ParadojadelosgemelosArtculobuenoDiagramaespaciotiempoquemuestraalgemeloalejarse(primertramolneanegra)yregresaralaTierra.EnestediagramalaposicindelaTierraencadainstantesemuevealolargodelejevertical.Ladistanciaentrelaltimalneaazulylaprimerarojarepresentanoenvejecidoeltiempoganadoporelviajero.Laparadojadelosgemelos(oparadojadelosrelojes)esunexperimentomentalqueanalizaladistintapercepcindeltiempoentredosobservadorescondiferentesestadosdemovimiento.EstaparadojafuepropuestaporEinsteinaldesarrollarloquehoyseconocecomolateoradelarelatividadespecial.Dichateorapostulaquelamedidadeltiemponoesabsoluta,yque,dadosdosobservadores,eltiempomedidoentredoseventosporestosobservadores,engeneral,nocoincide,sinoqueladiferentemedidadetiemposdependedelestadodemovimientorelativoentreellos.As,enlateoradelarelatividad,lasmedidasdetiempoyespaciosonrelativas,ynoabsolutas,yaquedependendelestadodemovimientodelobservador.Enesecontextoesenelqueseplantealaparadoja.ndice1Formulacindelaparadoja2Solucindelaparadojasegnlateoradelarelatividadespecial2.1Clculosegnelgemeloterrestre2.2Clculosegnelgemeloviajero3Resolucindelaparadojaenrelatividadgeneral4Evidenciaexperimental5Vasetambin6Notasyreferencias7EnlacesexternosFormulacindelaparadojaEnlaformulacinmshabitualdelaparadoja,debidaaPaulLangevin,setomacomoprotagonistasadosgemelos(deahelnombre);elprimerodeelloshaceunlargoviajeaunaestrellaenunanaveespacialavelocidadescercanasalavelocidaddelaluz;elotrogemelosequedaenlaTierra.Alavuelta,elgemeloviajeroesmsjovenqueelgemeloterrestre.Deacuerdoconlateoraespecialdelarelatividad,ysegnsuprediccindeladilatacindeltiempo,elgemeloquesequedaenlaTierraenvejecermsqueelgemeloqueviajaporelespacioagranvelocidad(msadelantesepruebaestomedianteclculo)porqueeltiempopropiodelgemelodelanaveespacialvamslentoqueeltiempodelquepermaneceenlaTierray,portanto,eldelaTierraenvejecemsrpidoquesuhermano.Perolaparadojasurgecuandosehacelasiguienteobservacin:vistodesdelaperspectivadelgemeloquevadentrodelanave,elqueseestalejando,en

realidad,eselgemeloenlaTierra(deacuerdoconlaInvarianciagalileana)y,portanto,cabraesperarque,deacuerdoconlosclculosdeestegemelo,suhermanoenlaTierrafuesequientendraqueenvejecermenospormoverserespectodelavelocidadescercanasaladelaluz.Estoes,elgemelodelanaveesquientendraqueenvejecermsrpido.Laparadojaquedaradilucidadasisepudieseprecisarquinenvejecemsrpidorealmenteyquhaydeerrneoenlasuposicindeque,deacuerdoconlosclculosdelgemelodelanave,eselgemeloterrestrequienenvejecemenos.SolucindelaparadojasegnlateoradelarelatividadespecialAEinsteinlecostaclararestaparadojaunoscuantosaos,hastaqueformullarelatividadgeneralydemostrque,ciertamente,eselgemelodelaTierraquienenvejecemsrpido.Sinembargo,aunqueEinsteinresolvilaparadojaenelcontextodelarelatividadgeneral,laparadojapuederesolversedentrodeloslmitesdelateoradelarelatividadespecial,comomuestraesteartculo.ParadilucidarlaaparenteparadojaesnecesariorealizarlosclculosdesdeelpuntodevistadelgemeloquepermaneceenlaTierraydesdeelpuntodevistadelgemeloviajero,yverquelasestimacionesdetiempotranscurridocoincidenexaminadasdesdeambospuntosdevista.Elclculodesdeelpuntodevistadelgemeloterrestreesrutinarioymuysencillo.Elclculodesdeelpuntodevistadelgemeloviajeroesmscomplejoporquerequiererealizarclculosenunsistemanoinercial.Acontinuacin,sepresentanlasprediccionesdelateoraaplicadasaambosgemelosysepruebaquelosresultadoscoinciden,demostrandoquelaaparenteparadojanoestal.ClculosegnelgemeloterrestreUnposibleesquemadelviajedeidayvueltadelgemeloviajero,encincofases:alejamientoacelerado,alejamientoavelocidadconstante,frenadoycambiodesentido,acercamientoavelocidadconstante,frenadohastareencontrarseconelgemeloterrestre.LascondicionesdelexperimentorequierenqueelgemeloviajerosealejedelaTierraymstarderegrese,locualnecesariamenteimplicatenerenconsideracinaceleracionespositivasynegativas.Simplificadamente,supondremosqueelexperimentopuedellevarseacaboen5etapas:Enelinstantedetiempot=0elgemeloviajeropartecon"(pseudo)aceleracin"(medidaporelgemelodelaTierra)w=F/mconstantequeloalejadeella.Semueveaceleradamenteentrelosinstantesmedidosporelgemeloterrestret=0yt=T1,llegandoalavelocidadV.CuandoelgemeloviajerollegaaunavelocidadVapagalosmotoresdesunave,ysiguealejndosedelaTierra,ahoraavelocidadconstante.Duranteestaetapacomprendidaentrelosinstantest=T1yt=T1+T2elgemeloviajerosealejadelaTierraavelocidadV.

Despusdeuntiempoviajandoavelocidaduniformeelgemeloviajeroponeenmarchalosmotoresdesunaveensentidocontrarioydesaceleraconlamismaaceleracinconlaqueaceler,astranscurridountiempodedeceleracinT1(medidoporelgemeloenlaTierra)lavelocidadsernula,ytranscurridootrointervaloT1lavelocidadserV(dondeelsignonegativoindicaquelavelocidadesensentidocontrarioalqueutilizensuviajedeida).UnavezalcanzadalavelocidadVquehacequeelgemeloviajeroseaproximealaTierraderegresoconvelocidaduniforme,elgemeloviajeropermaneceviajandoaproximndosealaTierraduranteunintervalodetiempoT2.Finalmente,parapodersereencontrarconsugemeloenlaTierra,elgemeloviajerodesacelera,hastallegaralaTierraenreposo,esorequiereunaaceleracinigualalasanterioresaplicadaduranteunintervalodetiempoT1.PorconstruccinladuracindelviajemedidoporelgemelosituadoenlaTierra,eslasumadelostiemposdecadaetapa,yaquehemosdefinidoesasetapasapartirdelecturasdelgemeloenlaTierra,paraestegemeloladuracindelviajehasido:T_{viaje}=T_1+T_2+2T_1+T_2+T_1=4T_1+2T_2\;AhorapodemoscompararqutiempoestimaelgemelodelaTierraquehabrmedidosugemeloviajero.Paraelloprocedemosporetapas.EnlaprimeraetapaeltiempoqueelgemelodelaTierraestimahatranscurridoparaelgemeloviajero,usandolarelacinentrela(pseudo)aceleracinylavelocidadenunmovimientoaceleradorelativista,vienedadopor:\bar{T}_1=\int_0^{T_1}\sqrt{1\frac{v^2(t)}{c^2}}dt=\int_0^{T_1}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}dt=\frac{c}{w}\ln\left[\frac{wT_1}{c}+\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]Entrelosinstantestiempot=T1yt=T1+T2(medidosporelgemeloterrestre)lanaveespacialsemueveconvelocidaduniformeVportanto:\bar{T}_2=\int_{T_1}^{T_1+T_2}\sqrt{1\frac{v^2(t)}{c^2}}dt=\sqrt{1\frac{V^2}{c^2}}\int_{T_1}^{T_1+T_2}dt=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}}Juntandolosresultadosanteriores,enelmomentodelencuentrodeacuerdoconlosclculosdelgemeloterrestre,lysugemeloviajerohabrnnotadotiemposdiferentesdeviajedadospor:\begin{cases}T_{viaje}=4T_1+2T_2\\\bar{T}_{viaje}=4\bar{T}_1+2\bar{T}_2=\cfrac{4c}{w}\ln\left[\cfrac{wT_1}{c}+\sqrt{1+\cfrac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]+2T_2\left[\sqrt{1+\cfrac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]^{1}\end{cases}Essencillocomprobarqueparacualesquieravaloresdew,T1yT2,elsegundotiempoessiempremenorqueelprimero:T_{viaje}\bar{T}_{viaje}>0,yportanto,segnelgemeloterrestrelmismoenvejecermsqueelgemeloviajero.Clculosegnelgemeloviajero

Losclculosenelsistemadereferencianoinercialdelgemeloviajerosonmscomplicados,aunqueconducenexactamentealmismoresultadoanterior.Todoellosinnecesidaddesalirsedelmbitodelateoradelarelatividadespecial.Paraesteclculointroducimoslascoordenadas(\bar{t},\bar{x})asociadasalobservadornoinercialcuyarelacinconlascoordenadasusadasporelgemeloterrestrees:(1)\begin{cases}\bar{x}=x\cfrac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\cfrac{w^2t^2}{c^2}}1\right]\\\bar{t}=t,\quad\bar{y}=y,\quad\bar{z}=z\end{cases}Durantelaprimeraetapadelrecorrido,elgemeloviajeroestsometidoaaceleracinw.Eltensormtrico,haciendoelcambiodecoordenadasalascoordenadasasociadasasusistemadereferencia,es:(2)g=\frac{c^2}{1+\cfrac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}d\bar{t}\otimesd\bar{t}\frac{2w\bar{t}}{\sqrt{1+\cfrac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}}d\bar{t}\otimesd\bar{x}+d\bar{x}\otimesd\bar{x}+d\bar{y}\otimesd\bar{y}+d\bar{z}\otimesd\bar{z}Enestesistemadereferenciaelgemeloviajeroestenreposoyelpuntox=0semuevesegnunageodsica:(3)\frac{d\bar{u}^i}{ds}+\bar\Gamma^i_{ml}\bar{u}^m\bar{u}^l=0Apartirdelascomponentesdeltensormtricodadopor(2)elnicosmbolodeChristoffelquenoseanulaes\bar\Gamma^1_{00}ylasecuacionesdemovimientodelgemeloterrestrevistoporelgemeloviajeroresultanser:(4)\begin{cases}\cfrac{d\bar{u}^0}{ds}=0&\mbox{con}\quad\bar{u}^1=\cfrac{\bar{u}^0}{c}\cfrac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\\\cfrac{d\bar{u}^1}{ds}+\bar\Gamma^1_{00}\bar{u}^0\bar{u}^0=0&\Rightarrow\quad\cfrac{d^2\bar{x}}{d\bar{t}^2}+\cfrac{w}{\left[1+\frac{w^2\bar{t}^2}{c^2}\right]^\frac{3}{2}}=0\end{cases}Integrandolasecuacionesdemovimientodelgemeloterrestreobservadoporelgemeloviajerovienedadopor:(5)\bar{x}(\bar{t})=\frac{c^2}{w}\left[1\sqrt{1+\frac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}\right]Conesasexpresioneseltiempopropio,estimadoporelgemeloviajero,paraladuracinmedidaporlmismoyporsugemeloterrestreresultanseridnticasalascalculadasporelgemeloterrestre:(6a)T_1=\intd\tau=\int_0^{T_1}\begin{matrix}\\\underbrace{\left[g_{00}+\frac{2}{c}g_{01}\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\frac{1}{c^2}

\left(\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\right)^2\right]^{1/2}}_{=c}\end{matrix}\frac{d\bar{t}}{c}(6b)\bar{T}_1=\intd\bar{\tau}=\int_0^{T_1}\sqrt{g_{00}}\frac{d\bar{t}}{c}=\int_0^{T_1}\frac{d\bar{t}}{\sqrt{1+\frac{w^2\bar{t}^2}{c^2}}}=\frac{c}{w}\ln\left[\frac{wT_1}{c}+\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}\right]Enlasegundaetapadelviaje,elgemeloviajeropasadenuevoaserunobservadorinercialquesealejaconvelocidaduniformedelgemeloterrestre.Sinembargo,apareceaquunproblemamatemticoconlaeleccindelamtrica,yesquelosrequerimientosfsicosimplicanquelamtricadeunobservadoralolargodesutrayectoriavarademaneracontinuasinsaltos.Esoimplicaquedebemosescogercoordenadasadecuadasparalasegundaetapadelviaje,quegaranticenlacontinuidaddelamtricapercibidaporelgemeloviajero,paraquenuestrosclculostengansentido.Unaposibleeleccindelamtricaenesecasovienedadapor:1(7)g=c^2\sqrt{1\cfrac{V^2}{c^2}}d\bar{t}\otimesd\bar{t}2Vd\bar{t}\otimesd\bar{x}+d\bar{x}\otimesd\bar{x}+d\bar{y}\otimesd\bar{y}+d\bar{z}\otimesd\bar{z}Finalmenteparacalcularladuracindelasegundaetapadelviajeparaambosgemelos,perohaciendolosclculossegnelsistemadereferenciadelgemeloviajero,tenemosqueseleccionarunaformadelamtrica:(7a)T_2=\intd\tau=\int_{T_1}^{T_1+T_2}\begin{matrix}\\\underbrace{\left[g_{00}+\frac{2}{c}g_{01}\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\frac{1}{c^2}\left(\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}\right)^2\right]^{1/2}}_{=c}\end{matrix}\frac{d\bar{t}}{c}=(T_1+T_2)T_1(7b)\bar{T}_2=\intd\bar{\tau}=\int_{T_1}^{T_1+T_2}\sqrt{g_{00}}d\bar{t}=T_2\sqrt{1\frac{V^2}{c^2}}=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{w^2T_1^2}{c^2}}}Estosresultadosvuelvenacoincidirconlosclculosquesehicierondesdeelsistemainercialdelgemeloviajero.ComotodaslascantidadesvuelvenaseridnticassecumpledenuevoqueT_{viaje}\bar{T}_{viaje}>0.Estoaclarafinalmenteque:Tantosegnlosclculosyprediccionesdelsistemainercialdelgemeloterrestrecomolosclculossegnelsistemanoinercialdelgemeloviajero,ambosconcluirnqueelgemeloterrestreesquienenvejecerms,yaqueeltiempomedidoduranteeltranscursodelviajeesmayorparal.Laparadojapuedeserresueltadentrodelapropiateoradelarelatividadespecial,aunqueserequiereelusodesistemasinercialesytenerprecaucionesespecialesparaasegurarlacontinuidaddelamtrica.Resolucindelaparadojaenrelatividadgeneral

Aunquelaparadojadelosgemelospuederesolversentegramentedentrodelateoraespecialdelarelatividad,resultainteresanteconsiderarelmismoproblemadesdeelpuntodevistadeteoradelarelatividadgeneral.Usandoelenfoquedeesateoramsgeneral,lapartedelviajeenlaqueelgemeloviajerosemueveaceleradamentesonpercibidasporstecomosiestuvieraenelsenodeun"campogravitatorioefectivo"asociadoalaaceleracin,deacuerdoconlopostuladoporelprincipiodeequivalencia.EstepuntodevistaestbienrepresentadoenlasolucinqueofreciEinsteindelaparadojaen1918dentrodelmarcodelateorageneral.2Segnelenfoquedelarelatividadgeneralladiferenciaacumuladadetiempoentrelosdosgemelospuedeserexplicadamedianteunadilatacingravitacionaldeltiempo.Deacuerdoconlarelatividadgeneral,larelacinentrelostiempospropiosacumuladospordosobservadoressituadosendiferentespuntosdeuncampogravitatorioestticopuederepresentarsepor:\Delta\tau=\Delta\bar{\tau}\frac{c^2\bar\Phi}{c^2\Phi}Dondeceslavelocidaddelaluzy\Phi,\bar\Phienlaaproximacinparacamposgravitatoriosdbilessepuedeidentificarconelpotencialgravitatorioclsico.Siignoramoslosefectosgravitatoriosdelatierrayconsideramosslolostrminosasociadosalaaceleracindelgemeloviajeropodemosescribirlaanteriorecuacincomo:\Delta\tau\approx\Delta\bar{\tau}\left(1\frac{\bar\Phi}{c^2}\right)=\Delta\bar{\tau}\left(1\frac{a\d}{c^2}\right)Dondeaeslaaceleracinydesunadistanciaefectivaentrelosdosgemelos.EsimportantenotarqueaunquelasolucinanteriorsellameresolucinsegnlarelatividadgeneraldehechoserealizamedianteobservadoresaceleradostalcomofuerondefinidosporEinsteinen1907enelcontextodelprincipiodeequivalenciayportantobsicamenteesequivalentealasolucindelateoradelarelatividadespecial.Dehecho,recientementesehaprobadoquelasolucindelarelatividadgeneralparacamposgravitatorioshomogneosyestticosylasolucindelateoradelarelatividadespecialparaaceleracionesfinitasllevanaresultadosidnticos.3EvidenciaexperimentalContrariamentealaideamsextendida,laparadojanoeselhechodequeungemeloenvejezcamsrpidoqueelotro,sinoenelrazonamientocapciosoquesugeraquelosdosgemelosconcluiranqueeselotroquienenvejecerams.Comosehavistolosclculosdelosdosgemelosconcuerdanenqueserelgemeloterrestrequienenvejecerms.Elhechodequeeltiempotranscurradediferentesmanerasparadiferentesobservadores,yquedosobservadorespuedanreencontrarsedenuevoenelmismopuntodelespaciotiempohabiendoenvejecidounomenosqueotronoconstituyeningunaparadojaenteoradelarelatividad,sinoquedehechosetratadeunhechoprobado.

Elexperimentomsclaroquemostrelefectodedilatacintemporalnosellevacaboconunpardegemelostalcomohemosdescritosinocondosrelojesidnticos.En1971,J.C.HafeleyR.Keating,subieronvariosrelojesatmicosdecesioabordodeavionescomercialesdurantemsde40horasysecomparlalecturadeestosconotroidnticoenTierrasincronizadoconelprimero.Elavindespegehizounlargoviaje,yaterrizenelmismopuntodesalida.Alcompararlosdosrelojesatmicosdespusdelviaje,eldelavinyeldelaTierra,yanoestabansincronizados.4Elrelojatmicoquehabavoladoestabaligeramenteretrasado(muyligeramenteperomediblecondichosrelojes,ladiferenciadetiemposeradeunaspocascentsimasdemilsimademillonsimadesegundo).Trasdescontarciertosefectosgravitatoriossecundarios,yasumiendoquenohuboningnerrordemedida,locualsecomprobcontrolandolascondicionesyrepitiendoelexperimentovariasveces,seconcluyquelanicaexplicacinposiblevenaporlateoradelarelatividaddeEinstein.LosdatospublicadosporlarevistaScienceen1972relativosalexperimentodeHafeleKeating,difierensegnladireccindevuelo,yresultaronser: nanosegundosganadosvalorpredichoporlateora valormedidoefectogravitacional(relatividadgeneral) efectocintico(teoradelarelatividadespecial) totalVuelohaciaeleste 14414 18418 4023 5910Vuelohaciaeloeste17918 9610 27521 2737Hoyendaexistenotrasexplicacionesmsavanzadasbasadasenlafsicacunticaylamecnicaestadsticasegnlascualesunobjetosometidoaunaaceleracincentrpeta"envejece"msrpidodebidoaquesufremayornmerodeinteraccionesporunidaddetiempo"consigo"mismoysuentorno.Porejemplociertaspartculasinestablestardanmuchomsendesintegrarsecuandoviajanavelocidadesmsaltas,locualseinterpretacomoqueensusistemadereferenciaeltiempopropiotranscurremslentamente.