Diseño de filtros en el dominio de la frecuencia aplicado al procesamiento de imágenes digitales.

Filter design in frequency domain applied to digital image processing.

RESUMEN

Se presenta un artículo que tiene como objetivo observar las variaciones de una

imagen digital en escala de grises, luego de haber sido procesada en sistemas de

filtrado creados por medio de la “transformada discreta de Fourier (DFT,

Discrete Fourier Transform)” en el entorno de desarrollo matemático MATLAB.

El análisis se desarrolla por completo en el dominio de la frecuencia. El enfoque

se hará en el diseño de filtros pasa-bajas (LPF, Low-pass filter) y filtros pasa –

altas (HPF, High-pass filter), en sus formas ideal, y Butterworth, que tendrán por

objeto suavizar las imágenes y realizar detección de bordes.

PALABRAS CLAVE: Procesamiento de Imágenes Digitales, Transformada

Discreta de Fourier, Aplicaciones de MATLAB, Filtro Butterworth, Filtro Ideal.

ABSTRACT

This paper aims to observe the variations of a digital image in gray scale, after

being processed into filter systems created by the “Discrete Fourier Transform”,

in the environment of mathematical development MATLAB. The analysis takes

place entirely in the frequency domain. The focus will be on the design of low-

pass filters (LPF) and high-pass filters (HPF), in their ideal and Butterworth

forms, which will aim to soften images and perform edge detection.

KEYWORDS: Digital Image

Processing, Discrete Fourier Transform,

MATLAB Applications, Butterworth

Filter, Ideal Filter.

ANDREA REBECA

MONTERO FUENTES

Bachiller.

Estudiante de Ingeniería de

Telecomunicaciones.

Universidad Rafael Urdaneta.

andrebfu@gmail.com

JESÚS ALEJANDRO

GONZÁLEZ CAÑAS

Bachiller.

Estudiante de Ingeniería de

Telecomunicaciones.

Universidad Rafael Urdaneta.

jesusalejandro900@gmail.com

1. INTRODUCCIÓN.

La transformada de Fourier como

herramienta matemática constituye la base del

procesamiento digital de imágenes en el dominio

de la frecuencia. Constituye ésa la razón de que

se desarrollen constantemente nuevos y mejores

métodos numéricos para su determinación.

En el este artículo se analiza la transformada

de Fourier para el diseño de filtros en

frecuencia que permitan el procesamiento de

imágenes.

Dependiendo del tipo de filtrado, se

conseguirá realzar las frecuencias espaciales

altas o bajas, de modo que al revertir el cambio

al dominio espacial, las imágenes que

contengan formas geométricas sencillas habrán

pasado un proceso de segmentación, y de la

misma manera podrá conseguirse un realce de

1

bordes poco definidos, o bien una reducción del

ruido, dependiendo del caso que sea tratado.

A partir de este punto, el trabajo se

estructura de la siguiente manera:

Una sección denominada “Marco Teórico”,

en la que se exponen los fundamentos

matemáticos y metodológicos más relevantes que

dan soporte a este trabajo.

Una sección llamada “Procedimientos”, que

describe la secuencia de pasos realizados durante

la experimentación.

Otra sección siguiente, “Resultados y

Análisis”, expone las observaciones que surgen

durante la fase experimental, y sus respectivos

análisis lógicos y matemáticos.

La última sección, “Conclusiones”, recopila

dos resúmenes sobre todo lo que se expone,

desde los puntos de vista de los autores del

presente artículo.

2. MARCO TEÓRICO.

2.1. Transformada de Fourier discreta

bidimensional

La transformada de Fourier discreta

bidimensional (DFT-2), es una extrapolación del

concepto que tiene para una única dimensión. Se

aplica a distribuciones espaciales discretas, y

transforma a un sistema discreto de frecuencias,

en dos dimensiones.

Matemáticamente se define como:

F (u , v )=∑x=0

M−1

∑y=0

N−1

f (x , y )∙ e− j2 π (ux

M+ vy

n)(1)

Donde M x N es el tamaño de la distribución

espacial de la imagen. Obsérvese que en el

dominio de la frecuencia, se produce una

distribución del mismo tamaño de la función

espacial transformada, es decir, M x N.

2.2. Obtención de los espectros de

frecuencia de una imagen, usando

MATLAB.

En el proceso de obtención del espectro de

frecuencias para una imagen en escala de grises

usando MATLAB, se siguen básicamente los

siguientes pasos:

- Se lee la imagen y se transforma a una

matriz de tamaño MxN que contiene

el código de tonalidad de cada píxel

que la compone.

- Luego se aplica la transformada

discreta de Fourier bidimensional,

que generará la función en frecuencia

F (u , v ), con tamaño MxN.

- Se elabora una escala logarítmica que

permita observar mejor las

amplitudes de los armónicos que

componen la imagen.

- Por último, se grafica el espectro de las

amplitudes de dichos armónicos en

una representación mediante curvas

de nivel.

2

Por ejemplo, para la imagen

siguiente:

Fig. 1. Imagen en escala de grises destinada a

ejemplificación.

Se obtuvieron las siguientes

representaciones para el espectro de

frecuencias correspondiente:

Fig. 2. Espectro de frecuencias en escala logarítmica,

de la imagen usada como ejemplo.

- Sin embargo, puede obtenerse una

representación tridimensional para la

distribución discreta de frecuencias,

con la forma A=F (u , v )

Fig. 3. Espectro tridimensional de frecuencias en

escala logarítmica, de la imagen usada como ejemplo.

2.3. Métodos empleada para el

procesamiento de imágenes en el

dominio de la frecuencia.

Fig. 4. Diagrama de bloques del procesamiento de

imágenes en el dominio de la frecuencia (González,

2004).

Los pasos que deben seguirse son:

- Se lee la imagen en MATLAB para

llevarla a una forma matricial f ( x , y ) que pueda ser operada con los

matemáticamente.

3

f (x , y) Imagen de entrada

Pre - ProcesamientoTransformada de

FourierF (u, v)

Multiplicación por la función de

transferencia (Filtro):H (u , v) * F (u , v)

Transformada de Fourier Inversa

g (x , y)Post - Procesamiento

g (x , y)Imagen Procesada

Digitalmente

- Luego se transforma f ( x , y ) al dominio

de la frecuencia, usando la DFT-2,

obteniéndose F (u , v ).- Se multiplica la función de frecuencia

de la imagen, por la función de

transferencia del filtro a usarse (

H (u , v )), de manera que se obtiene

G (u , v )=F (u , v ) ∙ H (u , v ).

- Se calcula la imagen filtrada g ( x , y ), que es la parte real de la

transformada discreta inversa

bidimensional de Fourier.

2.4. Tipos de filtros.

En este trabajo, se trabajarán con dos tipos

de filtros en frecuencia:

- Filtro pasa – bajas (LPF, por sus siglas

en inglés): dada una frecuencia D0

que representa la distancia desde

cualquier punto de H (u , v ) hacia el

centro de la misma, se define como:

H (u , v )={1 ;si H (u ,v )≤ D0

0 ;si H (u , v)≥ D0

(2)

en caso de tratarse de un filtro ideal,

y como:

H (u , v )= 1

1+[ D(u , v )/ D0]2n

(3)

en caso de tratarse de un filtro pasa –

bajas de tipo Butterworth de orden n.

- Filtro pasa – altas (HPF, por sus siglas

en inglés): dada una frecuencia D0

que representa la distancia desde

cualquier punto de H (u , v ) hacia el

centro de la misma, se define como:

H (u , v )={0 ;si H (u , v)≤ D 0

1 ;si H (u , v )≥ D0

en caso de tratarse de un filtro ideal,

y como:

H (u , v )=1−{ 1

1+[ D (u , v )D0

]2 n }(4)

En caso de tratarse de un filtro pasa –

altas de tipo Butterworth de orden n.

3. PROCEDIMIENTOS.

3.1. Estudio previo de las imágenes a usar

en el experimento.

Se estudiará el filtrado en frecuencia usando

las siguientes imágenes como ejemplos:

3.1.1. Radiografía craneal.

Fig. 5. Imagen “RX”. Radiografía de un cráneo de

Homo Sapiens.

Tamaño: 600 ×784 píxeles

Formato: JPEG de 24 bits.

4

Fig. 6. Imagen “RX”. Espectro de amplitudes en dB.

El espectro presenta estas características:

Media: 8,7099×103

Varianza: 6,4017 ×109

Desviación estándar: 1,8777×104

La información proporcionada por la

desviación estándar refiere al hecho de que, hay

un predominio a nivel de amplitudes en las

frecuencias bajas, el espectro presenta una

dispersión de dimensiones considerables.

3.1.2. Foto de un niño chileno.

Fig. 7. Imagen “Niño”. Fotografía de un infante chileno durante la tragedia del terremoto en febrero de 2010.

Tamaño: 450 × 315 píxeles

Formato: JPEG de 24 bits.

Fig. 8. Imagen “Niño”. Espectro de amplitudes en dB.

El espectro presenta estas características:

Media: 2,5097×103

Varianza: 2,6217 ×109

Desviación estándar: 6,7933×103

En general la imagen presenta poca potencia

en las frecuencias bajas, lo que se traduce en un

valor medio bastante reducido. La desviación

estándar se reducirá igualmente al disminuir la

brecha entre los picos y los valles del espectro.

3.2. Diseño de los filtros de frecuencia.

3.2.1. Filtro pasa-bajas ideal.

Fig. 7. Filtro pasa-bajas ideal con D0=60.

5

Se caracteriza simplemente por una

frecuencia de corte D0, por debajo de la cual las

amplitudes serán 1 y por encima 0.

3.2.2. Filtro pasa-altas ideal.

Será caracterizado por una frecuencia de

corte D0, por encima de la cual las amplitudes

serán 1 y por debajo 0.

Fig. 8. Filtro pasa-altas ideal con D0=70.

3.2.3. Filtro pasa-bajas Butterworth.

Sus parámetros serán una frecuencia de corte

D0, y un orden n.

Fig. 9. Filtro pasa-bajas Butterworth de orden n=2

con D0=70. Media de 01980, Varianza de 0.1097 y

Desviación estándar de 0,3312.

3.2.4. Filtro pasa-altas Butterworth.

Sus parámetros serán igualmente, una

frecuencia de corte D0, y un orden n.

Fig. 10. Filtro pasa-altas Butterworth de orden n=1

con D0=80. Media de 0,7205, Varianza de 0.0817 y

Desviación estándar de 0,2858.

3.3. Filtrado de las imágenes.

3.3.1. CASO 1: Radiografía craneal a

través de un filtro ideal de pasa bajas.

El espectro de frecuencias de la imagen a

procesar, es multiplicado por un filtro pasa

bajas ideal, que tiene una frecuencia de corte

igual a 100, de esta forma, el espectro de

frecuencias que sale del sistema será:

Fig. 11. Espectro de amplitudes de “Radiografía

Craneal”, luego de pasar por el LPF ideal.

6

Y la imagen procesada final es:

Fig. 12. “Radiografía Craneal”, luego de pasar por el

LPF ideal y transformarse nuevamente al dominio espacial.

3.3.2. CASO 2: Radiografía craneal a

través de un filtro ideal de pasa bajas.

El espectro de frecuencias de la imagen a

procesar, es multiplicado por un filtro pasa bajas

tipo Butterworth de orden 2, que tiene una

frecuencia de corte igual a 200, de esta forma, el

espectro de frecuencias que sale del sistema será

el siguiente:

Fig. 13. Espectro de amplitudes de “Radiografía

Craneal”, al pasar por el LPF Butterworth de orden 2.

Posteriormente, se obtiene la siguiente

imagen al llevar el resultado al dominio

espacial usando la transformada discreta de

Fourier inversa:

Fig. 14. “Radiografía Craneal”, al pasar por el LPF

Butterworth de orden 2.

3.3.3. CASO 3: Foto de un niño a través

de un filtro pasa altas ideal.

La multiplicación en el dominio de la

frecuencia, entre los espectros de la imagen a

procesar y el del filtro pasa altas ideal ideal,

cuya frecuencia de corte es igual a 8, produce

que se anulen las componentes armónicas más

cercanas al origen, si bien, en el espectro de

frecuencias no se notaría gráficamente,

refiérase a la Fig.15 para apreciar los fuertes

efectos de eliminar la banda de frecuencias que

más potencia posee en la imagen, y la

información sobre los cambios suaves en los

tonos de grises.

El resultado de llevar al dominio espacial el

producto en frecuencia usando la transformada

discreta de Fourier inversa es el siguiente:

7

Fig. 15. “Niño Chileno”, al pasar por el HPF ideal

con frecuencia de corte igual a 8.

Se aprecia que al quedar sólo las frecuencias

altas, se produce lo que se denomina una

“detección de bordes”, correspondiente al

predominio en amplitud de los ritmos, o

cambios bruscos en las tonalidades de gris.

3.3.4. CASO 4: Foto de un niño a través

de un filtro pasa altas Butterworth.

Un efecto visualmente similar, se consigue

al filtrar la imagen con un HPF tipo

Butterworth de orden 3, con frecuencia de corte

igual a 6.

Fig. 16. “Niño Chileno”, al pasar por el HPF

Butterworth de orden 3, con D0 igual a 8.

Al ser las frecuencias bajas atenuadas

gradualmente, se produce un suavizado más

notorio, que el conseguido por el HPF ideal.

3.4. Resultados y Análisis.

3.4.1. Caso 1.

Al procesar la imagen “Radiografía Craneal”

con un filtro pasabajas ideal, se produce un

corte brusco de las frecuencias altas, con el que

se consigue un efecto de suavizado notorio,

aunque además sufre distorsiones a causa de la

pérdida súbita de información.

La descripción esta estadística del resultado

es la siguiente:

“Radiografía Craneal”

LPF Ideal, con frecuencia de corte de 100

Media 2,674 2 ×103

Varianza 6 ,22 21×109

Desviación

típica1 ,37 99× 104

Una disminución muy acentuada de la media

es producida por el caso “ideal” de un filtrado

con LPF. La varianza y la desviación estándar

disminuyen (aunque en menor medida) debido

a que los datos ahora se concentran

exclusivamente en la banda de frecuencias

determinada por el filtro.

3.4.2. Caso 2.

Por otra lado, el procesamiento de

“Radiografía Craneal” con un filtro pasa bajas

Butterworth provoca una atenuación gradual de

8

las altas frecuencias. Visualmente se logra un

sutil efecto de suavizado, con la ventaja de que

la información de los cambios rápidos en tonos

de grises no se elimina del todo, evitando

distorsiones indeseadas.

“Radiografía Craneal”

LPF Butterworth orden 2, frecuencia de corte 200

Media 4,3721 ×103

Varianza 6 ,2203 ×109

Desviación

típica1,6611×104

Estadísticamente, se aprecia una reducción

menos acentuada en la media, y un aumento de

la varianza y desviación típica. Esto se debe a la

repartición más equitativa de los datos sobre el

plano de frecuencias, comparado con el LPF

ideal.

3.4.3. Caso 3.

Es posible detectar los bordes de una imagen

al ser procesada por un HPF. En el caso del

filtrado ideal de la imagen “Fotografía de un

niño” la eliminación de las frecuencias más

bajas se traduce en la eliminación de los

cambios lentos en tonos de grises.

Sin embargo, dado que dichas frecuencias

contienen casi toda la potencia de la imagen, no

pueden ser suprimidas del todo. Obsérvese que

para este caso, la frecuencia de corte es sólo 8.

“Fotografía de un niño”

HPF Ideal, con frecuencia de corte de 8

Media 2,7060×103

Varianza 2 ,5638× 108

Desviación

típica5 ,9686 ×103

Al eliminar las frecuencias de mayor

amplitud, la media aritmética aumenta, a su vez

que la varianza y la desviación típica

disminuyen ligeramente

3.4.4. Caso 4.

Un HPF tipo Butterworth es capaz de

provocar cambios más tenues en cuanto a la

eliminación de las frecuencias más bajas

refiere.

Dado el comportamiento de este tipo de

filtros, la atenuación progresiva de las

frecuencias bajas provocará que los ritmos de

cambio en las tonalidades de gris sean más

suaves, sin quitar el efecto detector de bordes

en la imagen “Fotografía de un niño”.

“Fotografía de un niño”

HPF Butterworth orden 3, frecuencia de

corte 6

Media 2,800 2 ×103

Varianza 3 ,0617 ×108

Desviación

típica6 ,2 207 × 103

Se producen los mismos efectos estadísticos

que en el HPF Ideal, un poco más acentuados a

causa de la reducción gradual de las amplitudes

de los armónicos al acercarse a la frecuencia

central.

4. CONCLUSIONES.

9

- Luego se transforma f ( x , y ) al dominio

de la frecuencia, usando la DFT-2,

obteniéndose F (u , v ).- Se multiplica la función de frecuencia

de la imagen, por la función de

transferencia del filtro a usarse (

H (u , v )), de manera que se obtiene

G (u , v )=F (u , v ) ∙ H (u , v ).

- Se calcula la imagen filtrada g ( x , y ), que es la parte real de la

transformada discreta inversa

bidimensional de Fourier.

5. BIBLIOGRAFÍA

- ETTER, Delores. “Solución de

problemas de ingeniería con

MATLAB”. Segunda Edición.

Prentice – Hall. 1998.

- GONZÁLEZ, WOODS, & EDDINS.

“Digital Image Processing Using

MATLAB”. Segunda Edición.

Gatesmark Publishing. 2009.

- SPIEGEL, Murray. “Schaum’s Outline

for Theory and Problems of Fourier

Analysis”. McGraw – Hill. 1974.

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