Parte III Del Libro...Matrices y Determinantes...Buenoooo

MATRICES Y DETERMINANTES

383

CAPÍTULO VII MATRICES Y DETERMINANTES

7.1. MATRIZ

Una matriz es un conjunto de números reales y/o complejos que se encierran en un paréntesis o corchete de manera rectangular. Los números están distribuidos en filas y columnas, que nos permite ubicar en qué lugar específico se encuentran cada número que pertenece a la matriz. En general, podemos expresar una matriz de la siguiente manera:

Los números reales o complejos:

se llaman elementos de la matriz.

Las líneas horizontales se llaman filas. Así se tiene que:

FILA 1:

FILA 2:

FILA 3:

FILA m:

Las líneas verticales se llaman columnas. O sea:

COLUMNA 1 COLUMNA 2 COLUMNA 3 COLUMNA n

La matriz dada tiene filas y columnas. Si denotamos a esta matriz como , diremos

que la matriz es de orden y escribiremos , los elementos de la matriz

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1 21 22 23 2 31 32, , , , , , , , , , , ,n na a a a a a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

33 3 1 2 3, , , , , , ,n m m m mna a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1na a a a⋅ ⋅ ⋅

21 22 23 2 na a a a⋅ ⋅ ⋅

31 32 33 3na a a a⋅ ⋅ ⋅

M M M M M M M M

1 2 3m m m m na a a a⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅11

21

31

1m

a

a

a

a

⋅⋅⋅

12

22

32

2m

a

a

a

a

⋅⋅⋅

13

23

33

3m

a

a

a

a

⋅⋅⋅

1

2

3

n

n

n

mn

a

a

a

a

⋅⋅⋅

m n MM m n× m nM × M


384

tienen la forma i ja , donde i representa el número de la fila (1 i m≤ ≤ ) y j representa el

número de la columna (1 j n≤ ≤ ). La matriz M también la podemos representar por

i jm n

M a×

= o simplemente por i jM a = .

Ejemplo:

2 5 7 3 2

14 1 2 5

2

3 3 0 1

e

M

i

π

− = − −

−

M es una matriz que tiene 3 filas y 4 columnas, entonces M es de orden 3 4× y

escribiremos 3 4M × .

Los elementos de la matriz M son:

11 2a = 12 5a = − 13 7a e= 14 3 2a =

21 4a = − 22

1

2a = 23 1 2a = − 24 5a π=

31 3a = 32 3a i= 33 0a = 34 1a = −

Observa por ejemplo que 23 1 2a = − es el elemento ubicado en la fila 2 y la columna 3 .

7.2. TIPOS DE MATRICES

A) Matriz cuadrada

Una matriz se dice que es cuadrada, cuando tiene el mismo número de filas y columnas. Es decir, una matriz M de orden m n× es cuadrada sí m n= . Diremos que una matriz cuadrada es de orden n n× o simplemente de orden n , su representación matricial es:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n n n

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Al conjunto formado por los elementos 11 22 33, , , , n na a a a⋅ ⋅ ⋅ se le llama diagonal

principal de la matriz cuadrada de orden n . Ejemplos:

a) 1 3

2 0A

− = − es una matriz de orden 2 .


385

b)

13 5 2

2

2 0 7 1

71 4

31

0 13 2 34

i iB

e

π − − +

= − − −

es una matriz cuadrada de orden 4 .

B) Matriz fila

Es aquella matriz que tiene una sola fila. La matriz fila es de orden 1 n× . Su representación matricial es:

11 12 13 1na a a a ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplos:

a) [ ]2 1 4− , es una matriz fila de orden 1 3× .

b) 3

5 0 42

i π − , es una matriz fila de orden 1 5× .

C) Matriz columna

Es aquella matriz que posee una sola columna. La matriz columna es de orden 1m× . Su representación matricial es:

11

21

31

1m

a

a

a

a

⋅ ⋅

⋅

Ejemplos:

a)

0

1

2

5

π

−

es una matriz columna de orden 5 1× .


386

b)

3

0

1

4

− −

es una matriz columna de orden 4 1× .

D) Matriz nula

Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por cualquiera de

las siguientes formas: [ ] [ ]0 0m n m nO O × ×= = = , donde 0 ,i ja i j= ∀ ∧ ∀ .

Ejemplos:

a) [ ]0 0 0 0 0 0 0 , es una matriz de nula de orden 1 7× .

b) La matriz nula de orden 2 (matriz nula cuadrada de orden 2 2× ) es: 0 0

0 0

, que

se expresa simbólicamente por [ ] 2 20 × .

c) La matriz [ ] 3 50M ×= es la matriz nula de orden 3 5× y se representa

matricialmente de la siguiente manera:

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

E) Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada, donde todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal, son iguales a cero. La matriz diagonal de orden n se representa así:

11

22

33

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 n n

a

a

a

a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Observación:

Los elementos de la diagonal principal 11 22 33, , , , n na a a a⋅ ⋅ ⋅ pueden ser iguales o

diferentes de cero. Ejemplos:

a)

4 0 0

0 5 0

0 0 7

−

es una matriz diagonal de orden 3 .


387

b)

5

6 0 0 0 0

710 0 0 0

40 0 0 0 0

0 0 0 3 2 0

10 0 0 0 8

3

i

− − −

es una matriz diagonal de orden 5 .

F) Matriz unidad o identidad

Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a la unidad (1). Es decir, es una matriz cuadrada de orden n , donde todos sus elementos son ceros, excepto los de la diagonal principal que son todos iguales a 1. La matriz Identidad

o unidad la denotamos por nI , donde se cumple que 0i ja = , sí i j≠ y 1i ja = ,

sí i j= . La representación matricial de la matriz identidad nI es:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

nI

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplos:

a) 1 0

0 1M

=

es la matriz identidad de orden 2 . En este caso 2M I= .

b) 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

=

es la matriz identidad o unidad de orden 4 .

G) Matriz triangular

Es aquella matriz cuadrada que tiene todos los elementos que están por debajo o por encima de la diagonal principal, iguales a cero. Sí los elementos que están por debajo de la diagonal principal, son iguales a cero, entonces diremos que la matriz es triangular superior. Sí los elementos que están por encima de la diagonal principal, son iguales a cero, entonces se dice que la matriz es triangular inferior. La representación matricial de estas dos tipos de matrices, es como sigue:


388

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0

0 0

0 0 0

n

n

n

mn

a a a a

a a a

a a

a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11

21 22

31 32 33

1 2 3

0 0 0

0 0

0

m m m mn

a

a a

a a a

a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Matriz triangular superior Matriz triangular inferior

Ejemplos:

a)

2 4 5

0 1 2

0 0 3

A

− = −

es una matriz triangular superior de orden 3 .

b)

1 0 0 0

2 3 0 0

2 5 2 0

1 0 1 0

B

− = − −

es una matriz triangular inferior de orden 4 .

H) Matriz transpuesta

Dada una matriz A de orden m n× , la matriz transpuesta de A denotada por TA , es

una matriz de orden n m× , cuyas filas son las columnas de A y sus columnas son las filas de A. Es decir, la matriz transpuesta de A , se obtiene intercambiando las filas y las

columnas de A. Simbólicamente, si la matriz es i j m nA a

× =

, entonces su transpuesta

es la matriz Tji n m

A a×

=

. En forma matricial, lo representamos así:

11 12 13 1 11 21 31 1

21 22 23 2 12 22 32 2

31 32 33 3 13 23 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m nm

T

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

A A

a a a a a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplos:

a)

3 1 2 3 0 5

0 2 4 1 2 1

5 1 3 2 4 3

TA A

− − − = ⇒ = − − −


389

b)

1 2

1 3 0 5 3 5

2 5 4 1 0 4

5 1

TB B

− − − = ⇒ = −

Nótese que la matriz B es de orden 2 4× y su transpuesta TB es de orden 4 2× .

I) Matriz simétrica:

Una matriz cuadrada A es simétrica sí TA A= . Es decir, si los elementos simétricos de

las matrices A y TA son iguales. Simbólicamente si la matriz i j n nA a

× =

, entonces A

es simétrica sí su matriz transpuesta es Tji i jn n n n

A a a× ×

= =

. O sea sí

, , 1, 2, ,i j jia a i j n= ∀ ∈ LL .

Ejemplos:

a) La matriz 2 5

5 4A

− − = − es simétrica, ya que su transpuesta es

2 5

5 4TA

− − = − . Por

lo tanto se cumple que TA A=

b) La matriz

3 5 1 0

5 4 7 8

1 7 6 9

0 8 9 2

B

− − − = − − − − −

es simétrica, ya que

3 5 1 0

5 4 7 8

1 7 6 9

0 8 9 2

TB B

− − − = = − − − −

J) Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada es antisimétrica sí TA A= − . Simbólicamente si la matriz

i j n nA a

× =

, entonces A es antisimétrica sí su matriz transpuesta es

Tji i jn n n n

A a a× ×

= = −

. O sea sí , , 1, 2, ,i j jia a i j n= − ∀ ∈ LL . Para este

tipo de matriz, la diagonal principal de A debe tener todos sus elementos nulos. Ejemplos:

a) La matriz 0 7

7 0A

− =

es antisimétrica, debido a que 0 7

7 0TA A

= = − −

b) La matriz

0 2 8

2 0 3

8 3 0

B

− = − −

es antisimétrica, ya que

0 2 8

2 0 3

8 3 0

TB B

− = − = − −

K) Matriz opuesta

Dada una matriz A de orden m n× , la matriz opuesta de A , denotada por A− , es una

matriz de orden m n× , cuyos elementos son los mismos de A , pero con signos distintos.


390

Es decir, sí i j m nA a

× =

, entonces i j m nA a

× − = −

. La representación matricial de

ambas matrices la damos a continuación:

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

A A

a a a a a a a

⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ mna

⋅ ⋅ −

Ejemplos:

a) 3 3

7 1 7 15 5

4 2 4 2

3 2 3 22 10 2 10

8 8

i i

A A

− − − + = ⇒ − = − −

b) ( )

( )2 1 2 1 2 1

0 3 0 3 0 3

4 3 4 3 4 3

B B

− − − − − = − ⇒ − = − − − = − − − −

c) 5 5

3 2 0 3 2 0

1 11 2 1 2

2 2

7 4 3 9 7 4 3 9

4 2 6 0 4 2 6 0

C C

e e

i i

π π

− − − − −

= ⇒ − = − − − − − + −

L) Matrices iguales

Dos matrices i jA a =

y i jB b =

son iguales, si son del mismo orden y sus

elementos correspondientes (los que están en el mismo lugar) son iguales. Es decir:

,i j i jA B a b i j= ⇔ = ∀ ∧ ∀ .

Las representaciones matriciales de A y B son:

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m mn

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

A y B

a a a a b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


391

11 11 12 12 13 13 1 1

21 21 22 22 23 23 2 2

31 31 32 32 33 33 3 3

1 1 2 2 3 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

n n

n n

n n

m m m m m m mn mn

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

A B

a b a b a b a b

= = = ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ =

Ejemplos:

a) 5 3

1 4A

− = − y

5 3

1 4B

− = − son iguales, lo que es obvio a simple vista.

b)

2

1

3

0

3 2 2

9 5

70

34 30

i

C

Sen

− + =

−

y

3

3 0

81 5

10 2

31

42

D

=

−

son iguales, ya que son del

mismo orden y sus elementos respectivos son iguales. Observe las siguientes operaciones y simplificaciones:

3 3− = ( )22 2 2 1 2 2 2 0i + = − + = − + = 81 9=

13 1 335 5 5= =

3 2 11 72

3 3 3

⋅ += = 0 130

2Sen =

Ejercicios resueltos:

1) Dada la matriz 3 2i jM a×

=

, donde cada elemento de M se obtiene mediante la

fórmula: 2 3i ji ja −= . Hallar todos los elementos de la matriz M y representarla en

su forma matricial: Solución:

La representación matricial de la matriz 3 2i jM a×

=

es de la forma:

11 12

21 22

31 32

a a

M a a

a a

=

y como 2 3i ji ja −= , entonces los valores de los elementos son:

( ) ( )11 2 1 3 1 2 3 1a = − = − = − ( ) ( )12 2 1 3 2 2 6 4a = − = − = −

( ) ( )21 2 2 3 1 4 3 1a = − = − = ( ) ( )22 2 2 3 2 4 6 2a = − = − = −


392

( ) ( )31 2 3 3 1 6 3 3a = − = − = ( ) ( )32 2 3 3 2 6 6 0a = − = − =

Por lo tanto,

1 4

1 2

2 0

M

− − = −

.

2) Determinar los valores de , , ,a b x z, sabiendo que las matrices:

2 3 8 4

10 3

5

15 4 25 2

a

A x

z b

− = − −

y ( )

25 8 3

10 2 2

510 2

7 202

i

B z

bx

− = + − −

, son iguales.

Solución:

Por definición, dos matrices A y B son iguales, si tienen el mismo orden y sus

elementos correspondientes son iguales. Luego, se cumple que:

I) 2 3 5a − = II) 8 8= III) 24 3 i= −

IV) 0 0= V) ( )3 2 2x z= + VI) 1 1

5 5− = −

VII) 15 7z x− = VIII) 4 25 20= IX) 10 2

22

bb

−=

En II) , IV) y VI) es obvio que: 8 8= , 0 0= y 1 1

5 5− = −

En III) ( )24 3 4 3 1 4 3 1 4 4i= − ⇒ = − − ⇒ = + ⇒ = (verdadero)

En VIII) 4 25 20 4 5 20 20 20= ⇒ ⋅ = ⇒ = (verdadero)

En I) 8

2 3 5 2 5 3 2 8 42

a a a a a− = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =

En IX) 10 10 5

2 4 10 2 4 2 10 6 102 6 3

bb b b b b b b

−= ⇒ = − ⇒ + = ⇒ = ⇒ = =

En V) y VII), tenemos un par de ecuaciones con las dos mismas incógnitas, el sistema formado por estas dos ecuaciones, la resolveremos por el método de reducción, así:

( ) 3 2 4 3 2 43 2 2

15 7 7 1515 7

x z x zx z

x z x zz x

= + − = = + ⇒ ⇒ = + + =− =

7 3 2 4 21 14 28

3 7 15 21 3 45

x z x z

x z x z

− − = − + = − ⇒ + = + =

1717 17 1

17z z= ⇒ = =


393

Sustituimos z por 1 en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo:

( ) 63 2 4 3 2 1 4 3 2 4 3 4 2 3 6 2

3x z x x x x x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = =

Por lo tanto, los valores de , , ,a b x z son:

4a = , 5

3b = , 2x = y 1z =

3) Escribir la representación matricial de :

a) La matriz nula de orden 5 4× .

b) La matriz identidad de orden 6 .

c) La matriz transpuesta de

5

2 1 3

0 2

A i

e

π−

= −

.

d) La matriz opuesta de

14 2 3 2 7 2

47

0 3 2 12

eB

iπ

− − = − + −

e) Una matriz fila de orden 1 4× .

f) Una matriz columna de orden 3 1× .

g) La matriz diagonal de orden 3 , en forma generalizada.

h) Una matriz triangular superior de orden 5 .

i) Una matriz de orden 2 .

j) La matriz simplificada igual a

33 16 0

52 4

3 43

7 52

i i

C Cos

Lne

π

+ = − −

k) Una matriz triangular superior de orden 3 , en forma generalizada.

l) Una matriz simétrica de orden 3 .

m) Una matriz antisimétrica de orden 5 .

n) La siguiente situación empresarial: El gerente de una empresa ganó Bs 12000 ,

13000 , 15000 en los meses de enero, febrero y marzo. El trabajador que ganó

menos, le cancelaron en los mismos meses Bs 2560 , 2800 y 3750 .


394

Solución:

a)

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

b)

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

c) 5 2 0

1 3 2

TAi eπ

−= −

d)

14 2 3 2 7 2

47

0 3 2 12

eB

iπ

− + − − − =

− −

e) 7

4 0 32

−

f)

5

2

1

−

g)

11

22

33

0 0

0 0

0 0

a

a

a

h)

2 1 6 21 4

0 5 1 2 3

0 0 1 7 5

0 0 0 4 1

0 0 0 0 3

− − − − − −

i) 3 0

4 1

− −

j)

12 0 0

1 24

3 213

7 12

−

k) 11 12 13

22 23

33

0

0 0

a a a

a a

a

l)

2 1 7

21 5

37 5 4π

− − − − −

m)

0 3 8 2 1

3 0 4 0

8 4 0 5 9

2 0 5 0 2

1 9 2 0

π

π

− − − − − − − − −

n) 12000 13000 15000

2560 2800 3750

Empresa Ganancia Enero Ganancia Febrero Ganancia Marzo

Gerente

Trabajador

12000 13000 15000

2560 2800 3750

es la representación matricial para este caso.


395

Ejercicios propuestos:

1) Dada la matriz i j m na

×

, donde cada elemento se obtiene mediante la fórmula dada

para i ja . Determinar los elementos de cada matriz y hacer su representación matricial.

a) 2 3i jM a×

=

y i ja i j= +

b) 4 1i jN a×

=

y 1

2i ja i j= −

c) 3 5i jT a×

=

y 4 2i ja i j= −

d) 2 2i jR a×

=

y 3 2

4 3i ja i j= −

Respuestas:

a) 2 3 4

3 4 5M

=

b)

1

20

1

21

−

c)

2 0 2 4 6

6 4 2 0 2

10 8 6 4 2

T

− − − = −

d)

1 7

12 125 1

6 6

R

− =

2) Determinar los valores de las letras, sabiendo que los siguientes pares de matrices son iguales:

a) 4 3 9

2 5 1

aA

b

− = +

y 0

2 6 9

1 45

aB

b Tag

− = +

b)

811 3 1 3

163 4 5 3

4 4 70

9 3

b

C x

y

− −

= − − −

y

2 9 91

4

6258 3

5

20

3

i

D

ay

= −

−


396

c) 3

11 52

27

92

2 7 3

x yz

E

a

+ + − − = − − −

y 2

3

2 1 8 4

13 3

23 3

x y z

F

y

+ − − = − −

Respuestas:

a) 2a = y 4b = − b) 4

9a = ,

2

3b = , 4x = y 1y =

c) 5a = , 2x = − , 1y = y 2z =

3) Escribir la representación matricial de :

a) La matriz identidad de orden 3 .

b) La matriz columna de orden 6 , en forma generalizada.

c) La matriz cuadrada de orden 5 , en forma generalizada.

d) La matriz nula de orden 4 3× .

e) Una matriz fila de orden 1 6× .

f) Una matriz diagonal de orden 4 .

g) La matriz opuesta de

4 3 25 4 0

5

2 3 1 3 1

70 2 3 2 9

4

e

A

i

π

π

−− = − − + − −

h) La matriz transpuesta de

1 2 3 2 0

0 1 3 2 4

5 2 0 1 0

1 0 2 4 5

B

− − − − = − − − −

i) La matriz triangular inferior de orden 4 , en forma generalizada.

j) Una matriz triangular superior de orden 6 .

k) La matriz simplificada de

1

3

2

1 5 2 49 564

6 4 6 92

4 0 3 25

CscC

Lci

Dc

π −− = −

.

Donde Lc y Dc son la longitud y el diámetro de una circunferencia cualquiera.


397

l) Una matriz simétrica de orden 5 .

m) Una matriz antisimétrica de orden 4 .

n) La siguiente situación escolar: El personal de un liceo está formado por: Personal

directivo: 1 director y 2 subdirectores ( 2 mujeres y 1 hombre). Personal docente de aula: 70 profesores ( 42 mujeres y 28 hombres). Personal docente administrativo sin horas de aula: 10 coordinadores ( 4 mujeres y 6 hombres). Personal administrativo no docente: 13 secretarias (13 mujeres). Personal obrero:

4 vigilantes, 1 chofer y 6 trabajadores de limpieza ( 5 hombres y 6 mujeres).

4) Dar un ejemplo de una matriz:

a) Simétrica y antisimétrica.

b) Triangular superior e inferior.

7.3. OPERACIONES CON MATRICES

Para realizar las operaciones con matrices, debemos establecer previamente ciertas condiciones. Por ejemplo, para sumar o restar matrices es necesario que sean del mismo orden y para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz del sea igual al número de filas de la segunda. Estudiaremos las propiedades que cumplen la adición, la multiplicación de un escalar por una matriz y la multiplicación de matrices.

7.4. ADICIÓN DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B del mismo orden, la matriz suma denotada por A B+ , es igual a la matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen, sumando los elementos correspondientes (los que están ubicados en el mismo lugar) de las matrices A y B . En forma general, podemos expresar esto así:

i j i j i j i j i j i jm n m n m n m n m nA a B b A B a b a b+

× × × × × = ∧ = ⇒ + = + =

La representación matricial es como sigue:

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m mn

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

A B

a a a a b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ∧ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


398

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m mn

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

A B

a a a a b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 11 12 12 13 13 1 1

21 21 22 22 23 23 2 2

31 31 32 32 33 33 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

m m m m m m mn mn

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

A B

a b a b a b a b

+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

Ejemplos:

a) Dadas las matrices 3 5

4 2A

− = −

y 5 8

0 1B

− =

. Determinar A B+ .

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 5 5 83 5 5 8 3 5 5 8

4 0 2 14 2 0 1 4 0 2 1A B

+ − + − − − + − − + = + = = − + +− − + +

8 13

4 3A B

− + = −

b) Sean las matrices

1 5 3 6

0 4 1 4

3 2 1 0

C

− − = − − −

y

3 7 4 0

2 1 1 3

2 2 5 1

D

− − = − −

. Hallar

la matriz suma C D+ . Solución:

1 5 3 6 3 7 4 0

0 4 1 4 2 1 1 3

3 2 1 0 2 2 5 1

C D

− − − − + = − + − − − −


399

1 3 5 7 3 4 6 0 4 2 1 6

0 2 4 1 1 1 4 3 2 5 0 1

3 2 2 2 1 5 0 1 5 0 4 1

C D

− − − + − + − − = − + − − + ⇒ + = − − + − + − + +

Propiedades de la adición de matrices

Consideremos que el conjunto m nMAT × está formado por todas las matrices de orden

m n× , cuyos elementos pertenecen al conjunto de los números complejos C , es decir:

/ 1 1m n m n i j i jm nMAT M M a a C i m j n× × ×

= = = ∈ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Observación: Las demostraciones de las propiedades que cumplen la adición de matrices, la realizaremos usando la forma generalizada que tienen los elementos de una matriz, ya que resulta más fácil que utilizar la representación matricial. Las justificaciones de cada paso dado en las demostraciones, se hace con base a la definición de adición de matrices y las propiedades de la suma de números complejos. Sólo Justificaremos cada paso en la demostración de la propiedad conmutativa y dejaremos al lector para que justifique los pasos de las demostraciones de las otras propiedades. A) Propiedad conmutativa

, :m nA B MAT A B B A×∀ ∈ + = +

Demostración:

Sean las matrices: i j m nA a

× =

y i j m nB b

× =

pertenecientes a m nMAT ×

i j i jm n m nA B a b

× × + = +

(Por notación de las matrices A y B )

i j i j m na b+

× =

(Por definición de adición de matrices)

i j i j m nb a+

× =

(Por propiedad conmutativa en el conjunto C )

i j i jm n m nb a

× × = +

(Por definición de adición de matrices)

B A= + (Por notación de las matrices B y A)

Ejemplo:

Dadas las matrices 3 2 9 7

1 8 5 6A

− − = − − y

4 6 0 5

3 8 2 3B

− = − − − . Verificar la

propiedad conmutativa de la adición de matrices. Solución:

3 2 9 7 4 6 0 5 3 4 2 6 9 0 7 5

1 8 5 6 3 8 2 3 1 3 8 8 5 2 6 3A B

− − − + − − + − + + = + = − − − − − − − − − + −


400

7 8 9 2

4 0 3 3A B

− − + = − −

(∗ )

4 6 0 5 3 2 9 7 4 3 6 2 0 9 5 7

3 8 2 3 1 8 5 6 3 1 8 8 5 2 3 6B A

− − − + − − + − + = + = − − − − − − − − − + − +

7 8 9 2

4 0 3 3B A

− − + = − −

(∗ ∗)

De (∗) y (∗ ∗) se verifica la propiedad conmutativa, o sea A B B A+ = + .

B) Propiedad asociativa

( ) ( ), , :m nA B C MAT A B C A B C×∀ ∈ + + = + +

Demostración:

Sean las matrices i j m nA a

× =

, i j m nB b

× =

y i j m nC c

× =

pertenecientes

al conjunto m nMAT × .

( ) i j i j i jm n m n m nA B C a b c

× × × + + = + +

( )i j i j i j i j i j i jm nm n m na b c a b c+ +

×× × = + = +

i j i j i j i j i j i jm n m nm na b c a b c + + +

× ×× = = +

( )i j i j i jm n m n m na b c A B C+

× × × = + = + +

Ejemplo:

Sean las matrices

1 4 3

3 0 2

2 1 5

A

− = − − −

,

3 4 1

2 1 5

2 1 4

B

− − = − −

y

4 1 5

2 1 0

3 3 1

C

− = − − − −

Verificar la propiedad asociativa de la adición de matrices. Solución:

( )1 4 3 3 4 1 4 1 5

3 0 2 2 1 5 2 1 0

2 1 5 2 1 4 3 3 1

A B C

− − − − + + = − + − + − − − − − − −

1 3 4 4 3 1 4 1 5

3 2 0 1 2 5 2 1 0

2 2 1 1 5 4 3 3 1

− − − + − = + − − + + − − − + − + − − −


401

4 0 4 4 1 5 4 4 0 1 4 5

5 1 3 2 1 0 5 2 1 1 3 0

0 0 1 3 3 1 0 3 0 3 1 1

− − − + + − = − + − − = − − − + − − + − −

( )0 1 1

3 2 3

3 3 0

A B C

− + + = − −

(∗)

( )1 4 3 3 4 1 4 1 5

3 0 2 2 1 5 2 1 0

2 1 5 2 1 4 3 3 1

A B C

− − − − + + = − + − + − − − − − − −

1 4 3 3 4 4 1 1 5

3 0 2 2 2 1 1 5 0

2 1 5 2 3 1 3 4 1

− − + − + − = − + − − − + − − + − − −

1 4 3 1 3 4 1 1 4 3 3 4

3 0 2 0 2 5 3 0 0 2 2 5

2 1 5 5 2 5 2 5 1 2 5 5

− − − − + − − = − + − = + − − + − − − − − + − − −

( )0 1 1

3 2 3

3 3 0

A B C

− + + = − −

(∗ ∗)

De (∗) y (∗ ∗) se verifica la propiedad asociativa, o sea ( ) ( )A B C A B C+ + = + + .

C) Existencia de elemento neutro

! , :m n m nB O MAT A MAT A B B A A× ×∃ = ∈ ∀ ∈ + = + =

La matriz [ ]0m n m nB O O × ×= = = es la matriz nula y es el elemento neutro de la

adición de matrices. Demostración:


× =

y [ ]0i j m nm nB b O ××

= = =

pertenecientes al

conjunto m nMAT × .

[ ] [ ]0 0i j i jm n m nm n m nA O a a O A× ×× ×

+ = + = + = +

[ ]0 0i j i j i jm n m n m n m na a a A× × × × = + = + = =


402

La matriz nula B O= es única, ya que si suponemos otro elemento neutro

i j m nC c

× =

, tendríamos:

i j i j i jm n m n m nA C A a c a

× × × + = ⇒ + =

i j i j i j i j i j i jm n m na c a a c a

× × ⇒ + = ⇒ + =

0i jc⇒ =

Luego, [ ]0i j i j m nm n m nc b C B O O×× × = = ⇒ = = ⇒

es única.

Ejemplo:

Verificar que la matriz

0 0

0 0

0 0

O

=

es elemento neutro para la adición de matrices,

con la matriz.

1 5

2 3

4 0

A

− = − −

.

Solución:

1 5 0 0 1 0 5 0 1 5

2 3 0 0 2 0 3 0 2 3

4 0 0 0 4 0 0 0 4 0

A O A

− − + + − + = − + = + − + = − = − − + + −

(∗)

0 0 1 5 0 1 0 5 1 5

0 0 2 3 0 2 0 3 2 3

0 0 4 0 0 4 0 0 4 0

O A A

− − + − + = + − = + − = − = − − + −

(∗ ∗)

De (∗) y (∗ ∗) se verifica que A O O A A+ = + = , donde O es el elemento neutro.

• Existencia de elemento simétrico o matriz opuesta

, ! :m n m nA MAT B A MAT A B B A O× ×∀ ∈ ∃ = − ∈ + = + =

La matriz B A= − es la matriz simétrica u opuesta a A y O es el elemento neutro de

la adición de matrices.

Demostración:


× =

y i j m nB A a

× = − = −

pertenecientes al conjunto

m nMAT × .

( ) [ ]0i j i j i j m ni jm n m n m nA A a a a a O

+

×× × ×

+ − = + − = − = =


403

Por la propiedad conmutativa: ( ) ( )A A A A O+ − = − + =

La matriz opuesta a A es única, ya que si existiera otra matriz opuesta a A, por

ejemplo i j m nC c

× =

, se tiene que:

[ ] [ ]0 0i j i j i j i jm n m nm n m n m nA C O a c a c+× ×× × ×

+ = ⇒ + = ⇒ =

0i j i j i j i ja c c a C A+ =⇒ = ⇒ − ⇒ = −

Luego C B A A= = − ⇒ − es única.

Ejemplo:

Dada la matriz 3 1

2 4A

− = − . Verificar que la matriz opuesta a A es la matriz

3 1

2 4A

− − = − .

Solución:

Debemos verificar que: ( ) ( )A A A A O+ − = − + =

( ) 3 1 3 1 3 3 1 1 0 0

2 4 2 4 2 2 4 4 0 0A A O

− − − + − + − = + = = = − − − − +

Por la propiedad conmutativa se tiene que: ( ) ( )A A A A O+ − = − + =

7.5. SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B del mismo orden, la matriz diferencia denotada por A B− , es

igual a la matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen restando los elementos

correspondientes (los que están ubicados en el mismo lugar) de las matrices A y B .

En forma general, podemos expresarlo así:

i j i j i j i j i j i jm n m n m n m n m nA a B b A B a b a b−

× × × × × = ∧ = ⇒ − = − =

La representación matricial es como sigue:

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m mn

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

A B

a a a a b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ∧ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


404

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn m m m mn

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

A B

a a a a b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 11 12 12 13 13 1 1

21 21 22 22 23 23 2 2

31 31 32 32 33 33 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

m m m m m m mn mn

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

A B

a b a b a b a b

− − − ⋅ ⋅ ⋅ − − − − ⋅ ⋅ ⋅ − − − − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −

Observación:

Si i j m nB b

× − = −

es la matriz opuesta a B , entonces podemos expresar la diferencia de

matrices como una suma, así: ( ), :m nA B MAT A B A B×∀ ∈ − = + −

Ejemplo:

Dadas las matrices

4 0 2

3 1 5

0 2 3

A

− − = − −

y

3 2 1

0 4 7

5 2 1

B

− = − −

. Determinar A B− .

Solución: Usando la definición:

( )( )

4 0 2 3 2 1 4 3 0 2 2 1

3 1 5 0 4 7 3 0 1 4 5 7

0 2 3 5 2 1 0 5 2 2 3 1

A B

− − − − − − − − − − = − − − = − − − − − − − − − − −

4 3 0 2 2 1 7 2 3 7 2 3

3 0 1 4 5 7 3 3 2 3 3 2

0 5 2 2 3 1 5 0 4 5 0 4

A B

− − + − − − − − − = − − + − = − ⇒ − = − − − − − − − − −

Usando la observación:

La matriz opuesta a B es

3 2 1

0 4 7

5 2 1

B

− − − = − − − −

. Por lo tanto:


405

( )4 0 2 3 2 1 4 3 0 2 2 1

3 1 5 0 4 7 3 0 1 4 5 7

0 2 3 5 2 1 0 5 2 2 3 1

A B A B

− − − − − − + − − − = + − = − + − = + − + − − − − − − − − −

7 2 3

3 3 2

5 0 4

A B

− − − = − − −

También, podemos hallar de una manera más directa A B− , así:

4 0 2 3 2 1 4 3 0 2 2 1 7 2 3

3 1 5 0 4 7 3 0 1 4 5 7 3 3 2

0 2 3 5 2 1 0 5 2 2 3 1 5 0 4

A B

− − − − − + − − − − − = − − − = − − + − = − − − − − − − − −

7 2 3

3 3 2

5 0 4

A B

− − − = − − −

7.6. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

La multiplicación de un escalar α (número complejo) por una matriz i j m nA a

× =

, es otra

matriz del mismo orden denotada por Aα ⋅ o simplemente Aα , cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar α por cada elemento de A . Simbólicamente lo

expresamos así: i j i j i jm n m n m nA A a a aα α α α α

× × × = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

La representación matricial es:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

a a a a

A A

a a a a

α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3

n n

n n

n n

m m m mn

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a

α α α α α α α αα α α α α α α αα α α α α α α α

α α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3m m m mna a a aα α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


406

Ejemplo:

Sean el escalar complejo 4α = y la matriz

5 2 3

70

4

Aπ −

=

. Hallar: A Aα α= ⋅

( )4 5 2 4 35 2 320 2 12

4 7 7 7 00 4 4 04 4

A Aππ πα α

⋅ − ⋅− − = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅

20 2 12

7 0A A

πα α −= ⋅ =

Propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz

Realizaremos las demostraciones con las justificaciones de los pasos dados en una de las

propiedades y dejaremos al lector como ejercicios propuestos, las demostraciones con sus

debidas justificaciones de las demás propiedades de la multiplicación de un escalar por una

matriz.

A) Ley externa

Debido a que el escalar Cα ∈ y la matriz m nA MAT ×∈ , la multiplicación Aα ⋅ es una

operación o ley externa, porque no se realiza con elementos de un mismo conjunto. Ahora bien, el resultado de m nA MATα ×⋅ ∈ como hemos visto en los ejemplos

anteriores. B) Distributividad de la multiplicación de un escalar con respecto a la adición de matrices

( ), :m nC A B MAT A B A Bα α α α×∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ⋅ + = ⋅ + ⋅

Demostración:

Sean el escalar α (número complejo) y las matrices i j m nA a

× =

y i j m nB b

× =

pertenecientes a m nMAT × .

( ) i j i jm n m nA B a bα α

× × ⋅ + = ⋅ +

(Por notación de las matrices A y B )

i j i j m n

a bα +×

= ⋅

(Por definición de la adición de matrices A B+ )

( )i j i j m na bα +

× = ⋅

(Por la definición de la multiplicación de un

escalar por una matriz)

i j i j m na bα α+

× = ⋅ ⋅

(Por propiedad distributiva en el conjunto C )

i j i jm n m n

a bα α× ×

= ⋅ + ⋅

(Por definición de la suma A B+ )

A Bα α= ⋅ + ⋅ (Por notación de las matrices A y B )


407

Ejemplo:

Sean el escalar 2α = − y las matrices 3 1 2

0 4 5A

− − = − y

1 2 3

4 5 1B

− = − − .

Verificar la propiedad distributiva de la multiplicación de un escalar con respecto a la adición de matrices. Solución:

( ) ( ) 3 1 2 1 2 32

0 4 5 4 5 1A Bα

− − − ⋅ + = − ⋅ + − − −

( ) ( )3 1 1 2 2 3 2 1 12 2

0 4 4 5 5 1 4 1 4

− + − − + − − = − ⋅ = − ⋅ − − + − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 1 2 1 4 2 2

2 4 2 1 2 4 8 2 8

− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − = = − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − −

( ) 4 2 2

8 2 8A Bα

− ⋅ + = − −

(∗)

( ) ( )3 1 2 1 2 32 2

0 4 5 4 5 1A Bα α

− − − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + − ⋅ − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3

2 0 2 4 2 5 2 4 2 5 2 1

− ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = + − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

6 2 4 2 4 6 6 2 2 4 4 6 4 2 2

0 8 10 8 10 2 0 8 8 10 10 2 8 2 8

− − − − − + − − = + = = − − + − − + − −

4 2 2

8 2 8A Bα α

− ⋅ + ⋅ = − −

(∗ ∗)

De (∗) y (∗ ∗) se verifica la propiedad distributiva de la multiplicación de un escalar

con respecto a la adición de matrices, o sea: ( )A B A Bα α α⋅ + = ⋅ + ⋅ .

C) Distributividad de la multiplicación de una adición de escalares por una matriz

( ), :m nC A MAT A A Aα β α β α β×∀ ∈ ∧ ∀ ∈ + ⋅ = ⋅ + ⋅


a) Realizar la demostración de esta propiedad.

b) Verificar la propiedad con los escalares 7α = , 5β = − y la matriz

9 13 6

20 8 1

15 17 4

A

− = − − − −

D) Asociatividad de la multiplicación de un producto de escalares por una matriz

( ) ( ), :m nC A MAT A Aα β α β α β×∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


408


c) Realizar la demostración de esta propiedad.

d) Verificar la propiedad con los escalares 4α = − , 3β = − y la matriz

2 4 0 5 1

1 3 4 2 0A

− − = − −

E) Existencia de elemento neutro

! 1 , : 1m nC A MAT A Aα ×∃ = ∈ ∀ ∈ ⋅ =


a) Realizar la demostración de esta propiedad.

b) Verificar la propiedad con 1α = y 5

7 3 4 3

11 15 0 8

16 2

34

1 3 2 35

A i

i e

π

− −

− − = −

− −

.


Sean los escalares 2α = , 3β = − , 4λ = − y 3

2θ = . Las matrices

5 1 0

2 3 4A

− = − ,

3 2 1

0 1 4B

− = − − ,

2 0 4

6 2 0C

− − =

y 2 1

3 0D

− = − . Resolver las siguientes

operaciones (si se puede): a) A B+ b) A C+ c) C B+ d) C D+ e) D B+ f) A B− g) C A− h) B C− i) D C− j) D B− k) Aα ⋅ l) Bλ ⋅ m) Cθ ⋅ n) Dα ⋅ o) Dθ ⋅

p) ( )A Bα ⋅ + q) ( )C Bλ ⋅ − r) ( )Aβ α⋅ ⋅ s) ( )Dθ λ⋅ ⋅ t) 2 3A B− +

u) 1

2 32

C B A− + v) ( )5 4A C Bβ θ− +

w) ( ) ( )3 4 2 5 3A B B C− − + x) ( )1 2 32 3

2 3 4B A C B− + − +

Solución:

a) 5 1 0 3 2 1 5 3 1 2 0 1 2 1 1

2 3 4 0 1 4 2 0 3 1 4 4 2 4 0A B

− − − + − + − − + = + = = − − − + − − − −

2 1 1

2 4 0A B

− − + = −

b) 5 1 0 2 0 4 5 2 1 0 0 4 7 1 4

2 3 4 6 2 0 2 6 3 2 4 0 8 1 4A C

− − − − − + − − − + = + = = − + − + + −


409

7 1 4

8 1 4A C

− − + = −

c) 2 0 4 3 2 1 2 3 0 2 4 1 1 2 3

6 2 0 0 1 4 6 0 2 1 0 4 6 1 4C B

− − − − + − − + − − + = + = = − − + − − −

1 2 3

6 1 4C B

− − + = −

d) ?C D+ = , no se puede realizar la suma C D+ , ya que las matrices C y D tienen distinto orden.

e) ?D B+ = , la misma respuesta del ejercicio anterior.

f) 5 1 0 3 2 1 5 3 1 2 0 1 8 3 1

2 3 4 0 1 4 2 0 3 1 4 4 2 2 8A B

− − − − + − − − − = − = = − − − − − + + −

8 3 1

2 2 8A B

− − − = −

g) 2 0 4 5 1 0 2 5 0 1 4 0 3 1 4

6 2 0 2 3 4 6 2 2 3 0 4 4 5 4C A

− − − − + − − − − − − = − = = − − + − −

3 1 4

4 5 4C A

− − − = −

h) 3 2 1 2 0 4 3 2 2 0 1 4 5 2 5

0 1 4 6 2 0 0 6 1 2 4 0 6 3 4B C

− − − + − − + − − = − = = − − − − − − − − − −

5 2 5

6 3 4B C

− − = − − −

i) ?D C− = , no se puede realizar la resta D C− , ya que las matrices D y C tienen distinto orden.

j) ?D B− = , la misma respuesta del ejercicio anterior.

k) ( )

( )2 5 2 1 2 05 1 0 10 2 0

22 2 2 3 2 42 3 4 4 6 8

Aα⋅ − ⋅ ⋅ − −

⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ − ⋅− −

10 2 0

4 6 8Aα

− ⋅ = −


410

l) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 3 4 2 4 13 2 1 12 8 44

4 0 4 1 4 40 1 4 0 4 16Bλ

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − − ⋅ = − ⋅ = = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ −− −

12 8 4

0 4 16Bα

− − ⋅ =

m) ( ) ( )3 3 3

2 0 42 0 4 3 0 63 2 2 26 2 0 3 3 3 9 3 02

6 2 02 2 2

Cθ

⋅ − ⋅ ⋅ − − − − − ⋅ = ⋅ = =

⋅ ⋅ ⋅

3 0 6

9 3 0Cθ

− − ⋅ =

n) 2 1 4 2

23 0 6 0

Dα− − ⋅ = ⋅ = − −

(Haciéndolo de manera directa)

4 2

6 0Dα

− ⋅ = −

o)

332 13 2

3 0 920

2

Dθ

− − ⋅ = ⋅ = − −

(Haciéndolo de manera directa)

33

29

02

Dθ

− ⋅ =

−

p) ( ) 5 1 0 3 2 1 5 3 1 2 0 12 2

2 3 4 0 1 4 2 0 3 1 4 4A Bα

− − − + − + ⋅ + = ⋅ + = ⋅ − − − + − − −

2 1 1 4 2 22

2 4 0 4 8 0

− − − − = ⋅ = − −

( ) 4 2 2

4 8 0A Bα

− − ⋅ + = −

Otra forma de hacer el ejercicio, es usando la propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la adición de matrices, así:


411

( ) 5 1 0 3 2 12 2

2 3 4 0 1 4A B A Bα α α

− − ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − − −

10 2 0 6 4 2 4 2 2

4 6 8 0 2 8 4 8 0

− − − − = + = − − − −

q) ( ) ( ) ( )2 0 4 3 2 1 2 3 0 2 4 14 4

6 2 0 0 1 4 6 0 2 1 0 4C Bλ

− − − − − + − − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ − − − + +

( ) 5 2 5 20 8 204

6 3 4 24 12 16

− − − = − ⋅ = − − −

( ) 20 8 20

24 12 16C Bλ

− ⋅ − = − − −

r) ( ) ( ) ( )5 1 0 10 2 0 30 6 03 2 3

2 3 4 4 6 8 12 18 24Aβ α

− − − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = − − − −

( ) 30 6 0

12 18 24Aβ α

− ⋅ ⋅ = − −

Este ejercicio se puede hacer, usando la propiedad asociativa de la multiplicación de un producto de escalares por una matriz, así:

( ) ( ) ( )( ) ( )5 1 0 5 1 03 2 6

2 3 4 2 3 4A Aβ α β α

− − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ − −

30 6 0

12 18 24

− = − −

s) ( ) ( ) ( )2 1 2 13 34 4

3 0 3 02 2Dθ λ

− − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − −

( ) 2 1 12 66

3 0 18 0

− − = − ⋅ = −

( ) 12 6

18 0Dθ λ

− ⋅ ⋅ =

t) 5 1 0 3 2 1

2 3 2 32 3 4 0 1 4

A B− −

− + = − + − − −

10 2 0 9 6 3 19 8 3

4 6 8 0 3 12 4 3 20

− − − = + = − − − − − −


412

19 8 32 3

4 3 20A B

− − + = − −

u) 2 0 4 3 2 1 5 1 01 1

2 3 2 36 2 0 0 1 4 2 3 42 2

C B A− − − − − + = − + − − −

1 0 2 6 4 2 15 3 0

3 1 0 0 2 8 6 9 12

− − − − = − + − − −

1 6 15 0 4 3 2 2 0 22 7 4

3 0 6 1 2 9 0 8 12 9 6 20

− − − + + − − + − − = = − + + − + + −

22 7 412 3

9 6 202C B A

− − − + = −

v) ( ) ( ) 5 1 0 2 0 4 3 2 135 4 5 3 4

2 3 4 6 2 0 0 1 42A C Bβ θ

− − − − − + = − − + − − −

15 3 0 3 0 6 12 8 4

56 9 12 9 3 0 0 4 16

− − − − = − + − − − −

15 3 12 3 0 8 0 6 4

56 9 0 9 3 4 12 0 16

+ + − − − + + = − − + − − − − −

30 11 10 150 55 50

515 2 28 75 10 140

− − = = − − − − − −

( ) 150 55 505 4

75 10 140A C Bβ θ

− − + = − − −

w) ( ) ( )3 4 2 5 3A B B C− − +

5 1 0 3 2 1 3 2 1 2 0 43 4 2 5 3

2 3 4 0 1 4 0 1 4 6 2 0

− − − − − − − + − − − − −

20 4 0 3 2 1 15 10 5 6 0 123 2

8 12 16 0 1 4 0 5 20 18 6 0

− − − − − = − − + − − − − −

20 3 4 2 0 1 15 6 10 0 5 123 2

8 0 12 1 16 4 0 18 5 6 20 0

− − + − − − + − = − − − + + + − + − +

23 6 1 9 10 73 2

8 11 20 18 1 20

− − − − = − − −


413

69 18 3 18 20 14

24 33 60 36 2 40

− − − − = − − −

69 18 18 20 3 14 87 38 11

24 36 33 2 60 40 12 35 100

− − + − + − = = − − − + − −

( ) ( ) 87 38 113 4 2 5 3

12 35 100A B B C

− − − + = − −

También, podemos resolver más fácilmente así:

( ) ( )3 4 2 5 3 12 3 10 6 12 13 6A B B C A B B C A B C− − + = − − − = − −

5 1 0 3 2 1 2 0 412 13 6 12 13 6

2 3 4 0 1 4 6 2 0A B C

− − − − − − = − − − − −

60 12 0 39 26 13 12 0 24

24 36 48 0 13 52 36 12 0

− − − − = − − − − −

60 39 12 12 26 0 0 13 24 87 38 11

24 0 36 36 13 12 48 52 0 12 35 100

− − + + − − + − = = − − − + − + − − −

x) ( )1 2 3 1 2 3 9 2 11 32 3

2 3 4 2 3 2 4 3 4 2B A C B B A C B A B C− + − + = − + − − = − −

5 1 0 3 2 1 2 0 42 11 3 2 11 32 3 4 0 1 4 6 2 03 4 2 3 4 2

A B C− − − − − − = − − − − −

10 2 33 11 110

3 0 63 3 4 2 44 8 11 9 3 0

2 0 113 3 4

− − − − = − −

− − −

10 33 2 11 113 0 0 6

3 4 3 2 44 11 8

0 9 2 3 11 03 4 3

− − + + − − + = − − − + − + −

40 99 36 4 33 0 0 11 24 103 37 13

12 6 4 12 6 44 0 27 8 11 12 8 33 0 23 9 41

3 4 3 3 4 3

− − + + − − + − = =

− − − + − + − − −


414

( )103 37 13

1 2 3 12 6 42 323 9 412 3 43 4 3

B A C B

− − + − + =

− −


1) Dados los escalares 3α = − , 2β = , 5λ = − , 2

3θ = − y las matrices

2 1 3

0 4 1

3 2 2

A

− − = − − −

,

1 0 2

1 3 4

2 1 3

B

− − = − − −

,

3 2 2

5 1 4

1 0 1

C

− − = − −

y 3 6 0

0 12 3D

− = − . Resolver las siguientes

operaciones (si se puede):

a) A B+ b) A C+ c) A D+ d) B C+ e) B D+

f) D C+ g) A B− h) B C− i) D A− j) C A−

k) Bλ ⋅ l) Dθ ⋅ m) Cβ ⋅ n) Bλ ⋅ o) ( )C Bλ ⋅ +

p) ( )Aα θ⋅ ⋅ q) ( )Dβ λ⋅ ⋅ r) 2 3B A− + s) 5 4 2C B A− −

t) ( )2 2 3A B Cβ− − − u) 1 3

2 3 3 2 23 2

A C C B A − + − − +

Respuestas:

a)

1 1 5

1 7 3

1 3 1

− − − − − −

b)

1 1 5

5 3 5

2 2 3

− − − − −

c) No se puede realizar

d)

4 2 4

4 2 0

3 1 2

− − − −

e) No se puede realizar f) No se puede realizar

g)

3 1 1

1 1 5

5 1 5

− − − − −

h)

2 2 0

6 4 8

1 1 4

− − − −

i) No se puede realizar

j)

5 3 1

5 5 3

4 2 1

− − − −

k)

3 0 6

3 9 12

6 3 9

− − −

l) 2 4 0

0 8 2

− −


415

m)

6 4 4

10 2 8

2 0 2

− − − −

n)

5 0 10

5 15 20

10 5 15

− − −

o)

20 10 20

20 10 0

15 5 10

− − − −

p)

4 2 6

0 8 2

6 4 4

− − − − −

q) 30 60 0

0 120 30

− −

r)

8 3 5

2 6 11

13 4 12

− − − − −

s)

15 12 4

29 25 34

3 8 0

− − −

t)

30 16 8

26 10 4

26 4 14

− − − − −

u)

7 20 41

2 3 3187 47 130

3 6 329 7 161

3 2 6

− − − −

2) Sean los escalares 4α = , 1

2θ = − y las matrices

11

23 0

A − = −

, 4 2

6 0B

− − = − y

2 3

1 2C

− =

. Verificar las siguientes propiedades de la adición de matrices y de la

multiplicación de un escalar por una matriz:

a) A B B A+ = + (Conmutativa)

b) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (Asociativa)

c) A O O A A+ = + = (Existencia de elemento neutro)

d) ( ) ( )B B B B O+ − = − + = (Existencia de elemento simétrico u opuesto)

e) ( )B C B Cα α α⋅ + = ⋅ + ⋅ (Distributividad de la multiplicación de un escalar

respecto a la adición de matrices)

f) ( ) ( )C Cα θ α θ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Asociatividad de la multiplicación de un producto

de escalares por una matriz)

g) ( ) B B Bα θ α θ+ ⋅ = ⋅ + ⋅ (Distributividad de la multiplicación de una adición

de escalares por una matriz)

7.7. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B , para realizar la multiplicación A B⋅ , es necesario que el

número de columnas de A sea igual al número de filas de B . El producto A B⋅ es una

matriz C que tiene el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B . Los elementos de esta matriz C , lo obtenemos mediante una fórmula o mediante un procedimiento que indicaremos a continuación. Sean las matrices:


416

m n i j m nA A a× ×

= =

, n t i j n tB B b× ×

= =

y m t i j m tC C c× ×

= =

m n n t m tA B C× × ×⋅ =

Cuyas representaciones matriciales son:

11 12 13 1 11 12 13 1

21 22 23 2 21 22 23 2

31 32 33 3 31 32 33 3

1 2 3 1 2 3

n t

n t

n t

m m m mn n n n nt

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

a a a a b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

t

t

t

m m m mt

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Donde cada elemento i jc de la matriz C , se obtiene mediante la fórmula:

1 1 2 2 3 3i j i n n ji j i j i jc a b a b a b a b⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅= LLL

Luego, los elementos de la matriz C son:

32

11 11 11 12 21 13 31 1 1

12 11 12 12 22 13 1 2

13 11 13 12 23 13 33 1 3

1 11 1 12 2 13 3 1

1

n n

n n

n n

ntt t t t n

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

Fila de C

c a b a b a b a b

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

=

=

=

⇒⋅

⋅ ⋅

=

LLL

LLL

LLL

LLL

21 21 11 22 21 23 31 2 1

22 21 12 22 22 23 32 2 2

23 21 13 22 23 23 33 2 3

2 21 1 22 2 23 3 2

2

n n

n n

n n

ntt t t t n

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

Fila de C

c a b a b a b a b

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

=

=

=

⇒⋅

⋅ ⋅

=

LLL

LLL

LLL

LLL

M


417

1 1 11 2 21 3 31 1

2 1 12 2 22 3 32 2

3 1 13 2 23 3 33 3

1 1 2 2 3 3

mnm m m m n

mnm m m m n

mnm m m m n

mnmt ntm t m t m t

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

c a b a b a b a b

Fila m de C

c a b a b a b a b

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

=

=

=

⇒⋅

⋅ ⋅

=

LLL

LLL

LLL

LLL

Observación:

Según lo anterior, podemos apreciar que para determinar la matriz producto C , cada fila de A se transforma en columna y se multiplica por cada una de las columnas de B , elemento por elemento, respetando el orden en que están. Las sumas algebraicas de estos productos nos van dando cada elemento de las filas de la matriz C . Este procedimiento lo veremos de una mejor manera, mediante los siguientes ejercicios ilustrativos. Ejercicios resueltos:

a) Sean las matrices 1 2

3 4A

=

y 5 6 7

8 9 10B

=

. Determinar A B C⋅ =

Solución:

La matriz A es de orden 2 2× y la matriz B es de orden 2 3× , ya que el número de columnas de A es igual número de filas de B , entonces se puede realizar la multiplicación A B⋅ , que es una matriz C de orden 2 3× . Veamos:

1 2 5 6 7

3 4 8 9 10A B

⋅ = ⋅

1

1 5 6 7 1.5 2.8 1.6 2.9 1.7 2.10 1

2 8 9 10

ra fila de A matriz B

ra fila de C

↓ ↓→ + + + →

2

3 5 6 7

4 8 9 10 3.5 4.8 3.6 4.9 3.7 4.10 2

da fila de A matriz B

da fila de C

↓ ↓

→ + + + →

Si resolvemos la multiplicación A B⋅ , realizando de una vez los dos pasos anteriores,

entonces la matriz C , se obtiene así:


418

1 2 5 6 7 1 5 2 8 1 6 2 9 1 7 2 10

3 4 8 9 10 3 5 4 8 3 6 4 9 3 7 4 10A B

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

5 16 6 18 7 20 21 24 27

15 32 18 36 21 40 47 54 61C

+ + + = = = + + +

21 24 27

47 54 61A B C

⋅ = =

b) Dadas las matrices:

1 2 0 3

2 3 1 1

0 4 1 1

D

− = − − − −

y

2 1

1 3

0 2

5 1

E

− = −

. Hallar D E⋅ .

Solución:

3 4 4 2 3 2D E F× × ×⋅ =

Ya que el número de columnas de la matriz D es igual al número de filas de la matriz E , entonces se puede realizar la multiplicación D E⋅ , cuyo resultado nos dará una

matriz F que tiene el mismo número de filas de D y el mismo número de columnas de E , o sea es de orden 3 2× .

2 11 2 0 3

1 32 3 1 1

0 20 4 1 1

5 1

D E

− −

⋅ = − − ⋅ − − −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2 1 0 0 3 5 1 1 2 3 0 2 3 1

2 2 3 1 1 0 1 5 2 1 3 3 1 2 1 1

0 2 4 1 1 0 1 5 0 1 4 3 1 2 1 1

⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − + − ⋅

2 2 0 15 1 6 0 3 15 4

4 3 0 5 2 9 2 1 6 8

0 4 0 5 0 12 2 1 1 13

− + + − − − + − = − + + − + − − = − + − − − + + − −

15 4

6 8

1 13

D E F

− ⋅ = − = −


419

Propiedades de la multiplicación de matrices

Algunas de las demostraciones de estas propiedades tienen bastante dificultad y forman parte de estudios posteriores de álgebra superior. Por lo tanto, no es un objetivo a dar en este nivel. Solo limitaremos su estudio, a la verificación y aplicación en los ejercicios dados. A) La multiplicación de matrices no es conmutativa

por definición de multiplicación de matrices, tenemos que si una matriz A es de orden m n× y una matriz B es de orden n t× , entonces la matriz A es multiplicable por la matriz B , es decir A B⋅ existe y se puede hallar el producto, pero la multiplicación

m nn tB A B A ××⋅ = ⋅ no es posible realizarla si t m≠ . En caso de que t m= , o sea

que las matrices A y B sean de orden m n× y n m× respectivamente, entonces B A⋅ existe, pero aún así de todas maneras, por lo general A B B A⋅ ≠ ⋅ . Para las

matrices cuadradas del mismo orden, siempre A B⋅ y B A⋅ existen, pero también por

lo general A B B A⋅ ≠ ⋅ . Ahora bien, puede ocurrir en algunos casos que

A B B A⋅ = ⋅ . Veamos, mediante los siguientes ejercicios ilustrativos, lo antes

expuesto. Ejercicios resueltos:

En cada uno de los siguientes ejercicios, verificar si con el par de matrices dadas se cumple la propiedad conmutativa para la multiplicación de matrices, realizar las operaciones en la forma más directa posible.

1)

3 1

2 0

5 4

3 1

A

− − = − −

y 2 1 5

1 3 0B

− − = −

2) 1 2 3

2 0 3C

− = − − y

1 0

4 1

2 3

D

− = −

3) 3

1 2

4E

−

= y 5 2

3 2F

− = − −

Solución:

1)

3 1

2 0

5 4

3 1

A

− − = − −

y 2 1 5

1 3 0B

− − = −


420

3 1 6 1 3 3 15 0

2 0 2 1 5 4 0 2 0 10 0

5 4 1 3 0 10 4 5 12 25 0

3 1 6 1 3 3 15 0

A B

− − − + − − − − − + − − + ⋅ = ⋅ = − − + − − + − − − − + −

7 6 15

4 2 10

6 7 25

5 0 15

A B

− − − ⋅ = − − −

3 1

2 1 5 2 0

1 3 0 5 4

3 1

B A

− − − − ⋅ = ⋅ ⇒ − − −

No se puede realizar

En este ejercicio vemos que A B⋅ existe, ya que son iguales la cantidad de

columnas ( 2 ) de A y la cantidad de filas ( 2 ) de B , pero B A⋅ no se puede realizar

ya que la cantidad de columnas ( 3 ) de B , es diferente a la cantidad de filas ( 4 ) deA . Luego, no se cumple la propiedad conmutativa para la multiplicación de

matrices, ya que A B B A⋅ ≠ ⋅ .

2) 1 2 3

2 0 3C

− = − − y

1 0

4 1

2 3

D

− = −

1 01 2 3 1 8 6 0 2 9 13 7

4 12 0 3 2 0 6 0 0 9 4 9

2 3

C D

− − − + + − + − − ⋅ = ⋅ = = − − + − − + + − −

13 7

4 9C D

− ⋅ = −

1 0 1 0 2 0 3 0 1 2 31 2 3

4 1 4 2 8 0 12 3 6 8 92 0 3

2 3 2 6 4 0 6 9 4 4 15

D C

− − − + − − − − − ⋅ = ⋅ = − − + − = − − − − − + − +

1 2 3

6 8 9

4 4 15

D C

− − ⋅ = −


421

Para este ejercicio si se pueden determinar las multiplicaciones C D⋅ y D C⋅ ,

ya que son de orden 2 3× y 3 2× respectivamente, cumpliendo con la condición previa establecida, pero es obvio que C D D C⋅ ≠ ⋅ , puesto que los resultados

de ambas multiplicaciones son matrices de diferente orden. Por lo tanto, no se cumple la propiedad conmutativa.

3) 1 2

3 4E

= − y

5 2

3 2F

− = − −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 5 2 3 1 2 2 21 2 5 2

3 5 4 3 3 2 4 23 4 3 2E F

⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ = ⋅ = − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ −− − −

5 6 2 4 11 2 11 2

15 12 6 8 3 14 3 14E F

− − − − − − − = = → ⋅ = − − − − −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 1 2 3 5 2 2 45 2 1 2

3 1 2 3 3 2 2 43 2 3 4F E

− ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ = − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + − ⋅− − −

5 6 10 8 11 2 11 2

3 6 6 8 3 14 3 14F E

− − − + − − − − = = → ⋅ = − + − − − −

En este ejemplo, si se cumple que E F F E⋅ = ⋅ .

B) Propiedad asociativa

Sean las matrices m nA × , n tB × y t pC × : ( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Ejemplo:

Dadas las matrices

1 2

0 1

2 3

A

− = −

, 0 1 3 2

2 0 1 1B

− = −

y

1

2

1

0

C

− =

. Verificar la

propiedad asociativa para la multiplicación de matrices Solución:

Se tiene que 3 2A × , 2 4B × y 4 1C × . Ya que estas matrices cumplen con la condición

previa con respecto a sus órdenes, entonces pueden realizarse las multiplicaciones que nos muestra la propiedad. Verifiquemos que son iguales.

( )

11 2

0 1 3 2 20 1

2 0 1 1 12 3

0

A B C

− − − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ −


422

10 4 1 0 3 2 2 2

20 2 0 0 0 1 0 1

10 6 2 0 6 3 4 3

0

− − − − − +

= − − − − + ⋅ + − + + −

14 1 1 4 4 2 1 0 3

22 0 1 1 2 0 1 0 1

16 2 9 1 6 4 9 0 1

0

− − − − + + = − − ⋅ = + − + = − − − + + −

( )3

1

1

A B C

⋅ ⋅ = −

(∗)

( )

11 2

0 1 3 2 20 1

2 0 1 1 12 3

0

A B C

− − − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ −

1 2 1 2 1 2 30 2 3 0 1

0 1 0 1 0 1 12 0 1 0 1

2 3 2 3 2 3 1

− − + − − + + = − ⋅ = − ⋅ = + = − + + − − − −

( )3

1

1

A B C

⋅ ⋅ = −

(∗∗)

De (∗) y (∗∗), se tiene que: ( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , lo que verifica la propiedad

asociativa de la multiplicación de matrices.

C) Existencia de elemento neutro

Para toda matriz cuadrada A de orden n , existe la matriz cuadrada In del mismo

orden, que es la matriz identidad o unidad, tal que: A I I A An n⋅ = ⋅ = . Por

definición, sabemos que la matriz identidad In , es una matriz donde todos sus

elementos son ceros, excepto los de la diagonal principal que son todos iguales a 1. La matriz In es el elemento neutro para la multiplicación de matrices de orden n .

Ejemplo:

Sea la matriz 1 3

2 4A

− = − de orden 2 , la matriz identidad o unidad del mismo orden

es 2

1 0

0 1I

=

. Verificar que la matriz 2I es el elemento neutro para la multiplicación


423

de matrices de orden 2 . Solución:

2

1 3 1 0 1 0 0 3 1 3

2 4 0 1 2 0 0 4 2 4A I A

− − − − ⋅ = ⋅ = = = − − + − + −

(∗)

2

1 0 1 3 1 0 3 0 1 3

0 1 2 4 0 2 0 4 2 4I A A

− − − + − ⋅ = ⋅ = = = − − − + − (∗∗)

De (∗) y (∗∗) se cumple que: 2 2A I I A A⋅ = ⋅ = . Luego, la matriz identidad 2I es el

elemento neutro para la multiplicación de matrices de orden 2 .

D) Propiedad distributiva de la multiplicación de una matriz con respecto a la adición

a) Sean las matrices m nA × , n tB × y n tC × : ( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅ (Derecha)

b) Sean las matrices n tB × , n tC × y t mA × : ( )B C A B A C A+ ⋅ = ⋅ + ⋅ (Izquierda)

Ejemplos:

a) Dadas las matrices:

2 1 3 0

1 3 2 1

0 1 1 4

A

− = − − −

,

1 3 2

2 1 0

3 2 1

1 1 2

B

− − = − −

y

3 1 1

2 0 2

1 1 4

0 2 1

C

− − = −

.

Verificar la propiedad distributiva de la multiplicación de una matriz con respecto a

la adición (por la derecha): ( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅

Solución:

( )

1 3 2 3 1 12 1 3 0

2 1 0 2 0 21 3 2 1

3 2 1 1 1 40 1 1 4

1 1 2 0 2 1

A B C

− − − − − ⋅ + = − − ⋅ + − −

− −

1 3 3 1 2 12 1 3 0

2 2 1 0 0 21 3 2 1

3 1 2 1 1 40 1 1 4

1 0 1 2 2 1

− + − + − − − + + = − − ⋅ + − − +

− − + + +

2 2 32 1 3 0

0 1 21 3 2 1

4 3 50 1 1 4

1 3 3

− − = − − ⋅ −

− −

4 0 12 0 4 1 9 0 6 2 15 0 16 4 19

2 0 8 1 2 3 6 3 3 6 10 3 11 4 4

0 0 4 4 0 1 3 12 0 2 5 12 8 14 9

− + − + − + − + + − = − + + + − − − + − = − + − − − + + + − + −


424

( )16 4 19

11 4 4

8 14 9

A B C

− ⋅ + = − −

(∗)

1 3 2 3 1 12 1 3 0 2 1 3 0

2 1 0 2 0 21 3 2 1 1 3 2 1

3 2 1 1 1 40 1 1 4 0 1 1 4

1 1 2 0 2 1

A B A C

− − − − − − ⋅ + ⋅ = − − ⋅ + − − ⋅ − −

− − −

2 2 9 0 6 1 6 0 4 0 3 0 6 2 3 0 2 0 3 0 2 2 12 0

1 6 6 1 3 3 4 1 2 0 2 2 3 6 2 0 1 0 2 2 1 6 8 1

0 2 3 4 0 1 2 4 0 0 1 8 0 2 1 0 0 0 1 8 0 2 4 4

− − + − + − + − + + + + + − − − + − + + = − − + + + − − − + − + + + − − − − − − + − − + − − − + + + − + − − + − + + + + − +

5 1 7 11 5 12 5 11 1 5 7 12 16 4 19

0 1 2 11 5 2 0 11 1 5 2 2 11 4 4

5 5 7 3 9 2 5 3 5 9 7 2 8 14 9

− + − + − = + − = + − + = − − − − − + + −

16 4 19

11 4 4

8 14 9

A B A C

− ⋅ + ⋅ = − −

(∗∗)

De (∗) y (∗∗), se verifica que: ( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅ .

b) Sean las matrices 5 3

1 2A

− = −

, 1 2

2 1B

− = −

y 3 1

1 2C

= −

.

Verificar la propiedad distributiva de la multiplicación de una matriz con respecto a

la adición (por la izquierda): ( )B C A B A C A+ ⋅ = ⋅ + ⋅

Solución:

( ) 1 2 3 1 5 3

2 1 1 2 1 2B C A

− − + ⋅ = + ⋅ − − −

1 3 2 1 5 3 4 1 5 3

2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

+ − + − − − = ⋅ = ⋅ − − + − −

20 1 12 2 21 14

5 1 3 2 4 1

− − + − = = − + − −

( ) 21 14

4 1B C A

− + ⋅ = −

(∗)


425

1 2 5 3 3 1 5 3

2 1 1 2 1 2 1 2B A C A

− − − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − − − −

5 2 3 4 15 1 9 2 7 7 14 7

10 1 6 2 5 2 3 4 11 8 7 7

− − + − + − − − = + = + − − + + − − − −

7 14 7 7 21 14

11 7 8 7 4 1

− − + − = = − + − −

21 14

4 1B A C A

− ⋅ + ⋅ = −

De (∗) y (∗∗) se verifica que: ( )B C A B A C A+ ⋅ = ⋅ + ⋅


Dadas las matrices

3 2 1

1 0 2

4 1 3

A

− − = − −

,

4 1 1

2 2 3

1 1 0

B

− = − −

,

0 3 2

4 1 1

1 0 5

C

− = −

y

1 1 2

2 3 4

0 2 0

D

− − = − −

. Resolver las siguientes operaciones con matrices:

a) A B⋅ b) B C⋅ c) D A⋅ d) 2A A A= ⋅

e) ( )3D D D D D D D= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ f) ( ). .A B C A B C= ⋅ ⋅ g) ( )C D B⋅ ⋅

h) ( )A B C⋅ + i) D B D A⋅ + ⋅ j) ( )B C A⋅ − k) ( )C D A− ⋅

l) 2 A B⋅ m) 3 2C D⋅ n) ( )2 3 4C B A⋅ + o) ( )3 2A B D− ⋅

p) ( ) ( )2 4D A B− ⋅ − q) 235 3B B I+ + r) ( ) ( )2 2D C D C D C+ ⋅ − +

Solución:

a)

3 2 1 4 1 1 12 4 1 3 4 1 3 6 0

1 0 2 2 2 3 4 0 2 1 0 2 1 0 0

4 1 3 1 1 0 16 2 3 4 2 3 4 3 0

A B

− − − − − + − + − − + ⋅ = − ⋅ − = + − − + − + − − − − + + − − − +

15 0 3

2 3 1

17 3 7

A B

− − ⋅ = − −

b)

4 1 1 0 3 2 0 4 1 12 1 0 8 1 5

2 2 3 4 1 1 0 8 3 6 2 0 4 2 15

1 1 0 1 0 5 0 4 0 3 1 0 2 1 0

B C

− − + − − − − + − ⋅ = − ⋅ − = − + − + + − + − − + − + + − +


426

3 13 4

5 4 17

4 2 1

B C

− ⋅ = − − − −

c)

1 1 2 3 2 1 3 1 8 2 0 2 1 2 6

2 3 4 1 0 2 6 3 16 4 0 4 2 6 12

0 2 0 4 1 3 0 2 0 0 0 0 0 4 0

D A

− − − − − + − − − + + ⋅ = − ⋅ − = + + + − − − + − − − − + − − − + +

10 0 7

25 0 4

2 0 4

D A

⋅ = −

d) 2

3 2 1 3 2 1 9 2 4 6 0 1 3 4 3

1 0 2 1 0 2 3 0 8 2 0 2 1 0 6

4 1 3 4 1 3 12 1 12 8 0 3 4 2 9

A A A

− − − − − + − − − + + = ⋅ = − ⋅ − = − + − − + + − − − − − − + − − − + +

2

11 5 4

11 0 5

1 11 15

A A A

= ⋅ = − − − −

e) ( )3

1 1 2 1 1 2 1 1 2

2 3 4 2 3 4 2 3 4

0 2 0 0 2 0 0 2 0

D D D D D D D

− − − − − − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ − − − −

1 2 0 1 3 4 2 4 0 1 1 2

2 6 0 2 9 8 4 12 0 2 3 4

0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 2 0

+ + − − − − + − − = − + + − − + + ⋅ − − + + − − − − + −

3 6 6 1 1 2 3 12 0 3 18 12 6 24 0

4 3 8 2 3 4 4 6 0 4 9 16 8 12 0

4 6 8 0 2 0 4 12 0 4 18 16 8 24 0

− − − − − + − − − + − − = − ⋅ − = − + + − − + + − − − − + − − − + − −

( )3

9 9 18

2 3 4

8 6 16

D D D D D D D

− − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − − − −

f) ( )3 2 1 4 1 1 0 3 2

. . 1 0 2 2 2 3 4 1 1

4 1 3 1 1 0 1 0 5

A B C A B C

− − − − = ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ − − −


427

12 4 1 3 4 1 3 6 0 0 3 2

4 0 2 1 0 2 1 0 0 4 1 1

16 2 3 4 2 3 4 3 0 1 0 5

− − + − + − − + − = + − − + − + − ⋅ − − + + − − − +

15 0 3 0 3 2 0 0 3 45 0 0 30 0 15

2 3 1 4 1 1 0 12 1 6 3 0 4 3 5

17 3 7 1 0 5 0 12 7 51 3 0 34 3 35

− − − − − − − − − + − = − ⋅ − = + − − − − + − − + − − − − + −

( )3 45 45

. . 11 9 2

5 54 2

A B C A B C

− − = ⋅ ⋅ = − −

g) ( )0 3 2 1 1 2 4 1 1

4 1 1 2 3 4 2 2 3

1 0 5 0 2 0 1 1 0

C D B

− − − − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ − − −

0 3 2 4 2 2 1 2 2 1 3 0

4 1 1 8 6 4 2 6 4 2 9 0

1 0 5 0 4 0 0 4 0 0 6 0

− − − + − + − − + = − ⋅ − + + − − − + + − + + − − − +

0 3 2 4 1 2

4 1 1 2 12 11

1 0 5 4 4 6

− − − − = − ⋅ − − −

0 6 8 0 36 8 0 33 12

16 2 4 4 12 4 8 11 6

4 0 20 1 0 20 2 0 30

− − − − + + − − − = − − − − + + − − − − + − − − + − + −

( )14 44 45

22 12 25

24 19 32

C D B

− − ⋅ ⋅ = − − − −

h) ( )3 2 1 4 1 1 0 3 2

1 0 2 2 2 3 4 1 1

4 1 3 1 1 0 1 0 5

A B C

− − − − ⋅ + = − ⋅ − + − − −

3 2 1 4 0 1 3 1 2

1 0 2 2 4 2 1 3 1

4 1 3 1 1 1 0 0 5

− − + − − + = − ⋅ + − − + − + − + +


428

3 2 1 4 2 1 12 12 2 6 6 1 3 8 5

1 0 2 6 3 4 4 0 4 2 0 2 1 0 10

4 1 3 2 1 5 16 6 6 8 3 3 4 4 15

− − − − − + + − − − + = − ⋅ − = + − − − + + − − − − + − + − − +

( )22 11 6

0 0 9

16 8 15

A B C

− − ⋅ + = − −

i)

1 1 2 4 1 1 1 1 2 3 2 1

2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 0 2

0 2 0 1 1 0 0 2 0 4 1 3

D B D A

− − − − − − − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − + − ⋅ − − − − −

4 2 2 1 2 2 1 3 0 3 1 8 2 0 2 1 2 6

8 6 4 2 6 4 2 9 0 6 3 16 4 0 4 2 6 12

0 4 0 0 4 0 0 6 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0

− − + − + − − + − + − − − + + = − + + − − − + + + + + + − − − + − + + − − − + − − + − − − + +

4 1 2 10 0 7 4 10 1 0 2 7

2 12 11 25 0 4 2 25 12 0 11 4

4 4 6 2 0 4 4 2 4 0 6 4

− − − − + − + − + = − + = + − + + − − − − − + − +

6 1 5

27 12 15

6 4 2

D B D A

− ⋅ + ⋅ = − − −

j) ( )4 1 1 0 3 2 3 2 1

2 2 3 4 1 1 1 0 2

1 1 0 1 0 5 4 1 3

B C A

− − − − ⋅ − = − ⋅ − − − − −

4 1 1 0 3 3 2 2 1 4 1 1 3 1 1

2 2 3 4 1 1 0 1 2 2 2 3 3 1 3

1 1 0 1 4 0 1 5 3 1 1 0 3 1 2

− + − + − − − = − ⋅ − − − + = − ⋅ − − − + − − −

12 3 3 4 1 1 4 3 2

6 6 9 2 2 3 2 6 6

3 3 0 1 1 0 1 3 0

+ + − − − + − = − − − + + − + − − − + + − +

( )18 6 5

9 3 2

0 0 2

B C A

− ⋅ − = − −


429

k) ( )0 3 2 1 1 2 3 2 1

4 1 1 2 3 4 1 0 2

1 0 5 0 2 0 4 1 3

C D A

− − − − − − ⋅ = − − − ⋅ − − −

0 1 3 1 2 2 3 2 1

4 2 1 3 1 4 1 0 2

1 0 0 2 5 0 4 1 3

+ − + − − − = + − − − ⋅ − − + − −

1 2 0 3 2 1 3 2 0 2 0 0 1 4 0

6 4 3 1 0 2 18 4 12 12 0 3 6 8 9

1 2 5 4 1 3 3 2 20 2 0 5 1 4 15

− − − − − + − − − + + = − − ⋅ − = − − − − − + + − − − + + − + − − +

( )5 2 5

34 9 5

19 7 12

C D A

− − − ⋅ = − − −

l)

3 2 1 4 1 1 6 4 2 4 1 1

2 2 1 0 2 2 2 3 2 0 4 2 2 3

4 1 3 1 1 0 8 2 6 1 1 0

A B

− − − − − − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − − − − −

24 8 2 6 8 2 6 12 0

8 0 4 2 0 4 2 0 0

32 4 6 8 4 6 8 6 0

− − + − + − − + = + − − + − + − − + + − − − +

30 0 6

2 4 6 2

34 6 14

A B

− − ⋅ = − −

m)

0 3 2 1 1 2 0 9 6 2 2 4

3 2 3 4 1 1 2 2 3 4 12 3 3 4 6 8

1 0 5 0 2 0 3 0 15 0 4 0

C D

− − − − − − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − − −

0 36 0 0 54 24 0 72 0

24 12 0 24 18 12 48 24 0

6 0 0 6 0 60 12 0 0

− + + − − − − + = − + + − − − − + − − + − + − + +

36 78 72

3 2 12 54 24

6 66 12

C D

− − ⋅ = − − − −


430

n) ( )0 3 2 4 1 1 3 2 1

2 3 4 2 4 1 1 3 2 2 3 4 1 0 2

1 0 5 1 1 0 4 1 3

C B A

− − − − ⋅ + = − ⋅ − + − − −

0 6 4 12 3 3 12 8 4

8 2 2 6 6 9 4 0 8

2 0 10 3 3 0 16 4 12

− − − − = − ⋅ − + − − −

0 6 4 12 12 3 8 3 4

8 2 2 6 4 6 0 9 8

2 0 10 3 16 3 4 0 12

− − − − + = − ⋅ + − + − + − − +

0 6 4 0 5 1

8 2 2 10 6 1

2 0 10 19 7 12

− − = − ⋅ − −

0 60 76 0 36 28 0 6 48

0 20 38 40 12 14 8 2 24

0 0 190 10 0 70 2 0 120

− + − + − − + = − + − + − − + + + − − − + +

( )16 8 42

2 3 4 18 42 30

190 80 122

C B A

⋅ + = − −

o) ( )3 2 1 4 1 1 1 1 2

3 2 3 1 0 2 2 2 2 3 2 3 4

4 1 3 1 1 0 0 2 0

A B D

− − − − − − ⋅ = − − − ⋅ − − − −

9 6 3 8 2 2 1 1 2

3 0 6 4 4 6 2 3 4

12 3 9 2 2 0 0 2 0

− − − − − = − − − ⋅ − − − −

9 8 6 2 3 2 1 1 2

3 4 0 4 6 6 2 3 4

12 2 3 2 9 0 0 2 0

− − − − + − − = − + − − ⋅ − − − + − −

17 8 5 1 1 2

1 4 12 2 3 4

10 1 9 0 2 0

− − − − = − − ⋅ − − −


431

17 16 0 17 24 10 34 32 0

1 8 0 1 12 24 2 16 0

10 2 0 10 3 18 20 4 0

+ + − − − − + = − − + + − + − − + + − − − − +

( )33 17 66

3 2 7 37 14

8 31 16

A B D

− − − ⋅ = − − −

p) ( ) ( )1 1 2 3 2 1 4 1 1

2 4 2 2 3 4 1 0 2 4 2 2 3

0 2 0 4 1 3 1 1 0

D A B

− − − − − − ⋅ − = − − ⋅ − − − − − −

2 2 4 3 2 1 16 4 4

4 6 8 1 0 2 8 8 12

0 4 0 4 1 3 4 4 0

− − − − = − − ⋅ − − − − −

2 2 4 3 16 2 4 1 4

4 6 8 1 8 0 8 2 12

0 4 0 4 4 1 4 3 0

− − − − − + = − − ⋅ − + − − − − + −

2 2 4 19 6 5

4 6 8 7 8 14

0 4 0 0 3 3

− − − = − − ⋅ − −

38 14 0 12 16 12 10 28 12

76 42 0 24 48 24 20 84 24

0 28 0 0 32 0 0 56 0

− − − − + − − − = − + − − − − + − − − + − + + − +

( ) ( )52 8 30

2 4 34 96 80

28 32 56

D A B

− − − − ⋅ − = − − − −

q) 23 35 3 5 3B B I B B B I+ + = ⋅ + +

4 1 1 4 1 1 4 1 1 1 0 0

2 2 3 2 2 3 5 2 2 3 3 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1

− − − = − ⋅ − + − + − − −

16 2 1 4 2 1 4 3 0 20 5 5 3 0 0

8 4 3 2 4 3 2 6 0 10 10 15 0 3 0

4 2 0 1 2 0 1 3 0 5 5 0 0 0 3

+ − − + − + − − = − + + − − − + + − + − + + − − − + −


432

17 3 1 20 5 5 3 0 0

7 3 8 10 10 15 0 3 0

2 3 4 5 5 0 0 0 3

− − = − + − + − −

17 20 3 3 5 0 1 5 0

7 10 0 3 10 3 8 15 0

2 5 0 3 5 0 4 0 3

+ + + + − − + = + + − + − + + + + − + − + +

23 3

40 8 6

5 3 5 3 17 4 7

7 2 1

B B I B B B I

− + + = ⋅ + + = − − −

r) ( ) ( )2 2D C D C D C+ ⋅ − +

Calculemos por separado 2D , C D⋅ y 2C .

2

1 1 2 1 1 2 1 2 0 1 3 4 2 4 0

2 3 4 2 3 4 2 6 0 2 9 8 4 12 0

0 2 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0

D D D

− − − − + + − − − − + = ⋅ = − ⋅ − = − + + − − + + − − − + + − − − − +

2

3 6 6

4 3 8

4 6 8

D

− − = − − −

0 3 2 1 1 2 0 6 0 0 9 4 0 12 0

4 1 1 2 3 4 4 2 0 4 3 2 8 4 0

1 0 5 0 2 0 1 0 0 1 0 10 2 0 0

C D

− − − − + + − − − − + ⋅ = − ⋅ − = − + + − − − − + − − − + − + − + +

6 13 12

2 9 4

1 11 2

C D

− − ⋅ = − − − −

2

0 3 2 0 3 2 0 12 2 0 3 0 0 3 10

4 1 1 4 1 1 0 4 1 12 1 0 8 1 5

1 0 5 1 0 5 0 0 5 3 0 0 2 0 25

C C C

− − − + − + + − + = ⋅ = − ⋅ − = − + − + + − + + + − − + + +

2

10 3 7

3 11 12

5 3 27

C

− = − − −


433

( ) ( )2 2D C D C D C+ ⋅ − +

1 1 2 0 3 2 3 6 6 6 13 12 10 3 7

2 3 4 4 1 1 4 3 8 2 9 4 3 11 12

0 2 0 1 0 5 4 6 8 1 11 2 5 3 27

− − − − − − − − = − + − ⋅ − − − − + − − − − − − − −

1 0 1 3 2 2 3 6 10 6 13 3 6 12 7

2 4 3 1 4 1 4 2 3 3 9 11 8 4 12

0 1 2 0 0 5 4 1 5 6 11 3 8 2 27

− + − − + − − − + − − + + = − + − + ⋅ − + − + − − + + − + + + + − + − − − +

1 4 4 13 4 13 13 20 40 4 4 8 13 64 68

2 2 5 5 1 16 26 10 50 8 2 10 26 32 85

1 2 5 10 2 17 13 10 50 4 2 10 13 32 85

− − − + + − − + − − + = ⋅ − = − − + + + + + − − + + − + − +

( ) ( )2 2

73 0 9

14 20 143

47 12 66

D C D C D C

− + ⋅ − + =


1) Sean las matrices:

3 1 0 2

1 2 4 2

0 1 2 3

A

− − = − − −

,

2 3

1 0

5 1

3 4

B

− = − −

,

1 5

1 2

0 3

4 1

C

− − − = −

,

0 1 3 2

2 1 1 4

5 2 0 3

1 3 4 2

D

− − − = − − − −

, 1 2 3 4 5

2 0 1 3 0E

− − = − −

, 4 1

2 5F

− = − y

3 1

4 2G

− =

.

Verificar las siguientes propiedades de la multiplicación de matrices:

a) A B B A⋅ ≠ ⋅ (No es conmutativa)

b) F G G F⋅ ≠ ⋅ (No es conmutativa)

c) ( ) ( )A B E A B E⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Es asociativa)

d) ( ) ( )G F E G F E⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Es asociativa)

e) ( ) ( )A D C A D C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Es asociativa)

f) ( ) ( )B D C B D C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Es asociativa)


434

g) ( ) ( )C D B C D B⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Es asociativa)

h) ( ) ( )A C E A C E⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (Es asociativa)

i) 2 2I F F I F⋅ = ⋅ = (Existencia de elemento neutro)

j) 2 2G I I G G⋅ = ⋅ = (Existencia de elemento neutro)

k) 2 2I D D I D⋅ = ⋅ = (Existencia de elemento neutro)

l) ( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅ (Distributividad con respecto a la adición)

m) ( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅ (Distributividad con respecto a la adición)

n) ( )C G F C G C F⋅ + = ⋅ + ⋅ (Distributividad con respecto a la adición)

o) ( )D B C D B D C⋅ + = ⋅ + ⋅ (Distributividad con respecto a la adición)

p) ( )C B E C E B E+ ⋅ = ⋅ + ⋅ (Distributividad con respecto a la adición)

q) ( )F G E F E G E+ ⋅ = ⋅ + ⋅ (Distributividad con respecto a la adición)

2) Sean las matrices

1 3 2

0 4 1

3 1 2

A

− − = − −

,

2 1 1

3 1 0

2 3 1

B

− − = − − −

,

4 2 1

1 2 3

3 2 1

C

− − = − −

y

2 2 5

1 1 3

3 4 0

D

− − = − − −

. Resolver las siguientes operaciones con matrices:

a) A B⋅ b) A C⋅ c) A D⋅ d) B A⋅

e) B C⋅ f) B D⋅ g) C A⋅ h) C B⋅

i) C D⋅ j) D A⋅ k) D B⋅ l) D C⋅

m) 2A A A= ⋅ n) 2B B B= ⋅ o) 2C C C= ⋅ p) 2D D D= ⋅

q) 3A A A A= ⋅ ⋅ r) 3B B B B= ⋅ ⋅ s) 3C C C C= ⋅ ⋅ t) 3D D D D= ⋅ ⋅

u) A B C⋅ ⋅ v) C D A⋅ ⋅ w) B A D⋅ ⋅ x) D C A⋅ ⋅

y) A C B⋅ ⋅ z) ( )A B C⋅ + α ) ( )C B A⋅ − β ) ( )3 2 4D C A⋅ +

ξ ) ( )2 3 2B C D− ⋅ ψ ) ( ) ( )2 3A D C− ⋅ − Ω ) 2 24A AB D− −

θ ) ( ) ( )2 2C D B AD C− ⋅ + − λ ) 3 2 35A B C D− + + ) ( ) ( )2 3 4D A C B− ⋅ −


435

Respuestas:

a)

11 4 1

14 1 1

7 4 5

− − − −

b)

1 12 12

1 10 13

19 4 4

− − − −

c)

1 3 4

1 0 12

13 15 12

− − − −

d)

1 9 7

3 13 7

1 7 3

− − − −

e)

12 4 4

13 8 6

8 4 8

− − − − −

f)

8 9 7

7 7 12

4 5 19

− − − − −

g)

1 3 8

8 8 6

6 18 6

− − − − −

h)

16 3 5

14 6 4

2 4 2

− − − − −

i)

9 10 26

9 12 11

5 4 9

− − − − −

j)

17 19 4

8 4 9

3 25 10

− − − − −

k)

12 15 3

5 9 4

6 1 3

− − − −

l)

5 18 13

14 2 1

16 14 15

− − − − −

m)

7 17 1

3 17 2

3 11 11

− − − − −

n)

3 2 3

3 2 3

15 2 3

− − − −

o)

17 2 3

11 8 8

11 12 10

− − − −

p)

9 14 4

12 15 2

10 10 3

− − − − −

q)

10 90 29

9 79 19

30 46 17

− − − −

r)

6 4 6

6 8 6

30 4 18

− − −

s )

57 36 14

28 54 43

62 22 35

− − − −

t)

116 132 183

63 71 105

60 138 80

− − − − −

u)

43 12 2

60 28 16

39 4 10

− − − − −

v)

87 93 24

42 86 8

32 40 4

− − − −

w)

8 13 32

2 9 24

18 21 16

− − − − − −

x)

44 100 2

11 49 32

29 23 48

− − −

y)

62 23 11

58 28 12

58 11 15

− − − −

z)

12 16 13

15 9 14

12 0 1

− − −

α )

17 6 3

6 2 6

4 22 4

− − − −

β )

174 120 126

12 60 102

132 216 30

− − − − −

ξ )

86 96 184

26 44 18

46 44 130

− − − −

ψ )

8 66 64

4 60 54

88 54 48

− − − −

Ω )

28 47 1

55 2 4

35 5 6

− − − − − −

θ )

44 28 18

39 30 51

37 21 39

− − −

λ )

143 192 178

68 130 98

54 86 61

− − − − −

)

43 58 43

152 31 137

365 234 189

− − − − − −


436

7.8. OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS O POR COLUMNAS EN UNA MATRIZ

Se dice que en una matriz A se realiza una operación elemental por fila (o columna), si se hacen cualquiera de las siguientes transformaciones: (I) Intercambio de dos filas (o dos columnas) de A .

i jF F⇔ (Intercambio de filas)

i jC C⇔ (Intercambio de columnas)

(II) Multiplicación de una fila (o una columna) de A por un número distinto de cero.

i iF k F⇒ ⋅ (Cambiar la fila iF por ik F⋅ , con 0k ≠ )

i iC k C⇒ ⋅ (Cambiar la columna iC por ik C⋅ , con 0k ≠ )

(III) Adición a una fila (o columna) de A, otra fila (o columna) multiplicada por un número distinto de cero.

i i jF F k F⇒ + ⋅ (Cambiar la fila iF por i jF k F+ ⋅ , con 0k ≠ )

i i jC C k C⇒ + ⋅ (Cambiar la columna iC por i jC k C+ ⋅ , con 0k ≠ )

Las operaciones elementales por filas o por columnas, se realizan con la finalidad de obtener otras matrices equivalentes, con un determinado propósito. Este proceso, se le denomina reducción por filas o columnas. La principal utilidad de estas operaciones, está en la resolución de ecuaciones lineales, la obtención del rango de una matriz y el cálculo de las matrices inversas. Ejemplos:

1) Sea la matriz

3 1 2

2 4 8

1 0 3

A

− = − −

. Realizar las siguientes operaciones elementales por

filas de manera sucesiva: a) 1 3F F⇔ b) 2 2

1

2F F⇒ ⋅ c) 3 3 23F F F⇒ + ⋅

Solución:

1 3

3 1 2 1 0 3

2 4 8 2 4 8

1 0 3 3 1 2

IF F

A A

− − ⇔ = − → = −

− −

2 2

1 1 0 32 1 2 4

3 1 2

I IF F

A

− ⇒ → = − −

3 3 2

1 0 33

1 2 4

0 5 14

I I IF F F

A

− ⇒ + → = −


437

2) Dada la matriz

2 1 3

3 0 2

4 1 5

B

− = − −

. Realizar las siguientes operaciones elementales por

columnas de forma sucesiva: a) 1 2C C⇔ b) 3 3 13C C C⇒ − ⋅

Solución:

1 2

2 1 3 1 2 3

3 0 2 0 3 2

4 1 5 1 4 5

IC CB B

− − ⇔ = − → = −

− −

3 3 1

1 2 03

0 3 2

1 4 8

I IC C C

B

− ⇒ − → = −

−

Matrices equivalentes por filas o por columnas

Sean las matrices A y B , diremos que la matriz B es equivalente por filas (o por columnas) a la matriz A , si B se obtiene mediante una sucesión finita de operaciones elementales

por filas (o por columnas). En los ejemplos anteriores, se tiene que A , IA , I IA y I I IA son

matrices equivalentes por filas y B , IB y I IB son matrices equivalentes por columnas. Ejercicio resuelto:

Dada la matriz

3 2 1 4

4 6 2 0

2 1 3 5

C

− − = − −

. Realizar las siguientes operaciones elementales en

la matriz C : i) 1 3C C⇔

ii) 2 2 12C C C⇒ − ⋅ , 3 3 13C C C⇒ + ⋅ y 4 4 14C C C⇒ + ⋅

iii) 2 2 12F F F⇒ + ⋅ y 3 3 13F F F⇒ − ⋅

iv) 2 2

1

10F F⇒ ⋅

v) 3 3 25F F F⇒ + ⋅

vi) 3 3 2

1

5C C C⇒ + ⋅ y 4 4 2

4

5C C C⇒ + ⋅

vii) 3 3

1

3C C⇒ ⋅ y 4 4

1

13C C⇒ ⋅


438

Solución:

1 3

3 2 1 4 1 2 3 4

4 6 2 0 2 6 4 0

2 1 3 5 3 1 2 5

IC C

C C

− − − − ⇔ = − → = −

− −

2 2 1

3 3 1

4 4 1

21 0 0 0

32 10 2 8

43 5 7 17

I I

C C C

C C CC

C C C

⇒ −

⇒ + → = − − − ⇒ + −

2 2 1

3 3 1

1 0 0 02

0 10 2 83

0 5 7 17

I I IF F FC

F F F

⇒ + → = − − ⇒ −

−

2 2

1 0 0 011 410 0 15 5

0 5 7 17

IVF F

C

⇒

→ = − − −

3 3 2

1 0 0 05 1 4

0 15 5

0 0 6 13

VF F F

C

⇒ + → = − −

3 3 2

4 4 2

1 1 0 0 05 0 1 0 04

0 0 6 135

V IC C C

CC C C

⇒ + → =

⇒ +

3 3

4 4

1 1 0 0 06 0 1 0 01

0 0 1 113

V I IC C

CC C

⇒ → =

⇒

7.9. MATRIZ ESCALONADA POR FILAS Y MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS

Una matriz se dice que está en forma escalonada reducida por filas, si cumple con las siguientes condiciones:

(I) El primer elemento no nulo de cada fila no nula, es igual a 1.

(II) Si dos filas sucesivas no son nulas, entonces el 1 de la fila inferior está a la derecha del 1 de la fila superior.


439

(III) Todas las filas que tienen únicamente ceros si existen, están por debajo de las filas que tienen elementos no nulos.

IV) Toda columna que tenga el primer elemento no nulo, tiene sus otros elementos iguales

a cero. En caso de que una matriz cumpla con las condiciones (I), (II) y (III), diremos que la matriz es escalonada por filas. Observaciones: a) Toda matriz escalonada reducida por filas es una matriz escalonada por filas, pero una

matriz escalonada por filas no necesariamente es una matriz reducida por filas.

b) La diferencia entre una matriz escalonada por filas y una matriz escalonada reducida por filas es que en la primera todos los elementos que están por debajo del primer 1 de cada fila son ceros, mientras que en la segunda todos los números que están tanto por debajo como por encima del primer 1 de cada fila, son ceros.

c) Toda matriz se puede transformar mediante operaciones por filas, en una matriz

escalonada por filas o en una matriz escalonada reducida por filas.

d) Dada una matriz, podemos mediante operaciones elementales por filas, transformarla en una matriz escalonada por filas y en una matriz escalonada reducida por filas.

Ejemplos:

1) Las matrices: 2

0 0

0 0O

=

, 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

=

, 2

1 0

0 1I

=

, 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

=

1 0 0

0 0 0

0 1 2

A

=

y 0 1 0 5

0 0 1 2B

= −

Son matrices escalonadas reducidas por filas, ya que todos los números tanto por debajo como por encima del primer 1 de cada fila, son iguales a ceros. Obviamente todas son escalonadas por filas.

2) Las matrices: 1 2

0 1C

=

,

0 1 7

0 0 3

0 0 1

D

= −

,

1 0 9 0

0 1 0 2

0 0 1 3

E

= −

y

1 2 4 5

0 1 3 2F

− =


440

Son matrices escalonadas por filas (y no están reducidas por filas), ya que todos los elementos que están por debajo del primer 1 de cada fila son ceros. Ahora bien, mediante operaciones elementales por filas, podemos transformarlas en matrices escalonadas reducidas por filas.

Ejercicio Resuelto:

Dada la matriz

3 6 9 0

2 1 4 1

2 2 3 5

A

− − = − − − −

, mediante operaciones elementales por filas,

transformarla: a) en una matriz escalonada por filas.

b) en una matriz escalonada reducida por filas. Solución: Los pasos que se deben realizar son los siguientes: Usando las operaciones elementales por filas, hacemos 1 el primer elemento de la primera fila y luego convertimos en 0 los elementos que están por debajo de él, seguidamente hacemos 1 el segundo elemento de la segunda fila y 0 todos los elementos que están por encima y por debajo de él y así sucesivamente continuamos hasta llegar hasta la última fila. Veamos:

1 1

13 6 9 0 1 2 3 032 1 4 1 2 1 4 1

2 2 3 5 2 2 3 5

F FA

− − − ⇒ − = − − → − − − − − −

2 2

2 2 1

3 3 1

1 2 3 011 2 3 02 150 5 10 1 0 1 22 5

0 2 3 5 0 2 3 5

F FF F F

F F F

− − ⇒ − ⇒ − → − − → − ⇒ + − −

1 1 2

3 3 2

21 0 1

52 1

0 1 22 5

230 0 1

5

F F F

F F F

−

⇒ − → − ⇒ −

(Matriz escalonada por filas)

1 1 3

2 2 3

1 0 0 5

10 1 0

2 547

0 0 15

F F F

F F F

− ⇒ − → ⇒ +

(Matriz escalonada reducida por filas)


441


1) Dadas las siguientes matrices, indicar cuáles son escalonadas por filas, escalonadas reducidas por filas o ninguna de ellas.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

=

0 0 1

0 1 0

1 0 0

B

=

1 0 0

0 1 2

0 0 1

C

=

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

D

=

1 3 4

0 1 5E

=

1 0

0 1

0 0

F

=

Respuestas:

Escalonadas por filas: A , C , E y F .

Escalonadas reducidas por filas: A y F .

Ninguna de las anteriores: B y D . (¿Por qué?)

2) Transformar las siguientes matrices, mediante operaciones elementales por filas a una matriz escalonada por filas y luego a una matriz reducida por filas que coincidan con las respuestas dadas.

a) 4 3

5 2

− −

b) 3 9

2 4

− −

c) 4 12

1 3

− −

d) 0 3

0 5

−

e) 2 5 4

7 3 1

− − −

f)

2 3 1

3 1 0

4 6 2

− − −

g)

3 6 7

2 3 10

1 2 3

− − − − −

h)

2 4 10

5 10 25

3 6 16

− − − −

i)

2 4 1 6 2

2 2 6 9 6

3 5 2 1 0

− − − − − − −

j)

4 16 12 1

2 7 7 2

3 12 8 5

5 20 15 0

− − − − − − − −

k)

2 4 6 2

1 3 1 1

3 6 9 3

2 4 7 3

1 2 3 1

− − − − − − − − − − −

Respuestas:

a)

71 01

,40 1

0 1

b) 1 3 1 0

,0 1 0 1

−

c) 1 3

0 0

d) 0 3 0 0

,0 1 0 1

e)

5 1571 2 1 0

2 41,30 30

0 1 0 141 41

− −


442

f)

3 1 11 1 0

2 2 113 3

0 1 , 0 111 11

0 0 0 0 0 0

− − −

g)

1 2 31 0 0

40 1 , 0 1 0

70 0 10 0 1

−

h)

1 2 5 1 2 0

0 0 1 , 0 0 1

0 0 0 0 0 0

−

i)

13 131 0 13 5 1 0 0 31

2 27 7

0 1 8 3 , 0 1 0 192 2

0 0 0 1 2 0 0 0 1 2

− − − −

j)

1 4 3 0 1 0 0 0

0 1 1 2 0 1 0 0,

0 0 1 5 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

− −

k)

1 2 3 1 1 0 0 2

0 1 2 2 0 1 0 0

,0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

− − − − −

7.10. RANGO DE UNA MATRIZ

Dada una matriz A , su rango es la cantidad o número de filas no nulas que tiene la matriz escalonada por filas o la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz A , se denota por ( )Rang A . El rango de la matriz A siempre es menor o igual al número de filas

de A . Su mayor importancia radica en que nos permite estudiar y discutir un sistema de ecuaciones lineales (Teorema de Rouché-Frobenius) que veremos más adelante en el capítulo VIII. Ejemplos: Determinar el rango de las siguientes matrices:

a)

2 2 4 2

2 4 0 7

3 5 2 6

A

− − − =

b)

1 5 4

4 15 17

3 13 10

B

− = − − −

Solución:

1 1

12 2 4 2 1 1 2 122 4 0 7 2 4 0 7

3 5 2 6 3 5 2 6

F FA

− − − − ⇒ − = →

2 22 2 1

3 3 1

1 1 2 111 1 2 12 920 2 4 9 0 1 23 2

0 2 4 9 0 2 4 9

F FF F F

F F F

− − ⇒ ⇒ − → − → − ⇒ − − − −


443

3 3 2

1 1 2 12 9

0 1 22

0 0 0 0

F F F−

⇒ + → −

Esta última matriz está en la forma escalonada por filas y como la fila 3 es nula,

entonces el número de filas no nulas de dicha matriz es 2 . Luego, ( ) 2Rang A = .

Nótese que en este caso, el rango de la matriz A es menor que su número de filas.

2 2 1

3 3 1

1 5 4 1 5 44

4 15 17 0 5 13

3 13 10 0 2 2

F F FB

F F F

− − ⇒ + = − − → − − ⇒ −

− −

2 2

1 1 2

3 3 2

1 5 4 1 0 5151 15 0 1 0 125 5

0 2 2 120 0

5

F F F F F

F F F

− ⇒ − ⇒ + → → ⇒ − − −

3 31 1 3

2 2 3

1 0 55 1 0 05112 0 1 0 1 015

0 0 150 0 1

F F F F F

F F F

⇒ − ⇒ − → → ⇒ −

La matriz obtenida es la matriz identidad 3I , la cual es una matriz escalonada reducida

por filas que tiene sus tres filas no nulas. Por lo tanto, ( ) 3Rang B = . Obsérvese que

el rango de la matriz B es igual al número de filas de B . Ejercicios propuestos:

Determinar el rango de las siguientes matrices:

a) 3 2

1 4

− −

b) 1 0

0 1

c) 5 2

15 6

− −

d) 2 3 1 5

3 1 2 0

− −

e)

4 1 3

2 3 0

1 2 5

− − − −

f)

2 1 1

3 2 0

5 1 2

2 3 2

− − − − −

g)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

h)

5 10 15 5

2 1 0 4

3 6 9 3

0 6 12 4

− − − − −

Respuestas:

a) 2 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3 f) 3 g) 4 h) 3


444

7.11. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz cuadrada A denotado por Det A A= , es el valor

numérico que se encuentra, según un procedimiento específico de acuerdo al orden de la matriz A . Empezaremos dando la definición del determinante de una matriz de orden 2 . Luego, definimos el determinante de una matriz de orden 3 , usando en el proceso la definición del determinante de la matriz de orden 2 . Después explicamos una regla práctica llamada regla de Sarrus para calcular determinantes de orden 3. Posteriormente a través de los conceptos de menores y cofactores (o adjuntos) de una matriz, daremos una definición generalizada para hallar el determinante de una matriz cualquiera de orden n . Para facilitar el cálculo de ciertos determinantes, enunciaremos algunas de sus propiedades. Es importante señalar que los determinantes tienen importantes aplicaciones en algunos tópicos de matemáticas, tales como el cálculo de la matriz inversa (si existe) de una matriz cuadrada y en el estudio y solución de sistemas de ecuaciones lineales que tenga igual cantidad de ecuaciones e incógnitas. Más aún, existe una regla práctica para este tipo de ecuaciones lineales con base a determinantes, llamada Regla de Cramer que veremos más adelante en el capítulo VIII sobre sistemas de ecuaciones lineales.

7.12. DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN

Sea 11 12

21 22

a aA

a a

=

una matriz de orden 2 , el determinante de A viene dado por:

11 12

11 22 12 2121 22

a aDet A A a a a a

a a= = = ⋅ − ⋅

Como puede observarse, el determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. De manera práctica, lo señalamos así:

( ) ( ) ( ) ( )11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a= + ⋅ − ⋅

( )− ( )+

Ejemplos:

Hallar el determinante de las siguientes matrices:

a) 3 5

2 4A

− − =

b)

52

31

32

B

− = − −

c) 1 0

0 1C

=

d) 4 2 3

35 3

2

iD

i

− − = −


445

Solución:

a) 3 5

2 4A

− − =

( ) ( ) ( ) ( )3 53 4 5 2 12 10 2

2 4Det A A

− −= = = − ⋅ − − ⋅ = − + = −

b)

52

31

32

B

− = − −

( ) ( )5

25 1 53 2 3 6

1 3 2 63

2

Det B B−

= = = ⋅ − − − ⋅ − = − − − −

5 36 41

6 6

− −= = −

c) 1 0

0 1C

=

( ) ( ) ( ) ( )1 01 1 0 0 1 0 1

0 1Det C C= = = ⋅ − ⋅ = − =

d) 4 2 3

35 3

2

iD

i

− − = −

( ) ( ) ( )4 2 3

34 2 3 5 33 25 3

2

iDet D D i i

i

− − = = = − ⋅ − − − ⋅ −

( )26 10 9 6 1 10 3 6 30 24i= + = ⋅ − + ⋅ = − + =

7.13. DETERMINANTES DE TERCER ORDEN.TEOREMA DE LAPLACE

Dada la matriz de orden tres: 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

, el determinante de A se calcula así:

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

Det A A a a a a a aa a a a a a

a a a

= = = ⋅ − ⋅ + ⋅


446

( ) ( ) ( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

El primer paso de la fórmula se obtiene, colocando como coeficientes los elementos de la

primera fila ( 11a , 12a y 13a ) con signos alternados ( )+ − + acompañándolos con el

determinante de orden 2 que resulta de eliminar la fila y la columna de la matriz A que

contiene a ese coeficiente (las cuáles señalamos con líneas horizontales y verticales). El proceso utilizado se conoce como teorema, regla o desarrollo de Laplace. Esto es:

11 12 13 11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 11 21 22 23 12 21 22 23 13 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32 33

a a a a a a a a a a a a

A a a a a a a a a a a a a a a a


= = ⋅ − ⋅ + ⋅

El determinante de la matriz A , en este caso se encontró haciendo el desarrollo de

Laplace por la primera fila. Ahora bien, el determinante de A , se puede hallar, haciendo

el desarrollo por cualquier fila o columna, usando el mismo procedimiento pero teniendo

en cuenta que el coeficiente i ja que multiplica a cada determinante de orden 2 es ( )+ si

( )i j+ es par y es ( )− si ( )i j+ es impar.

Ejemplo:

Hallar el valor del determinante de la matriz de orden tres:

3 2 1

4 2 5

6 1 1

A

= − −

. Haciendo el

desarrollo de Laplace por: a) La primera fila b) La segunda columna Solución:

a) Desarrollando por la primera fila tenemos:

3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

4 2 5 3 4 2 5 2 4 2 5 1 4 2 5

6 1 1 6 1 1 6 1 1 6 1 1

A = − = ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −− − − −

2 5 4 5 4 2

3 2 11 1 6 1 6 1

− −= ⋅ − ⋅ + ⋅

− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 5 1 2 4 1 5 6 1 4 1 2 6= ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3 2 5 2 4 30 1 4 12 3 3 2 34 1 16= ⋅ − − ⋅ − − + ⋅ + = ⋅ − − ⋅ − + ⋅

9 68 16 75 75A= − + + = ⇒ =


447

b) Desarrollando por la segunda columna, resulta:

( )3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

4 2 5 2 4 2 5 2 4 2 5 1 4 2 5

6 1 1 6 1 1 6 1 1 6 1 1

A = − = − ⋅ − + − ⋅ − − ⋅ −− − − −

( )4 5 3 1 3 12 2 1

6 1 6 1 4 5= − ⋅ + − ⋅ − ⋅

− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 1 5 6 2 3 1 1 6 1 3 5 1 4= − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 4 30 2 3 6 1 15 4 2 34 2 9 1 11= − ⋅ − − − ⋅ − − + ⋅ − = − ⋅ − − ⋅ − − ⋅

68 18 11 75 75A= + − = ⇒ =

Observación:

Con este ejemplo, hemos podido verificar que los resultados obtenidos en a) y b) son los mismos, es decir que el determinante de la matriz A se puede obtener, bien sea usando

la regla de Laplace por una fila o por una columna.

( )−

7.14. REGLA DE SARRUS PARA HALLAR UN DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

Es una regla práctica que nos permite determinar en una forma más directa el resultado de un determinante de orden tres, sin necesidad de realizar el desarrollo de Laplace por una fila o por una columna. Veamos cómo se aplica esta regla. (I) Agregamos las dos primeras filas debajo del determinante.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

(II) Agregamos las dos primeras columnas a la derecha del determinante.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )+

( )+

( )+

( )−

( )−

( )−

11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

11 23 32 12 21 33 13 22 31a a a a a a a a a− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

11 23 32 12 21 33 13 22 31a a a a a a a a a− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅( )+( )+( )+( )− ( )− ( )−


448

Observación:

Los dos procesos anteriores para hallar el determinante de una matriz de tercer orden, usando la Regla de Sarrus, pueden resumirse en una sola, así: (III)

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 32 33

a a a


a a a

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Ejemplo:

Hallar el valor del determinante de la matriz

3 2 1

4 2 5

6 1 1

A

= − −

, usando la Regla de Sarrus.

Solución:

Esta matriz es la misma del ejemplo dado en la definición del determinante de tercer

orden, cuyo valor es 75A = , que lo encontramos desarrollando por la primera fila y

luego por la segunda columna. Vamos a verificar que por la Regla de Sarrus, obtenemos el mismo resultado. Como en (I) es:

3 2 1

4 2 5

6 1 1

3 2 1

4 2 5

−−

−

Como en (II) es:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 2 1 3 2

4 2 5 4 2 3 2 1 4 1 1 6 2 5

6 1 1 6 1

A = − − = + − − + +−

11 23 32 12 21 33 13 22 31a a a a a a a a a− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

( )+

( )+ ( )+

( )−( )− ( )−

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 6 5 1 3 1 2 6− − − − −

A = ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )3 2 1 4 1 1 6 2 5= + − − + +

6 4 60 12 15 8 75= + + + − + =

( )+

( )+

( )+ ( )−

( )−

( )− ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1 2 6 5 1 3 1 2 4− − − − −

6 4 60 12 15 8 75= + + + − + =


449

Observación: Cuando se tiene la seguridad de los pasos a seguir, no es necesario hallar el determinante por (I) o (II), podemos de una vez usar (III), sin indicar las flechas, colocando las multiplicaciones y después determinando la solución, así:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 2 1

4 2 5 3 2 1 4 1 1 6 2 5 1 2 6 5 1 3 1 2 4

6 1 1

A = − = − − + + − − − − −−

6 4 60 12 15 8 75= + + + − + =

A partir de ahora, para hallar el determinante de una matriz de tercer orden, lo haremos directamente, resolviendo las multiplicaciones y luego la solución, como en el último paso, de la siguiente manera:

3 2 1

4 2 5 6 4 60 12 15 8 75

6 1 1

A = − = + + + − + =−

7.15. DETERMINANTE DE ENÉSIMO ORDEN.

Cuando dimos la definición de un determinante de orden tres, en el proceso usamos la definición de determinante de orden dos. De la misma forma, para definir el determinante de una matriz de orden n o enésimo orden, utilizaremos la definición del determinante previo, o sea el de orden 1n − , los conceptos de menores y cofactores (o adjuntos). El proceso a usar, es como ya hemos visto, la regla de Laplace. Veamos: Menor de una matriz

Dada una matriz cuadrada A de orden n , se llama menor i j ésimo de A , a la matriz de

orden 1n − que se obtiene al eliminar de A , la i − ésima fila y la j − ésima columna, lo

denotaremos por i jM .

Ejemplo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

, entonces los menores de A son:

22 23

32 3311

a aM

a a

=

21 23

31 3312

a aM

a a

=

21 22

31 3213

a aM

a a

=

12 13

32 3321

a aM

a a

=

11 13

31 3322

a aM

a a

=

11 12

31 3223

a aM

a a

=


450

12 13

22 2331

a aM

a a

=

11 13

21 2332

a aM

a a

=

11 12

21 2233

a aM

a a

=

Cofactor o adjunto de una matriz

Sí A es una matriz de orden n , el cofactor (o adjunto) i j− ésimo de A , viene dado por

la expresión: ( )1i j

i ji jC M+= −

El cofactor i jC nos indica el signo con el determinante de cada menor de la matriz A .

Este signo será ( )+ si i j+ es par y ( )− si i j+ es impar. Los signos de los cofactores

(o adjuntos) de cada menor de una matriz A están en forma alternada así: + − + − ⋅ ⋅− + − + ⋅ ⋅+ − + − ⋅ ⋅− + − + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplo:

Para la matriz

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

sus cofactores o adjuntos son:

( ) 22 23

32 33

1 11111 1

a aC M

a a+= − = + ( ) 21 23

31 33

1 21212

1a a

C Ma a

+= − = −

( ) 21 22

31 32

1 31313

1a a

C Ma a

+= − = + ( ) 12 13

32 33

2 12121 1

a aC M

a a+= − = −

( ) 11 13

31 33

2 22222

1a a

C Ma a

+= − = + ( ) 11 12

31 32

2 32323 1

a aC M

a a+= − = −

( ) 12 13

22 23

3 13131

1a a

C Ma a

+= − = + ( ) 11 13

21 23

3 23232 1

a aC M

a a+= − = −

( ) 11 12

21 22

3 33333

1a a

C Ma a

+= − = +

Para una matriz de orden 3 los signos de los adjuntos lo podemos hallar directamente así:

+ − +− + −+ − +


451

Ahora bien, aplicaremos el teorema de Laplace, usando los conceptos de menor y cofactor. A continuación daremos la definición del determinante de una matriz de enésimo orden. Determinante de una matriz de orden n

Dada la matriz de orden n:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

A

a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, su determinante es:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

Det A A

a a a a

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 111 12 13 1n na C a C a C a C= + + + +LLL

( )11 12 13 1

111 12 13 11 n

nna M a M a M a M−

+= + + − + −LLL

22 23 2 21 23 2 21 22 2

32 33 3 31 33 3 31 32 3

11 12 13

2 3 1 3 1 2

n n n

n n n

n n nn n n nn n n nn

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + − +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )

11 12 13 1 1

21 22 23 2 1

31 32 33 3 1

1

1 2 3 1

11

n

n

n

n

n n n n n

n

a a a a

a a a a

a a a aa

a a a a

−

−

−

−

+

⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

− + −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

LLL


452

Observación:

El determinante de orden n se calculó, haciendo el desarrollo de Laplace por la primera fila. Obtenemos el mismo resultado, si hacemos el desarrollo por cualquier fila o columna de A. Para hallar una matriz de cualquier orden, utilizaremos la regla recursiva de Laplace, tantas veces como sea posible, hasta llegar a determinantes de orden 2 ó 3 . Ejemplos:

Hallar el determinante de las siguientes matrices cuadradas, usando la definición de una matriz de orden n y la observación anterior.

a)

5 3 2

2 1 4

3 6 1

A

− − = − −

b)

2 1 3 1

0 3 0 0

4 0 2 0

3 1 5 0

B

− − = − −

Solución:

a) ( ) ( )5 3 2

1 4 2 4 2 12 1 4 5 3 2

6 1 3 1 3 63 6 1

A

− −= = + − − + −

− − − −− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 24 3 2 12 2 12 3 5 25 3 10 2 15= − − + − + − + = − + −

125 30 30 125= − + − = −

Hagamos el mismo ejemplo pero desarrollando por la segunda columna, para que verifiquemos que el resultado es el mismo.

( )5 3 2

2 4 5 2 5 22 1 4 3 1 6

3 1 3 1 2 43 6 1

A

− −− −

= = − − + −− − − −

− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 12 1 5 6 6 20 4 3 10 1 11 6 24= − + + − − − + = + − −

30 11 144 125= − − = −

b) Desarrollando por la segunda fila y resolviendo por Sarrus, resulta:

2 1 3 1

0 3 0 0

4 0 2 0

3 1 5 0

B

−−

=−

−

( )1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3

0 0 2 0 3 4 2 0 0 4 0 0 0 4 0 2

1 5 0 3 5 0 3 1 0 3 1 5

− − −= − − + − − − + −

− − −

( ) ( )3 0 0 20 6 0 0 3 26 78= − − − + + + − = − = −


453

Si desarrollamos por la cuarta columna, obtenemos:

2 1 3 1

0 3 0 0

4 0 2 0

3 1 5 0

B

−−

=−

−

( ) ( )0 3 0

1 4 0 2 1 0 18 0 0 60 0 1 78 78

3 1 5

−= − − = − + − − + − = − = −

−

Resolvimos directamente, ya que los coeficientes de los otros menores son ceros.

Propiedades de los determinantes

Las propiedades de los determinantes son muy importantes, debido a que nos permite encontrar de una manera más rápida el resultado de un determinante. Las demostraciones de estas propiedades se las dejamos como ejercicio propuestos a los lectores interesados, sólo nos limitaremos a sus aplicaciones en la resolución de determinantes. (I) Si un determinante tiene todos los elementos de una fila o de una columna, iguales a

ceros, entonces el determinante es igual a cero.

Ejemplos:

a)

3 2 3 5

1 4 0 10

0 0 0 0

7 9 3 2

−− −

=

−

b)

5 0 3 1 4

2 0 0 6 100

501 0 8 3

911 0 7 2 35

1 0 20 0 1

π

− −− −

=− −

−

(II) Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces el determinante es igual a cero. Ejemplos:

a)

2 1 3

5 4 1 0

2 1 3

− −− =

− − b)

5 1 4 5 1 0

2 3 0 1 3 2

1 2 9 3 2 30

4 0 5 4 0 6

3 4 1 9 4 8

8 7 0 1 7 1

− − −−

− −=

− −− −

−


454

(III) Si en una fila o en una columna de un determinante, los elementos tienen un factor común, éste número se puede sacar fuera del determinante. Ejemplos:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 4 1 0 4 1 0 4

9 6 3 3 3 3 2 3 1 3 3 2 1

5 2 2 5 2 2 5 2 2

− − −− − = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ −

− − −

b)

( )

( )

2 5 4 6 2 5 2 62 5 2 2 6

9 1 8 7 9 1 4 79 1 2 4 72

3 0 6 2 3 0 3 23 0 2 3 2

0 4 10 1 0 4 5 10 4 2 5 1

− − − −− ⋅ −− −− ⋅

= = ⋅− − − − − −− ⋅ − −

− − − −− ⋅ −

(IV) Si en un determinante, se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Ejemplos:

a)

3 5 0 1 2 1 2 0 1 2

2 1 3 2 1 2 1 3 2 1

4 0 1 4 2 4 0 1 4 2

3 2 5 7 3 3 2 5 7 3

1 2 0 1 2 3 5 0 1 2

− − −− − − −

= −− − − − − −− − − −

− − −

b)

5 2 3 5 3 2

0 1 4 0 4 1

3 7 2 3 2 7

− − − −− = − −

− −

(V) Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces el determinante es igual a cero. Ejemplos:

a) 2 7

02 7

−=

− b)

4 2 2

3 5 5 0

1 3 3

− −=

− − − c)

3 1 4 0

0 2 7 10

4 5 3 0

0 2 7 1

−− −

=− −

− −

(VI) Si en un determinante, una fila (o columna) es múltiplo de otra fila (o de otra columna), entonces el determinante es igual a cero. Ejemplos:

a)

4 8 12

5 0 7 0

1 2 3

−− =

− ( 3 14 F F⋅ = ⇒ La fila 1 es múltiplo de la fila 3 )


455

b)

2 3 6

5 1 2 0

7 4 8

− −− =

− ( 3 22 C C− ⋅ = ⇒ La columna 3 es múltiplo de la columna 2 )

(VII) Si en un determinante A , cada elemento de una fila (o de una columna) es igual a

la suma de dos cantidades, el determinante A es igual a la suma de dos

determinantes A∗ y A∗∗ que tienen las mismas filas (o columnas) que el

determinante A , exceptuando las filas (o columnas), cuyos elementos son las

cantidades antes señaladas. Ejemplos:

a) 4 7 1 3 5 2 1 5 3 2

1 3 1 3 1 3 1 3

+ += = +

− − − −

b)

( )

3 0 1 3 0 0 1 3 0 1 3 0 1

4 7 2 4 9 2 2 4 9 2 4 2 2

2 5 6 2 6 1 6 2 6 6 2 1 6

− − + − −− − = − − + = − − + −

− + − − − − −

(VIII) Si en un determinante, a todos los elementos de una fila (o columna) se le suman los elementos correspondientes de otra fila (o columna) multiplicada por un número cualquiera k , el determinante no se altera.

j j iF F k F+⇒ ⋅ ó C Cj j ik C+⇒ ⋅

Ejemplos:

a) 1 1 265 3 1 9

1 2 1 2

F F F⇒ +− −→

− −

5 3 1 9

10 3 7 2 9 71 2 1 2

− −= − = ∧ = − + =

− −

Luego, 5 3 1 9

1 2 1 2

− −=

− −

b) 3 3 1

1 3 2 1 3 02

4 5 3 4 5 5

1 0 2 1 0 4

C C C− − −

⇒ −− → − −

− −

1 3 2

4 5 3 10 9 0 10 24 0 33 20 13

1 0 2

− −− = − + − − + + = − =

−


456

1 3 0

4 5 5 20 15 0 0 48 0 13

1 0 4

−− − = − − + + + − =

−

Por lo tanto,

1 3 2 1 3 0

4 5 3 4 5 5

1 0 2 1 0 4

− − −− = − −

− −

(IX) El determinante de una matriz triangular superior o inferior, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Ejemplos:

a) 11 12 13

22 11 11 22 33

33

0

0 0

a a a

a a a a a

a

= ⋅ ⋅

b) ( ) ( )

3 0 0 0

1 2 0 03 2 1 6 36

5 0 1 0

8 9 3 6

− −= ⋅ − ⋅ − ⋅ =

−− −


1) Hallar el valor de los siguientes determinantes. Hacer uso de las propiedades si se puede.

a) 5 2

4 3

− −−

b)

1 3

2 42

83

− c)

0

2 3 2 2

45 5 3

i

Cos i

− − d)

1 3 3

2 2 5

i i

i i

− −− + +

e)

3 1 4

2 2 3

1 1 2

− −−−

f)

2 5 1

3 1 2

4 2 3

− −−

− − g)

4 2 1

5 0 3

8 4 2

−−

− h)

9 7 5

1 2 4

3 0 0

−− −−

i)

2 0 0

0 3 0

1 5 4

−

− − j)

35

2

0 4 3

10 0

3

iπ −

− −

−

k)

3 2 3

1 5 1

4 3 4

− − −−

l)

1 0 5

3 0 4

11 0 2

−−

−


457

m)

2 3 1 4

1 3 2 4

5 1 1 2

3 2 3 1

− −−

− −− −

n)

4 1 0 2

2 3 5 1

2 1 0 3

0 1 2 1

− −− −

−−

o)

2 3 4 7

0 0 0 0

13 11 20

52 2 3

3i

π

− −

−

−

p)

1 3 0 1

3 5 1 3

2 7 13 2

4 15 0 4

− − −−

− −

q)

5 0 0 0

1 1 0 0

2 4 3 0

3 0 1 2

−−

−− −

r)

2 3 1 6

5 9 3 0

3 12 4 7

1 15 5 11

− −− −

− −− − − −

s)

3 2 1 4 5

1 2 3 1 2

2 1 1 0 3

1 4 0 2 1

0 1 2 3 4

− −− −

− −− −

−

t)

2 1 3 1 4

3 0 0 0 1

4 0 1 0 2

1 1 5 0 0

11 0 2 0 1

−− −

−

u)

25 3 13 2 0

2 11 2 14 15

3 21 9 6 12

20 0 12 17 11

2 14 6 4 8

− −− −− − −

−− −

v)

3 1 12 3 5

2 3 4 1 2

3 2 4 1 2

4 6 8 2 2

2 3 1 4 7

− − −− −

− − − −− −

−

Solución:

a) 5 2

15 8 234 3

− −= + =

− (Por definición de matriz de orden 2 )

b) ( )1 3

1 3 2 1 8 1 92 4 8 42 2 4 3 2 2 2

83

− − = ⋅ − − ⋅ = − − = = − −

(Ídem)

c) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

2 3 2 22 3 5 3 2 2 45

45 5 3

ii i Cos

Cos i

− −= − ⋅ − − ⋅ (Ídem)

( )2 210 9 2 2 10 3 1 4

2i= − + ⋅ = − ⋅ ⋅ − +

30 2 32= + =


458

d) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 31 3 2 5 3 2

2 2 5

i ii i i i

i i

− −= − ⋅ + − − ⋅ − +

− + + (Ídem)

( ) ( )2 22 5 6 15 6 3 2i i i i i i= + − − − − + + −

2 15 6 5 1 22 6i i i= − + + − − = −

e) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )3 1 4

2 2 3 3 2 2 1 3 1 2 1 4

1 1 2

− −− = + − − + − + −−

(Por Sarrus)

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )4 2 1 1 2 2 3 1 3− − − − − − −

12 3 8 8 4 9 24 20 4= − − + + − = − =

f) ( ) ( )2 5 1

1 2 3 2 3 13 1 2 2 5 1

2 3 4 3 4 24 2 3

− −− −

− = − − + −− − − −

− − (Desarr. 1raFila)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 9 8 1 6 4 2 1 5 17 1 10= − + + − − − + = + − −

. 2 85 10 2 95 93= − − = − = −

g)

4 2 1 4 2 1

5 0 3 2 5 0 3 2 0 0

8 4 2 4 2 1

− −− = − = ⋅ =

− − (Por propiedades III y V)

h) ( ) ( ) ( )9 7 5

7 51 2 4 3 3 28 10 3 18 54

2 43 0 0

−−

− − = + − = − − = − = −−

−

(Desarrollo por 3ra Fila)

i) ( ) ( ) ( )2 0 0

0 3 0 2 3 4 24

1 5 4

−= − ⋅ ⋅ − =

− − (Por propiedad IX)

j) ( )

35

23 1

0 4 3 4 22 3

10 0

3

iπ −

− − = ⋅ − ⋅ − =

−

(Por propiedad IX)


459

k) 3 2 3

1 5 1 0

4 3 4

− − − =−

(Por propiedad V)

l) 1 0 5

3 0 4 0

11 0 2

−− =

− (Por propiedad I)

m) ( )

2 3 1 43 2 4 1 2 4

1 3 2 42 1 1 2 3 5 1 2

5 1 1 22 3 1 3 3 1

3 2 3 1

− −−

−= + − − − − −

− −− − −

− −

( )1 3 4 1 3 2

1 5 1 2 4 5 1 1

3 2 1 3 2 3

− −+ − − − − −

− − −

(Desarrollando por la primera fila)

( ) ( )2 3 8 12 8 2 18 3 1 12 60 12 10 6= − − − − − − − − + + + + +

( ) ( )1 1 18 40 12 15 4 4 3 9 20 6 45 2− − + − − + − − + + − + −

(Por Sarrus)

( ) ( ) ( ) ( )2 3 48 3 100 1 1 45 45 4 74 11= − − − − − − − −

( ) ( ) ( ) ( )2 45 3 99 1 0 4 63= − − − − −

90 297 0 252 90 549 459= − − − = − = −

Otra forma: Llevar el determinante a una fila o a una columna con todos sus elementos nulos, excepto uno de ellos que sea 1 , así:

1 2

2 3 1 4 1 3 2 4

1 3 2 4 2 3 1 4

5 1 1 2 5 1 1 2

3 2 3 1 3 2 3 1

F F

− − −⇔− − −

→ = −− − − −

− − − −

(Prop. IV)

2 2 1

3 3 1

4 4 1

2 1 3 2 4

5 0 3 3 12

3 0 14 9 22

0 7 9 11

F F F

F F F

F F F

⇒ + −⇒ + −

→ = −⇒ − −

− −

(Prop. VIII)


460

3 3 12

1 14 9 22

7 9 11

−= − −

− − (Desarrollando por la primera columna)

( )1 297 462 1512 756 462 594= − + + − − − (Por Sarrus)

( ) ( )1 2271 1812 1 459 459= − − = − = −

n) ( )

4 1 0 24 1 2 4 1 2

2 3 5 15 2 1 3 2 2 3 1

2 1 0 30 1 1 2 1 3

0 1 2 1

− −− − − −

− −= − − − − −

−− −

−

(Desarrollando por la tercera columna, que tiene más ceros)

( ) ( )5 4 0 4 0 2 12 2 36 2 4 12 6 4= − − − − − − − − + − + +

(Por Sarrus)

( ) ( )5 14 2 36 70 72 2= − − − = − + =

o)

2 3 4 7

0 0 0 0013 11 20

52 2 3

3i

π

− −

=−

−

(Por propiedad I)

p)

1 3 0 1

3 5 1 30

2 7 13 2

4 15 0 4

− − −=

−− −

(Por propiedad V)

q) ( ) ( ) ( ) ( )

5 0 0 0

1 1 0 05 1 3 2 30

2 4 3 0

3 0 1 2

−−

= − ⋅ − ⋅ ⋅ − = −−

− −

(Por propiedad IX)

r) ( )

2 3 1 6 2 1 1 6

5 9 3 0 5 3 3 03 3 0 0

3 12 4 7 3 4 4 7

1 15 5 11 1 5 5 11

− − −− − − − −

= − = − =− − −

− − − − − − − −

(Por propiedades III y II)


461

s) A partir de este ejercicio, no vamos a señalar las propiedades utilizadas para hallar determinantes equivalentes que sean más fácil de resolver.

1 3

3 2 1 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 1 2 3 2 1 1 2

2 1 1 0 3 1 1 2 0 3

1 4 0 2 1 0 4 1 2 1

0 1 2 3 4 2 1 0 3 4

C C

− − − −− − − −

⇔→ = −− − − −

− − − −− −

2 2 1

3 3 1

5 5 1

1 2 3 4 53

0 8 10 11 13

0 1 1 4 82

0 4 1 2 1

0 5 6 11 14

F F F

F F F

F F F

− −⇒ −

− −⇒ −

→ = − − −⇒ −

− −− −

( ) ( )2 3

1 2 3 4 5

0 1 1 4 8

0 8 10 11 13

0 4 1 2 1

0 5 6 11 14

F F

− −− −

⇔→ = − − − −

− −− −

3 3 2

4 4 2

5 5 2

1 2 3 4 58

0 1 1 4 84

0 0 2 21 515

0 0 3 18 33

0 0 1 9 26

F F F

F F F

F F F

− −⇒ −

− −⇒ −

→ = − −⇒ −

−− −

(∗)

Desarrollando por la 1ra columna

1 1 4 8

0 2 21 511

0 3 18 33

0 1 9 26

− −− −

→ =−

− −

Desarrollando por la 1ra columna

2 21 51

1 3 18 33

1 9 26

− −→ = −

− −

Usando Sarrus ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )2 18 26 21 33 1 3 9 51→ = + − − + − − + −

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )51 18 1 21 3 26 33 9 2− − − − − − − −

936 693 1377 918 1638 594 3267 2889 378→ = + − − + − = − =


462

Otra forma: Llevar el determinante de la matriz dada a un determinante de una matriz

triangular inferior o superior y luego aplicar la propiedad (IX). Continuemos a partir

del determinante señalado por (∗).

3 3 4

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

0 1 1 4 8 0 1 1 4 8

0 0 2 21 51 0 0 1 39 84

0 0 3 18 33 0 0 3 18 33

0 0 1 9 26 0 0 1 9 26

F F F

− − − −− − − −

⇒ +→ =− − −

− −− − − −

4 4 3

5 5 3

1 2 3 4 5

0 1 1 4 83

0 0 1 39 84

0 0 0 99 219

0 0 0 48 110

F F F

F F F

− −− −

⇒ −→ = −

⇒ +−

−

1 2 3 4 5

0 1 1 4 8

0 0 1 39 13899

730 0 0 1

330 0 0 48 110

− −− −

−=−

−

5 5 4

1 2 3 4 5

0 1 1 4 8

0 0 1 39 844899 73

0 0 0 13342

0 0 0 011

F F F

− −− −

−⇒ +→ =

−

Por propiedad (IX) 42

99 1 1 1 1 37811

→ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Como podemos observar, hemos obtenido un mismo resultado por ambos procedimientos.

t)

2 1 3 1 43 0 0 1

3 0 0 0 14 0 1 2

14 0 1 0 21 1 5 0

1 1 5 0 011 0 2 1

11 0 2 0 1

−− −

− −= −

−−

(Desarr. por la 4ta columna)


463

( ) ( )3 0 1

1 1 4 1 2

11 2 1

− −= − ⋅ − ⋅ (Desarr. por la 2da columna)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 8 11 0 12 1 23 11 12= − ⋅ − ⋅ − + − + − + = ⋅ − = (Por Sarrus)

u)

25 3 13 2 0 25 3 13 2 0

2 11 2 14 15 2 11 2 14 15

33 21 9 6 12 1 7 3 2 4

20 0 12 17 11 20 0 12 17 11

2 14 6 4 8 2 14 6 4 8

− − − −− − − −

= −− − − − −− −

− − − −

( )

25 3 13 2 0

2 11 2 14 15

3 2 6 0 01 7 3 2 4

20 0 12 17 11

1 7 3 2 4

− −− −

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ =− −−

− −

v) 3 3 2

4 4 2

3 1 12 3 5 3 1 12 3 5

2 3 4 1 2 2 3 4 1 2

3 3 4 1 2 1 0 0 0 02

4 6 8 2 2 0 0 0 0 2

2 3 1 4 7 2 3 1 4 7

F F F

F F F

− − − − − −− − − −

⇒ +→ =− − − −

⇒ −− − −

− −

( ) ( )

1 12 3 51 12 3

3 4 1 21 1 2 3 4 1

0 0 0 23 1 4

3 1 4 7

− −− −

− −= − = − ⋅ − − ⋅ − − −

−−

( ) ( ) ( )2 16 36 9 36 144 1 2 196 46 2 150 300= − + − − + − = − − = − = −

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 7

113 4

x −=

− b)

5 3138

2 8

z z= −

−

c) 7 13

17019 11b

− −=

− d) 2

1 2 3

2 1 2 2 8 3

1 1 2 3

x

x x

x x

− +− − = + −

− −

e) 2

3 2

1 2 8

4 1

x

x x

x

− − −=

− f) 2

1 2

2 3 4 2

1 1

x

x x x x

x

−− − = + +


464

Solución:

a) 7

11 4 21 11 4 21 113 4

xx x

−= ⇒ − = ⇒ = +

−

324 32 8

4x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =

b) 5 3

138 40 6 138 46 1382 8

z zz z z= − ⇒ + = − ⇒ = −

−

1383

46z z⇒ = − ⇒ = −

c) 7 13

170 77 247 170 247 170 7719 11

b bb

− −= ⇒ − − = ⇒ − = +

−

247

247 247 1247

b b b⇒ − = ⇒ = − ⇒ = −

d) 2

1 2 3

2 1 2 2 8 3

1 1 2 3

x

x x

x x

− +− − = + −

− −

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

21 1 2 3 2 2 1 2 1 32 8 3

3 1 1 2 2 2 3 2 1 1

x x xx x

x x x

+ − − − + + − − + = + − − − − − + − − − −

( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 2 6 3 1 2 2 3 4 6 2 2 8 3x x x x x x x x x− − + − + + − − − + − − = + −

2 2 22 3 2 2 4 6 3 3 4 6 8 12 2 2 8 3x x x x x x x x x− − − + + + − − + − + − = + +

2 2 22 6 3 3 2 3 4 12 8 2 4 6 8 3 2 2 0x x x x x x x x x− + − − − + − + − + + + − − − − =

2 2 26 5 15 17 12 15 0 2 3 0x x x x x x− + − + − = ⇒ − − =

( )( )3 1 0 3 0 1 0 3 1x x x x x x− + = ⇒ − = ∨ + = ⇒ = ∨ = −

e) 2 2 3 3

3 2

1 2 8 3 2 8 2 24 8

4 1

x

x x x x x x x

x

− − −= ⇒ − − + + + − =

−

3 3 22 2 3 24 8 8 0x x x x x⇒ − − + − + − =

( )23 23 0 3 23 0x x x x⇒ − − = ⇒ − ⋅ + =

23

0 3 23 0 03

x x x x⇒ − = ∨ + = ⇒ = ∨ = −

f) 2 3 2 2

1 2

2 3 4 2 3 4 2 2 3 4 2

1 1

x

x x x x x x x x x x x

x

−− − = + + ⇒ + − − − + = + +


465

3 2 23 3 2 2 4 4 2 0x x x x x x x⇒ + − + − − − − − = 3 22 5 6 0x x x⇒ + − − =

Por Ruffini: 3 21 2 5 6x x x+ − − ( )6 1 2 3 6div − = ± ± ± ±

1 2 5 6

1 1 1 6

1 1 6 0

2 2 6

1 3 0

3 3

1 0

− −− − −

−

− −

Raíces (solución): 1 , 2 , 3x x x= − = = −


1) Hallar el valor de los siguientes determinantes. Hacer uso de las propiedades si se puede.

a) 9 3

7 2 b)

6 4

5 8

−−

c) 4 5

3 4

−−

d) 3 9

0 11

−−

e)

3 5

2 36

45

− − f)

2 7

3 23 5

5 4

− −

− − g)

3 6 2

2 3

5 2 3 3

2 4− −

h)

11 4

351 1 4

i i

i i

+

− −

i) 0

5 2 25 2

8 45 3 50

i

Sen i

− −

− j)

1 3 3 3

2 4

2 32 3

3

− −

++ k)

2 3 1

4 1 5

3 2 4

l)

3 1 4

2 5 1

1 3 2

− −−

− − m)

5 2 1

4 3 2

1 0 1

−− −

− n)

7 0 0

1 3 2

60 1 2

− −−

ñ)

3 24 2

25 0 3

4 0 2

iπ− −

−−

o)

2 0 0

70 1 0

1071 100 23

9 7

π− −

−

p)

3 1 2

51 2 3

76 2 4

i

−

− −

−


466

q)

a b a

a a b

b b a

−−

− r)

1 1 2 3

2 1 1 4

3 2 4 1

5 1 1 2

− −− −

−− − −

s)

2 3 1 3

4 1 2 1

1 2 3 4

3 1 4 1

− −− −

−−

t)

1 1 2 1

2 0 1 1

3 2 1 1

1 1 2 3

−−

− −− −

u)

23 5 2

55

1 1 025

0 0 02

3 14 3

5 5

i x

i z

− −

−

− − −

v)

3 31 5

4 20 2 1 3 4

2 5 30 0

5 210

0 0 03

i i

i

i

− − −

− + −

− w)

16 2

2

52 9 3

32 2

1 03 9

10 27 4 3

i i

π

π− − −

−

−

x)

1 3 4 1 2

3 5 2 3 4

2 1 3 7 4

0 2 2 5 6

7 3 4 1 2

− −− −

− −− −

−

y)

2 4 1 0 3

5 1 3 0 1

0 1 2 1 0

2 3 0 0 0

3 0 4 0 2

− −− − −

− −−

z)

1 2 7 10 7

10 1 1 5 15

5 3 8 15 8

4 0 5 0 20

20 4 1 20 0

−− − −

− −

− −

α )

2 3 0 0 0 0

1 2 3 0 0 0

5 52 5 0 0

4 6

5 9 0 3 20 0

14 3 1 3 2

2

i

i

e i

− +

−

− −

−

− − +

Respuestas:

a) 3− b) 28− c) 1 d) 33 e) 4− f) 38

30−

g) 71

8 h) 0 i) 50− j)

5 3 11

12

+− k) 10− l) 20−


467

m) 22 n) 28 ñ) 4− o) 6 p) 0 q) ( )2 2( )a b a b− +

r) 5 s) 212− t) 22 u) 483 15

10 2i− − v) 2 w) 0

x) 0 y) 290− z) 0 α ) 650 3

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2

13 1

x−=

− b)

3 16

4 2

y −=

−

c) 6

113

hh

h=

− d)

3 148

2 5 4

x x

x

+=

−

e) ( )2 1

0 3 12 2 6

2 1

x

x x x

x

−− = −

− f)

2

1 1 3 23 5

3 1 2

x x

x

x

− −− = −

− +

Respuestas:

a) 1x = b) 2y = − c) 2 , 9h h= − = −

d) 2 , 5x x= = − e) 1 , 2 , 3x x x= − = = − f) 1 5

,2 2

x x= = −

7.16. MATRIZ INVERSA

Se dice que una matriz cuadrada A de orden n es invertible, si existe una matriz

cuadrada B de orden n , tal que se cumpla la condición: nA B B A I⋅ = ⋅ = , donde

nI es la matriz identidad de orden n . La matriz B denotada por 1A− , se llama matriz

inversa de A. Una matriz es invertible o también llamada matriz regular, si tiene inversa. En caso contrario, diremos que es una matriz no invertible o matriz singular. Observaciones:

a) Si una matriz no es cuadrada, entonces no tiene inversa.

b) Si una matriz es cuadrada, no necesariamente tiene inversa.

c) Si nos dan dos matrices cuadradas A y B del mismo orden, diremos que una de ellas

es inversa de la otra, si cumplen con la condición: nA B I⋅ = y nB A I⋅ = . Si

algunas de estas dos igualdades no se cumple, entonces diremos que ninguna de ellas es inversa de la otra.

d) Si nos dan una matriz cuadrada A de orden n y nos piden determinar su inversa si existe, utilizaremos cualquiera de los siguientes tres métodos.


468

7.17. MÉTODOS PARA DETERMINAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Método de Gauss-Jordan

Este es un método que de manera inmediata, no nos permite asegurar que existe la inversa de la matriz A. Sin embargo al aplicarlo, al final nos indicará y dará si existe la matriz inversa de A . Veamos cómo se procede, usando el método de Gauss-Jordan: Paso I: Formamos una matriz 2n n× , tal que las primeras n columnas sean de la matriz

A y las otras n columnas sean de la matriz identidad nI . Tal como se muestra a

continuación:

[ ]

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

n

n

n

n n n n n

n

a a a a

a a a a

a a a a

A I

a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Paso II: Transformamos la matriz ampliada [ ]nA I en matrices equivalentes por filas. El

proceso es convertir la matriz [ ]nA I por operaciones elementales por filas, en

una matriz que tenga las n primeras columnas de la matriz identidad nI (si se

puede) y las n últimas columnas en otra matriz B que va a ser precisamente la

matriz inversa de A, es decir la matriz 1A− . En caso de que no podamos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, resulta una matriz por lo menos con una fila de ceros), entonces diremos que la matriz A no es invertible. La matriz que deseamos obtener debe tener la forma:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

n

n

n

n n n nn

n

b b b b

b b b b

b b b b

I B

b b b b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

La matriz B es la matriz inversa de A , o sea 1B A−= . En forma resumida, escribiremos el método de Gauss para hallar la inversa de una matriz cuadrada A de orden n, así:

[ ] 1n n

MétododeGauss JordanA I I A−−

→


469

Observación:

También, podemos usar el método de Gauss transformando la matriz ampliada:

n

A

I

en matrices equivalentes por columnas hasta llegar a la matriz nI

A

.

Este proceso lo resumimos así: n

n

A IMétododeGauss JordanI A

−→

Método de los Adjuntos y Determinantes

Este es otro método práctico que nos permite asegurar si la matriz inversa existe, además de calcularla, haciendo uso de la matriz de adjuntos (cofactores), matriz transpuesta y determinante que veremos más adelante. El procedimiento a seguir es como sigue:

Sea A una matriz cuadrada de orden n :

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

n n n n n

a a a a

a a a a

a a a a

A

a a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

La matriz A es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. Es decir, si

0Det A A= ≠ . La fórmula para calcular la matriz inversa de A , o sea 1A− es:

( )1

TdAA

A− =

Donde dA es la matriz de los adjuntos de la matriz A , ( )TdA es su transpuesta y A es

el determinante de A .

Método de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En este método se nos forma un sistema de ecuaciones lineales que se origina cuando

partimos de que nA B I⋅ = ó nB A I⋅ = , desconociendo los valores de la matriz B al

cual le asignamos incógnitas o variables que se van a determinar al resolver el sistema. Es importante señalar que el estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, lo veremos en el capítulo VIII. Sin embargo, por ahora podemos encontrar por este método, la matriz inversa de matrices de orden 2 y 3 que nos conducen a sistemas de ecuaciones que podemos resolver por los métodos ya conocidos.


470

Propiedades:

I) Si una matriz tiene inversa, ésta es única.

II) Si las matrices A y B son invertibles del mismo orden, entonces:

a) A B⋅ es invertible b) ( ) 1 1 1A B B A− − −⋅ = ⋅

III) Si una matriz A es invertible, entonces su matriz transpuesta es invertible y la matriz inversa de su transpuesta es igual a la matriz transpuesta de su inversa:

a) A es invertible TA⇒ es invertible b) ( ) ( )1 1 TTA A

− −=

IV) Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es invertible. La matriz inversa de 1A− es igual A y la multiplicación de cualquier escalar diferente de cero por la matriz

A es invertible e igual a la multiplicación del inverso del escalar por la matriz 1A− .

a) A es invertible 1A−⇒ es invertible b) ( ) 11A A−− =

c) ( ) 1 11k A A

k

− −⋅ = ⋅ , para cualquier escalar 0k ≠ .


1) Dados los siguientes pares de matrices, verificar si se cumple que una es inversa de la otra:

a) 3 7

1 2A

− − =

y 2 7

1 3B

= − −

b) 4 1

5 1C

− − =

y 1 2

5 8D

− = −

c) 2 4

3 5E

− = −

y

52

23

12

F

− = −

d)

3 2 1

1 3 0

2 4 1

G

− − = − −

y

3 2 3

1 1 1

10 8 11

H

− − = − − − −

Solución:

a) 3 7

1 2A

− − =

y 2 7

1 3B

= − −

2

3 7 2 7 6 7 21 21 1 0

1 2 1 3 2 2 7 6 0 1A B I

− − − + − + ⋅ = ⋅ = = = − − − −

2

2 7 3 7 6 7 14 14 1 0

1 3 1 2 3 3 7 6 0 1B A I

− − − + − + ⋅ = ⋅ = = = − − − −

Ya que se cumple la condición: 2A B B A I⋅ = ⋅ = , entonces una es la inversa de

la otra.


471

b) 4 1

5 1C

− − =

y 1 2

5 8D

− = −

2

4 1 1 2 4 5 8 8 1 0

5 1 5 8 5 5 10 8 0 2C D I

− − − − + − ⋅ = ⋅ = = ≠ − − − + −

2

1 2 4 1 4 10 1 2 14 3

5 8 5 1 20 40 5 8 60 13D C I

− − − − − − − − − ⋅ = ⋅ = = ≠ − + +

Como no se cumple la condición: 2C D D C I⋅ = ⋅ = , entonces ninguna de ellas es

la inversa de la otra.

c) 2 4

3 5E

− = −

y

52

23

12

F

− = −

2

55 6 4 422 4 1 02

15 153 5 3 0 16 5

1 2 22

E F F I

− + −− − ⋅ = ⋅ = = = = − − + − −

2

52 2 4 5 6 10 10 1 02

3 3 5 3 3 6 5 0 11

2

F E I

− − − + − ⋅ = ⋅ = = = − − + − −

Luego, una es la inversa de la otra, puesto que cumplen con la condición:

2E F F E I⋅ = ⋅ =

d)

3 2 1

1 3 0

2 4 1

G

− − = − −

y

3 2 3

1 1 1

10 8 11

H

− − = − − − −

3 2 1 3 2 3

1 3 0 1 1 1

2 4 1 10 8 11

G H

− − − − ⋅ = − ⋅ − − − − −

3

9 2 10 6 2 8 9 2 11 1 0 0

3 3 0 2 3 0 3 3 0 0 1 0

6 4 10 4 4 8 6 4 11 0 0 1

I

+ − − − + + − = − − − + + − − = = − − + + − − − +


472

3 2 3 3 2 1

1 1 1 1 3 0

10 8 11 2 4 1

H G

− − − − ⋅ = − − ⋅ − − − −

3

9 2 6 6 6 12 3 0 3 1 0 0

3 1 2 2 3 4 1 0 1 0 1 0

30 8 22 20 24 44 10 0 11 0 0 1

I

− − + − − + + = − − + − − + + = = − − + − − + +

3G H H G I⋅ = ⋅ = ⇒ Una es la inversa de la otra

2) Dadas las siguientes matrices. Determinar la matriz inversa si se puede:

a) 3 7

1 2A

− − =

b)

3 2 1

1 3 0

2 4 1

G

− − = − −

c)

1 2 1 4

3 1 1 2

2 0 3 0

5 1 4 2

J

− − − = − − −

Solución:

a) 3 7

1 2A

− − =

Determinemos la matriz inversa (si existe), por los métodos dados.

Por el método de Gauss-Jordan:

[ ] 1n n

Método deGauss JordanA I I A−−

→

1 22

3 7 1 0 1 2 0 1

1 2 0 1 3 7 1 0

F FA I

⇔− − = → − −

2 2 1 2 23 1 2 0 1 1 2 0 1

0 1 1 3 0 1 1 3

F F F F F⇒ + ⇒ − → → − − −

1 1 2 12

2 1 0 2 7

0 1 1 3

F F FI A−⇒ − → = − −

1 2 7

1 3A−

= ⇒ − − es la matriz inversa de

3 7

1 2A

− − =


473

Observación:

La verificación de que las matrices A y 1A− son invertibles, ya se hizo en el ejercicio 1 parte a).

Por el método de los adjuntos y determinantes:

( )1

TdAA

A− = Sí 0A ≠

Cálculo del determinante de A :

13 76 7 1 0

1 2A A−− −

= = − + = ≠ ⇒ existe

Cálculo de la matriz de los adjuntos o cofactores:

3 7

1 2A

− − =

11 1 2

21 2 2

dC C

AC C

=

( )1 11111 1 2 2C M

+= − = + =

( )1 21212 1 1 1C M

+= − = − = −

( )2 12121 1 7 7C M

+= − = − − =

( ) 2 22 22 2 1 3 3C M

+= − = + − = −

11 1 2

21 2 2

2 1

7 3d

C CA

C C

− = = −

Cálculo de la transpuesta de la matriz dA :

( )2 1 2 7

7 3 1 3

Td dA A−

= ⇒ = − − −

Cálculo de 1A− :

( )11

2 7

2 7 2 71 3

1 3 1 31

TdAA A

A−−

− − = = = ⇒ = − − − −


474

Por el método de sistemas de ecuaciones lineales:

Sean las matrices 3 7

1 2A

− − =

y x y

Bz w

=

. Supongamos que:

2A B I⋅ = . Encontremos los valores de las incógnitas , ,x y z y w .

2

3 7 1 0

1 2 0 1

x yA B I

z w

− − ⋅ = ⇒ ⋅ =

3 7 3 7 1 0

2 2 0 1

x z y w

x z y w

− − − − ⇒ = + +

Por igualdad de matrices, se nos forma el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

( )( )( )( )

3 7 1

3 7 0

2 0

2 1

x z I

y w II

x z III

y w IV

− − = − − = + = + =

Consideremos el sistema formado por las ecuaciones ( )I y ( )III :

3 7 1 1 3 7 1

2 0 3 2 0

x z x z

x z x z

− − = − − = ⇒ + = + =

3 7 1

3 6 0

x z

x z

− − =⇒ + =

1 1z z− = ⇒ = −

Sustituyendo z por 1− en la ecuación ( )III , resulta:

( )2 0 2 1 0 2 0 2x z x x x+ = ⇒ + − = ⇒ − = ⇒ =

Ahora resolvemos el sistema formado por las ecuaciones ( )II y ( )IV :

3 7 0 1 3 7 0

2 1 3 2 1

y w y w

y w y w

− − = − − = ⇒ + = + =

3 7 0

3 6 3

y w

y w

− − =⇒ + =

3 3w w− = ⇒ = −

Sustituyendo w por 3− en la ecuación ( )IV , obtenemos:


475

( )2 1 2 3 1 6 1 7y w y y y+ = ⇒ + − = ⇒ − = ⇒ =

Luego, la matriz inversa de es:

11 2 7 2 7

1 3 1 3

x yA B A

z w−−

= = = ⇒ = − − − −

b) 3 2 1

1 3 0

2 4 1

G

− − = − −

Por el método de Gauss-Jordan:

[ ]3 31MétododeGauss Jordan

G I I G −− →

[ ]3

3 2 1 1 0 0

1 3 0 0 1 0

2 4 1 0 0 1

G I

− − = − −

1 1 3

1 6 1 1 0 22

1 3 0 0 1 0

2 4 1 0 0 1

F F F−

⇒ + → − −

2 2 1

3 3 1

1 6 1 1 0 2

0 9 1 1 1 22

0 8 1 2 0 3

F F F

F F F

− ⇒ + → − ⇒ −

− − −

2 2 3

1 6 1 1 0 2

0 1 0 1 1 1

0 8 1 2 0 3

F F F−

⇒ + → − − − − −

1 1 2

3 3 2

1 0 1 7 6 86

0 1 0 1 1 18

0 0 1 10 8 11

F F F

F F F

− − ⇒ − → − − ⇒ +

− −

1 1 3 13

1 0 0 3 2 3

0 1 0 1 1 1

0 0 1 10 8 11

F F FI G −

− − ⇒ + → − − =

− −

A


476

1

3 2 3

1 1 1

10 8 11

G−− −

= − − − −

es la matriz inversa de la matriz de G .

Observación:

La verificación de que las matrices G y 1G− son invertibles, ya se hizo en el ejercicio 1 parte d).

Por el método de los adjuntos y determinantes:

( )1

TdGG

G− = Sí 0G ≠

Cálculo del determinante de G:

3 2 1

1 3 0 9 0 4 6 2 0 11 10 1

2 4 1

G

− −= − = − − − + + = − =

−

Como 11 0G G−= ≠ ⇒ existe

Cálculo de la matriz de los adjuntos o cofactores:

( )1 11111

3 01 3 0 3

4 1C M

+= − = + = − − = −−

( ) ( )1 21212

1 01 1 0 1

2 1C M

+ −= − = − = − − = −

−

( )1 31313

1 31 4 6 10

2 4C M

+ −= − = + = − − = −

( ) ( ) ( )2 12121

2 11 2 4 2 2

4 1C M

+ −= − = − = − − = − − =

−

( )2 22222

3 11 3 2 1

2 1C M

+ −= − = + = − =

−


477

( ) ( ) ( )2 32323

3 21 12 4 8 8

2 4C M

+ − −= − = − = − − + = − − =

( )3 13131

2 11 0 3 3

3 0C M

+ −= − = + = − − = −

( ) ( )3 23232

3 11 0 1 1

1 0C M

+ −= − = − = − − + = −

−

( )3 33333

3 21 9 2 11

1 3C M

+ − −= − = + = − − = −

−

11 12 13

21 2322

3231 33

3 1 10

2 1 8

3 1 11

d

C C C

G C C C

C C C

− − −

= = − − −

Cálculo de la transpuesta de la matriz dG :

( )3 1 10 3 2 3

2 1 8 1 1 1

3 1 11 10 8 11

Td dG G

− − − − − = ⇒ = − − − − − − −

Cálculo de 1G− :

( )1

3 2 3

1 1 13 2 3

10 8 111 1 1

110 8 11

TdGG

G−

− − − − − − − − = = = − −

− −

1

3 2 3

1 1 1

10 8 11

G−− −

= − − − −

es la matriz inversa de la matriz G .

Por el método de sistemas de ecuaciones lineales:

Para las matrices de orden mayor que 2 , éste método resulta un poco largo. Resolveremos por este método cuando estudiemos sistemas de ecuaciones lineales en el capítulo VIII, donde se pueden resolver estos sistemas de una manera más directa.


478

Observación: De los métodos estudiados, el más práctico para determinar la matriz inversa es el método de Gauss-Jordan, el cual nos permite encontrar la inversa de una matriz en una forma más rápida. A partir de ahora usaremos este método para determinar la matriz inversa, si existe.

c)

1 2 1 4

3 1 1 2

2 0 3 0

5 1 4 2

J

− − − = − − −

Por el método de Gauss Jordan:

14 4

Método deGauss JordanJ I I J −−

→

4

1 2 1 4 1 0 0 0

3 1 1 2 0 1 0 0

2 0 3 0 0 0 1 0

5 1 4 2 0 0 0 1

J I

− − − = − − −

1 1

1 2 1 4 1 0 0 0

3 1 1 2 0 1 0 0

2 0 3 0 0 0 1 0

5 1 4 2 0 0 0 1

F F

− − − ⇒ − − → − − −

2 2 1

3 3 1

4 4 1

3 1 2 1 4 1 0 0 0

2 0 5 4 10 3 1 0 0

5 0 4 5 8 2 0 1 0

0 9 9 18 5 0 0 1

F F F

F F F

F F F

⇒ − − − − ⇒ + − → ⇒ − − − − −

2 2 3

1 2 1 4 1 0 0 0

0 1 1 2 1 1 1 0

0 4 5 8 2 0 1 0

0 9 9 18 5 0 0 1

F F F

− − − ⇒ + − − → − − − −

1 1 2

3 3 2

4 4 2

2 1 0 3 0 1 2 2 0

4 0 1 1 2 1 1 1 0

9 0 0 9 0 2 4 5 0

0 0 18 0 4 9 9 1

F F F

F F F

F F F

⇒ + − ⇒ + − − → ⇒ − − − − −


479

3 3

1 0 3 0 1 2 2 01 0 1 1 2 1 1 1 09 2 4 5

0 0 1 0 09 9 9

0 0 18 0 4 9 9 1

F F

− − −⇒ −

→ − − −

− − −

1 1 3

2 2 3

4 4 3

1 2 11 0 0 0 0

3 3 337 5 4

0 1 0 2 09 9 9

182 4 5

0 0 1 0 09 9 9

0 0 0 0 0 1 1 1

F F F

F F F

F F F

⇒ + ⇒ + − →

⇒ − − − − −

La matriz

1 0 0 0

0 1 0 2

0 0 1 0

0 0 0 0

− tiene una fila de ceros, por lo tanto es imposible

obtener la matriz identidad 4I . Luego la matriz inversa de J no existe.

Observación:

Si calculamos el determinante de la matriz J , nos debe resultar cero. Veamos:

( )

1 2 1 4 1 2 1 2

3 1 1 2 3 1 1 12 2 0 0

2 0 3 0 2 0 3 0

5 1 4 2 5 1 4 1

− − −− − −

= − = − =− − − −

− − −

Hemos utilizado las propiedades (III) y (V) de los determinantes.

Por el método de los adjuntos y determinantes, se tiene que si 1J − existe,

entonces:

( )1

TdJJ

J− = , con 0J ≠ .

Pero como 10J J no existe−= ⇒


480

Ejercicios Propuestos:

1) Dados los siguientes pares de matrices, verificar si se cumple que una es la inversa de la otra:

a) 1 3

2 7

− −

y 7 3

2 1

−

b) 5 2

7 3

− −

y 3 2

7 5

c)

1 2

7 73 1

14 14

− − −

y 1 4

3 2

− − −

d)

1 5 3

4 19 11

3 13 5

− − − −

y

24 7 1

13 12

2 25 1

12 2

− − −

Respuestas

Sí cumplen: b) c) y d) No cumplen: a)

2) Determinar la matriz inversa si se puede (usar cualquiera de los métodos dados):

a) 5 3

2 1

− −

b) 4 2

6 3

− −

c)

4 1

5 57 3

5 5

− −

d)

2 4 21

3 5 0

1 2 1

− − − − −

e)

1 2 3

4 1 0

2 1 2

− − −

f)

8 4 5

6 3 9

4 2 6

− − − − −

Respuestas:

a) 1 3

2 5

− −

b) No tiene inversa c) 3 1

7 4

− −

d)

5 38 105

3 23 63

1 8 22

− − − − −

e)

1 1 3

4 8 81 3

12 2

1 3 7

4 8 8

− − − −

f) No tiene inversa

Parte III Del Libro...Matrices y Determinantes...Buenoooo

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