Control y Programación de Robotsvivas/ayr2iaei/CIN_ROB.pdfintersectan, sobre la normal al plano que...
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Geometría y CinemáticaGeometría y Cinemática
1
Control y Programación de Robots
Cinemática directa
Cinemática Inversa
Matriz Jacobiana
Cinemática de un Robot Manipulador
2
Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a unsistema de referencia– Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo– Relaciones: localización del extremo del robot-valores articulares
Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación delextremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia,conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de loselementos del robot
Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que debe adoptar elrobot para una posición y orientación del extremo conocidas
Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades demovimiento de las articulaciones y las del extremo del robot
Cinemática de un Robot Manipulador
3
Cinemática de un Robot Manipulador
4
Cinemática de un Robot Manipulador
5
Resolución del problema cinemático directo con matrices detransformación homogéneas
Modelo directoModelo directo
6
Cálculo de la posición y orientación de cualquier punto del robot (Elemento Terminal) en función las variables articulares
q1
q2
qn-1
qn
p(x,y,z,α,β,γ)
Procedimiento sistemático de Denavit-Hartemberg
1. Identificar los Enlaces y Ejes de las articulaciones y trazar líneas imaginarias a lo largo de ellos.
Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia
7
+1+1
2. Identificar la perpendicular común entre ejes consecutivos. El origen del SR i estará en la intersección del Eje i con la normal común entre los ejes i e i+1
Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia
8
+1+1
3. Colocar el eje Zi sobre el eje de la articulación i
Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia
9
+1+1
Zi Zi
4. Colocar el eje Xi sobre la perpendicular común, o si los ejes intersectan, sobre la normal al plano que forman los ejes Zi y Zi+1
Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia
10
+1+1
Zi Zi
XiXi
5. Colocar el eje Yi completando un sistema de referencia dextrógiro
Procedimiento de colocación de Ejes de Referencia
11
+1+1
Zi Zi
XiXi
Yi Yi
Parámetros de Denavit-Hartemberg (D-H)
12
Cuatro Parámetros:
– Dos ángulos (θi, αi-1)
– Dos distancias (di, ai-1)
Parámetros D-H
Parámetros D-H
Definen el paso de un sistema de referencia asociado a unaarticulación al siguiente Sólo dependen de las características geométricas de cada
eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior ysiguiente (no dependen de la posición del robot)
Definen las matrices A que permiten el paso de un sistemade referencia asociado a una articulación al siguiente y portanto definen las matrices T
Cuatro Parámetros:– Dos ángulos (θi, αi-1)– Dos distancias (di, ai-1)
13
θi: Es el ángulo de xi-1 a xi medida sobre zi (utilizando la regla de la manoderecha).
di: Es la distancia de xi-1 a xi medida a lo largo de zi
ai: Es la distancia de zi a zi+1 medida a lo largo de xi
αi: Es el ángulo de zi a zi+1 medida sobre xi (utilizando la regla de la manoderecha).
Interpretación Parámetros D-H
14
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
=
−−−−
−−−−
−
−
−−
−−−
−−−
1000
0
1000100
00100001
100001000000
100001000010
001
100000000001
),0,0(),()0,0,(),(
1111
1111
1
1
11
111
111
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
ii
iii
ii
iii
i
iiiiii
cdccssssdsccsc
asc
dcssca
cssc
A
dTzTaTxTA
ααθαθαααθαθα
θθ
θθθθ
αααα
θα
Matrices de transformaciónMatrices de transformación
15
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
=
−−−−
−−−−
−
−
−−
−−−
−−−
1000
0
1000100
00100001
100001000000
100001000010
001
100000000001
),0,0(),()0,0,(),(
1111
1111
1
1
11
111
111
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iiiiiii
iii
i
ii
iii
ii
iii
i
iiiiii
cdccssssdsccsc
asc
dcssca
cssc
A
dTzTaTxTA
ααθαθαααθαθα
θθ
θθθθ
αααα
θα
Matrices de transformaciónMatrices de transformación
16
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
=
−−−−
−−−−
−
−
−−
−−−
−−−
1000
0
1000100
00100001
100001000000
100001000010
001
100000000001
),0,0(),()0,0,(),(
1111
1111
1
1
11
111
111
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
ii
iii
ii
iii
i
iiiiii
cdccssssdsccsc
asc
dcssca
cssc
A
dTzTaTxTA
ααθαθαααθαθα
θθ
θθθθ
αααα
θα
Matrices de transformaciónMatrices de transformación
17
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
=
−−−−
−−−−
−
−
−−
−−−
−−−
1000
0
1000100
00100001
100001000000
100001000010
001
100000000001
),0,0(),()0,0,(),(
1111
1111
1
1
11
111
111
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
ii
iii
ii
iii
i
iiiiii
cdccssssdsccsc
asc
dcssca
cssc
A
dTzTaTxTA
ααθαθαααθαθα
θθ
θθθθ
αααα
θα
Matrices de transformaciónMatrices de transformación
18
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
=
−−−−
−−−−
−
−
−−
−−−
−−−
1000
0
1000100
00100001
100001000000
100001000010
001
100000000001
),0,0(),()0,0,(),(
1111
1111
1
1
11
111
111
iiiiiii
iiiiiii
iii
i
ii
iii
ii
iii
i
iiiiii
cdccssssdsccsc
asc
dcssca
cssc
A
dTzTaTxTA
ααθαθαααθαθα
θθ
θθθθ
αααα
θα
Matrices de transformaciónMatrices de transformación
19
Cinemática de un Robot Planar 2GDL
20
Ejemplo:
Z0
X0
Y0
Z2X3
Y2
X2
Y3 d3
a1 a2
θ20a2-90º3θ20a102θ10001θidiai-1αi-1i
Z3Z1
Y1
X1
Cinemática de un Robot Manipulador
21
Ejemplo:
Robot Industrial RM-10
Cinemática de un Robot Manipulador
22
Cinemática de un Robot Manipulador
23
Cinemática de un Robot Manipulador
24
Matriz de Cambio para Matriz de Cambio para problema problema cinemáticocinemático directodirecto
Cinemática de un Robot Manipulador
25
Matriz de Cambio para Matriz de Cambio para problema problema cinemáticocinemático directodirecto
Cinemática Inversa
26
Cinemática Inversa: Posibles Soluciones
27
Cinemática Inversa: Métodos
28
Cinemática Inversa: Método Geométrico
29
Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso por métodos Inverso por métodos geométricosgeométricos
Cinemática Inversa: Método Geométrico
30
Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso por métodos Inverso por métodos geométricos (Múltiples soluciones)geométricos (Múltiples soluciones)
Cinemática Inversa: Método Matrices Homogéneas
31
Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso mediante Inverso mediante matrices de transformación homogéneasmatrices de transformación homogéneas
0q3003q200-90º2q1l1001θidiai-1αi-1i
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=
1000100
0000
1
11
11
10
lcqsqsqcq
A⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
100000010000
22
22
21
cqsq
sqcq
A
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000100
00100001
33
2
qA
z1
z0
z2
z3
x1
x0
x2
x3
Y0
Y1
Y2
Y3
Cinemática Inversa: Método Matrices Homogéneas
32
Ejemplo de solución del problema Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso mediante Inverso mediante matrices de transformación homogéneasmatrices de transformación homogéneas
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
1000100
0000
1
11
11
lCqSqSqCq
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
100000
10000
1000100
00100001
100000010000
22
3
22
322
22
cqsqq
sqcq
qcqsq
sqcq
22223
1
22
2
111
)1(
arctan
)arctan(0
yxx
z
yx
x
yyx
ppSqpCqq
plpp
q
pp
qpSqpCq
+−−=
−
+=
=⇒=+
Cinemática Inversa: Método de reducción polinómica
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Consiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenidaConsiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenidas por s por métodos algebraicos o geométricos para que adopten forma métodos algebraicos o geométricos para que adopten forma polinómicapolinómica, más fáciles en principio de resolver., más fáciles en principio de resolver.
2
2
2
12sin
11cos
2tan
uuuu
u
+=
+−
=
=
θ
θ
θ
Algunas Algunas transformaciones transformaciones usualesusuales
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−±
=∴
+−−±
=
=−+−+
+=+−
=+
−
cacabb
cacabbu
acbuucaucbuua
solutioncba
2221
222
2
22
tan2
0)(2)()1(2)1(
)sincos
θ
θθ
Cinemática Inversa: Desacoplamiento cinemático
34
Es típico en robots de 6 GDLEs típico en robots de 6 GDL
Se puede resolver de forma explícita Se puede resolver de forma explícita los 3GDL que definen la orientación de los 3GDL que definen la orientación de la garra. la garra.
Cinemática Inversa: Desacoplamiento cinemático
35
Es típico en robots de 6 GDLEs típico en robots de 6 GDL
Ejes 4,5,6 se Ejes 4,5,6 se intersectanintersectan en un en un punto punto ⇒⇒ Existe solución analítica Existe solución analítica por métodos algebraicos (Método por métodos algebraicos (Método de de PieperPieper).).
Cinemática Inversa: Consideraciones computacionales
36
•• Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el probPara seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problema lema
cinemáticocinemático a gran velocidad (30 veces/a gran velocidad (30 veces/segseg o más).o más).
•• Son preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existenSon preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existen) a las ) a las
iterativas.iterativas.
•• Para acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamenPara acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamente te
calculadas (calculadas (looklook--up up tablestables) )
••El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces el de el de
calcular una única solución.calcular una única solución.
Especificaciones del usuario y localizaciones estándar
37
{B}
{W}
{T}
{G}{S}
•• {S} Marco de referencia de la celda {S} Marco de referencia de la celda de trabajode trabajo•• {B} Marco de referencia base del {B} Marco de referencia base del robotrobot•• {T} Marco de referencia de la {T} Marco de referencia de la herramientaherramienta•• {G} Marco de referencia objetivo {G} Marco de referencia objetivo (Objeto a manipular)(Objeto a manipular)•• {W} Marco de referencia del extremo {W} Marco de referencia del extremo terminal del robot (Sin herramienta)terminal del robot (Sin herramienta)
Objetivo: Planear secuencia de movimientos articulares para llevar {T} a {G} satisfaciendo las
restricciones del problema
PRVRVV BABB
AP
BABp
AP
AORG
×Ω++=
Velocidades Lineales y RotacionalesVelocidades Lineales y Rotacionales
38
Transformación de velocidades lineales
Transformación de velocidades
angularesxB
YA
xA
ZA
YB
ZB
BPAP
AΩB
APORG
B ΩC{C}
{B}
{A}
CBA
BBA
CA R Ω+Ω=Ω
Matriz Jacobiana
39
Matriz Jacobiana
40
Relaciones DiferencialesRelaciones Diferenciales
Matriz Jacobiana
41
En Robótica la matriz En Robótica la matriz Jacobiana Jacobiana describe las relaciones entre las velocidades describe las relaciones entre las velocidades articulares (articulares (θθii) y las velocidades lineales y de rotación del efector final (x) y las velocidades lineales y de rotación del efector final (xii))
Matriz Jacobiana en el dominio de las fuerzas
42
Adicionalmente estamos interesados en conocer la relación entreAdicionalmente estamos interesados en conocer la relación entre los pares los pares articulares que se ejercen sobre el robot (articulares que se ejercen sobre el robot (ττii) y las fuerzas/momentos ejercidas ) y las fuerzas/momentos ejercidas por el efector final (por el efector final (FFii))
Principio de los trabajos Principio de los trabajos virtualesvirtuales
δθτδ TT XF =
Matriz Jacobiana en el dominio de las fuerzas
43
La Expresión anterior se puede La Expresión anterior se puede expandir comoexpandir como
δθδ JX =
Definición de Definición de JacobianoJacobiano
δθτδθ TT JF = FJ T=τδθ∀
Matriz Jacobiana
44
Ejemplo: Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL
Calcular las relaciones que Calcular las relaciones que describen las siguientes describen las siguientes igualdadesigualdades
Matriz Jacobiana
45
Ejemplo: Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL
Parametros Parametros del efector del efector finalfinal
Cinemática DirectaCinemática Directa
Matriz Jacobiana
46
Ejemplo: Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL
dtd
Matriz Jacobiana
47
En forma matricial tenemosEn forma matricial tenemos
Matriz Jacobiana
48
JacobianaJacobiana de un robot SCARAde un robot SCARA
Matriz Jacobiana Inversa
49
Matriz Jacobiana Inversa: Configuraciones Singulares
50