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MATEMÁTICAS III

Bachillerato General, Modalidad Mixta

Nombre del Alumn@_______________________________

Día de la clase de matemáticas______________

Hora de la clase de matemáticas_____________

M aes t ra : María Luisa Rubalcava Nungaray

2017

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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Y TAREAS

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AUTOEVALUACIÓN # Nombre del tema Fecha T. en

clase

Ta-

reas

Procedi-

mientos

¿Cómo

lo hice?

Firma

1

2

3

4

5

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Evidencias del trabajo en clase.

30%

Evidencias del trabajo en casa.

20%

Examen único de conocimientos.

50%

Total

100%

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No. EJES TEMÁTICOS I

Elementos básicos de geometría.

1.1Conceptospreliminaresdegeometría1.2Construccionesgeométricas:segmentos,ángulos,bisectriz,mediatriz,rectasparalelasyperpendiculares

II Triángulos.

2.1 Conceptos básicos sobre triángulos: ángulo interior y exterior, clasificación y construcción. 2.2 Construcción de rectas y puntos notables en triángulos - Incentro�- Baricentro�- Circuncentro - Ortocentro

III Trigonometría.

4.1 Conversión de medidas de ángulos 4.1.1 Sistemas de unidades angulares 4.2 Funciones trigonométricas para ángulos agudos 4.2.1 Funciones trigonométricas �

4.2.2 Cálculo de valores 30o, 45o y 60o� 4.2.3 Resolución de triángulos rectángulos 4.2.4 Problemas de aplicación 4.3 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 4.3.1 Signos de las funciones trigonométricas 4.4 Funciones trigonométricas y el círculo unitario� 4.4.1Funciones trigonométricas asociadas a la medida de un segmento 4.4.2 Identidades Trigonométricas fundamentales 4.5 Ley de Senos � 4.5.1 Resolución de triángulos 4.5.2 Aplicación de la Ley de Senos 4.6 Ley de cosenos �4.6.1 Resolución de triángulos � 4.6.2 Aplicación de la Ley de Cosenos

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ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA.

Recta: Es una sucesión indefinida de puntos en una misma dirección. No tiene ni principio ni final. Semirrecta: Es una línea recta que tiene principio pero no final.

Segmento: Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos.

Rectas secantes: Dos rectas son secantes cuando tienen un punto en común.

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.

Rectas coincidentes: Dos rectas son coincidentes cuando tienen todos sus puntos en

común.

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman

cuatro ángulos iguales de 90º.

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RECTAS Y PUNTOS NOTABLES

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

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En los siguientes triángulos traza las rectas que se te indican para encontrar los puntos notables.

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TRIGONOMETRÍA

La trigonometría nace de Hiparco, un griego del siglo II a.C. por una necesidad manifiesta

de la astronomía de ser una ciencia más exacta, fundada en mediciones y en una matemática

apropiada que permitiera predecir eclipses, conocer movimientos de astros, hacer los calendarios

más exactos, la navegación más segura y medir distancias entre puntos de difícil acceso. Éste

sabio determinó la duración del año solar en 365 días y 6 horas, realizó el primer catálogo estelar

con 800 estrellas, sentó las bases de la trigonometría, construyo instrumentos astronómicos e

inventó el astrolabio (buscador de estrellas), También sirve para medir distancias por

triangulación.

Etimológicamente, trigonometría significa medida de los elementos de un triángulo, esta

palabra proviene del griego trígonos: (triángulo) y metria: (medida), estudia las relaciones entre

los lados y los ángulos de un triángulo.

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Ángulos y sistemas de medición Se denomina ángulo a la sección del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que se que se originan en un mismo punto, y están colocadas en distintas direcciones. El punto en que se inician las semirrectas se denomina vértice del ángulo; en tanto que cada una de las semirrectas que lo delimitan, se denominan lados del ángulo.

Se define que un ángulo es positivo cuando se mide en el sentido contrario a las agujas del reloj (también llamado sentido antihorario, sentido levógiro o sentido directo), y por lo tanto es negativo si se mide en sentido contrario, es decir, en el mismo sentido que las agujas del reloj (sentido horario, sentido dextrógiro o indirecto). En un sistema de ejes cartesianos, se toma por convención que, los ángulos se miden desde el eje positivo de las abscisas en sentido contrario a las agujas del reloj. En general los ángulos se denotan con letras griegas. Existen distintos sistemas de medición de ángulos (de manera análoga a la que existen distintos sistemas para medir, por ejemplo, distancias: millas, kilómetros, leguas, etc.). Los sistemas que veremos en este curso serán el sistema sexagesimal, el sistema horario y el sistema circular.

Sistema sexagesimal En este sistema una vuelta completa equivale a 360 grados. Esto se denota: 360◦ . Luego, ¾ de vuelta equivale a 270◦ , ½ de vuelta equivale a 180◦ y ¼ de vuelta equivale a 900.

Las fracciones de grado son los minutos y los segundos, esto quiere decir que: un grado equivale a 60 minutos, 1 ◦ ≡ 60′ , y 1 minuto equivale a 60 segundos, 1 ′ ≡ 60′′. De este modo podemos escribir un ángulo de dos formas equivalentes: como fracción de grado o lo podemos expresar en grados, minutos y segundos.

Ejemplo: Supongamos que queremos escribir el ángulo α = 42◦ 30′ 15′′ como fracción de grado. Para hacer esto tenemos que ver a cuántos grados equivalen 30′ 15′′. Entonces, utilizando las equivalencias dadas anteriormente tenemos que: Así encontramos que 15′′ ≡ 0. ′25. Ahora tenemos que α = 42◦ 30. ′25. Finalmente, para pasar de minutos a fracción de grado hacemos el mismo procedimiento que realizamos recién: De este modo encontramos que α = 42◦ 30′ 15′′ = 42. ◦5041ˆ6.

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Sistema horario En este sistema una vuelta completa equivale a 24 horas. Esto se denota: 24h . Luego, ¾ de vuelta equivale a 18h , ½ de vuelta equivale a 12h y ¼ de vuelta equivale a 6 h . Las fracciones de hora también son los minutos y los segundos, esto quiere decir que: una hora equivale a 60 minutos, 1 h ≡ 60m, y 1 minuto equivale a 60 segundos, 1 m ≡ 60s . De este modo podemos escribir un ángulo de dos formas equivalentes: como fracción de hora o lo podemos expresar en horas, minutos y segundos. Sistema circular En este sistema una vuelta completa equivale a 2π radianes. Esto se denota: 2π ó 2π rad. En general en este sistema no se escribe la unidad, es decir que un ángulo de 2π radianes se expresa como 2π. Los radianes se escriben como un número real, las fracciones de radianes no tienen una notación particular. Un radián se define como el ángulo para el cual la longitud de arco, L, es igual al radio, r, de la circunferencia.

Es importante que para realizar una conversión tengamos claro que:

Un ángulo completo en un sistema de grados sexagesimal es igual a (360 grados) lo cual equivale a 2π radianes. Ya que se considera como base para la realización de este ángulo una circunferencia unitaria (Radio = 1) de lo contrario tendría distintas mediciones.

Un ángulo de 180 grados sexagesimales equivale a π, cabe destacar que (π = 3.141516..)

Por tanto es posible deducir una equivalencia en base a estos datos, como se muestra en la imagen siguiente:

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Realiza los cálculos necesarios y completa la tabla.

RADIANES GRADOS

30°

𝜋4

60°

𝜋2

120°

3𝜋4

150°

𝜋

210°

4𝜋3

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Con base en la información que proporciona el siguiente diagrama, completen la tabla.

Redondeen sus resultados sólo hasta centésimos. Después contesten las preguntas.

1. ¿Cómo fue el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos?_______________ ________________________________________________________________.

2. ¿Qué sucede con la razón coseno y tangente en los cuatro triángulos?____________ ________________________________________________________________.

3. ¿A qué creen que se deba?____________________________________________.

TRIÁNGULO ÁNGULO A CATETO

ADYACENT

E

CATETO

OPUESTO HIPOTENUSA

(SENO)

(COSENO)

(TANGENTE)

AMB 27º 6 6.71

ANC 27º 4 8.90

AOD 14 7 15.65

APE 10 22.36

hipotenusaopuestocat.

hipotenusaadyacentecat.

adyacentecatopuestocat..

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Obtén el valor de las funciones trigonométricas del siguiente Triángulo Rectángulo y contesta lo que se plantea.

Demuestra que es un triángulo rectángulo utilizando el Teorema_________________________.

Demuestra el Teorema de los ángulos interiores de un triángulo_________________________.

1. Calculen la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º.

2. ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º?

108

6

20m

?

37°N

M

L

BC

A

60m

53º

?

13

3. Calcula cuánto mide la sombra de la torre.

4. Encuentren la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene.

5. Calcula la medida de la sombra.

35°

50m

sombran

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TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS