Curso Estadıstica BayesianaPARCIAL 1

Departamento de EstadısticaUniversidad Nacional de Colombia

Sede Bogota

16 de marzo de 2016

1. Introducion

Prepare su informe en Latex. Maximo de 15 hojas. Incluya el codigode su programa en un archivo de texto por separado. Envıe la solucionde su examen antes de las 12.00 de la noche del dıa 16 de marzo de 2016a las direcciones electronicas: ammontenegrod@unal.edu.co; ammonte-negrod@gmail.com Pueden usar todo lo que necesiten. Cada examen debeser presentado por dos personas como maximo.

2. Conceptos Basicos

Explique brevemente en sus propias palabras los siguientes conceptos.

1. Distribucion a priori de Jeffreys.

2. Distribucion a posteriori.

3. Estimadores Bayesianos EAP (esperanza a Posteriori), MAP (moda aposterirori) Mediana a posteriori.

4. Algoritmo de Gibbs, Algoritmo de Metropolis.

5. Diferencia entre intervalo de confianza e intervalo de credibilidad.

Valor 0.5

1

3. Modelo Poisson - Gamma

Considere una muestra de tamano N de una distribucion de Poisson.(y1, . . . , yN)t ∼ Pois(λ) .

1. Considere la a priori plana p(λ) ∝ 1. encuentre la distribucion a poste-riori, y el estimador bayesiano EAP de λ.

La distribucion a posteriori esta dada por:

P (λ|Y ) =P (λ)P (Y |λ)

P (Y )∝ P (λ)P (Y |λ),

donde:

P (Y |λ) =N∏i=1

e−λλyi

yi!y P (λ) ∝ 1.

Ası:

P (λ|Y ) ∝N∏i=1

e−λλyi

yi!∗ 1 ∝ e−λNλ

∑Ni=1 yi = e−λNλ[1+

∑Ni=1 yi]−1.

Por definicion el Kernell de una distribucion Gamma con parametrosα y β, tiene la siguiente forma:

xα−1e−βx.

Entonces se tiene:

P (λ|Y ) v Gamma

((1 +

N∑i=1

yi), N

).

Finalmente el EAP (λ) es:

EAP (λ) = E(P (λ|Y ) = E

[Gamma

((1 +

N∑i=1

yi), N

)]=

1 +∑N

i=1 yiN

2

2. Considere la a priori de Jeffreys p(λ) ∝ [I(λ)]1/2, en donde I(λ) es lainformacion de Fisher para λ. Encuentre la distribucion a posteriori deλ y el estimador bayesiano EAP de λ. En las clases del curso puedeencontrar ayuda, clase 09.La informacion de Fisher para λ es:

Iy(λ) = −Eλ[

∂

∂ λ2logP (y|λ)

]= −Eλ

[∂

∂ λ2

(log(e−λNλ

∑Ni=1 yi

))]= −Eλ

[−

[(1 +

N∑i=1

yi

)− 1

]λ−2

]= Eλ

[(1 +

N∑i=1

yi

)λ−2 − λ−2

]

=1 +Nλ

λ2− 1

λ2=N

λ

Luego la distribucion a priori, es:

P (λ) ∝√Iy(λ) =

√N

λ

Ası la distribucion a posteriori es:

P (λ|Y ) ∝ P (λ)P (Y |λ) =

√N

λ

N∏i=1

e−λλyi

yi!

∝ λ−1/2λ∑N

i=1 yie−Nλ = e−Nλλ(1/2+∑N

i=1 yi)−1

v Gamma

(1/2 +

N∑i=1

yi, N

).

Finalmente el EAP (λ) es:

EAP (λ) = E(P (λ|Y ) = E

[Gamma

((1/2 +

N∑i=1

yi), N

)]

=1/2 +

∑Ni=1 yi

N=

1

2N+

∑Ni=1 yiN

3. Considere la a priori general Gamma(α, β). Encuentre la distribuciona posteriori de λ, el estimador bayesiano EAP de λ y la varianza de la

3

distribucion posterior de λ.Para este caso la distribucion a priori sera:

P (λ) =λα−1e−βλ

Γ(α)β−α ∝ λα−1e−βλ

4. Haga una simulacion: a partir del item anterior: genere un valor para λusando la distribucion Gamma(10, 5). Genere una muestra de tamanoN = 100 para la distribucion Pois(λ). Use la apriori de Jeffreys ycalcule directamente el estimador bayesiano EAP de λ.

5. Escriba sus conclusiones y comentarios.

Valor: 1.0

4. Muestreador para la Distribucion Kuma-

raswamy

Una variable aleatoria Y tiene distribucion de Kumaraswamy con parame-tros p, q si su funcion de distribucion acumulada es dada por:

K(y|p, q) = 1− (1− yq)p, 0 < y < 1. (1)

1. Calcule la correspondiente funcion de densidad.

2. Escriba un algoritmo generico para obtener muestras aleatorias de ladistribucion. Ayuda. La funcion cuantil (inversa de la funcicon de dis-tribucion) puede calcularse directamente.

3. Pruebe su algoritmo para obtener una muestra aleatoria de tamanoN = 10000 de la distribucion K(y|2, 3).

4. A partir de la muestra estime: media, moda, mediana, varianza, errorestandar y cuantiles 2,5 y 97,5. Presente los resultados en una tabla.

5. Elabore un grafico de la densidad, usando la funcion de densidad y otroa partir de la muestra.

6. Escriba sus conclusiones y comentarios.

Valor: 1.5

4

5. Aplicacion practica

Considere el siguiente conjunto de datos.

x = (1, 2, 4, 4, 5, 8, 10, 10, 12, 15, 20, 22, 25, 25, 30, 35, 40, 50, 50)

Y = (925, 870, 809, 720, 694, 630, 626, 562, 546, 523, 480, 486, 462,

441, 426, 368, 350, 348, 322)

n =19.

La variable x corresponde a la edad de 19 hogares, y la variable Y , es latasa de propiedades de cada uno de los 19 hogares. Los hogares fueron selec-cionados aleatoriamente. Considere Y como variable de respuesta y considereel predictor lineal µi = β1 + β2xi + β3x

2i . Considere que la variable Y tiene

distribucion normal N(µi, σ2).

1. Construya una grafica de las observaciones, y verfique la relacion cuadrati-ca existente entre las variables.

2. Proponga una a priori para cada uno de los parametros del vectorβ = (β, β2, β3)

t. Proponga una a priori para τ = 1/σ2.

3. Escriba en forma detallada y completa el modelo bayesiano correspon-diente.

4. Ajuste el modelo bayesiano del item anterior. Graficamente muestre laconvergencia de la cadenas de Markov, las densidades de las posterio-res. Calcule las estadısticas basicas: media, mediana, varianza, error deMonte Carlo, quantiles 2.5 y 97.5. Presente sus resultados en una tabla.

5. Escriba sus conclusiones y comentarios.

Valor: 2.0

5