MICROECONOMÍAMICROECONOMÍA

UNIDAD Nº 10: UNIDAD Nº 10: TEORÍA DE LA PRODUCCIÓNTEORÍA DE LA PRODUCCIÓN

TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN:TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN: 10.110.1 Función de la Producción de Función de la Producción de

Cobb - Douglas.Cobb - Douglas. 10.210.2 Ineficiencia X. Ineficiencia X. 10.310.3 Progreso Tecnológico: Neutral, Progreso Tecnológico: Neutral,

Intensivo en Capital e Intensivo en Intensivo en Capital e Intensivo en Mano de Obra.Mano de Obra.

10.410.4 Programación Lineal. Programación Lineal. 10.510.5 El Problema Dual y los Precios El Problema Dual y los Precios

Sombra.Sombra.

10.110.1 Función de la Producción de Cobb - Douglas Función de la Producción de Cobb - Douglas).). La función de producción Coob-DouglasLa función de producción Coob-Douglas La función de producción Coob-Douglas es la que en forma más amplia se La función de producción Coob-Douglas es la que en forma más amplia se

utiliza en los trabajos empíricos. La función se expresa por:utiliza en los trabajos empíricos. La función se expresa por: Q = AL αQ = AL α K βK β Donde:Donde: QQ es la producción es la producción LL y y KK son los insumos de mano de obra y capital, respectivamente, son los insumos de mano de obra y capital, respectivamente, A, A, α (alfa) y β (beta) son parámetros positivos determinados en cada caso por α (alfa) y β (beta) son parámetros positivos determinados en cada caso por

los datos.los datos. A puede ser cualquier número positivo y cuanto mayor su valor tanto más A puede ser cualquier número positivo y cuanto mayor su valor tanto más

avanzada es la tecnología disponible. avanzada es la tecnología disponible. α y β : se sitúan entre 0 y 1α y β : se sitúan entre 0 y 1 α :mide el aumento porcentual en la producción como resultado del aumento α :mide el aumento porcentual en la producción como resultado del aumento

del 1% endel 1% en L L mientras se mantiene constante mientras se mantiene constante K.K. β : mide el aumento porcentual en la producción β : mide el aumento porcentual en la producción como resultado del aumento como resultado del aumento

de 1% en de 1% en K K mientras se mantiene constante mientras se mantiene constante L.L. Por lo tanto, α y βPor lo tanto, α y β son la elasticidad de la producción de son la elasticidad de la producción de LL y y KK

respectivamente. respectivamente. Si α + βSi α + β =1, hay rendimientos constantes a escala; Si α + β> 1, hay =1, hay rendimientos constantes a escala; Si α + β> 1, hay

rendimientos creciente a escala, α + βrendimientos creciente a escala, α + β < <1, hay rendimiento decreciente a escala. 1, hay rendimiento decreciente a escala.

Para la función Coob-Douglas, Para la función Coob-Douglas, ee LK LK==1.1.

Ejemplo 1. Si A =10 y αEjemplo 1. Si A =10 y α = = β = ½, se tieneβ = ½, se tiene Q = 10 L ½ K ½ Puesto que α + β= 1, esta función Coob-Douglas

muestra rendimientos constantes a escala, por lo que sus isocuantas son equidistantes y paralelas a lo largo de una ruta de expansión que es una línea recta desde el origen.

Al mantener constante K y variar L, se obtiene el producto total del trabajo o mano de obra (PTL) y con base en él, el PPL y el PML. Estas curvas solo muestran la etapa II de la producción (al igual que la fig. 6.14). Más aún, el PPL y el PML son funciones o dependen de K/L. (Véanse los problemas 8.1 al 8.4.). Lo mismo ocurre para K.

10.2 Ineficiencia X.10.2 Ineficiencia X. En la secciónEn la sección 6.16.1 se definió la función de la producción como la se definió la función de la producción como la

relación tecnológica que muestra la cantidad máxima de una relación tecnológica que muestra la cantidad máxima de una mercancía que puede producirse por unidad de tiempo para cada mercancía que puede producirse por unidad de tiempo para cada combinación de insumos.combinación de insumos. Sin embargo, en muchas situaciones del Sin embargo, en muchas situaciones del mundo real, ni la mano de obra ni la administración trabajan con mundo real, ni la mano de obra ni la administración trabajan con tanta intensidad o con tanta eficiencia como podrían hacerlo, por tanta intensidad o con tanta eficiencia como podrían hacerlo, por lo que la producción no es la máxima. Leibestein, quien introdujo lo que la producción no es la máxima. Leibestein, quien introdujo por primera vez este concepto, lo denominó la por primera vez este concepto, lo denominó la ““ineficiencia” X.ineficiencia” X.

La ineficiencia X con frecuencia ocurre debido a la falta de La ineficiencia X con frecuencia ocurre debido a la falta de motivación por la ausencia de incentivos o presiones competitivas. motivación por la ausencia de incentivos o presiones competitivas. Por ejemplo los contratos laborales a menudo no aclaran por Por ejemplo los contratos laborales a menudo no aclaran por completo las especificaciones de un empleo y dejan abiertas a la completo las especificaciones de un empleo y dejan abiertas a la interpretación la cantidad y lainterpretación la cantidad y la calidad del esfuerzo requeridas. calidad del esfuerzo requeridas. En estos casos, es frecuente que la mano de obra y la En estos casos, es frecuente que la mano de obra y la administración decidan no presionarse tanto como podrían administración decidan no presionarse tanto como podrían hacerlo, lo que conduce a la ineficiencia X.hacerlo, lo que conduce a la ineficiencia X.

Los costos de una organización dependen no sólo de la Los costos de una organización dependen no sólo de la tecnología, sino también del vigor con que se busque la tecnología, sino también del vigor con que se busque la eficiencia.eficiencia.

Es la situación en la que una empresa no obtiene la máxima Es la situación en la que una empresa no obtiene la máxima producción con una combinación dada de factores.producción con una combinación dada de factores.

Esto se ha analizado fundamentalmente en las empresas Esto se ha analizado fundamentalmente en las empresas del Estado bajo condiciones monopolícas.del Estado bajo condiciones monopolícas.

La eficiencia exige que el precio sea igual al costo La eficiencia exige que el precio sea igual al costo marginal.marginal.

Pero en el caso de empresas estatales, como no tiene que Pero en el caso de empresas estatales, como no tiene que obtener inevitablemente un beneficio mínimo, puede fijar un obtener inevitablemente un beneficio mínimo, puede fijar un precio igual al CM y absorber las pérdidas económicas por precio igual al CM y absorber las pérdidas económicas por vía impositiva.vía impositiva.

La ineficiencia X no es patrimonio exclusivo del estado, La ineficiencia X no es patrimonio exclusivo del estado, también se observa en diferentes grados en las empresas también se observa en diferentes grados en las empresas privadas. Ocurre con frecuencia debido a la falta de privadas. Ocurre con frecuencia debido a la falta de motivación por la ausencia de incentivos o presiones motivación por la ausencia de incentivos o presiones competitivas.competitivas.

Ejemplo 2.Ejemplo 2. Se han encontrado considerables Se han encontrado considerables evidencias empíricas que comprueban la existencia de evidencias empíricas que comprueban la existencia de la ineficiencia la ineficiencia X.X. Por ejemplo, Leibestein señaló el Por ejemplo, Leibestein señaló el caso de una refinería petrolera Egipcia cuya caso de una refinería petrolera Egipcia cuya productividad era la mitad de la de otra instalación productividad era la mitad de la de otra instalación similar. Cuando llegó una nueva administración, la similar. Cuando llegó una nueva administración, la brecha de la productividad se cerró rápidamente con brecha de la productividad se cerró rápidamente con la misma fuerza laboral. Durante muchos años los la misma fuerza laboral. Durante muchos años los negocios se han dado cuenta que puede aumentarse la negocios se han dado cuenta que puede aumentarse la productividad si se inculca a los empleados un sentido productividad si se inculca a los empleados un sentido de pertenencia y de logro, pero solo hasta hace poco de pertenencia y de logro, pero solo hasta hace poco los negocios han llegado a apreciar por completo la los negocios han llegado a apreciar por completo la enorme ganancia potencial que puede conseguirse al enorme ganancia potencial que puede conseguirse al reducir la ineficiencia reducir la ineficiencia XX ((es decir al aumentar la es decir al aumentar la eficiencia eficiencia X)X)..

10.3 Progreso Tecnológico: Neutral, Intensivo en 10.3 Progreso Tecnológico: Neutral, Intensivo en Capital e Intensivo en Mano de Obra.Capital e Intensivo en Mano de Obra.

El Progreso Tecnológico se refiere al aumento de la El Progreso Tecnológico se refiere al aumento de la productividad de los insumos y puede representarse productividad de los insumos y puede representarse mediante un desplazamiento hacia el origen de la isocuanta mediante un desplazamiento hacia el origen de la isocuanta que se refiere a cualquier nivel de producción. Esto significa que se refiere a cualquier nivel de producción. Esto significa que puede obtenerse cualquier nivel de producción con que puede obtenerse cualquier nivel de producción con menos insumos, o que puede obtenerse más producción con menos insumos, o que puede obtenerse más producción con los mismos insumos .los mismos insumos .

Hicks, clasifico al Progreso Tecnológico en:Hicks, clasifico al Progreso Tecnológico en: NEUTRALNEUTRAL INTENSIVO EN CAPITALINTENSIVO EN CAPITAL INTENSIVO EN TRABAJO O MANO DE OBRAINTENSIVO EN TRABAJO O MANO DE OBRA.. Según que PMK aumente en la misma proporción, en mayor Según que PMK aumente en la misma proporción, en mayor

proporción o en menor proporción que el PM L.proporción o en menor proporción que el PM L.

Ejemplo 3. La figura 8-1 muestra el progreso tecnológico neutral Ejemplo 3. La figura 8-1 muestra el progreso tecnológico neutral en la sección en la sección AA, con utilización de , con utilización de KK en la sección en la sección B B y con y con utilización de utilización de L L en la sección C. en la sección C.

Puesto que el progreso tecnológico neutral aumenta Puesto que el progreso tecnológico neutral aumenta PMK PMK y y PML PML en la misma proporción, en la misma proporción, TMSTLK TMSTLK == PML / PMK PML / PMK = la pendiente = la pendiente de la isocuanta permanece constante en el punto de la isocuanta permanece constante en el punto E1E1 y en el punto y en el punto E2E2 a lo largo de la línea delgada original a lo largo de la línea delgada original K / L K / L == 1 (véase la 1 (véase la sección A). Todo lo que ocurre es que Q = 100 ahora puede sección A). Todo lo que ocurre es que Q = 100 ahora puede producirse con 2producirse con 2 L L y 2 y 2 K K en lugar deen lugar de 44 L L yy 44 K . K .

Por otra partePor otra parte, , puesto que el progreso tecnológico que utiliza puesto que el progreso tecnológico que utiliza K K aumenta PMK en forma más proporcional que aumenta PMK en forma más proporcional que PMLPML , la , la pendiente absoluta de la isocuanta desciende a medida que se pendiente absoluta de la isocuanta desciende a medida que se desplaza hacia el origen a lo largo de la línea delgada desplaza hacia el origen a lo largo de la línea delgada K K // L L = 1 = 1 (véase sección B). Pendiente = K/L = 3/6 = 0.5 (anterior 8/8=1). (véase sección B). Pendiente = K/L = 3/6 = 0.5 (anterior 8/8=1).

Por último el progreso tecnológico que utiliza Por último el progreso tecnológico que utiliza L L es lo opuesto al es lo opuesto al progreso tecnológico que utiliza progreso tecnológico que utiliza K K (Véase la sección C), es decir (Véase la sección C), es decir cuando el progreso tecnológico es intensivo en mano de obra, de cuando el progreso tecnológico es intensivo en mano de obra, de modo que el PMmodo que el PMLL aumenta en forma más que proporcional al aumenta en forma más que proporcional al PMK la pendiente absoluta de la isocuanta aumenta a medida que PMK la pendiente absoluta de la isocuanta aumenta a medida que se desplaza hacia el origen a lo largo de la ruta de expansión.se desplaza hacia el origen a lo largo de la ruta de expansión.

Pendiente = L/K = 8/8= 1; 6/3=2Pendiente = L/K = 8/8= 1; 6/3=2

El progreso tecnológico que utiliza El progreso tecnológico que utiliza K K se conoce en ocasiones como intensivo se conoce en ocasiones como intensivo en en K K oo

Ahorrador de Ahorrador de LL, debido a que conduce a que en la producción se utilice más , debido a que conduce a que en la producción se utilice más KK y menos L. En igual forma, la utilización de y menos L. En igual forma, la utilización de LL se conoce como el progreso se conoce como el progreso tecnológico intensivo en tecnológico intensivo en LL o ahorrador de o ahorrador de KK..

El tipo de Progreso Tecnológico que se lleve a cabo es un determinante El tipo de Progreso Tecnológico que se lleve a cabo es un determinante importante de la participación de K y L en el Producta Nacional Neto (PNN). importante de la participación de K y L en el Producta Nacional Neto (PNN). (véase problema 8.7).-(véase problema 8.7).-

10.4 Programación Lineal.10.4 Programación Lineal. EEl objetivo del economista es la elaboración de modelos l objetivo del economista es la elaboración de modelos

generales de conductas empresarial que cubran una gran generales de conductas empresarial que cubran una gran variedad de casos específicos. Por lo tanto el economista debe variedad de casos específicos. Por lo tanto el economista debe ocuparse de relaciones generales, funcionales y de conductas; ocuparse de relaciones generales, funcionales y de conductas; cuya única limitación es que tenga propiedades económica o cuya única limitación es que tenga propiedades económica o funcionales importantes. Por ejemplo, suponemos que la funcionales importantes. Por ejemplo, suponemos que la cantidad demandada se relaciona inversamente con el precio, cantidad demandada se relaciona inversamente con el precio, pero no suponemos que la relación se lineal.pero no suponemos que la relación se lineal.

NNos concentraremos en los tipos de problemas que se pueden os concentraremos en los tipos de problemas que se pueden analizar con la técnica de la programación lineal, en algunas analizar con la técnica de la programación lineal, en algunas limitaciones de esta técnica y en una representación gráfica muy limitaciones de esta técnica y en una representación gráfica muy general.general.

EEl desarrollo de esta técnica surgió durante la Segunda Guerra l desarrollo de esta técnica surgió durante la Segunda Guerra Mundial, primero como un método Mundial, primero como un método ad hocad hoc para resolver para resolver problemas prácticos y sólo posteriormente como una técnica problemas prácticos y sólo posteriormente como una técnica matemática con base teórica. La programación lineal es matemática con base teórica. La programación lineal es esencialmente matemática.esencialmente matemática.

LLa Programación Lineal representa uno de los avances más a Programación Lineal representa uno de los avances más importantes en la teoría de la producción en los últimos 30 o 35 importantes en la teoría de la producción en los últimos 30 o 35 años. Es una técnica matemática para resolver problemas de años. Es una técnica matemática para resolver problemas de maximización y minimización , cuando existe más de una maximización y minimización , cuando existe más de una restricción. Su ventaja principal es de cálculo y se basa en la restricción. Su ventaja principal es de cálculo y se basa en la utilización de computadoras.utilización de computadoras.

La programación lineal tiene su fundamento en los siguientes supuestos:

1) Hay más de una restricción (de lo contrario el programa se podría resolver con facilidad mediante los métodos tradicionales).

2) La producción y los precios de los factores son constantes (de modo que las líneas del presupuesto y del isocosto, así como cualquier otra restricción, puedan representarse mediante líneas rectas).

3) Hay rendimientos constantes a escala y proporciones tecnológicamente fijas de insumos o factores (por lo que las rutas de expansión son líneas rectas que pasan por el origen) Un producto por lo general puede producirse con más de una combinación de factores o proceso de producción. Cada proceso puede representarse mediante una línea que va del origen

al espacio del insumo. Al unir los puntos que representan el mismo nivel de producción sobre diferentes líneas, se obtiene el equivalente de una isocuanta. Los puntos sobre estas isocuantas que no están sobre alguna línea pueden alcanzarse mediante la combinación apropiada de dos procesos adyacentes. Al añadir las restricciones lineales a la figura, puede encontrarse en forma gráfica la solución maximizadora o minimizadora.

Ejemplo 4. La sección A de la figura 8-2 muestra que puede producirse una mercancía en particular mediante tres procesos: El proceso 1 con K / L = 2.5, El proceso 2 con K / L = 1 ,

o el proceso 3 con K / L =0.4. Puede obtenerse una producción de 50 unidades con el proceso

1 en el punto A, con el proceso 2 en el punto B, o con el proceso 3 en el punto C. Al unir estos puntos se obtienen las isocuantas para Q = 50, con quiebres o puntos A, B y C. Al utilizar el doble de los insumos con cada proceso se obtienen las isocuantas para Q = 100. Observe que

los segmentos correspondientes de las dos isocuantas son paralelos.

En la sección B, la restricción usual de los costos de la empresa se representa mediante la línea de isocostos GH. El triángulo sombreado OJN es el área de soluciones factibles o alcanzables. La solución óptima la determina el punto E, donde el área de las soluciones factibles toca la isocuanta para Q = 100 sobre la línea del proceso 2. Esta es la isocuanta más alta a la que puede llegar la empresa con el isocosto GH.

La sección La sección CC muestra que si en lugar de ello la muestra que si en lugar de ello la empresa se enfrenta a una limitación en la empresa se enfrenta a una limitación en la

cantidad de los insumos de cantidad de los insumos de LL = 5 y = 5 y KK = 8, la = 8, la producción máxima de la empresa es 100 producción máxima de la empresa es 100 Q Q en el en el puntopunto R, R, produciéndoseproduciéndose 5050Q Q (determinado (determinado mediantemediante OA OA) con el proceso 1 y 50 Q (determi-) con el proceso 1 y 50 Q (determi-nado mediantenado mediante AR AR == OB OB) con el proceso 2, ) con el proceso 2, observe que cuando la empresa se enfrenta a la observe que cuando la empresa se enfrenta a la restricción única del isocosto (sección B), la restricción única del isocosto (sección B), la empresa alcanza la solución óptima con solo un empresa alcanza la solución óptima con solo un proceso (proceso 2). Cuando la empresa se proceso (proceso 2). Cuando la empresa se enfrenta a dos restricciones (es decir, enfrenta a dos restricciones (es decir, L L = 5 y = 8 Ḵ= 5 y = 8 Ḵ

en la sección C) se requiere la combinación de en la sección C) se requiere la combinación de dos procesos (procesos 1 y 2) para llegar a la dos procesos (procesos 1 y 2) para llegar a la solución óptima. En términos generales, el solución óptima. En términos generales, el número de procesos requeridos para llegar a la número de procesos requeridos para llegar a la solución óptima no es más que el número de las solución óptima no es más que el número de las restricciones.restricciones.

SECCIÓN A Y BSECCIÓN A Y B

– Programación Lineal con más de dos Programación Lineal con más de dos RestriccionesRestricciones

En los casos en que se trabaja con En los casos en que se trabaja con programación lineal, la función que busca programación lineal, la función que busca optimizarse se la denomina optimizarse se la denomina Función Función Objetivo. Objetivo. Esto incluye por lo general la Esto incluye por lo general la maximización de la ganancia o la maximización de la ganancia o la minimización del costo. Las restricciones se minimización del costo. Las restricciones se determinan mediante las desigualdades que determinan mediante las desigualdades que señalan las cantidades máximas y señalan las cantidades máximas y específicas que se pueden utilizar de algunos específicas que se pueden utilizar de algunos insumos, o algunosinsumos, o algunos requisitos mínimos que deben satisfacerse. También existen restricciones para impedir valores negativos en la solución.

Es decir dadas m desigualdades lineales con n Es decir dadas m desigualdades lineales con n variables de decisión, encontrar la solución variables de decisión, encontrar la solución óptima de la Función Objetivo ó lo que es lo óptima de la Función Objetivo ó lo que es lo mismo en conjunto de valores no negativos de las mismo en conjunto de valores no negativos de las variables de decisión que satisfagan las variables de decisión que satisfagan las restricciones y eleven al máximo ó al mínimo restricciones y eleven al máximo ó al mínimo alguna función lineal de estas variables.alguna función lineal de estas variables.

Para que se pueda resolver un problema de Para que se pueda resolver un problema de programación lineal, las restricciones y las programación lineal, las restricciones y las limitaciones de no negatividad deben definir un limitaciones de no negatividad deben definir un poliedro convexo, el cual es una construcción poliedro convexo, el cual es una construcción geométrica cuyos lados son todas las líneas geométrica cuyos lados son todas las líneas rectas. Un conjunto de puntos es convexo, cuando rectas. Un conjunto de puntos es convexo, cuando cualquier par de puntos del conjunto se puede cualquier par de puntos del conjunto se puede unir por una línea recta que se encuentra unir por una línea recta que se encuentra totalmente dentro de los limites del conjunto o totalmente dentro de los limites del conjunto o sobre los mismos.sobre los mismos.

Las restricciones son determinadas por medio Las restricciones son determinadas por medio de las desigualdades que indican las de las desigualdades que indican las cantidades máximas y específicas que pueden cantidades máximas y específicas que pueden utilizarse de algunos insumos o requisitos utilizarse de algunos insumos o requisitos mínimos que deben cumplirse. Se establecen mínimos que deben cumplirse. Se establecen asimismo restricciones para impedir valores asimismo restricciones para impedir valores negativos en la solución.negativos en la solución.

En resumen hay tres ingredientes esenciales En resumen hay tres ingredientes esenciales en una programación lineal en una programación lineal una función una función objetivo: un conjunto de restricciones y un objetivo: un conjunto de restricciones y un conjunto de restricciones de no conjunto de restricciones de no negatividad.negatividad. Siempre prevalece la linealidad, Siempre prevalece la linealidad, porque ninguna variable está elevado a una porque ninguna variable está elevado a una potencia distinta de uno o está multiplicada por potencia distinta de uno o está multiplicada por cualquier otra variable.cualquier otra variable.

Los pasos para solucionar en forma gráfica los Los pasos para solucionar en forma gráfica los problemas de programación lineal son los problemas de programación lineal son los siguientes.siguientes.

Expresar los datos del problema en forma de Expresar los datos del problema en forma de ecuaciones o desigualdades.ecuaciones o desigualdades.

Tratar como ecuaciones las restricciones de Tratar como ecuaciones las restricciones de desigualdad y presentarlas en forma gráfica para desigualdad y presentarlas en forma gráfica para determinar la región de soluciones factibles.determinar la región de soluciones factibles.

Graficar la función objetivo como una serie de Graficar la función objetivo como una serie de líneas paralelas que se refieren a los diferentes líneas paralelas que se refieren a los diferentes niveles del objetivo (por ejemplo, como una serie niveles del objetivo (por ejemplo, como una serie de líneas isoganancias o isocostos).de líneas isoganancias o isocostos).

Determinar la solución óptima, que ese Determinar la solución óptima, que ese encontrará donde un punto extremo o un punto encontrará donde un punto extremo o un punto de esquina de la región de soluciones factibles de esquina de la región de soluciones factibles toque la línea de isoganancia más alta o la línea toque la línea de isoganancia más alta o la línea de isocosto más baja o mínimo.de isocosto más baja o mínimo.

Ejemplo 5. Ejemplo 5. Suponga que una empresa produce las mercancías Suponga que una empresa produce las mercancías XX e e YY. . Para producir cada unidad XPara producir cada unidad X se requierese requiere 11L, L, 33K y K y 11R R ((recursos recursos naturalesnaturales)). Para cada unidad de . Para cada unidad de YY se requieren se requieren O.5O.5L, 3 K L, 3 K y y 33 R R. La . La empresa no puede utilizar más de empresa no puede utilizar más de 88 L, 30K L, 30K y y 2424 RR. Su margen de . Su margen de utilidad utilidad ((Ingreso netoIngreso neto)) es de es de $4$4 por cada unidad de por cada unidad de XX y y $3$3 por cada por cada unidad de unidad de YY..

1)1) Si se presentan los datos como ecuaciones o desigualdades se Si se presentan los datos como ecuaciones o desigualdades se obtieneobtiene

Función objetiva: Función objetiva: π = 4 X + 3 π = 4 X + 3 YY Donde Donde ππ == ganancia total, la función objetiva está sujeta a las ganancia total, la función objetiva está sujeta a las

restricciones. restricciones.

Restricción Restricción LL: 1 X + O.5 Y 8 ≼: 1 X + O.5 Y 8 ≼ Restricción Restricción KK: 3 X + 3 Y 30 Restricciones ≼: 3 X + 3 Y 30 Restricciones ≼

técnicastécnicas Restricción Restricción RR: 1 X + 3 Y 24 ≼: 1 X + 3 Y 24 ≼ Restricción de no negatividad: Restricción de no negatividad: X Y ≥ X Y ≥ 00 La restricción La restricción LL indica que indica que 11 LL ((necesario para producir cada unidad de necesario para producir cada unidad de

X) X) multiplicado por las unidades de multiplicado por las unidades de XX más más 0.5 0.5 LL ((para producir cada para producir cada unidad de unidad de YY)) multiplicado por las unidades de multiplicado por las unidades de YY tiene que ser igual o tiene que ser igual o menor que losmenor que los 8 8LL disponibles.disponibles.

2) Al tratar cada restricción técnica como una ecuación y despejando Y, se obtiene:

De la Restricción L, Y = 16 – 2 X

De la Restricción K, Y = 10 – 1 X

De la Restricción R, Y = 8 – 1/3 X

En la sección A de la figura 8-3 se muestra cada

restricción técnica en todos los puntos sobre la línea de restricción y a la izquierda de la misma. Las líneas de restricción de no negatividad coinciden con los ejes Y y X. La región de las soluciones factibles es el área sombreada OABEC.

3)Si se despeja la función objetivo 3)Si se despeja la función objetivo para Y se obtiene: para Y se obtiene:

Y Y = = π π - - 44 X X 3 33 3 Esto da la serie de líneas Esto da la serie de líneas

discontinuas de isoganancia (una discontinuas de isoganancia (una para cada valor de π) con pendiente para cada valor de π) con pendiente de – 4/3 (la razón de ganancia) de – 4/3 (la razón de ganancia) dibujadas en la sección B de la Figura dibujadas en la sección B de la Figura 8-3.8-3.

4) La región factible toca la línea de isoganancia más alta en el punto E (6X, 4Y )

donde π esta al máximo en: π = ( $ 4 ) (6) + ( $ 3 ) ( 4 ) = $ 36 Para un problema de minimización véase el

problema 8.14. Los problemas con más de dos variables se encuentran fuera del alcance del enfoque gráfico. Las computadoras pueden resolver con rapidez estos problemas al comparar los valores de la función objetivo en las diversas esquinas de la región de las soluciones factibles y determinando el punto extremo o la solución de esquina que optimice la función objetivo. Este método de solución es el método símplex y utiliza el teorema del punto extremo.

10.5 El Problema Dual y los Precios Sombra.Todo problema de programación lineal conocido como el Problema Principal tiene su problema correspondiente denominado el Problema Dual. Por ejemplo, si el problema principal es la maximización de las ganancias, su problema dual es la minimización del costo y viceversa. Las soluciones para el problema dual son los Precios Sombra. Estos dan el cambio en el valor de la función objetivo por un cambio unitario en cada restricción. Por ejemplo, el precio sombra en un problema de maximización de ganancias indica cuanto aumentarían las ganancias por aumento unitario en la utilización de cada insumo. Por lo tanto, los precios sombra proporcionan el valor marginal imputado o el valor de cada insumo para la empresa. Si un insumo en particular no se emplea por completo, su precio sombra es cero porque al aumentar este insumo no produciría cambio en las ganancias. Una empresa debe tratar de ampliar la utilización de un insumo mientras el valor marginal o su precio sombra exceda el costo adicional de contratar el insumo.

Ejemplo 6. Ejemplo 6. Para determinar el precio sombra de Para determinar el precio sombra de LL en el en el ejemplo ejemplo 55, se comienza desde el punto de maximización de las , se comienza desde el punto de maximización de las ganancias ganancias EE que da que da π π = = $ 36$ 36, en la sección , en la sección BB de la figura de la figura 8-38-3. . Después se aumenta Después se aumenta LL en una unidad de modo que la en una unidad de modo que la restricción restricción LL se convierta en se convierta en 11 XX + 0.5+ 0.5 YY ≼ ≼ 99. Esto se . Esto se presenta en la sección presenta en la sección A A de la figura de la figura 8-48-4 mediante la línea mediante la línea paralela a la a línea de restricción paralela a la a línea de restricción LL anterior que cruza la línea anterior que cruza la línea de restricción de restricción KK en el punto en el punto EE. Ahora la región de las . Ahora la región de las soluciones factibles es el área sombreada soluciones factibles es el área sombreada OABE’C’OABE’C’. .

La sección La sección B B muestra que las ganancias ahora están muestra que las ganancias ahora están maximizadas en el punto maximizadas en el punto E’ (8 E’ (8XX, 2, 2YY) en ($ 4)(8) + ($ 3) (2)) en ($ 4)(8) + ($ 3) (2) = $ = $ 3838. Por consiguiente, el precio sombra de . Por consiguiente, el precio sombra de LL es es $ 2$ 2.. La La empresa debe intentar contratar más empresa debe intentar contratar más LL si su costo adicional es si su costo adicional es menor que su precio sombra, porque al hacerlo aumentaría la menor que su precio sombra, porque al hacerlo aumentaría la ganancia neta de la empresa. ganancia neta de la empresa.

El precio sombra de El precio sombra de KK puede determinarse en la misma forma puede determinarse en la misma forma y también es positivo debido a que y también es positivo debido a que KK se emplea en su se emplea en su totalidad en el punto totalidad en el punto EE. Por otra parte, puesto que . Por otra parte, puesto que RR en la en la sección sección A A no está empleado en su totalidad no está empleado en su totalidad ((es decir, es una es decir, es una variable poco activavariable poco activa)) su precio sombra es cero. su precio sombra es cero.

Definiciones Básicas:Definiciones Básicas: Elasticidad de la Producción:Elasticidad de la Producción: Da el aumento porcentual en Da el aumento porcentual en

la producción como resultado del aumento porcentual de un la producción como resultado del aumento porcentual de un insumo, mientras se mantienen constantes todos los demás insumo, mientras se mantienen constantes todos los demás insumos.insumos.

Función de producción Coob-Douglas:Función de producción Coob-Douglas: Esta función se Esta función se determina mediante determina mediante QQ = = AA L αL α K β K β

Donde Donde QQ es la producción y es la producción y LL y y KK son insumos. son insumos. AA, , αα , , β β son son los parámetroslos parámetros . α . α == la la elasticidad de la producción de elasticidad de la producción de LL, , mientras que mientras que β β == elasticidad de la producción de elasticidad de la producción de KK. Se tienen . Se tienen rendimientos constantes o crecientes, o decrecientes a escala rendimientos constantes o crecientes, o decrecientes a escala cuando cuando αα + + β β ==1, > 1 o < 1 respectivamente.1, > 1 o < 1 respectivamente.

Función Objetivo:Función Objetivo: La función que debe maximizarse o La función que debe maximizarse o minimizarse sujeta a las restriccionesminimizarse sujeta a las restricciones

IneficienciaIneficiencia X:X: El grado en que la producción de una El grado en que la producción de una mercancía no alcanza al máximo posible mercancía no alcanza al máximo posible ((indicado por la indicado por la función de producciónfunción de producción) ) debido a la carencia de una motivación debido a la carencia de una motivación adecuada de la mano de obra y la administración.adecuada de la mano de obra y la administración.

Precio Sombra: El cambio en el valor de la función objetivo por el cambio unitario en una de las restricciones.

Problema Dual: Lo contrario del problema principal; Por lo tanto, para un problema principal de maximización de la ganancia, el problema dual es la minimización del costo y viceversa.

Problema Principal: El problema original de maximización (por ejemplo, la ganancia) o de minimización (por ejemplo, el costo).

Proceso de Producción: Las combinaciones de insumos para obtener producciones. En la programación lineal cada proceso o actividad incluye combinaciones de insumos determinados tecnológicamente.

Programación Lineal: Una técnica matemática para resolver problemas de maximización o minimización en que las restricciones y la función objetivo a optimizar se representan mediante líneas rectas.

Progreso Tecnológico Intensivo en Capital: Mayor aumento proporcional en el producto marginal del capital que en el producto marginal del trabajo, de modo que la pendiente de la isocuanta desciende a medida que se desplaza hacia el origen a la razón original capital – trabajo.Progreso Tecnológico Intensivo en Trabajo: Mayor aumento proporcional en el producto marginal del trabajo que en el producto marginal del capital, de modo que la pendiente de la isocuanta aumenta a medida que se desplaza hacia el origen a la razón original capital – trabajo.Progreso Tecnológico Neutral: El aumento proporcional en el producto marginal del capital y el trabajo, en forma tal que la pendiente de la isocuanta permanece sin cambios mientras se desplaza hacia el origen en la razón original capital – trabajo.Restricciones: desigualdades que describen límites estructurales (capacidad).Solución óptima: La mejor de las soluciones factiblesSoluciones factibles: Todas las soluciones o combinaciones de mercancías que son posibles, de acuerdo a las restricciones.

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