Perez Calculo1

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Javier Prez Gonzlez

Departamento de Anlisis Matemtico

Universidad de Granada

Asignatura: ClculoCurso: Primero

Titulacin: Ingeniero de Telecomunicacin

septiembre 2006

ndice general

1. Axiomas de los nmeros reales. Desigualdades. Principio de induccin 1

1.1. Nmeros reales. Propiedades algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Principio de induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Funciones reales. Funciones elementales 10

2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Nmeros complejos. Exponencial compleja 26

3.1. Operaciones bsicas con nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1. Representacin grfica. Complejo conjugado y mdulo . . . . . . . . . . . 28

3.1.2. Forma polar y argumentos de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3. Races de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Funciones elementales complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. La funcin exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2. Logaritmos complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

I

ndice general II

3.3.3. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4. Ejerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Continuidad 38

4.1.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Sucesiones 45

5.1. Sucesiones de nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . 53

5.2. Sucesiones de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. Lmite funcional 59

6.1. Lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2. Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3. Discontinuidades. lgebra de lmites. Lmites de funciones montonas . . . . . . 63

6.4. Continuidad ymonotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.5. Indeterminaciones en el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Derivadas 69

7.1.1. Concepto de derivada. Interpretacin fsica y geomtrica . . . . . . . . . . 69

7.1.2. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.2. Reglas de LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3.1. Consejos para calcular lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.3.2. Consejos para calcular lmites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3.3. Extremos relativos. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3.4. Funciones convexas y funciones cncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Universidad de GranadaDpto. de AnlisisMatemtico

Prof. Javier PrezClculo Ing. de Telecomunicacin

ndice general III

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8. Integral de Riemann 102

8.1.1. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.1.2. Definicin y propiedades bsicas de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.3. El Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.1.4. Las funciones logaritmo y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2. Integrales impropias de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2.1. Criterios de convergencia para integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.3. Tcnicas de clculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3.1. Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.3.2. Integracin por sustitucin o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.3.3. Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.4. Integracin por racionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.4. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.4.1. Clculo de reas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.4.3. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.4.4. Volmenes de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.4.5. rea de una superficie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9. Series 149

9.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.2. Criterios de convergencia para series de trminos positivos . . . . . . . . . . . . . 154

9.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

9.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.Clculo diferencial en Rn 169

10.1. Estructura eucldea y topologa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.1.1. Sucesiones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10.1.2. Campos escalares. Continuidad y lmite funcional . . . . . . . . . . . . . . 172

10.1.3. Curvas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.1.4. Derivadas parciales. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175



ndice general IV

10.1.5. Rectas tangentes y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.1.7. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.1.8. Funciones vectoriales. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.1.9. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.1.10.Derivacin de funciones implcitamente definidas . . . . . . . . . . . . . . 203



Leccin1

Axiomas de los nmeros reales. Desigualdades. Principio de induccin

Introduccin

En esta leccin quiero que entiendas la importancia de disponer de un marco de referen-cia. Tratar de explicarme. Para empezar, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos.

1. Sabes probar que 0x = 0? Intntalo.

2. Qu entiendes por x? Es cierto quex es negativo?3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad (x)y =xy. Sabes probarla?4. Demuestra que si x , 0 entonces x2 > 0 (en consecuencia 1 > 0).

5. Sabes por qu no se puede dividir por 0?

6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud

2. Y de longitud

3?

7. Qu quiere decir que un nmero no es racional? Demuestra que

2 no es racional.

Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los nmeros que hasolvidado cundo las aprendiste. Y ahora te piden que las demuestres! Puedo imaginar tu reac-cin que demuestre que 0x = 0?, pero si eso es evidente! siempre me han dicho que es as!cmo se puede demostrar tal cosa?.

Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio est en que no sabes qu es exacta-mente lo que se te pide que hagas; no te dan unmarco claro de referencia. En estas situacioneslo ms frecuente es quedarse colgado con lamente en blanco sin saber qu hacer. Para evitarese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir enunas propiedades de los nmeros (axiomas, si quieres llamarlas as) que vamos a aceptar comopunto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lgi-ca usuales y con definiciones apropiadas nos permitirn demostrar resultados (teoremas) quepodremos usar para seguir avanzando. Simplificando un poco, puede decirse que enmatem-ticas no hay nada ms que axiomas y teoremas (bueno, tambin hay conjeturas, proposiciones

1

Nmeros reales. Propiedades algebraicas y de orden 2

indecidibles...). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0x = 0 es un teorema.Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente impor-tantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan tambin los trminos: corolario,lema, proposicin y otros. Pero la estructura de una teora matemtica elaborada se resume enun conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencialgica.

Es conveniente recordar las propiedades de los nmeros reales porque son ellas las quenos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fcil equivocarse al trabajar con desigualda-des. Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fjateque algunos de los conceptos ms importantes del Clculo se definenmediante desigualdades(por ejemplo, la definicin de sucesin convergente o de lmite de una funcin en un punto).Por ello, tan importante como saber realizar clculos ms o menos complicados, es aprendera manejar correctamente desigualdades, y la nica manera de hacerlo es con la prctica me-diante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamentelas reglas generales que gobiernan las desigualdades entre nmeros y asegurarse de que se usancorrectamente. Aparte de tales reglas no hay otros mtodos generales que nos digan cmo te-nemos que proceder en cada caso particular.

1.1. Nmeros reales. Propiedades algebraicas y de orden

Como todos sabis se distinguen distintas clases de nmeros:

Los nmeros naturales 1,2,3,... . El conjunto de todos ellos se representa por N.

Los nmeros enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.

Los nmeros racionales que son cocientes de la forma p/q donde pZ,qN, cuyo conjuntorepresentamos por Q.

Tambin conocis otros nmeros como

2, pi, o el nmero e que no son nmeros racionalesy que se llaman, con una expresin no demasiado afortunada, "nmeros irracionales". Puesbien, el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionales se llama conjuntode los nmeros reales y se representa por R.

Es claro que N Z Q R.Aunque los nmeros que no son racionales puedenparecer unpoco raros, nomerece la pena, almenos por ahora, preocuparse por cmo son estos nmeros; sino que lo realmente interesantees aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del nmero

2 es que su cuadrado es igual a 2.

Pues bien, una de las cosas ms llamativas de los nmeros es que a partir de un pequeo grupode propiedades pueden deducirse casi todas las dems. Vamos a destacar estas propiedadesbsicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pue-denhacer con los nmeros: la suma y el producto. La suma de dos nmeros reales x,y se escribex+ y, representndose el producto por xy. Las propiedades bsicas a que nos referimos son lassiguientes.

P1 [Propiedades asociativas] (x+ y)+ z = x+(y+ z) ; (xy)z = x(yz) para todos x,y,z en R.



Nmeros reales. Propiedades algebraicas y de orden 3

P2 [Propiedades conmutativas] x+ y = y+ x ; xy = yx para todos x,y en R.

P3 [Elementos neutros] El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente suspropiedades:

0+ x = x ; 1x = x para todo xR.

P4 [Elementos opuesto e inverso] Para cada nmero real x hay un nmero real llamado opues-to de x, que representamos porx, tal que x+(x) = 0.Para cada nmero real x distinto de 0, x , 0, hay un nmero real llamado inverso de x, querepresentamos por x1, tal que xx1 = 1.

P5 [Propiedad distributiva] (x+ y)z = xz+ yz para todos x,y,z en R.

Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque sonmuy sencillas, a partir de ellaspueden probarse cosas tan familiares como que 0x = 0, o que (x)y =(xy).

Pero los nmeros tienen, adems de las propiedades algebraicas, otras propiedades quesuelen llamarse propiedades de orden. Como todos sabemos, los nmeros suelen representarsecomo puntos de una recta en la que se fija un origen, el 0, de forma arbitraria. Los nmeros quehay a la derecha de 0, se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por R+. Laspropiedades bsicas del orden son las siguientes.

P6 [Ley de tricotoma] Para cada nmero real x se verifica que o bien es x = 0, o bien x es posi-tivo, o bien su opuestox es positivo.

P7 [Estabilidad de R+] La suma y el producto de nmeros positivos es tambin un nmeropositivo.

Suele escribirse x y en vez de x+(y). Tambin, supuesto y , 0, se escribe x/y o xy en vez dexy1. Los opuestos de los nmeros positivos, es decir los elementos del conjunto R= {x : x R+}, se llaman nmeros negativos. Ntese que el 0 no es positivo ni negativo.Para x,yR escribimos x < y (lase x esmenor que y) o y> x (lase y esmayor que x) para indicarque yxR+, y escribimos x 6 y o y> x para indicar que yxR+{0}. En adelante usaremoslas notaciones: R+o =R

+{0},Ro =R{0} y R =R\{0}. Ntese que si xR entoncesxR+.

1.1 Teorema (Reglas para trabajar con desigualdades). Sean x,y,z nmeros reales.

1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 z.

2. x 6 y e y 6 x implican que x = y.

3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x < y, x = y, o y < x.

4. x < y implica que x+ z < y+ z.

5. x < y , z > 0 implican que xz < yz.

6. x < y , z < 0 implican que xz > yz.



Ejercicios 4

7. xy > 0 si, y slo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia si x , 0 esx2 > 0 y, en particular, 1 > 0.

8. z > 0 implica que 1z> 0.

9. Supuesto que x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que x < y implica que1y 0x si x 6 0

Para trabajar con valores absolutos es til recordar que dado xR+o , representamos por

x alnico nmeromayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a x. Puesto que, evidentemente,|x|2 = x2 y, adems, |x| > 0, se tiene que |x |=

x2.

La siguiente estrategia de procedimiento es de gran utilidad.

Dados a,b R+o para probar que a = b es suficiente probar que a2 = b2 y para probar quea < b es suficiente probar que a2 < b2.

Geomtricamente, |x| representa la distancia de x al origen, 0, en la recta real. De manera msgeneral:

|x y|= distancia entre x e yrepresenta la longitud del segmento de extremos x e y.

1.2 Teorema (Propiedades del valor absoluto). Para x,y R se verifica que:

1. |xy|= |x||y|;2. |x| 6 y es equivalente a y 6 x 6 y;3. |x+ y| 6 |x|+ |y| y la igualdad se da si, y slo si, xy > 0 (desigualdad triangular);4.|x| |y| 6 |x y| y la igualdad se da si, y slo si, xy > 0.

1.2. Ejercicios

1. Sabiendo que a+ b > c+ d, a > b, c > d; se verifica necesariamente alguna de las des-igualdades: a > c, a > d, b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso.

2. Calcula para qu valores de x se verifica que:

i)2x3x+2

0 iii) x

25x+9> x

iv) x3(x2)(x+3)2 < 0 v) x2 6 x vi) x3 6 xvii) x2 (a+b)x+ab< 0 viii) 3(xa)a2 < x3a3 < 3(xa)x2



Principio de induccinmatemtica 5

3. Prueba las siguientes desigualdades:

i) 0 < x+ y xy< 1 siempre que 0 < x < 1, 0 < y < 1.

ii)1x+

1a+b x 1

iv) |x y+ z|= |x| |z y| v) |x1|+ |x+1|< 1 vi) |x+ y+ z|= |x+ y|+ |z|vii) |x| |y|= |x y| viii) |x+1|< |x+3|

5. Dado ques

t 0, c > 0.

Sugerencia: para probar i) considrese (x y)2. Las dems desigualdades pueden dedu-cirse de i).

7. Demuestra los teoremas (1.1) y (1.2).

1.3. Principio de induccinmatemtica

El Principio de induccinmatemtica es unmtodo que se usa para probar que ciertas pro-piedades matemticas se verifican para todo nmero natural. Considera, por ejemplo, la si-guiente igualdad en la que nN:

12 +22 +32 + +n2 = 16n(n+1)(2n+1)

Si le damos a n un valor, por ejemplo n = 2, podemos comprobar fcilmente que la igualdadcorrespondiente es cierta. Si le damos a n el valor 1000 ya no es tan fcil comprobar esa igual-dad y se le damos a n el valor 101000 la cosa ya se pone realmente difcil. Pero nosotros queremosan ms, no nos conformamos con probar que esa igualdad es cierta para unos cuantos mileso millones de valores de n; no, queremos probar que es vlida para todo nmero natural n. Enestos casos es el Principio de induccin matemtica el que viene en nuestra ayuda para salvar-nos del apuro. Para nosotros el principio de induccin matemtica es algo que aceptamos, esdecir, puedes considerarlo como un axioma de la teora que estamos desarrollando (aunque suformulacin lo hace casi evidente).

Principio de induccinmatemtica. Sea A un conjunto de nmeros naturales, AN, y supon-gamos que:




i) 1Aii) Siempre que un nmero n est en A se verifica que n+1 tambin est en A.

Entonces A = N.

El Principio de InduccinMatemtica es la herramienta bsica para probar que una cierta pro-piedad P(n) es verificada por todos los nmeros naturales. Para ello se procede de la siguienteforma:

A) Comprobamos que el nmero 1 satisface la propiedad, esto es, que P(1) es cierta.

B) Comprobamos que si un nmero n satisface la propiedad, entonces tambin el nmero n+1la satisface. Es decir comprobamos que si P(n) es cierta, entonces tambin lo esP(n+1).

Ntese que en B) no se dice que se tenga que probar que P(n) es cierta, sino que hay que de-mostrar la implicacin lgica P(n) = P(n+1).

Si definimos el conjunto A = {nN : P(n) es cierta}, entonces el punto A) nos dice que 1A,y el punto B) nos dice que siempre que n est en A se verifica que n+ 1 tambin est en A.Concluimos que A = N, o sea, que P(n) es cierta para todo nmero natural n.

1.3 Ejemplo. Para cada nmero natural n, sea P(n) la proposicin si el producto de n nmerospositivos es igual a 1, entonces su suma es mayor o igual que n.

Demostraremos por induccin que P(n) es verdadera para todo n N. Trivialmente P(1) esverdadera. Supongamos queP(n) es verdadera. Consideremos n+1 nmeros positivos no todosiguales a 1 cuyo producto sea igual a 1. En tal caso alguno de dichos nmeros, llammosle x1,tiene que ser menor que 1 y otro, al que llamaremos x2, tiene que ser mayor que 1. Notandox3, ,xn+1 los restantes nmeros se tiene que:

(x1x2)x3 xn+1 = 1

es decir, x1x2,x3, ,xn+1 son n nmeros positivos con producto igual a 1 por lo que:

x1x2 + x3 + + xn+1 > n (1)

y como 0 < (1 x1)(x21), tenemos que:

x1 + x2 > 1+ x1x2 (2)

De (1) y (2) se sigue que:x1 + x2 + x3 + + xn+1 > n+1

Hemos probado as que P(n+1) es verdadera.

1.4Teorema (Desigualdadde lasmedias). Cualesquiera sean los nmeros positivos a1,a2, ,anse verifica que:

n

a1a2 an 6 a1 +a2 + +ann

y la igualdad se da si, y slo si, a1 = a2 = = an.




Demostracin. Basta poner G = n

a1a2 an y xi = aiG , 1 6 i 6 n, con lo cual x1x2 xn = 1 por lo

quen

i=1xi > n es decir

ni=1

ai > nG y se da la igualdad solamente cuando xi = 1, para i = 1,2, . . . ,n;

es decir, cuando a1 = a2 = = an.

El principio de induccin matemtica puede aplicarse en muchas situaciones en las que, aprimera vista, no aparecen para nada los nmeros naturales. Por ejemplo, una proposicin re-ferente a todos los polinomios podra probarse por induccin sobre el grado del polinomio. Unteorema sobre matrices cuadradas podra probarse por induccin sobre el orden de la matriz.

Probaremos a continuacin una til igualdad algebraica conocida como frmula del binomiode Newton.

Para establecer esta igualdad necesitamos definir los llamados coeficientes binmicos. Dadosdos nmeros enteros n > k > 0 se define:(

n

k

)=

n!k!(n k)! donde n! =

np=1

p

Es decir, n! es el producto de todos los nmeros naturales menores o iguales que n. Se definetambin 0! = 1. La igualdad (

n

k1)+

(n

k

)=

(n+1

k

)(1 6 k 6 n) (1.1)

es de comprobacin inmediata. A partir de ella se prueba fcilmente, por induccin sobre n,que

(nk)es un nmero entero positivo.

1.5 Teorema (Frmula del binomio de Newton). Cualesquiera sean los nmeros reales a,b y elnmero natural n se verifica que:

(a+b)n =n

k=0

(n

k

)ankbk.

Demostracin. Para n = 1 la igualdad del enunciado es trivialmente verdadera. Supongamosque dicha igualdad se verifica para n N. Entonces:

(a+b)n+1 = (a+b)(a+b)n = (a+b)[

nk=0

(n

k

)ankbk

]

=

nk=0

(n

k

)an+1kbk +

nk=0

(n

k

)ankbk+1 =

=

nk=0

(n

k

)an+1kbk +

n+1k=1

(n

k1)

an+1kbk

= an+1 +bn+1 +n

k=1

[(n

k

)+

(n

k1)]

an+1kbk =

=

n+1k=0

(n+1

k

)an+1kbk



Ejercicios 8

Lo que prueba la validez de la igualdad para n+ 1. En virtud del principio de induccin, con-cluimos que la igualdad del enunciado es cierta para todo nN.

La induccinmatemtica es un proceso demostrativo

Considera la expresin 991n2+1. Si la evalas para n = 1,2,3, . . . ,100000, . . . no creo que con-sigas obtener valores de n que sean cuadrados perfectos. Debemos concluir que para todo n-mero natural n se verifica que 991n2+1no es un cuadrado perfecto? Pues no. Entre los nmerosde la forma 991n2 +1 hay cuadrados perfectos... el valor mnimo de n para el cual 991n2 +1 esun cuadrado es n = 12055735790331359447442538767!

Con eso te indico que hay que ser precavido: no basta comprobar la veracidad de una ex-presin para unos cuantos valores de n para concluir que dicha expresin es cierta para todo n.La historia de las matemticas est llena de este tipo de errores.

1.4. Ejercicios

1. Demuestra que 3n1 es divisible por 2 para todo nN.

2. Demuestra que cualquier conjunto de nmero naturales, con un nmero finito de ele-mentos, contiene un nmero natural mximo.

3. Demuestra que la frmula

2+4+6+ +2n = n2 +n+2

cumple con el segundo paso del principio de induccinmatemtica. Esto es, si la frmulaes verdadera para n, tambin lo es para n+1. Sin embargo, esta frmula no es vlida paran = 1. Qu deduces de esto?

4. Teorema del mapa de dos colores: si se traza en una hoja de papel lneas rectas que em-piezan y terminan en un borde de la hoja, este mapa puede ser coloreado con slo doscolores sin que ninguna regin adyacente tenga el mismo color.

5. Dnde est el error en el siguiente razonamiento?

A) En un conjunto formado por una nica nia, todas los nias de dicho conjunto tienenel mismo color de ojos.

B) Supongamos que para todo conjunto formado por n nias se verifica que todas lasnias del conjunto tienen el mismo color de ojos.

Consideremos un conjunto formado por n+ 1 nias. Quitamos una nia del conjunto ynos queda un conjunto formado por n nias, las cuales, por la hiptesis de induccin, tie-nen el mismo color de ojos. Ahora devolvemos al conjunto la nia que habamos sacado ysacamos otra. Volvemos a razonar como antes y deducimos que la nia que habamos sa-cado tambin tiene el mismo color de ojos que las dems n nias del conjunto. Por tantolas n+ 1 nias tienen todas ellas igual color de ojos. Como hay una nia con ojos azules,deducimos que todas las nias tiene ojos azules.



Ejercicios 9

6. Prueba que para todo nN se verifica que:

a) Todos los nmeros de la forma n3 +5n son mltiplos de 6.

b) Todos los nmeros de la forma 32n1 son mltiplos de 8.c) Todos los nmeros de la forma n5n son mltiplos de 5.d) 3 no divide a n3n+1,e) 1+

12 +

13 +

14 + +

12n > 1+

n

2

f ) 1+ 11 3 +

13 5 +

15 7 + +

1(2n1)(2n+1) =

n

2n+1

7. Dados n nmeros positivos a1,a2, . . . ,an prueba que:

i)a1a2

+a2a3

+ + an1an

+an

a1> n;

ii)n

1/a1 +1/a2+ +1/an 6n

a1a2 an;

iii) (a1 +a2 + +an)(

1a1

+1a2

+ + 1an

)> n2.

Cundo las desigualdades anteriores son igualdades?

Sugerencia: Usar la desigualdad de las medias aritmtica y geomtrica.

8. Utiliza la desigualdad de las medias para probar que:

abn 0, b > 0, a , b, y nN.

Deduce que para todo nmero natural n se verifica que:(1+ 1

n

)n c} ; (semirrecta abierta a la derecha)[c,+[ = {x R : x > c} ; (semirrecta cerrada a la derecha)

Comoes la primera vezque aparecen, hay que decir que los smbolos+ (lase: ms infinito)y (lase: menos infinito"); son eso: smbolos. No son nmeros. Cada vez que aparece unode ellos en una situacin determinada hay que recordar cmo se ha definido su significadopara dicha situacin. A veces, se escribe R=],+[.

La mayora de las funciones que vamos a usar en este curso pertenecen a la clase de lasfunciones elementales. Se llaman as porque pueden obtenerse a partir de ciertos tipos de fun-ciones bien conocidas realizando las operaciones de suma, producto, cociente y composicinde funciones.

Dadas dos funciones f y g se define su funcin suma (resp. producto) como la funcin que acada nmero xdom( f )dom(g) asigna el nmero real f (x)+g(x) (resp. f (x)g(x)). Dicha funcinse representa con el smbolo f + g (resp. f g). Se define la funcin cociente de f por g como lafuncin que a cada nmero xdom( f )dom(g) con g(x) , 0 asigna el nmero real f (x)

g(x). Dicha

funcin se representa con el smbolofg. Tambin podemos multiplicar una funcin f por un

1Este resultado, en apariencia evidente, no podramos demostrarlo con las herramientas de que disponemos hastaahora.



Funciones reales 13

nmero para obtener la funcin f que asigna a cada xdom( f ) el nmero f (x). De todasformas, el producto de un nmero por una funcin puede considerarse como un caso parti-cular del producto de funciones, pues se identifica el nmero con la funcin constante quetoma como nico valor .

Las propiedades de la suma y el producto de funciones son las que cabe esperar y su demostra-cin es inmediata pues se reducen a las correspondientes propiedades de los nmeros.

Cualesquiera sean las funciones f , g y h se verifica:Propiedades asociativas. ( f +g)+h = f +(g+h); ( f g)h = f (gh)Propiedades conmutativas. f +g = g+ f ; f g = g fPropiedad distributiva. ( f +g)h = f h+gh

Composicin de funciones

Supongamos que f y g son funciones verificandoque imagen( f ) dom(g). En tal caso, la funcinh dada por h(x) = g( f (x)) para todo xdom( f ) se llama composicin de g con f y se representapor g f . La composicin de funciones es asociativa, esto es

(g f ) h = g ( f h)

Funciones inyectivas

Se dice que una funcin f es inyectiva en un conjunto A dom( f ), si en puntos distintos de Atoma valores distintos; es decir, x,yA y x , y, entonces f (x) , f (y). Se dice que f es inyectivacuando es inyectiva en dom( f ).

La funcin inversa de una funcin inyectiva

Si f es una funcin inyectiva, puede definirse una nueva funcin f1 : imagen( f ) R quellamaremos funcin inversa de f , que a cada nmero y imagen( f ) asigna el nico nmerox dom( f ) tal que f (x) = y. Equivalentemente f1( f (x)) = x para todo x dom( f ), y tambinf ( f1(y)) = y para todo ydom( f1) = imagen( f ).

Funcionesmontonas

Se dice que una funcin f es creciente (resp. decreciente) en un conjunto A dom( f ), sif conserva (resp. invierte) el orden entre puntos de A, es decir, si x,y A y x 6 y, entoncesf (x) 6 f (y) (resp. f (x) > f (y)). Se dice que f es creciente (resp. decreciente) cuando lo es entodo su dominio (A = dom( f )). Se dice que una funcin es montona para indicar que es cre-ciente o decreciente. Una funcinmontona e inyectiva se dice que es estrictamentemontona,pudiendo ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente.



Estudio descriptivo de las funciones elementales 14

Grfica de una funcin

La grfica de una funcin f es el conjunto de pares de nmeros {(x, f (x)) : xdom( f )}.La grfica de una funcin pone de manifiesto, a simple vista, muchas de sus propiedades. Paradibujar grficas de funciones se precisan herramientas de clculo que estudiaremos ms ade-lante.

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales2

Funciones polinmicas y funciones racionales

Las funciones polinmicas o polinomios son las funciones de la forma

P(x) = c0 + c1x+ c2x2 + + cnxn

donde c0,c1, . . . ,cn son nmeros reales llamados coeficientes del polinomio; nN es un nmeronatural que, si cn , 0, se llama grado del polinomio. Las funciones polinmicas tienen comodominio natural de definicin la totalidad de R aunque con frecuencia nos interesar estudiaruna funcin polinmica en un intervalo.

Mientras que la suma, el producto y la composicin de funciones polinmicas es tambinuna funcin polinmica, el cociente de funciones polinmica da lugar a las llamadas funcionesracionales. Una funcin racional es una funcin de la forma:

R(x) =P(x)Q(x)

donde P (el numerador) yQ (el denominador) son polinomios y Q no es el polinomio constanteigual a 0. La funcin R tiene como dominio natural de definicin el conjunto {xR : Q(x) , 0}.Observa que las funciones polinmicas son tambin funciones racionales (con denominadorconstante 1).

Es inmediato que sumas, productos y cocientes de funciones racionales son tambin funcionesracionales; y la composicin de dos funciones racionales es tambin una funcin racional.

Races de un nmero

Dados un nmero real x > 0 y un nmero natural k > 2, hay un nico nmero real positivo,z > 0, que verifica que zk = x . Dicho nmero real z se llama la raiz k-sima o de orden k de x yse representa por k

x o por x1/k.

Adems, si y > 0, se verifica que:

i) x < y si, y slo si, k

x < ky

ii) k

xy = k

x ky

2El estudio de las funciones elementales que haremos aqu se complementa con el cuaderno deMathematica queest en http://www.ugr.es/local/fjperez/funciones_elementales.nb.




Si x < 0 y k es impar se define k

x = k|x|

Potencias racionales

Dados x>0, pZ y qN, definimos x p/q= qx p. Notemos que ( qx)p= qx p pues(( q

x )p)q= ( q

x)pq=

(( q

x )q)p= x p

Naturalmente, si p/q = m/n donde mZ y nN, entonces se comprueba fcilmente que x p/q=xm/n. En consecuencia, si r es un nmero racional podemos definir, sin ambigedad alguna, lapotencia xr por xr = x p/q, donde pZ y qN son tales que r = p/q.

Logaritmos

Vamos a hacer un estudio descriptivo de estas funciones. Nos limitaremos a recordar susdefiniciones y propiedades bsicas, dejando para ms adelante un estudio riguroso de las mis-mas.

Dado un nmero a > 0, a , 1, y un nmero x > 0, se define el logaritmo en base a de x comoel nico nmero yR que verifica la igualdad ay = x. El logaritmo en base a de x se representapor el smbolo loga x. Observa que, por definicin, para todo x > 0 es a loga x = x.

El dominio de la funcin loga es R+, y su imagen

1 2 3 4 5

-2

-1

1

Figura 2.1: Funcin loga(x), (a > 1)

es R. La funcin es estrictamente creciente si a > 1 yestrictamente decreciente si a < 1. La propiedad bsi-ca de los logaritmos es que convierten productos ensumas:

loga(xy) = loga x+ loga y (x > 0,y > 0)

Los logaritmos decimales corresponden a tomar a = 10y los logaritmos naturales, tambin llamados neperia-nos (en honor de John Napier 1550-1617), correspon-den a tomar como base el nmero e. El nmero e es unnmero irracional que puede aproximarse arbitraria-mente por nmeros de la forma (1+1/n)n para valores grandes de n. Un valor aproximado de ees 2,7182818284.

En esta asignatura trabajaremos siempre, salvo que explcitamente se indique lo contrario,con la funcin logaritmo natural, que notaremos log (la notacin, cada da ms en desuso, ln,para dicha funcin no ser usada en este curso).

Teniendo en cuenta que

loga x =logxloga

(x > 0)

podemos deducir muy fcilmente las propiedades de la funcin logaritmo en base a a partir delas propiedades de la funcin logaritmo natural.




Exponenciales

La funcin inversa de la funcin loga es la funcin exponencial de base a, que se representa porexpa. Por tanto, para cada xR, expa(x) es, por definicin, el nico nmero positivo cuyo logarit-mo en base a es igual a x: loga(expa(x)) = x. Es fcil comprobar que si rQ entonces expa(r) = a r,por lo que se usa la notacin expa(x) = ax.

El dominio de la funcin expa es R, y su imagen es R+. La

-1 1 2 3

5

10

15

20

Figura 2.2: Funcin expa(x), a > 0

funcin es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamentedecreciente si a < 1. La propiedad bsica de expa es que con-vierten sumas en productos:

expa(x+ y) = expa(x)expa(y) (x,yR)

Dos funciones exponenciales cualesquiera, expa y expb, estnrelacionadas por la igualdad:

expb(x) = expa(x loga b) (xR)

La funcin exponencial de base e, inversa de la funcin logaritmo natural, se notar simple-mente por exp. Por tanto exp(x) = ex. Con ello tenemos que:

xy = ey logx (x > 0,yR)

La letra e se eligi en honor del gran matemtico Leonhard Euler (1707-1783). A primera vistapuede parecer que no hay razones particulares para llamar natural al nmero e. Las razonesmatemticas de esta eleccin se vern al estudiar la derivacin. Sin embargo, hay muchos pro-cesos de crecimiento que hacen del nmero e una base exponencial extremadamente til einteresante. Veamos unos ejemplos.

Inters compuesto. Supongamos que invertimos un capital inicial, P, a una tasa de intersanual r (expresado en tanto por uno), cunto dinero tendremos cuando hayan pasado k aos?Respuesta: depende de cmo se paguen los intereses. En el inters simple se paga el total de losintereses al terminar la inversin, por lo que el inters total producido es igual a Prk, y el capitalfinal ser igual a P(1+ rk).

Sin embargo, lo usual es que se paguen intereses en perodos ms cortos de tiempo. Estosintereses se acumulan al capital inicial y producen, a su vez, nuevos intereses. Esto se cono-ce como inters compuesto. Por ejemplo, si el inters se paga n veces al ao (trimestralmente(n = 4), mensualmente (n = 12), etctera) al final del primer perodo tendremos P(1+ r/n), alfinal del segundo P(1+ r/n)2; al final del primer ao P(1+ r/n)n, al final del k-simo ao tendre-mos P(1+ r/n)nk.

Cuando n es muy grande, el nmero (1+ r/n)n es aproximadamente igual a er. Precisamente, silos interese se acumulan instantneamente al capital, lo que se conoce como inters compuestocontinuo, entonces el capital al final del k-simo ao viene dado por P erk.

Crecimiento demogrfico. Llamemos P0 la poblacin mundial actual, y sea la tasa anual decrecimiento expresada en tanto por uno, la cual suponemos que se mantiene constante. Note-mos por P(t) la poblacin mundial pasados t aos.




Pasado un ao, la poblacin ser P(1) P0 + P0 = (1 + )P0. Utilizamos el signo y no el =porque hemos calculado el crecimiento de la poblacin P0 como si esta fuese constantementeigual a P0 en todo el ao, lo que no es correcto.

Obtendramos un resultado ms exacto si consideramos el crecimiento de la poblacin men-sualmente. Como la tasa de crecimiento mensual es /12, pasado un mes la poblacin ser

(1+ 12 )P0, y pasados docemesesP(1)(

1+ 12

)12P0. El clculo sigue siendo aproximado, pues

la poblacin crece continuamente. Para obtener una mejor aproximacin podramos conside-rar das en vez de meses; en general si dividimos el ao en n perodos, obtendramos comoaproximacin:

P(1) (

1+ n

)nP0

Cuanto mayor sea n menor ser el error que cometemos. Si hacemos que n crezca indefinida-

mente, entonces el nmero(

1+ n

)nse convierte en e, por lo que P(1) = e P0. Si el perodo de

tiempo es de t aos, entonces P(t) = P0 et .

Funcin potencia de exponente real a

Se llama as la funcin cuyo dominio es R+ que a cada x > 0 asigna el nmero xa. Puesto quexa = exp(a logx), las propiedades de esta funcin se deducen con facilidad de las propiedadesde las funciones exponencial y logaritmo natural.

Funciones trigonomtricas

Vamos a hacer un estudio descriptivo de estas funciones. Nos limitaremos a recordar susdefiniciones y propiedades bsicas, dejando para ms adelante un estudio ms riguroso de lasmismas.

La palabra tri-gono-metra significa medida de las figuras con tres esquinas, es decir, delos tringulos. La trigonometra (plana) es el estudio de las relaciones entre las longitudes delos lados de un tringulo (plano) y las medidas de sus ngulos. Por ello, las funciones trigono-mtricas se definieron originalmente mediante tringulos rectngulos. No obstante, interesadefinir dichas funciones usando la circunferencia unidad, es decir, la circunferencia centradaen 0 y de radio 1.

El conceptoms especfico de la trigonometra es el demedida de un ngulo. Para medir unngulo llevamos su vrtice al origen ymedimos la longitud del arco de la circunferencia unidadque dicho ngulo intercepta, obtenemos as un nmero que llamamos la medida (absoluta, esdecir no orientada) del ngulo en cuestin. Naturalmente, lo primero que hay que hacer paramedir cualquier cosa es elegir una unidad de medida. Pues bien, para medir ngulos suelenusarse dos unidades de medida.

Hay una expresin que estamos acostumbrados a usar y cuyo significado conviene precisar.Me refiero a la expresin: una circunferencia de radio r. Cuando empleamos dicha expresinse sobreentiende que el radio r de la circunferencia es un nmero expresado en alguna unidad




de medida de longitudes. Es decir, la expresin una circunferencia de radio r presupone quehemos fijado una unidad de medida con la cual hemos medido r.

Medida de ngulos en grados

Supongamos que tenemos una circunferencia de radio r. Para medir ngulos en gradossobre dicha circunferencia lo que hacemos es tomar como unidad de medida un arco cuyalongitud sea igual a la longitud total de esa circunferencia (2pir) dividida por 360. Un ngulo deun grado es el que intercepta en una circunferencia de radio r un arco cuya longitud es igual a2pir360 .

Medida de ngulos en radianes

Supongamos que tenemos una circunferencia de radio r. Para medir ngulos en radianessobre dicha circunferencia lo que hacemos es tomar como unidad demedida un arco cuya lon-gitud sea igual a la del radio. Un ngulo de un radin es el que intercepta en una circunferenciade radio r un arco cuya longitud es igual a r.

Las palabras grado y radin se usan tanto para referirse a los respectivos ngulos comoa las medidas de sus arcos. Es as como debes interpretar la expresin la longitud total dela circunferencia es 360 grados y tambin es igual a 2pi radianes. Sera ms exacto decir: lalongitud total de la circunferencia es 360 veces la longitud de un arco de un grado y tambin esigual a 2pi veces la longitud de un arco de un radin. Evidentemente, la longitud de un arco deun radin es igual al radio de la circunferencia.

La relacin entre grados y radianes viene dada por:

360 grados = 2pi radianes

No hay que olvidar que grados y radianes no son otra cosa que unidades demedida de longitu-des, al igual que lo son elmetro y el centmetro. En la navegacin y en la astronoma los ngulosse miden en grados, pero en Clculo es preferible medirlos en radianes porque se simplificanlas cuentas. Por ejemplo, la longitud de un arco de circunferencia se obtiene multiplicando lalongitud del radio de dicha circunferencia por lamedida en radianes del ngulo que correspon-de a dicho arco.

Observa que la ventaja de medir arcos en radianes es que, en tal caso, la misma unidad conla que medimos el radio nos sirve para medir arcos. Por ejemplo, si el radio es 1 centmetro elradin tambin mide 1 centmetro; mientras que la medida de un grado en centmetros sera2pi/360 0,0174533.

Convenio de los ngulos: usar radianes

De ahora en adelante, amenos que se establezca explcitamente otra unidad, supondremosque todos los ngulos estn medidos en radianes.




Funciones seno y coseno

Hay dos funciones que suelen confundirse: el seno de un ngulo y el seno de un nmero.En geometra se habla del seno de un ngulo y en Clculo usamos la expresin sen(

2) para

referirnos al seno del nmero

2. Qu relacin hay entre uno y otro? Antes que nada hay quedecir que tanto el seno de un ngulo como el seno de un nmero son nmeros, pero mientrasque el seno de un ngulo tiene una sencilla definicin geomtrica, no es evidente, a priori,cmo se puede definir el seno de un nmero.

La idea consiste en asociar a cada nmero un (nico) ngulo y definir el seno del nmerocomo el seno del ngulo que le corresponde. Es evidente que a cada nmero x > 0 le pode-mos asignar de manera nica un ngulo enrollando el segmento [0,x] sobre la circunferenciaunidad, en sentido contrario a las agujas del reloj, de forma que el origen de dicho segmentocoincida con el punto U = (1,0) de la circunferencia. Obtenemos as un punto Px de la circun-ferencia unidad. Pues bien, si las coordenadas de Px son (a,b), se define:

Px

U

longitud x

x

y

b

aO

senx = seno del ngulo(OUPx) = bcosx = coseno del ngulo(OUPx) = a

Al ser igual a 2pi la longitud de la circunferencia uni-dad, es claro que Px+2pi = Px, por lo que sen(x) =sen(x + 2pi) y cos(x) = cos(x + 2pi). Observa tambinque si 0 6 x < 2pi, entonces lamedida en radianes delngulo OUPx es igual a x, es decir:

sen(x) = seno del ngulo de x radianes (0 6 x < 2pi)

Si x < 0 podemos proceder con el segmento [x,0] de forma anloga a la anterior, con la di-ferencia de que ahora enrollamos dicho segmento sobre la circunferencia unidad en el sentidode las agujas del reloj, de forma que su extremo 0 coincida con el punto U = (1,0) de la circun-ferencia. Obtenemos as un punto Px = (c,d) de la circunferencia unidad y se define, igual queantes sen(x) = d, cos(x) = c. Es fcil ver que si Px = (c,d), entonces Px = (c,d). Resulta as quesen(x) =sen(x) y cos(x) = cos(x).

-1

1

0 pi 2pipi2pi

y = senx

Observacin

Podemos definir la funcin seno en grados sin ms que interpretar que x es la medida engrados del ngulo que le corresponde. El hecho de que se use la misma notacin para ambas




funciones es la causa de muchos errores. Si notamos seno(x) el valor del seno del ngulo cuyamedia es x grados, y notamos senr(x) el valor del seno del ngulo cuya media es x radianes (esdecir, la funcin que hemos definido antes); la relacin entre ambas funciones viene dada por:

seno(x) = senr2pix360 = sen

r pix

180Es frecuente que seno(x) se escriba como senxo. Por ejemplo sen(45o). A esta mala notacin sedeben las dudas que a veces surgen sobre el significado de senx y que llevan a preguntar: est xen grados o en radianes?, cuando lo que realmente debera preguntarse es se trata de seno(x)o de senr(x)?; porque, en ambos casos, x es tan slo un nmero al que no hay por qu ponerleninguna etiqueta.

Insistimos, una ltima vez: en este curso de Clculo el nmero senx significar siempre senr x.Por tanto sen(pi/4) , sen(45) (pero sen(pi/4) = seno(45)).

Propiedades de las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno son funciones reales cuyo dominio es todo R. Las identidadesbsicas que dichas funciones verifican son:

sen2 x+ cos2 x = 1 (xR)Como se ha dicho antes, las funciones seno y coseno son peridicas de perodo 2pi:

sen(x+2pi) = senx , cos(x+2pi) = cosx (xR)La funcin seno es impar y la funcin coseno es par:

sen(x) =senx , cos(x) = cosx (xR)Todas las propiedades anteriores se deducen fcilmente de las definiciones dadas. Las siguien-tes igualdades, conocidas como frmulas de adicin, se probarn ms adelante:

sen(x+ y) = senxcosy+ cosxseny

cos(x+ y) = cosxcosy senxseny

La funcin seno se anula en los mltiplos enteros de pi, es decir, en los puntos de la forma kpidonde k es un entero cualquiera. La funcin coseno se anula en los puntos de la forma kpi+pi/2donde k es un entero cualquiera.

Las funciones tangente y secante, que se representan por tg y sec son las funciones definidasen el conjunto R\ {kpi+pi/2 : kZ}= {xR : cosx , 0}, por:

tgx = senxcosx

, secx =1

cosx

Las funciones cotangente y cosecante, que se representan por cotg y csc son las funciones defi-nidas en el conjunto R\ {kpi : kZ}= {xR : senx , 0}, por:

cotgx = cosxsenx

, cscx =1

senx

Las propiedades de estas funciones se deducen con facilidad de las propiedades del seno y delcoseno. Por ejemplo, tg(x) = tg(x+pi); es decir, la funcin tangente es peridica de perodo pi.




Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente

Lo primero que hay que decir es que ninguna de las funciones seno, coseno, tangente,es inyectiva pues todas ellas son peridicas y, por tanto, toman cada uno de sus valores eninfinitos puntos; en consecuencia, ninguna de ellas tiene inversa. Por tanto, no debe decirseque las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente sean las funciones inversas del seno, delcoseno o de la tangente: eso no es cierto. Hecha esta observacin imprescindible, pasemos adefinir dichas funciones.

La funcin seno es estrictamente creciente en el intervalo [pi/2,pi/2] y en dicho intervalotoma todos los valores comprendidos entre 1 y 1, sen([pi/2,pi/2]) = [1,1]. En consecuencia,dado un nmero x [1,1] hay un nico nmero y [pi/2,pi/2] tal que seny = x; dicho nme-ro y se representa por arcsenx y se llama el arcoseno de x. Es decir, el arcoseno es la funcinarcsen : [1,1] R definida por sen(arcsenx) = x y pi2 6 arcsenx 6 pi2 . Observa que la igualdadarcsen(senx) = x, es cierta si, y slo si,pi/2 6 x 6 pi/2.

-1 1

y = arcsen x

pi2

pi2

Figura 2.3: Funcin arcsenx

-1 1

y = arccos x

pi

pi/2

Figura 2.4: Funcin arccos x

La funcin coseno es estrictamente decreciente en el intervalo [0,pi] y en dicho intervalo tomatodos los valores comprendidos entre 1 y 1. Por tanto, dado un nmero x [1,1], hay unnico nmero y [0,pi] tal que cosy = x; dicho nmero y se representa por arccosx y se llamaarcocoseno de x. Es decir, arcocoseno es la funcin arccos: [1,1] R dada por cos(arccosx) = xy 0 6 arccosx 6 pi.Observa que la igualdad arccos(cosx) = x, es cierta si, y slo si, 0 6 x 6 pi.

La funcin tangente es estrictamente creciente en el intervalo ]pi/2,pi/2[ y en dicho inter-valo toma todos los valores reales, tg(]pi/2,pi/2[) = R. En consecuencia, dado un nmero xR,hay un nico nmero y]pi/2,pi/2[ tal que tgy = x; dicho nmero y se representa por arc tgx yse llama el arcotangente de x. Es decir, el arcotangente es la funcin:

arc tg : R R definida por: tg(arc tgx) = x , pi2< arc tgx < pi

2.

Observa que la igualdad arc tg(tgx) = x, es cierta si, y slo si,pi/2 < x < pi/2.




y = arctgxpi2

pi2

Las funciones hiperblicas

Hay algunas combinaciones de las funciones exp(x) y exp(x) que aparecen con tanta frecuen-cia que se les da nombre propio. Ellas son las funciones seno hiperblico, representada por senh,y coseno hiperblico, representada por cosh, y estn definidas para todo xR por:

coshx =ex+ex

2, senhx =

exex2

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

y = senhx

-2 -1 1 2

1.5

2

2.5

3

3.5

y = coshx

Propiedades de las funciones seno hiperblico y coseno hiperblico

Las funciones senohiperblico y cosenohiperblico son funciones reales cuyodominio es todoR. La identidad bsica que dichas funciones verifican es:

cosh2 x senh2 x = 1 (xR)

La funcin seno hiperblico es impar y la funcin coseno hiperblico es par:

senh(x) =senhx , cosh(x) = coshx (xR)

La funcin seno hiperblico es estrictamente creciente en R. La funcin coseno hiperblico esestrictamente creciente en R+o .

Todas las propiedades anteriores se deducen fcilmente de las definiciones dadas.




La funcin tangentehiperblica que se representa por tgh es la funcin definida para todo xRpor:

tghx = senhxcoshx

=exexex+ex

-4 -2 2 4

-1

1

y = tghx

De forma anloga se definen las funciones cotangente, secante y cosecante hiperblicas.

Las funciones hiperblicas inversas

La funcin seno hiperblico es una biyeccin de R sobre R cuya inversa, representada por,argsenh, (lase argumento seno hiperblico) viene dada por:

argsenhx = log(x+

x2 +1) (xR)

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

y = argsenhx

1 2 3 4

1

2

y = argcoshx

La funcin tangente hiperblica es una biyeccin de R sobre el intervalo ] 1,1[ cuya inversa,representada por, argtgh, (lase argumento tangente hiperblica) es la funcin definida en elintervalo ]1,1[ por:

argtghx = 12

log(

1+ x1 x

)(1 < x < 1)

La funcin coseno hiperblico es inyectiva en R+o y su imagen es la semirrecta [1,+[. La fun-cin, definida en [1,+[, que a cada nmero x> 1 asigna el nico nmero y> 0 tal que coshy= x,se llama argumento coseno hiperblico, se representa por, argcosh, y viene dada por:

argcoshx = log(x+

x21) (x > 1)

-1 1

-2

-1

1

2

y = argtghx



Ejercicios 24

La razn de por qu estas funciones se llaman hiperblicas es que, al igual que los puntos dela circunferencia unidad pueden representarse en la forma (cost,sen t), los puntos en la ramaderecha de la hiprbola unitaria x2 y2 = 1 pueden representarse como (cosh t,senht).

Naturalmente, la importancia de las funciones trigonomtricas procede de quemultitud defenmenos naturales son de naturaleza ondulatoria. Todos sabis lo que es un electrocardio-grama; pues bien, la grfica que aparece en ese informe clnico no es ms que superposicionesde grficas de senos y cosenos.

Las funciones hiperblicas, por su parte, tambin sirven para describir el movimiento deondas en slidos elsticos, o la forma que adoptan los cables elctricos colgantes. Hay una her-mosa curva llamada catenaria cuya ecuacin es de la forma y = acosh(x/a) (donde se entiendeque a es una constante). La catenaria es la forma que adopta una cadena perfectamente flexiblesuspendida de sus extremos y bajo la accin de la gravedad.

2.3. Ejercicios

1. Compara alogb con bloga.

2. Resuelve1

logx(a)=

1logb(a)

+1

logc(a)+

1logd(a)

3. Es correcto escribir log(x1)(x2) = log(x1)+ log(x2)?

4. Prueba que log(x+

1+ x2)+ log(

1+ x2 x) = 0.

5. Resuelve x

x = (

x)x.

6. Simplifica las expresiones alog(loga)/ loga, loga(loga(aax)).

7. Resuelve el sistema: 7(logy x+ logx y) = 50, xy = 256. Se supondr que x > y > 1.

8. Indica cul de los dos nmeros 1,234,5676,334,568 y 1,234,5686,334,567 es el mayor.

9. Calcula los valores de x para los que se verifica la igualdad:

logx(10)+2log10x(10)+ log190x(70) = 0

10. Sea f : R+ R una funcin que verifica las propiedades:1. f (xy) = f (x)+ f (y) para todos x,y en R+;2. f (x)>0 para todo x>1;3. f (e) = 1.Demuestra que f (x) = log(x) para todo xR+.Sugerencias: a) Prueba primero que f es creciente y que f (er) = r para todo rQ.b) Sea (x) = f (exp(x)). Justifica que es estrictamente creciente. Supn que hay algnnmero a tal que (a) , a y deduce una contradiccin (utiliza que entre dos nmerosreales cualesquiera siempre hay algn nmero racional).



Ejercicios 25

11. Prueba las igualdades siguientes.

cos(arc tgx) = 11+ x2

sen(arc tgx) = x1+ x2

tan(arcsenx) =x

1 x2x ]1,1[, arccosx+ arcsenx = pi

2x [1,1]

12. Sean a,bR tales que a2+b2 = 1, a,1.Definamos = 2arc tg ba+1

. Prueba que cos= a,sen = b.

13. Prueba por induccin la siguiente igualdad.

senx

2(senx+ sen2x+ + sennx) = sen nx

2sen

n+12

x

14. Prueba que tg(x+ y) = tgx+ tgy1 tgx tgy . Qu excepciones hay que hacer?.

15. Indica para qu valores de x e y se verifica la igualdad arc tgx+ arc tgy = arc tg x+ y1 xy .



Leccin3

Nmeros complejos. Exponencial compleja

Introduccin

Los nmeros complejos son una herramienta bsica de clculo. Son especialmente tilespara trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre querepresentamos una seal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que se es elpropsito bsico de los mtodos de Fourier. La Transformada de Fourier Discreta, una herra-mienta fundamental en el tratamiento digital de seales, toma valores complejos. Las transfor-madas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual que otrastransformadas de uso frecuente, se define como una serie de nmeros complejos. La funcinexponencial compleja desempea un papel fundamental en el estudio de los sistemas LTI (sis-temas lineales invariantes en el tiempo) y tambin en la teora de las ecuaciones diferencialeslineales.

3.1. Operaciones bsicas con nmeros complejos

3.1 Definicin. Consideremos en el conjunto R2 las operaciones de adicin y producto defini-das por

(a,b)+ (c,d) = (a+ c,b+d)

(a,b)(c,d) = (acbd,ad+bc)Es muy fcil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las opera-ciones as definidas. El elemento neutro de la suma es (0,0) y (1,0) es la unidad del producto.Adems, (a,b) es el opuesto de (a,b), y todo (a,b) , (0,0) tiene inverso

(a,b)(

a

a2 +b2,

ba2 +b2

)= (1,0)

Todas estas propiedades se resumen diciendo que (R2,+, ) (lase el conjunto R2 con las ope-raciones de adicin y producto) es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simblicamente porC y sus elementos se llaman nmeros complejos.

26

Operaciones bsicas con nmeros complejos 27

Comentarios a la definicin

A los elementos de R2 se les llama unas veces pares ordenados de nmeros reales, otras vec-tores o puntos y tambin nmeros complejos. La razn de esto es que en R2 conviven variasestructuras cada una con su terminologa propia. Por eso a los elementos de R2 se les llamavectores si se est considerando la estructura de espacio vectorial, puntos si fijamos la atencinen la estructura topolgica o afn, pares ordenados cuando estamos pensando enR2 como con-junto sin ninguna estructura particular y nmeros complejos cuando se considera la estructurade cuerpo antes definida. Ocurre que estos trminos se usan a veces en un mismo prrafo loque puede resultar confuso. La regla que debes tener siempre presente es que todo concep-to matemtico tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemtica. Porello, a un elemento de R2 se le llama nmero complejo cuando se va a usar el producto antesdefinido que es lo que en realidad distingue a los nmeros complejos de los vectores de R2.

Forma cartesiana de un nmero complejo

El smbolo usual (a,b) para representar pares ordenados no es conveniente para represen-tar el nmero complejo (a,b). Para convencerte calcula (1,1)4. Representaremos los nmeroscomplejos con un simbolismoms apropiado. Para ello hacemos la identificacin (a,0) = a y elnmero complejo (0,1) lo representaremos por i. Con ello tenemos que

i2 = (0,1)(0,1) = (1,0) =1

Ahora podemos escribir

(a,b) = (a,0)+ (0,b) = (a,0)+ (b,0)(0,1) = a+bi

Se dice que a es la parte real y b es la parte imaginaria del nmero complejo z = a + ib yescribimos a = Re(z), b = Im(z). El producto ahora es muy fcil de recordar pues

(a+ ib)(c+ id) = ac+ i2bd + i(ad+bc) = acbd+ i(ad+bc)

Comentarios a la definicin usual i =1

Acabamos de ver que i2 = 1 pero eso no nos permite escribir as, sin ms ni ms, quei =

1. Fjate lo que ocurre si ponemos i = 1 ymanejamos ese smbolo con las reglas a lasque estamos acostumbrados:

i2 =1 = i i = 11 =

(1)(1) =

1 = 1

Luego 1 =1. Por tanto, las matemticas son contradictorias y aqu hemos acabado.Naturalmente, el error, procede de que estamos haciendo disparates. Fjate que en la expre-

sin1 no puedes interpretar que 1 es el nmero real1 (porque, como sabes, los nmeros

reales negativos no tienen raz cuadrada real), sino que tienes que interpretar1 como el nme-ro complejo1 (espero que ya tengas clara la diferencia). Resulta as que estamos usando racesde nmeros complejos sin haberlas definido y dando por supuesto que dichas races verifican lasmismas propiedades que las de los nmeros reales positivos.



Representacin grfica. Complejo conjugado ymdulo 28

Antes de escribir1 hay que definir qu significa z para zC. Cuando lo hagamos ve-

remos sorpresa! que la igualdad

z

w =

zw, vlida cuando z,wR+, no es cierta en generalcuando z,wC.

Todavams disparatado es definir i=1 sin ni siquiera haber definido antes los nmeros

complejos. Sin embargo, y aunque parezca mentira, en muchos textos se define (porque s, sinms explicaciones) i =

1 y a continuacin se dice que los nmeros de la forma a+ ib son losnmeros complejos. No es de extraar que luego resulte que 1 =1.

No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica

Al ampliar R a C ganamos mucho pero tambin perdemos algo. Te recuerdo que R tiene dosestructuras: la algebraica y la de orden. Ambas estructuras estn armoniosamente relacionadas.Pues bien, en C no hay nada parecido. Podemos definir relaciones de orden en C, pero no hayninguna de ellas que sea compatible con la estructura algebraica. Es decir, es imposible definirun concepto de nmero complejo positivo de forma que la suma y el producto de complejospositivos sea positivo. Por ello no se define enC ningn orden. As que ya sabes: nunca escribasdesigualdades entre nmeros complejos! Naturalmente, puedes escribir desigualdades entrelas partes reales o imaginarias de nmeros complejos, porque tanto la parte real como la parteimaginaria de un nmero complejo son nmeros reales.

3.1.1. Representacin grfica. Complejo conjugado ymdulo

Es usual interpretar el nmero complejo x+ iy como el vector del plano (x,y) y, en ese sen-tido, se habla del plano complejo. El eje horizontal recibe el nombre de eje real, y el eje verticalrecibe el nombre de eje imaginario. Si z = x+ iy es un nmero complejo (con x e y reales), en-

z = a+ i b

a

b

z = a i b

|z|

Figura 3.1: Representacin de un nmero complejo

tonces el conjugado de z se define como:

z = x iy

y elmdulo o valor absoluto de z, se define como:

|z |=

x2 + y2



Forma polar y argumentos de un nmero complejo 29

Geomtricamente, z es la reflexin de z respecto al eje real, mientras que |z | es la distancia eucl-dea del punto (x,y) a (0,0) o, tambin, la longitud o norma eucldea del vector (x,y) (ver figura3.1). La distancia entre dos nmeros complejos z y w se define como |zw|.

La representacin grfica de la suma es conocida. Dos nmeros complejos z = a+ ib y w =c+ id determinan un paralelogramo cuya diagonal (ver figura 3.2) es z+w. Se comprueba fcil-

z

a

w

c

z + w

a+ c

Figura 3.2: Suma de nmeros complejos

mente que si z y w son nmeros complejos se verifica que z = z, z+w = z+w y zw = zw.

La igualdad |z |2 = zz que se deduce directamente de la definicin demdulo de un nmerocomplejo, permite probar con facilidad que para todos z,wC es

a) |zw|= |z | |w| y b) |z+w| 6 |z |+ |w|

Tambin son de comprobacin inmediata las desigualdades

max{|Rez| , |Imz|} 6 |z | 6 |Rez|+ |Imz| (3.1)

3.1.2. Forma polar y argumentos de un nmero complejo

El uso de coordenadas polares en el plano facilita mucho los clculos con productos denmeros complejos. Para cualquier nmero complejo z = x+ iy , 0 podemos escribir

z = |z |( x|z | + iy|z |)

Como (x

|z | ,y|z | ) es un punto de la circunferencia unidad, puede escribirse en la forma

(x

|z | ,y|z | ) = (cos,sen )

para algn nmero R. Resulta as que

z = |z |(cos+ isen)

Esta forma de expresar un nmero complejo recibe el nombre de forma polar, cuya interpre-tacin grfica vemos en la figura siguiente.




z

|z|

Figura 3.3: Forma polar de un nmero complejo

Dado zC, z , 0, hay infinitos nmeros tR que verifican la igualdad z = |z | (cost,sen t) cual-quiera de ellos recibe el nombre de argumento de z. El conjunto de todos los argumentos deun nmero complejo no nulo se representa por Arg(z).

Arg(z) = {tR : z = |z |(cost + isent)}

Observa que

s, tArg(z){

cos(t) = cos(s)

sin(t) = sin(s)

} s = t +2kpi para algn kZ

Por tanto, conocido un argumento toArg(z) cualquier otro es de la forma to + 2kpi para algnkZ, es decir, Arg(z) = to +2piZ.

De entre todos los argumentos de un nmero complejo z, 0hay uno nico que se encuentraen el intervalo ] pi,pi], se representa por arg(z) y se le llama argumento principal de z. No esdifcil comprobar que el argumento principal de z = x+ iy , 0 viene dado por:

arg(z) =

arc tg(y/x)pi si y 6 0, x < 0pi/2 si y 6 0, x = 0arc tg(y/x) si x > 0pi/2 si y > 0, x = 0arc tg(y/x)+pi si y > 0, x < 0

Observaciones a la definicin de argumento principal

Puede parecer un poco extraa la forma de elegir el argumento principal de un nmerocomplejo. La eleccin que hemos hecho supone que medimos ngulos en el semiplano su-perior de 0 a pi y en el semiplano inferior de 0 api.

Fjate que si tomas un nmero complejo que est situado en el tercer cuadrante z = x+ iycon x < 0,y < 0 y supones que y es prximo a 0, su argumento principal est prximo a pi, y sitomas un nmero complejo que est situado en el segundo cuadrante, w = x+ iv con x < 0,v> 0,y supones que v es prximo a 0, su argumento principal est prximo a pi. Adems, la distancia




|w z| = |v y| = v y es tan pequea como quieras. Esto nos dice que el argumento principaltiene una discontinuidad en el eje real negativo: salta depi a pi cuando atravesamos dicho ejedesde el tercer al segundo cuadrante.

Peor todava dirs. Hasta cierto punto. Primero, la discontinuidad es inevitable. Si queremoselegir argumentos en un intervalo de longitud 2pi, digamos [, + 2pi[, entonces dichos argu-mentos saltan de a +2pi cuando atravesamos la semirrecta (x,y) = (cos,sen ), ( > 0). Enparticular, si tomamos argumentos en el intervalo [0,2pi[ (cosa que, a primera vista, parece lorazonable) nos encontramos con que entonces se produce una discontinuidad de dichos argu-mentos en el eje real positivo. Bien, sucede que la extensin a C de algunas funciones definidasenR+ (el logaritmo, las races) hace intervenir el argumentoprincipal. Naturalmente, queremosque dichas extensiones sigan siendo continuas en R+ y ello justifica que tengamos que tomarargumentos principales de la forma en que lo hemos hecho: porque preferimos introducir unadiscontinuidad en R a perder la continuidad en R+.

Frmula de DeMoivre

Veamos cmo la forma polar permite hacer fcilmente productos de nmeros complejos.Consideremos dos nmeros complejos no nulos escritos en forma polar.

z = |z |(cos+ isen)w = |w| (cos+ isen)

Entonces

zw = |z | |w|(cos+ isen)(cos+ isen) == |zw| [(coscos sensen )+ i(sencos+ cossen)] == |zw|(cos(+)+ isen(+))

Es decir: para multiplicar dos nmeros complejos se multiplican sus mdulos y se suman susargumentos.

As pues, el producto de dos nmeros complejos es geomtricamente un giro (pues se su-man los argumentos de los nmeros que estamosmultiplicando) seguido de una homotecia (elproducto de los mdulos de ambos nmeros).

Acabamos de ver que si z,wC, Arg(z) y Arg(w), entonces +Arg(z+w). Es ahorafcil demostrar mediante induccin la siguiente frmula, muy til, conocida como frmula deDe Moivre.

3.2 Proposicin (Frmula de DeMoivre). Si z es un complejo no nulo, es un argumento de z yn es un nmero entero, se verifica que nArg(zn), es decir:

zn =( |z |(cos+ i sen))n = |z |n (cosn+ isenn), Arg(z), nZ



Races de un nmero complejo 32

3.1.3. Races de un nmero complejo

Se trata ahora de resolver la ecuacin wn = z donde n es un nmero natural, n > 2, y z , 0 esun nmero complejo conocido. Escribamos w en forma polar:

w = |w| (cos+ isen)

Ahora, usando la frmula de De Moivre, podemos escribir la ecuacin wn = z en la forma equi-valente:

wn = |w|n (cosn+ isenn) = |z |(cos+ isen)Donde = argz. Esta igualdad se da cuando |w|n = |z | y n = + 2kpi donde k Z. Deducimosque |w|= n

|z | (ojo: se trata de la raz nsima de un nmero positivo, cosa ya conocida). Ahora

bien, para cualquier nmero k de la forma k = (+2kpi)/n tenemos un nmero complejo

wk =n|z |(cosk + isenk)

tal que (wk)n = z. Como una ecuacin polinmica de grado n no puede tener ms de n solucio-nes, se sigue que distintos valores de k deben dar lugar al mismo nmero wk. Veamos:

wk = wq kq = 2mpi kq = nm

Es decir, si k y q dan el mismo resto al dividirlos por n entonces wk = wq. Deducimos que parak = 0,1,2, . . . ,n1 obtenemos wk distintos y cualquier otro wq es igual a uno de ellos. Por tantohay n races nsimas distintas de z.

Hemos obtenido que las n races nsimas de z vienen dadas por

zk = |z |1/n(

cosargz+2kpi

n+ isen

argz+2kpin

)k = 0,1,2, . . . ,n1

Observa que definiendo u = cos(2pi/n)+ isen(2pi/n), los nmeros u0 = 1, u, u2, . . . ,un1 son las ra-ces nsimas de la unidad. Podemos escribir las races nsimas de z en la forma zk = z0 uk.Como multiplicar por u es un giro de amplitud 2pi/n, deducimos que las n races de z se ob-tienen girando la raz nsima principal, z0, con giros sucesivos de amplitud 2pi/n. Es decir, sirepresentamos todas las races nsimas de z obtenemos n puntos sobre una circunferencia decentro (0,0) y radio n

|z | que forman un polgono regular de n lados.

Figura 3.4: Races novenas de la unidad



Ejercicios 33

Deentre todas las races nsimas de z vamos a designar con el smbolo n

z a la raz n-simaprincipal, que est definida por

n

z = |z |1/n(

cosargz

n+ isen

argzn

)Observa que en el caso particular de que z sea un nmero real positivo, entonces la raz prin-cipal de z (considerado como nmero complejo) coincide con la raz de z (considerado comonmero real positivo).

En general no es cierto que dados dos nmeros complejos z y w entonces el producto de lasraces n-simas principales de z y de w sea igual a la raz n-sima principal de zw. Lo que s escierto es que el producto de dos races n-simas cualesquiera de z y de w es una raz n-sima dezw. Por tanto, n

z n

w, es una raz n-sima de zw pero no tiene por qu ser la principal.

Es fcil probar que

n

z n

w = n

zwpi < arg(z)+ arg(w) 6 pi arg(zw) = arg(z)+ arg(w)

Si Re z > 0 Rew > 0, entoncespi < arg(z)+ arg(w) < pi por lo que, en este caso, nz nw = nzw.Para n = 2,z = w =1, como arg(1) = pi, tenemos que

1 = cos(pi/2)+ isen(pi/2) = i

En este caso 1

1 = i i =1 ,

(1)(1) =

1 = 1

es decir11 = 1 es una raz cuadrada de 1 (porque 1 = (1)(1)) pero no es la raz

cuadrada principal de 1.

Ahora ya sabes dnde est el error en lo que sigue:

1 = i2 = i i = 11 =

(1)(1) =

1 = 1

3.2. Ejercicios

1. Realiza las operaciones indicadas y expresa el resultado en la forma a+ ib.

i) (72i)(5+3i) ii) (i1)3 iii) (1+ i)(2+ i)(3+ i) iv) 3+ i2+ i

v)(4 i)(13i)1+2i vi) (1+ i)

2 vii)1+2i2 i viii) i

2(1+ i)3

2. Calcula la parte real e imaginaria de las funciones:

a) f1(z) = z2 b) f2(z) = z3 c) f3(z) = 1z

d) f (z) = 11+ z2

e) f4(z) = z+ iz i

3. Calcula las siguientes cantidades.

a) |(1+ i)(2 i)| b) 43i2 i5

c) (1+ i)20 d) 2+ i(2+1)Universidad de GranadaDpto. de AnlisisMatemtico


Ejercicios 34

4. Calcula los nmeros complejos z tales que1+ z1 z es:

a) Un nmero real; b) Un nmero imaginario puro.

5. Expresa en forma polar los siguientes nmeros complejos.

a)

3 i b)

3+ i c) 33+ i

d)1+ i

3

(1+ i)2

6. Expresa los siguientes nmeros en la forma a+ ib:

a) (1+ i

3)11 b)(

1+ i1 i

)5c)

(1+ i

3

1 i

)6d) (

3+ i)13

7. Supuesto que |z |= 1, prueba que

arg(

z1z+1

)=

{pi/2 si Imz > 0pi/2 si Imz < 0

8. Resuelve la ecuacin cuadrtica az2 +bz+ c = 0 donde a,b,c, son nmeros complejos cono-cidos y a , 0.

9. Calcula todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) z3 = 1+ i b) z4 = i c) z3 =1+ i

3 d) z8 = 1 e) z2 +

32 i z6i = 0

10. Calcula las soluciones de las ecuaciones:

a) z4 +2z3 +7z218z+26= 0; b) z4 +(1+2i)z2+2i = 0

11. Demuestra la llamada igualdad del paralelogramo:

|z+w|2 + |zw|2 = 2(|z|2 + |w|2) (z,w C)

y explica su significado geomtrico.

12. Prueba que

za1az< 1 si |z |< 1 y |a|< 1 y tambin si |z |> 1 y |a|> 1.

Sugerencia: Una estrategia bsica para probar desigualdades entre mdulos de nmeroscomplejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.

13. Sea x un nmero real que no es mltiplo entero de 2pi. Prueba las igualdades

a) 1+ cosx+ cos2x+ + cosnx = cos(n

2x) sen(n+12 x

)sen( x

2

)

b) senx+ sen2x+ + sennx = sen(n

2x) sen(n+12 x

)sen( x

2

)Sugerencia: Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, calcula A+ iB haciendo usode la frmula de DeMoivre.



Funciones elementales complejas 35

14. Haciendo uso de la frmula de DeMoivre prueba que:

a) sen3 = 3 sen4 sen3;b) cos4 = 8 cos48 cos2+1.

15. Representar grficamente los conjuntos de nmeros complejos z que verifican:

|z3| 6 3; 2 < |z i| 6 3; |argz|< pi/6; |z i|+ |z+ i|= 4|z1|= |z2i| ;

z iz+2i= 2; Im(z2)> 6; |z i|= Imz+1

3.3. Funciones elementales complejas

Las funciones complejas no sonms que las funciones definidas en subconjuntos deR2 convalores en R2 cuando en R2 consideramos su estructura compleja. Dado un conjunto A C, atoda funcin compleja f : A C se le asocian dos funciones reales: la funcin u = Re f partereal de f y la funcin v = Im f parte imaginaria de f definidas para todo (x,y) = x+ iy A por:

u(x,y) = Re f (x+ iy), v(x,y) = Im f (x+ iy)

Naturalmente, f (x+ iy) = u(x,y)+ iv(x,y).

3.3.1. La funcin exponencial

Definimos1 la exponencial compleja de un nmero z = x+ iy como

ex+i y = exp(x+ iy) = ex(cosy+ iseny

)Observa que

|ez |= eRez, ImzArg(ez)

En particular, obtenemos la llamada frmula de Euler :

eit = cost + isent (para todo t R)

que establece una relacin entre la exponencial compleja y las funciones trigonomtricas. Dela frmula de Euler se deducen fcilmente las llamadas ecuaciones de Euler :

cost =eit +eit

2, sen t =

eit eit2i

(tR)

Se prueba fcilmente que ez+w = ez ew para todos z,wC. Se deduce que para todo zC ytodo kZ es

ez = ez+2kpii

Lo que nos dice que la exponencial compleja es una funcin peridica con perodo 2pii. Natu-ralmente, esto supone una gran diferencia con la exponencial real que es una funcin inyectiva.Observa que la exponencial no se anula nunca pues |ez |= eRez > 0.

1Ms adelante veremos la justificacin de esta definicin.



Logaritmos complejos 36

3.3.2. Logaritmos complejos

Dado un nmero complejo z , 0, hay infinitos nmeros complejos w que satisfacen la ecua-cin ew = z. Cualquiera de ellos se llama un logaritmo de z. El conjunto de todos ellos lo repre-sentaremos por Logz y es el conjunto:

Logz = {log |z |+ i(arg(z)+2kpi),kZ}

De entre todos ellos elegimos uno, llamado logaritmo principal, definido por

logz = log |z |+ iarg(z) para todo z C

Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma log(z)+ i2kpi para algn entero k. Esimportante que observes que la igualdad

logzw = logz+ logw

que es vlida para los logaritmos de los nmeros reales positivos, no es siempre cierta paranmeros complejos. Por ejemplo:

log(

ei2pi/3)= i

2pi3 , log

(ei3pi/4

)= i

3pi4, log

(ei2pi/3 ei3pi/4

)= log

(ei17pi/12

)= log

(ei7pi/12

)=i 7pi

12

Lo que est claro es que el nmero logz+ logw Log(zw), es decir, logz+ logw es un logaritmode zw pero no tiene por qu ser el logaritmo principal de zw.

3.3.3. Potencias complejas

Recuerda que dados dos nmeros reales a > 0 y bR, la potencia de base a y exponente b sedefine como ab = eb loga. Ahora, dados a,b C, con a , 0, sabemos que hay infinitos logaritmosde a, todos ellos son de la forma loga+ i2kpi, con kZ. Por ello, cualquier nmero complejo dela forma eb(loga+i2kpi) donde kZ, es una potencia de base a y exponente b. Representamos por[ab] el conjunto de todas ellas.

[ab] ={

eb(loga+i2kpi) : kZ}

Se destaca una:ab = eb loga

que se llama valor principal de la potencia de base a y exponente b. Observa que si b = 1/ndonde nN, el nmero

a1/n = exp(

1n

loga)= exp

(loga

n+ i

argan

)= |z |1/n

(cos

argan

+ isenarga

n

)es el valor principal de la raz n-sima de a que antes hemos notado por n

a.

3.4. Ejerccios

1. Expresa los 8 nmeros 1 i, 3 i en la forma r ei.



Ejerccios 37

2. Calcula el mdulo y los argumentos principales de los nmeros

1+ ei, 1 ei, aei

donde || 6 pi y a > 0.

3. Calcula logz y Logz cuando z es uno de los nmeros siguientes

i,i, e3, e5i, 4,5e, 1+ i

4. Calcula log(3i)+ log(1+ i3) y log(3i(1+ i3)).5. Calcula log(1 i) logi y log

(1 ii

).

6. Calcula[(4)i], i3i, [i2/pi], [i i], 12i, 31i, ((i)i)i, (1+ i)1+i

7. Estudia, para zC y nN, las igualdades:

a) log(exp(z)) = z ; b) exp(log(z)) = z ; c) log( n

z) =log(z)

n; d) log(zn) = n log(z).

8. Explica con detalle dnde est el error en las igualdades siguientes:

i = (1)1/2 = [(1)3]1/2 = (1)3/2 = i3 =i



Leccin4

Continuidad

Introduccin

Paramotivar la definicin que vamos a dar de continuidad, consideremos una ley fsica de laforma P = f (V ), que relaciona los valores de una variable independiente V (podemos pensarque es el volumen de un gas) con otra variable dependiente P (podemos pensar que es lapresin). Si queremos usar dicha ley, hemos demedir un valorVo de la variableV , y es inevitableque al hacerlo cometamosalgn error el cual, naturalmente, influye en el correspondiente valorde P, que ya no ser exactamente igual a Po = f (Vo). Surge as la pregunta natural: de qu formael error en la medida deV afecta al valor resultante de P? Es claro que si para valores deV muyprximos aVo obtengo valores de P muy diferentes entre s, la ley f que relacionaV con P notendr ninguna utilidad prctica.

Puesto que los errores de medida son inevitables, no es razonable tratar de obtener el ver-dadero valor Po. Lo que s puede hacerse es fijar una cota de error admisible para P (la cualdepender de cada situacin concreta); llamemos a dicha cota, ( > 0), y tratar de obtenerotra cota de error , ( > 0), de tal forma que siempre que midamos Vo con un error menorque tengamos la seguridad de que el valor resultante para P se diferencia de Po en menos que. Esto es, | f (V ) f (Vo)|< siempre que |V Vo|< . Cuando esto efectivamente pueda hacersepara cualquier cota de error > 0 decimos que la ley f es continua en Vo. Observa que cabeesperar que la cota de error dependa del > 0 fijado en cada caso, y tambin deVo.

Las ideas anteriores conducen, de forma natural, a la definicin matemtica de continui-dad. En todo lo que sigue, la letra A representar un conjunto no vaco de nmeros reales. Enla prctica A ser siempre un intervalo o una unin de intervalos. Recuerda que la notacinf : A R quiere decir que f es una funcin real cuyo dominio es A. Es muy importante advertirque A no tiene por qu coincidir con el dominio natural de la funcin. Esto es as porque confrecuencia estamos interesados en estudiar propiedades de una funcin en una parte de su do-minio natural. Adems, la continuidad de f depende tanto de la regla que la define como delconjunto en donde estamos trabajando. Enseguida pondremos ejemplos para aclarar esto.

38

Propiedades bsicas de las funciones continuas 39

4.1 Definicin (Continuidad en un punto). Una funcin f : A R se dice que es continua enun punto aA si, para cada nmero > 0, se puede encontrar un nmero > 0 (que, en general,depender de y de a) tal que para todo xA con |xa|< se verifica que | f (x) f (a)|< .

La definicin anterior suele escribirse, con abuso del formalismo lgico, de la siguiente forma:

R+ R+ : |xa|< xA

}= | f (x) f (a)|<

Observa cmo en esta definicin el conjunto A tiene mucho protagonismo: slo se consideranlos valores de f en A, lo que le pueda pasara a f fuera de A no nos interesa.

Se dice que f es continua en un subconjuntoC A, si f es continua en todo punto deC.No suele ser tarea fcil demostrar que una funcin dada es continua. Generalmente, lo que

se hace es descomponer la funcin que queremos estudiar en otras ms sencillas cuya con-tinuidad ya es conocida previamente. Es por ello interesante saber qu tipo de operacionesrealizadas con funciones continuas conducen a nuevas funciones continuas.

4.1.1. Propiedades bsicas de las funciones continuas

4.2 Teorema. Sean f , g funciones reales definidas en A. Se verifica que:

1. Las funciones f +g y f g son continuas en todo punto de A en el que las dos funciones f y gsean continuas. En particular, las funciones suma y producto de funciones continuas son

funciones continuas.

2. Si g(x) , 0 para todo xA, la funcin 1ges continua en todo punto de A en el que g sea con-

tinua. En consecuencia, la funcin cociente de dos funciones continuas cuyo denominador

no se anula nunca es una funcin continua.

Las propiedades anteriores no son difciles de demostrar y, sin embargo, son de gran utilidad.

4.3 Corolario. Las funciones racionales son funciones continuas.

De hecho, todas las funciones elementales que conoces son continuas en sus dominios na-turales de definicin.

Adems de sumar y multiplicar funciones, tambin sabemos componerlas. Veamos cmose comporta la continuidad respecto de la composicin de funciones.

4.4 Teorema (Continuidad de una funcin compuesta). Sean f : A R y g : B R funcionestales que f (A) B. Supongamos que f es continua en un punto aA y que g es continua en elpunto f (a). Entonces la funcin compuesta g f : A R es continua en el punto a. En particular,si g es continua en f (A), entonces g f es continua en todo punto de A en el que f sea continua.Ms en particular, la composicin de funciones continuas es una funcin continua.

Demostracin.Dado > 0, por la continuidad de g en f (a), existe > 0 tal que para todo yBcon |y f (a)| < se tiene que |g(y) g( f (a))| < . Ahora, por la continuidad de f en a, existe



Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo 40

> 0 tal que para todo xA con |x a| < se tiene que | f (x) f (a)| < . Deducimos as que|g( f (x)) g( f (a))| < para todo x A con |x a| < . Es decir, la funcin compuesta g f escontinua en a.

La continuidad de una funcin en un punto permite obtener informacin sobre el compor-tamiento de la funcin en los puntos prximos al mismo. Estos resultados se llaman locales.

4.5 Teorema (Conservacin local del signo). Sea f : A R continua en un punto aA conf (a) , 0. Entonces hay un nmero r > 0 tal que para todo x A con |x a| < r se verifica quef (x) f (a) > 0. (Es decir, f es positiva (si f (a)> 0) o negativa (si f (a)< 0) en todos los puntos de unentorno de a)

Demostracin. Supondremos que f (a) > 0. Podemos entonces tomar = f (a)/2 para obtener,en virtud de la continuidad de f en a, un r > 0 tal que para todo xA con |x a|< r se verificaque | f (x) f (a)|< f (a)/2, lo que implica que f (x)> f (a)/2 > 0. El caso en que f (a)< 0 se reduceal anterior sin ms que sustituir f por f .

4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo

Si ahora mides 175cms. y hace 10 aos medas 135cms., es seguro que en algn momentointermedio medas con exactitud 161cms. Si una entrada de cine cuesta 5 euros y hace 3 aoscostaba 4 euros, es seguro que en algn momento ir al cine costaba exactamente 4,99 euros.Seguro? No, a ningn empresario de cine le parecera bien cobrar 4,99 euros por la entrada.

La diferencia est en que la talla de una persona es una funcin continua del tiempo y parapasar de 135cms. a 175cms. tiene que pasar por todos los valores intermedios, pero el precio delas entradas de cine no vara de forma continua con el tiempo y puede pasar de golpe de 4,5euros a 5 euros.

La grfica de una funcin continua en un intervalo, f : [a,b] R , la imaginamos como unacurva continua, por ello, si f (a)< 0 < f (b), la grfica de f tiene que atravesar el eje x para pasarde un punto situado por debajo de l a otro que se encuentra por encima y, por tanto, f tieneque anularse en algn punto entre a y b. Esto es precisamente lo que afirma el conocido teoremaque sigue.

4.6 Teorema (Teorema de los ceros de Bolzano). Toda funcin continua en un intervalo quetoma valores positivos y negativos se anula en algn punto de dicho intervalo.

Lo primero que llama la atencin en este teorema es su evidencia. No est dems a este res-pecto recordar que, como deca Bertrand Russell, en matemticas la evidencia es enemiga dela correccin. Precisamente, el mrito de Bernard Bolzano (1781-1848) est en haber llamadola atencin sobre la necesidad de demostrar muchas proposiciones, aparentemente evidentes,que se refieren a las funciones continuas. Podemos aadir, adems, que suele ser particular-mente difcil demostrar matemticamente lo que nuestra intuicin presenta como evidente;de hecho, con las herramientas que tenemos hasta ahora no podemos demostrar el teorema.

La funcin f (x) = x2 2 es continua y f (0) < 0 < f (2), el teorema de Bolzano asegura que



Teorema de Bolzano. Supremo e nfimo 41

existe un nmero positivo en el que f se anula. En otras palabras, el teorema prueba la exis-tencia del nmero

2 y, como dicho nmero no es racional, deducimos que para probar el

teorema se p

Perez Calculo1

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