Paradoja de Los Gemelos
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Paradoja de los gemelos Artículo bueno Diagrama espacio‐tiempo que muestra al gemelo alejarse (primer tramo línea negra) y regresar a la Tierra. En este diagrama la posición de la Tierra en cada instante se mueve a lo largo del eje vertical. La distancia entre la última línea azul y la primera roja representa no envejecido el tiempo ganado por el viajero. La paradoja de los gemelos (o paradoja de los relojes) es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes estados de movimiento. Esta paradoja fue propuesta por Einstein al desarrollar lo que hoy se conoce como la teoría de la relatividad especial. Dicha teoría postula que la medida del tiempo no es absoluta, y que, dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, en general, no coincide, sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así, en la teoría de la relatividad, las medidas de tiempo y espacio son relativas, y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador. En ese contexto es en el que se plantea la paradoja. Índice 1 Formulación de la paradoja 2 Solución de la paradoja según la teoría de la relatividad especial 2.1 Cálculo según el gemelo terrestre 2.2 Cálculo según el gemelo viajero 3 Resolución de la paradoja en relatividad general 4 Evidencia experimental 5 Véase también 6 Notas y referencias 7 Enlaces externos Formulación de la paradoja En la formulación más habitual de la paradoja, debida a Paul Langevin, se toma como protagonistas a dos gemelos (de ahí el nombre); el primero de ellos hace un largo viaje a una estrella en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en la Tierra. A la vuelta, el gemelo viajero es más joven que el gemelo terrestre. De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y según su predicción de la dilatación del tiempo, el gemelo que se queda en la Tierra envejecerá más que el gemelo que viaja por el espacio a gran velocidad (más adelante se prueba esto mediante cálculo) porque el tiempo propio del gemelo de la nave espacial va más lento que el tiempo del que permanece en la Tierra y, por tanto, el de la Tierra envejece más rápido que su hermano. Pero la paradoja surge cuando se hace la siguiente observación: visto desde la perspectiva del gemelo que va dentro de la nave, el que se está alejando, en
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Teoría relatividad
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ParadojadelosgemelosArtculobuenoDiagramaespaciotiempoquemuestraalgemeloalejarse(primertramolneanegra)yregresaralaTierra.EnestediagramalaposicindelaTierraencadainstantesemuevealolargodelejevertical.Ladistanciaentrelaltimalneaazulylaprimerarojarepresentanoenvejecidoeltiempoganadoporelviajero.Laparadojadelosgemelos(oparadojadelosrelojes)esunexperimentomentalqueanalizaladistintapercepcindeltiempoentredosobservadorescondiferentesestadosdemovimiento.EstaparadojafuepropuestaporEinsteinaldesarrollarloquehoyseconocecomolateoradelarelatividadespecial.Dichateorapostulaquelamedidadeltiemponoesabsoluta,yque,dadosdosobservadores,eltiempomedidoentredoseventosporestosobservadores,engeneral,nocoincide,sinoqueladiferentemedidadetiemposdependedelestadodemovimientorelativoentreellos.As,enlateoradelarelatividad,lasmedidasdetiempoyespaciosonrelativas,ynoabsolutas,yaquedependendelestadodemovimientodelobservador.Enesecontextoesenelqueseplantealaparadoja.ndice1Formulacindelaparadoja2Solucindelaparadojasegnlateoradelarelatividadespecial2.1Clculosegnelgemeloterrestre2.2Clculosegnelgemeloviajero3Resolucindelaparadojaenrelatividadgeneral4Evidenciaexperimental5Vasetambin6Notasyreferencias7EnlacesexternosFormulacindelaparadojaEnlaformulacinmshabitualdelaparadoja,debidaaPaulLangevin,setomacomoprotagonistasadosgemelos(deahelnombre);elprimerodeelloshaceunlargoviajeaunaestrellaenunanaveespacialavelocidadescercanasalavelocidaddelaluz;elotrogemelosequedaenlaTierra.Alavuelta,elgemeloviajeroesmsjovenqueelgemeloterrestre.Deacuerdoconlateoraespecialdelarelatividad,ysegnsuprediccindeladilatacindeltiempo,elgemeloquesequedaenlaTierraenvejecermsqueelgemeloqueviajaporelespacioagranvelocidad(msadelantesepruebaestomedianteclculo)porqueeltiempopropiodelgemelodelanaveespacialvamslentoqueeltiempodelquepermaneceenlaTierray,portanto,eldelaTierraenvejecemsrpidoquesuhermano.Perolaparadojasurgecuandosehacelasiguienteobservacin:vistodesdelaperspectivadelgemeloquevadentrodelanave,elqueseestalejando,en
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realidad,eselgemeloenlaTierra(deacuerdoconlaInvarianciagalileana)y,portanto,cabraesperarque,deacuerdoconlosclculosdeestegemelo,suhermanoenlaTierrafuesequientendraqueenvejecermenospormoverserespectodelavelocidadescercanasaladelaluz.Estoes,elgemelodelanaveesquientendraqueenvejecermsrpido.Laparadojaquedaradilucidadasisepudieseprecisarquinenvejecemsrpidorealmenteyquhaydeerrneoenlasuposicindeque,deacuerdoconlosclculosdelgemelodelanave,eselgemeloterrestrequienenvejecemenos.SolucindelaparadojasegnlateoradelarelatividadespecialAEinsteinlecostaclararestaparadojaunoscuantosaos,hastaqueformullarelatividadgeneralydemostrque,ciertamente,eselgemelodelaTierraquienenvejecemsrpido.Sinembargo,aunqueEinsteinresolvilaparadojaenelcontextodelarelatividadgeneral,laparadojapuederesolversedentrodeloslmitesdelateoradelarelatividadespecial,comomuestraesteartculo.ParadilucidarlaaparenteparadojaesnecesariorealizarlosclculosdesdeelpuntodevistadelgemeloquepermaneceenlaTierraydesdeelpuntodevistadelgemeloviajero,yverquelasestimacionesdetiempotranscurridocoincidenexaminadasdesdeambospuntosdevista.Elclculodesdeelpuntodevistadelgemeloterrestreesrutinarioymuysencillo.Elclculodesdeelpuntodevistadelgemeloviajeroesmscomplejoporquerequiererealizarclculosenunsistemanoinercial.Acontinuacin,sepresentanlasprediccionesdelateoraaplicadasaambosgemelosysepruebaquelosresultadoscoinciden,demostrandoquelaaparenteparadojanoestal.ClculosegnelgemeloterrestreUnposibleesquemadelviajedeidayvueltadelgemeloviajero,encincofases:alejamientoacelerado,alejamientoavelocidadconstante,frenadoycambiodesentido,acercamientoavelocidadconstante,frenadohastareencontrarseconelgemeloterrestre.LascondicionesdelexperimentorequierenqueelgemeloviajerosealejedelaTierraymstarderegrese,locualnecesariamenteimplicatenerenconsideracinaceleracionespositivasynegativas.Simplificadamente,supondremosqueelexperimentopuedellevarseacaboen5etapas:Enelinstantedetiempot=0elgemeloviajeropartecon"(pseudo)aceleracin"(medidaporelgemelodelaTierra)w=F/mconstantequeloalejadeella.Semueveaceleradamenteentrelosinstantesmedidosporelgemeloterrestret=0yt=T1,llegandoalavelocidadV.CuandoelgemeloviajerollegaaunavelocidadVapagalosmotoresdesunave,ysiguealejndosedelaTierra,ahoraavelocidadconstante.Duranteestaetapacomprendidaentrelosinstantest=T1yt=T1+T2elgemeloviajerosealejadelaTierraavelocidadV.
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Despusdeuntiempoviajandoavelocidaduniformeelgemeloviajeroponeenmarchalosmotoresdesunaveensentidocontrarioydesaceleraconlamismaaceleracinconlaqueaceler,astranscurridountiempodedeceleracinT1(medidoporelgemeloenlaTierra)lavelocidadsernula,ytranscurridootrointervaloT1lavelocidadserV(dondeelsignonegativoindicaquelavelocidadesensentidocontrarioalqueutilizensuviajedeida).UnavezalcanzadalavelocidadVquehacequeelgemeloviajeroseaproximealaTierraderegresoconvelocidaduniforme,elgemeloviajeropermaneceviajandoaproximndosealaTierraduranteunintervalodetiempoT2.Finalmente,parapodersereencontrarconsugemeloenlaTierra,elgemeloviajerodesacelera,hastallegaralaTierraenreposo,esorequiereunaaceleracinigualalasanterioresaplicadaduranteunintervalodetiempoT1.PorconstruccinladuracindelviajemedidoporelgemelosituadoenlaTierra,eslasumadelostiemposdecadaetapa,yaquehemosdefinidoesasetapasapartirdelecturasdelgemeloenlaTierra,paraestegemeloladuracindelviajehasido:T_{viaje}=T_1+T_2+2T_1+T_2+T_1=4T_1+2T_2\;AhorapodemoscompararqutiempoestimaelgemelodelaTierraquehabrmedidosugemeloviajero.Paraelloprocedemosporetapas.EnlaprimeraetapaeltiempoqueelgemelodelaTierraestimahatranscurridoparaelgemeloviajero,usandolarelacinentrela(pseudo)aceleracinylavelocidadenunmovimientoaceleradorelativista,vienedadopor:\bar{T}_1=\int_0^{T_1}\sqrt{1\frac{v^2(t)}{c^2}}dt=\int_0^{T_1}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}dt=\frac{c}{w}\ln\left[\frac{wT_1}{c}+\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]Entrelosinstantestiempot=T1yt=T1+T2(medidosporelgemeloterrestre)lanaveespacialsemueveconvelocidaduniformeVportanto:\bar{T}_2=\int_{T_1}^{T_1+T_2}\sqrt{1\frac{v^2(t)}{c^2}}dt=\sqrt{1\frac{V^2}{c^2}}\int_{T_1}^{T_1+T_2}dt=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}}Juntandolosresultadosanteriores,enelmomentodelencuentrodeacuerdoconlosclculosdelgemeloterrestre,lysugemeloviajerohabrnnotadotiemposdiferentesdeviajedadospor:\begin{cases}T_{viaje}=4T_1+2T_2\\\bar{T}_{viaje}=4\bar{T}_1+2\bar{T}_2=\cfrac{4c}{w}\ln\left[\cfrac{wT_1}{c}+\sqrt{1+\cfrac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]+2T_2\left[\sqrt{1+\cfrac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]^{1}\end{cases}Essencillocomprobarqueparacualesquieravaloresdew,T1yT2,elsegundotiempoessiempremenorqueelprimero:T_{viaje}\bar{T}_{viaje}>0,yportanto,segnelgemeloterrestrelmismoenvejecermsqueelgemeloviajero.Clculosegnelgemeloviajero
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Losclculosenelsistemadereferencianoinercialdelgemeloviajerosonmscomplicados,aunqueconducenexactamentealmismoresultadoanterior.Todoellosinnecesidaddesalirsedelmbitodelateoradelarelatividadespecial.Paraesteclculointroducimoslascoordenadas(\bar{t},\bar{x})asociadasalobservadornoinercialcuyarelacinconlascoordenadasusadasporelgemeloterrestrees:(1)\begin{cases}\bar{x}=x\cfrac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\cfrac{w^2t^2}{c^2}}1\right]\\\bar{t}=t,\quad\bar{y}=y,\quad\bar{z}=z\end{cases}Durantelaprimeraetapadelrecorrido,elgemeloviajeroestsometidoaaceleracinw.Eltensormtrico,haciendoelcambiodecoordenadasalascoordenadasasociadasasusistemadereferencia,es:(2)g=\frac{c^2}{1+\cfrac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}d\bar{t}\otimesd\bar{t}\frac{2w\bar{t}}{\sqrt{1+\cfrac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}}d\bar{t}\otimesd\bar{x}+d\bar{x}\otimesd\bar{x}+d\bar{y}\otimesd\bar{y}+d\bar{z}\otimesd\bar{z}Enestesistemadereferenciaelgemeloviajeroestenreposoyelpuntox=0semuevesegnunageodsica:(3)\frac{d\bar{u}^i}{ds}+\bar\Gamma^i_{ml}\bar{u}^m\bar{u}^l=0Apartirdelascomponentesdeltensormtricodadopor(2)elnicosmbolodeChristoffelquenoseanulaes\bar\Gamma^1_{00}ylasecuacionesdemovimientodelgemeloterrestrevistoporelgemeloviajeroresultanser:(4)\begin{cases}\cfrac{d\bar{u}^0}{ds}=0&\mbox{con}\quad\bar{u}^1=\cfrac{\bar{u}^0}{c}\cfrac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\\\cfrac{d\bar{u}^1}{ds}+\bar\Gamma^1_{00}\bar{u}^0\bar{u}^0=0&\Rightarrow\quad\cfrac{d^2\bar{x}}{d\bar{t}^2}+\cfrac{w}{\left[1+\frac{w^2\bar{t}^2}{c^2}\right]^\frac{3}{2}}=0\end{cases}Integrandolasecuacionesdemovimientodelgemeloterrestreobservadoporelgemeloviajerovienedadopor:(5)\bar{x}(\bar{t})=\frac{c^2}{w}\left[1\sqrt{1+\frac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}\right]Conesasexpresioneseltiempopropio,estimadoporelgemeloviajero,paraladuracinmedidaporlmismoyporsugemeloterrestreresultanseridnticasalascalculadasporelgemeloterrestre:(6a)T_1=\intd\tau=\int_0^{T_1}\begin{matrix}\\\underbrace{\left[g_{00}+\frac{2}{c}g_{01}\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\frac{1}{c^2}
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\left(\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\right)^2\right]^{1/2}}_{=c}\end{matrix}\frac{d\bar{t}}{c}(6b)\bar{T}_1=\intd\bar{\tau}=\int_0^{T_1}\sqrt{g_{00}}\frac{d\bar{t}}{c}=\int_0^{T_1}\frac{d\bar{t}}{\sqrt{1+\frac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}}=\frac{c}{w}\ln\left[\frac{wT_1}{c}+\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]Enlasegundaetapadelviaje,elgemeloviajeropasadenuevoaserunobservadorinercialquesealejaconvelocidaduniformedelgemeloterrestre.Sinembargo,apareceaquunproblemamatemticoconlaeleccindelamtrica,yesquelosrequerimientosfsicosimplicanquelamtricadeunobservadoralolargodesutrayectoriavarademaneracontinuasinsaltos.Esoimplicaquedebemosescogercoordenadasadecuadasparalasegundaetapadelviaje,quegaranticenlacontinuidaddelamtricapercibidaporelgemeloviajero,paraquenuestrosclculostengansentido.Unaposibleeleccindelamtricaenesecasovienedadapor:1(7)g=c^2\sqrt{1\cfrac{V^2}{c^2}}d\bar{t}\otimesd\bar{t}2Vd\bar{t}\otimesd\bar{x}+d\bar{x}\otimesd\bar{x}+d\bar{y}\otimesd\bar{y}+d\bar{z}\otimesd\bar{z}Finalmenteparacalcularladuracindelasegundaetapadelviajeparaambosgemelos,perohaciendolosclculossegnelsistemadereferenciadelgemeloviajero,tenemosqueseleccionarunaformadelamtrica:(7a)T_2=\intd\tau=\int_{T_1}^{T_1+T_2}\begin{matrix}\\\underbrace{\left[g_{00}+\frac{2}{c}g_{01}\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\frac{1}{c^2}\left(\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\right)^2\right]^{1/2}}_{=c}\end{matrix}\frac{d\bar{t}}{c}=(T_1+T_2)T_1(7b)\bar{T}_2=\intd\bar{\tau}=\int_{T_1}^{T_1+T_2}\sqrt{g_{00}}d\bar{t}=T_2\sqrt{1\frac{V^2}{c^2}}=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}}Estosresultadosvuelvenacoincidirconlosclculosquesehicierondesdeelsistemainercialdelgemeloviajero.ComotodaslascantidadesvuelvenaseridnticassecumpledenuevoqueT_{viaje}\bar{T}_{viaje}>0.Estoaclarafinalmenteque:Tantosegnlosclculosyprediccionesdelsistemainercialdelgemeloterrestrecomolosclculossegnelsistemanoinercialdelgemeloviajero,ambosconcluirnqueelgemeloterrestreesquienenvejecerms,yaqueeltiempomedidoduranteeltranscursodelviajeesmayorparal.Laparadojapuedeserresueltadentrodelapropiateoradelarelatividadespecial,aunqueserequiereelusodesistemasinercialesytenerprecaucionesespecialesparaasegurarlacontinuidaddelamtrica.Resolucindelaparadojaenrelatividadgeneral
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Aunquelaparadojadelosgemelospuederesolversentegramentedentrodelateoraespecialdelarelatividad,resultainteresanteconsiderarelmismoproblemadesdeelpuntodevistadeteoradelarelatividadgeneral.Usandoelenfoquedeesateoramsgeneral,lapartedelviajeenlaqueelgemeloviajerosemueveaceleradamentesonpercibidasporstecomosiestuvieraenelsenodeun"campogravitatorioefectivo"asociadoalaaceleracin,deacuerdoconlopostuladoporelprincipiodeequivalencia.EstepuntodevistaestbienrepresentadoenlasolucinqueofreciEinsteindelaparadojaen1918dentrodelmarcodelateorageneral.2Segnelenfoquedelarelatividadgeneralladiferenciaacumuladadetiempoentrelosdosgemelospuedeserexplicadamedianteunadilatacingravitacionaldeltiempo.Deacuerdoconlarelatividadgeneral,larelacinentrelostiempospropiosacumuladospordosobservadoressituadosendiferentespuntosdeuncampogravitatorioestticopuederepresentarsepor:\Delta\tau=\Delta\bar{\tau}\frac{c^2\bar\Phi}{c^2\Phi}Dondeceslavelocidaddelaluzy\Phi,\bar\Phienlaaproximacinparacamposgravitatoriosdbilessepuedeidentificarconelpotencialgravitatorioclsico.Siignoramoslosefectosgravitatoriosdelatierrayconsideramosslolostrminosasociadosalaaceleracindelgemeloviajeropodemosescribirlaanteriorecuacincomo:\Delta\tau\approx\Delta\bar{\tau}\left(1\frac{\bar\Phi}{c^2}\right)=\Delta\bar{\tau}\left(1\frac{a\d}{c^2}\right)Dondeaeslaaceleracinydesunadistanciaefectivaentrelosdosgemelos.EsimportantenotarqueaunquelasolucinanteriorsellameresolucinsegnlarelatividadgeneraldehechoserealizamedianteobservadoresaceleradostalcomofuerondefinidosporEinsteinen1907enelcontextodelprincipiodeequivalenciayportantobsicamenteesequivalentealasolucindelateoradelarelatividadespecial.Dehecho,recientementesehaprobadoquelasolucindelarelatividadgeneralparacamposgravitatorioshomogneosyestticosylasolucindelateoradelarelatividadespecialparaaceleracionesfinitasllevanaresultadosidnticos.3EvidenciaexperimentalContrariamentealaideamsextendida,laparadojanoeselhechodequeungemeloenvejezcamsrpidoqueelotro,sinoenelrazonamientocapciosoquesugeraquelosdosgemelosconcluiranqueeselotroquienenvejecerams.Comosehavistolosclculosdelosdosgemelosconcuerdanenqueserelgemeloterrestrequienenvejecerms.Elhechodequeeltiempotranscurradediferentesmanerasparadiferentesobservadores,yquedosobservadorespuedanreencontrarsedenuevoenelmismopuntodelespaciotiempohabiendoenvejecidounomenosqueotronoconstituyeningunaparadojaenteoradelarelatividad,sinoquedehechosetratadeunhechoprobado.
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Elexperimentomsclaroquemostrelefectodedilatacintemporalnosellevacaboconunpardegemelostalcomohemosdescritosinocondosrelojesidnticos.En1971,J.C.HafeleyR.Keating,subieronvariosrelojesatmicosdecesioabordodeavionescomercialesdurantemsde40horasysecomparlalecturadeestosconotroidnticoenTierrasincronizadoconelprimero.Elavindespegehizounlargoviaje,yaterrizenelmismopuntodesalida.Alcompararlosdosrelojesatmicosdespusdelviaje,eldelavinyeldelaTierra,yanoestabansincronizados.4Elrelojatmicoquehabavoladoestabaligeramenteretrasado(muyligeramenteperomediblecondichosrelojes,ladiferenciadetiemposeradeunaspocascentsimasdemilsimademillonsimadesegundo).Trasdescontarciertosefectosgravitatoriossecundarios,yasumiendoquenohuboningnerrordemedida,locualsecomprobcontrolandolascondicionesyrepitiendoelexperimentovariasveces,seconcluyquelanicaexplicacinposiblevenaporlateoradelarelatividaddeEinstein.LosdatospublicadosporlarevistaScienceen1972relativosalexperimentodeHafeleKeating,difierensegnladireccindevuelo,yresultaronser: nanosegundosganadosvalorpredichoporlateora valormedidoefectogravitacional(relatividadgeneral) efectocintico(teoradelarelatividadespecial) totalVuelohaciaeleste 14414 18418 4023 5910Vuelohaciaeloeste17918 9610 27521 2737Hoyendaexistenotrasexplicacionesmsavanzadasbasadasenlafsicacunticaylamecnicaestadsticasegnlascualesunobjetosometidoaunaaceleracincentrpeta"envejece"msrpidodebidoaquesufremayornmerodeinteraccionesporunidaddetiempo"consigo"mismoysuentorno.Porejemplociertaspartculasinestablestardanmuchomsendesintegrarsecuandoviajanavelocidadesmsaltas,locualseinterpretacomoqueensusistemadereferenciaeltiempopropiotranscurremslentamente.
