (0 + )

Si se tomara la respuesta como = 48,2º, entonces la coordenada x = (3,00 m) cos (8,00 t + 48,2º) estaría

disminuyendo en el tiempo t = 0 (esto es, moviéndose a la izquierda). Puesto que la partícula primero se mueve

a la derecha, s edebe elegir = 48,2º = 0,841 rad. Entonces la coordenada x, como función del tiempo es:

x = (3,00 m) cos (8,00 t 0,841)

Advierta que en la función coseno debe estar en radianes.

(b) Para encontra la componente x de la velocidad y la aceleración derivamos la función obtenida:

A partir de estos resultados se concluye que vmáx = 24,0 m/s y que amáx = 192 m/s2. Advierta que estos valores también son iguales a la rapidez tangencial A, y a la aceleración centrípeta 2A.

13.6. OSCILACIONES AMORTIGUADAS


Los movimientos oscilatorios que se han considerado hasta ahora han correspondido a sistemas ideales, es decir, sistemas que oscilan de maneraindefinida bajo la acción de una fuerza restauradora lineal. En muchos sistemas reales las fuerzas disipativas, como al fricción, retardan el movimiento. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento está amortiguado.

Un tipo común de fuerza retardadora es la estudiada en la sección 6.4, donde la fuerza es proporcional a la rapidez del objeto en movimiento u actúa en al dirección opuesta al movimiento. Esta fuerza retardadora a menudo se observa cuando un objeto se mueve a través del aire, por ejemplo. Debido a que la fuerza retardadora puede expresarse como R = bv (donde b es una constante llamada coefciiente de amortiguamiento) y la fuerza restauradora del sistema es kx, la segunda ley de Newton se puede escribir como:

(13.32)

Para solucionar esta ecuación se necesita matemáticas que quizça no le sean familiares, de manera que aquí

simplemente se enunciará sin demsotración. Cuando la fuerza retardadora es pequeña, comparada con al fuerza

restauradora máxima es decir, cuando b es pequeña la solución para la ecuación 12,32 es:

(13.33)

donde la freceuncia angular de oscilación es:

(13.34)

Este resultado puede verificarse al sustituirse la ecuación 13.33 en la 13.32.

Figura 13.19. (a) Gráfica de desplazamiento versus tiempo para un oscilador amortiguado. Advierta la disminución en amplitud con el tiempo. (b) Un ejemplo de un oscilador amortiguado es una masa unida a un resorte y sumergido en un líquido viscoso.


La figura 13.9a muestra el desplazamiento como una función del tiempo para un objeto oscilando en la

presencia de una fuerza restauradora, y la figura 13.19b esboza uno d etales sistemas: un bloque unido a un

resorte y sumergido en un líquido viscoso, en donde se ve que cuando la fuerza retardadora es muy pequeña

comparada con al fuerza restauradora, el carácter oscilatorio del movimiento se preserva pero la amplitud

disminuye en el tiempo, y el movimiento finalmente cesa. Cualquier sistema que se comporte de esta manera se

conoce como oscilador amortiguado. Las líneas punteadas azules en al figura 13-19ª, las cuales definen la

envolvente de la curva oscilatoria, representan el factor exponencial con el tiempo. Para el movimiento con una

constante de resorte y masa de la partícula determinadas, las oscilaciones se amortiguan con mayor rapidez a

medida que el valor máximo de la fuerza restauradora se acerca al valor máximo de la fuerza restauradora.

Es conveniente expresar la frecuencia angular de un oscilador amortiguado en al forma:

Donde 0 = k/m representa la frecuencia angular cuando no hay fuerza restardadora (el oscilador

amortiguado) y se llama frecuencia natural del sistema. Cuando la magnitud de la máxima fuerza retardadora

Rmáx

= bvmáx

< kA, se dice que el sistema está subamortiguado. Confoemew el valor de de R tiende a kA, la

amplitud de las oscilaciones disminuye más y más rápidamente. Este movimiento se representa por la curva azul

en al figura 13.20. Cuando b alcanza un valor crítico bc, tal que b

c/2m = 0, el sistema no oscila y se dice que

está críticamente amortiguado. En este caso, una vez liberado desde el reposo en cierta posición de no

equilibrio, el sistema regresa al equilibrio y ahí permanece. La gráfica del desplazamiento versus tiempo en este

caso es la curva roja en al figura 13.20

Figura 13.20. Gráficas de desplazamiento versus tiempo para: (a) un oscilador subamortiguado. (b) un

oscilador críticamente amortiguado y (c) un oscilador sobreamortiguado.

Si el emdio es tan viscoso que la fuerza retardadora es más grande que la restauradora es decir, si R

máx = bv

máx >

kA y si b/2m > 0 el sistema está sobreamortiguado. Otra vez, el sistema desplazado, cuando tiene libertad de

moverse, no oscuka, sino simplemente regresa a su posición de equilibrio. Conforme aumenta el

amortiguamiento el tiempo que le toma al sistema aproximarse al equilibrio también aumenta, como indica la

curva negra en la figuta 13.20.


En cualquier caso en que exista fricción, ya sea porque el sistema está sobreamortiguado o subamortiguado, la

energía del oscilador finalmente tenderá a ser cero. La energía mecánica perdida se disipa en energía interna en

el medio retardador.


El sistema de suspendión de un automóvil consiste de una combinación de resortes y amortiguadores, como se

muestra en la figura 13.21. Si usted fuese un ingeniero automotriz, ¿diseñaría un sistema de suspendión que

fuese subamortiguado, críticamente amortigiado o sobreamortiguado? Analice cada caso.

Figura 13.21. (a) Un amortiguador consiste de un pistón que oscila en una cámara llena de aceite. Conforme el

pistón oscila el aceite pasa a agujeros entre el pistón y la cámara, provocando un amortiguamiento a las

oscilaciones del pistón. (b) Un tipo de sistema de suspensión automotriz, en el cual el amortiguador está ubicado

dentro de un muelle en cada rueda.

13.7. OSCILACIONES FORZADAS

Es posible compensar la pérdida de enrgía en un sistema amortiguado aplicando una fuerza externa que efctúe trabajo positivo en el sistema. En cualquier instante la energía puede darse al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúa en la dirección del movimiento del oscilador. Por ejemplo, una niña en un columpio puede mantenerse en movimiento por medio de empujones aplicados en el momento apropiado. La amplitud del movimiento permanece constante si la entrada de energía por ciclo es exactamente igual a la energía perdida como consecuencia del amortiguamiento. Cualquiere movimiento de este tipo recibe el nombre de oscilación forzada.

Un ejemplo común de unoscilador forzado es un oscilador amortiguado impulsado por una fuerza externa que varía de modo periódico, tal como F = Fext cos t, donde es la frecuencia angular de la fuerza periódica y Fext

es una constante. La suma de esta fuerza impulsora en el lado izquierdo de la ecuación 13.32 produce:

(13.35)


(Como antes, la solución de esta ecuación se presneta sin prueba). Después de un periodo suficientemente largo,

cuando la entrada de energía por cicño es igual a la pérdida de energía por ciclo, se alcanza una condición de

estado estable en el cual las oscilaciones prosiguen con amplitud constante. En este momento, cuando el sistema

está en estado estable, la solución de la ecuación 13.35 es:

(13.36)

donde:

(13.37)

Y donde 0 = k/m es la frecuencia angular del oscilador no amortiguado (b = 0). Se puede argumentar que en

estado estable el oscilador debe tener físicamente la msiam frecuencia que la fuerza impulsora, por lo que la

solución que proporciona la ecuación 13.36 es la esperada. De hecho, cuando esta solución se sustituye en la

ecuación 13.35, uno descubre que es desde luego una solución, siempre que la amplitud esté dada por la

ecuación 13.37.

La ecuación 13.37 muestra que el movimiento del oscilador forzado no está amortiguado debido a que está

impulsado por una fuerza externa. El agente externo proporciona la nergía necesria para cubrir las pérdidas

debidas a la fuerza retardadora. Asdvierta que el sistema pscila en al frecuencia angular de la fuerza

impulsora. En el caso de amortiguamiento pequeño, la amplitud se vuelve muy grande cuando la frecuencia de

la fuerza impuulsora se acerca a la frecuencia natural de oscilación. El considerable aumento en al amplitud

cerca de la freceuncia natural 0 se conoce como resonancia y por esta razón

0 en ocasiones recibe el nombre

de frecuencia de resonancia del sistema.

La razón para oscilaciones de gran amplitud en la frecuencia de resonancia es que la energía se transfiere al

sistema en las condiciones más favorables. Esto puede comprenderse mejor formando la primera derivada con

respecto al tiempo de x en la ecuación 13.36, la cual produce un aexpresión para la velocidad del oscilador. Al

hacerlo se descubre que v es proporcional a sen (t + ). Cuando la fuerza aplicada F está en fase con la velocidad, la rapidez a la cual la fuerza F hace trabajo sobre el oscilador es igual al producto punto F v. Recuerde que la definición de potencia es “rapidez a la cual se realiza trabajo”. Dado que el producto F v es un máximo cunado F y v están en fase, se concluye que en la resonancia la fuerza aplicada está en fase con la velocidad y que la potencia transferida al oscilador es un máximo.

La figura 13.22 es una gráfica de la amplitud como una función de la frecuencia para el oscilador forzado, con o sin amortiguamiento. Observe que la amplitud aumenta con la disminución del amortiguamiento (b 0) y que la curva de resonancia se amplia conforme se incrementa el amortiguamiento. Bajo condiciones de estado estable y en cualquier frecuencia de impulso la energía transferida al sistema es igual a la energía perdidad debido a la fuerza amortiguadora; en consecuencia, la energía total promedio del oscilador permanece constante. Cuando no hay fuerza amortiguadora (b = 0), a partir de la ecuación 13.37 se ve que la amplitud de estado estable se acerca al infinito 0. En otras palabras, si no hubiera pérdidads en el sistema, y se continuara impulsando un oscialdor incialmente sin movimiento con una fuerza periodica que está en fase con la velocidad, la amplitud del movimiento se fortalecería sin límite (véase la curva roja en la figura 13.22). Este fortalecimiento sin límite no ocurre en la práctica debido a que siempre está presente algún amortiguamiento.


Figura 13.22. Gráfica de amplitud versus frecuencia para un oscilador amortiguado cuando una fuerza impulsora periódica estápresente. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural 0

ocurre resonancia. Note que la forma de la curva de resonancia depende del tamaño del coefciiente de amortiguamientp b. El compotamiento de un sistema oscilatorio impulsado después de que se elimina la fuerza impulsora depende de b y de cuán cerca se encuentre de 0. Este comportamiento ocasionalmente se cuantifica por un parámetro llamado facto de calidad Q. Cuanto más próximo está un sistema de ser no amortiguado, mayor es su Q. La amplitud de oscilación cae por un factor de e (=2,718…) en Q/ ciclos.

En un capítulo ulterior se verá que la resonancia aparece en otras çareas de la física. Por ejemplo, ciertos circuitos eléctricos tiene frecuencias naturales. Un puente tiene frecuencias naturales que pueden ponerse en resonancia mediante una fuerza impulsora apropiada. Un ejemplo impresionante de dicha resonancia ocurrió en 1940, cuando el puente Tacoma Narrows en el estado de Washington fue destruido por vibraciones resonantes. Si bien los vientos no eran particularmente intensos en esa ocasión, el puente al final se colpsó (Fig. 13.23) debido a que no se había incluido en su diseño características de seguridad.

Figura 13.23. (a) En 1940 vientos tubulentos provocaron vibraciones de torsión en el puente Tacoma Narrows, esto ocasiono que oscilara a una frecuencia cercana a una de las freceuncias naturales de la estructura del puente. (b) Una vez establecida, esta condición de resonancia causó el colapso del puente. Pueden citarse muchosm otros ejemplos de vibraciones resonantes. Una vibración resonante que tal vez usted haya experiemntado es el “silbido” de los alambres telefónicos en el viento. Las máquinas con frecuencia se dewscomponens si una parte vibratoria está en resonancia con alguna otra parte móvil. Se ha sabido que soldados que marchan ordenadamente a través de puentes imponen vibraciones resonantes en la estructura y causan su colapso. Siempre que cualquier sistema físico real es impulsado cerca de su freceuncia de resonancia, usted puede esperar oscilaciones de muy grande amplitud.


Ate varios objetos y suspéndalos de una cuerda horizontal, como se ilustra en la figura. Haga dos de las cuerdas colgantes aproximadamente de la misma longitud. Si una de este par, tal como P, se pone en movimientohacia los lados, todas las otras comenzaran a oscilar. Pero Q, cuya longitud es la misma que la de P, oscila con mayor amplitud. ¿Todas las masas deben tener el mismo valor?


RESUMEN

Cuando la aceleración de un objeto es proporcional a su desplazamiento de alguna posición de equilibrio y está en la dirección opuesta al desplazamiento, el objeto se mueve con movimiento armónico simple. La posición x de un oscilador armónico simple varia periódicamente en el tiempo de acuerdo con la expresión:

Donde A es la amplitud del movimiento, es la frecuencia angular y es la constante de fase. El valor de depende de la posición y velocidad iniciales del oscilador. El alumno deberá ser capaz de emplear esta fórmula para describir el movimiento de un objeto que experimenta un movimiento armónico simple.

El tiempo T necesario para una vibración completa se conoce como periodo del movimiento:

El inverso del periodo es la frecuencia del movimiento, la cual es igual al número de oscilaciones por segundo:

La velocidad y aceleración de un oscilador armónico simple son:

Así, la rapidez máxima es A y la aceleración máxima es 2A. La rapidez es cero cuando el oscilador está en sus puntos de retorno, x = A, y es un máximo cuando el oscilador está en la posición de equilibrio, x = 0. La magnitud de la aceleración es un máximo en los puntos de retorno y cero en la posición de equilibrio. Usted deberá ser capaz de encontrar la velocidad y aceleración de un objeto en oscilación en cualquier momento si conoce la amplitud, la frecuencia angular y la constante de fase.

Un sistema bloque-resorte se mueve en un movimiento armónico simple sobre una superficie sin fricción, con un periodo:

Las energías cinética y potencial para un oscilador armónico simple varían con el tiempo y están dadas por:


Estas tres formulas le permiten analizar una amplia variedad de situaciones que involucran oscilaciones. Asegúrese de reconocer cómo la masa del bloque y la constante del resorte entran en los cálculos.

La energía total de un oscilador armónico simple es una constante de movimiento y está dada por:

La energía potencial del oscilador es un máximo cuando el oscilador está en sus puntos de retorno, y es cero cuando el oscilador está en la posición de equilibrio. La energía cinética es cero en los puntos de retorno y un máximo en la posición de equilibrio. Usted deberá poder determinar la división de energía entre formas potencial y cinética en cualquier tiempo t.

Un péndulo simple de longitud L se mueve en un movimiento armónico simple. Para desplazamientos angulares pequeños a partir de la vertical, su periodo es:

Un péndulo de torsión es un cuerpo rígido suspendido por un alambre unido en la parte superior de un soporte fijo. Para desplazamientos angulares pequeños, su periodo es:

donde k’ recibe el nombre de constante de torsión del alambre.

Para pequeños desplazamientos angulares de la vertical un péndulo físico se mueve en un movimiento armónico simple alrededor de un pivote que no pasa por el centro de masa. El periodo de este movimiento es:

Donde I es el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el pivote y d es la distancia desde éste al centro de masa. El estudiante deberá ser capaz de distinguir cuando usar la formula del péndulo simple y cuando el sistema debe ser considerado como péndulo físico.

El movimiento circular uniforme puede ser considerado como una combinación de dos movimientos armónicos simples, uno a lo largo del eje x y el otro a lo largo del eje y, con los dos difiriendo en fase por 90º.

Para oscilaciones amortiguadas:


Cuando Rmax = bvmax < kA, se dice que el sistema está subamortiguado.

Cuando b alcanza un valor critico bc, tal que bc/2m = 0, el sistema no oscila y se dice que está crticamente amortiguado.

Si el medio es tan viscoso que la fuerza retardadora es más grande que la restauradora, es decir Rmax = bvmax > kA y si b/2m > 0, el sistema está sobreamortiguado.

Para oscilaciones forzadas:

Resonancia:

Factor de calidad:

PROBLEMAS

Sección 13-1 Movimiento armónico simple

13-1. El desplazamiento de una partícula en t = 0.250 s está dado por la expresión x = (4.00 m) cos (3.00t + ), donde x está en metros y t en segundos. Determine (a) la frecuencia y el periodo del movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la constante de fase, y (d) el desplazamiento de la partícula en t = 0.250 s.

Respuesta: (a) 1,50 Hz, 0,667 s; (b) 4,00 m; (c) rad; (d) 2,83 m

13-2. Una bola que se deja caer desde una altura de 4.00 m efectúa un choque perfectamente elástico con el suelo. Suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, (a) demuestre que el movimiento es periódico, y (b) determine el periodo del movimiento. (c) ¿El movimiento es armónico simple? Explique.

13-3. Una partícula se mueve en un movimiento armónico simple con una frecuencia de 3.00 oscilaciones/s y una amplitud de 5.00 cm. (a) ¿Qué distancia total se desplaza la partícula durante un ciclo de su movimiento? (b) ¿Cuál es su rapidez máxima? ¿Dónde ocurre ésta? (c) Encuentre la aceleración máxima de la partícula. ¿En qué parte del movimiento ocurre la aceleración máxima?

Respuesta: (a) 20,0 m; (b) 94,2 cm/s conforme la partícula paso por el equilibrio. (c) 17,8 m/s 2 enel desplazamiento máximo a partir del equilibrio

13-4. En un motor, un pistón oscila con movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía de acuerdo con la expresión x = (5.00 cm) cos (2 t + /6) donde x está en centímetros y t en


segundos. En t = 0 encuentre (a) el desplazamiento de la partícula, (b) su velocidad y (c) su aceleración. (d) Encuentre el periodo y la amplitud del movimiento.

13-5. Una partícula con movimiento armónico simple desplazándose a lo largo del eje x parte de la posición de equilibrio, el origen, en t = 0 y se mueve a la derecha. La amplitud de su movimiento es de 2.00 cm y la frecuencia de 1.50 Hz. (a) Muestre que el desplazamiento de la partícula está dado por = (2.00 cm) sen (3.00t). Determine (b) la máxima rapidez y el tiempo previo (t > O), al cual la partícula tiene dicha rapidez, (c) la máxima aceleración y el tiempo previo (t > 0) al cual la partícula tiene dicha aceleración, y (d) la distancia total viajada entre t = 0 y t = 1.00 s.

Respuesta: (b) 18,8 cm7s; 0,333 s; (c) 178 cm/s2; 96,0 cm/s2; (d) 12,0 cm

13-6. La posición y velocidad iniciales de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son xi y vi; la frecuencia angular de oscilación es . (a) Demuestre que la posición y la velocidad del objeto para todo el tiempo pueden escribirse como: x(t) = xi cos (t) + (vi/ ) sen (t) v(t) = xi sen(t) + vi cos (t). (b) Si la amplitud del movimiento es A demuestre que

Sección 13-2. Nueva vista al sistema bloque-resorte

Nota: Ignore la masa del resorte en todos los problemas de esta sección

13-7. Un resorte se extiende 3.90 cm cuando cuelga de él una masa de 10.0 g. Si una masa de 25.0 g unida a este resorte oscila en un movimiento armónico simple, calcule el periodo del movimiento.

Respuesta: 0,627 s

13-8. Un oscilador armónico simple tarda 12.0 s para efectuar cinco vibraciones completas. Encuentre (a) el periodo de su movimiento, (b) la frecuencia en Hz, y (c) la frecuencia angular en rad/ s.

13-9. Una masa de 0.500 kg unida a un resorte con 8.00 N/m de constante de fuerza vibra en un movimiento armónico simple con una amplitud de 10.0 cm. Calcule: (a) el valor máximo de su rapidez y aceleración, (b) la rapidez y aceleración cuando la masa está a 6.00 cm de la posición de equilibrio, y (c) el tiempo que tarda la masa en moverse de x = 0 a x = 8.00 cm.

Respuesta: (a) 40,0 cm/s; 160 cm/s2; (b) 32,0 cm/s; 96,0 cm/s2; (c) 0,232 cm

13-10. Una masa de 1.00 kg unida a un resorte de constante de fuerza igual a 25.0 N/m oscila sobre una pista horizontal sin fricción. En t = 0 la masa se suelta desde el reposo en x = 3.00 cm. (Es decir, el resorte se comprime 3.00 cm.) Encuentre: (a) el periodo de su movimiento, (b) los valores máximos de su rapidez y aceleración, y (c) el desplazamiento, la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.

13-11. Una masa de 7.00 kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical fijo a una viga volada. La masa se pone a oscilar verticalmente con un periodo de 2.60 s. Encuentre la constante de fuerza del resorte.

Respuesta: 40,9 N/m

13-12. Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante igual a 6.50 N/m y experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 10.0 cm. Cuando la masa está a la mitad de camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo, se mide su rapidez y se encuentra un valor igual a +30.0 cm/s. Calcule (a) la masa del bloque, (b) el periodo del movimiento y (c) la aceleración máxima del bloque.

13-13. Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2.00 rad/s. El sistema resorte-partícula está suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una rapidez constante de 1.50 m/s. La caja se detiene repentinamente. (a) ¿Con qué amplitud oscila la partícula? (b) ¿Cuál es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva.)


Respuesta: (a) 0,750 m; (b) x = (0,750 m) sen (2,00 t)

13-14. Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular . El sistema resorte-partícula está suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una rapidez constante v. La caja se detiene repentinamente. (a) ¿Con qué amplitud oscila la partícula? (b) ¿Cuál es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva.)

13-15. Una masa de 1.00 kg está unida a un resorte horizontal. Inicialmente el resorte se estira a 0.100 m, y la masa se suelta desde el reposo a partir de esa posición. El conjunto comienza a moverse sin fricción. Después de 0.500 s la rapidez de la masa es cero. ¿Cuál es la rapidez máxima de la masa?

Respuesta: 0,628 m/s

Sección 13-3 Energía de un oscilador armónico simple

Nota: Ignore la masa del resorte en todos estos problemas.

13-16. Una masa de 200 g está unida a un resorte y sometida a movimiento armónico simple con un periodo de 0.250 s. Si la energía total del sistema es 2.00 J, encuentre (a) la constante de fuerza del resorte y (b) la amplitud del movimiento.

13-17. Un automóvil que tiene una masa de 1 000 kg se dirige hacia un muro de ladrillos en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de constante igual a 5.00 x 106 N/m y se comprime 3.16 cm cuando el auto se lleva al reposo. ¿Cuál fue la rapidez del auto antes del impacto, suponiendo que no se pierde energía durante el impacto con la pared?

Respuesta: 2,23 m/s

13-18. Un sistema masa-resorte oscila con una amplitud de 3.50 cm. Si la constante del resorte es de 250 N/m y la masa es de 0.500 kg, determine (a) la energía mecánica del sistema, (b) la rapidez máxima de la masa, y c) la aceleración máxima.

13-19. Una masa de 50.0 g conectada a un resorte con constante de fuerza de 35.0 N/m oscila sobre una superficie horizontal sin fricción con una amplitud de 4.00 cm. Encuentre, (a) la energía total del sistema y (b) la rapidez de la masa cuando el desplazamiento es 1.00 cm. Cuando el ! desplazamiento es de 3.00 cm encuentre, (c) la energía cinética, y (d) la energía potencial.

Respuesta: (a) 28,0 mJ; (b) 1,02 m/s: (c) 12,2 mJ; (d) 15,8 mJ

13-20. Una masa de 2.00 kg se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal lisa. Se necesita una fuerza horizontal de 20.0 N para mantener la masa en reposo cuando se jala 0.200 m a partir de su posición de equilibrio (el origen del eje x). La masa se suelta después desde el reposo con un desplazamiento inicial de xi = 0.200 m y subsecuentemente experimenta oscilaciones armónicas simples. Encuentre: (a) la constante de fuerza del resorte, (b) la frecuencia de las oscilaciones, y c) la rapidez máxima de la masa. ¿Dónde ocurre esta rapidez máxima? (d) Encuentre la aceleración máxima de la masa. ¿Dónde ocurre? (e) Encuentre la energía total del sistema oscilante. Cuando el desplazamiento es igual a un tercio del valor máximo encuentre (f) la rapidez y (g) la aceleración.

13-21. Un bloque de 1.50 kg en reposo sobre una mesa se une a un resorte horizontal con una constante de fuerza de 19.6 N/m. Al principio el resorte no está extendido. Se aplica una fuerza constante horizontal de 20.0 N al objeto causando que el resorte se extienda. (a) Determine la rapidez del bloque después de que se ha movido 0.300 m a partir del equilibrio si la superficie entre el bloque y la mesa no presenta fricción. (b) Conteste el inciso (a) si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la mesa es de 0.200.

Respuesta: (a) 2,61 m/s; (b) 2,38 m/s


13-22. La amplitud de un sistema que se mueve en un movimiento armónico simple se duplica. Determine el cambio en: (a) la energía total, (b) la rapidez máxima, (c) la aceleración máxima, y d) el periodo.

13-23. Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud de 3.00 cm. ¿A qué desplazamiento desde el punto medio de su movimiento su rapidez es igual a la mitad de su rapidez máxima?

Respuesta: 2,60 cm y 2,60 cm

13-24. Una masa en un resorte con una constante de 3.24 N/m vibra, con su posición dada por la ecuación x = (5.00 cm) cos (3.60t rad/s). (a) Durante el primer ciclo, para 0 < t < 1.75 s, ¿cuándo la energía potencial se está transformando más rápidamente en energía cinética? (b) ¿Cuál es la máxima rapidez de transformación de energía?

Sección 13-4 El péndulo

13-25. Un hombre ingresa a una torre alta para determinar su altura. Él nota que un gran péndulo se extiende desde el techo casi hasta el piso y que su periodo es de 12.0 s. (a) ¿Cuán alta es la torre? (b) Si este péndulo se lleva a la Luna, donde la aceleración de caída libre es de 1.67 m/s2, ¿cuál es su periodo ahí?

Respuesta: (a) 35,7 m; (b) 29,1 s

13-26. Un péndulo "segundos" es aquel que se mueve a través de su posición de equilibrio una vez cada segundo. (El periodo del péndulo es de 2.000 s.) La longitud de un péndulo segundos es de 0.992 7 m en Tokio y 0.994 2 m en Cambridge, Inglaterra. ¿Cuál es la proporción de la aceleración de caída libre en estas dos ubicaciones?

13-27. Un marco de acero rígido sobre la intersección de una calle sostiene un semáforo estándar, cuyas luces están colgadas de ganchos inmediatamente debajo del marco. Un soplo de viento hace que las luces se balanceen en un plano vertical. Encuentre el orden de magnitud de este periodo. Establezca las cantidades que tomó como datos y sus valores.

Respuesta: 100 s

13-28. El desplazamiento angular de un péndulo se representa por la ecuación = (0.320 rad) cos (t), donde está en radianes y = 4.43 rad/ s. Determine el periodo y la longitud del péndulo.

13-29. Un péndulo simple tiene una masa de 0.250 kg y una longitud de 1.00 m. Se desplaza por un ángulo de 15.0° y después se suelta. ¿Cuáles son: (a) la rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima y (c) la fuerza restauradora máxima?

Respuesta: (a) 0,817 m7s; (b) 2,54 rad/s; (c) 0,634 N

13-30. Un péndulo simple mide 5.00 m de largo. (a) ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple para este péndulo si se ubica en un elevador que acelera hacia arriba a 5.00 m/s2? (b) ¿Cuál es el periodo si el elevador acelera hacia abajo a 5.00 m/s2? (c) ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple para este péndulo si se coloca en un camión que acelera horizontalmente a 5.00 m/s2?

13-31. Una partícula de masa m se desliza sin fricción en el interior de un tazón hemisférico de radio R. Demuestre que, si parte del reposo con un pequeño desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, la partícula efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia angular igual a la de un péndulo simple de longitud R. Es decir,

13-32. Una masa se une al extremo de una cuerda para formar un péndulo simple. El periodo de su movimiento armónico se mide para desplazamientos angulares pequeños y tres longitudes; en cada caso el tiempo del movimiento se mide con un cronómetro durante 50 oscilaciones. Para longitudes de 1.000 m, 0.750 m y 0.500 m se miden tiempos totales de 99.8 s, 86.6 s y 71.1 s, respectivamente, para 50 oscilaciones. (a) Determine el periodo de movimiento para cada longitud. (b) Determine el valor medio de g obtenido a partir de estas tres mediciones independientes y compárelo con el valor aceptado. (c) Grafique T2


versus L y obtenga un valor para g a partir de la pendiente de su gráfica de línea recta mejor ajustada. Compare este valor con el obtenido en el inciso (b).

13-33. Un péndulo físico en la forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2.20 kg y el pivote se localiza a 0.350 m del centro de masa, determine el momento de inercia del péndulo.

Respuesta: 0,944 kg . m2

13-34. Una barra rígida muy ligera, con una longitud de 0.500 m, se extiende completamente desde un extremo de un metro de madera. El metro está suspendido de un pivote en el extremo lejano de la barra y se pone a oscilar. (a) Determine el periodo de oscilación. (b) ¿En qué porcentaje difiere de un péndulo simple de 1.00 m de longitud?

13-35. Considere el péndulo físico de la figura 13-13. (a) Si su momento de inercia, ICM alrededor de un eje pasa por su centro de masa y es paralelo al eje que pasa por su punto de pivote demuestre que su

periodo es donde d es la distancia entre el punto del pivote y el centro de masa.

(b) Muestre que el periodo tiene un valor mínimo cuando d satisface .

13-36. Un péndulo de torsión se forma al unir un alambre al centro de un metro de madera cuya masa es de 2.00 kg. Si el periodo resultante es de 3.00 min, ¿cuál es la constante de torsión para el alambre?

13-37. Un volante de reloj tiene un periodo de oscilación de 0.250 s. La rueda se construye de modo que 20.0 g de masa se concentren alrededor de una orilla de 0.500 cm de radio. ¿Cuáles son: (a) el momento de inercia del volante, y (b) la constante de torsión del resorte unido?

Respuestaa) 5,00 x 107 kg . m2; (b) 3,16 x 104 N . m/rad

Sección 13-5 Comparación del movimiento armónico simple con el movimiento circular uniforme

13-38. Mientras usted viaja atrás de un carro que se desplaza a 3.00 m/s, observa que una de las llantas del automóvil tiene una pequeña protuberancia hemisférica sobre su borde, como se muestra en la figura PI3-38. (a) Explique por qué la protuberancia, desde su punto de visión detrás del auto, ejecuta un movimiento armónico simple. (b) Si los radios de las llantas del auto son de 0.300 m, ¿cuál es el periodo de oscilación de la protuberancia?

Figura P13-38

13-39. Considere el motor simplificado de un solo pistón de la figura PI3-39. Si la rueda gira a una rapidez angular constante explique por qué la barra del pistón oscila en un movimiento armónico simple.


Figura P13-39

Respuesta: La coordenada x del perro de la llave de tuerxas es A cos t

Sección 13.6 Oscilaciones amortiguadas

13-40. Muestre que la rapidez de cambio con el tiempo de la energía mecánica correspondiente a un oscilador amortiguado sin impulso está dada por dE/dt = bv2 y, en consecuencia, siempre es negativa. (Sugerencia: Derive la expresión para la energía mecánica de un oscilador, E = ½ mv2 + ½ kx2 y utilice la ecuación 13-32.)

13-41. Un péndulo de 1.00 m de longitud se suelta desde un ángulo inicial de 15.0°. Después de 1 000 s, debido a la fricción, su amplitud se ha reducido a 5.50°. ¿Cuál es el valor de b/2m?

Respuesta: 1,00 x 103s1

13-42. Demuestre que la ecuación 13-33 es una solución de la 13-32 estipulando que b2 < 4mk.

Sección 13.7 Oscilaciones forzadas

13-43. Una bebé se regocija durante el día cantando y saltando en su cuna. Su masa es de 12.5 kg y el colchón de la cuna puede modelarse como un resorte ligero con una constante de fuerza de 4.30 kN/m. (a) La bebé aprende pronto a rebotar con máxima amplitud y mínimo esfuerzo al doblar sus rodillas, ¿cuál es la frecuencia del rebote? (b) Aprende a usar el colchón como trampolín -perdiendo contacto con él durante parte de cada ciclo- cuando su amplitud excede, ¿qué valor?

Respuestaa) 2,95 Hz; (b) 2,85 cm

13-44. Una masa de 2.00 kg unida a un resorte es impulsada por una fuerza externa F = (3.00 N) cos (2t). Si la constante de fuerza del resorte es de 20.0 N/m determine (a) el periodo, y (b) la amplitud del movimiento. (Sugerencia: Suponga que no hay amortiguamiento -es decir, que b = 0- y utilice la ecuación 13-37.)

13-45. Considerando un oscilador forzado no amortiguado (b = 0), muestre que la ecuación 13-36 es una solución de la 13-35, con una amplitud dada por la ecuación 13-37.

13-46. Un peso de 40.0 N se suspende de un resorte cuya constante de fuerza es de 200 N/m. El sistema es no amortiguado y se somete a una fuerza armónica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que origina una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm. Determine el valor máximo de la fuerza.

13-47. El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0.150 kg colgada de un resorte ligero de 6.30 N/m. El sistema es impulsado por una fuerza oscilante con una amplitud de 1.70 N. ¿A qué frecuencia la: fuerza hará vibrar la masa con una amplitud de 0.440 m?

Respuesta: Ya sea 1,31 Hz o 0,641 Hz

13-48. Usted es un biólogo investigador. Antes de comer en un fino restaurante ajusta su localizador para que vibre en lugar de sonar, y lo coloca en un bolsillo de su saco. El brazo de su silla oprime el ligero ropaje contra su cuerpo en un punto. El bolsillo con una longitud de 8.21 cm cuelga libremente bajo dicho punto, con el localizador en su fondo. Un colega le telefonea. El movimiento del localizador vibrando


hace que la parte que cuelga de su saco se columpie hacia atrás y hacia adelante con una gran amplitud muy marcada. El mesero, el capitán de meseros, el catador y los comensales cercanos enmudecen al advertirlo. Su hija se levanta rápidamente y dice, "¡Papi, mira! ¡Tus cucarachas deben haberse escapado otra vez!" Encuentre la frecuencia a la cual vibra su localizador.


13-49. Un auto con amortiguadores en mal estado rebota hacia arriba y hacia abajo con un periodo de 1.50 s después de golpear un bache. El carro tiene una masa de 1 500 kg y es soportado por cuatro resortes cuyas constantes de fuerza k son iguales. Determine el valor de k.

Respuesta: 6,58 kN/m

13-50. Un voluminoso pasajero de 150 kg de masa viaja en la mitad del carro descrito en el problema 49. ¿Cuál es el nuevo periodo de oscilación?

13-51. Una masa compacta M está unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que está articulada en su parte superior (Fig. PI3-51). (a) Determine las tensiones en la barra en el pivote y en el punto P cuando el sistema está estacionario. b) Calcule el periodo de oscilación para desplazamientos pequeños desde la posición de equilibrio, y determine este periodo en el caso de L = 2.00 m. (Sugerencia: Suponga que la masa en el extremo de la barra es una masa puntual y utilice la ecuación 13-28.)

Figura P13-51

Respuesta: (a) 2 Mg; Mg (1 + y/L); (b) T = (4/3) (2L(g)1/2; 2,68 s

13-52. La figura P13-52a muestra una masa, m1 = 9.00 kg, que está en equilibrio mientras se encuentra conectada a un resorte ligero de constante k = 100 N/m, y que a su vez está unido a una pared. Una segunda masa, m2 = 7.00 kg, se empuja lentamente contra la masa m1 y comprime el resorte en la cantidad A = 0.200 m, como se muestra en la figura PI3-52b. El sistema se suelta después, lo que ocasiona que las dos masas se muevan hacia la derecha sobre la superficie sin fricción. (a) Cuando m1

alcanza el punto de equilibrio, m2 pierde contacto con mI (véase la Fig. PI3-52c) y se mueve hacia la derecha con rapidez v. Determine el valor de v. b) ¿Cuánto se separan las masas cuando el resorte está completamente estirado por primera ocasión (D en la figura PI3-52d?) (Sugerencia: Determine primero el periodo de oscilación y la amplitud del sistema resorte m1, después de que m2 pierde el contacto con m1.)


Figura P13-52

13-53. Un gran bloque P ejecuta un movimiento armónico simple horizontal deslizándose sobre una superficie sin fricción con una frecuencia f = 1.50 Hz. Un bloque B descansa sobre él, como se ilustra en la figura P13-53, y el coeficiente de fricción estática entre los dos es s= 0.600.¿Qué amplitud máxima de oscilación puede tener el sistema si el bloque B no se desliza?

Figura P13-53

Respuesta: 6,62 cm

13-54. Un gran bloque P ejecuta un movimiento armónico simple horizontal deslizándose sobre una superficie sin fricción con una frecuencia f. Un bloque B descansa sobre él, como se ilustra en la figura P13-53, y el coeficiente de fricción estática entre los dos es . ¿Qué amplitud máxima de oscilación puede tener el sistema si el bloque superior no se desliza?

13-55. La masa de la molécula de deuterio (D2) es el doble de la molécula del hidrógeno (H2). Si la frecuencia de vibración de H2 es 1.30 x 1014 Hz, ¿cuál es la frecuencia de vibración de D2, suponiendo que la "constante de resorte" de las fuerzas atractivas es la misma para las dos moléculas?

Respuesta: 9,19 x 1013 Hz

13-56. Una esfera sólida (radio = R) rueda sin deslizarse en un canal cilíndrico (radio = 5R) como se indica en la figura P13-56. Demuestre que, para pequeños desplazamientos desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera ejecuta un movimiento armónico simple con un periodo


Figura P13-56

13-57. Un recipiente cúbico ligero de volumen a3 al principio está lleno de un líquido de densidad de masa . El cubo está soportado inicialmente por una cuerda ligera y forma un péndulo de longitud L i medida desde el centro de masa del recipiente lleno. Se deja que el líquido fluya desde el fondo del recipiente a una rapidez constante (dM/dt). En cualquier tiempo t el nivel del fluido en el recipiente es h y la longitud del péndulo es L (medida en relación con el centro de masa instantáneo). (a) Dibuje el aparato y denote las dimensiones a, h, Li y L. (b) Encuentre la rapidez de cambio con el tiempo del periodo como una función del tiempo t. (c) Estime el periodo como función del tiempo.

Respuesta: (b)

13-58. Después de una zambullida emocionante los saltadores de bungee rebotan libremente en la cuerda bungee durante muchos ciclos. Su pequeño hermano puede convertirse en una molestia al imaginarse la masa de cada persona, usando una proporción que establece al resolver este problema: una masa m está oscilando libremente en un resorte vertical con un periodo T (Fig. P13-58a). Una masa desconocida m' en el mismo resorte oscila con un periodo T'. Determine (a) la constante de resorte k y (b) la masa desconocida m'.

Figura P13-58. (a) Sistema masa-resorte para los problemas 58 y 68. (b) Salto bunguee desde un puente

13-59. Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante de fuerza k conectado a él a una distancia h debajo de su punto de suspensión (Fig. P13-59). Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de la amplitud « pequeña). (Suponga que la suspensión vertical de longitud L es rígida, pero ignore su masa.)


Figura P13-59

Respuesta: f = (2L)1 (gL + kh2/M)1/2

13-60. Un tablón horizontal de masa m y longitud L está articulado en un extremo, y en el otro está unido a un

resorte de constante de fuerza k (Fig. P13-60). El momento de inercia del tablón alrededor del pivote es de 1/3 mL2 (a) Cuando el tablón se desplaza un ángulo pequeño a partir de la posición de equilibrio horizontal y se suelta, demuestre que se desplaza con un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es (b) Evalúe la frecuencia si la masa es de 5.00 kg y el resorte tiene una constante de fuerza de 100 N/m.

Figura P13-60

13-61. Un extremo de un resorte ligero con constante de fuerza de 100 N/m está unido a una pared vertical. Una cuerda ligera está atada al otro extremo del resorte horizontal. La cuerda cambia de horizontal a vertical cuando pasa sobre una polea sólida de 4.00 cm de diámetro que es libre de girar sobre un eje suave fijo. La sección vertical de la cuerda soporta una masa de 200 g. La cuerda no se desliza en su contacto con la polea. Encuentre la frecuencia de oscilación de la masa si la masa de la polea es (a) despreciable, (b) de 250 g y (c) de 750 g.

Respuesta: (a) 3,56 Hz; (b) 2,79 hz; (c) 2,10 Hz

13-62. Un bloque de 2.00 kg cuelga sin vibrar en el extremo de un resorte (k = 500 N/m) que está unido al techo de la caja de un elevador. La caja está ascendiendo con una aceleración de g/3 cuando la aceleración cesa repentinamente (en t = 0). (a) ¿Cuál es la frecuencia angular de oscilación del bloque después de que cesa la aceleración? (b) ¿En qué cantidad se alarga el resorte durante el tiempo que la caja del elevador está acelerando? (c) ¿Cuáles son la amplitud de oscilación y el ángulo de fase inicial observados por una persona que viaja en la caja? Considere positiva la dirección hacia arriba.

13-63. A un péndulo simple que tiene una longitud de 2.23 m y una masa de 6.74 kg se le da una rapidez inicial de 2.06 m/s en su posición de equilibrio. Suponga que experimenta un movimiento armónico simple y determine, (a) su periodo, (b) su energía total, y (c) su máximo desplazamiento angular.

Respuesta: (a) 3,00 s; (b) 14,3 J; (c) 2,10 Hz

13-64. Las personas que montan motocicletas y bicicletas aprenden a cuidarse de los baches en el camino y especialmente de los lavaderos, una condición del camino en la que hay muchas ondulaciones igualmente espaciadas. ¿Qué es tan malo de los lavaderos? Una motocicleta tiene varios resortes y amortiguadores en su suspensión, pero usted lo puede modelar como un resorte sencillo soportando una masa. Usted puede estimar la constante del resorte al pensar cuánto se comprime cuando un conductor pesado está sentado en el vehículo. Un motociclista que viaja con rapidez de autopista debe ser


particularmente cuidadoso de los baches tipo lavadero que están separados a cierta distancia. ¿Cuál es el orden de magnitud de su distancia de separación? Establezca las cantidades que tomó como datos y los valores que estimó o midió para ellos.

13-65. Un alambre se dobla en la forma de un ciclo de una curva coseno. Se sostiene en un plano vertical, de tal forma que la altura y del alambre a cualquier distancia horizontal x del centro está dada por y = 20.0 cm [1- cos(0.160x rad/m)]. Una cuenta puede deslizarse sin fricción en el alambre estacionario. Muestre que si su excursión alejándose de x = 0 nunca es muy larga, la cuenta se mueve con movimiento armónico simple. Determine su frecuencia angular. (Sugerencia: cos 1 2/2 para pequeños ).

Respuesta: 0,224 rad/s

13-66. Un bloque de masa M está conectado a un resorte de masa m y oscila en movimiento armónico simple sobre una pista horizontal sin fricción (Fig. PI3-66). La constante de fuerza del resorte es k, y la longitud de equilibrio es t. Encuentre (a) la energía cinética del sistema cuando el bloque tiene una rapidez v, y b) el periodo de oscilación. (Sugerencia: Suponga que todas las porciones del resorte oscilan en fase y que la velocidad de un segmento dx es proporcional a la distancia x desde el extremo fijo; es decir, vx = [x/ℓ] v. Además, note que la masa de un segmento del resorte es dm =m/ℓ dx.)

Figura P13-66

13-67. Una bola de masa m está conectada a dos ligas de hule de longitud L, cada una bajo una tensión T, como se muestra en la figura PI3-67. La bola se desplaza una pequeña distancia y perpendicular a la longitud de las ligas. Suponiendo que la tensión no cambia, demuestre que (a) la fuerza restauradora es -(2T/L)y y (b) que el sistema efectúa movimiento armónico simple con una frecuencia angular

Figura P13-67

13-68. Cuando una masa M conectada a un extremo de un resorte de masa m, es igual a 7.40 g y constante de

fuerza k se pone en movimiento armónico simple, el periodo del movimiento es .

Se realiza un experimento en dos partes utilizando diferentes masas suspendidas verticalmente del resorte, como se muestra en la figura P13-58a. (a) Se miden extensiones estáticas de 17.0, 29.3, 35.3, 41.3, 47.1 y 49.3 cm para valores de M de 20.0, 40.0, 50.0, 60.0, 70.0 y 80.0 g, respectivamente. Construya una gráfica de Mg versus x, y efectúe un ajuste lineal de mínimos cuadrados de los datos. De acuerdo con la pendiente de su gráfica determine un valor para la k de este resorte. (b) El sistema se pone después en movimiento armónico simple y los periodos se miden con un cronómetro. Con M = 80.0 g se mide un tiempo total para 10 oscilaciones igual a 13.41 s. El experimento se repite con valores de M de 70.0, 60.0, 50.0, 40.0 y 20.0 g, con tiempos correspondientes para 10 oscilaciones de 12.52, 11.67, 10.67, 9.62 y 7.03 s. Obtenga valores experimentales para T en el caso de cada uno de estos valores de M. Dibuje una gráfica de T2 versus M y determine un valor para k a partir de la pendiente del ajuste lineal de mínimos cuadrados de los puntos dato. Compare este valor de k con el obtenido en el inciso (a). (c) Obtenga un valor para m, a partir de su gráfica y compárelo con el valor dado de 7.40 g.

13-69. La figura P13-69 muestra un pequeño disco delgado de radio r y masa m que está rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M. El centro del disco pequeño se localiza en el borde del disco grande, el cual está montado en su centro sobre un eje sin fricción. El arreglo se hace girar un ángulo a partir de su posición de equilibrio y se suelta. (a) Demuestre que la rapidez del


centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es: (b) Muestre que el periodo del movimiento es

Figura P13-69

13-70. Considere un oscilador amortiguado como el que se ilustra en la figura 13-19. Suponga que la masa es de 375 g, la constante de resorte igual a 100 N/m y b = 0.100 kg/s. (a) ¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad de su valor inicial? (b) ¿Cuánto tiempo transcurre para que la energía mecánica se reduzca a la mitad de su valor inicial? (c) Demuestre que, por lo común, la rapidez a la cual se reduce la amplitud en un oscilador armónico amortiguado es la mitad de la rapidez a la cual disminuye la energía mecánica.

13-71. Una masa m se conecta a dos resortes de constantes de fuerza k1 y k2, como se muestra en las figuras P13-71a y b. En cada caso la masa se mueve sobre una mesa sin fricción y se desplaza de la posición de equilibrio y se suelta. Demuestre que en los dos casos la masa tiene movimiento armónico simple con periodos

Figura P13-71

13-72. Considere un péndulo simple de longitud L = 1.20 m que se desplaza de la vertical por un ángulo máx y a continuación se suelta. Usted debe predecir el desplazamiento angular subsecuente cuando máx es pequeño y, además, cuando es grande. Establezca y desarrolle un método numérico para integrar la ecuación de movimiento para el péndulo simple: Tome las condiciones iniciales = máx y d/dt = 0 en t = 0. En un ensayo elija máx = 5.00° y en otro tome máx = 100°. En cada caso encuentre el desplazamiento como función del tiempo. Usando los mismos valores para máx compare sus resultados en el caso de con los obtenidos para máx cos (t). ¿Cómo se compara el periodo para los valores grandes de máx con los valores pequeños de máx? Nota: Al usar el método de Euler para resolver esta ecuación diferencial usted podrá encontrar que la amplitud tiende a incrementarse con el tiempo. El método de cuarto orden de Runge-Kutta sería una mejor elección para resolver la ecuación diferencial. Sin embargo, si usted elige t lo suficientemente pequeño, la solución que usted obtenga usando el método de Euler todavía puede ser buena.


ONDAS MECANICAS

Como se aprendió en el capítulo 13, la mayoría de los objetos elásticos oscilan cuando se les aplica una fuerza y a continuación se suprime. Es decir, una vez que se han distorsionado, su forma tiende a ser restaurada cierta configuración de equilibrio. Incluso los átomos en un sólido oscilan con respecto a alguna posición de equilibrio, como si estuvieran conectados con sus vecinos por medio de resortes imaginarios.

El movimiento ondulatorio se estudiará más adelante se relaciona estrechamente con el fenómeno de oscilación. Las ondas sonoras, las ondas de los terremotos, las ondas en cuerdas alargadas y las ondas en el agua son producidas por alguna fuente de vibración. A medida que una onda sonora viaja por algún medio, como el aire, Las moléculas del medio oscilan hacia adelante y hacia atrás; cuando una onda en el agua se desplaza por un estanque, las moléculas de agua oscilan hacia arriba y hacia abajo y hacia adelante y hacia atrás. Cuando Las ondas viajan a través de un medio, las partículas del medio se mueven en ciclos repetitivos. Por consiguiente, el movimiento de las partículas guarda una gran semejanza con el movimiento periódico de un péndulo o el de una masa unida a un resorte.

Hay muchos otros fenómenos en la naturaleza cuya explicación requiere que se comprendan Los conceptos de oscilación y ondas. Por ejemplo, aunque muchas grandes estructuras, como rascacielos y puentes, parecen ser rígidas, en realidad oscilan, hecho que los arquitectos e ingenieros deben tomar en cuenta en su diseño y construcción. Para entender cómo trabajan el radio y la televisión se debe entender el origen y la naturaleza de las ondas electromagnéticas y la forma en que se propagan por el espacio. Por último, mucho de lo que los científicos han aprendido respecto de la estructura atómica ha provenido de la información que llevan las ondas.


En consecuencia, se deben estudiar primero las ondas y oscilaciones para entender los conceptos y teorías de la física atómica.


ACERTIJOUn simple sismógrafo se puede construir con una pluma suspendida con un resorte que dibuja una línea sobre una tira de papel enrollada suavemente. El papel está montado sobre una estructura conectada a la tierra. Durante un terremoto, la pluma permanece casi estacionaria mientras el papel se sacude abajo. ¿Cómo unas pocas líneas trazadas sobre un pedazo de papel le permitirán al científico de una estación sismográfica determinar la distancia al origen del terremoto? (Ken M. Johns/Photo Researchers, Inc.)

CAPITULO 16

MOVIMIENTO ONDULATORIO

Líneas generales del capitulo

16.1 Variables básicas del movimiento ondulatorio16.2 Dirección del desplazamiento de las partículas16.3 Ondas viajeras unidimensionales16.4 Superposición e interferencia16.5 La rapidez de las ondas en las cuerdas16.6 Reflexión y transmisión16.7 Ondas senoidales16.8 Rapidez de transferencia de energía por ondas senoidales en cuerdas.16.9 Ecuación lineal de onda


INTRODUCCION

La mayor parte de nosotros ha experimentado con las ondas cuando en nuestra niñez lanzábamos una pequeña piedra a un estanque. En el punto donde la piedra golpeaba la superficie del agua se creaban ondas por el impacto. Estas ondas se mueven alejándose del punto de creación en círculos que se expanden hasta que finalmente alcanzan la orilla. Si usted tuviera que examinar con cuidado el movimiento de una hoja flotando sobre la perturbación, vería que ésta se mueve hacia arriba, hacia abajo y lateralmente alrededor de su posición original, pero que no efectúa ningún desplazamiento neto alejándose o acercándose al punto donde la piedra golpeó el agua. Las moléculas de agua exactamente abajo de la hoja, así como todas las moléculas de agua en la superficie del estanque, se comportan de la misma manera. Es decir, la onda de agua se mueve de un lugar a otro, pero, sin embargo, no se transporta agua con ella.

Un extracto de un libro de Einstein e Infeld brinda los siguientes aspectos sobresalientes relacionados con el fenómeno ondulatorio.!

Un rumor que surge en Washington llega a Nueva York (verbalmente) muy rápidamente, aunque ninguno de los individuos que participa en la difusión viaje entre estas dos ciudades. Hay dos movimientos involucrados bastante diferentes, el del rumor, de Washington a Nueva York, y el de las personas que lo difunden. El viento, que pasa sobre un campo de granos, establece una ondulación que se distribuye por todo el campo. En este caso también se debe distinguir entre el movimiento de la onda y el movimiento de las plantas independientes, las cuales experimentan sólo pequeñas oscilaciones... Las partículas que constituyen el medio efectúan sólo pequeñas vibraciones, pero el movimiento completo es el de una onda progresiva. El aspecto esencialmente nuevo aquí es que por primera vez se considera el movimiento de algo que no es materia, sino energía propagada a través de la materia.

El mundo está lleno de ondas, y los dos tipos principales son las ondas mecánicas y electromagnéticas. Ya se han mencionado ejemplos de ondas mecánicas: ondas sonoras, ondas en el agua y ondas en "granos". En cada caso, un medio físico se está perturbando: moléculas de aire, moléculas de agua y los tallos de las plantas de granos en nuestros tres particulares ejemplos. Las ondas electromagnéticas son una clase especial de ondas que no necesitan un medio para propagarse, y algunos ejemplos son la luz visible, las ondas de radio, las señales de televisión y los rayos X. Aquí, en la parte 2 de este libro, sólo se estudiarán ondas mecánicas.

El concepto de onda es abstracto. Cuando se observa lo que se denomina una onda en el agua, lo que se ve es un reacomodo de la superficie del agua. Sin el agua, no habría onda. Una onda desplazándose sobre una cuerda no existiría sin la cuerda. Las ondas sonoras no podrían viajar a través del aire si no hubiera moléculas de aire. En casos que implican ondas mecánicas, o que se interpreta como una onda corresponde a la propagación de una perturbación a través de un medio.

Las ondas mecánicas estudiadas en este capítulo requieren: 1) alguna fuente de perturbación, 2) un medio que pueda perturbarse y 3) cierta conexión física por medio de la cual partes adyacentes del medio puedan afectarse entre sí. Se encontrará que todas las ondas transportan energía. La cantidad de energía transmitida por un medio y el mecanismo responsable de ese transporte de energía difiere de un caso a otro. Por ejemplo, la potencia de las ondas en el océano durante una tormenta es mucho mayor que la potencia de ondas sonoras generadas por una sola voz humana.

Patrones de interferencia producidos por ondas que se extienden hacia afuera causadas por gotas de agua que caen sobre el líquido. (Martin Dohrn/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.)


*Einstein y L. Infeld, The Evolution of Physics, Nueva York, Simon and Schuster, 1961. Extracto de “What is a Wave?".

16-1. VARIABLES BÁSICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Imagine que flota en una balsa en un gran lago. Se mueve lentamente hacia arriba y hacia abajo conforme las olas pasan. Al observar el lago, usted puede ver las olas individuales que se aproximan. Al punto en el que el desplazamiento del agua se eleva de su nivel normal al más alto se le llama cresta de la onda. La distancia de una cresta a otra se denomina longitud de onda (letra griega lambda). Más generalmente, la longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos idénticos cualesquiera (tales como las crestas) en ondas contiguas como se muestra en la figura 16.1.

Figura 16.1 La longitud de onda de una onda es la distancia entre crestas o valles contiguos o cualquier otra comparable entre puntos idénticos adyacentes.

Si usted cuenta el número de segundos entre las llegadas de dos ondas adyacentes está midiendo el periodo T de las ondas. En general, el periodo es el tiempo requerido por dos puntos idénticos (tales como las crestas) de ondas adyacentes a pasar por un punto.

Esta misma información se da más a menudo por la inversa del periodo, la que se llama frecuencia f. En general, la frecuencia de una onda periódica es el número de crestas (o valles, o cualquier otro punto en la onda) que pasa por un punto dado en un intervalo de tiempo unitario. El máximo desplazamiento de una partícula del medio se llama amplitud A de la onda. Para nuestra onda de agua, ésta representa la distancia más alta de una molécula de agua por encima de la superficie de agua no perturbada cuando ,la onda le pasa.

Las ondas viajan a una rapidez específica, la cual depende de las propiedades del medio perturbado. Por ejemplo, las ondas sonoras viajan por el aire a temperatura ambiente a una rapidez aproximada de 343 m/s (781 mi/h), en tanto que la rapidez del sonido en casi todos los sólidos es mayor que 343 m/s.

16-2. DIRECCIÓN DEL DESPLAZAMIENTO DE LAS PARTÍCULAS

Una manera de demostrar el movimiento ondulatorio es sacudir el extremo de una larga cuerda que está bajo tensión y que tiene su extremo opuesto fijo, como se muestra en la figura 16.2. De esta manera, una sola protuberancia de onda (llamada pulso de onda) se forma y viaja a lo largo de la cuerda con una rapidez definida. Este tipo de perturbación recibe el nombre de onda viajera, y en la figura 16.2 se representan cuatro "instantáneas" consecutivas de la creación y propagación de una onda viajera. La cuerda es el medio a través del cual la onda viaja. Así como un solo pulso, en contraste con un tren de pulsos, no tiene frecuencia, ni periodo, ni tampoco longitud de onda. Sin embargo, el pulso tiene amplitud y rapidez definidas. Como se verá posteriormente, las propiedades de este medio particular que determinan la rapidez de la onda son la tensión en la cuerda y su masa por unidad de longitud. La forma del pulso de onda cambia muy poco cuando se mueve a lo largo de la cuerda.*

*En realidad, el pulso cambiará su forma y gradualmente se difundirá durante el movimiento. Este efecto se conoce como dispersión y es común en muchas ondas mecánicas, así como ondas electromagnéticas. No se considerará dispersión en este capítulo.


Figura 16.2 Un pulso de onda que viaja por una cuerda extendida. La forma del pulso permanece casi sin cambio cuando viaja a lo largo de la cuerda.

A medida que el pulso de onda se propaga, cada segmento de la cuerda que se ha perturbado se mueve en una dirección perpendicular al movimiento de la onda. La figura 16.3 ilustra este punto para un segmento particular, denominado P. Advierta que ninguna parte de la cuerda jamás se mueve en dirección de la onda.

Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se muevan perpendiculares al movimiento de la onda se conoce como onda transversal.

Figura 16.3 Un pulso que viaja en una cuerda extendida es una onda transversal. La dirección del movimiento de cualquier elemento P de la cuerda (flechas azules) es perpendicular a la dirección del movimiento de la onda (flechas rojas).

Al comparar éste con otro tipo de onda -uno moviéndose a lo largo de un resorte estirado, como se muestra en la figura 16.4. El extremo izquierdo del resorte se empuja por corto tiempo hacia la derecha y luego se jala por corto tiempo hacia la izquierda. Este movimiento crea una repentina compresión de una región de las espiras. La región comprimida viaja a lo largo del resorte, hacia la derecha en la figura 16.4. La región comprimida es seguida por una región donde las espiras están extendidas. Advierta que la dirección del desplazamiento de las espiras es paralela a la dirección de propagación de la región comprimida.

Una onda viajera que ocasiona que las partículas del medio se muevan paralelas a la dirección del movimiento ondulatorio se conoce como onda longitudinal.


Figura 16.4 Una onda longitudinal a lo largo de un resorte alargado. Las espiras se desplazan en dirección del movimiento ondulatorio. Cada región comprimida es seguida por una región alargada.

Las ondas sonoras, que se estudiarán en el capítulo 17, son un ejemplo de ondas longitudinales. La perturbación en una onda sonora es una serie de regiones, de alta y baja presión, que viajan a través del aire o de cualquier otro medio material.

Algunas ondas en la naturaleza exhiben una combinación de desplazamientos transversales y longitudinales. Las ondas en la superficie del agua son un buen ejemplo. Cuando una onda en el agua se propaga sobre la superficie en altamar, las moléculas de agua en la superficie se mueven casi en trayectorias circulares, como se ilustra en la figura 16.5. Observe que la perturbación tiene componentes tanto transversales como longitudinales. El desplazamiento transversal se muestra en la figura 16.5 como las variaciones en la posición vertical de las moléculas de agua. El desplazamiento longitudinal se puede explicar como sigue: a medida que pasa la onda sobre la superficie del agua las moléculas de agua en la cresta se mueven en dirección de la propagación de la onda, y las moléculas en los valles se mueven en dirección opuesta a ésta. Debido a que la molécula en la cresta marcada en la figura 16.5 estará en un valle después de la mitad de un periodo, su movimiento en dirección de la propagación de la onda será cancelado por su movimiento en la dirección opuesta. Esto vale para cada molécula de agua perturbada por la onda. Así, no hay desplazamiento neto de cualquier molécula de agua durante un ciclo completo. Aunque las moléculas no experimentan desplazamiento neto, la onda se propaga a través de la superficie del agua.

Figura 16.6 Movimiento de moléculas de agua sobre la superficie en altamar en la cual la propagación de una onda es una combinación de desplazamientos transversales y longitudinales, con el resultado de que las moléculas en la superficie se mueven en trayectorias casi circulares. Cada una de las moléculas se desplaza tanto vertical como horizontalmente desde su posición de equilibrio.

Las ondas tridimensionales: que viajan fuera de la superficie de la Tierra cuando ocurre un terremoto son de ambos tipos: transversales y longitudinales. Las ondas longitudinales son las más rapidas de las dos, viajan con rapidez en el rango de 7 a 8 km/s cerca de la superficie. Éstas se conocen como ondas P, con "P" establecida para onda primaria porque viaja más rápido que las ondas transversales y llega primero al sismógrafo. Las ondas transversales lentas, llamadas ondas S ("S" cuando se trata de ondas secundarias), viajan a través de la Tierra de 4 a 5 km/s cerca de la superficie. Registrando el intervalo de tiempo entre las llegadas de estos dos conjuntos de ondas en un sismógrafo, se puede determinar la distancia del sismógrafo al punto de origen de las ondas. Con una sola medición se establece una esfera imaginaria centrada en el sismógrafo, con el radio de la esfera determinado por la diferencia en los tiempos de llegada de las ondas P y S. El origen de las ondas está localizado en algún lugar sobre la esfera. Las esferas imaginarias de tres o más estaciones de monitoreo distantes entre sí cruzan una región de la Tierra, que es en donde ocurre el terremoto.


Haga un teléfono haciendo un agujero pequeño en el fondo de dos vasos de papel, ensarte una cuerda que pase por los dos agujeros, haga un nudo en los extremos de la cuerda. Si usted habla en uno de los vasos jalando la cuerda tensándola, un amigo puede oír su voz en el otro. ¿Qué clase de onda está presente en la cuerda?


Pregunta sorpresa 16-1.

a) En una gran fila para comprar boletos la primera persona deja la fila y un pulso del movimiento ocurre cuando una persona avanza un paso para ocupar el hueco. Cuando cada persona da un paso hacia adelante, el hueco se mueve por la fila. ¿La propagación de este hueco es transversal o longitudinal? b) Considere la "ola" en un juego de béisbol: la gente se para y grita conforme la "ola" llega a su ubicación, y el pulso resultante rodea el estadio. ¿Esta onda es transversal o longitudinal?

16-2. ONDAS VIAJERAS UNIDIMENSIONALES

Considere un pulso de onda que viaja hacia la derecha a rapidez constante v sobre una larga cuerda tensada, como se muestra en la figura 16.6. El pulso se mueve a lo largo del eje x (el eje de la cuerda) y el desplazamiento transversal (vertical) de la cuerda (el medio) se mide a lo largo del eje y. La figura 16.6a representa la forma y posición del pulso en el tiempo t = 0. En este tiempo, la forma del pulso, sin importar cuál pueda ser, puede representarse como y = f(x). Es decir, y, la cual es la posición vertical de cualquier punto sobre la cuerda, es alguna función definida de x. El desplazamiento y, algunas veces llamado función de onda, depende tanto de x como de t. Por esta razón frecuentemente se escribe y(x, t), que se lee "y es una función de x y de t". Considere un punto particular P sobre la cuerda, identificado por un valor específico de su coordenada x. Antes de que el pulso llegue a P, la coordenada y de este punto es cero. Cuando la onda pasa a P, la coordenada y de este punto se incrementa, alcanza un máximo y después decae a cero. Por tanto, la función de onda y representa la coordenada y de cualquier punto P del medio en cualquier tiempo t.

Figura 16.6 Un pulso de onda unidimensional que viaja hacia la derecha a una rapidez v. a) En t = 0, la forma del pulso está dada por y = f(x). b) En algún tiempo posterior t, la forma permanece invariable y el desplazamiento vertical de cualquier punto P del medio está dado por y = f(x v t).

Puesto que la rapidez del pulso de onda es v, éste viaja hacia la derecha una distancia v t en un tiempo t (véase la Fig. 16.6b). Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, se puede representar la función de onda y para todos los tiempos después de t = 0. Medida en un marco de referencia estacionario con el origen en 0, la función de onda es:

Onda que viaja hacia la derecha: y = f (x v t) (16.1)

Si el pulso de onda viaja hacia la izquierda el desplazamiento de la cuerda es:

Onda que viaja hacia la izquierda: y = f (x + v t) (16.2)

Para cualquier tiempo t, la función de onda y como una función de x define una curva que representa la forma del pulso en este tiempo. Esta curva es equivalente a una "instantánea" de la onda en este tiempo. Para un pulso que se mueve sin cambiar de forma, la rapidez del pulso es la misma en lo que respecta a cualquier rasgo a lo largo del pulso, tal como la cresta en la figura 16.6b. Para encontrar la rapidez del pulso se puede calcular hasta dónde se ha movido la cresta en un corto tiempo y después dividir esta distancia entre el intervalo de tiempo. Con el fin de seguir el movimiento de la cresta, algún valor particular, por ejemplo x0, debe sustituirse en la ecuación 16.1 para x v t. Sin importar cómo cambien x y t individualmente, se necesita que x v t = x0 con el fin de permanecer en la cresta. Por tanto, esta expresión representa la ecuación de movimiento de la cresta. En t = 0, la cresta es en x = x0; en un tiempo dt posterior, la cresta está en x = x0 + v dt. Por consiguiente, en un tiempo dt la cresta se ha movido una distancia dx = (x0 + v dt) x0 = v dt. Por tanto, la rapidez de onda es:


(16.3)

EJEMPLO 16-1.. Un pulso que se mueve hacia la derecha

Un pulso de onda que se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x se representa por medio de la función de onda

donde x y y se miden en centímetros y t en segundos, Ahora se debe graficar la función de onda en t = 0, t = 1.0 s y t = 2.0 s.Solución

Primero observe que esta función es de la forma y = f(x v t). Por inspección se ve que la rapidez de la onda es v = 3.0 cm/s. Además, la amplitud de la onda (el valor máximo de y) está dada por A = 2.0 cm. (Se encuentra el máximo valor de la función representada por y al hacer x 3.0 t = 0). Las expresiones de la función de onda son:

en t = 1.0 s

en t = 2.0 s

Se pueden usar ahora estas expresiones para graficar la función de onda versus x en estos tiempos. Por ejemplo, al evaluar y(x, 0) en x = 0.50 cm:

Del mismo modo en x = 1.0 cm, y(1.0, 0) = 1.0 cm, y en x = 2.0 cm, y(2.0, 0) = 0.40 cm. Una continuación de este procedimiento para otros valores de x produce la función de onda mostrada en la figura 16.7a. De manera similar, es posible obtener las gráficas de y(x, 1.0) y y(x, 2.0) mostradas en las figuras16.7b y 1?7c, respectivamente. Estas instantáneas indican que el pulso de onda se mueve hacia la derecha sin cambiar su forma y tiene una rapidez constante de 3.0 cm/s.


Figura 16.7 Gráficas de la función y(x, 1) = 2/[(x 3.0 t)2 + 1] en t = 0, b) t = 1.0 s y c) t = 2.0 s.

15-4. SUPERPOSICIÓN E INTERFERENCIA

Muchos fenómenos ondulatorios interesantes en la naturaleza no pueden describirse mediante un solo pulso en movimiento. En lugar de ello, es necesario analizar formas de onda complejas en términos de una combinación de muchas ondas viajeras. Para analizar dichas combinaciones de onda se puede utilizar el principio de superposición:

Las ondas lineales obedecen el principio de superposición

Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales.

Las ondas que obedecen este principio son conocidas como ondas lineales y se caracterizan por lo general por tener amplitudes de onda pequeñas. Las ondas que violan el principio de superposición se denominan ondas no lineales y se caracterizan por sus grandes amplitudes. En este libro se tratarán sólo ondas lineales.

Interferencia de ondas de agua producidas en un tanque de onda. Las fuentes de las ondas son dos objetos que oscilan perpendicularmente a la superficie del tanque. (Cortesía de Central Scientific Company)

Una consecuencia del principio de superposición es que dos ondas viajeras pueden pasar una a través de otra sin destruirse o siquiera alterarse. Por ejemplo, cuando dos piedras pequeñas se lanzan a un estanque y golpean la


superficie en dos lugares, las ondas superficiales circulares que se expanden no se destruyen entre sí. De hecho, cada una pasa de largo con respecto de la otra. El complejo patrón que se observa puede verse como dos conjuntos independientes de círculos en expansión. Del mismo modo, cuando las ondas sonoras de dos fuentes se mueven por el aire, también se atraviesan una a la otra. El sonido resultante que uno escucha en un punto determinado es producto de ambas perturbaciones.

La figura 16.8 constituye una representación gráfica de la superposición. La función de onda para el pulso que se mueve hacia la derecha es y1, y la función de onda para el pulso que se mueve a la izquierda es y2. Los pulsos tienen la misma rapidez, pero formas diferentes. Se supone que cada pulso será simétrico, y el desplazamiento del medio está en la dirección y positiva en ambos pulsos. (Advierta, sin embargo, que el principio de superposición se aplica aun cuando los dos pulsos no sean simétricos.) Cuando las ondas empiezan a traslaparse (Fig. 16.8b), la función de onda para la onda compleja resultante está dada por y1 + y2.

Figura 16.8 (a-d) Dos pulsos de onda que viajan sobre una cuerda alargada en direcciones opuestas pasan uno a través del otro. Cuando los pulsos se traslapan, como en b) y c), el desplazamiento neto de la cuerda es igual a la suma de los desplazamientos producidos por cada pulso. Puesto que cada pulso produce desplazamientos positivos de la cuerda, se denominará a la superposición de los dos pulsos como interferencia constructiva. e) Fotografía de la superposición de dos pulsos iguales y simétricos que viajan en direcciones opuestas por una cuerda alargada. (e, Education Development Center; Newton, MA)

Cuando las crestas de los pulsos coinciden (Fig. 16.8c) la onda resultante dada por y1 + y2 es simétrica. Por último, los dos pulsos se separan y continúan moviéndose en sus direcciones originales (Fig. 16.8d). Advierta que las formas de los pulsos permanecen sin cambio, ¡como si los dos pulsos nunca se hubieran encontrado!

La combinación de ondas independientes en la misma región del espacio producen una onda resultante denominada interferencia. Para los dos pulsos mostrados en la figura 16.8 el desplazamiento del medio está en la dirección y positiva para los dos pulsos, y la onda resultante (qué se produce cuando los pulsos se traslapan) manifiesta un desplazamiento más grande que el de los pulsos individuales. Puesto que los desplazamientos provocados por los dos pulsos están en la misma dirección, se llamará a su superposición interferencia constructiva.

Se considerarán ahora dos pulsos que viajan en direcciones opuestas en una cuerda tensada, en la cual un pulso está invertido en relación con el otro, como en la figura 16.9. En este caso, cuando los pulsos empiezan a traslaparse, la onda resultante está dada por y1+ y2, pero los valores de la función y2 son negativos. Otra vez, los dos pulsos se atraviesan uno al otro; sin embargo, como los desplazamientos causados por los dos pulsos están en direcciones opuestas, se hará referencia a su superposición como interferencia destructiva.


Figura 16.9 (a-e) Dos pulsos de onda que viajan en direcciones opuestas con desplazamientos invertidos entre sí. Cuando los dos se superponen, como en c), sus desplazamientos se suprimen parcialmente el uno al otro. 1) Fotografía de la superposición de dos pulsos simétricos que viajan en direcciones opuestas, donde uno está invertido respecto del otro. (f, Education Development Center, Newton, MA)

Pregunta sorpresa 16-2

Dos pulsos están viajando uno hacia el otro a 10 cm/s en una cuerda larga, como se muestra en la figura 16.10. Dibuje la forma de la cuerda en t = 0.6 s.

Figura 16.10 Los pulsos sobre esta cuerda están viajando a 10 cm/s.

16-5. LA RAPIDEZ DE LAS ONDAS EN LAS CUERDAS

En esta sección se determinará la rapidez a la que viaja un pulso transversal en una cuerda tensa. Se comenzará por argumentar conceptualmente los parámetros que determinan la rapidez. Si una cuerda bajo tensión se jala de lado y después se libera, la tensión es responsable de acelerar cierto segmento de la parte de atrás de la cuerda hacia su posición de equilibrio. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleración del segmento aumenta con tensión creciente. Si el segmento regresa al equilibrio más rápidamente debido al aumento de su


aceleración, se podría argumentar de manera intuitiva que la rapidez de la onda es grande. Así, se espera que la rapidez de la onda aumente conforme aumenta la tensión.

Igualmente, se puede razonar que la rapidez de la onda disminuye si la masa por unidad de longitud de la cuerda aumenta. Esto se debe a que es más dificil acelerar un segmento de mayor masa de la cuerda que un segmento ligero. Si la tensión en la cuerda es T (no se confunda con el mismo símbolo usado para el periodo) y su masa por unidad de longitud es (letra griega mu), como se mostrará, la rapidez de la onda es:

Rapidez de una onda en una cuerda bajo tensión:

(16.4)

En primer lugar se verificará que esta expresión es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de T son ML/T2

y las dimensiones de son M/L. Por tanto, las dimensiones de T/ son L2/T2; de modo que las dimensiones de son L/T, las cuales son, efectivamente, las dimensiones de rapidez. Ninguna otra combinación de T y

es dimensionalmente correcta si se supone que éstas son las únicas variables relacionadas con la situación.

Las cuerdas de este piano varían en la tensión y en la masa por unidad de longitud. Estas diferencias en la tensión y en la densidad, combinadas con las diferentes longitudes de las cuerdas, permiten al instrumento producir una amplia serie de sonidos. (Charles D. Winters)

Se empleará a continuación un análisis mecánico para deducir la ecuación 16.4. En una cuerda bajo tensión considere un pulso que se mueve hacia la derecha a una rapidez uniforme v medida respecto de un marco de referencia estacionario. En lugar de permanecer en este marco, es más conveniente elegir como marco de referencia a uno que se mueva junto con el pulso a la misma rapidez, de modo que el pulso esté en reposo en dicho marco. Este cambio de marco de referencia es posible porque las leyes de Newton son válidas ya sea en un marco estacionario o en uno que se mueve a velocidad constante. En este nuevo marco de referencia, un segmento dado de la cuerda inicialmente a la derecha del pulso se mueve hacia la izquierda, ascendiendo y siguiendo la forma del pulso, y después continúa moviéndose a la izquierda. La figura 16.11a muestra este segmento en el instante que está localizado en la parte superior del pulso.


Figura 16.11 a) Para obtener la rapidez v de una onda en una cuerda alargada es conveniente describir el movimiento de un pequeño segmento de la cuerda en un marco de referencia móvil. b) En el marco de referencia en movimiento, el pequeño segmento de longitud s se mueve hacia la izquierda con rapidez v. La fuerza neta sobre el segmento está en la dirección radial, ya que las componentes horizontales de la fuerza de tensión se eliminan.

El pequeño segmento de la cuerda de longitud 4s forma un arco aproximado de un círculo de radio R, como se ilustra en la figura 16.11a y se amplifica en la figura 16.11b. En el marco de referencia en movimiento (el cual se mueve hacia la derecha a una rapidez v junto con el pulso), el segmento sombreado se mueve a la izquierda a una rapidez v. Este segmento tiene una aceleración centrípeta igual av2/R, que es proporcionada por las componentes de la tensión T en la cuerda. La fuerza T actúa en cada lado del segmento y tangente al arco, como se muestra en la figura 16.11b. Las componentes horizontales de T se cancelan y cada componente vertical T sen actúa radialmente hacia el centro del arco. En consecuencia, la fuerza radial total es 2 T sen . Puesto que el segmento es pequeño, también es pequeño y se puede utilizar la aproximación para ángulos pequeños: sen = . Por tanto, la fuerza radial total puede expresarse como:

El segmento tiene una masa m = s. Debido a que el segmento forma parte de un círculo y subtiende un ángulo 2 en el centro, s = R (2), por lo que:

Si se aplica la segunda ley de Newton a este segmento, la componente radial del movimiento produce:

Resolviendo para v se obtiene la ecuación 16.4.

Advierta que esta deducción se obtuvo a partir de la suposición de que la altura del pulso es pequeña respecto de la longitud de la cuerda. Con base en ésta, se puede usar la aproximación sen . Además, el modelo supone que la tensión T no se afecta por la presencia del pulso; así, T es la misma en todos los puntos de la cuerda. Por último, esta demostración no supone ninguna forma particular del pulso. Por tanto, se concluye que un pulso de cualquier forma viajará a lo largo de la cuerda a una rapidez v = sin ningún cambio en la forma del pulso.EJEMPLO 16-2. La rapidez de un pulso en una cuerda

Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.300 kg y una longitud de 6.00 m (Fig. 16.12). La cuerda pasa por una polea y sostiene un objeto de 2.00 kg. Calcule la rapidez de un pulso viajando a lo largo de esta cuerda.


Figura 16.12 La tensión T en la cuerda se mantiene por medio de la masa suspendida. La rapidez de cualquier onda viajando a lo largo de la cuerda está dada por la expresión v =

Solución

La tensión T en la cuerda es igual al peso de la masa suspendida de 2.00 kg.

T = m g = (2.00 kg)(9.80 m/s2) = 19.6 N

(Este cálculo de la tensión no toma en cuenta la pequeña masa de la cuerda. En términos estrictos, la cuerda nunca puede ser exactamente horizontal y, en consecuencia, la tensión no es uniforme.) La masa por unidad de longitud de la cuerda es:

Por tanto, la rapidez de la onda es

Ejercicio Determine el tiempo que tarda el pulso en viajar de la pared a la polea.

Respuesta 0.253 s.

Pregunta sorpresa 16-3

Suponga que usted crea un pulso al mover el extremo libre de una cuerda tensa hacia arriba y hacia abajo con su mano. El otro extremo de la cuerda está fijo a una pared lejana. El pulso alcanza la pared en un tiempo t. ¿Cuál de las acciones siguientes, en sí mismas, disminuyen el tiempo que le toma al pulso alcanzar la pared? Puede ser correcta más de una elección.

a) Mover su mano más rápidamente, pero sólo por una vez hacia arriba y hacia abajo la misma distancia.b) Mover su mano más lentamente, pero sólo por una vez hacia arriba y hacia abajo la misma distancia.c) Mover su mano una distancia más grande hacia arriba y hacia abajo en el mismo intervalo de tiempo.d) Mover su mano una distancia más corta hacia arriba y hacia abajo en el mismo intervalo de tiempo.e) Usar una cuerda más pesada de la misma longitud y bajo la misma tensión.f) Usar una cuerda más ligera de la misma longitud y bajo la misma tensión.g) Usar una cuerda de la misma densidad lineal de masa pero con tensión decreciente.h) Usar una cuerda de la misma densidad lineal de masa pero con tensión creciente.

16-6. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN

Se han analizado ondas viajeras que se mueven a través de un medio uniforme. Ahora se considerará cómo una onda viajera se afecta cuando encuentra un cambio en el medio. Por ejemplo, considere un pulso que viaja sobre una cuerda rígidamente unida a un soporte en un extremo (Fig. 16.13). Cuando el pulso alcanza el soporte, ocurre un severo cambio en el medio: los extremos de la cuerda. El resultado de este cambio, es que la onda experimenta reflexión; es decir, el pulso se mueve hacia atrás a lo largo de la cuerda en dirección opuesta.


Figura 16.13 La reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo fijo de una cuerda alargada. El pulso reflejado se invierte, pero su forma permanece igual.

Figura 16.14 La reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo libre de una cuerda alargada. El pulso reflejado no se invierte.

Advierta que el pulso reflejado se invierte. Esto puede explicarse del modo siguiente: cuando el pulso llega al extremo fijo de la cuerda, ésta produce una fuerza hacia arriba sobre el soporte. De acuerdo con la tercera ley de Newton, el soporte debe ejercer una fuerza de reacción igual y opuesta (hacia abajo) en la cuerda. Esta fuerza hacia abajo es la causa de que el pulso se invierta en la reflexión. Ahora se considerará otro caso: esta vez, el pulso llega al extremo de una cuerda que está libre para moverse en dirección vertical, como en la figura 16.14. La tensión en el extremo libre se mantiene porque la cuerda está atada a un anillo de masa despreciable que se puede deslizar verticalmente sobre un poste liso. También en este caso el pulso se refleja, pero esta vez no se invierte. A medida que el pulso llega al poste ejerce una fuerza sobre el extremo libre de la cuerda, ocasionando que el anillo se acelere hacia arriba. En el proceso, el anillo sobrepasa la altura del pulso que llega, pero es jalado por la componente hacia abajo de la fuerza de tensión. Este movimiento del anillo produce un pulso reflejado que no está invertido y cuya amplitud es la misma que la del pulso que llega.

Por último, es posible tener una situación en la que la frontera está entre estos dos casos extremos. En este caso, parte del pulso incidente es reflejado y parte experimenta transmisión, es decir, algo del pulso pasa a través de la frontera. Por ejemplo, suponga que una cuerda ligera se une a una cuerda más pesada, como se muestra en la figura 16.15. Cuando un pulso que viaja sobre la cuerda ligera llega a la frontera entre las dos, parte del pulso se refleja e invierte y parte se transmite a la cuerda más pesada. El pulso reflejado se invierte por las mismas razones recién expuestas en el caso de la cuerda rígidamente unida a un soporte.

Observe que el pulso reflejado tiene una amplitud más pequeña que la del pulso incidente. En la sección 16.8 se aprendió que la energía transportada por una onda está relacionada con su amplitud. Así, de acuerdo con el principio de conservación de la energía, cuando el pulso se parte en un pulso reflejado y en uno transmitido en la frontera, la suma de las energías de estos dos pulsos debe ser igual a la energía del pulso incidente. Como el pulso reflejado contiene sólo parte de la energía del pulso incidente, su amplitud debe ser más pequeña.


Figura 16.15 a) Un pulso que viaja hacia la derecha en una cuerda ligera unida a una cuerda más pesada. b) Parte del pulso incidente se refleja (e invierte), y parte se transmite a la cuerda más pesada.

Figura 16.16 a) Un pulso que viaja hacia la derecha sobre una cuerda pesada unida a una más ligera. b) El pulso incidente se refleja y se transmite parcialmente, y el pulso reflejado no se invierte.

Cuando un pulso que viaja sobre una cuerda pesada incide en la frontera entre esa cuerda y una más ligera, como se muestra en la figura 16.16, nuevamente una parte se refleja y una parte se transmite. En este caso, el pulso reflejado no se invierte.

En cualquier caso, las alturas relativas de los pulsos reflejados y transmitidos dependen de las densidades relativas de las dos cuerdas. Si las cuerdas son idénticas no hay discontinuidad en la frontera, por lo que no hay reflexión.

De acuerdo con la ecuación 16.4, la rapidez de una onda en una cuerda aumenta conforme disminuye la masa por unidad de longitud de la cuerda. En otras palabras, un pulso viaja con mayor lentitud en una cuerda pesada que en una ligera si ambas están bajo la misma tensión. Las siguientes reglas generales se aplican a las ondas reflejadas: Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA > vB (es decir, cuando B es más denso que A), el pulso se invierte en la reflexión. Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA < vB (o sea que A es más denso que B), el pulso no se invierte en la reflexión.

16-7. ONDAS SENOIDALES

En esta sección se presenta una importante función de onda cuya forma se muestra en la figura 16.17. La onda representada por esta curva se llama onda senoidal porque la curva es la misma que la de la función sen trazada junto a . La onda senoidal es el ejemplo más simple de una onda continua periódica y se puede usar para construir ondas más complejas, como se verá en la sección 18.8. La curva roja representa una instantánea de una onda senoidal viajando en t. = 0, y la curva azul representa una instantánea de una onda a algún tiempo posterior t. En t = 0 la función que describe las posiciones de las partículas del medio a través del cual la onda senoidal que está viajando, se puede escribir como:

(16.5)

donde la constante A representa la amplitud de la onda y la constante es la longitud de la onda. Así, se ve que la posición de una partícula del medio es la misma cada vez que x aumenta en un múltiplo entero de A. Si la onda se mueve hacia la derecha con rapidez v, la función de onda cierto tiempo t después es

(16.6)

Esto significa que la onda senoidal viajera se mueve hacia la derecha una distancia vt en el tiempo t, como se muestra en la figura 16.17. Advierta que la función de onda tiene la forma f(x vt) y representa a una onda que viaja hacia la derecha. Si la onda se moviera hacia la izquierda la cantidad x vt se sustituiría por x + vt, como se aprendió cuando se desarrollaron las ecuaciones 16.1 y 16.2.


Figura 16.17 Una onda senoidal unidimensional que viaja hacia la derecha con rapidez v. La curva roja representa una instantánea de la onda en t = 0, y la curva azul representa una instantánea en algún tiempo posterior t.

Por definición, la onda viaja una distancia de una longitud de onda en un periodo T. Por tanto, la rapidez de onda, la longitud de onda y el periodo se relacionan por medio de la expresión:

(16.7)

Al sustituir esta expresión para ven la ecuación 16.6, se encuentra que:

(16.8)

Esta forma de la función de onda muestra claramente la naturaleza periódica de y. En cualquier tiempo dado t (una instantánea de la onda), y tiene el mismo valor en las posiciones x, x + A, x + 2A, etcétera. Además, en cualquier posición dada x, el valor de y en los tiempos t, t + T, t + 2T y así sucesivamente, es el mismo.

Se puede expresar la función de onda en una forma conveniente definiendo otras dos cantidades conocidas como el número de onda angular k y la frecuencia angular :

Numero de onda angular: (16.9)

Frecuencia angular: (16.10)

Mediante estas definiciones se ve que la ecuación 16.8 puede escribirse en la forma más compacta:

Función de onda para una onda senoidal:

(16.11)

La frecuencia de una onda senoidal se relaciona con el periodo mediante la expresión:

Frecuencia: (16.12)

La unidad más común para la frecuencia, como se aprendió en el capítulo 13, es s l o hertz (Hz). La unidad correspondiente para T es segundos.

Con las ecuaciones 16.9, 16.10 y 16.12 se puede expresar la rapidez de onda v originalmente dada en la ecuación 16.7 en las formas alternativas:

(16.13)


Rapidez de la onda senoidal: (16.14)

La función de onda dada por la ecuación 16.11 supone que el desplazamiento vertical y es cero en x = 0 y t = 0. Éste no es necesariamente el caso. Si no es así, por lo general la función de onda se expresa en la forma:

Expresión general de una onda senoidal:

(16.15)

donde es la constante de fase, como se aprendió cuando se estudió el movimiento periódico en el capítulo 13. Esta constante se puede determinar a partir de las condiciones iniciales.

EJEMPLO 16.3. Una onda senoidal viajera

Una onda senoidal que viaja en la dirección x positiva tiene una amplitud de 15.0 cm, una longitud de onda de 40.0 cm y una frecuencia de 8.00 Hz. El desplazamiento vertical del medio en t = 0 y x = 0 es también de 15.0 cm, como se ilustra en la figura 16.18. a) Encuentre el número de onda angular k, el periodo T, la frecuencia angular y la rapidez v de la onda. b) Determine la constante de fase y escriba una expresión general para la función de onda.

Figura 16.18 Una onda senoidaI de longitud de onda = 40.0 cm y amplitud A = 15.0 cm. La función de onda puede escribirse en la forma y = A cos (k x t).

Solución

a) Por medio de las ecuaciones 16.9, 16.10, 16.12 y 16.14 se encuentra lo siguiente:

b) Puesto que A = 15.0 cm y y = 15.0 cm en x = 0 y t = 0, la sustitución en la ecuación 16.15 produce:

15.0 = (15.0) sen o

sen = 1

Se puede tomar el valor principal = /2 rad (o 90°). Así, la función de onda es de la forma:


Revisando se puede ver que la función de onda debe tener esta forma, observando que la función coseno tiene la misma forma de la función seno desplazada por 90°. Al sustituir los valores para A, k y en esta expresión, se obtiene:

Ondas senoidales en cuerdas

La figura 16.2 indica cómo crear un pulso de onda al sacudir una vez una cuerda tensada hacia arriba y hacia abajo. Para crear un tren de pulsos de este tipo, lo que normalmente se conoce como "tren de ondas" o más sencillo, "onda", se puede sustituir la mano con una hoja vibratoria. Si la onda consiste de un tren de ciclos idénticos, de cualquier forma, las relaciones f = l/T y v = f entre la rapidez, la frecuencia, el periodo y la longitud de onda son válidas. Se pueden hacer enunciados más definidos acerca de la función de onda si la fuente de las ondas vibra en un movimiento armónico simple. La figura 16.19 representa las instantáneas de la onda creada de este modo en intervalos de T/4. Advierta que como el extremo de la hoja oscila en un movimiento armónico simple, cada partícula de la cuerda, como P, oscila también verticalmente con un movimiento armónico simple. Éste debe ser el caso debido a que cada partícula sigue el movimiento armónico simple de la hoja. Por tanto, cada segmento de la cuerda puede tratarse como un oscilador armónico simple que vibra con una frecuencia igual a la frecuencia de oscilación de la hoja. 3 Observe que aunque cada segmento oscila en la dirección y, la onda viaja en la dirección x con una rapidez v. Desde luego, ésta es la definición de una onda transversal.

3En este arreglo, se supone que un segmento de cuerda oscila siempre en línea vertical. La tensión en la cuerda cambiaría si a un segmento se le permitiera moverse lateralmente. Tal movimiento haría el análisis demasiado complejo.

Figura 16.19 Un método para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una cuerda continua. El extremo izquierdo de la cuerda se conecta a una varilla que se pone a vibrar. Cada segmento de la cuerda, como el punto P, oscila con movimiento armónico simple en la dirección vertical.

Si la onda en t = 0 es como se describe en la figura 16.19b, entonces la función de onda puede escribirse como:

Con esta expresión se puede escribir el movimiento de cualquier punto en la cuerda. El punto P (o cualquier otro punto en la cuerda) sólo se mueve verticalmente, de manera que su coordenada x permanece constante. Por consiguiente, la rapidez transversal, vy (no debe confundirse con la rapidez de onda v), y la aceleración transversal, ay, son:


(16.16)

(16.17)

En estas expresiones se deben usar derivadas parciales (véase la sección 8.6), ya que y depende tanto de x como de t. Por ejemplo, en la operación y/ t, se toma una derivada con respecto a t, mientras se conserva constante a x. Los valores máximos de la rapidez y la aceleración transversales son simplemente los valores absolutos de los coeficientes de las funciones coseno y seno:

(16.18)

(16.19)

La rapidez y la aceleración transversales no alcanzan sus valores máximos de manera simultánea. De hecho, la rapidez transversal alcanza su valor máximo (A) cuando y = 0, en tanto que la aceleración transversal alcanza su valor máximo (2A) cuando y = A. Por último, las ecuaciones 16.18 y 16.19 son idénticas en forma matemática a las ecuaciones correspondientes al movimiento armónico simple, es decir, a las ecuaciones 13.10 y 13.11.

Pregunta sorpresa:

Una onda senoidal se está moviendo en una cuerda. Si se aumenta la frecuencia f de la onda, ¿cómo cambian la rapidez transversal, la rapidez de la onda y la longitud de onda?

EJEMPLO 16.4. Una cuerda impulsada senoidalmente

La cuerda que se muestra en la figura 16.19 se impulsa a una frecuencia de 5.00 Hz. La amplitud del movimiento es igual a 12.0 cm; y la rapidez de la onda es de 20.0 m/s. Determine su frecuencia angular , el número de onda angular k para esta onda, y escriba una expresión para la función de onda.

Solución

La utilización de las ecuaciones 16.10, 16.12 y 16.13 produce:

Como A = 12.0 cm = 0.120 m, se tiene:

y =A sen (k x t) = (0.120 m) sen (1.57 x 31.4 t)

Ejercicio Calcule los valores máximos para la rapidez y aceleración transversales de cualquier punto en la cuerda.

Respuesta 3.77 m/s; 118 m/s2

16-8. RAPIDEZ DE TRANSFERENCIA DE ENERGÍA POR ONDAS SENOIDALES EN CUERDAS

A medida que las ondas se propagan a través de un medio, transportan energía. Esto se demuestra fácilmente colgando un objeto en una cuerda alargada y enviando después un pulso por la cuerda, como se muestra en la figura 16.20. Cuando el pulso llega a la masa suspendida, ésta se desplaza momentáneamente, como se ilustra en la figura 16.20b. En el proceso se transfiere energía a la masa, pues debe efectuarse trabajo al moverla hacia


arriba. En esta sección se describe la rapidez a la cual la energía se transporta a lo largo de una cuerda. Se supone una onda unidimensional senoidal en el cálculo de la energía transferida.

Figura 16.20 a) Un pulso que viaja hacia la derecha en una cuerda alargada en la cual se ha suspendido una masa. b) La energía se transmite a la masa suspendida cuando llega el pulso.

Figura 16.21 Una onda senoidal que viaja a lo largo del eje x en una cuerda alargada. Cualquier segmento se mueve verticalmente y cada uno tiene la misma energía total.

Considere una onda senoidal que viaja en una cuerda (Fig. 16.21). La fuente de la energía transportada por la onda es algún agente externo en el extremó izquierdo de la cuerda, el cual realiza trabajo al producir las oscilaciones. Conforme el agente externo realiza trabajo sobre la cuerda, moviéndola hacia arriba y hacia abajo, entra energía al sistema de la cuerda y se propaga a lo largo de su longitud. Se enfocará la atención a un segmento de la cuerda de longitud x y masa m. Cada uno de estos segmentos se mueve verticalmente con movimiento armónico simple. Además, todos los segmentos tienen la misma frecuencia angular, , y la misma amplitud A. Como se encontró en el capítulo 13, la energía potencial elástica U asociada con una partícula que efectúa un movimiento armónico simple es U = ½ ky2, donde el movimiento armónico simple es en la dirección y. Usando la relación 2 = k/m desarrollada en las ecuaciones 13.16 y 13.17, ésta se puede escribir como U = ½ m 2y2.

Si se aplica esta ecuación al segmento de masa m, se puede ver que la energía potencial de este segmento es:

Ya que la masa por unidad de longitud de la cuerda es = m/x, se puede expresar la energía potencial del segmento como:

Conforme la longitud del segmento tiende a cero, x dx, y esta expresión se convierte en una relación diferencial:

Se reemplaza el desplazamiento general y del segmento con la función de onda para una onda senoidal:

Si se toma una instantánea de la onda al tiempo t = 0, entonces la energía potencial en un segmento dado es:


Para obtener la energía potencial en una longitud de onda, se integra esta expresión sobre todos los segmentos de la cuerda en una longitud de onda:

Como la cuerda está en movimiento, cada segmento de ella también tiene energía cinética. Cuando se usa este procedimiento para analizar la energía cinética total en una longitud de onda de la cuerda, se obtiene el mismo resultado.

La energía total en una longitud de onda de la onda es la suma de las energías cinética y potencial:

(16.20)

Como la onda se mueve a lo largo de la cuerda, esta cantidad de energía pasa por un punto dado sobre la cuerda durante un periodo de la oscilación. Así, la potencia, o rapidez de transferencia de energía, asociada con la onda es:

Potencia de una onda: (16.21)

Esto muestra que la rapidez de transferencia de energía por una onda senoidal en una cuerda es proporcional a) a la rapidez de onda, b) al cuadrado de la frecuencia y c) al cuadrado de la amplitud. De hecho: la rapidez de transferencia de energía en cualquier onda "senoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado de la amplitud.

EJEMPLO 16.5. Potencia aplicada a una cuerda vibrante

Una cuerda tensada para la cual = 5.00 x 102 kg/m se somete a una tensión de 80.0 N. ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60.0 Hz y una amplitud de 6.00 cm?

Solución

La rapidez de onda en la cuerda es, de la ecuación 16.4,

Como f = 60.0 Hz, el valor de la frecuencia angular de las ondas senoidales en la cuerda es:

= 2 f = 2 (60.0 Hz)= 377 rad/s

El empleo de estos valores en la ecuación 16.21 para la potencia, con A = 6.00 x 102 m, produce:


16.9. ECUACIÓN LINEAL DE ONDA

En la sección 16.3 se presentó el concepto de función de onda para representar ondas que viajan por una cuerda. Todas las funciones de onda y(x, t) representan soluciones de una ecuación conocida como ecuación lineal de onda. Esta ecuación brinda una descripción completa del movimiento ondulatorio, y a partir de ella puede deducirse una expresión para la rapidez de onda. Además, la ecuación lineal de onda es fundamental para muchas formas de movimiento ondulatorio. En esta sección se deducirá la ecuación de onda cuando se aplica a ondas en cuerdas.

Figura 16.22 Un segmento de una cuerda sometida a la tensión T. Las pendientes en los puntos A y B están dadas por tan A y tan B, respectivamente.

Suponga una onda viajera que se está propagando a lo largo de una cuerda que está bajo una tensión T. Considere un pequeño segmento de una cuerda de longitud x (Fig. 16.22). Se supone que los extremos del segmento forman ángulos pequeños Ay B con el eje x. La fuerza neta que actúa sobre el segmento en la dirección vertical es:

Como los ángulos son pequeños, se puede emplear la aproximación de pequeños ángulos sen = tan y expresar a la fuerza neta como:

Sin embargo, las tangentes de los ángulos en A y B se definen como las pendientes del segmento de una cuerda en estos puntos. Puesto que las pendientes de una curda está dada por y/ x, se tiene que:

(16.22)

Ahora se aplica la segunda ley de Newton al segmento, con la masa del mismo dada por m = x:

(16.23)

Combinando la ecuación 16.22 con la 16.23 se obtiene


(16.24)

El lado derecho de esta ecuación puede expresarse en una forma diferente si se observa que la derivada parcial de cualquier función se define como:

Si se asocia f(x + .x) con (y/x)By f(x) con (y/x)A, se ve que, en el límite x 0, la ecuación 16.24 se convierte en:

Ecuación general lineal de onda: (16.25)

Ésta es la ecuación lineal de onda cuando se aplica a ondas en una cuerda.

Ahora se demostrará que una función de onda senoidal (Ec. 16.11) representa una solución para esta ecuación lineal de onda. Si se considera que la función de onda senoidal es de la forma y(x, t) = A sen(kx t), entonces las derivadas adecuadas son:

La sustitución de estas expresiones en la ecuación 16.25 produce:

Esta ecuación debe ser válida para todos los valores de las variables x y t de modo que la función de onda senoidal sea una solución de la ecuación de onda. Ambos lados de la ecuación dependen de x y de t a través de la misma función sen (k x t). Como esta función se divide, se obtiene realmente una identidad, a condición de que:

Al utilizar la relación v = /k (Ec. 16.13) en la expresión anterior, se ve que:

que es la ecuación 16.4. Esta deducción representa otra prueba de la expresión para la rapidez de onda en una cuerda tensada.

La ecuación lineal de onda (Ec. 16.25) suele escribirse en la forma

Ecuación general lineal de la onda: (16.26)


Esta expresión se aplica en general a diversos tipos de ondas viajeras. Para ondas en cuerdas, y representa el desplazamiento vertical de la cuerda. Cuando se trata de ondas sonoras, y corresponde a los desplazamientos de moléculas de aire de su posición de equilibrio o a las variaciones en la presión o densidad de un gas a través de las cuales se propagan las ondas sonoras. En el caso de ondas electromagnéticas y se refiere a las componentes de un campo eléctrico o magnético.

Se ha demostrado que la función de onda senoidal (Ec. 16.11) es una solución de la ecuación lineal de onda (Ec. 16.26). Aunque no se ha probado aquí, la ecuación lineal de onda se satisface por cualquier función de onda que tenga la forma y = f (x v t). Además, se ha visto que la ecuación lineal de onda es una consecuencia directa de la segunda ley de Newton aplicada a cualquier segmento de la cuerda.

RESUMEN

Una onda transversal es una en la que las partículas del medio se mueven en una dirección perpendicular a la dirección de la velocidad de onda. Un ejemplo es una onda en una cuerda tensada. Una onda longitudinal es aquella en la que las partículas del medio se mueven en una dirección paralela a la dirección de la velocidad de onda. Las ondas sonoras en fluidos son longitudinales. Usted debe poder identificar ejemplos de ambos tipos de ondas.

Cualquier onda unidimensional que viaje a una rapidez v en la dirección x puede representarse mediante una función de onda de la forma:

(16.1, 16.2)

donde el signo positivo, +, se aplica a una onda que viaja en la dirección x negativa, en tanto que el signo negativo, , se aplica a una onda que viaja en la dirección x positiva. La forma de la onda en cualquier instante (una instantánea de la onda) se obtiene mientras t sea constante.

El principio de superposición establece que cuando dos o más ondas se mueven a través de un medio, la función de onda resultante es igual a la suma algebraica de las funciones de onda individuales. Cuando dos ondas se combinan en el espacio, se interfieren y producen una onda resultante. La interferencia puede ser constructiva (cuando los desplazamientos individuales son en la misma dirección) o destructiva (cuando los desplazamientos son en direcciones opuestas).

La rapidez de una onda que viaja en una cuerda tensada de masa por unidad de longitud y tensión T es:

(16.4)

Una onda se refleja total o parcialmente cuando alcanza el extremo del medio en el que se propaga o cuando alcanza una frontera donde cambia su rapidez de manera discontinua. Si un pulso de onda que viaja sobre una cuerda llega a un extremo fijo, el pulso se refleja y se invierte. Si llega a un extremo libre, se refleja pero no se invierte.

La función de onda para una onda senoidal unidimensional que viaja hacia la derecha puede expresarse como:

(16.6, 16.11)

donde A es la amplitud, es la longitud de onda, k es el número de onda angular y es la frecuencia angular. Si T es el periodo y f es la frecuencia, entonces v, k y pueden escribirse como:

(16.7,16.14)

(16.9)


(16.10, 16.12)

Usted debe saber cómo encontrar la ecuación que describe el movimiento de partículas en una onda a partir de un conjunto dado de parámetros físicos.

La potencia transmitida por una onda senoidal en una cuerda extendida es:

(16.21)

PREGUNTAS

1. ¿Por qué se considera a un pulso de onda que viaja por una cuerda una onda transversal?

2. ¿Cómo podría usted establecer una onda longitudinal en un resorte extendido? ¿Sería posible establecer una onda transversal en un resorte?

3. ¿En qué factor usted incrementaría la tensión en una cuerda tensada con el propósito de duplicar la rapidez de onda?

4. Al viajar por una cuerda tensada, ¿un pulso de onda siempre se invierte en la reflexión? Explique.

5. ¿Dos pulsos que viajan en direcciones opuestas pueden reflejarse entre sí? Explique.

6. ¿La rapidez vertical de un segmento de una cuerda tensada horizontal por la que está viajando una onda depende de la rapidez de onda?

7. Si usted sacudiera periódicamente el extremo de una cuerda tensada tres veces cada segundo, ¿cuál sería el periodo de las ondas senoidales que se establecerían en la cuerda?

8. Una fuente de vibraciones genera una onda senoidal en una cuerda sometida a tensión constante. Si la potencia entregada a la cuerda se duplica, ¿en qué factor cambia la amplitud? ¿La rapidez de onda cambia en estas circunstancias?

9. Considere una onda que viaja por una cuerda tensada. ¿Cuál es la diferencia, si es que la hay, entre la rapidez de la onda y la rapidez de una pequeña sección de la cuerda?

10. Si una larga cuerda se cuelga de un techo y se transmiten ondas hacia arriba desde el extremo inferior, éstas no ascienden a rapidez constante. Explique.

11. ¿Qué ocurre con la longitud de onda de una onda en una cuerda cuando se duplica la frecuencia? Suponga que la tensión en la cuerda permanece igual.

12. ¿Qué sucede con la rapidez de una onda en una cuerda tensada cuando se duplica la frecuencia? Suponga que la tensión en la cuerda permanece igual.

13. ¿En qué difieren las ondas transversales de las longitudinales?

14. Cuando todas las cuerdas de una guitarra se estiran a la misma tensión, ¿la rapidez de una onda a lo largo de las cuerdas de más masa del bajo será mayor que o menor que la rapidez de una onda en las cuerdas más ligeras?

15. Si usted estira una manguera de hule y la sacude puede observar un pulso que viaja hacia arriba y hacia abajo por la manguera. ¿Qué ocurre con la rapidez del pulso si usted estira aún más la manguera? ¿Y si se llena la manguera con agua?


16. En una onda longitudinal en un resorte las espiras se mueven hacia adelante y hacia atrás en la dirección del movimiento de la onda. ¿La rapidez de onda depende de la rapidez máxima de cada espira?

17. Cuando dos ondas interfieren, ¿la amplitud de la onda resultante puede ser mayor que la de cualquiera de las ondas originales? ¿En qué condiciones?

18. Un sólido puede transportar tanto ondas longitudinales como ondas transversales, pero un fluido sólo puede transportar ondas longitudinales. ¿Por qué?

PROBLEMAS

Sección 16.1 Variables básicas del movimiento ondulatorioSección 16.2 Dirección del desplazamiento de las partículasSección 16.3 Ondas viajeras unidimensionales

1. En t = 0, un pulso de onda transversal en un alambre se describe por medio de la función

donde x y y están en metros. Escriba la función y(x, t) que represente esta onda si ésta viaja en la dirección x positiva a una rapidez de 4.5 m/s.

Respuesta: y = 6 (x – 4,6 t)2 + 3 1

2. Dos pulsos de onda A y B se mueven en direcciones opuestas a lo largo de una cuerda tensada a una rapidez de 2.00 cm/s. La amplitud de A es dos veces la amplitud de B. Los pulsos se muestran en la figura P16.2 en t = 0. Dibuje la forma de la cuerda en t = 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 s.

Figura P16.23. Una onda que se mueva a lo largo del eje x está descrita por: y(x, t) = 5.00 donde x está en

metros y t está en segundos. Determine a) la dirección del movimiento de la onda y b) la rapidez de la onda.

Respuesta: (a) izquierda; (b) 5,00 m7s

4. Las ondas en el océano con una distancia cresta a cresta de 10.0 m pueden describirse mediante y(x, t) = (0.800 m) sen [0.628(x – v t)] donde v = 1.20 m/s. a) Dibuje y(x, t) en t = 0. b) Dibuje y(x, t) en t = 2.00 s. Advierta cómo toda la forma de la onda se ha movido 2.40 m en la dirección x positiva en este intervalo de tiempo.

5. Dos puntos, A y B, sobre la superficie de la Tierra están a la misma longitud y 60.0º separados en latitud. Suponga que un terremoto en el punto A envía dos ondas hacia B. Una onda transversal viaja por la superficie de la Tierra a 4.50 km/s, y una onda longitudinal viaja directamente a través del cuerpo de la Tierra a 7.80 km/s. a)¿Cuál de las ondas llega primero a B? b) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre las llegadas de las dos ondas al punto B? Considere el radio de la Tierra igual a 6 370 km.

Respuesta: (a) longitudinal; (b) 665 s

6. Una estación sismográfica recibe ondas S y P de un terremoto, con una diferencia de tiempo de 17.3 s. Suponga que las ondas han viajado en la misma trayectoria a rapidez de 4.50 km/s y 7.80 km/s, respectivamente. Encuentre la distancia de la estación sismográfica al epicentro del terremoto.


Sección 16.4 Superposición e Interferencia

7. Dos ondas senoidales en una cuerda se definen mediante las funciones y 1 = (2.00 cm) sen (20.0x 32.0 t) , y2 = (2.00 cm) sen (25.0 x 40.0 t), donde y y x se miden en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuál es la diferencia de fase entre estas dos ondas en el punto x = 5.00 cm en t = 2.00 s? b) ¿Cuál es el valor de x positiva más cercano al origen para el cual las dos fases difieren en en t = 2.00 s? (Es decir, donde las dos ondas suman cero.)

Respuesta: (a) 156º; (b) 0,0584 cm

8. Dos ondas en una cuerda se describen por medio de las funciones de onda y1 = 3.0 cos (4.0 x 1.6 t) y y2

= 4.0 sen (5.0 x 2.0 t); donde y y x están en centímetros y t en segundos. Encuentre la superposición de las ondas y1 + y2 en los puntos a) x = 1.00, t = 1.00, b) x = 1.00, t = 0.500, c) x = 0.500, t = 0. (Recuerde que los argumentos de las funciones trigonométricas están en radianes.)

9. Dos pulsos que viajan en la misma cuerda se describen por medio de y a)¿En qué dirección viaja cada pulso? b)¿En qué tiempo se cancelan los dos? c)¿En qué punto las dos ondas siempre se cancelan?

Respuesta: (a) y1 en la dirección + x; y2 en al dirección x; (b) 0,750 s; (c) 1,00 m

Sección 16.5 La rapidez de las ondas en las cuerdas

10. Un cordón de teléfono tiene 4.00 m de largo y una masa de 0.200 kg. Se produce un pulso de onda transversal al jalar un extremo del tenso cordón. El pulso hace cuatro viajes hacia abajo y hacia atrás a lo largo del cordón en 0.800 s. ¿Cuál es la tensión en el cordón?

11. Se deben producir ondas transversales a una rapidez de 50.0 m/s en una cuerda tensa. Se usa una cuerda de 5.00 m de longitud y una masa total de 0.060 0 kg. ¿Cuál es la tensión requerida?

Respuesta: 30,0 N

12. Una cuerda de piano que tiene una masa por unidad de longitud igual a 5.00 x 103 kg/m se somete a una tensión de 1 350 N. Encuentre la rapidez a la cual viaja una onda en esta cuerda.

13. Un astronauta sobre la Luna desea medir el valor local de g midiendo el tiempo de pulsos que viajan por un alambre que tiene una gran masa suspendida de él. Suponga que el alambre tiene 4.00 g de masa y 1.60 m de largo, y que la masa suspendida de él tiene 3.00 kg. Un pulso tarda 36.1 ms para recorrer la longitud del alambre. Calcule gLuna a partir de estos datos. (Puede ignorar la masa del alambre cuando calcule la tensión en él.)

Respuesta: 1,64 m/s2

14. En un alambre tenso de cobre cuyo diámetro es de 1.50 mm viajan pulsos transversales a una rapidez de 200 m/s. ¿Cuál es la tensión en el alambre? (La densidad del cobre es de 8.92 g/cm3.)

15. En un alambre sometido a una tensión de 6.00 N viajan ondas transversales a una rapidez de 20.0 m/s. ¿Qué tensión se requiere para producir una rapidez de onda de 30.0 m/s en la misma cuerda?

Respuesta: 13,5 N

16. Un péndulo simple se compone de una bola de masa M que cuelga de una cuerda uniforme de masa m y longitud L con m « M. Si el periodo de oscilación del péndulo es T, determine la rapidez de una onda transversal en la cuerda cuando el péndulo cuelga en reposo.

17. El límite elástico de un pedazo de alambre de acero es de 2.70 x 109 Pa. ¿Cuál es la rapidez máxima a la cual pueden propagarse pulsos de onda transversales a lo largo de este alambre sin exceder este esfuerzo? (La densidad del acero es de 7.86 x 103 kg/m3.)


Respuesta: 586 m/s

18. Problema de repaso: Una cuerda ligera de 8.00 g/m de masa por unidad de longitud tiene sus extremos sujetos a dos paredes separadas por una distancia igual a tres cuartos de la longitud de la cuerda (Fig. P16.18). Un objeto de masa m se suspende del centro de la cuerda, a la cual le impone una tensión. a) Encuentre una expresión para la rapidez de onda transversal en la cuerda como una función de la masa colgante. b)¿Qué cantidad de masa debe suspenderse de la cuerda para tener una rapidez de onda de 60.0 m/s?

Figura P16.18

19. Problema de repaso: Una cuerda ligera de 10.0 g de masa y longitud L = 3.00 m tiene sus extremos sujetos a dos paredes que están separadas por una distancia D = 2.00 m. Dos objetos, cada uno con una masa M = 2.00 kg, están suspendidos de esta cuerda como en la figura P16.19. Si un pulso de onda se envía desde el punto A, ¿cuánto tarda en viajar hasta el punto B?

Figura P16.19. Problemas 19 y 20

Respuesta: 32,9 ms

20. Problema de repaso: Una cuerda ligera de masa m y longitud L tiene sus extremos sujetos a dos paredes que están separadas por una distancia D. Dos objetos, cada uno de masa M, están suspendidos de esta cuerda como se muestra en la figura P16.19. Si un pulso de onda se envía desde el punto A, ¿cuánto tarda en viajar hasta el punto B? Figura P16.19 Problemas 19 y 20.

21. Un alambre de acero de 30.0 m y un alambre de cobre de 20.0 m, ambos con diámetros de 1.00 mm, se conectan extremo con extremo y se estiran hasta una tensión de 150 N. ¿Cuánto tarda una onda transversal en viajar por la longitud total de los dos alambres?

Respuesta: 0,329 s

Sección 16.6 Reflexión y transmisión

22. Una serie de pulsos, cada uno de amplitud 0.150 m, son enviados por una cuerda que está fija a un poste por un extremo. Los pulsos se reflejan en el poste y viajan hacia atrás por la cuerda sin perder amplitud. ¿Cuál es el desplazamiento en un punto de la cuerda donde dos pulsos se cruzan a) si la cuerda está unida rígidamente al poste? b) si el extremo en el que ocurre la reflexión es libre de deslizarse hacia arriba y hacia abajo?


Sección 16.7 Ondas senoidales

23. a) Grafique y versus t en x = 0 para una onda senoidal de la forma y = (15.0 cm) cos (0.157 x 50.3 t), donde x y y están en centímetros y t en segundos. b) Determine el periodo de vibración a partir de esta gráfica y compare su resultado con el valor encontrado en el ejemplo 16.3.

Respuesta: (b) 0,125 s

24. Para cierta onda transversal, la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1.20 m, y ocho crestas pasan por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada 12.0 s. Calcule la rapidez de onda.

25. Una onda senoidal viaja por una cuerda. El oscilador que genera la onda hace 40.0 vibraciones en 30.0 s. Además, un máximo dado viaja 425 cm a lo largo de la cuerda en 10.0 s. ¿Cuál es la longitud de onda?

Respuesta: 0,319 m

26. Considere la onda senoidal del ejemplo 16.3, con la función de onda: y = (15.0 cm) cos (0.157 x 50.3 t). En un cierto instante el punto A está en el origen y el punto B está en el primer punto a lo largo del eje x donde la onda está a 60° fuera de fase con respecto a A. ¿Cuál es la coordenada en el punto B?

27. Cuando un alambre particular vibra con una frecuencia de 4.00 Hz, se produce una onda transversal de 60.0 cm de longitud de onda. Determine la rapidez de los pulsos de onda a lo largo del alambre.

Respuesta: 2,40 m/s

28. Una onda senoidal que viaja en la dirección x (hacia la izquierda) tiene una amplitud de 20.0 cm, una longitud de onda de 35.0 cm y una frecuencia de 12.0 Hz. El desplazamiento de la onda en t = 0, x = 0 es y = 3.00 cm; en el mismo punto, una partícula del medio tiene una velocidad positiva. a) Dibuje la onda en t = 0. b) Encuentre el número de onda angular, el periodo, la frecuencia angular y la rapidez de onda de la onda. c) Escriba una expresión para la función de onda y(x, t).

29. Un tren de onda senoidal se describe por medio de la ecuación: y = (0.25 m) sen (0.30 x 40 t), donde x y y se miden en metros y t en segundos. Determine para esta onda a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el número de onda angular, d) la longitud de onda, e) la rapidez de onda, y f) la dirección del movimiento.

Respuesta: (a) 0,250 m; (b) 40,0 rad7s; (c) 0,300 rad/s; (d) 20,9 m; (e) 133 m7s; (f) + x

30. Una onda transversal en una cuerda se describe mediante la expresión: y = (0.120 m) sen (x/8 + 4t). a) Determine la rapidez y aceleración transversales de la cuerda en t = 0.200 s para el punto sobre la cuerda localizado en x = 1.60 m. b) ¿Cuáles son la longitud de onda, el periodo y la rapidez de propagación de esta onda?

31. a)Escriba la expresión para y como una función de x y t de una onda senoidal que se propaga a lo largo de una cuerda en la dirección x negativa con las siguientes características: A = 8.00 cm, = 80.0 cm, f = 3.00 Hz y y(0,t) = 0 en t = 0. b) Escriba la expresión para y como una función de x y t para la onda en el inciso a) suponiendo que y(x, 0) = 0 en el punto x = 10.0 cm.

Respuesta: (a) y = (8,00 cm) sen ( 7,85 x + 6t); (b) y = (8,00 cm) sen (7,85 x + 6t – 0,785)

32. Una onda senoidal transversal en una cuerda tiene un periodo T = 25.0 ms y viaja en la dirección x negativa a una rapidez de 30.0 m/s. En t = 0, una partícula sobre la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento de 2.00 cm y viaja hacia abajo a una rapidez de 2.0 m/s. a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? b) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial? c) ¿Cuál es la máxima rapidez transversal de la cuerda? d) Escriba la función de onda de la onda.

33. Una onda senoidal de longitud de onda igual a 2.00 m y 0.100 m de amplitud viaja sobre una cuerda con una rapidez de 1.00 m/s a la derecha. Al principio, el extremo izquierdo de la cuerda está en el origen.


Calcule a) la frecuencia y la frecuencia angular, b) el número de onda angular, y c) la función de onda correspondiente a esta onda. Determine la ecuación de movimiento para d) el extremo izquierdo de la cuerda, y e) el punto sobre la cuerda en x = 1.50 m hacia la derecha del extremo izquierdo. f) ¿Cuál es la rapidez máxima de cualquier punto sobre la cuerda?

Respuesta: (a) 0,500 Hz; 3,14 rad/s; (b) 3,14 rad/m; (c) (0,100 m) sen (3,14 x/m – 3,14 t/s); (d) (0,100 m) sen (3,14t/s); (e) (0,100 m) sen (4,71 rad – 3,14 t/s); (f) 0,314 m/s

34. Una onda senoidal en una cuerda se describe por medio de la ecuación: y = (0.51 cm) sen (k x t) donde k = 3.1 rad/cm y = 9.30 rad/s. ¿Qué distancia se mueve la cresta en 10 s? ¿Se mueve en la dirección x positiva o negativa?

35. Una onda está descrita por y = (2.00 cm) sen (k x t), donde k = 2.11 rad/m, = 3.62 rad/s, x está en metros y t está en segundos. Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia y rapidez de la onda.

Respuesta:2,00 cm; 2,98 m; 0,576 Hz; 1,72 m/s

36. Una onda transversal que viaja por un alambre tenso tiene una amplitud de 0.200 mm, una frecuencia de 500 Hz y viaja a una rapidez de 196 m/s. a) Escriba una ecuación en unidades del SI de la forma y = A sen (k x t) para esta onda. b) La masa por unidad de longitud de este alambre es 4.10 g/m. Calcule la tensión en el alambre.

37. Una onda en una cuerda se describe mediante la función de onda: y = (0.100 m) sen (0.50 x 20t). a) Muestre que una partícula en la cuerda en x = 2.00 m ejecuta un movimiento armónico simple. b) Determine la frecuencia de oscilación de este punto particular.

Respuesta: (b) 3,18 hz

Sección 16.8 Rapidez de transferencia de energía por ondas senoidales en cuerdas

38. Una cuerda tensada tiene una masa de 0.180 kg y una longitud de 3.60 m. ¿Qué potencia debe proporcionarse a la cuerda para generar ondas senoidales con una amplitud de 0.100 m y una longitud de onda de 0.500 m, y para que viaje a una rapidez de 30 m/s?

39. Una onda bidimensional en el agua se distribuye en frentes de onda circulares. Demuestre que la amplitud A a una distancia r desde la perturbación inicial es proporcional a 1/ . (Sugerencia: Considere que la energía transportada por el rizo se mueve hacia afuera.)

40. Se generan ondas transversales en una cuerda sometida a tensión constante. ¿En qué factor la potencia requerida aumenta o disminuye si: a) la longitud de la cuerda se duplica y la frecuencia angular permanece constante, b) la amplitud se duplica y la frecuencia angular se reduce a la mitad, c) tanto la longitud de onda como la amplitud se duplican, y d) tanto la longitud de la cuerda como la longitud de onda se reducen a la mitad?

41. Se desea transmitir ondas senoidales de 5.00 cm de amplitud a lo largo de una cuerda que tiene una densidad de masa lineal de 4.00 x 102 kg/m. Si la fuente puede entregar una máxima potencia de 300 W y la cuerda está sometida a una tensión de 100 N, ¿cuál es la frecuencia de vibración más alta a la cual puede operar la fuente?

Respuesta: 55, 1 hz

42. Se encuentra que un segmento de 6.00 m de una cuerda larga contiene cuatro ondas completas y tiene una masa de 180 g. La cuerda está vibrando senoidalmente con una frecuencia de 50.0 Hz y un desplazamiento de pico a valle de 15.0 cm. (La distancia de pico a valle es la distancia vertical desde el desplazamiento positivo más lejano al desplazamiento negativo más lejano.) a) Escriba la función que describe esta onda viajera en la dirección positiva x. b) Determine la potencia suministrada a la cuerda.

43. Una onda senoidal sobre una cuerda se describe por medio de la ecuación: y = (0.15 m) sen (0.80 x 50 t) donde x y y están en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitud de esta cuerda es de


12.0 g/m, determine a) la rapidez de la onda, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, y d) la potencia transmitida a la onda.

Respuesta: (a) 62,5 m/s; (b) 7,85 m; (c) 7,96 Hz; (d) 21,1 W

44. Una cuerda horizontal puede transmitir una potencia máxima de P (sin romperse) si viaja por ella una onda con amplitud A y frecuencia angular . Con el fin de aumentar esta potencia máxima, un estudiante dobla la cuerda y utiliza esta "cuerda doble" como un transmisor. Determine la potencia máxima que puede transmitirse a lo largo de la "cuerda doble" suponiendo que la tensión es constante.

Sección 16.9 La ecuación lineal de onda

45. a) Evalúe A en la igualdad escalar (7 + 3)4 = A. b) Evalúe A, B y C en la igualdad vectorial 7.00 i + 3.00k = Ai + Bj + Ck. Explique cómo obtiene sus respuestas. c) La igualdad funcional o identidad A + B cos (C x + D t + E) = (7.00 mm) cos (3x + 4t + 2) es válida para todos los valores de las variables x y t, las que están medidas en metros y en segundos, respectivamente. Evalúe las constantes A, B, C, D y E. Explique cómo obtiene sus respuestas.

Respuesta: (a) 40,0; (b) A = 7,00; B = 0; C = 3,00

46. Demuestre que la función de onda y = eb(x v t) es una solución de la ecuación de onda (Ec. 16.26), donde b es una constante.

47. Demuestre que la función de onda y = ln [b(x v t)] es una solución a la ecuación 16.26, donde b es una constante.

Respuesta: Lo es si v = (T/)1/2

48. a) Demuestre que la función y(x, t) = x2 + v2 t2 es una solución a la ecuación de onda. b) Muestre que la función anterior puede escribirse como f (x + v t) + g (x v t) y determine las formas funcionales de f y g. c) Repita los incisos a) y b) para la función y(x, t) = sen (x) cos (v t).


49. La "ola" es un tipo particular de pulso de onda que puede algunas veces pro pagarse a través de la muchedumbre reunida en un estadio deportivo de futbol soccer o americano (Fig. PI6.49). Las partículas del medio son los espectadores, con el desplazamiento cero correspondiendo a sus posiciones sentados y su desplazamiento máximo a sus posiciones parados con los brazos levantados. Cuando una gran parte de los espectadores participa en el movimiento ondulatorio, se puede desarrollar algo parecido a un pulso estable. La rapidez de la onda depende del tiempo de reacción de las personas, el que es normalmente del orden de 0.1 s. Calcule el orden de magnitud, en minutos, del tiempo necesario para que este gran pulso de onda haga un circuito alrededor de un gran estadio deportivo. Establezca las cantidades que va a medir o calcular y sus valores. Figura P16.49 (Gn.gg Adams/ Tony Stone [magos)


Figura P16.49. (Gregg Adams/Tony StoneImages)

Respuesta: 1 min

50. Una onda viajera se propaga de acuerdo con la expresión y = (4.0 cm) sen (2.0 x 3.0 t), donde x se mide en centímetros y t en segundos. Determine: a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d) el periodo, y e) la dirección de propagación de la onda.

51. La función de onda para una onda viajera en una cuerda tensada es (en unidades del SI): y(x, t) = (0.350 m) sen (10t 3x + /4). a) ¿Cuáles son la rapidez y dirección de propagación de la onda? b) ¿Cuál es el desplazamiento vertical de la cuerda en t = 0, x = 0.100 m? c) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de la onda? d) ¿Cuál es la magnitud máxima de la rapidez transversal de la cuerda?

Respuesta: (a) 3,331 m/s; (b) 5,48 cm; (c) 0,667 m; 5,00 Hz

52. Se proyecta una película a 24.0 cuadros por segundo. Cada cuadro es una fotografía de 19.0 mm de altura ¿A qué rapidez constante pasa la película en el proyector?

53. Problema de repaso: Un bloque de masa M, soportado por una cuerda, descansa sobre un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal (Fig. P16.53). La longitud de la cuerda es L y su masa es m « M. Determine una expresión para el tiempo que tarda una onda transversal en viajar de un extremo de la cuerda al otro.

Figura P16.53


Respuesta: (L m/M g sen )1/2

54. a) Determine la rapidez de las ondas transversales en una cuerda sometida a una tensión de 80.0 N si la cuerda tiene una longitud de 2.00 m y una masa de 5.00 g. b) Calcule la potencia requerida para generar estas ondas si tienen una longitud de onda de 16.0 cm y una amplitud de 4.00 cm.

55. Problema de repaso: Un bloque de 2.00 kg cuelga de una cuerda de hule y se sostiene de modo que la cuerda no se estire. La longitud sin estirar de la cuerda es de 0.500 m y su masa es igual a 5.00 g. La "constante de resorte" para la cuerda es de 100 N/m. El bloque se suelta y se detiene en el punto más bajo. a) Determine la tensión en la cuerda cuando el bloque está en el punto más bajo. b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en esta posición "alargada"? c) Encuentre la rapidez de una onda transversal en la cuerda si el bloque se mantiene en esta posición más baja.

Respuesta: (a) 39,2 N; (b) 0,892 m; (c) 83,6 m/s

56. Problema de repaso: Un bloque de masa M cuelga de una cuerda de hule y se sostiene de modo que la cuerda no se estire. La longitud sin estirar de la cuerda es L0 y su masa es m, mucho menos que M. La "constante de resorte" para la cuerda es k. El bloque se suelta y se detiene en el punto más bajo. a) Determine la tensión en la cuerda cuando el bloque está en el punto más bajo. b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en esta posición "alargada"? c) Encuentre la rapidez de una onda transversal en la cuerda si el bloque se mantiene en esta posición más baja.

57. Una onda senoidal en una cuerda se describe mediante la función de onda y = (0.20 m) sen (0.75 x + 18 t], donde x y y están en metros y t en segundos. La cuerda tiene una densidad de masa lineal de 0.250 kg/m. Si la tensión en la cuerda la proporciona un arreglo similar al que se ilustra en la figura 16.12, ¿cuál es el valor de la masa suspendida?

Respuesta: 14,7 kg

58. Un alambre de densidad se afila de manera que su área de sección transversal varíe con x, de acuerdo con la ecuación A = (1.0 x 105 x + 0.010) cm2. a) Si el alambre se somete a una tensión T, obtenga una relación para la rapidez de onda como una función de la posición. b) Si el alambre es aluminio y se somete a una tensión de 24.0 N, determine la rapidez en el origen y en x = 10.0 m.

59. Una cuerda de masa total m y longitud L se suspende verticalmente. Demuestre que un pulso de onda transversal recorrerá la longitud de la cuerda en un tiempo t = (Sugerencia: Encuentre primero una expresión para la rapidez de onda en cualquier punto a una distancia x del extremo inferior considerando la tensión en la cuerda como resultado del peso del segmento debajo de ese punto.)

60. Si la masa M se suspende de la parte inferior de la cuerda del problema 59, a) demuestre que el tiempo

necesario para que la onda transversal recorra la longitud de la cuerda es:

b) Demuestre que esto se reduce al resultado del problema 59 cuando M = 0. c) Demuestre que para m «

M, la expresión en el inciso a) se reduce a:

61. En el problema 59 se estableció que un pulso de onda viaja desde la parte inferior hasta la superior de una cuerda de longitud L en un tiempo t = 2 . Use este resultado para responder las siguientes preguntas. (No es necesario efectuar ninguna nueva integración.) a) ¿Cuánto tiempo tarda un pulso de onda en recorrer la mitad de la cuerda? (Dé su respuesta como una fracción de la cantidad t = 2 ) b) Un pulso empieza a viajar por la cuerda. ¿Qué distancia ha recorrido después de un tiempo

Respuesta: (a) (0,707) 2 (L/g)1/2; (b) L/4

62. Determine la rapidez y dirección de propagación de cada una de las siguientes ondas senoidales, suponiendo que x se mide en metros y t en segundos. a) y = 0.60 cos (3.0 x 15 t + 2) b) y = 0.40 cos (3.0 x + 15t 2) c) y = 1.2 sen (15 t + 2.0 x) d) y = 0.20 sen (12 t x/2 + )


63. Problema de repaso Un alambre de aluminio se sujeta en cada extremo bajo una tensión cero a temperatura ambiente. La tensión en el alambre se incrementa al reducir la temperatura, lo cual origina una disminución en la longitud de equilibrio del alambre. ¿Qué deformación (L/L) se produce en una rapidez de onda transversal de 100 m/s? Considere el área de la sección transversal del alambre igual a 5.00 x 106 m2, la densidad del material como 2.70 x 103 kg/m3 y el módulo de Young de 7.00 x 1010

N/m2.

Respuesta: 3,86 x 104

64. a) Demuestre que la rapidez de ondas longitudinales a lo largo de un resorte de constante de fuerza k es v = , donde L es la longitud sin alargar del resorte y es la masa por unidad de longitud. b) Un resorte de 0.400 kg de masa tiene una longitud sin alargar de 2.00 m y una constante de fuerza de 100 N/m. Utilizando los resultados obtenidos en el inciso a) determine la rapidez de ondas longitudinales a lo largo de este resorte.

65. Una cuerda de longitud L consta de dos secciones. La mitad izquierda tiene una masa por longitud unitaria = 0/2 , en tanto que la derecha tiene una masa por unidad de longitud .' = 3. = 30/2. La tensión en la cuerda es T0. Advierta, según los datos proporcionados que esta cuerda tiene la misma masa total que una cuerda uniforme de longitud L y masa por unidad de longitud 0. a) Encuentre la rapidez en términos v y v’ cuyos pulsos de onda transversales viajan en las dos secciones. Exprese la rapidez en términos de T0 y 0, y también como múltiplos de la rapidez v0 = (T0/0)1/2. b) Encuentre el tiempo necesario para que un pulso viaje de un extremo al otro de la cuerda. Dé su resultado como un múltiplo de t0 = L/v0.

Respuesta:

66. Un pulso de onda que viaja a lo largo de una cuerda de densidad de masa lineal . se describe por medio de la relación: y = [A0 eb x] sen (k x t) donde se afirma que los factores entre corchetes antes de la función seno corresponden a la amplitud. a) ¿Cuál es la potencia P(x) que transporta esta onda en el punto x? b) ¿Cuál es la potencia que transporta esta onda en el origen? c) Calcule la razón P(x)/P(O).

67. Un temblor en el suelo del océano en el Golfo de Alaska produce un tsunami (algunas veces llamado una "onda de marea") que alcanza a Hilo, Hawaii, que está a 4 450 km, en un tiempo de 9 h 30 min. Los tsunamis tienen longitudes de onda enormes (100 200 km) y la rapidez de propagación de estas ondas es v = donde d es la profundidad promedio del agua. A partir de la información proporcionada encuentre la rapidez promedio de la onda y la profundidad promedio del océano entre Alaska y Hawaii. (Este método fue usado en 1856 para calcular la profundidad promedio del Océano Pacífico mucho antes de que se hicieran resonancias sonoras para obtener mediciones directas.)

Respuesta: 130 m/s; 1,73 km

RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS SORPRESA

16.1 a) Ésta es longitudinal porque la perturbación (el corrimiento de la posición) es paralela a la dirección en la que viaja la onda. b) Esta es transversal porque la persona se para y se sienta (movimiento vertical), mientras que la onda se mueve, ya sea a la izquierda o la derecha (movimiento perpendicular a la perturbación).

16.2


16.3 Sólo las respuestas f) y h) son correctas. Las respuestas a) y b) afectan la rapidez transversal de la partícula en la cuerda, pero no afectan la rapidez de la onda a lo largo de la cuerda. Las respuestas c) y d) cambian la amplitud. Las respuestas e) y g) aumentan el tiempo al disminuir la rapidez de la onda.

16.4 La rapidez transversal aumenta porque vy,máx = A = 2 f A. La rapidez de la onda no cambia porque depende sólo de la tensión y de la masa por longitud de la cuerda y ninguna de éstas se ha modificado. La longitud de onda debe disminuir, ya que la rapidez de la onda v = f permanece constante.

Oscialciones y Ondas

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