Parametros de Transformacion Entre Sistemas de Referencia Geodesicos y Cartograficos

7/24/2019 Parametros de Transformacion Entre Sistemas de Referencia Geodesicos y Cartograficos

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Parmetros de Transformacin entre Sistemas de Referencia Geodsicos y Cartogrficos

Para Aplicaciones del Ministerio de Bienes Nacionales

A partir de la adopcin oficial del Sistema SIRGAS (equivalente en la prctica a WGS84), comosistema de referencia geodsico oficial para Chile, la Divisin de Catastro del Ministerio deBienes Nacionales (MBN) requiere migrar coberturas cartogrficas incorporadas en losSistemas de Informacin Geogrfica (SIG) a SIRGAS (WGS84), referidas originalmente a lossistemas clsicos PSAD56 y SAD69. De lo anterior nace la necesidad de contar conparmetros de transformacin entre sistemas, con precisin aplicable a cartografa en escalasgrandes.El propsito de este trabajo es exponer la metodologa, aplicacin y resultados obtenidos de laestimacin de Parmetros de Transformacin (PT), mediante tcnica de Mnimos Cuadrados,de un rea piloto en la zona norte de Chile, cubriendo extensiones de hasta 900km en sentidonortesur, a partir de coordenadas de vrtices referidos a distintos sistemas de referencia, losque constituyen la base geodsica de la cartografa del MBN.

Introduccin

El advenimiento del nuevo marco de referencia Geodsico Nacional SIRGAS, viene a ser unapausa que permite a primera vista, prescindir de las Transformaciones de Datum, con losDatum Geodsicos Clsicos como PSAD56 o SAD69. Esto debido a que las medicionesdirectas de campo a travs de los instrumentales y tcnicas GPS, y posteriores pos procesos yAjustes, deben ser consideradas como nativas de SIRGAS, an cuando en estricto rigorWGS84 y SIRGAS son distintos, sin embargo en trminos prcticos coincidentes dentro de

pocos centmetros.Resulta evidente que el paso y utilizacin de un nuevo marco de referencia no serinstantneo, sino que un proceso que debiera mantenerse por algn tiempo, demandandonecesariamente el trabajo de establecer la adecuada migracin desde y hacia los Datumclsicos con SIRGAS, de los distintos productos cartogrficos y topogrficos yaGeorreferenciados en PSAD56 o SAD69 tanto por organismos pblicos como privados.

Objetivos

El presente estudio tiene como Objetivos Generales:

-

Establecer en el rea Piloto de Estudio, correspondiente a las I y II Regiones de Chile,parmetros de transformacin de Datum entre PSAD56 y SIRGAS, para aplicaciones de laDivisin de Catastro del Ministerio de Bienes Nacionales.

- Determinar la extensin territorial adecuada de aplicacin, versus precisiones de losparmetros de transformacin y sus residuos resultantes.

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Objetivos especficos:

-

Comparar los residuales de los parmetros para distintos mtodos de transformacin paradistintas extensiones territoriales, entre los distintos modelos a ser considerados.

- Establecer Procedimientos segn la precisin y aplicacin requerida, sea ella orientada a

las coberturas Cartogrficas o Levantamientos Topogrficos.

Precisiones Requeridas

El actual manejo digital a travs de los SIG y CAD de la informacin territorial, a significado

variar el concepto clsico de la escala como algo fijo y supeditado al papel, a uno dinmico ymultiescalar. Visto as, y ms all de la precisin propia de origen que tengan los diversosproductos cartogrficos y topogrficos, se busca a travs de la Transformacin con Parmetrosentre Sistemas clsicos y SIRGAS, reemplazar la necesidad de las operaciones de campo poroperaciones de gabinete equivalentes en precisin, consecuentemente se requiere deparmetros con precisiones submtricas y decimtricas. Para efectos de este estudio, se hanclasificado las precisiones residuales para los parmetros de transformacin, bajo lassiguientes categoras:

Categora Precisin Residual Origen Aplicacin

Mtrica 5 m IGM Cartografa regular a es

Mtrica-Submtrica 0.5 a 2 m MBN Cartografa y Planos Rural1:10.000

Decimtrica menor que 0.5 m MBN Todos los Planos urbanmayores a 1:10.000

AREA DE ESTUDIO

El rea de estudio corresponde a la zona norte de Chile, aproximadamente la I y II Regin, quecomprende una extensin en sentido norte sur de 970 km, en ella se distribuyen 36 vrticesque disponen de coordenadas SIRGAS y PSAD56 (15 de Primer, 10 de Segundo y 11 deTercer Orden, en el caso de las coordenadas en PSAD56). La figura N 1 ilustra la distribucingeogrfica de los vrtices y las sub reas de estudio R1 y R2 y R2N.

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Figura N 1: Distribucin de VrticesTabla N 1: Orden de los vrtices utilizados Vrtice N Orden Vrtice N Orden Vrtice N Orden1 3 21 3 33 1 2 3 22 1 34 3 3 1 23 3 35 2 7 1 24 2 36 1 11 2 25 1 37 3 12 2 26 3 38 1 15 1 27 1 39 3 16 3 28 1 40 2 17 2 29 3 54 2 18 2 30 3 55 1 19 1 31 1 56 2 20 2 32 1 57 1

Estimacin de los Parametros

La estimacin de Parmetros de Transformacin, requiere de una muestra de vrtices concoordenadas referidas a ambos sistemas, de tal forma que permitan tener suficientes gradosde libertad, y de esa forma posibilitar le estimacin mediante Mnimos Cuadrados. La relacinespacial entre sistemas de referencia tridimensionales (3D) puede ser modelada por 7parmetros (3 rotaciones, 3 traslaciones y 1 factor de escala) o por solamente 3 traslaciones,

en el caso ms simplificado. Por otro lado, sistemas bidimensionales (2D), por ejemplosistemas proyectivos cartogrficos UTM, pueden ser modelados por 4 parmetros (2traslaciones, 1 rotacin y 1 factor de escala) (Rapp, 1980; Blachut, 1979).El datum vertical es de origen fsico (alturas ortomtricas), mientras que las coordenadas de lossistemas clsicos PSAD56 y SAD69, latitud y longitud geodsicas, son de origen elipsoidal, enconsecuencia geomtricamente distintos, de esa forma las coordenadas cartesianas referidasal sistema PSAD56 pueden ser determinadas asumiendo la altura elipsoidal igual a laortomtrica, resultando un sistema tridimensional con restriccin . Segn lo discutido en[Ancis, 2003] ello no propaga su incertidumbre en las componentes horizontales.El siguiente esquema ilustra la relacin entre la naturaleza de las coordenadas y los modelos

de transformacin asociados.

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Figura N 2: Relacin de modelos de transformacin y coordenadas Modelos de Transformacin Modelo de Bursa-Wolf

Modelo de discutido por Bursa (1962) y Wolf (1963) relaciona dos sistemas tridimensionales decoordenadas cartesianas mediante 7 parmetros de transformacin, tres traslaciones,justificadas por los diferentes orgenes de los sistemas (TX, TY, TZ), tres rotaciones, que

expresan la falta de paralelismo entre los ejes (Rx, Ry, Rz) y un factor de escala que permitehomogenizar las relaciones mtricas de los sistemas (K) (Pearse, 1999).

Se expresa de la siguiente forma:

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Modelo Molodensky-Badekas

Modelo discutido por Molodensky (1962) y Badekas (1969), relaciona dos sistemastridimensionales de coordenadas cartesianas, al igual que Bursa-Wolf, mediante 7 parmetrosde transformacin pero se diferencia es la estimacin de un centroide o punto fundamental, porlo cual este modelo requiere, adems de contar con los 7 parmetros de transformacin, conlos valores de las coordenadas del centroide (Xm, Ym, Zm), que en forma prctica suman 10parmetros.

De acuerdo a Krakiwsky y Thomson (1974), el Modelo Molodesnky-Badekas es apropiado parala transformacin entre sistemas satelitales y terrestres. La adopcin de un centroide provocala disminucin de la fuerte correlacin entre los parmetros estimados, permitiendo interpretarms realistamente la relacin entre las precisiones de los parmetros y los residuos de lasobservaciones.

El modelo se expresa por:

Cabe destacar que los modelos Bursa-Wolf y Molodensky-Badekas entregan resultadosidnticos en la determinacin final de las coordenadas.

Modelo Transformacin de 4 Parmetros con centroide

Modelo de transformacin que relaciona dos sistemas bidimensionales mediante 4 parmetros,dos traslaciones (TX, TY), segn los ejes coordenados, un ngulo de rotacin entre ellos (w) yun factor de escala (K). Basado en el mismo principio geomtrico del modeloMolodensky-Badekas, el modelo 2D tambin puede ser reducido a un centroide (Em, Nm),principio que se adopt en este trabajo.

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ESTIMACIN DE PARAMETROS DE TRANSFORMACION

Habiendo sido definidos ambos modelos de transformacin, 2D y 3D, se definieron los modelosestocsticos que permiten estimar los parmetros mediante tcnica de Mnimos Cuadrados. Enrazn que ambos modelos funcionales, relacionan coordenadas, que en este caso secomportan como observaciones, con parmetros, el proceso debe ser desarrollado usandoEcuaciones de Observacin, el modelo de ajuste queda expresado como [Gemael, 1994]:

L = F(X)

Donde:L: vector de las observaciones,X: vector de los parmetros.La solucin al modelo anterior se expresa como:

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Donde:Xa: vector de los parmetros ajustados,P: matriz de pesos de las observaciones,Lo: vector de observaciones aproximadas en funcin de parmetros aproximados,Lb: vector de observaciones,A: matriz jacobiana de diseo,

Considerando que la muestra efectiva es de 30 vrtices con coordenadas conocidas, segeneran 90 y 60 ecuaciones de observacin, para los casos 3D y 2D resultando 83 y 56 gradosde libertad, para ambos casos respectivamente.A partir de la informacin obtenida del ajuste se contina con el proceso de estimacin yanlisis de la bondad del ajuste, que incluye la obtencin de la varianza aposteriori y lasmatrices de covarianzas de parmetros y coordenadas, esto ltimo permite, adems calcularcoeficientes de correlacin entre variables, informacin primordial para el anlisis dedependencia versus calidad de los parmetros.RESULTADOS MODELO 3D y 2D.

Se realizaron pruebas de estimacin de parmetros, para las dos primeras regionesgeogrficas del pas, primero en conjunto y luego cada una por separado. Posteriormente sedecidi abarcar un rea menos extensa con el objetivo observar las variaciones de precisionesy residuos obtenidos. En definitiva resultan cuatro reas comprendidas de la siguiente manera:

Tabla N 2: Divisin de reas de estudio para la Primera y Segunda Regin de Chile.

rea desde hasta extensin N-S aprox.

R1-2 extremo norte latitud 26,5S 970 km

R1 extremo norte latitud 22S 480 km

R2 latitud 22S latitud 26,6S 510 km

R2N latitud 21,2S latitud 23,0S 200 km

Cabe resaltar que, con el fin de comparar resultados entre modelos, la muestra de puntos

considerada fue estrictamente igual en una misma rea para todos los modelos.

Finalmente se presentan los valores obtenidos en la estimacin de los parmetros de

transformacin para el modelo Molodensky-Badekas (MB), el de 4 parmetros ms centroide y

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de Bursa Wolf (BW), con sus precisiones asociadas, ordenados por rea de estudio y modelo

Tabla N 3: Parmetros de Transformacin PSAD56 a SIRGAS, estimados para el Proyecto

Piloto del Ministerio de Bienes Nacionales de Chile.

Modelo Molodensky-Badekas de 7 Parmetros

rea R1-2 rea R1 rea R2

Parm. Valor Desv Est. Valor

TX: -305.257 m 0.35 m -298.216 m

TY: 278.485 m 0.35 m 259.531 m

TZ: -358.598 m 0.35 m -363.822 m

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K: 1.000009093 0.000001175 1.000005214

RX: -10.71 0.44 -13.87

RY: -10.64 0.30 -11.73

RZ: 15.22 1.01 19.68

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Centr. . . .

X: 2065900 m . 2103800 m

Y: -5510100 m . -5615900 m

Z: -2441700 m . -2165300 m

Modelo 2D de 4 Parmetros

rea R1-2 rea R1 rea R2

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Centr. . . .

E: 454100 m . 451500 m

N: 7492700 m . 7791000 m

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Modelo Bursa-Wolf de 7 Parmetros

rea R1-2 rea R1 rea R2 .

Parm. Valor Desv Est. Valor Desv Est. Valor Desv Est.

TX: 208.466 m 31.60 m 349.851 m

TY: 354.167 m 13.96 m 343.903 m

TZ: 56.437 m 7.69 m 144.897 m

K: 1.000009093 0.000001175 1.000005214

RX: -10.71 0.44 -13.87

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RY: -10.64 0.30 -11.73

RZ: 15.22 1.01 19.68

ANLISIS DE RESULTADOS.

Posterior a la obtencin de parmetros y su precisin, adems de los residuos de las muestras,se procedi a compararlos entre modelos en una misma zona.Siendo los modelos de distinta naturaleza, y con el objeto de comparacin de residuos, serealiz la transformacin de los residuos 3D (coordenadas cartesianas geocntricas), a valores

segn las componentes horizontales en sentido norte-sur y este-oeste, hacindolascomparables con sus homlogas provenientes del modelo 2D, expresados en los grficos N1a N 6. Tambin se calcularon las desviaciones estndar de los residuos de las muestras,informadas en la tabla N7.

Tabla N 4, desviaciones estndar de residuos (valores en metros)

. rea R1-2 rea R1 rea R2

VE VN VE VN

Modelo 3D - 7 Parmetros (MB) 1.25 0.99 0.66

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Modelo 2D - 4 Parmetros 0.97 0.96 0.75

Se destaca de los grficos, la similitud de la tendencia de los residuos resultantes para unamisma muestra. Lo anterior refleja la tendencia de las transformaciones, producto de ambos

modelos (3D de 7 parmetros MB y 2D de 4 parmetros), a entregar resultadosestadsticamente equivalentes en las coordenadas horizontales, afirmacin basada tambin enla desviacin estndar de las diferencias, del orden de 0.15 m.

Grficos N1 y 2, residuos modelo de 7 y 4 parmetros, rea R1-2.

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Grficos N3 y 4, residuos modelo de 7 y 4 parmetros, rea R1.

Grficos N5 y 6, residuos modelo de 7 y 4 parmetros, rea R2.

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Grficos N7 y 8, diferencia residuos modelo de 7p vs. 4p, rea R1.

Grficos N9 y 10, residuos modelo de 7 y 4 parmetros, rea R2N.

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Como se indic al inicio de este trabajo se utilizaron vrtices de I, II y III orden para laestimacin de los Parmetros de Transformacin, en los grficos que ilustran los residuosobtenidos por los diferentes modelos y reas se observa la tendencia de vrtices a entreganvalores fuera de la normalidad, con residuos fuera del intervalo de 95% de confianza. Alconfrontar estos sus respectivos rdenes, se verific que en torno del 80% corresponde avrtices de III orden.Validacion de los Parametros de Transformacion

Del total de vrtices disponibles se reservaron seis de ellos como control, estos fuerondesplegados en el programa ArcMap.

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Figura N 3: Distribucin geogrfica de vrtices de controlLa siguiente tabla expresa las diferencias obtenidas para cada vrtice una vez aplicando losdiferentes conjuntos de PT. Estos valores pueden ser considerados como el error encoordenadas planimtricas.Tabla N 5: diferencias de coordenadas en puntos de control (valores en metros) Vert. rea R1-2 rea R1 rea R2 7P MB 4P 7P MB 4P eX eY eX eY SBTC (3)* 1.42 0.15 0.45 RAUL (2) -1.33 -0.92 -1.02 MOCT (2) -1.29 -0.15 -0.75 SPAN (1) -0.66 -0.93 -0.09 SFRE (1) -0.27 0.26 0.29 ASMO (1) -0.87 0.06 -0.54( ) * Orden en precisin Aplicacin en Sistema de Informacin Geogrfica

Para ilustrar una forma practica de aplicacin, se configur ArcGis v9.1 con los 7 parmetrosobtenidos mediante el modelo de BW y con 3 traslaciones obtenidas del modelo de MB. EnArcGis el mtodo denotado por Method Molodensky considera slo tres traslaciones.

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Figura N 4: Configuracin de 7 y 3 Parmetros de Transformacin en ArcGis v9.1Diferencia entre coordenadas transformadas con 7 y 3 parmetros en vrtice SPAN.Tabla N 6: diferencias de coordenadas en vrtice SPAN (valores en metros) Vrtice 7 PT BW 3 PT (Traslaciones) eX eY eX eY 27 (SPAN) 0.60 0.75 1.36

Figura N 5: diferencias vrtice 27 (SPAN)En general se aprecia que el empleo de slo 3 parmetros degrada en exceso la posicin endistancia respecto del control en una proporcin promedio de 2:1. CONCLUSIONES.

Respecto de la precisin esperada.

Cabe hacer notar que, basados en el principio de propagacin de errores, la calidad final delproceso de estimacin y residuos resultantes, estar limitado por la calidad de los datosinvolucrados, es decir, no ser mejor que la precisin de la muestra.

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Respecto de los residuos de la muestra.

Basado en la tabla n 9 y los grficos n 1 a 10 se concluye que la precisin promedio obtenidamediante ambos modelos, varia desde el orden de 1 metro para una extensin aproximada de970 km, hasta 0.5 metros para extensiones de 200 km. Este ltimo valor puede serconsiderado en la prctica como limite de precisin en virtud de la densidad de la muestra,resultando para reas menores a aproximadamente 200 km, resultan insuficientes grados delibertad para la estimacin de los PT mediante Mnimos Cuadrados.

Respecto de los modelos de transformacin.

Aplicados los dos modelos, 3D Molodensky-Badekas y 2D de Similaridad, entre PSAD56 ySIRGAS para cuatro reas diferentes, basado en los mismos vrtices, los resultados a lascoordenadas planimtricas (Este y Norte) fueron estadsticamente iguales, conduciendo almismo resultado prctico.

Respecto de la precisin de los parmetros de transformacin.La precisin resultante para los parmetros son acordes con los residuos obtenidos de lascoordenadas transformadas, en ambos modelos, es decir, las traslaciones, rotaciones y factorde escala, son del mismo orden de magnitud para cada tamao de rea considerada.

Respecto de la influencia de la altura ortomtrica.

Considerando que los datos altimtricos son de distinta naturaleza en ambos sistemasconsiderados (elipsoidal en SIRGASy ortomtricas en PSAD56), estas diferencias introducenuna tendencia en los parmetros de transformacin, consecuentemente en los residuos de lascoordenadas cartesianas geocntricas transformadas, pero no as en sus proyeccionesplanimtricas. Dicho de otra forma, las indeterminaciones de las componentes verticales, enambos sistemas, no afectan las coordenadas horizontales.

Respecto de la aplicacin de los parmetros.

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La aplicacin efectiva de los parmetros fue realizada en ArcGis v9.1 para 7 y 3 parmetros(Bursa-Wolf y Molodensky respectivamente) confirmando que las diferencias de coordenadas

de los puntos de control (tabla N5) se mantienen en la aplicacin en ordenes similares.

Ha quedado momentneamente pendiente, en virtud del espacio y tiempo disponible para estetrabajo, el estudio de los testes estadsticos a la varianza a posteriori del ajuste y la normalidadde la muestra, as como la determinacin de las elipses de errores de las coordenadas.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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Fuente:

Ren Zepeda G. - Universidad Tecnolgica Metropolitana; Csar Ocares B. - Ministerio deBienes Nacionales; Diego Ortiz J.;Diego Ortiz J.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

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