1. Ilustra (A B ) C utilizando diagramas de Venn, en el caso en el que

A B = = A C, pero B C

2. Usando diagramas de Venn, verifica que (A B ) C = (A C ) ( B C ),

suponiendo que: A B ; A C y B C

3. Para los votantes de una pequeña comunidad de 300 personas se tiene que 110 son mayores de 20 años, 120 son mujeres y 50 son mujeres mayores de 20 años.

Determina el número de votantes que:

a) Son varones.b) Son varones mayores de 20 años.c) Son mujeres con 20 o menos años.d) Son varones con 20 o menos años.e) Tienen 20 o menos años.

4. En una escuela secundaria se tienen los siguientes datos de 1600 estudiantes

801 aprobaron Matemáticas900 aprobaron Física.752 aprobaron Química435 aprobaron Matemáticas y Física398 aprobaron Matemáticas y Química412 aprobaron Física y Química310 aprobaron Matemáticas, Física y Química.

Indica cuantos de estos 1600 estudiantes aprobaron:

a) Solo una materia.b) Exactamente dos materias.c) Ninguna materia.d) Al menos una materia.e) Cuando mucho dos materias.

5. Se hizo una entrevista a 885 amas de casa y se encontró la siguiente información acerca de ciertos programas de televisión:

600 veían noticieros.400 veían series policíacas.620 veían programas deportivos.195 veían noticieros y series policíacas.190 veían series policíacas y deportivas.400 veían noticieros y deportivos.

Y todos ven al menos uno de estos tres programas.Determina cuantas de las entrevistadas ven los tres tipos de programas mencionados.

6. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información:317 son varones.

316 son casados.25 son mujeres casadas sin profesión.72 son varones casados sin profesión.83 son hombres profesionistas solteros.15 son mujeres profesionistas solteras.125 son varones profesionistas casados.49 son mujeres solteras sin profesión.

¿Cuántos de los empleados son?a) Varones solteros sin profesión.b) Mujeres profesionistas casadas.ºc) Profesionistas?

7. Una agencia de autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características:

57 tenían transmisión automática.77 tenían ambiente climatizado.45 tenían transmisión automática y ambiente climatizado.10 tenían transmisión automática pero no tenían autoestéreo ni climatizado.28 tenían transmisión automática y ambiente climatizado, pero sin autoestéreo.90 no tenían ninguna de las tres características mencionadas.10 tenían ambiente climatizado y autoestéreo.

¿Cuántas de estas unidades tenían autoestéreo?

Ejemplo.¿Cuántos numero de tres cifras, todas ellas distintas, se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

Solución. El total de números obtenidos es: 4 3 2 = 24

Ejemplo:¿De cuantas maneras se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y secretario de una asociación de vecinos, si hay 15 candidatos, y una persona no puede desempeñar más de un cargo?

Solución:V15, 3

= 15 14 13 = 2.730 formas distintas de efectuar el reparto de cargos.

Ejemplo:En una competencia de matemáticas quedan ocho finalistas. Si se van a dar cuatro premios y ningún competidor puede llevarse más de uno, ¿de cuantas maneras pueden quedar clasificados?

Solución:Para el primer puesto hay 8 posibilidades. Una vez determinado este, quedan 7 para el segundo lugar, 6 para el tercero y 5 para el cuarto. Por lo tanto, habrá:

V 8, 4 = 8 7 6 5 = 1.680 formas de quedar clasificados.

Ejemplo:¿Cuantos números de cuatro cifras distintas, y menores que 6.500, pueden formarse con los dígitos 2, 4, 6, 7, 8?

Solución:Los números menores que 6.500 son todos los que empiezan por 2, 4, 62 y 64.Si empiezan por 2, los tres lugares restantes hay que ocuparlos con tres números, a escoger entre 4, 6, 7, 8.Después del 2 (2……….), el primero puede ser cualquiera de los cuatro, el segundo cualquiera los tres que quedan y el tercero cualquiera de los dos sobrantes. Por lo tanto hay:V4, 3

= 4 3 2 = 24 números distintos que empiezan con el 2 Si empiezan con el numero 4, se razona del mismo modo, luego hay 24 números distintos que empiezan con el numero 4.Si empiezan con 62, los dos lugares restantes hay que llenarlos con dos números a escoger entre 4, 7, 8.

Después del 62 (62……….), el primero puede ser cualquiera de los tres, el segundo cualquiera los dos que quedan. Por lo tanto hay:V3, 2 = 3 2 = 6 formas de obtener números distintos que empiezan con el 62.Igualmente, 6 números que empiezan con el numero 64.

En total se pueden formar: V4, 3 + V4, 3 + V3, 2 + V3, 2 = 24 + 24 + 6 + 6 = 60 números

Ejemplo:

Se tira una moneda al aire 10 veces. ¿Cuántos resultados distintos pueden obtenerse?

Resolución:VRm,n = mn , VR2,10 = 210 = 1.024.Pueden obtenerse 1.024 resultados distintos.

¿Cuantas columnas distintas hay que rellenar en una quiniela de fútbol para tener la seguridad de acertar los 14 resultados?

Resolución:VRm,n = mn, VR3,14 = 314 = 4.782.969Hay que llenar 4 782 969 columnas distintas.

Ejercicios con factoriales:

1) Simplificar la expresión:

Resolución: = = 12 11 = 132

2) Simplificar la expresión:

Resolución: = = =

¿De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco? ¿y en una mesa circular?Resolución: Pm = m!, P8 = 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40 320.Ocho personas pueden sentar de 40 320 formas diferentes en un banco.

Pm = m!, P7 = 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5 040.Ocho personas pueden sentarse de 5.040 formas diferentes es una mesa circular, puesto que se debe considerar a una persona fija, porque puede ocurrir que al moverse todas las personas hacia un lado lo único que cambian son los asientos y no la ubicación.

Estas permutaciones son las permutaciones circulares y se representan por: PCn = Pn–1

Calcular la suma de todos los números de cinco cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5.

Resolución: Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 se pueden formar P5 = 5! = 120 números.Para obtener su suma hay que imaginarlos colocados en columnas y calcular cuantas veces aparece cada digito en cada lugar (unidades, decenas, centenas,…)

Cada digito aparece en cada lugar = 24 veces.

Así, la suma de todos los números que ocupan el lugar de las unidades será:24 . 1 + 24 . 2 + 24 . 3 + 24 . 4 + 24 . 5 = 360La suma de todos los números que ocupan el resto de los lugares es la misma. Por lo tanto, la suma de todos los números será: 360 + 360 . 10 + 360 . 102 + 360 . 103 + 360 . 104 = 3.999.960

Ejemplo:De todas las posibles formas de rellenar una quiniela de fútbol, ¿en cuantas aparece nueve veces el 1, tres veces la x y dos veces el 2?

¿Cuantos números distintos se pueden formar utilizando los números 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7?

Resolución:

Como no existen diferencias entres los números, salvo por la ubicación que puedan tener, las posibles ordenaciones de estos sietes elementos serán:

¿Cuánto números de 6 cifras significativas se pueden escribir con los digitos 0, 0, 0, 3, 3, 5?

Resolución:

La ordenación se debe hacer prescindiendo de los que empiezan por 0.

Si empiezan por 3 serán , puesto que quedan los elementos 0, 0, 0, 3, 5 por

ordenar:

Si empiezan por 5 serán , puesto que quedan los elementos 0, 0, 0, 3, 3 por

ordenar:

En total habrá: + = 20 + 10 = 30 números.

Ejemplos:1. ¿De cuantas formas se puede elegir a seis alumnos, entre 15, para representar

una obra de teatro (sin reparar en el papel que desempeñará cada uno)? ¿En cuantas de ellas estará un alumno determinado?

Resolución:El orden de elección no importa, lo que cuenta son las personas que intervendrán en la obra.

Suponiendo que un alumno determinado va a intervenir en la obra, quedan 14 alumnos para escoger los 5 restantes.

2. ¿Cuántas mezclas de tres colores se pueden hacer utilizando 7 colores distintos?

Resolución:Con 7 colores, tomándolos de 3 3n 3 hay mezclas diferentes.

3. De cuantas maneras se puede elegir un equipo formado por 3 mujeres y 2 varones de un grupo de 5 mujeres y 4 varones?

Resolución:

La elección de 3 mujeres entre 5, se puede hacer de formas diferentes.

La elección de 2 varones entre 4, se puede hacer de formas diferentes.

Luego, en total hay = 10 . 6 = 60 formas de elegir el grupo.

Ejemplos.

1. Una fabrica de caramelos hace bolsitas de 12 caramelos tomándolos de 5 clases diferentes ¿Cuántas bolsitas distintas ser pueden hacer?

Resolución:

Aplicando la expresión

Se tiene:

Ecuaciones combinatorias.

1. Resolver la ecuación V m, 4 = = 20Vm,2

Resolución:V m, 4

= m(m – 1) (m – 2) (m – 3) y V m, 2 = m(m – 1)

V m, 4 = = 20Vm,2 m(m – 1) (m – 2) (m – 3) = 20 m(m – 1)

Transponiendo:

Simplificando: (m – 2) (m – 3) = 20Multiplicando: m2 – 5m + 6 = 20 m2 – 5m – 14 = 0 Resolviendo: m = 7, Como es una ecuación de 2º grado tiene dos raíces, la otra raíz es 2, pero no verifica.

Resolver la ecuación: Pn = 132 Pn-2

Resolución:

Pn = n! = n (n – 1) (n – 2)! Pn-2 = (n – 2)! Por lo tanto: Pn = 132 Pn-2 n (n – 1) (n – 2)! = 132 (n – 2)!

Transponiendo:

Simplificando: n (n – 1) = 132Multiplicando: n2 – n – 132 = 0 luego m = 12

Resolver la ecuación

Resolución:

Si

Transponiendo:

Simplificando: (x – 2) (x – 3) = 20 . 4 . 3 x2 – 5x – 234 = 0 Resolviendo x = 18

Cuadro de resumen de combinatoria

Variaciones Importa el orden

Importan los elementos VRm,n = mn

Permutaciones Solo importa el orden Pm = m! = Vm,n Intervienen todos los elementos

Combinaciones No importa el orden

Solo importan los elementosQue intervienen