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Ensamblaje de la matriz de rigidez de una estructura
Cercha plana de siete miembros sometida a dos fuerzas concentradas de 25 kN. Las
coordenadas de los nudos estn resaltadas en amarillo. Se desea obtener la matriz de rigidez
de esta estructura.
En primer lugar se numeran los miembros y
se decide para cada uno cul es su extremo i y
cul es su extremo j. Aunque esta seleccin es
arbitraria es importante tenerla en cuenta en
todo el proceso posterior. Definidas las
coordenadas de cada miembro, se calcula el
seno del ngulo que forma con la horizontal,
el coseno y la longitud, usando las
Ecuaciones 3.3, a 3.5. Adems se establece el
rea transversal para cada miembro (A) y el mdulo de elasticidad (E) del material
constitutivo, en este caso, el acero.
( ) ( )
Ecuacin 3.3
Ecuacin 3.4
Ecuacin 3.5
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Lo que sigue es conseguir la matriz de rigidez de
cada miembro en coordenadas locales. En este
ejemplo, por tratarse de una estructura en la cual los
miembros estn sometidos nicamente a fuerzas axiales, la matriz de rigidez a emplear es la
de la Ecuacin 2.3. A continuacin se ha dado este paso para cada uno de los siete
miembros.
A continuacin, se debe obtener la matriz
de transformacin de desplazamientos
para cada miembro. La que aplica para
este caso se halla en la Ecuacin 3.2. A
continuacin, se han calculado estas
matrices y sus correspondientes transpuestas.
* + Ecuacin 2.3
*
+ {
}
Ecuacin 3.2
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3-8.00E+04 8.00E+04
Matriz de transformacin de desplazamientos A 6.00E-01 8.00E-01 0
0.00E+00 0.00E+00 6.00E-01
A' 0.6 00.8 0
0 0.6
0 0.8
Con la informacin disponible es posible calcular la matriz de
rigidez de cada miembro en coordenadas globales aplicando la
Ecuacin 4.7 como se indica a continuacin.
-64000 64000
A'KA 28800 38400 -28800
Matriz de rigidez en coordenadas globales 38400 51200 -38400
-28800 -38400 28800
-38400 -51200 38400
El paso siguiente es numerar los grados de libertad de la estructura y obtener la matriz de
correlacin entre los grados de libertad de los miembros en coordenadas globales y los
correspondientes grados de libertad de la estructura.
En la hoja que aparece a continuacin se han numerado los grados de libertad de la
estructura estudiada desde 1 hasta 7 (lo que indica que la matriz de rigidez de la estructura
ser de 7x7). Por cada nudo se han considerado dos grados de libertad de desplazamiento,
uno horizontal y uno vertical, y ninguno de rotacin por cuanto se asume que las barras
estn articuladas en los extremos y que no se generarn momentos flectores ni rotaciones.
Ntese que siempre se sigue el mismo orden en cada nudo, primero el horizontal y despus
el vertical. En el apoyo de la izquierda no aparece ningn grado de libertad por tratarse de
Ecuacin 4.7
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4un apoyo de segundo orden y en el apoyo de la derecha solo existe el grado de libertad
horizontal por tratarse de un apoyo de primer orden.
En otro esquema se indican los grados de libertad considerados para cada miembro: dos en
el extremo i y dos en el extremo j, numerados en el mismo orden, primero el horizontal y
luego el vertical. Entonces se elabora la matriz de correlacin en la cual a cada grado de
libertad de cada miembro se le asigna un grado de libertad de la estructura.
Para el miembro 1, por ejemplo, sus cuatros grados de libertad estn relacionados con los
grados de libertad de la estructura , lo que indica que los del extremo i noestn relacionados con ninguno de la estructura (el miembro llega a un apoyo) y que los del
extremo j estn relacionados con los grados de libertad 1 y 2 de la estructura. Al miembro 5
le corresponde el vector , lo que indica que los grados de libertad delextremo i estn relacionados con los grados de libertad 5 y 6 de la estructura, que el grado
del libertad horizontal del extremo j est relacionado con el grado de libertad 7 de la
estructura y que el grado de libertad vertical del miembro en el extremo j no est
relacionado con ninguno de la estructura porque en ese punto y en esa direccin hay un
apoyo.
D1
D2
1
2
3
4
5
6
7i
Con la informacin obtenida se puede proceder a expandir las matrices de rigidez de los
miembros. Se desarrolla a continuacin, como ejemplo la del miembro 3, cuyo vector de la
matriz de correlacin es . Como se indic arriba las posiciones de la matrizexpandida que deben ser ocupadas son todas las posibles parejas, incluyendo repeticin,
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5que se pueden formar a partir de dicha lista, es decir: (3,3) (3,4) (3,7) (4,3) (4,4) (4,7) (7,3)
(7,4) (7,7).
La posicin del elemento de la matriz de rigidez del miembro en coordenadas globales que
ha de ocupar cada una estas es la que se obtiene al reemplazar cada grado de libertad de la
estructura por el grado de libertad del miembro que le corresponde, es decir: (1,1) (1,2)
(1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3). Esto se ilustra en la hoja electrnica que se encuentra
a continuacin. Ntese, por ejemplo, que en la posicin (3,3) de la matriz expandida se ha
colocado el elemento de la posicin (1,1) de la matriz de rigidez del miembro en
coordenadas locales (28800).
Una manera prctica de hacer esta expansin es la siguiente: se escribe el vector de la
matriz de correlacin que corresponde a cada miembro encima de la matriz del miembro en
coordenadas globales y a un lado de dicha matriz se escribe el mismo vector transpuesto.
La posicin en que debe quedar cada elemento se lee en dicho vectores: arriba la columna y
a un lado la fila. Ningn elemento que est en la columna o en la fila de un grado de
libertad cero ir en la matriz expandida. Las matrices expandidas se suman y se obtiene la
matriz de rigidez total de la estructura (K_TOTAL)
3 4 7 0
28800 -38400 -28800 38400 3
-38400 51200 38400 -51200 4
-28800 38400 28800 -38400 7
38400 -51200 -38400 51200 0
1 2 3 4 5 6 7
28800 -38400 -28800
