Introducción a la

Teoría de semiconductores y nivel de Fermi

Trabajo compilado por Willie R. Córdova Eguívar

Conducción en los semiconductores

Los semiconductores son materiales que ocupan una posición

intermedia entre los aislantes y los conductores.

Los semiconductores suelen ser aislantes a cero grados Kelvin, y

permiten el paso de corriente a la temperatura ambiente. Esta

capacidad de conducir corriente puede ser controlada mediante la

introducción en el material de átomos diferentes al del

semiconductor, denominados impurezas.

El material semiconductor más utilizado en la tecnología actual es

el silicio (Si). También se utilizan para aplicaciones especiales

(optoelectrónica, operación a muy alta velocidad,...) otros

semiconductores, como el arseniuro de galio (AsGa), y

semiconductores compuestos (AlGaAs, PGaAsIn,...).

Modelo de bandas de energía en un semiconductor

Las energías inferiores a Ev corresponden a las de los electrones

de valencia. Las superiores a Ec a los electrones libres. El gap de

energía Eg es la energía mínima que debe entregarse a un electrón

de valencia para desligarlo del enlace covalente.

Portadores

Un parámetro que caracteriza la capacidad conductora de unsemiconductor es la concentración de portadores, es decir, el númerode electrones de conducción por centímetro cúbico, cantidad quese representa por n, y el número de huecos por centímetro cúbico,denominada p. En un semiconductor intrínseco la concentración de huecoses igual a la de electrones libres, puesto que ambos se generan por pares.Esta cantidad se denomina concentración intrínseca de portadores del semiconductory se representa por ni.

donde A es una constante que varía ligeramente de un

semiconductor a otro, T es la temperatura en Kelvin, Eg, el

gap de energía, es específico de cada semiconductor, y K es la constante

de Boltzmann. Nótese que cuanto mayor sea Eg, menor será

ni, ya que se requiere más energía para liberar a un electrón.

A mayor temperatura existen más cuantos de energía térmica y por tanto más electrones de valencia habrán podido absorber un cuanto y pasar a la banda de conducción, por lo que aumentará ni.

En la figura anterior se representa la variación de ni con la temperatura para tres

semiconductores:

El silicio, que tiene una Eg = 1,1 eV,

El arseniuro de galio, con Eg = 1,42 eV, y el

Germanio, con Eg = 0,68 eV.

La concentración intrínseca de estos tres semiconductores a temperatura ambiente (300

K) es:

La de los átomos es 5.1022 átomos/cm3, entonces solamente un átomo cada 1012 está

ionizado a la temperatura ambiente para el silicio.

313

36

310

/10.5,2)(

/10.2)(

/10.5,1)(

cmportadoresGen

cmportadoresAsGan

cmportadoresSin

i

i

i

En un semiconductor puro la conductividad depende además de los electrones libres también de los huecos. Cuando se aplica un campo eléctrico los huecos se mueven en sentido opuesto de los electrones.

En un semiconductor puro el número de electrones libres es igual al de los huecos

ni=pi,

Donde

ni, es la concentración de electrones libres

pi, es la concentración de huecos.

Esta concentración se sabe es altamente dependiente de la temperatura.

Para recalcar:

A 300 K la concentración de los electrones libres del

silicio vale ni=1010 cargas/cm3, porque la de los

átomos es 5.1022 átomos/cm3, entonces solamente un

átomo cada 1012 está ionizado a la temperatura

ambiente.

Concentración en un semiconductor tipo n

En el silicio a temperatura ambiente, todas la impurezas suelen estar ionizadas. A la

concentración de impurezas donadoras se le llama ND. La concentración de electrones de

conducción, n, y de huecos, p, serán, por tanto:

Donde ND es la concentración de átomos de impurezas donadoras y nr

es la de enlaces covalentes rotos.

Normalmente, para concentraciones de impurezas y a temperatura

ambiente, nr es muy inferior a ND, por lo que n es mucho mayor que p.

Por esto se dice que los portadores mayoritarios son los electrones y los

minoritarios son los huecos. Se dice que el semiconductor es tipo N

porque dominan los electrones, que poseen carga negativa.

Concentración en un semiconductor tipo p

En el silicio a temperatura ambiente, todas la impurezas suelen estar ionizadas. A la

concentración de impurezas aceptoras se le llama NA. La concentración de electrones de

conducción, n, y de huecos, p, serán, por tanto:

Donde NA es la concentración de impurezas trivalentes

(aceptadoras). En este caso, los portadores mayoritarios son los

huecos y los minoritarios los electrones. Al dominar los huecos,

que son cargas positivas, se dice que el semiconductor es de tipo

P.

Efecto de la temperatura en la concentración de portadores

Los electrones y los huecos tienen un comportamiento

estadístico.

Existe un intercambio de energía entre ellos.

Resultado de esto es, el conjunto de electrones en cada

una de las bandas se distribuye entre los distintos niveles

de energía (estados).

La distribución no es uniforme. La probabilidad de

ocupación en un intervalo puede ser mayor que otro.

Efecto de la temperatura en la concentración de portadores

Supongamos un intervalo pequeño de energía E dentro de la banda de conducción.

n(E) representa la concentración total de electrones cuya energía está comprendida en ese intervalo.

n(E)/ E es la densidad de electrones por la unidad de intervalo de energía.

En el límite de intervalos infinitamente pequeños (que contienen un gran número de niveles) el cociente tiende a

El producto con dE representa la fracción de electrones cuya energía está comprendida entre los valores E y E + dE

dE

Edn )(

Efecto de la temperatura en la concentración de

portadores

La expresión se denomina también función de distribución de electrones (nos dice cómo se distribuyen los electrones en los diferentes intervalos infinitesimales de energía dentro de las bandas de energía del semiconductor). Es una función de densidad.

Esta función se define como:

Donde:

g Es la densidad de estados posibles en la banda (de conducción o de valencia) para un valor E de la energía y que son susceptibles de ser ocupados por los electrones.

f Es la probabilidad de ocupación de esos estados (la fracción de niveles que se encuentran ocupados)

La probabilidad al igual que en los metales de ocupación de niveles por electrones está regida por la estadística de Fermi-Dirac

fgdE

dn.

Efecto de la temperatura en la concentración de portadores

La estadística de Fermi-Dirac se aplica a partículas que cumplen el

principio de exclusión de Pauli.

TK

EE

B

f

e

Ef)(

1

1)(

Siendo

Ef = parámetro llamado Nivel de Fermi.

KB= Constante de Boltzmann

T= Temperatura absoluta (K)

Efecto de la temperatura en la concentración de portadores

Función de probabilidad de Fermi-Dirac a diferentes temperaturas par un

sistema de electrones cuyo nivel de Fermi es Ef. El nivel de Fermi representa

la energía para la cual la probabilidad de encontrar el electrón en ese nivel de

energía vale 0.5.

La función de probabilidad f(E), varía cero (estado vacante) y la unidad (estado ocupado).

El nivel de Fermi, Ef, representa la energía para la cual la probabilidad de encontrar el electrón en ese nivel de energía vale ½.

Para niveles de energía inferiores a la de Fermi, la probabilidad es siempre mayor a ½.

Para niveles de energía superiores a la de Fermi, la probabilidad es siempre inferior a ½.

La función de probabilidad es dependiente de la temperatura. A 0 K la probabilidad tiene un valor constante e igual a la unidad hasta la energía del nivel de Fermi. A partir de ese valor la probabilidad es cero. Esto quiere decir que a esta temperatura todos los niveles por debajo se hallan ocupados y los que están encima, vacíos.

Análogamente se puede escribir para la función de

distribución de los huecos en la banda de valencia:

p= g[1 – f]

El hueco representa un estado de energía vacante.

A T=O, la función de distribución de Fermi-Dirac equivale a la siguiente función escalón:

Esto es, todos los estados presentan probabilidad unidad de ocupación si E < Ef y probabilidad nula si E > Ef. Podemos comprobar que esta propiedad apenas varía con la temperatura, excepto en la región donde

|E − Ef| 4KBT , Puesto que fuera de esa región f (E) toma valores muy próximos a 0 o bien a 1.

Teniendo en cuenta el hecho de que la energía de Fermi para la mayoría de los conductores y semiconductores a temperatura ambiente se encuentra que es 1eV < Ef < 8eV y que KBT (300 K) ≈ 0,025 eV , podemos observar que la función f(E) sólo mostrará cambios apreciables (respecto a su comportamiento para T = 0K) para temperaturas muy altas, T 3000 K. Esto implicará que en muchos casos de interés práctico (por ejemplo, a temperatura ambiente), en vez de usar la expresión complicada puede usarse directamente la función escalón.

EfEsi

EfEsif

0

1

Cálculo de la energía de Fermi

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores respecto a la dependencia con la temperatura de la distribución de Fermi-Dirac, encontramos que en multitud de situaciones prácticas podemos escribir

dEEfEsi

EfEsigdEfgdn

0

1.

)()()()(00

EfnEdnEdnEn

Ef

Si aplicamos la expresión anterior a un modelo simple de un conductor, se encuentra que el

número total de electrones, N, en el conductor vendría dado por:

Es decir, el nivel de Fermi, Ef, puede identificarse con el máximo valor de la energía

correspondiente a un estado ocupado, existiendo como máximo dos electrones en cada nivel

de energía.

Para el caso de la probabilidad de ocupación de huecos, fp(E), debe notarse que

la cantidad 1 − fn(E) representa la probabilidad de que un estado electrónico de

energía E esté vacío, o dicho de otra manera, la probabilidad de que este estado

esté ocupado por un hueco. Por tanto,

1

11

TK

EEnp

B

F

e

ff

Como la concentración de electrones, n, en la banda de conducción,

debe ser igual a la concentración de huecos, p, en la banda de

valencia, el nivel de Energía de Fermi se sitúa, en un semiconductor

intrínseco en el medio de la banda prohibida. Ya que hay la misma

probabilidad de que haya electrones en la banda de valencia como

huecos en la banda de conducción.

Según se dijo, representa la densidad de estados o niveles (de energía) posibles para el electrón.

Esta función depende también de la energía. En el caso de los electrones de un metal dentro la banda de conducción, g(E) es una función creciente proporcional a (E)1/2. Esto quiere decir que en el fondo de la banda de conducción no hay niveles susceptibles de ser ocupados por electrones, mientras que a medida que subimos la densidad de niveles aumenta de forma cuadrática con la energía.

Densidad de estados g(E)

Se debe suponer que los electrones tienen cierta masa efectiva:

Y que los huecos tienen su masa efectiva:

La función densidad de estados para los electrones viene dada por:

Cuyo gráfico es:

*

em

*

hm

Densidad de estados g(E) en semiconductor intrínseco

23

23

*

2

)2(

e

n

mC 2

1

cnn EECg Donde:

Para los huecos la función viene dada por:

donde el origen de energía cinética nula ha de tomarse en el borde superior de

BV, E ≡ EV y teniendo en cuenta además que el sentido positivo de esta energía debe

tomarse en sentido decreciente.

Y el gráfico correspondiente de la función es:

21

EECg vpp 23

23

*

2

)2(

h

p

mC

Distribución energética de huecos y electrones

La obtención de la distribución energética de electrones en BC, dn/dE, y

huecos en BV, dp/dE, se hará a partir de las expresiones anteriores para la

densidad de estados y la probabilidad de ocupación, dando lugar a

1

2

1

TK

EE

cnnn

B

F

e

EECfg

dE

dn

1

2

1

TK

EE

vppp

B

F

e

EECfg

dE

dp

Distribución energética de huecos y electrones

La figura de la siguiente dispositiva muestra una representacióngráfica de la distribución de huecos y electrones de unsemiconductor comparándolas con las de un metal y un aislante.En esta figura podemos ver cómo la concentración de electronesen los metales es la más abundante. Igualmente observamos quela diferencia básica entre los aislantes y los semiconductoresproviene de la diferente anchura de la BP, lo cual provoca que, auna temperatura dada, la distribución de electrones y huecos seamás abundante en los semiconductores que en los aislantes.

Distribución energética de huecos y electrones

Distribución energética de huecos y electrones

Distribución energética de huecos y electrones en un

material extrínseco

Desde el punto de vista del modelo de bandas, y tal como muestra la Figura, la situación anterior se traduce en la aparición en la BP (o gap) de un nuevo nivel de energía, ED, correspondiente a los electrones des localizados de los átomos de impurezas donadoras. Este nivel de energía aparecerá cercano al borde inferior de la BC y así, por excitación térmica, existirá una alta probabilidad de que los electrones de este estado pasen a la BC y, por tanto, incrementen la concentración de electrones en dicha banda. Debe notarse que el aumento de electrones en esta banda no va acompañado de un incremento análogo de huecos en BV dado que la correspondiente carga positiva corresponde al ion de la impureza donadora permanecerá fijo en el cristal.

La discusión anterior también nos permite predecir cualitativamente que la posición del nivel de Fermi a T = 0K debe estar situada entre ED y EC, puesto que así aseguraríamos que a 0K no hay electrones en BC y el nivel E = ED está lleno.

Distribución energética de huecos y electrones en un

material extrínseco

Para el caso de un material P la situación es análoga, aparece un nuevo nivel de

energía EA en la BP, este nivel de energía estará situado al borde de la banda de

valencia. la posición del nivel de Fermi a T = 0K debe estar situada entre EV y EA.

Distribución energética de huecos y electrones en un material

extrínseco

Para obtener la distribución energética de huecos/electrones en

BC/BV han de obtenerse los productos de f por g. Debe notarse

que dado que se supuso que la adición de impurezas no modificaba

la estructura de las bandas energéticas del cristal, las densidades de

estados, gn y gp , no variarán por la adición de impurezas

donadoras/aceptoras. El cambio en la distribución energética

debido a la aparición de nuevos portadores debe venir por tanto

reflejado en la probabilidad de ocupación de los estados.

Distribución energética de huecos y electrones en un material

extrínseco

Para un semiconductor tipo n existe claramente una mayor

concentración de electrones en BC que de huecos en BV.

Para que esto pueda ocurrir, el nivel de Fermi

correspondiente a la presente situación debe situarse por

encima de la posición del nivel intrínseco. Dado que fn(E)

mantiene su forma relativa para una temperatura específica,

el desplazamiento del nivel de Fermi indica que la

probabilidad de ocupación de electrones en BC (E ≥ EC)

será mayor que la probabilidad de ocupación de huecos en

BV (E ≤ EV)

De manera similar se puede hacer el análisis para el caso de

los materiales tipo P.

Distribución energética de huecos y electrones en un

material extrínseco

Conclusiones

En analogía con la ecuación anterior se escribe la función de

distribución de los huecos en la banda de valencia:

p= g[1- f]

La ecuación se justifica señalando que hueco es un estado de

energía vacante.