P. Máster: Tecnología y Sistemas de comunicaciones Asignatura: … 2010... · 2010-03-04 · 4.1...
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P. Máster: Tecnología y Sistemas de comunicacionesAsignatura: Temas avanzados sobre RadiaciónAsignatura: Temas avanzados sobre Radiación,
Propagación y Dispersión de ondas electromagnéticas
h // /d i /d d / d
TEMA 1: Ecuaciones y principios electromagnéticos en radiación y dispersión
1
http://www.gr.ssr.upm.es/docencia/doctorado/prdoe
Manuel Sierra Castañer: [email protected] (C-410)
1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera2 Obtención de los potenciales retardados
Índice
2. Obtención de los potenciales retardados3. Radiación de un elemento de corriente 4. Principios y teoremas del electromagnetismo
4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema de reciprocidad 4.5 Teorema de reacción4.6 Teorema de equivalencia volumétrica
2
4.7 Teorema de equivalencia superficial 4.8 Teorema de inducción 4.9 Teorema de equivalencia física
Bibliografía: C.A. Balanis. “Advanced Engineering Electromagnetics”. Capítulos 6 y 7. Ed. John Wiley and Sons. 1989.
Pioneros del electromagnetismo
1 5
3
Ejercicio 1: ¿Quién es quién?
2
3 4
6
BjE
Ley de Faraday
L d A li d
CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico
H: Intensidad de campo magnético
1. Ecuaciones de Maxwell
HB
ED
0jJ
0B
D
JDjH
Ley de Amper generalizada
Ley de Gauss
Continuidad de Flujo Magnético
Ecuación de Continuidad
EcuacionesConstitutivasde la Materia
FUENTES: Densidad de carga eléctrica
J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción
MEDIO
D: Inducción de campo eléctricoB: Inducción de campo magnético
4
EJc
de la Materia: Permitividad eléctrica
: Permeabilidad magnética: Conductividad
j1jJE
jjH
EJ
cext
c
Permitividad Complejaen un medio con pérdidas
Condiciones de Frontera deConductor Perfecto.
Condiciones de Frontera deConductor Real
j1Zf1
1. Condiciones de frontera
0H0Hn
0E0En
nor
tan
Dn
HnJ
s
s
n
sJ
tanH0H
0E
0H0Hn
HZEn
nor
tans
n
J
tanH
z
e
J
H
E
Zf1 s
2
sdis JZRe2
1HERe
2
1P
tanEz
5
Condiciones de Fronteraentre dos Dieléctricos
n
1 2
21
21
21
21
BnBn
DnDn
HnHn
EnEn
1. Ecuaciones de Maxwell
EjJH
HjME
Ecuaciones de Maxwell generalizadas en un medio h é i l
mH
E
homogéneo: incluyen corrientes y cargas magnéticas equivalentes
Si se desarrollan, llegamos a las ecuaciones de onda vectoriales de E y H:
1
6
HMjJHH
HMjJH
HjMJHj
1
22
2
1JjMEE
1MjJHH
22
m22
2. Potenciales retardados (I)
7
• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell. Haciendo M=0 y m=0:
2. Potenciales retardados (II)
– (potencial vector magnético)
– (potencial escalar eléctrico)
A
AB0B
ya que 0A
AjE
BjE
8
AjE0AjE
AjE
ya que 0
AjE
EjJHEjJH
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:
2. Potenciales retardados (III)
jAJAA
AAA
AjjJA
2
JAA
0jA2
• Condición de Lorentz (fijación de A)• Ecuación de Helmholtz para A
0jAED
9
2
0jA
Aj
Aj
ED
j
AAjE
0jA
AjE
Hj
1E
Fuera de
las Fuentes
• Se puede hacer lo mismo con las corrientes y cargas magnéticas (J=0, =0)
– (potencial vector eléctrico)F
F1
EFD0F0D
2. Potenciales retardados (IV)
– (potencial escalar magnético)m
FEFD0F0D
FjH0FjH
FjF1
jH
EjH
10
mFjH0FjH ya que 0m
FjE m
HjMEHjME
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:
2. Potenciales retardados (V)
m2
m
jFMFF
FFF
FjHjMF
jj
MFF
0jF2
m
• Condición de Lorentz (fijación de F)• Ecuación de Helmholtz para F
0jFHB
11
mm
2m
m
mm
mm
mm 0jF
Fj
Fj
HB
j
FFjH
0jF
FjH
m
m
Ej
1H
Fuera de
las Fuentes
2. Potenciales retardados (VI)
Para calcular los campos totales E y H, aplicamos el principio de superposición:
A1
Fj
FjHHH
F1
Aj
AjEEE
FA
FA
12
3. Radiación de un elemento de corriente (I)
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en elseno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas. z rz r
• Como en la ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:
• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
Idl
x y
00 ,J I dS
dV dl dSz Idl
x y
00 ,J I dS
dV dl dSz
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
z0z20
z22 JAk
dr
dAr
dr
d
r
1
z0z20
0022
0
020 JAk
k
rJrAkrA
13
La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
Propagación hacia el
Propagación hacia el origen
La solución física del problema de radiación
Idl4
dVJ4
C 0z
01
Integrando la Ecuación Completasobre una esfera de r 0
La solución física del problema de reflexión
r
eCrA
r
eCrA
rjk
22z
rjk
11z
0
0
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
1
A1
H0
z
senˆcosrIdle
Arjk
00
Sustituyendo
3. Radiación de un elemento de corriente (II)
Hj
1E
0
sencosrIdlr4
A
rjk32
020
320
0
rjk0r
0
0
er
1
r
jk
r
k
2
senˆr
1
r
jkcosr
k2
IdljE
er
1jk
r4
senIdlˆArAr
ˆH
ˆr4
esendlIkjE
ˆr4
esendlIjkH
rjk
0
rjk
0
0
0
Si k0r>>1 (r>>) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
C d di ió
14
• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):
0 Campos de radiación:E r, H r, E H
S E H r I dl
k
r
1
2 322 2
2 2
2 2Re sen*
• Una distribución real de corriente
se supone formada por infinitos elementos P
z
j J r
r r dV P
z
j J r
r r dV
3. Radiación de una antena
dV de corriente J situados en r’.
• El potencial total radiado será la superposición.
dVrJrr
e
4rAd
rrjk0
0
r
x y
r
'rr
x y
r
'r
15
V
rrjk0 Vd
rr
erJ
4rA
0
S
rrjks0 Sd
rr
erJ
4rA
0
L
rrjk0 ld
rr
erI
4rA
0
Volumen Superficie Línea
• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max r >>, r (2D2)/
r r r
2 2 1 22 1 2
2 12
rrjk
0 erJ 0
3. Radiación de una antena (II)
R r r r r r r rr
r
r r
r
2 2 2 12
S
rrjks
rjk0 SderJ
r
e
4rA 0
0 R r
r r
rr r r
1
1
2
2
S
s0 Sdrr
erJ
4rA
r rmax
16
• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:
Hj
r A Hr E
E j r A r E H r
E H
E r
H r
r
P
x y
z
j
r
J r
r r
'rr
P
x y
z
j
r
J r
r r
'r
• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura
3. Radiación de una antena (III)
– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:
R r r
Js
P
R r r
Js
P
R r r r r r
17
r
r r
r
r
r r
r
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
1. Teorema de dualidad
18
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
1. Teorema de dualidad: aplicación práctica
Dipolo eléctrico Dipolo magnético Cuadro eléctrico
Idl
x y
z r
00 ,
x y
z r
00 ,
dlIm2b2C
b
Io()
19
ˆ4
ˆ4
0
0
0
0
r
edlsenIkjE
r
edlsenIjkH
rjk
rjk
ˆ4
ˆ4
0
0
0
0
re
dlsenIk
jH
re
dlsenIjkE
rjk
m
rjk
m
Nota: los dipolos magnéticos se utilizan para representar los cuadros eléctricos, y generan los mismos campos radiados, haciendo:
ˆr4
esenIbkH
ˆr4
esenIbkE
rjk
o2
0
rjk
o2
0
0
0
o2
m IbjdlI
2. Teorema de unicidad En una región V, sin fuentes y con pérdidas, los campos E y H en dicha región son únicos y
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
E,Hv
S
Et, Ht
campos E y H en dicha región son únicos y quedan determinados:
- si se conocen las componentes tangenciales de E en la frontera S
-si se conocen las componentes tangenciales de H en la frontera S
- si se conocen en una parte de la frontera las componentes tangenciales de E y en la otra las d
20
de H.
- En un medio sin pérdidas se analiza como el límite cuando las pérdidas tienden a 0.
Aplicación práctica:
• De aquí se derivan los principios de equivalencia.
3. Teoría de imágenes
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
J
J
Resultadosválidos sólo para z 0
dV
Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido
dV
dV
h
h
z
E zt 0 0
Cargas y Corrientes Imágenes
>< E zt 0 0
21
J i
i
i
x y z
i x y z
J J x J y J z
J J x J y J z
Cargas y Corrientes Imágenes
zMyMxMJ
zMyMxMM
zyxi
zyx
mm,i
m
Si el conductor es magnético perfecto, los resultados son los duales.
3. Teoría de imágenes: aplicación práctica
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
><V
IIN
z
h I(z)
2V
IIN
z
2h
IIN
I(z)
><
I1
z
h
z
I1
h
I2=-I1h
22
MonopoloDipolo sobre un plano conductor
4. Teorema de reciprocidad
Dados dos conjuntos de corrientes eléctricas y magnéticas que radian un campo simultáneamente l i di l i f i l t d i id d l i l
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
en el mismo medio y a la misma frecuencia, el teorema de reciprocidad relaciona los campos creados por ambos conjuntos con dichas corrientes.
11 M,J 11 H,E
22 M,J 22 H,E
dvMHJEdvMHJEv
1212v
2121
Si
23
Aplicación práctica:• Propiedades en recepción son las mismas que en transmisión.• En medidas en campo próximo existe relación entre modos esféricos en transmisión y recepción
El teorema de reciprocidad en circuitos equivale a decir que las posiciones de un fuente de tensión ideal y de una fuente de corriente ideal se pueden intercambiar sin afectar el comportamiento.
nmsm
smn TR )()1(
5. Teorema de reacción
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
v 2121 dvMHJE2,1
v 1212 dvMHJE1,2
1,22,1
En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida en una fuente j debida a unafuente i multiplicada por el voltaje aplicado a dicha fuente i, es igual a la corriente inducida
24
en la fuente i, debida a la fuente j, multiplicada por el voltaje aplicado a la fuente j.
5. Teorema de reacción: aplicación práctica
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
V
V
Z Z Z
Z Z Z
I
IN
N
1
2
11 12 1
21 22 2
1
2
I1
I2
V1VN
IN
...
• Análisis de acoplos en arrays de antenas: jiij ZZ
25
• En obtención de la matriz del método de los momentos, sólo tienes que obtener la mitad superior/inferior de la matriz del sistema, porque las otras interacciones son las mismas.
V Z Z Z IN N N NN N1 2
V2
6. Teorema de equivalencia volumétrica
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
11 M,J oo H,E
11 M,J so EEE
so HHH
En el vacío:
Si se introduceun material (, ) :
eqeqss M,JH,E
EjJ oeq
26
HjM oeq
Aplicación práctica:
• Formulación volumétrica en método de los momentos para el cálculo de RCS, de modo que el mismo operador para medio dieléctrico te vale para medio conductor, sustituyendo el medio por Jeq y/o Meq.
7. Teorema de equivalencia superficial: principio de Huygens
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
Configuración física Campos internos y corrientes en la superficie
HE, HE,
11 H,E
)(ˆ)(ˆ
1
1E EnM
H HnJ
s
s
n
Principio de equivalencia de Love Situación con conductor eléctrico perfecto
27
p q
HE,
00,
E nMHnJ
ˆ
ˆ
s
sn
HE,
PEC
EnM ˆsn
p
Nota: se podría hacer lo dual con un conductor magnético perfecto
Análisis de una guía abierta o de una ranura sobre plano conductor
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica
><as EnM ˆ
aE sJ ><as EnM ˆ
0sJ
PEC PECAire Aire Aire
as EnM ˆ
Aire Aire
><
Aire
0sJ)(imagen
Ms
as EnM ˆ2
Aire Aire
0sJ><
28
0sMsJ
0sM0sJ
0sM 0sM0sJ 0sJ
Transformación de campo próximo adquirido a campo lejano calculado en medida de
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica
antenas
dipolew
Campo radiado por la f
29
antena en el infinito
8. Teorema de inducción (para dispersión)
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
a) Situación sin obstáculo b) Si se introduce un obstáculo
n
c) Principio de equivalencia d) Despejando H y E
J1
M1
1 1
1 1E1,H1
E1,H1
J1
M1
1 1
E=E1+Es
H=H1+HsEt,Ht
2 2
30)(ˆ
)(ˆts
ts
E EnM
H HnJ
i
i
c) Principio de equivalencia
1
1
E nM
HnJ
ˆ
ˆ
i
i
n n
d) Despejando H1 y E1
Et,Ht
2 2
Es, Hs
Et,Ht
2 2
1 11 1
Teorema equivalente de inducción para la dispersión de una placa conductora
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
8. Teorema de inducción (para dispersión): aplicación práctica
q p p pinfinitamente extensa:
><0 tt HE
Aire PEC
1ˆ2 EnMi
Aire Aire
1ˆ EnMi
ss HE ,
31
9. Teorema de equivalencia física (para dispersión)
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
E=E +Es Es Hs
PEC
n
J1
M1
1 1
E=E1+Es
H=H1+Hs
Et=Ht=0
0
ˆ
pM
H nJpn
1 1
E , H
-E1,-H1
1 1
32
p
a) Problema físico de dispersión de PEC
b) Problema equivalente
9. Teorema de equivalencia física (para dispersión): aplicación práctica
Formulación de óptica física para cálculo de el campo dispersado por un objeto (placa
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
Formulación de óptica física para cálculo de el campo dispersado por un objeto (placa metálica infinita).
><0 tt HE
Aire PEC
0
ˆ2 1
p
M
HnJ
Aire Aire
1ˆ EnMi
ss HE ,
33
0pM