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Modelado de sistemas mecatrnicos
INSTITUTO TECNOLGICO DE
LA LAGUNA
MODELADO DE SISTEMAS
MECATRNICOS
ANLISIS DE FLUJO EN TUBERIAS
ISMAEL MEDINA LPEZ
10131135
ESPECIALIDAD
ING. ELECTRNICA
CATEDRTICO
ING. FRANCISCO JURADO ZAMARRIPA
FECHA DE ENTREGA:
Torren, Coahuila de Zaragoza a 18 de Septiembre de 2013
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Modelado de sistemas mecatrnicos
OBJETIVO
Comprender los conceptos claves de integracin, los cuales son fundamentales para
resolver un gran nmero de problemas de ingeniera y ciencias. De acuerdo al
planteamiento de los problemas, estos se resolvern en forma analtica y mediante tcnicas
de integracin numrica, as mismo, se comprobaran los resultados de cuadratura con los
analticos presentando las funciones que calculen las soluciones en Matlab.
Material y equipo utilizado
Herramienta software Matlab (MATrix LABoratory).
Computadora personal.
INTRODUCCIN
Integracin numrica
La integral de una funcin f(x) en el intervalo [a, b] se define como el rea bajo la curva de
f(x) entre a y b, como se muestra en la figura, si el valor de esta integral es K la notacin
para representarlo es:
K
a
b
xf x( )
d
Figura 1. Integral de f(x) de a a b.
En el caso de muchas funciones, esta integral puede integrarse analticamente. Sin
embargo, para otras muchas el clculo analtico es muy difcil. Por lo que se requiere una
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Modelado de sistemas mecatrnicos
tcnica numrica para estimar su valor. La evaluacin numrica de una integral se
denomina cuadratura, nombre que proviene de un antiguo problema de geometra.
Las tcnicas de integracin numrica estiman la funcin f(x) mediante otra funcin g(x), la
cual se escoge de modo que sea fcil calcular el rea bajo g(x). As, cuanto mejor sea la
estimacin de f(x) con g(x), mejor ser la estimacin de la integral de f(x). Dos de las
tcnicas de integracin numrica ms comunes estiman f(x) con una serie de funciones
seccionalmente lineales o de funciones seccionalmente parablicas. Si estimamos la
funcin con funciones seccionalmente lineales, podremos calcular el rea de los trapecios
que constituyen el rea bajo las funciones lineales fragmentarias; esta tcnica se llama regla
de los trapecios. Si estimamos la funcin con funciones seccionalmente cuadrticas,
podremos calcular y sumar las reas de los componentes; esta tcnica se denomina regla de
Simpson.
Funciones de cuadratura
Matlab cuenta con dos funciones de cuadratura para realizar integracin numrica de
funciones. La funcin quad utiliza una forma adaptiva de la regla de Simpson y, quadl usa
un regla de Newton-Cotes adaptiva de 8 paneles.
Las formas ms sencillas de las funciones quad y quadl requiere tres argumentos. El primer
es el nombre (entre apstrofos) dela funcin Matlab que devuelve un vector de valores de
f(x) cuando se le proporciona un vector de valores de entrada. El nombre de la funcin
puede ser el nombre de otra funcin Matlab, como sin, o puede ser el nombre de una
funcin Matlab escrita por el usuario. El segundo y tercer argumento son los lmites de
integracin a y b. He aqu un resumen de estas funciones:
quad(nombre_funcion,a,b)
quadl(nombre_funcion,a,b)
Devuelve el rea bajo la funcin entre a y b
usando una forma de la regla de Simpson.
Devuelve el rea bajo la funcin entre a y b
usando una regla de Newton-Cotes adaptiva
de ocho paneles. Esta funcin es mejor que
quad para manejar algunas funciones que
tienen singularidad.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
DESARROLLO
Dibuje la funcin f(x) = |x| e indique las reas especificadas por las siguientes integrales.
Luego calcule las integrales a mano y compare sus resultados con los generados por la
funcin quad y quadl.
1. 0.5
0.6
xx
d
2. 0
1
xx
d
3. 1
0.5
xx
d
4. 0.5
0.5
xx
d
Creacin de la grfica de la funcin f(x)= |x|
>> clear all
>> t=-10:0.01:10;
>> x=abs(t);
>> plot(t,x)
>> axis([-2 2 0 2])
>> grid on
>> title('Funcion de valor absoluto |x|')
>> xlabel('x')
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Comparacin de los resultados de las funciones de cuadratura con los
resultados analticos para un intervalo especificado por el usuario.
Programa
La siguiente funcin compara las funciones de cuadratura con los resultados analticos para
la integracin del valor absoluto de x (|x|) dentro de un intervalo (a, b), donde a y b pueden
ser reales positivos o negativos.
function cuadratura_abs
a=input('Indique el extremo izquiedo (no negativo): '); b=input('Indique el extremo derecho (no negativo): '); Analitico=(1/2)*((b^2)*sign(b)-(a^2)*sign(a)); Numerico1=quad('abs',a,b); Numerico2=quadl('abs',a,b); fprintf('\nAnalitico: %f ',Analitico) fprintf('\nNumerico1: %f ',Numerico1) fprintf('\nNumerico2: %f ',Numerico2) fprintf('\n \n')
end
1. 0.5
0.6
xx
d
Grafica
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Resultados (analtico y con funciones de cuadratura)
>> Cuadratura
Indique el extremo izquierdo (no negativo): 0.5
Indique el extremo derecho (no negativo): 0.6
Analtico: 0.055000
Numerico1: 0.055000
Numerico2: 0.055000
2. 0
1
xx
d
Grafica
Resultados (analtico y con funciones de cuadratura)
>> Cuadratura
Indique el extremo izquierdo (no negativo): 0
Indique el extremo derecho (no negativo): 1
Analtico: 0.500000
Numerico1: 0.500000
Numerico2: 0.500000
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Modelado de sistemas mecatrnicos
3. 1
0.5
xx
d
Grafica
Resultados (analtico y con funciones de cuadratura)
>> Cuadratura
Indique el extremo izquierdo (no negativo): -1
Indique el extremo derecho (no negativo): -0.5
Analtico: 0.375000
Numerico1: 0.375000
Numerico2: 0.375000
4. 0.5
0.5
xx
d
Grafica
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Resultados (analtico y con funciones de cuadratura)
>> Cuadratura
Indique el extremo izquierdo (no negativo): -0.5
Indique el extremo derecho (no negativo): 0.5
Analtico: 0.250000
Numerico1: 0.250000
Numerico2: 0.250000
Problemas
Anlisis de flujo en tuberas
Estos problemas se relacionan con el anlisis de flujo en un oleoducto.
1. Modifique la funcin velocity de modo que r0 y n tambin sean argumentos de la
funcin.
Aclaracin: dado que se pretende que los parmetros r0 (radio del tubo) y n (forma
de flujo de petrleo hacia adelante) sean parmetros de la funcin velocity, dentro
del cuerpo de esta no se especificaran los valores de dichos parmetros como
valores constantes, sino que el usuario los proporcionara para los fines deseados.
Programa
function v=velocity(r,r0,n)
v=r.*(1-r/r0).^(1/n);
end
Como puede observarse, tanto r0 y n pertenecen al argumento de la funcin (parmetros de
entrada).
Comprobacin del programa
Si suponemos que le valor de r0 es 0.5 metros y que el valor de n es 8, adems supondremos
una velocidad mxima (Vmax) es 1.5 m/s, el valor de la velocidad media est dada por las
siguientes instrucciones en Matlab:
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Modelado de sistemas mecatrnicos
>> Vmax=1.5;
>> r0=0.5;
>> n=8;
>> Integral=quad(@(r)velocity(r,r0,n),0,0.5)
Integral =
0.1046
>> ave_velocity=(2*Vmax/(r0^2))*Integral
ave_velocity =
1.2548
2. Genere una tabla que muestre la velocidad de flujo media para una tubera usando
los valores enteros de n desde 5 hasta 10. Use la funcin del problema anterior.
Observaciones: para conseguir solucionar el problema anterior, se opt por realizar
una funcin (archivo.m), la cual al ser llama desde el Command Windows de Matlab
proporciona automticamente los valores de la velocidad media (Vmed) para los
diferentes valores del parmetro n que van de 5 hasta 10. Cabe destacar que la
funcin definida a su vez invocara a la funcin velocity para poder realizar el
clculo de la integral numrica. El nombre del archivo es tabla_n, refirindose a los
valores que generara a partir de los cambios en el parmetro n.
Programa
Vmax=1.5; r0=0.5;
for n=5:10
integral=quad(@(r)velocity(r,r0,n),0,r0); ave_velocity=(2*Vmax/(r0^2))*integral;
fprintf('\nn= %f Integral= %f Velocidad Media= %f
\n',n,integral,ave_velocity)
end
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Comprobacin del programa
>> tabla_n
n= 5.000000 Integral= 0.094692 Velocidad Media= 1.136299
n= 6.000000 Integral= 0.098894 Velocidad Media= 1.186722
n= 7.000000 Integral= 0.102074 Velocidad Media= 1.224884
n= 8.000000 Integral= 0.104564 Velocidad Media= 1.254763
n= 9.000000 Integral= 0.106573 Velocidad Media= 1.278873
n= 10.000000 Integral= 0.108218 Velocidad Media= 1.298617
Tabla de valores
Vmax r0 n Vmed
1.5 0.5 5 1.1362
1.5 0.5 6 1.1867
1.5 0.5 7 1.2248
1.5 0.5 8 1.2547
1.5 0.5 9 1.2788
1.5 0.5 10 1.2986
3. Genere una tabla que muestre la velocidad de flujo media para tuberas con radios
de 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0 m. suponga que los dems parmetros no cambian respecto a
los valores especificados en el problema original. Use la funcin del problema 1.
Programa
Vmax=1.5; n=8;
for r0=0.5:0.5:2
integral=quad(@(r)velocity(r,r0,n),0,r0); ave_velocity=(2*Vmax/(r0^2))*integral;
fprintf('\nr0= %f Integral= %f Velocidad Media= %f
\n',r0,integral,ave_velocity)
end
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Comprobacin del programa
>> tabla_r0
r0= 0.500000 Integral= 0.104564 Velocidad Media= 1.254763
r0= 1.000000 Integral= 0.418291 Velocidad Media= 1.254872
r0= 1.500000 Integral= 0.941166 Velocidad Media= 1.254888
r0= 2.000000 Integral= 1.673194 Velocidad Media= 1.254896
Tabla de valores
Vmax r0 n Vmed 1.5 0.5 8 1.2547
1.5 1.0 8 1.2548
1.5 1.5 8 1.2548
1.5 2.0 8 1.2548
Observaciones: la velocidad media de flujo para tuberas con radios distintos, como los
observados en este programa, no se ve afectada demasiado, es decir, en todos los casos el
valor de la velocidad media sigue siendo similar.
4. Modifique el programa creado de modo que el usuario pueda introducir el valor de
Vmax.
Programa
Para el programa presentado a continuacin, el usuario tendr la posibilidad no solo de
cambiar la velocidad mxima (Vmax), sino que tambin tendr las opciones de introducir
nuevos valores para los parmetros r0 y n. Con la restriccin que este ltimo solo aceptara
valores de 5 a 10.
Vmax=input('\n Introdusca el valor de la Velocidad Maxima (Vmax): '); n=input('\n Introdusca el valor del parametro n ( solo valores enteros
entre 5 y 10): '); r0=input('\n Introdusca el radio del tubo (r0): ');
if (n=5)
integral=quad(@(r)velocity(r,r0,n),0,r0); ave_velocity=(2*Vmax/(r0^2))*integral;
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Modelado de sistemas mecatrnicos
fprintf('\nVmax= %f Integral= %f Velocidad Media= %f
\n',Vmax,integral,ave_velocity);
else
fprintf('\n El valor del parametro n esta fuera del rango especificado
\n');
end
Comprobacin del programa
>> velocidad_media
Introdusca el valor de la Velocidad Maxima (Vmax): 1.5
Introdusca el valor del parametro n ( solo valores enteros entre 5 y
10): 8
Introdusca el radio del tubo (r0): 0.5
Vmax= 1.500000 Integral= 0.104564 Velocidad Media= 1.254763
Para un valor de n fuera del rango (n=11)
>> velocidad_media
Introdusca el valor de la Velocidad Maxima (Vmax): 1.5
Introdusca el valor del parametro n ( solo valores enteros entre 5 y
10): 11
Introdusca el radio del tubo (r0): 0.5
El valor del parametro n esta fuera del rango especificado
Conclusin
En esta prctica nos ocupamos del flujo de petrleo en un oleoducto, pero el anlisis del
flujo en un lquido en un tubo circular se aplica a muchos sistemas distintos, como son las
venas y arterias del ser humano, el suministro de agua de una ciudad, el sistema de
irrigacin de una granja, el sistema de tuberas que transporta fluido en una fbrica, las
lneas hidrulicas de un avin y el chorro de tinta de una impresora para computadora.
La friccin en una tubera circula origina un perfil d velocidad del petrleo al fluir. El
petrleo que est en contacto con las paredes del tubo no se est moviendo, mientras que el
petrleo que est en el centro se est moviendo con velocidad mxima.
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Modelado de sistemas mecatrnicos
Bibliografa
Soluciones de problemas de ingeniera con Matlab.
Dolores M. Etter