PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

INTEGRAL DE INVERSIN PAG 1

ESCUELA POLITCNICA DEL EJRCITO

INGENIERIA ELECTRNICA

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES

TRANSFORMADA INVERSA APLICANDO INTEGRAL DE

INVERSIN

DANIEL LARA daniel.lara91@hotmail.com

Resumen: La integral de inversin es un

mtodo muy til para la evaluar la

transformada Z inversa o para determinar la

inversa de Z, este mtodo se obtiene

directamente a partir de la integral de

contorno haciendo uso del Teorema de

Cauchy.

PALABRA CLAVE

Integral de inversin.

Integral de contorno. Z inversa.

1 OBJETIVOS

Desarrollar y comprender el mtodo de integral de inversin la transformada inversa.

Aplicar en ejercicios para determinar cmo funciona este mtodo.

Determinar la transformada z inversa directamente a partir de la integral de contorno.

2 TEORIA

2.1 DEFINICION A la integral de inversin tambin se le conoce

tambin como integral de contorno. Esta es una

herramienta que sirve para la obtencin de la

transformada z inversa.

La integral de inversin de la transformada

est dado por:

Ecuacin. (1)

El procedimiento de pasar de la transformada z a

su seal correspondiente se denomina

transformada z inversa. Para determinarla se

puede recurrir a la formula integral de Cauchy,

que establece:

{

Ecuacin. (2)

Donde C es cualquier contorno cerrado en el

plano z, f (z) una funcin de variable compleja,

analtica dentro y sobre el contorno C.

De forma ms general, si la es analtica dentro y sobre el contorno C, entonces existen

todas las derivadas de orden y se cumple:

{

Ecuacin. (3)

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INTEGRAL DE INVERSIN PAG 2

Este mtodo inverso de transformacin de forma

analtica no se utiliza con frecuencia. En vez de

ello se emplean tablas de algunas

transformaciones conocidas, que junto con las

propiedades de la transformada z permiten

obtener ms fcilmente la seal buscada

3 ANALISIS

Para el anlisis de este mtodo de resolucin, lo

aplicaremos a dos ejemplos, a pesar de que se

podran hacer de forma directa, pero la idea es

comprobar la credibilidad del mtodo. Los

ejemplos son planteados a continuacin:

EJERCICIO 1:

Calcule la transformada z inversa de

| | | |

Usando la integral de inversin compleja

Con

Con

Esto se puede repetir para todo n < 2 resultando en x(n) = 0. Por tanto, resumiendo ambos casos

en una ecuacin se obtiene:

EJERCICIO 2:

Aplicando la integral tenemos:

[ ]

Reemplazando con nuestros valores tenemos:

[ ]

Operando y simplificando la expresin

obtendremos:

[ ]

Donde C es una circunferencia de radio mayor

que 3. Hemos llegado a este momento crtico,

donde la variable debe ser analizada. Llegamos a dos casos fundamentales:

Cuando

Por lo tanto se obtienen solo ceros, y el nico

polo inevitable es en .

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INTEGRAL DE INVERSIN PAG 3

Pero k = 1;

[ ]

[ ]

[ ]

Evaluando que es: en , entonces tenemos:

Cuando

Aqu lo que sucede, es que aumentan los polos y

los ceros se disminuyen. El polo que se

encuentra en . Por ejemplo para , tenemos que:

Evaluado en respectivamente, tenemos:

Ahora, evaluando para

(

)

Evaluado en respectivamente, tenemos:

Y as respectivamente, todos los valores de n

negativos nos darn de resultado cero. Por lo

tanto se concluye que:

[ ] [ ]

4 RESLUTADOS

Se determin que la integral de

inversin sirve para obtener la

transformada inversa de Z.

Se realiz el anlisis con ejercicio para

comprender el desarrollo del mtodo.

5 CONCLUSIONES

Los polos del sistema debe estar contenidos dentro del crculo de

convergencia adems de verificar si son

simples o mltiples para una correcta

resolucin.

Si tiene un polo simple o uno mltiple es preferible aplicar otro mtodo de

inversin.

Este mtodo inverso de transformacin de forma analtica no se utiliza con

mucha frecuencia.

6 ENLACES

http://www.ie.itcr.ac.cr/palvarado/PDS/cap03.pdf

http://neutron.ing.ucv/electronica/materias/c2515/temas1_archivos/tema11.pdf

7 LIBROS

Tratamiento de seales, [Jhon G.

Proakis] pag. 187-189

Sistemas de Control en Tiempo Discreto/Segunda Edicin/Katsuhiko

Ogata.