PROBLEMAS TEMA 1.- TENSIONES

1.- En el estado de tensiones representado en la figura en kg/cm2, determinar las tensiones

normal y cortante siendo ( )8.06.00 −=u .

Las tensiones están en las caras que forman los planos coordenados.

Sol.: σn= -11.2 kg/cm2.

ζ = 38.87 kg/cm2.

2.- En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida a un sistema cartesiano

ortogonal xyz es:

a) Calcular el plano cuyo vector tensión forma ángulos agudos iguales con los semiejes

positivos del triedro xyz.

Sol: ( )53.0105.084.0=u

b) Hallar las componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente a un plano cuya

normal exterior tiene la dirección y sentido del vector de componentes (2,2,1) referido a los ejes

xyz.

Sol.: σn = 23/9 MPa

ζ = 1.82 MPa

3.- La ecuación característica deducida de la matriz de tensiones es, en un punto de un sólido

elástico, la siguiente:

0128523

=+−− σσσ

a) Calcular los valores de las tensiones principales

Sol.: σ1=6; σ2=1; σ3=-2

[ ] MPaT

−=

320

211

012

b) Calcular analítica y gráficamente las componentes intrínsecas del vector tensión

correspondiente al plano definido por el vector

=

2

1

2

1

2

1u referido a las

direcciones principales.

Sol.: σn=3/2

ζ=2.87

4.- Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico referidas a un sistema

cartesiano ortogonal xyz y expresadas en MPa son:

σ1 = (50/3) * (2 i + 2 j + k)

σ2 = 20 i – 10 j – 20 k

σ3 = (-20/3) * (i – 2 j + 2 k)

Calcular la tensión, referida a los ejes xyz, correspondiente a un plano cuya normal exterior

forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro xyz.

Sol.: σ = (460/9√3) i + (490/9√3) j + (350/9√3) k MPa

5.- Sobre las caras de un paralelepípedo elemental que limitan el entorno de un punto P de un

sólido elástico existen las tensiones indicadas en la figura, expresadas en kg / cm2. Calcular:

a) los planos cuyos vectores tensión son ortogonales a ellos.

Sol.: ( )

−=

=

=

5

2

5

10

001

5

1

5

20

3

2

1

u

u

u

b) el lugar geométrico de los extremos de los vectores tensión correspondientes a los infinitos

planos de la radiación de vértice el punto P.

Sol.: 11116

222

=++zyx

Nota.- las tensiones están en las caras paralelas a las caras que forman los planos

coordenados.

6.- La matriz de tensiones del cuerpo de la figura es:

[ ] 2/

600010003000

100080005000

300050006000

cmKgT

−−

−=

Hallar la tensión cortante en la superficie EGC, en la dirección GC y la tensión cortante de la

superficie GDBC en la misma dirección.

Sol.: 2,

2,

1938

7.4481

cm

kg

cm

kg

GCGDBC

GCGEC

−=

=

τ

τ

7.- En un punto P de un sólido elástico, el estado de tensiones según uno de los infinitos

planos que pasan por el mismo viene dado por sus componentes intrínsecas:

2

2

3

6

cm

kg

cm

kgn

=

=

τ

σ

Las tensiones principales en el mismo punto son:

23

22

21

0

6

12

cm

kg

cm

kg

cm

kg

=

=

=

σ

σ

σ

estando orientadas las direcciones principales respecto a los ejes coordenados como se indica

en la figura.

Se pide:

a) Orientación del plano citado respecto a las direcciones principales y respecto a los ejes

coordenados.

b) Matriz de tensiones en el punto P, en la referencia xyz.

c) Tensión cortante máuxima.u

Sol.:

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ]

2

123

6)

5.161.20

61.254.40

0012

)

74.058.035.0

69cos30cos69cos)

cm

kgc

Tb

u

ua

mx

xyz

=

=

=

=

τ

8.- Las tensiones principales extremas en un punto de un sólido son: 100 y 50 MPa.

El vector tensión correspondiente a un plano Π cuya normal forma un ángulo de 45º con la

dirección principal 1, tiene un módulo de 85 MPa y forma con la normal al plano un ángulo de

12.5º. Determinar gráficamente el valor de la tensión principal intermedia 2

σ .

Nota.-se sabe que el centro de una circunferencia se encuentra en la mediatriz de dos de sus

puntos AB pertenecientes a la circunferencia.

Sol.: MPa2.732

=σ