PLAN DE CURSO 0. DATOS DE IDENTIFICACIÓN 0809 III...
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PLAN DE CURSO 0. DATOS DE IDENTIFICACIÓN Programa académico Administración Financiera Código 0809 Semestre III Campo de formación Básica Núcleo de formación Ciencias básicas Curso Álgebra Lineal Código 0701567 Créditos académicos 4 Número Total de Horas 192 Horas de Trabajo Orientado 32 Horas de Trabajo Independiente 160 Horas de Trabajo Semanal 12 Proyecto de investigación formativa ¿Cuál ha sido la evolución de las empresas desde su ciclo de vida en los diferentes sectores económicos asociados a los entornos regionales? Línea de investigación: Cultura y calidad de vida Sublínea de investigación: Desarrollo regional sostenible 1. JUSTIFICACIÓN El presente curso de Álgebra Lineal, es de importancia fundamental en el campo de la administración financiera aplicada. Una gran variedad de problemas y aplicaciones pueden ser resueltos con conocimientos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Su aplicación específica se encuentra en casi todas las áreas de formación profesional del administrador financiero tales como: Valoración de inventarios, producción, costo de transporte, costo de materias primas, punto de equilibrio, oferta y demanda, inversiones etc. Se pretende entonces, afianzar dichos procesos desde propuestas metodológicas consecuentes con los contextos y las necesidades de los educandos, con el fin de encaminarlos a una comprensión significativa de conceptos que los lleve a un razonamiento aplicado en la resolución de problemas en los que intervienen cálculos financieros y al desarrollo de habilidades pertinentes para enfrentar las diferentes situaciones del diario vivir. El curso de álgebra lineal como cualquier otro curso, debe realizarse reconociendo que el estudiante aprende interactuando en su entorno y tomando de él los elementos esenciales que le sirven para dar respuesta a problemas de costos, análisis insumo-producto, etc. En este sentido, los fenómenos y los objetos de la naturaleza le aportan la información inicial que conforma lo que llamamos "saber previo", “experiencias”, “concepciones”, “conocimiento natural”, entre otros, facilitando así el aprendizaje para lograr un buen desempeño tanto laboral, académico y profesional. Para el desarrollo del curso de álgebra lineal ahora juega un papel muy importante el uso de la tecnología, pues el estudiante refuerza más sus conocimientos resolviendo los problemas mediante programas apropiados que fortalecen incluso competencias de
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PLAN DE CURSO
0. DATOS DE IDENTIFICACIÓN
Programa académico Administración Financiera
Código 0809
Semestre III
Campo de formación Básica
Núcleo de formación Ciencias básicas
Curso Álgebra Lineal
Código 0701567
Créditos académicos 4
Número Total de Horas 192
Horas de Trabajo Orientado 32
Horas de Trabajo Independiente 160
Horas de Trabajo Semanal 12
Proyecto de investigación formativa ¿Cuál ha sido la evolución de las empresas desde su ciclo de vida en los diferentes sectores económicos asociados a los entornos regionales?
Línea de investigación: Cultura y calidad de vida Sublínea de investigación: Desarrollo regional sostenible
1. JUSTIFICACIÓN El presente curso de Álgebra Lineal, es de importancia fundamental en el campo de la administración financiera aplicada. Una gran variedad de problemas y aplicaciones pueden ser resueltos con conocimientos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Su aplicación específica se encuentra en casi todas las áreas de formación profesional del administrador financiero tales como: Valoración de inventarios, producción, costo de transporte, costo de materias primas, punto de equilibrio, oferta y demanda, inversiones etc. Se pretende entonces, afianzar dichos procesos desde propuestas metodológicas consecuentes con los contextos y las necesidades de los educandos, con el fin de encaminarlos a una comprensión significativa de conceptos que los lleve a un razonamiento aplicado en la resolución de problemas en los que intervienen cálculos financieros y al desarrollo de habilidades pertinentes para enfrentar las diferentes situaciones del diario vivir. El curso de álgebra lineal como cualquier otro curso, debe realizarse reconociendo que el estudiante aprende interactuando en su entorno y tomando de él los elementos esenciales que le sirven para dar respuesta a problemas de costos, análisis insumo-producto, etc. En este sentido, los fenómenos y los objetos de la naturaleza le aportan la información inicial que conforma lo que llamamos "saber previo", “experiencias”, “concepciones”, “conocimiento natural”, entre otros, facilitando así el aprendizaje para lograr un buen desempeño tanto laboral, académico y profesional. Para el desarrollo del curso de álgebra lineal ahora juega un papel muy importante el uso de la tecnología, pues el estudiante refuerza más sus conocimientos resolviendo los problemas mediante programas apropiados que fortalecen incluso competencias de
manejo técnico y pertinente sobre programas de software tales como Matlab, Derive y Excel. 2. INTENCIONALIDAD FORMATIVA Propósito general Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico, manejando con fluidez los principales conceptos del álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones para plantear y solucionar problemas relacionados con las ciencias económicas, administrativas y contables. Propósitos específicos
• Definir los elementos necesarios para concebir, construir y solucionar modelos matemáticos que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
• Identificar la estructura de espacio vectorial en diferentes contextos y sus propiedades comunes o específicas.
• Identificar un sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L) y escribir su matriz asociada. • Desarrollar una sólida comprensión de los conceptos, procesos y estrategias
básicas del álgebra lineal para utilizarlos en la resolución de problemas. • Utilizar recursos tecnológicos como apoyo en el proceso de conceptualización y en
la resolución de ejercicios. • Resolver problemas de aplicación cuya solución requiera de la utilización de
matrices y/o sistemas de ecuaciones lineales.
3. CONTENIDOS FORMATIVOS 3.1. Eje problémico ¿De qué manera los fundamentos teóricos del álgebra lineal contribuyen al planteamiento y solución de problemas concretos presentes en la evolución del ciclo de vida de las empresas? La capacidad para plantear y resolver problemas es la mayor dificultad presentada por los estudiantes, por lo tanto esta debe ser una de las prioridades del curso de álgebra lineal. El plan de curso garantiza que los estudiantes desarrollen estrategias para resolver problemas de carácter matemático, bien sea en el campo mismo del álgebra o en otros ámbitos relacionados con ella. También es importante desarrollar un espíritu reflexivo acerca del proceso que ocurre cuando se resuelve un problema o se toma una decisión. A través del uso de algunos programas tales como el Derive, Excel, Descartes y todos los que tengan que ver con matrices, determinantes y vectores, aprovechando el fácil manejo computacional, el estudiante de administración financiera se afianza en los conceptos y la aplicación en los sistemas de ecuaciones lineales contribuyendo así al desarrollo del pensamiento analítico, generando una actitud favorable hacia el álgebra estimulando su estudio. 3.2. Unidades de aprendizaje
4. ESTRATEGIAS FORMATIVAS 4.1. Estrategias pedagógicas y didácticas La estrategia pedagógica que se apropia para el curso es el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) y como estrategia didáctica el proceso formativo se lleva a cabo mediante el desarrollo de actividades de aprendizaje, tales como, estudio independiente y acompañamiento tutorial. Se entiende como estudio independiente las actividades que el
Unidades Problemas Conocimientos
1.Matrices y álgebra de Matrices
¿Cuál es la utilidad de la multiplicación de matrices en la solución de los diferentes cálculos financieros?
Concepto de matriz Notación Clasificación de las matrices Adición y sustracción de matrices Producto por un escalar Producto de matrices Potencias de una matriz cuadrada La matriz inversa
2.Determinantes ¿Qué es un determinante y qué importancia tiene en la solución de un sistema de ecuaciones?
Definiciones Cálculo de determinantes Propiedades de los determinantes Método de determinantes para
resolver sistemas de ecuaciones lineales
3.Sistemas de ecuaciones lineales
Para solucionar un sistema de ecuaciones ¿Cómo se deben Organizar los datos en una matriz?
Concepto de sistemas de ecuaciones
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Por eliminación Gauss-Jordán Por la matriz inversa Por el método de cramer
4.Aplicaciones generales de las
matrices
¿De qué manera las aplicaciones de matrices contribuyen al trabajo del administrador financiero?
Análisis insumo- producción costo de transporte costo de materias primas punto de equilibrio inversiones
5.Vectores ¿Qué aplicaciones tienen los vectores en los problemas financieros y económicos?
Definición Operaciones álgebraicas con
vectores Propiedades de los vectores Producto escalar Producto vectorial Ángulo entre vectores Dirección de un vector Combinación lineal
estudiante realiza en forma completamente individual y las actividades de trabajo en pequeños grupos colaborativos. El acompañamiento tutorial comprende tutorías de carácter individual, tutorías en pequeños grupos colaborativos y tutorías de grupo de curso. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. Actividades no presenciales: • Se realizarán consultas bibliográficas referentes a los temas propuestos para cada unidad de aprendizaje. • Por CIPAS dará respuesta a las preguntas generadoras planteadas para cada unidad de aprendizaje, y que sirven como insumo complementario que promueve la reflexión y el análisis. • En colectivo interpreta y se formula la solución sobre ejercicios y problemas contextualizados que se plantean en la guía de aprendizaje. • Con las respuestas de las preguntas generadoras elaboran una red conceptual, que será socializada en el encuentro presencial. • Por CIPAS resolverán ejercicios y problemas referentes a la unidad de aprendizaje, usando textos guías y sitios virtuales. Actividades presenciales: • En el encuentro tutorial se abordara los resultados del trabajo independiente para la socialización con el grupo, lo que determina el intercambio de experiencias y presentación de posibles soluciones a las problemáticas planteadas • Se desarrollaran actividades que logren integrar los conocimientos alcanzados en el trabajo no presencial, permitiendo con esto la contextualización y soluciones para el logro de las competencias planteadas en el curso. • Las actividades tendrán un acompañamiento con materiales propuestos por el tutor quien realizara retroalimentación permanente a cada CIPA. • Por CIPAS los estudiantes elaboran un mapa conceptual sobre los temas correspondientes para cada unidad de aprendizaje. 4.2. Articulación con el proceso de investigación formativa El curso de Álgebra Lineal brinda al estudiante de administración financiera, herramientas para la comprensión de conceptos y el razonamiento aplicado en la resolución de problemas en los que intervienen cálculos financieros fundamentales para abordar el proyecto de investigación ¿Cuál ha sido la evolución de las empresas desde su ciclo de vida en los diferentes sectores económicos asociados a los entornos regionales? 5. EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN 5.1. Competencias: criterios y estrategias de valoración El curso de Álgebra Lineal en Administración Financiera permite alcanzar competencias básicas como las interpretativas, argumentativas y propositivas
Estrategias de valoración: Para evaluar el desempeño del estudiante se tendrá en cuenta:
• En cada tutoría se evaluará el tema visto en la anterior.
Competencias Criterios de valoración
Saber ser Saber conocer Saber hacer
Elabora algoritmos como un recurso de apoyo para resolver
problemas del ámbito
Profesional y cotidiano
Asume una actitud crítica en los
problemas en los que interviene la
aplicación de algoritmos
Identifica las
características de los algoritmos
Obtiene algoritmos
para solucionar problemas del
ámbito profesional y cotidiano
Habilidad para usar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el
cálculo de la inversa de una matriz.
Establece la
relación entre el valor del
determinante de una matriz con la
existencia de la inversa de la misma.
Comprende la relación existente
entre el determinante y la inversa de una
matriz
Aplica los diferentes métodos de solución
existentes para hallar el
determinante
Capacidad para el
análisis, interpretación y
modelación matemática de
problemas
valora el manejo de razonamientos implícitos en los
procesos álgebraicos como una herramienta
que permite ejercer una actitud crítica
analiza problemas matemáticos y sintetiza los
resultados
Aplica las distintas estrategias
metodológicas de los sistemas de ecuaciones en
problemas relacionados con la
especialidad
Capacidad para resolver problemas
de aplicación mediante el uso de
matrices
Justifica los resultados
obtenidos en la solución de los problemas de
aplicación
Comprende el uso de las matrices en la
solución de los problemas de
aplicación
Interpreta los resultados
obtenidos en la solución de problemas
aplicando matrices
Habilidad en el uso de las nuevas tecnologías en
problemas relacionados con los
vectores
adopta una actitud motivadora y
colabora en equipo para lograr mejores resultados a nivel
grupal utilizando las
nuevas tecnologías
Reconoce la importancia del uso
de las nuevas
tecnologías en la solución de los
diferentes problemas
Aplica las nuevas tecnologías en la
solución de problemas
Relacionados con vectores
• las aptitudes y actitudes de los estudiantes en el desarrollo de las actividades, trabajos, tareas, entre otros.
• Los estudiantes deben preparar previamente el tema de cada clase, para hacer una clase más participativa y dar la oportunidad de hacer un mayor número de preguntas en los tópicos que más se dificulten.
• Ejercicios dentro y fuera de clase sobre cada uno de los temas y se dedica tiempo a la corrección de los mismos.
• Desarrollo de talleres de ejercicios sobre los temas teóricos tratados en el curso. • Elaboración de talleres de temas específicos, utilizando ayudas tecnológicas que
faciliten el desarrollo del curso. • Realización de quices como parte de la evaluación continua
5.2. Acreditación • Evaluación permanente. Corresponde al proceso de evaluación de las actividades desarrolladas durante el trabajo de un curso académico. La nota obtenida en este proceso tendrá un valor del 60% de la acreditación del curso. • Convocatorias. Corresponden a las pruebas evaluativas realizadas con el propósito de apoyar y complementar la evaluación permanente. Se realizaran dos convocatorias en fechas previamente determinadas: Convocatoria 1. Tiene un valor del 40% de la acreditación del curso. Cuando el estudiante no haya realizado la evaluación permanente y se presente a la primera convocatoria ésta tendrá un valor del 100% de la acreditación del curso. Convocatoria 2. Tiene un valor del 50% y la podrán presentar los estudiantes que no aprobaron o no se presentaron a la convocatoria 1. Si el estudiante no se ha presentado a la evaluación permanente ni a la Convocatoria 1, la Convocatoria 2 tendrá un valor del 100%. 6. MATERIAL DE TRABAJO 6.1. Material básico Arya, J.C y Lardner, R. (1989). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. (3ª Ed.). Ed. Prentice Hall. México. Capítulos 4, 8 y 9. Herstein, I.N. Winter, David J (1990) Álgebra lineal y teoría de matrices. México: Grupo editorial iberoamericana. Kleiman, A. de Kleiman, Elena. (1973) Matrices, aplicaciones matemáticas en economía y administración. México: Limusa. Kolman, Bernard. (1999)Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. (6° edición) México: Editorial Prentice-hall. Nakos, G y Joyner, D (1999) Álgebra lineal con aplicaciones. México: Thomson editores. Soler, F.F; Molina, Fabio; Rojas, Lucio;(2003) Álgebra lineal y programación lineal con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras.(1°edicion)Bogotá: ecoe ediciones. 6.2. Material complementario Carbo, C. Ramón, Pascual, LL. (1987) Álgebra matricial y lineal. Madrid: Mc. Graw Hill.
Lang, Serge. (1990) Introducción al álgebra lineal. New york: Editorial educativa. 7. ELABORACIÓN, REVISIÓN Y APROBACIÓN
Versión Fecha Descripción Autor(es)
16-12-2013 Julio Alfonso Solanilla Varon
GUÍA DE APRENDIZAJE
IDENTIFICACIÓN
Programa académico Administración Financiera
Código 0809
Semestre III
Curso Álgebra Lineal
Código 0701567
Autor o Autores Julio Alfonso Solanilla Varón
PRESENTACIÓN
La guía de aprendizaje le brinda al estudiante de Administración Financiera las herramientas básicas generales y específicas que le permiten una aproximación a la construcción conceptual y a la interpretación de modelos matemáticos, compresión de resultados y análisis gráficos de situaciones referentes a funciones matemáticas generales y específicas de:
Costos, ingresos, egresos, valoración de inventarios, punto de equilibrio, utilidades, oferta y demanda, y las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones en las ciencias económicas y administrativas.
De acuerdo con los anteriores aspectos el curso de Álgebra Lineal formara parte integral para ser competente en:
Modelar y resolver problemas empresariales que conducen a sistemas de ecuaciones lineales e Interpretar las soluciones como base para la toma de decisiones que asignan los recursos en la empresa.
Comprender y clasificar los problemas empresariales a los cuales se ven enfrentados los administradores en el día a día.
Comprender los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento.
Conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones más específicas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas operaciones que con ellas puede
realizar y que le permitirán utilizar herramientas como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver a futuro sistemas lineales.
Capacidad para la resolución de problemas y tomar decisiones en su ámbito laboral.
Capacidad de analizar y aplicar las técnicas de planificación, organización y evaluación de sistemas, proyectos, unidades y servicios dentro del área de su gestión
CONTENIDOS FORMATIVOS
Eje problémico:
¿De qué manera los fundamentos teóricos del álgebra lineal contribuyen al planteamiento y solución de problemas concretos presentes en la evolución del ciclo de vida de las empresas?
Descripción
El Álgebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas.
El estudio de los sistemas lineales es importante debido a que un buen número de problemas de las ciencias económicas pueden ser representados por ecuaciones lineales, es decir, por relaciones proporcionales entre variables. La Teoría de Matrices, por su parte, además de permitir la solución de los modelos lineales, facilita el manejo ordenado y sistemático de un sinnúmero de datos que cada día se generan en la empresa.
Red de problemas
Preguntas generadoras
¿Entre matrices y determinantes hay diferencias? ¿Cuáles son?
¿Qué operaciones se pueden definir con matrices? ¿Cuál es el proceso para cada caso?
¿Qué transformaciones elementales se pueden hacer sobre una matriz?
¿Qué significado tiene la inversa de una matriz?
Dada una matriz, ¿existe siempre su matriz inversa?
¿En qué consiste un sistema de ecuaciones lineales?, ¿Para qué sirve?
¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones aplicando matrices?
¿En qué consiste el método de eliminación de Gauss?
¿Cuál es la diferencia entre el método de eliminación de Gauss y el método de eliminación de Gauss-Jordan?
Explique ¿qué representa el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales?
¿Cuál es la historia del determinante y cuáles han sido sus aplicaciones en las ciencias económicas?
EJE PROBLEMICO
De qué manera los fundamentos teóricos del álgebra lineal contribuyen al
planteamiento y solución de problemas concretos presentes en la evolución del
ciclo de vida de las empresas?
¿Cuál es la
utilidad de la
multiplicación de matrices en la
solución de los diferentes
cálculos
financieros?
Para solucionar un
sistema de
ecuaciones
¿Cómo se deben
Organizar los
datos en una
matriz?
¿Qué es un
determinante y
qué importancia
tiene en la
solución de un
sistema de
ecuaciones?
¿De qué manera
las aplicaciones
de matrices
contribuyen al
trabajo del
administrador
financiero?
¿Cuándo se
puede concluir
que dos vectores
son linealmente independientes?
¿Cómo
podemos
multiplicar
matrices y
aplicarlas en
un problema
financiero?
¿Cómo
podemos
resolver un
problema
financiero
aplicando
sistemas de
ecuaciones?
¿Cómo
contribuyen
los sistemas
de
ecuaciones
en la solución
de problemas
de
aplicación?
¿Cómo
influyen los
problemas de
aplicación en
las labores
diarias del
administrador
financiero?
¿Cómo aplicar
la
independencia
lineal de
vectores en los
problemas
financieros?
¿Qué métodos conoce para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
¿Conoces ejemplos prácticos de la vida real de Sistemas de Ecuaciones Lineales?
¿Qué conceptos del álgebra lineal son necesarios para dar solución a un problema específico?
¿De qué manera el álgebra lineal aporta a la solución de problemas de las ciencias administrativas, económicas y contables?
¿Cómo seleccionaría una teoría para la aplicación adecuada a situaciones concretas?
¿Un conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales es L.D.?
Los vectores linealmente dependientes, ¿qué subespacio generan (geométricamente) (Dos, tres o más de ellos)?
¿Un vector aislado (sin relacionarlo con ningún otro), es un vector linealmente independiente?
¿En que difiere un vector de un escalar?
¿Cuándo un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores?
¿Qué aplicaciones tienen los vectores en la economía?
UNIDADES DE APRENDIZAJE
Unidad de aprendizaje 1: Matrices y álgebra de matrices
Introducción
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por James Joseph Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático William Rowan Hamilton en 1853. En 1858, Arthur Cayley, introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física
La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,…
En esta unidad estudiaremos el concepto de matriz, clases, operaciones y como se utilizan en administración financiera.
Competencias
Elabora algoritmos como un recurso de apoyo para resolver problemas del ámbito Profesional y cotidiano.
Entender las diferentes operaciones entre matrices y ser capaz de expresar en forma matricial un conjunto grande de datos y de variables.
Criterios de valoración
Asume una actitud crítica en los problemas en los que interviene la aplicación de algoritmos
Identifica las características de los algoritmos
Obtiene algoritmos para solucionar problemas del ámbito profesional y cotidiano
Problema
¿Cuál es la utilidad de la multiplicación de matrices en la solución de los diferentes cálculos financieros?
Preguntas generadoras:
¿Entre matrices y determinantes hay diferencias? Cuáles son?
¿Qué operaciones se pueden definir con matrices? ¿Cuál es el proceso para cada caso?
¿Qué transformaciones elementales se pueden hacer sobre una matriz?
¿Qué significado tiene la inversa de una matriz?
Dada una matriz, ¿existe siempre su matriz inversa?
Red Conceptual
MATRICES.
Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y n columnas (verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes.
La notación más usada es A = [a ij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la columna.
Matrices Definición
Clasificación
Operaciones
Suma Resta Multiplicación División
Escalar Nula Unitaria
Cuadradas Triangulares
Transpuesta
El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn”
A=[
𝑎11 𝑎12 − 𝑎1𝑛
𝑎21
−𝑎𝑚1
𝑎22 − 𝑎2𝑛
− − −𝑎𝑚2 − 𝑎𝑚𝑛
]
𝑚∗ 𝑛
Ejemplo B=[3 254
−11
]
3 𝑥 2
Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.
Diagonal principal: Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los elementos a tales que i = j
Traza de una matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal.
Traz (A) =𝑎11 + 𝑎22 + 𝑎33 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛
TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n.
A=[2 5 −3 6]
Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1.
A=[
3−425
]
Matriz cuadrada: Es una matriz en donde m = n, es decir el número de filas es igual al número de columnas.
Matriz nula: Es una matriz cuyos elementos son todos “0”
A=[0 00 0
]
Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0
Cuando i > j.
A=[2 3 500
1 40 6
]
Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0
Cuando i < j.
A=[3 0 021
4 06 5
]
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij =0
Cuando i ≠ j.
A=[2 0 000
4 00 3
]
Matriz escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = k (k ≠ 0)
Cuando i = j
A=[4 0 000
4 00 4
]
Matriz identidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = 1
Cuando i = j
𝐼1 = [1 00 1
] 𝐼2 = [1 0 000
1 00 1
] 𝐼3 = [
1 0 0 0000
1 0 00 1 00 0 1
]
Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada en donde aij= aji para i ≠ j.
A=[3 −1 4
−14
5 22 6
]
Matriz anti simétrica: Es una matriz cuadrada en donde aij= -aji para i ≠ j. y aij=0 para i=j.
A=[0 −3 −63
−60 2
−2 0]
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es – A = – [aij] = [-aij]
𝐀 = [2 −5
−4 3] − 𝐀 = [
−2 54 −3
]
Matriz traspuesta: Sea A= [aij] de orden m x n su traspuesta se obtiene permutando las
filas con las columnas y se denota A´ o At= [aji] y es de orden n x m.
A = [2 −3 48 6 −5
]2x3
At = [2 8
−34
6−5
]
3x2
Suma de matrices: Sean las matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando “elemento a elemento” A+B = [aij + bij ] y es del mismo tamaño. Observación: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.
Si tenemos:
A = [4 −5
−2 3]2𝑥2
B = [5 34 −2
]2𝑥2
C = [6 3 −45 4 −3
]2𝑥3
D = [−4 5 7−3 2 −2
]2𝑥3
Entonces:
A + B = [9 −22 1
]2𝑥2
C + D = [2 8 32 6 −5
]2𝑥3
B + D = No existe
Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [k·aij]
Sean las matrices:
A = [2 1
−3 4] B = [
1 −135
4−2
] →→ 5A = [10 5
−15 20] 3B = [
3 −3915
12−6
]
Multiplicación de matrices: El producto de dos matrices solo es posible cuando el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera.
Sean las matrices A = [aij] mxh y B = [bij] hxn
El producto es posible porque el número de filas de B es igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n
C = A·B = [cij] mxn
Sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando estos productos.
Sean las matrices
A = [
2 1 −6−34
−2
5 63 −5
−1 0
]
4𝑥3
B = [3 −32
−1−54
]
3𝑥2
⇒⇒ A ∗ B = [
14 −35−523−8
8−4711
]
4𝑥2
c11 = 2 ∗ 3 + 1 ∗ 2 + (−6) ∗ (−1) = 6 + 2 + 6 = 14
c12 = 2 ∗ (−3) + 1 ∗ (−5) + (−6) ∗ 4 = −6 − 5 − 24 = −35
c21 = (−3) ∗ 3 + 5 ∗ 2 + 6 ∗ (−1) = −9 + 10 − 6 = −5
c22 = (−3) ∗ (−3) + 5 ∗ (−5) + 6 ∗ 4 = 9 − 25 + 24 = 8
c31 = 4 ∗ 3 + 3 ∗ 2 + (−5) ∗ (−1) = 12 + 6 + 5 = 23
c32 = 4 ∗ (−3) + 3 ∗ (−5) + (−5) ∗ 4 = −12 − 15 − 20 = −47
c41 = (−2) ∗ 3 + (−1) ∗ 2 + 0 ∗ (−1) = −6 − 2 + 0 = −8
c42 = (−2) ∗ (−3) + (−1) ∗ (−5) + 0 ∗ 4 = 6 + 5 + 0 = 11
Aplicaciones en la resolución de problemas
1. Una empresa de electrodomésticos tiene tres fábricas: una en Bogotá, otra en Medellín y otra en Cali. La producción semanal viene dada por la siguiente matriz:
Bogotá Medellín Cali
neveras 165 190 110
A= televisores 170 160 175
lavadoras 180 140 155
a) Interprete el elemento a21 de la matriz A. b) Interprete el elemento a32 de la matriz A. c) Interprete el elemento a13 de la matriz A. d) Interprete el elemento a33 de la matriz A.
Solución
a) En Bogotá se fabrican 170 televisores. b) En Medellín se fabrican 140 lavadoras. c) En Cali se fabrican 110 neveras. d) En Cali se fabrican 155 lavadoras.
2. Los consumos anuales de arroz, frijol y lenteja de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 2011 al 2014 viene reflejada en la matriz B, expresada en miles de pesos.
Arroz Frijol Lenteja
Familia 1 300 60 90
A= Familia 2 320 62 94
Familia 3 280 54 96
2011 2012 2013 2014
Arroz 920 950 1000 1100
B= Frijol 1600 1700 1800 2000
Lenteja 900 940 980 1100
a) Hallar, si es posible A*B y B*A, indicar que información proporcionan estos productos.
b) ¿Qué información nos dan los elementos C23 𝑦 𝐶32 de la matriz producto?
Solución
a) A*B=[300 60 90320280
62 9454 96
] ∗ [920 950 1000 11001600900
1700 1800 2000940 980 1100
] =
[𝟒𝟓𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟕𝟏𝟔𝟎𝟎 𝟒𝟗𝟔𝟐𝟎𝟎 𝟓𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟒𝟕𝟖𝟐𝟎𝟎𝟒𝟑𝟎𝟒𝟎𝟎
𝟒𝟗𝟕𝟕𝟔𝟎 𝟓𝟐𝟑𝟕𝟐𝟎 𝟓𝟕𝟗𝟒𝟎𝟎𝟒𝟒𝟖𝟎𝟒𝟎 𝟒𝟕𝟏𝟐𝟖𝟎 𝟓𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎
]
Cada valor del producto proporciona los gastos de cada familia en arroz, frijol y lenteja en cada uno de los años 2011, 2012, 2013, 2014.
El producto B*A no se puede realizar porque el número de columnas de B no es igual al número de filas de A.
b) El elemento𝐂𝟐𝟑 de la matriz producto es el consumo de la familia 2 durante el año 2013 el cual corresponde a $523.720 pesos.
El elemento C32 de la matriz producto es el consumo de la familia 3 durante el año 2012 el cual corresponde a $448.040 pesos.
3. Un constructor puede adquirir tejas, cemento, ladrillos y madera de tres proveedores: M, N y O. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de pesos por la matriz:
Tejas Cemento Ladrillos Madera
M 16000 20000 16000 13000
N 15000 22000 14000 16000
O 17000 21000 15000 13000
El constructor tiene que comenzar cuatro obras. Necesita:
a) Primera obra: 6 paquetes de tejas, 20 de cemento, 26 de ladrillo y 14 de madera.
b) Segunda obra: 8 paquetes de tejas, 23 de cemento, 23 de ladrillo y 17 de madera.
c) Tercera obra: 5 paquetes de tejas, 17 de cemento, 22 de ladrillo y 16 de madera.
d) Cuarta obra: 7 paquetes de tejas, 21 de cemento, 24 de ladrillo y13 de madera
El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿Qué proveedor es el más económico para cada obra?
Solución
𝐀 ∗ 𝐁 = [𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟕𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟑𝟎𝟎𝟎𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟏𝟕𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎
] ∗ [
𝟔 𝟖 𝟓 𝟕 𝟏𝟖𝟐𝟔𝟏𝟒
𝟐𝟑 𝟏𝟕 𝟐𝟏𝟐𝟑 𝟐𝟐 𝟐𝟓𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏𝟑
]
𝐀 ∗ 𝐁 = [𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟕𝟒𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎
]
Debe elegir:
Para la primera obra, el proveedor N $1`074.000
Para la segunda obra, el proveedor M $1`200.000
Para la tercera obra, el proveedor O $996.000
Para la cuarta obra, el proveedor O $1`102.000
Actividades de aprendizaje: Matrices y álgebra de matrices
Se busca aplicar el concepto y las operaciones entre matrices en la solución de problemas referentes a los negocios y a la economía.
Tenga en cuenta las siguientes orientaciones:
Realice los ejercicios del siguiente material: Capitulo ocho, páginas 321-322 y 323; páginas 331-332 hasta el 35; páginas 341-342 hasta el 16, del libro Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, Arya, J.C y Lardner, R. (1989), tercera edición. El desarrollo de estos ejercicios debe ser presentado por CIPAS en el encuentro presencial, mediante un informe escrito.
Actualmente, las matrices son de mucha utilidad en problemas prácticos de la vida diaria, citar algunos ejemplos, darle solución y presentarlo por CIPAS en un informe escrito.
Aplique la multiplicación de matrices en alguna área de una empresa, presentarlo mediante un informe escrito y sustentarlo por CIPAS.
Dar respuesta a las preguntas generadoras por CIPAS y presentar un informe escrito.
Resultados de la actividad
Para evaluar estas actividades se plantean los siguientes criterios:
Dar respuesta a las preguntas generadoras, las cuales corroboran el aprendizaje de la temática.
Apropiarse de los conocimientos inherentes a las aplicaciones de las matrices para que pueda interpretar situaciones problema del entorno.
Cumplir con la entrega del solucionario de los ejercicios propuestos para la discusión en plenaria tutorial.
Participación en la tutoría.
Material de trabajo
Material básico
Arya, J.C y Lardner, R. (1989). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ª Ed.). Ed. Prentice Hall. México. Capítulos 8.
Kolman, Bernard. (1999)Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. (6° edición) México: Editorial Prentice-hall.
Soler, F.F; Molina, Fabio; Rojas, Lucio;(2003) Álgebra lineal y programación lineal con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras. (1°edicion)Bogotá: eco ediciones.
Material complementario
Pre cálculo, matrices Khanacademy. https://es.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices
Calculadora de matrices.
http://matrixcalc.org/es/
Unidad de aprendizaje 2: Determinantes
Introducción
El determinante de una matriz es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. Los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.
En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo.
El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz.
La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.
En este curso estudiaremos, los determinantes de orden dos, orden tres y los de orden superior. También los métodos para darle solución tales como: kramer, sarrus y otros.
Competencias
Habilidad para usar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una matriz.
Criterios de valoración
Establece la relación entre el valor del determinante de una matriz con la existencia de la inversa de la misma.
Comprende la relación existente entre el determinante y la inversa de una matriz.
Aplica los diferentes métodos de solución existentes para hallar el determinante.
Problema
¿Qué es un determinante y qué importancia tiene en la solución de un sistema de ecuaciones?
Preguntas generadoras:
¿Qué es un determinante?
¿Cuál es la historia del determinante y cuáles han sido sus aplicaciones en las ciencias económicas?
¿Qué métodos existen para darle solución a un determinante?
Red Conceptual
Definición de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
Determinante de orden uno
Ia11I=a11 I5I=5
Determinante de orden dos
|𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐| = 𝒂𝟏𝟏 ∗ 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟐𝟏 ∗ 𝒂𝟏𝟐
Ejemplo:
|3 −54 −6
| = (3) ∗ (−6) − (4) ∗ (−5) = −18 − (−20) = −18 + 20 = 2
Determinante de orden tres
Método de Sarrus
En este caso agregamos las filas uno y dos, pero también podemos agregar las columnas uno y dos.
Siempre los productos serán entre los elementos que estén en las diagonales, tal como se muestra en la siguiente figura:
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏
𝒂𝟏𝟏
𝒂𝟐𝟏
𝒂𝟑𝟐
𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟏𝟑
𝒂𝟐𝟑
=𝒂𝟏𝟏 ∗ 𝒂𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟐𝟏 ∗ 𝒂𝟑𝟐 ∗ 𝒂𝟏𝟑 + 𝒂𝟑𝟏 ∗ 𝒂𝟏𝟐 ∗ 𝒂𝟐𝟑
−𝒂𝟑𝟏 ∗ 𝒂𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝟏𝟑 − 𝒂𝟏𝟏 ∗ 𝒂𝟑𝟐 ∗ 𝒂𝟐𝟑 − 𝒂𝟐𝟏 ∗ 𝒂𝟏𝟐 ∗ 𝒂𝟑𝟑
Ejemplo:
Determinante
Definición Calculo Métodos Propiedades
Cramer Inversa Sarrus
2 3 −41 −2 5621
−33
−2
4−45
= (2)(−2)(4) + (1)(−3)(−4) + (6)(3)(5) − (6)(−2)(−4)
−(2)(−3)(5) − (1)(3)(4) = −16 + 12 + 90 − 48 + 30 − 12 = 56
Inversa de una matriz
Para calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 podemos utilizar la siguiente fórmula: siempre y cuando el determinante no sea cero.
Sea A=[a bc d
] entonces 𝐀−𝟏 =1
|𝐴|∗ [
d −b−c a
]
Siempre y cuando el determinante no sea cero.
Ejemplo:
D=[2 −2
−5 6] ⟹ 𝐷−1 =
1
2∗ [
6 25 2
] = [
6
2
2
25
2
2
2
] = [3 15
21]
La inversa de una matriz se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
𝑨−𝟏 =𝟏
|𝑨|∗ (𝒂𝒅𝒋𝑨)𝒕
𝑨−𝟏 →→Matriz inversa
IAI Determinante de A
adjA Adjunta de A es la matriz de cofactores.
⌈𝐚𝐝𝐣𝐀⌉𝐭 Matriz traspuesta de la adjunta
Ejemplo:
Calcular la matriz inversa de: 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
]
Primero hallamos el determinante por el método de Sarrus el cual ya fue explicado en el ejemplo anterior y nos da IAI=15
adjA=[𝑐11
𝑐12 𝑐13
𝑐21
𝑐31
𝑐22 𝑐23
𝑐32 𝑐33
] Para hallar 𝑐11 de la matriz A no tomamos los
elementos de la primera fila ni de la primera columna, por lo tanto
Para 𝑐11 ⟹ 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
] ⟹ 𝑐11 = (−1)1+1 |1 52 3
| = (1) ∗ (1 ∗ 3 − 2 ∗ 5) = −7
Para 𝑐21 ⟹ 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
] ⟹ 𝑐21 = (−1)2+1 |2 42 3
| = (−1) ∗ (2 ∗ 3 − 2 ∗ 4) = 2
Para 𝑐31 ⟹ 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
] ⟹ 𝑐31 = (−1)3+1 |2 41 5
| = (1) ∗ (2 ∗ 5 − 1 ∗ 4) = 6
Para 𝑐22 ⟹ 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
] ⟹ 𝑐21 = (−1)2+2 |3 44 3
| = (1) ∗ (3 ∗ 3 − 4 ∗ 4) = −7
Para 𝑐12 ⟹ 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
] ⟹ 𝑐12 = (−1)1+2 |6 54 3
| = (−1) ∗ (6 ∗ 3 − 5 ∗ 4) = 2
Para 𝑐32 ⟹ 𝐴 = [3 2 464
1 52 3
] ⟹ 𝑐32 = (−1)3+2 |3 46 5
| = (−1) ∗ (3 ∗ 5 − 6 ∗ 4) = 9
Utilizamos el mismo procedimiento para los restantes y obtenemos la siguiente matriz:
𝑎𝑑𝑗𝐴 = [−7 2 826
−7 29 −9
] ⟹⟹⟹ (𝑎𝑑𝑗𝐴)𝑡 = [−7 2 628
−7 92 −9
]
Reemplazamos en la fórmula para obtener la matriz inversa
𝐀−1 =1
15∗ [
−7 2 628
−7 92 −9
] =
[ −7
15
2
15
6
152
158
15
−7
15
9
152
15
−9
15]
=
[ −7
15
2
15
2
52
158
15
−7
15
3
52
15
−3
5 ]
Actividades de aprendizaje: Determinantes
Se busca aplicar el cálculo de determinantes en la solución de problemas referentes a los negocios y a la economía.
Tenga en cuenta las siguientes orientaciones:
Realice los ejercicios del siguiente material: Capitulo nueve, páginas 387-388; páginas 392 del 7 al 16; página 395 del 3 hasta el 20; del libro Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, Arya, J.C y Lardner, R. (1989), tercera edición. El desarrollo de estos ejercicios debe ser presentado por CIPAS en el encuentro presencial, mediante un informe escrito.
Dar respuesta a las preguntas generadoras por CIPAS y presentar un informe escrito.
Aplique los determinantes en alguna área de una empresa, presentarlo mediante un informe escrito y sustentarlo por CIPAS.
Resultados de la actividad
Para evaluar estas actividades se plantean los siguientes criterios:
Dar respuesta a las preguntas generadoras, las cuales corroboran el aprendizaje de la temática.
Apropiarse de los conocimientos inherentes a las aplicaciones de los determinantes para que pueda interpretar situaciones problema del entorno.
Cumplir con la entrega del solucionario de los ejercicios propuestos para la discusión en plenaria tutorial.
Participación en la tutoría.
Material de trabajo
Material básico
Arya, J.C y Lardner, R. (1989). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ª Ed.). Ed. Prentice Hall. México. Capítulos 8.
Kolman, Bernard. (1999)Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. (6° edición) México: Editorial Prentice-hall.
Soler, F.F; Molina, Fabio; Rojas, Lucio;(2003) Álgebra lineal y programación lineal con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras. (1°edicion)Bogotá: eco ediciones.
Material complementario
Pre cálculo, matrices Khanacademy. https://es.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices
Calculadora de matrices.
http://matrixcalc.org/es/
Propiedades de los determinantes.
http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/álgebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm
Unidad de aprendizaje 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Con esta unidad se pretende que los alumnos apliquen lo estudiado en las Unidades de Matrices y Determinantes a la discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de los distintos elementos de un sistema de ecuaciones lineales (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su escritura utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su "discusión" o estudio de su compatibilidad, utilizando el método de Gauss. Por último, se describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles: Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa.
El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y resolución de problemas diversos
Competencias
Capacidad para el análisis, interpretación y modelación matemática de problemas
Criterios de valoración
valora el manejo de razonamientos implícitos en los procesos álgebraicos como una herramienta que permite ejercer una actitud crítica.
analiza problemas matemáticos y sintetiza los resultados.
Aplica las distintas estrategias metodológicas de los sistemas de ecuaciones en problemas relacionados con la especialidad.
Problema
Para solucionar un sistema de ecuaciones ¿Cómo se deben Organizar los datos en una matriz?
Preguntas generadoras:
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?, Para qué sirve.
¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones aplicando matrices?
¿En qué consiste el método de eliminación de Gauss?
¿Cuál es la diferencia entre el método de eliminación de Gauss y el método de eliminación de Gauss- Jordan?
Explique ¿qué representa el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales?
¿Qué métodos conoce para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
¿Conoces ejemplos prácticos de la vida real de Sistemas de Ecuaciones Lineales?
Red Conceptual
Una gran cantidad de problemas en negocios y economía desembocan en los sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo
El propietario de una tienda de lavadoras desea expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de lavadoras que acaban de salir al mercado. Cada lavadora del primer tipo cuesta $800.000 y cada lavadora del segundo tipo $950.000. Cada lavadora del primer tipo ocupa un espacio de 5 pies cuadrados, mientras que cada una del segundo tipo ocupa 7 pies cuadrados. Si el propietario sólo tiene disponibles $11`300.000 para su expansión y 77 pies cuadrados de espacio, ¿cuántos modelos de cada tipo deberá comprar y poner a la venta haciendo uso completo del capital disponible y del espacio?
Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto Solución
Expresión Matricial
Gauss-Jordan Cramer Matriz
Inversa
Solución
Supóngase que el propietario compra m del primer modelo y n del segundo. Entonces, le cuesta $800.000m comprar el primer tipo y $950.000n comprar el segundo tipo de lavadoras.
Dado que la cantidad total que ha de gastar es de $11`300.000, es necesario que:
800.000m + 950.000n = 11`300.000 (1)
Asimismo, la cantidad de espacio ocupada por los dos tipos de lavadoras es de 5m pies cuadrados y 7n pies cuadrados, respectivamente. El espacio total disponible para los dos modelos es de 77 pies cuadrados. Por tanto
5m + 7n = 77 (2)
Para encontrar el número de lavadoras de cada modelo que deberá comprar y poner a la venta, debemos resolver las ecuaciones (1) y (2). Es decir, debemos encontrar los valores de m y n que satisfagan a la vez las ecuaciones (1) y (2).
(1) 800.000m + 950.000n = 11`300.000 Sistema de (2) 5m + 7n = 77 Ecuaciones
Primero encontramos el determinante del sistema→→ 𝚫 (𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎) el cual está conformado por los coeficientes
𝚫 = [800.000 950.000
5 7] = 800.000 ∗ 7 − 950.000 ∗ 5 = 5600.000 − 4750.000 = 850.000
Para hallar m reemplazamos los valores de la primera columna por los términos
independientes (resultados) y lo dividimos entre 𝚫.
𝐦 =[11300.000 950.000
77 7]
𝚫=
11300.000 ∗ 7 − 950.000 ∗ 77
850.000=
79100.000 − 73150.000
850.000
=5950.000
850.000= 7
Para hallar n reemplazamos los valores de la segunda columna por los términos independientes (resultados) y lo dividimos entre 𝚫.
𝐧 =[800.000 11300.000
5 77]
𝚫=
800.000 ∗ 77 − 11300.000 ∗ 5
850.000=
61600.000 − 56500.000
850.000
=5100.000
850.000= 6
Respuesta
El comerciante deberá comprar 7 lavadoras del primer tipo y 6 del segundo tipo, empleando todo el espacio disponible y utilizando todo su capital.
Actividades de aprendizaje: Sistemas de ecuaciones
Se busca aplicar los sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas referentes a los negocios y a la economía.
Tenga en cuenta las siguientes orientaciones:
Realice los ejercicios del siguiente material: Capitulo cuatro, páginas 157 y 158 ; Capitulo ocho, páginas 347 y 348, del libro Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, Arya, J.C y Lardner, R. (1989), tercera edición. El desarrollo de estos ejercicios debe ser presentado por CIPAS en el encuentro presencial, mediante un informe escrito.
Dar respuesta a las preguntas generadoras por CIPAS y presentar un informe escrito.
Aplique los sistemas de ecuaciones lineales, en alguna área de una empresa, presentarlo mediante un informe escrito y sustentarlo por CIPAS.
Resultados de la actividad
Para evaluar estas actividades se plantean los siguientes criterios:
Dar respuesta a las preguntas generadoras, las cuales corroboran el aprendizaje de la temática.
Apropiarse de los conocimientos inherentes a las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales, para que pueda interpretar situaciones problema del entorno.
Cumplir con la entrega del solucionario de los ejercicios propuestos para la discusión en plenaria tutorial.
Participación en la tutoría.
Material de trabajo
Material básico
Arya, J.C y Lardner, R. (1989). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ª Ed.). Ed. Prentice Hall. México. Capítulos 8.
Kolman, Bernard. (1999)Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. (6° edición) México: Editorial Prentice-hall.
Soler, F.F; Molina, Fabio; Rojas, Lucio;(2003) Álgebra lineal y programación lineal con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras. (1°edicion)Bogotá: eco ediciones.
Material complementario
Pre cálculo, matrices Khanacademy. https://es.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices
Calculadora de matrices.
http://matrixcalc.org/es/
Unidad de aprendizaje 4: Aplicaciones generales de las matrices
Introducción
En muchas situaciones de la vida real se nos presentan gran cantidad de datos. Para cuantificar la información y operar con ella nos resulta muy útil el uso de las matrices y sus operaciones.
En esta unidad se pretende mostrar algunas aplicaciones de las matrices en el sector económico.
La matriz insumo-producto presenta en forma resumida las relaciones entre oferta y demanda intersectoriales, lo que permite identificar los sectores que tienen mayor peso en la economía, o cómo afectan los cambios de un sector a la oferta y la demanda de los demás sectores o a la economía en su conjunto.
El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los años cuarenta por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía.
El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria, con el propósito de satisfacer demandas futuras para diversos productos. Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias.
Competencias
Capacidad para resolver problemas de aplicación mediante el uso de matrices.
Criterios de valoración
Justifica los resultados obtenidos en la solución de los problemas de aplicación.
Comprende el uso de las matrices en la solución de los problemas de aplicación.
Interpreta los resultados obtenidos en la solución de problemas aplicando matrices.
Problema
¿De qué manera las aplicaciones de matrices contribuyen al trabajo del administrador financiero?
Preguntas generadoras:
¿Qué conceptos del álgebra lineal son necesarios para dar solución a un problema específico?
¿De qué manera el álgebra lineal aporta a la solución de problemas de las ciencias administrativas, económicas y contables?
¿Cómo seleccionaría una teoría para la aplicación adecuada a situaciones concretas?
Red Conceptual
Ejemplos
1. (Costo de materias primas) Una empresa usa cuatro diferentes materias
primas 𝑀1,𝑀2,𝑀3 𝑦 𝑀4 en la elaboración de su producto. El número de unidades de 𝑀1,𝑀2,𝑀3 𝑦 𝑀4 usadas por unidad del producto son 5, 4, 6 y 7, respectivamente.
El costo por unidad de las cuatro materias primas es de $6, $8, $9 y $2, respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto como el producto de dos matrices.
Solución
Ctotal=
5467
* 6 8 9 2 = 5*6 + 4*8 + 6*9 + 7*2= 130
2. (Punto de equilibrio del mercado) La ecuación de demanda de cierto producto es 2p+ 3x = 31 y la ecuación de la oferta es 3p – x= 8, en donde p es el precio y x es la cantidad demandada o suministrada, según el caso. Calcule los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado.
Insumo
producto
Inversiones
Costo de
Transporte
Aplicación
de Matrices
Punto de
equilibrio Costo
materia
prima
En el punto de equilibrio la oferta y la demanda son iguales
Solución
𝚫 = [2 33 −1
] = (2) ∗ (−1) − (3) ∗ (3) = −2 − 9 = −11
𝒑 =[31 38 −1
]
𝚫=
31∗(−1)−8∗3
−11=
−31−24
−11=
−55
−11= 5
𝒙 =[2 313 8
]
𝚫=
2∗8−3∗31
−11=
16−93
−11=
−77
−11= 7
3. (Inversiones) Una persona invirtió un total de $33.000 en tres inversiones al 7, 9 y 12%. El ingreso anual total fue de $3370 y el ingreso de la inversión del 12% fue tres veces el ingreso de la inversión al 9%. ¿De cuánto fue cada inversión?
Solución
Las ecuaciones son:
1) X + Y + Z=33000 2) 0.07X+0.09Y+0.12Z=3370 7X+9Y+12Z=337000 3) 0.12Z =3(0.09Y) 12Z=27Y -27Y+12Z=0
Primero obtenemos el determinante del sistema 𝚫 y lo solucionamos aplicando el método de sarrus (ver unidad de aprendizaje dos)
𝚫 = |1 1 170
9 12−27 12
| = 159 ⟹ 𝑋 =
|33000 1 1337000
09 12
−27 12|
159=
1113000
159= 7000
𝑌 =
|1 33000 170
337000 120 12
|
159=
1272000
159= 8000
𝑍 =
|1 1 3300070
9 337000−27 0
|
159=
2862000
159= 18000
4. (insumo-producto) Suponga que en una economía hipotética con sólo dos industrias, I y II, la interacción entre industrias es como se advierte en la tabla 1.
a) Determine la matriz insumo-producto A.
b) Obtenga la matriz de producción si las demandas finales cambian a 620 unidades en el caso de la industria I y a 700 unidades para la industria II.
c) ¿Cuáles serán entonces los nuevos insumos primarios correspondientes a las dos industrias?
TABLA 1
Industria
I
Industria
II
Demandas finales
Producción total
Industria I 390 800 110 1300
Industria II 780 400 820 2000
Insumos primarios 130 800
Solución
a) Dividiendo la primera columna (encabezada por la industria I) entre la producción total de la industria I, 1300, y la segunda columna (encabezada por la industria II) entre la producción total de la industria II, 2000, obtenemos la matriz insumo-producto A.
𝑨 = [
390
1300
800
2000780
1300
400
2000
] = [0.3 0.40.6 0.2
]
b) Si I denota la matriz identidad 2 X 2, se sigue que:
𝑰 − 𝑨 = [1 00 1
] − [0.3 0.40.6 0.2
] = [0.7 −0.4
−0.6 0.8]
Usamos la fórmula para hallar la inversa de una matriz de 2X2 vista en la unidad 2
(𝑰 − 𝑨)−𝟏 =1
0.32[0.8 0.40.6 0.7
] = [
0.8
0.32
0.4
0.320.6
0.32
0.7
0.32
] = [2.5 1.25
1.875 2.1875]
Si D representa al nuevo vector de demanda, esto es,𝑫 = (𝟔𝟐𝟎𝟕𝟎𝟎
) y X la nueva matriz de
producción, tenemos que: 𝑿 = (𝑰 − 𝑨)−𝟏 ∗ 𝑫
𝑿 = [2.5 1.25
1.875 2.1875] ∗ (
620
700) = (
2.5 ∗ 620 + 1.25 ∗ 700
1.875 ∗ 620 + 2.1875 ∗ 700) = (
2425
2694)
Por lo tanto, la industria I debe producir 2425 unidades y la industria II debe producir 2694 unidades para satisfacer las nuevas demandas finales.
c) En el caso de la industria I, deben producirse 130 unidades de insumos primarios para
generar una producción total de 1300 unidades. Esto es, los insumos primarios son 130
1300=
0.1 de la producción total. Así los nuevos insumos primarios de la industria I son: 0.1 (2425)=242.5≈243 unidades. De la misma forma los insumos primarios, en el caso de la
industria II son 800
2000= 0.4 de la producción total. En consecuencia los nuevos insumos
primarios de la industria II son: 0.4 (2694)=1077.6 unidades.
Actividades de aprendizaje: Aplicaciones generales de las matrices
Se pretende aplicar las matrices en la solución de problemas referentes a la economía.
Para eso tenga en cuenta las siguientes orientaciones:
Realice los ejercicios del siguiente material: Capitulo ocho, página 333 desde el 41; página 342 desde el 17 hasta el 24; páginas 367 y 368 del libro Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía, Arya, J.C y Lardner, R. , tercera edición. El desarrollo de estos ejercicios debe ser presentado por CIPAS en el encuentro presencial, mediante un informe escrito.
Dar respuesta a las preguntas generadoras por CIPAS y presentar un informe escrito.
Aplique el análisis insumo-producto, en alguna área de una empresa, presentarlo mediante un informe escrito y sustentarlo por CIPAS.
Resultados de la actividad
Para evaluar estas actividades se plantean los siguientes criterios:
Dar respuesta a las preguntas generadoras, las cuales corroboran el aprendizaje de la temática.
Apropiarse de los conocimientos inherentes a las aplicaciones de las matrices, para que pueda interpretar situaciones problema del entorno.
Cumplir con la entrega del solucionario de los ejercicios propuestos para la discusión en plenaria tutorial.
Participación en la tutoría.
Material de trabajo
Material básico
Arya, J.C y Lardner, R. (1989). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ª Ed.). Ed. Prentice Hall. México. Capítulos 8.
Kolman, Bernard. (1999)Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. (6° edición) México: Editorial Prentice-hall.
Soler, F.F; Molina, Fabio; Rojas, Lucio;(2003) Álgebra lineal y programación lineal con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras. (1°edicion)Bogotá: eco ediciones.
Material complementario
Pre cálculo, matrices Khanacademy. https://es.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices
Calculadora de matrices.
http://matrixcalc.org/es/
Unidad de aprendizaje 5: Vectores
Introducción
Vector es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”. Un vector es un agente que transporta algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto.
Dentro de este ámbito científico, y también de las Matemáticas, se hace necesario dejar claro que existe una gran variedad de vectores. De tal manera, que podemos hablar de fijos, paralelos, deslizantes, opuestos, concurrentes, libres o colineales, entre otros muchos más.
De la misma forma hay que subrayar que se pueden llevar a cabo un importante número de operaciones con dichos elementos. Entre las más frecuentes se encuentra la suma, el producto por un escalar, la obtención de una derivada ordinaria, las descomposiciones, el ángulo entre dos vectores o la derivada de tipo covariante.
Competencias
Habilidad en el uso de las nuevas tecnologías en problemas relacionados con los vectores.
Criterios de valoración
adopta una actitud motivadora y colabora en equipo para lograr mejores resultados a nivel grupal utilizando las nuevas tecnologías.
Reconoce la importancia del uso de las nuevas tecnologías en la solución de los diferentes problemas.
Aplica las nuevas tecnologías en la solución de problemas Relacionados con vectores.
Problema
¿Qué aplicaciones tienen los vectores en los problemas financieros y económicos?
Preguntas generadoras:
¿Un conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales es L.D.?
Los vectores linealmente dependientes, ¿qué subespacio generan (geométricamente) (Dos, tres o más de ellos)?
¿Un vector aislado (sin relacionarlo con ningún otro), es un vector linealmente independiente?
¿En que difiere un vector de un escalar?
¿Cuándo un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores?
¿Qué aplicaciones tienen los vectores en la economía?
Red Conceptual
Actividades de aprendizaje: Vectores
Se pretende aplicar los vectores en la solución de problemas referentes a la economía.
Para eso tenga en cuenta las siguientes orientaciones:
Realice los ejercicios del siguiente material: Capitulo cuatro páginas 244-245; Capitulo cinco página 263 ejercicio 5.1, páginas 269 y 270 ejercicio 5.2, del libro Álgebra lineal con aplicaciones y matlab, Kolman, Bernard, sexta edición. El desarrollo de estos ejercicios debe ser presentado por CIPAS en el encuentro presencial, mediante un informe escrito.
Dar respuesta a las preguntas generadoras por CIPAS y presentar un informe escrito.
Resultados de la actividad
Para evaluar estas actividades se plantean los siguientes criterios:
Dar respuesta a las preguntas generadoras, las cuales corroboran el aprendizaje de la temática.
Apropiarse de los conocimientos inherentes a los vectores, para que pueda interpretar situaciones problema del entorno.
Cumplir con la entrega del solucionario de los ejercicios propuestos para la discusión en plenaria tutorial.
Vectores Definición
Dirección Operaciones Propiedades
Producto
Vectorial
Producto
Escalar Combinación Lineal
Dependencia Lineal Independencia lineal
Participación en la tutoría.
Material de trabajo
Material básico
Arya, J.C y Lardner, R. (1989). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía (3ª Ed.). Ed. Prentice Hall. México. Capítulos 8.
Kolman, Bernard. (1999)Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. (6° edición) México: Editorial Prentice-hall.
Soler, F.F; Molina, Fabio; Rojas, Lucio;(2003) Álgebra lineal y programación lineal con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras. (1°edicion)Bogotá: eco ediciones
Material Complementario
Calculadora de vectores. http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
GLOSARIO
Adjunta: Que va o está unido con otra cosa.
Algoritmo: Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la
Solución de un problema.
Apropiarse: indica hacerse propio, convertir en propiedad nuestra, tomar como tal lo que no nos pertenece.
Ars magna:(en latín “Gran obra”) es un importante libro de matemática escrito originalmente en latín por Gerolamo Cardano en 1545.
Calculo: operación que se hace para conocer el resultado de la combinación de varios números. Arte de resolver los problemas de aritmética.
Competencia: actuaciones integrales para resolver problemas del contexto con base en el proyecto ético de vida.
Ecuación: es una igualdad matemática entre dos expresiones álgebraicas,
denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Insumo: es un concepto económico que permite nombrar a un bien que se emplea en la producción de otros bienes. De acuerdo al contexto, puede utilizarse como sinónimo de materia prima o factor de producción.
Matricial: Del cálculo con matrices o relativo a él.
Problema: Presentación de un enunciado que plantea unos datos y una pregunta a partir de los cuales hay que dar una respuesta.
Red Conceptual: son recursos gráficos que pueden ayudar al que aprende a hacer más evidentes los conceptos clave y las relaciones entre éstos, a la vez que sugieren conexiones entre los nuevos conocimientos y lo que ya sabe el alumno.
Sistema de ecuaciones: es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
ELABORACIÓN
Versión Fecha Descripción Autor(es)
0.0 09-12-2014 Estructura de la guía de aprendizaje
Julio Alfonso Solanilla Varon
