plan segundo medio matematica

8/14/2019 plan segundo medio matematica

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Programa de Estudio

Segundo Ao Medio

Matemtica

Educacin Media

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Matemtica

Programa de Estudio

Segundo Ao Medio


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MatemticaPrograma de Estudio, Segundo Ao M edio, Formacin General

Educaci n Medi a, Unidad de Curric ulum y EvaluacinISBN 956-7933-24-3

Registro de Propiedad Intelec tual N 111.663M inisteri o de Educacin, Repblica de Chile

Alameda 1371, SantiagoPrimera Edicin 1999Segunda Edicin 2004


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Santiago, octubre 1999

Estimados profesores:

ELPRESENTE PROGRAMADEESTUDIO de Segundo Ao Medio ha sido elaborado por la

Unidad de Curriculum y Evaluacin del Ministerio de Educacin y aprobado por el

Consejo Superior de Educacin, para ser puesto en prctica, por los establecimientos

que elijan aplicarlo, a partir del ao escolar del 2000.

En sus objetivos, contenidos y actividades busca responder a un doble propsito: articular

a lo largo del ao una experiencia de aprendizaje acorde con las definiciones del marco

curricular de O bjetivos Fundamentales y Contenidos M nimos O bligatorios de la

Educacin Media, definido en el Decreto N 220, de mayo de 1998, y ofrecer la mejor

herramienta de apoyo a la profesora o profesor que har posible su puesta en prctica.

Los nuevos programas para Segundo Ao M edio plantean objetivos de aprendizaje de

mayor nivel que los del pasado, porque la vida futura, tanto a nivel de las personas como

del pas, establece mayores requerimientos formativos. A la vez, ofrecen descripciones

detalladas de los caminos pedaggicos para llegar a estas metas ms altas. As, al igual

que en el caso de los programas del nivel precedente, los correspondientes al Segundo

Ao Medio incluyen numerosas actividades y ejemplos de trabajo con alumnos y alumnas,

consistentes en experiencias concretas, realizables e ntimamente ligadas al logro de los

aprendizajes esperados. Su multiplicidad busca enriquecer y abrir posibilidades, no

recargar ni rigidizar; en mltiples puntos requieren que la profesora o el profesor discierna

y opte por lo que es ms adecuado al contexto, momento y caractersticas de sus alumnos

y alumnas.

Los nuevos programas son una invitacin a los docentes de Segundo Ao Medio para

ejecutar una nueva obra, que sin su concurso no es realizable. Estos programas demandan

cambios importantes en las prcticas docentes. Ello constituye un desafo grande, de

preparacin y estudio, de fe en la vocacin formadora, y de rigor en la gradual puesta en

prctica de lo nuevo. Lo que importa en el momento inicial es la aceptacin del desafo

y la confianza en los resultados del trabajo hecho con cario y profesionalismo.

Jos Pablo Arellano Marn

Ministro de Educacin


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Segundo Ao Medio Matemt ica Ministerio de Educacin 7

Presentac in 9

Ob je ti vos Fundamental es Transve rsa les y s u p resenc ia en e l p rograma 12

Objetivos Fundamentales 13

Cuadro sinptico: Unidades, contenidos y distribuc in temporal 14

Unidad 1: Nociones de probabilidades 16

Actividades para el aprendizaje y ejemplos 19

Actividades para la evaluacin y ejemplos 31

Unidad 2: Semejanza de figuras planas 36



Unidad 3: Las fracciones en lenguaje algebraico 56

Actividades de aprendizaje y ejemplos 59


Unidad 4: Sobre la circunferencia y sus ngulos 76



Unidad 5: Ecuacin de la recta y otras funciones,

modelos de situaciones diarias 96



Unidad 6: Sistemas de ecuaciones lineales 118


Actividades propuestas para la evaluacin y ejemplos 127

Bibliografa 131Objetivos Fundamentales y Contenidos M nimos Obligatorios

Primer a Cuarto Ao M edio 133


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8 Segundo Ao Medio Matemt ica Ministerio de Educacin


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Presentacin

LAMATEMTICAESUN ADISCIPLINA cuya cons-

truccin ha surgido de la necesidad y/o el deseo

de responder preguntas, interpretar fenmenos

y resolver problemas provenientes de los ms

variados mbitos, tanto del mundo de las cien-

cias naturales, sociales, del arte y de la tecnologa

como de la matemtica misma. La matemtica

forma parte del acervo cultural de nuestra so-

ciedad.El Programa de Matemticas para Segun-

do Ao Medio se sita -de la misma manera que

el Programa de Primer Ao Medio- en la pers-

pectiva del derecho de todas las personas a desa-

rrollar su capacidad de pensar y de interpretar

matemticamente fenmenos, facilitando su in-corporacin, de manera informada, a una socie-

dad tecnificada y en constante cambio.En consecuencia, se contina en la bsque-

da de maneras de ensear que aprovechen la

variedad de talentos, necesidades e intereses queposeen los estudiantes para acercarlos a la ma-

temtica, ya sea estimulando a aquellos cuyos

intereses se relacionan ms con las aplicacio-nes, a los que se interesan por la modelizacin

o bien a los que les atraen los desafos de la

disciplina misma, brindndoles oport unidades

tanto a unos como a otros.

Este programa, as como el de Primer Ao,

propone la resolucin de problemas como ejeimportante para el aprendizaje de la matemti-

ca. Es fundamental que en esta instancia seabran espacios para que los estudiantes respon-

dan preguntas que se hacen entre ellos o que

son planteadas por los docentes, que desarro-

llen sus argumentos, describan, expliquen y de-fiendan sus procedimientos y estrategias de

resolucin y que atiendan a las explicaciones y

argumentaciones de los dems.

La resolucin de desafos y problemas es un tipo

de actividad que permite, adems del desarro-

llo de las capacidades para analizar y relacionaren un contexto diversas temticas, dar signifi-

cado a conceptos y procedimientos matemti-

cos. Esto favorece un aprendizaje significativo,

slido y el desarrollo de una actitud crtica, apo-

yada en la reflexin, acerca de diversos temas.

Es recomendable generar climas de trabajo en los que tengan cabida la intuicin

matemtica, el anlisis de situaciones y proce-

dimientos, la estructuracin de conceptos y los

procesos de generalizacin. Asimismo, velar por

una participacin amplia de los estudiantes, bajo

una conduccin alerta y con un nivel de exi-gencia adecuado. Es conveniente dedicar

tiempo para debatir acerca de las formas que

permiten resolver problemas especficos, los

conceptos involucrados, las soluciones encon-

tradas, etc., puesto que el reconocimiento de ladiversidad de estrategias posibles y la seleccinde la(s) mejor(es) es otro aspecto que se enfati-

za en este programa.

Continuando con el trabajo desarrollado

en Pr imer Ao, para la resolucin de determi-

nados problemas es interesante utilizar una

calculadora (bsica o cientfica); asimismo, esrecomendable que los estudiantes utilicen el

computador, particularmente para el desarrollo

de t rabajos relativos al uso de planilla de clcu-

lo, a la geometra, al diseo y tambin al lgebra.Ello depender de los programas computacio-

nales disponibles en cada establecimientoeducacional.

Tambin es importante realizar otro tipo

de actividades, como lecturas y/o investigacio-

nes especficas, y posteriores exposiciones sobre

estos temas, de modo que el equipo expositor


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pueda recibir y contestar preguntas. Debe des-

tacarse que no basta con encontrar la informacin

buscada, sino que es necesario clasificarla, orga-nizarla, reelaborarla en una presentacin

personal. Si la investigacin es grupal, debiera

tambin clarificarse la distribucin de tareas y

responsabilidades.

O RGANIZACIND ELPROGRAMAEl Programa de Estudio para el sector de M a-

temtica se enmarca en las orientaciones que

derivan de los O bjetivos Fundamentales y Con-

tenidos M nimos O bligatorios y se organiza en

torno a seis unidades:1. Nociones de probabilidades

2. Semejanza de figuras planas

3. Las fracciones en lenguaje algebraico

4. La circunferencia y sus ngulos

5. Ecuacin de la recta y otras funciones,

modelos de situaciones diarias6. Sistemas de ecuaciones lineales

La secuencia anual para el trabajo en el aula

se puede organizar de variadas formas, consi-

derando diversas secuencias temticas, estiman-

do el tiempo que se considere adecuado paralos aprendizajes en relacin con las caracters-ticas del curso y del establecimiento educacio-

nal. En este programa el total anual de horas se

ha distribuido para dar cabida al tratamiento

de las unidades propuestas, estimando un n-

mero de horas que deber ser calibrado por los

docentes de acuerdo a las realidades especficas.En este marco de flexibilidad, se pueden

plantear algunas consideraciones especficas. En

forma similar al Programa de Primer Ao M e-

dio, la secuencia anual combina temas propiosde geometra con temas de lgebra: la segunda

y cuarta unidades son de geometra.La unidad 1, Nociones de Probabilidades

podra tener d iversas ubicaciones en la secuen-

cia temtica anual. Con el propsito de abrir

espacios con caractersticas ldicas que seduz-

can a los alumnos y alumnas a estudiar mate-

mtica, en este programa constituye la primera

unidad.

Necesariamente la unidad 3, Las fraccio-nes en el lenguaje algebraico, debe estudiarseantes de trabajar los otros temas relativos a l-

gebra: Ecuacin de la recta y otras funciones,modelos de situaciones diarias y Sistemas deecuaciones lineales. En relacin con estas dosunidades, se propone desarrollar un trabajo muy

relacionado entre ambas.

O RGANIZACIND ELASUNIDADESCada unidad incluye los siguientes puntos:

C ontenidos Aprendizajes esperados

Orientaciones didcticas

Actividades para el aprendizaje y

ejemplos

Actividades para la evaluacin y

ejemplosA cont inuacin se sealan los aspectos ms

relevantes de estos elementos constitutivos de

cada unidad.

CONTENIDOSLos contenidos corresponden al marco curricu-lar y se encuentran distribuidos en las seis unida-

des planteadas. En algunos casos, y con el fin de

enfatizar y/o clarificar algunos de ellos, stos se

han desglosado en contenidos ms especficos.

APRENDIZAJES ESPERADOSExpresan las capacidades y competencias que

interesa que los alumnos y alumnas desarrollen,

considerando los contenidos de cada unidad y

los objetivos fundament ales para el ao escolar.Los aprendizajes esperados indican las inten-

ciones que orientan el proceso pedaggico y danun norte al proceso de aprendizaje.

Su nmero es variable por unidad y, en al-

gunos casos, hay aprendizajes esperados que por

su naturaleza estn incorporados en algn otro,

sealados ambos de manera explcita.


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En su elaboracin, adems de considerar los

contenidos y objetivos propuestos para Segun-

do Ao M edio, se consider como criterio im-portante las tres categoras sealadas en el

marco curricular en cuanto al desarrollo de ha-

bilidades referidas al aprendizaje de procedi-mientos rutinarios, resolucin de problemas y

estructuracin y generalizacin de conceptos

matemticos. Adems, algunos aprendizajes

esperados hacen referencia al proceso de comu-

nicacin: describir procedimientos, propieda-

des, organizar ideas e hilar argumentos.

O RIENTACIONESDIDCTICASEn este punto se incorporan precisiones y co-

mentarios pedaggicos, relativos al aprendiza-

je propio del tema de la unidad.

ACTIVIDADES PARAELAPRENDIZAJEYEJEMPLOSLas actividades explicitan acciones y procesos

que importa e interesa que vivan los alumnos y

las alumnas para el logro de los aprendizajes

esperados. No existe una correspondencia biun-

voca entre los aprendizajes esperados y las

actividades; una actividad puede estar al servi-cio de varios aprendizajes esperados; adems,

la dinmica que se d en el desarrollo de la cla-

se puede favorecer ms a unos que a otros.

Todas las actividades, salvo casos excep-

cionales, se complementan con ejemplos espe-cficos y comentar ios pedaggicos; el propsito

es destacar algunos aspectos del tema o de la

situacin ejemplificada y presentar sugerencias

de trabajo, de organizacin y tambin de eva-

luacin sobre el proceso que se desarrolla.

ACTIVIDADES PARALAEVALUACINYEJEMPLOSLa evaluacin se considera, como se expresa en

el punto anterior, parte del proceso de aprendi-

zaje. Debe proveer al alumnado y al docente de

la retroalimentacin necesaria como referente

para continuar, corregir y orientar las activida-des futuras.

En cada unidad se incluye un conjunto de pre-

guntas, propuestas de trabajo, problemas, que

consideran los aprendizajes esperados, pero noen una relacin uno a uno. La evaluacin, en

consonancia con el proceso de aprendizaje, tam-

bin aporta a un proceso de integracin y rela-

cin entre los conceptos.

Es recomendable que se evalen diversosaspectos del proceso de enseanza-aprendiza-

je, y no slo los resultados de los diversos ejer-

cicios. Cobra relevancia en esta propuesta

observar y evaluar el tipo de razonamiento uti-

lizado, el mtodo empleado, la originalidad de

las ideas planteadas.


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tacin ordenada de los propsitos formativos

de la Educacin M edia en cuatro mbitos:Cre-

cimiento y Autoafirmacin Personal, Desarrollo del

Pensamiento, Formacin tica, Persona y Entor-

no; su realizacin, como se dijo, es responsabi-

lidad de la institucin escolar y la experienciade aprendizaje y de vida que sta ofrece en su

conjunto a alumnos y alumnas. Desde la pers-

pectiva de cada sector y subsector, esto signifi-ca que no hay lmites respecto a qu OFT

trabajar en el cont exto especfico de cada disci-

plina; las posibilidades formativas de todo con-tenido conceptual o actividad debieran

considerarse abiertas a cualquier aspecto o di-

mensin de los OFT.

Junto a lo sealado, es necesario destacar

que hay una relacin de afinidad y consistencia

en trminos de objeto temtico, preguntas oproblemas, entre cada sector y subsector, por

un lado, y determinados OF T, por otro. El pre-sente programa de estudio ha sido definido in-

cluyendo (verticalizando), los objetivos

transversales ms afines con su objeto, los que

han sido incorporados tanto a sus objetivos ycontenidos, como a sus metodologas, activida-

des y sugerencias de evaluacin. De este modo,

los conceptos (o conocimientos) habilidades y

actitudes que este programa se propone traba-

jar integran explcitamente algunos de los OF T

definidos en el marco curricular de la Educa-

cin Media.El Programa de Matemtica de Segundo

Ao Medio refuerza algunos OFT que tuvie-

ron presencia y oportunidad de desarrollo du-

rante el Primer Ao y adiciona otros propio de

las nuevas unidades: Los OF T del mbito Crecimiento y Au-

toafirmacin Personal referidos al inters y

capacidad de conocer la realidad, utilizar

Objet ivos Fundamentales Transversales y

su presencia en el programaLos Objetivos Fundamentales Transversales

(OFT) definen finalidades generales de la edu-

cacin referidas al desarrollo personal y la for-

macin tica e intelectual de alumnos y

alumnas. Su realizacin trasciende a un sector

o subsector especfico del currculum y tienelugar en mltiples mbitos o dimensiones de la

experiencia educativa, que son responsabilidad

del conjunto de la institucin escolar, incluyen-do, entre otros, el proyecto educativo y el tipo

de disciplina que caracteriza a cada estableci-

miento, los estilos y tipos de prcticas docen-tes, las actividades ceremoniales y el ejemplo

cotidiano de profesores y profesoras, admi-

nistrativos y los propios estudiantes. Sin em-

bargo, el mbito privilegiado de realizacin de

los OF T se encuentra en los contextos y activi-

dades de aprendizaje que organiza cada sectory subsector, en funcin del logro de los apren-

dizajes esperados de cada una de sus unidades.Desde la perspectiva sealada, cada sector

o subsector de aprendizaje, en su propsito de

contribuir a la formacin para la vida, conjuga

en un todo in tegrado e indisoluble el desarro-llo intelectual con la formacin tico-social de

alumnos y alumnas. De esta forma se busca su-

perar la separacin que en ocasiones se estable-

ce entre la dimensin formativa y la instruct iva.

Los programas estn construidos sobre la base

de contenidos programticos significativos que

tienen una carga formativa muy importante, yaque en el proceso de adquisicin de estos cono-

cimientos y habilidades los estudiant es estable-

cen jerarquas valricas, formulan juicios

morales, asumen posturas ticas y desarrollan

compromisos sociales.Los Objetivos Fundamentales Transversa-

les definidos en el marco curricular nacional

(Decreto N 220), corresponden a una explici-


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el conocimiento y la informacin, tomar

decisiones fundamentadas.

Los OF T del mbitoDesarrollo del Pensa-miento, en especial los relativos a habilida-

des de investigacin, a travs de las activi-

dades que suponen seleccin y organizacin

de informacin y datos; a habilidades de

resolucin de problemas y de pensamien-to lgico, a travs del conjunto de conte-

nidos y actividades orientados al anlisis

de diversas situaciones, as como a la apli-

cacin de leyes y principios, por un lado, y

al aprendizaje de algoritmos o procedi-

mientos rut inarios por otro; y a habilida-des de generalizacin y de modelizacin a

partir de relaciones observadas.

Los OF T del mbito Persona y su Entorno

referidos al trabajo, y que plantean el de-

Objetivos Fundamentales

Los alumnos y las alumnas desarrollarn la capac idad de:

1. Conocer y util izar conceptos matemticos asociados al estudio de la ecuacin de la

rect a, sistemas de ecuaciones lineales, semejanza de figuras planas y noc iones de

probabilidad; inicindose en el reconocimiento y aplicac in de modelos matemticos.

2. Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de

azar sencillos, estableciendo las diferencias entre los fenmenos aleatorios y los

deterministas.

3. Explorar sistemticamente diversas estrategias para la r esolucin de problemas;profundizar y relacionar contenidos matemticos.

4. Percibir la relacin de la matemtica con otros mbitos del saber.

5. Analizar invariantes relativas a cambios de ubicacin y ampliacin o reduccin a

escala, utilizando el dibujo geomtrico.

sarrollo de actitudes de rigor, perseveran-

cia y anlisis de sus procedimientos, as

como de flexibilidad, originalidad y asun-cin del riesgo, y las capacidades de reci-

bir y aceptar consejos y crticas.

A travs de los problemas a resolver mate-

mticamente que plantean las actividades

del programa, es posible ampliar el trabajode los OFT a la capacidad de juicio de

alumnos y alumnas, y la aplicacin de cri-

terios morales a problemas del medio am-

biente, econmicos y sociales.

Junto a lo sealado, a travs de las sugerencias

al docente que explicita, el programa invita aprcticas pedaggicas que realizan los valores y

orientaciones ticas de los OFT, as como sus

definiciones sobre habilidades intelectuales y

comunicativas.


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Unidades, contenidos y distr ibucin temporalCuadro sinptic o

2

Semejanza de figurasplanas

Semejanza de f igurasplanas. Criter ios desemejanza. Dibujo aescala en diversoscontextos.

Teorema de Tha les sobretrazos proporcionales.Divisin interior de untrazo en una r azn dada.

Dist incin entrehiptesis y tesis.Organizacin lgic a delos argumentos.

Plan teo y reso luc in de

problemas relativos atrazos proporcionales.Anlisis de los datos yde la fact ib i l idad de lassoluciones.

Teoremas re lat ivos aproporcionalidad detrazos, en tringulos,cuadri lteros ycircunferencia, comoaplicac in del Teoremade Thales. Relacinentre paralelismo,semejanza y laproporcionalidad entretrazos. Presencia de lageometra en

expresiones artsticas;por ejemplo, la r aznurea.

3

Las fracciones en lenguajealgebraico

Expres iones a lgebraicasfraccionarias s imples,(con binomios oproductos notables en elnumerador y en eldenominador).Simpli f icacin,mult ip l icacin y adic inde expresionesfraccionarias s imples.

Re lac in en t re l aoperatoria confracciones y laoperatoria conexpresiones

fraccionarias. Resoluc in de desa f os y

problemas no rutinariosque involucrensustitucin de variablespor dgitos y/o nmeros.

Po te nc i as c onexponente entero.Mult ip l icac in y d iv is inde potencias. Uso einterpretacin deparntesis.

Unidades

4

La circunferencia y susngulos

n gu los d el c e nt ro yngulos inscritos en unacircunferencia. Teoremaque relaciona la medidadel ngulo del centrocon la delcorrespondiente nguloinscri to.

D is t in c in e nt rehiptesis y tesis.Organizacin lgic a delos argumentos.

Uso de a lgn programacomputacional degeometra que permitamedir ngulos, y ampliary reducir f i guras.

1

Nociones deprobabilidades

J u eg os de aza rsenci l los;representacin yanlisis de losresultados; uso de tablasy grf icos.

Comentar ios h ist r icosacerca de los in ic ios delestudio de laprobabilidad.

La probab i l idad comoproporcin entre e lnmero de resultadosfavorables y el nmerototal de resultadosposibles, en el caso deexperimentos conresultadosequiprobables.Sistematizacin derecuentos por medio dediagramas de rbol.

I t er ac i n d eexperimentos sencillos,por ejemplo, lanzamientode una moneda; relacincon el tringulo dePascal. Interpretacionescombinatorias.

Contenidos

Tiempo estimado:30 a 35 horas




Distribucin temporal


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Ecuacin de la rec ta yotras func iones, modelosde situaciones diarias

Representac in, anl is isy resolucin deproblemascontextuali zados ensituaciones como laasignacin de preciospor tramo de consumo,por ejemplo de agua, luz,gas. Variablesdependientes eindependientes.

Func in a f n y func inl ineal.

Ec u ac i n d e la rec ta .Interpretacin de lapendiente y delintercepto con el e je delas ordenadas.Condicin deparalelismo y deperpendicularidad.

Func in va lo r abso luto ;grf ico de esta funcin.Interpretacin del valorabsoluto como expresinde distancia en la rectareal.

Func in par te en tera .

Uso de a lgn p rogramacomputacional demanipulacin algebraicay grf ica.

6

Sistemas de ecuacioneslineales

Resoluc in de sis temasde ecuaciones linealescon dos incgnitas.Grfico de l as rectascorrespondientes.

Plan teo y reso luc in deproblemas y desafosque involucren sistemasde ecuaciones. Anlisisy pertinencia de lassoluciones.

Re lac in e nt re l asexpresiones grficas yalgebraicas de lossistemas de ecuacioneslineales y sussoluciones.

D is tan c ia e nt re do spuntos en el plano.

Ev olu ci n d elpensamiento geomtricodurante los siglos XVI yXVII; aporte de RenDescartes al desarrollode la re lacin entrelgebra y geometra.




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Unidad 1

Nociones de probabilidades

Contenidos

a. Juegos de azar sencillos; representacin y anlisis de los resultados; uso

de tablas y grficos.

b. Comentarios histricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad.

c. La probabilidad como proporcin entre el nmero de resultados

favorables y el nmero total de resultados posibles, en el caso de

experimentos con resultados equiprobables.Sistematizacin de recuentos por medio de diagramas de rbol.

d. Iteracin de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una

moneda; relacin con el Tringulo de Pascal.

Interpretaciones combinatorias.


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Unidad 1: Nociones de probabi l idades 17

Aprendizajes esperados

Los alumnos y alumnas:

1. Relacionan la nocin de probabilidad con la informacin estadstica que

deriva de la repeticin de un fenmeno aleatorio y explican qu diferencia

a stos de los fenmenos determinsticos.

2. Analizan e interpretan los resultados de problemas que involucran clculo

de probabilidades, considerando experimentos aleatorios simples; explicanlos procedimientos utilizados; analizan la independencia de los mismos;

reconocen los casos de equiprobabilidad.

3. Conocen y utilizan la frmula de Laplace para el clculo de probabilida-

des; comparan probabilidades y analizan su valor mximo y su valor

mnimo.

4. Utilizan el Tringulo de Pascal y al diagrama de rbol como tcnicas de

conteo en la resolucin de problemas.

5. Int erpretan informacin de diversos mbitos, que involucra probabi-

lidades.


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Las nociones de probabilidad y de lo aleatorio adquieren da a da mayor relevancia en la interpre-

tacin de hechos y en el anlisis de situaciones. Sin embargo, muchas creencias tien la nocin deprobabilidad con tonos ms propios de lo determinstico; son muchas las personas que interpretan

que, por ejemplo, como 1/6 es la probabilidad de obtener el as en el lanzamiento de un dado, al

lanzarlo 6 veces una de ellas debiera ser as. O bien, que si los nmeros 3 y 15 salieron en el sorteo

anterior, no saldrn en el siguiente, creyendo que el azar tiene memoria. Estas creencias puedentergiversar las opiniones en mbitos ms import antes que los juegos, como la salud pblica, indica-

dores sociales, comportamientos juveniles, publicidad, etc.Considerando que actualmente el anlisis e interpretacin de numerosas situaciones hacen

referencia al lenguaje probabilstico, es una necesidad contribuir a la construccin del sentido de la

probabilidad, entendida como una medida que se establece por el anlisis de los resultados de un

determinado fenmeno que se repite un gran nmero de casos. No se puede predecir qu resultado

saldr en el prximo lanzamiento de una dado, pero si se ha experimentado que en mil lanzamien-

tos, en aproximadamente la sexta parte de ellos, vale decir entre 165 y 170 veces, saldr un as, enotra sexta parte de los lanzamientos saldr dos, y as para los otros nmeros. Pero, puede ser ms

interesante aun, conocer estudios estadsticos orientados a establecer la probabilidad de algunos

resultados en fenmenos de orden social, poltico, econmico, etc.El foco central de esta unidad es desarrollar la nocin de probabilidad a partir del anlisis de

situaciones que sean interesantes y motivadoras para las alumnas y los alumnos; es importante que

puedan interpretar informaciones referidas a diversos mbitos, tales como economa, salud, educa-cin, comunicacin, diseo de polticas, etc., que involucran y hacen referencia a variables aleatorias.

En esta propuesta se propone el anlisis de juegos y fenmenos aleatorios sin enfatizar el uso

del vocabulario especfico; el concepto de espacio muestral est presente pero no se sistematiza.

En las diferentes actividades que se han seleccionado es conveniente que los estudiantes reali-

cen los juegos y las experiencias propuestas; que manipulen los objetos y reflexionen sobre los

resultados; que los grafiquen y analicen en cada caso. Hay numerosos programas computacionalesreferidos a probabilidades, que incorporan simulaciones con dados, naipes u otras situaciones; con

stos se pueden hacer cien o mil lanzamientos de dos dados en un tiempo breve para, por ejemplo,calcular su suma y graficar los resultados.

Si no se dispone de estos programas especficos, es recomendable trabajar en grupos para la

repeticin de determinados fenmenos, lo que permite obtener un total de resultados a nivel de

curso que hace interesante su estudio por medio de tablas o grficos. De este modo se pude apoyarla construccin del concepto de probabilidad y su relacin con el anlisis de los resultados para una

gran cantidad de casos. Para hacer los grficos o tablas se puede recurrir a una planilla de clculo.


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Ac tividades para el aprendizaje y ejemplos

Actividad 1

Pract ican d iversos juegos de azar senci l los; tabulan, gra f ican y a na l izan los

resultados obtenidos e infieren la nocin de probabilidad y de fenmeno aleatorio.

Ejemplo A

Lanzar una moneda y registr ar el r esultado sello o car a para c ada lanzamiento. Analizar

los resultados que se obtienen para 10, 20, 50, 100, 500, 1 000 veces que se lanc e la moneda.

Verificar que los nmeros asociados a la cara y al sello son diferentes entre s y que,en la medida de que el nmero de casos aumenta, se aproximan al 50% del total.

Ejemplo B

Analizar los r esultados que se obtienen al lanzar 50, 100, 500 o ms veces un dado; regi strar

estos resultados en tablas y grfic os. Observar cmo las barr as tienden a tener la misma

altura en el gr fico en la medida en que el nmero de lanzamientos aumenta.

Ejemplo C

Tabular y grafic ar el nmero de partidos que gan, empat y perdi un determinado equipo

de ftbol durante un ao deter minado. Analizar el grf ico e inter pretar la altura que alcanza

cada una de las barras. De acuerdo a ese grfico, cul era la probabilidad de que el

equipo ganara el ltimo partido de la temporada?

INDICACIONESAL DOCENTE:

Los tres ejemplos se refieren a fenmenos aleatorios: en ninguno de los tres es predecible el resulta-

do. Sin embargo, en los dos primeros, que son del mismo tipo, es claramente observable en elgrfico que la frecuencia asociada a cada resultado es aproximadament e la misma. En el tercer caso,

en cambio, las frecuencias correspondientes a los tres valores que puede tomar la variable aleatoria

no son las mismas.Es interesante comentar con los alumnos y alumnas casos con dados cargados; en esos casos,

algunos resultados no tienen la misma probabilidad de salir en cada lanzamiento.

Si se dispone de un programa computacional apropiado, se puede complementar esta experien-cia prctica con simulaciones de experimentos parecidos. La gran ventaja de la herramienta

computacional es que los experimentos se pueden repetir una gran cantidad de veces en poco tiem-

po, y, en muchos de ellos, se pueden visualizar los cambios en las barras de un grfico.


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Considerar ot ros ejemplos de fenmenos aleator ios: sexo de los hijos, predicciones meteorolgicas,

nutricin y salud, tabaquismo y enfermedades respiratorias, etc. Es necesario que los alumnos y

alumnas asocien el concepto de probabilidad con la frecuencia que se observa en registros estadst i-cos de los resultados de determinado fenmeno.

Ejemplo D

Hacer una li sta de juegos de saln: ludo, domin, juegos con naipe, con dados, tabler o

chino, ajedrez u otros, y analizarlos considerando la presencia del factor azar y la de

algunas habilidades y estrategias tales como memoria, tcnicas de conteo, anlisis de

opciones, por citar algunas. Comparar con los juegos de azar que se realizan a nivel

nacional: lotera, kino, loto, etc.


Algunos juegos de saln, como el ajedrez, son juegos de estrategia, otros son una interesante com-

binacin de azar y reflexin, y otros son slo de azar. En esta conversacin se puede establecer la

distincin entre la buena suerte y la probabilidad de ganar uno de estos juegos.

Actividad 2

Realizan distintos juegos de azar, determinan las condiciones en que podran ganar,

aplic an la definici n cannica de probabili dad y la nocin de independencia de los

eventos.

Ejemplo A

Simular la organizacin de una rifa inter na en el cur so, suponiendo que eran 20 listas con

15 nmeros cada una y c inco pr emios a reparti r. Organizar un debate suponiendo que en

los resultados del sorteo, tres de estos cinco premios recayeron en personas que

compraron nmeros en la lista 19. Qu procedimientos de sorteo impediran que esto

sucediera?


En este contexto, se puede analizar cmo las caractersticas de lo diversos procedimientos de sorteo

inciden en la probabilidad de ganar. En cada caso se puede analizar la dependencia o independencia

entre los sorteos de cada premio: si se elimina o no la lista que obtuvo un premio en el sorteo

siguiente. Si todas las listas y nmeros participaran en los sorteos de todos los premios, una persona

podra recibir ms de un premio.


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Ejemplo B

Se dispone de discos hechos en c artulina que pueden girar sobre una base que tiene unaflecha indicadora.

Si se hacen girar sucesivamente los dos discos del dibujo, cul es la pr obabilidad de que

la suma de los nmeros indicados por la flecha sea par, considerando que cada disco

est dividido en tres ngulos congruentes? Hacer una tabla de valores de los casos posiblesy de los que cumplen con las condic iones pedidas.

Este ejemplo admite gran variedad de ajustes y cambios; uno de ellos se ilustra en el

dibujo que sigue:

Complementariamente, se podra pedir a los estudiantes que analicen un registr o que indica

que 70 de un total de 100 juegos realizados con estos discos indic an que se obt uvo suma

impar.

INDICACIONESAL DOCENTE:En el primer juego se han puesto los nmeros en distinto orden para establecer que, en este caso,

este orden no incide en la probabilidad del resultado.

En relacin con el registro que indicara un 70% de sumas impares es interesante no slo la

conclusin de que la probabilidad de la suma impar es 49

, esto es menor que un 50%, sino tambin

la argumentacin que los alumnos y alumnas pueden plantear acerca de los defectos en los grados

de libertad de giro de los discos u otro que podran permitir ese resultado.

Ejemplo C

M odificar el ejemplo anterior r eemplazando los discos por fichas numeradas disponibles

en una bolsa, manteniendo las mismas probabilidades par a cada caso, cules seran las

fichas para los dos primeros discos?, cuntas y c ules sern las fichas par a reemplazar

el tercer y cuarto disco?


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Es interesante notar si los alumnos y alumnas logran diferenciar el nmero de fichas requeridas en

cada uno de los juegos.

Ejemplo D

Se dispone de tres fichas: una es roja por ambos lados, la otra verde, tambin por ambos

lados y la tercera tiene una cara roja y la otra verde. Quien dirige el juego saca de una

bolsa una de las tres fichas y muestra slo una de las car as y pide adivinar el color de la

cara que se oculta.

El desafo es encontr ar una forma que permita acer tar la mayor cantidad de veces el col or

de la cara que no se muestra, suponiendo que cada vez la ficha es reembolsada.

Analizar situaciones tales como: Qu sucedera, considerando las tres fichas que se

pueden sacar, si una persona decidiera que siempre va a decir rojo?, en qu casos

acert ara? Si una persona decidier a decir siempre el mismo color que le muestran, o bien,

si optara por decir el contrar io, cundo acer tara y cundo no, en cada caso?


Es interesante desarrollar el juego entre pares de alumnos; abrir espacio para la bsqueda y anlisis

de estrategias posibles, para ponerlas a prueba y llevar registro de los resultados.

Si se considera conveniente, con el propsito de poner ms en evidencia los casos posibles y los

favorables, se puede ampliar a cuatro fichas, de las cuales una es roja por ambos lados, una es rojo-

verde y las otras dos fichas tienen sus dos caras verdes.

Actividad 3

Analizan y resuelven problemas que involucran el cl culo de la probabilidad de un

suceso asociado a un experimento aleatorio senci l lo, ut i l izando la frmula de

Laplace y distinguiendo los casos de equiprobabilidad, de certeza y de probabili dad

cero.

Ejemplo A

Repartir los nmeros del 1 al 12, al interior de grupos de 4 estudiantes, como lo indic a el

dibujo:

1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 10, 11, 12


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Se lanzan dos dados simultneamente; la suma de los puntos selecciona a la persona que

gana ese juego. Cada grupo juega 10 veces el juego. Sintetizar los resultados del curso en

un cuadro general c omo el siguiente:

Juegos ganados

Gr A Gr B Gr C Gr D Gr.... Total

1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10, 11, 12

Total 10 10 10 10

Abrir un debate sobr e los resultados en cada grupo y sobre el t otal del cur so. Por qu las

personas que tienen los nmeros 1, 2 y 3 ganaron menos veces? Se podra organizar el

reparto de los nmeros del 1 al 12 para que las c ondiciones para ganar sean las mismas

para todos los partic ipantes? Reciben t odas la misma cant idad de nmeros? Se puede

hacer esto para cualquier nmero de jugadores?

INDICACIONESAL DOCENTE:Puede ser adecuado, para el anlisis del juego, diferenciar por colores los dos dados para llegar a

establecer los 36 pares de puntos posibles que se pueden generar y establecer la probabilidad que

corresponde a cada suma del 1 al 12; construir, a partir de esa informacin, posibles repartos equitativos.

Ejemplo B

De cul de estas cajas es ms probable sac ar una f icha verde? Fundamentar la opcin.

Complementar el ejemplo, planteando que se quiere tener la misma probabilidad en las

tres c ajas: Qu cambios se pueden hacer? Es posible agregar fichas, blanc as o verdes,

para tener la cer teza de sacar una fic ha de ese color?


Se podran restringir las reglas del juego, indicando, por ejemplo, que slo se pueden agregar fichas

y no quitar, o que slo se pueden agregar fichas de un determinado color, etc.

A B C


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Ejemplo C

Ana M ara hizo, en el computador, la simulacin del siguiente experimento: se lanzan dosdados y se calcul a la difer encia entr e los puntos; esta experiencia se r epiti 1.000 veces.

Por un problema con la impresora, ella obtuvo un grfic o borroso c omo el que muestra el

dibujo.

Considerando las carac terstic as del experimento realizado, completar el grfico asignando

a cada diferencia las barras correspondientes.

Complementar este ejemplo, elaborando el grfico c orrespondiente a la pr obabilidad de

cada una de l as sumas de los puntos, entre dos dados.


Es importante que los alumnos y alumnas experimenten con un par de dados, ojal de distinto color

para determinar todos los casos posibles. Pedir que elaboren una tabla u otra forma de registro;utilizando esa informacin pueden completar el grfico.

Considerando los grficos de las sumas y de las restas, se puede proponer a los estudiantes que

inventen juegos que presenten diversas probabilidades para ganar.

Ejemplo D

Averiguar la c antidad de nmeros que se vende en alguno de los juegos de azar pblicos

(Lotera, Polla) y calcular l a probabilidad de ganar el premio mayor.


Para calcular la probabilidad de ganar el premio mayor de alguno de los juegos de azar, es conve-niente seleccionar alguno en el que sea sencillo el clculo del nmero total de casos. Estos clculos

para el kino o el loto requieren el uso de combinatoria que para este nivel inicial es an complejo.Pareciera que los casos ms simples son el clculo del premio mayor para la Polla o L otera, o bien,

se podra considerar alguna rifa que se realice en la ciudad o en el propio liceo.


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Actividad 4

Resuelven problemas que involucran el clculo de la probabilidad de un suceso

asociado a la iteracin de un experimento aleatorio sencillo. Utilizan el diagrama

de rbol como una tcnica de conteo y lo relacionan con el Tringulo de Pascal,

para l os experimentos con dos sucesos equiprobables.

Ejemplo A

Lanzar una moneda tres veces seguidas, cul es la probabilidad de que salga dos vec es

cara y una vez sello? Hacer un diagrama que permita contar los casos posibles y los

favorables.


Las situaciones posibles se pueden graficar utilizando el diagrama de rbol. En este caso estn

marcadas con trazo continuo las soluciones; son tres de un total de ocho.

Ejemplo B

En un grupo de 36 participantes, se les da a elegir entre var ios colores para el pantaln y

la polera nec esarios para las ac tividades deportivas; en los pantalones hay azules, verdesy grises; en las poleras se puede elegir entre blancas, amarillas, rosa o color arena. Si

todas la prendas estn en una caja, cul es la probabilidad de que una persona saque la

combinacin azul-arena? Organizar la informac in en un diagr ama de rbol.

INDICACIONESAL DOCENTE:El dibujo siguiente ilustra uno de los posibles diagramas. Es importante que los alumnos y alumnas

se den cuenta de que las distintas formas de construir el rbol llevan a un mismo resultado.


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En este t ipo de situacin es importante que los estudiantes organicen la informacin. El d iagrama

de rbol es una herramienta clara y cmoda si el nmero de casos no es muy grande.

A continuacin se incluyen dos diagramas de rbol, equivalentes entre s, en los que se simpli-fica el esquema, pero se complejiza su lectura. Puede ser muy interesante comparar los dos tipos de

diagrama y relacionar las formas de lectura.

Ejemplo C

Realizar el juego siguiente: en grupos de dos o tres estudiantes, en un tabler o como el del

dibujo, colocar sendas fichas, una en Liebrey la otra en Tortuga.

aren

a

azul

verde

gris

blanca

amarillarosada

arena

noarena

noazul

azul

noazular

ena

noarena

blanca

amarilla

rosada

arena

blanca

amarilla

rosada

arena

p(azul-arena)112

p(azul-arena)112

23

13

3

4

14

34

14

23

13

azul


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Lanzar el dado; si sale 1, la liebre llega a la casilla Meta. Con cualquiera de los otros

nmeros, la tortuga avanza un paso.

Si se realiza este juego 20 veces, cul de los dos animales llega ms veces a la meta?

Anticipar la respuesta y en seguida desarrol lar el juego para analizar con mayor

profundidad la situacin. Tener un sistema de registro de los resultados, compararlos entre

los grupos y grafic arlos.


Si se dispone de un computador, se pueden llevar los resultados a un grfico circular, para un totalde 20, 100, o ms juegos.

Se puede proponer el anlisis de dos lanzamientos del dado para estudiar las condiciones en las

que podra ganar la tortuga.

En el diagrama queda explcito que de las 36 duplas que se generan con los dos lanzamientos, 25

hacen ganadora a la tortuga. En consecuencia, la probabilidad de que la tortuga gane un juego es

2536 . A partir de este resultado, la probabilidad que gane la liebre est dada por:

1- 2536 1136=

LIEBRE

TORTUGA

M

ETA


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Esta situacin tambin puede representarse en un diagrama como el siguiente, en el que la lnea

punteada corresponde a la situacin en la que gana la tortuga:

Para enriquecer el juego, se puede modificar agregando otros pasos intermedios para el camino de la

tortuga hasta la meta o variando las condiciones para que la liebre llegue la meta.

Ejemplo D

Cul es la probabilidad de obtener slo caras al cabo de c inco lanzamientos consecutivos

de una moneda? Sintetizar los primeros r esultados en un diagrama de r bol y generalizar

en el Tringulo de Pascal.

INDICACIONESAL DOCENTE:El esquema siguiente resume la relacin entre el diagrama de rbol para este ejemplo y el Tringulo

de Pascal.

En el t ercer lanzamiento la inform acin que se sintet iza en el Tringulo de Pascal es: 1 caso ccc;

3 casos ccs; 3 casos css y 1 caso sss.

16

56

16

56

16

5

6

p(liebre) = + + =15

536

536

1136

p(tortuga) = 25

36

liebr

e

tortuga

liebr

e

tortuga

liebr

e

tortuga


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Ejemplo E

El Tringulo de Pascal que sigue, sintetiza los resultados obtenidos en el lanzamientosucesivo de una moneda. Cuntas veces se ha lanzado la moneda? Qu representan

cada uno de los nmeros de la ltima lnea del Tringulo de Pascal?


Puede ser interesante para los estudiantes recoger antecedentes sobre la historia de este tringulo y

analizar las regularidades numricas que presenta. Adems, es conveniente reflexionar sobre la ca-

pacidad de sntesis del Tringulo de Pascal.

Es necesario presentar el Tringulo de Pascal en su forma habitual, sin los trazos intermedios:

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1


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Actividad 5

Recogen y sistematizan informacin acerca del desarrollo histrico del estudio

matemt ico de l as probabi l idades y sobre su ut i l i zac in en d iversos mbi tos

profesionales.

Ejemplo A

Las alumnas y alumnos se informan sobre las probabilidades asociadas a los mtodos

anticonc eptivos, acerca de la probabilidad de generar un cncer pulmonar por efec to del

cigarr illo; en general incluir en estos estudios e investigaciones asuntos de inters para

los alumnos y alumnas. Se podra incor porar t emas relativos a meteorologa, astronoma,

gnero, conquista del espacio, salud, nutricin, niveles de estudio etc. A partir de esta

informacin, podran hacer breves artculos para publicar en algn boletn del liceo,

algunas conferencias sobre algn tema que sea interesante para los padres, una exposicin

en la que se incluyen dibujos y fotografas, etc.

Ejemplo B

Recoger informacin sobre Laplace, B. Pascal y P. de Fermat y los inicios del estudio

sistemtico de las probabilidades.


Interesa que los alumnos y alumnas procesen la informacin en una perspectiva de aproximarse a la

matemtica como un rea del conocimiento que evoluciona y que busca explicaciones a problemas

de diversos mbitos.Adems, importa que los alumnos y alumnas visualicen que las probabilidades estn presentes

en el anlisis de una variedad de fenmenos y situaciones.


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Actividades para la evaluacin y ejemplos

Las actividades siguientes son complementarias a las propuestas para el aprendizaje; destacan el

aspecto evaluativo presente en el proceso de enseanza y estn ligadas a los aprendizajes esperados

sealados en la parte inicial de la unidad, que son los que han orientado el desarrollo de la misma.

Actividad 1

Analizan situaciones y distinguen fenmenos en los que interviene lo al eatorio de

los fenmenos determinsticos.

Ejemplo

En la lista siguiente, marcar las situaciones que considere aleatorias y explicar por qu

las considera as.

a) Pronstico del tiempo.

b) Que salga 3 rojo en el juego de la ruleta.

c) Sexo de un recin nacido.

d) M ejora de un cncer en tratamiento.

e) Efecto de un remedio en un enfermo con contr ol mdico.

f) Chutear una pelota al aire y que retorne al suelo.

g) Apretar el interr uptor y que se encienda la luz.

h) Saber lo que otro piensa.

i) Saber cunto tiempo dedico diariamente al estudio.

j) Tener un acci dente en un vehcul o que se desplaza a ms de 120 km por hora.


Esta actividad se puede desarrollar en una primera instancia en forma individual y despus consti-

tuir pequeos grupos de dos o tres alumnos y alumnas para volver a discutir el listado. Aquellos

puntos en que no haya acuerdo se podrn resolver con la participacin de todo el curso.

Interesa observar en el trabajo de grupo y en la discusin final, si es necesario realiz arla, cules son los

argumentos que se esgrimen segn el tipo de fenmeno que se trate y si stos hacen o no referencia a la

seguridad o incerteza en la prediccin del resultado.


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Actividad 2

Realizan distintos juegos de azar, determinan las condiciones en que podran ganar,

aplic an la definici n cannica de probabili dad y la nocin de independencia de los

eventos.

Ejemplo A

Analizar las situaciones siguientes, responder las preguntas y fundamentar las respuestas.

a) Si se lanza 6 veces un dado, se puede asegurar que una de esas veces saldr el

nmero 2?, qu se puede asegur ar si se lanzara 500 1.000 veces?

b) Si se lanz 4 veces un dado y en las cuatr o veces sali as, con qu probabilidad sepuede asegurar que saldr distinto en l a vez siguiente?

In teresa observar y analiz ar en cada caso:

i) si se infiere de la fundamentacin una nocin de probabilidad;

ii) si expresan, de alguna manera, que cada lanzamiento es un experimento independiente

del anterior;

ii i) la comunicacin: su claridad y precisin.

Ejemplo B

Inventa r un juego en que la probab ilidad de ganar sea mayor que un 60%. Se puede reali zargrupalmente y complementar con un trabajo individual en el que cada participante del

grupo, responder algunas preguntas refer idas al juego inventado.

Algunas preguntas que se pueden incorporar en esta activ idad:

a) Explicar brevemente las reglas del juego creado.

b) Explicar por qu en este juego existe una probabilidad mayor de 60% para ganar.

c) Suponer que Daro juega tres veces y las tres veces pierde; qu explicacin se le

podra ofrecer a Daro?

Observar si el juego satisface las condiciones pedidas y si la respuesta al punto c) hace refe-

rencia a la asociacin entre la probabilidad de ganar y el nmero de veces que se repite el

juego.


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Ejemplo C

El premio mayor de la Lotera ha tenido terminacin 9 durante dos semanas seguidas.Ignacio dice que para aumentar la probabilidad de ganar es preferible jugar a cualquier

nmero que no ter mine en 9. Es corr ecta o no la afir macin de Ignac io? Por qu?

In teresa observ ar si logran expresar que cada lanz amiento es un experimento independien-

te; lo que sale en un caso no influye en el resultado del siguiente.

Actividad 3

Analizan y resuelven problemas que involucran el clculo de la probabilidad de unsuceso asociado a un experi mento aleatorio sencil lo, utilizando la frmula de Laplac e

y distinguiendo los casos de equiprobabilidad, de certe za y de probabili dad cero.

Ejemplo A

Cuntas fichas blancas es necesario agregar en cada c aja, para tener la misma probabilidad

de sacar una f icha verde de c ualquiera de ell as? Explique, en cada caso, su respuesta.

In teresa observar:

i) si t ienen la nocin de equiprobabilidad;

ii) el procedimiento utiliz ado para encont rar la solucin (dibujo, clculo, algn esquema,.. .);

ii i) si la explicacin es clara y precisa.

Ejemplo B

Al jugar 100 veces con una r uleta se ha registrado la siguiente tabla de resultados:

Color N Veces

Verde 50

Rojo 40

Azul 10


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Con cul de las rul etas siguientes se hizo el juego?

A B C

Interesa observar cmo relacionan la informacin de la tabla con la de los discos.

Ejemplo C

Las cinc o preguntas que se plantean a continuacin se refier en a las tres cajas siguientes

que tienen fic has blancas y verdes. En cada c aso, explique las razones de sus respuestas.

a) Calcular la probabilidad de sacar una ficha verde de cada caja.

b) De cul caja es ms probable sacar una ficha blanca?

c) Cuntas fichas blancas es necesario agregar en la segunda caja, para que la

probabilidad de sacar una fic ha verde sea igual en la primera y en la segunda caja?

d) Cuntas fichas verdes es necesario agregar en la tercera caja para que la probabilidad

de sacar una ficha verde sea igual en la primera y terc era cajas?

e) Si se agrega una ficha blanca en la primera caja, cuntas fichas blancas es necesario

agregar en las otras dos cajas para que sacar una ficha verde en cada una de ellas

tenga la misma probabilidad?

In teresa observar:

i) si las respuestas reflejan un manejo de la nocin de probabilidad y del uso de la frmula

de Laplace,

ii) si tienen un manejo de comparacin de fracciones los alumnos o alumnas que contesten

bien a a) y mal a b),

ii i) si aceptan que la pregunta e) no tiene solucin para la tercera caja.

Actividad 4

Resuelven problemas que involucran el clculo de la probabilidad de un suceso

asociado a la iteracin de un experimento aleatorio sencillo. Utilizan el diagrama

de rbol como una tcnica de conteo y lo relacionan con el Tringulo de Pascal,

para l os experimentos con dos sucesos equiprobables.


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Ejemplo A

Se lanzan 2 monedas simultneamente, cul es la probabilidad de obtener cara en una ysello en la otra? Por qu?

In teresa observar:

i) si distinguen los cuatro casos posibles y los dos favorables;

ii) a qu procedimientos recurren (dibujos, diagramas, clculo, ...);

iii) si la explicacin es clara y hace referencia a la cantidad de casos posibles y de casos fav orables.

Ejemplo B

Considere el siguiente Tringulo de Pascal; invente una situacin cuya representacin

corresponda a la de este dibujo. Interpretar, considerando la situacin inventada, losnmeros que se anotan en la lt ima lnea.

In teresa observar:

i) si la situacin que se propone es coherente con la peticin que se hace;

ii) si in terpretan el Tringulo de Pascal como sntesis de casos posibles y fav orables, para

determinados resultados;

ii i) si logran relacionar una situacin especfica con la representacin propuesta.

Ejemplo C

Se lanzan tres dados simultneamente y en los tres sale as. Cul es la probabilidad que

esto ocurr a en el lanzamiento siguiente de los tres dados?

In teresa observar:

i) si logran establecer el total de casos posibles;

ii) si calculan correctamente la probabilidad pedida;

iii) qu tipo de procedimiento uti liz aron;

iv ) las respuestas no esperadas, haciendo alusin a que los dados pudieran estar cargados,

por ejemplo.

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1


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Unidad 2

Semejanza de figuras planas

Contenidos

a. Semejanza de figuras planas.

Criterios de semejanza.

Dibujo a escala en diversos contextos.

b. Teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Divisin interior de un trazo en una razn dada.

c. Distincin entre hiptesis y tesis.

Organizacin lgica de los argumentos.

d. Planteo y resolucin de problemas relativos a trazos proporcionales.

Anlisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones.

e. Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en tringulos,

cuadrilteros y circunferencia, como aplicacin del Teorema de Thales.

Relacin entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre t razos.

Presencia de la geometra en expresiones artst icas; por ejemplo, la razn

urea.


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Aprendizajes esperados

Los alumnos y alumnas:

1. Conocen los criterios de semejanza de tringulos y los aplican en el

anlisis de diferentes polgonos y en la resolucin de problemas.

2. Reconocen y describen las invariantes que se establecen al ampliar oreducir figuras.

3. Conocen el Teorema de Thales sobre proporcionalidad de trazos y lo

aplican en la resolucin de problemas.

4. C onjeturan y demuestran propiedades geomtricas asociadas a la

proporcionalidad de trazos y a la semejanza de figuras planas,

distinguiendo entre hiptesis y tesis.

5. Conocen acerca de la mutua influencia entre la geometra y algunas

expresiones art sticas.

6. Estiman distancias y longitudes aplicando semejanza de tringulos.


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La semejanza de figuras es un tema con una amplia y diversa gama de contextualizaciones. Este

tema tiene una fuerte tradicin en la matemtica escolar en nuestro pas; generalmente, su ensean-

za se ha centrado ms en la semejanza de tringulos y en los teoremas que la rigen que en sus

aplicaciones.En el desarrollo de esta unidad se ampla el anlisis a la semejanza entre diversos polgonos,

enfatizando la incidencia de las regularidades en las condiciones de semejanza y estableciendo rela-

ciones con los conceptos de proporcionalidad y de paralelismo; stos se sintetizan en los teoremas

de semejanza de tringulos y el teorema de Thales, parte del bagaje bsico relativo a este tema.

Las figuras semejantes present an un nivel de evidencia a simple vista; la dificultad reside en el

anlisis de las condiciones que generan aquello que es visible y tangible; es el salto cualitat ivo que va

desde la superposicin de dos tringulos semejantes, constatando la igualdad de los ngulos, a los

teoremas de semejanza; es el anlisis que permite concluir que todos los polgonos regulares son

semejantes entre s. Es el paso de los ejemplos a la generalizacin, lo que no es un tema menor parael aprendizaje, y a su vez es uno de los importante aportes que der ivan de un aprendizaje de calidad

en matemtica.Existen programas computacionales que permiten crear ambientes de evidencias visuales de

relaciones geomtricas, lo que estimula la formulacin de hiptesis.

Numerosos procedimientos para la estimacin y el clculo de distancias y alturas se basan en la

semejanza de tringulos. En esta unidad se incluyen algunos de ellos.Es conveniente que los alumnos y alumnas se acostumbren a seguir el orden de los vrtices

homlogos, para anotar los nombres de dos figuras semejantes; es una estrategia que facilita la

expresin de la proporcionalidad entre los lados.

La semejanza y la proporcionalidad estn estrechamente relacionadas. La proporcionalidad es

un tema que es motivo de estudio desde la Educacin Bsica y contina durante la Educacin

Media. En su estudio asociado al tema de semejanza es importante que los alumnos y alumnas

diferencien las relaciones de proporcionalidad entre longitudes, reas y volmenes entre figurassemejantes y puedan establecer una a partir de la otra.


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Ac tividades para el aprendizaje y ejemplos

Actividad 1

Realizan ampliaciones y reducciones de f iguras; ut i l izan el dibujo a escala e

interpre tan mapas, planos, dibujos, fotografa s u otras formas de representac in que

uti l ice el dibujo a escala.

Ejemplo A

Analizar mapas regionales, del pas o del mundo estableciendo el signific ado de la esc ala;

comparar superf icies de regiones o de pases a partir de un mapa. Recoger inf ormacinsobre diferentes formas de representar la Tierra y sus consecuenc ias en la interpretacin

del tamao de las dif erentes zonas o pases. Comparar los ef ectos de la proyec cin de G.

Mercator (1569) y de A. Peters (1977) en el tamao de la representacin de diferentes

regiones.

Ejemplo B

Estudiar planos de maquinarias y estimar el espacio que oc upara una de esas mquinas

en la sala de clase.

Ejemplo C

Analizar maquetas de edificios para aproximar la superficie que ocupara determinada

construccin.

Ejemplo D

Disear la distribuc in de muebles en una pieza utilizando dibujo a escala.

Ejemplo EObservar dibujos, esquemas y fotografas del macro y del microc osmos; investigar sobre

las distancias y dimensiones reales y la dificultad para c onstruir un modelo a escala.


Es interesante que los alumnos y alumnas se familiaricen con el fenmeno de la ampliacin y la

reduccin de figuras y cuerpos; que visualicen que se mantiene la forma y que el cambio en lasmedidas de longitud se rige por una escala, que establece la relacin de reduccin o ampliacin.


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Actividad 2

Construyen f iguras semejantes, comparan las medidas de los ngulos y de las

longitudes de los lados; construyen tablas y grficos; establecen las invariantes

asociadas a la semejanza de figuras planas.

Ejemplo A

Construir un pantgr afo y utilizarlo para tr azar figur as semejantes.

Sugerencias para la construcc in de un pantgrafo:

INDICACIONESALDOCENTE:

Es interesante que los estudiantes conozcan este instrumento, lo utilicen y puedan darse cuenta desu funcionamiento. Para incentivar reflexiones al respecto se puede preguntar: con qu medidas un

pantgrafo triplicara los lados de una figura?

Ejemplo B

Considerar una situac in del tipo siguient e. Una empresa ha diseado un juego par a

nios que permite armar figuras como la del dibujo.

Las piezas y sus medidas son las siguientes:

5 cm

radio 5 cm

10cm

6cm

3 cm 8 cm

6cm

2 cm


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Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio:

lo que mide 5 cm pasar a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar a ese

criterio para mantener la proporcin.

Disear en cartul ina las piezas del juego ya ampl iado. Anal izar y comentar los

procedimientos utilizados: cul fue la pieza que ofreci mayor (o menor) dificultad

para rehacerla?

INDICACIONESAL DOCENTE:En este ejemplo, algunos alumnos y alumnas suelen sumar 3 cm a cada medida, probablemente

porque es la diferencia ent re 8 y 5; si en la actividad se propusiera duplicar la medida: lo que mide 5 cm

pasase a medir 10 cm, las alumnas y alumnos aplicaran el modelo multiplicativo; en ese caso el

factor de multiplicacin es 2.

En este ejemplo, el factor multiplicativo es 85

; que este factor no sea un nmero entero plan-

tea una dificultad mayor que cuando el factor es entero; los alumnos y alumnas aplican, en este caso,errneamente, el modelo aditivo.

El crculo y el tringulo equiltero debieran ofrecer menos dificultades que las figuras ms

irregulares. Es interesante considerar que el tringulo rectngulo debe continuar siendo tal y satis-

facer, en consecuencia, el Teorema de Pit goras.

A partir de trabajos de este tipo se pueden inducir teoremas de semejanza de las figuras en

relacin con sus regularidades como, por ejemplo, todos los polgonos regulares del mismo tipo son

semejantes.

Ejemplo CSe organiza al c urso en grupos; cada gr upo recor ta 10 o ms rectngulos considerando

dos o tres razones diferentes entre sus lados; se pasan estos rect ngulos a otro grupo

para que los c lasifique por semejanza.


Analizar y discutir los procedimientos que presenten los estudiantes. Invitarlos a comparar las me-

didas de los lados y de las diagonales. Analizar la comparacin por diferencia y por cuociente.

Compartir los dos procedimientos que se ilustran en los dibujos siguientes; interesa constatar

que los lados de los rectngulos quedan, en este ordenamiento, paralelos entre s. Es necesario

reflexionar con los alumnos y alumnas sobre la relacin ent re semejanza y proporcionalidad y cmoesta relacin se expresa en paralelismo.


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Ejemplo D

Construir por homoteci a figuras semejantes. En los dibujos siguientes se pr oponen dosconstruc ciones. En la primer a, O es el centr o de homotecia, ABCD es la figura original y la

razn de homotecia es 12

.

En el segundo dibujo, ABCD es la figura original, O es el centr o de homotecia y la razn de

homotecia es 3.


Es interesante que con regla y comps o con algn programa computacional geomtr ico, se constru-

yan figuras semejantes utilizando la homotecia. En estas figuras es importante expresar por escrito

la semejanza, respetando el orden de los vrtices homlogos, y la proporcionalidad entre los lados.

Adems, se puede complementar este ejemplo proponiendo el dibujo de dos figuras homotti-cas, y pidiendo que determinen los centros y la razn de homotecia.

A

A

4,5

O

A

2,0

A6,0

B

CD

B C

D

B

CD

BC

D0

9,0


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Actividad 3

Resuelven problemas y ela boran demostraciones utili zando el Teorema de Thales;

conocen y analizan una demostracin de este teorema.

Ejemplo A

Dividir un trazo en 3 partes de igual medida.

Ejemplo B

Dividir un tr azo AB en la r azn 2:3


La forma clsica de hacer estas construcciones es por medio de rectas paralelas; es convenientemostrar en un mismo dibujo, que ni la medida del ngulo que forma la recta auxiliar con el trazo, ni

la distancia entre las paralelas alteran la ubicacin de los puntos de divisin. Esto da pie para pro-

poner el Teorema de T hales.

Ejemplos numricos pueden servir de base para trabajar el teorema de Thales, as como para

llegar a la construccin clsica de la divisin interior de un trazo en la razn m:n en que m y n

corresponden a las medidas de dos trazos.Es necesario que los estudiantes conozcan y puedan ent ender una demostracin del Teorema

de Thales.

Ejemplo C

Calcular la medida del trazo EF si E y F dividen respectivamente los lados AC y BC del

tri ngulo ABC, en la razn 2:3 siendo AE ms largo que EC.


Este ejercicio puede llevar a comentarios relativos a la medida de los trazos que unen los puntos

medios de los lados en el tringulo y de los lados no paralelos, en el trapecio.

C

E F

A B20 cm

15cm10

cm


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AC

B

D

E

G

F

Ejemplo D

Se quiere fijar un cuadro de 80 cm por 60 cm sobre un rectngulo de papel. La personaduea del cuadro quiere que se mantenga la r azn entre las medidas de los lados de la

tela. Adems, agrega que le gustara que este marc o de color no tuviera ms de 5 cm de

ancho. Qu soluciones se pueden proponer para las medidas de este marc o?


Se puede estimular a que los estudiantes representen a escala el rectngulo con y sin marco; queestablezcan las razones entre los lados y las comparen. Observar las respuestas de los alumnos y alum-

nas, los caminos que toman y que rechazan, las reflexiones que proponen y las conclusiones que plantean

para poder apoyar con preguntas sus reflexiones y conclusiones. Analizar las respuestas correctas.

Ejemplo E

En un dibujo como el siguiente en que AB // CD // FG anotar medidas posibles de los trazos

que se generan. A cules y a cuntos tr azos, como mnimo, es posible asignarles medidas,

arbitrar iamente, para que la figura quede determinada?


Este ejemplo se puede simplificar reduciendo a dos las paralelas y analizando qu medidas quedandeterminadas por otras.

Ejemplo F

Si la razn entre la diagonal de un rec tngulo y su lado mayor es 5:4, entonces en qu razn

estn el lado mayor con el lado menor del rectngulo. Explicar el procedimiento realizado.


Es muy importante que los alumnos y alumnas escriban las relaciones que van estableciendo y

puedan fundamentar con claridad las razones que las sustentan.

D C

A B


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Actividad 4

Estiman distancias o alturas aplicando la semejanza de tringulos; describen las

relac iones que justifican la vali dez de sus estimaciones.

Ejemplo

Los dibujos siguientes ilustran diver sas maneras, utilizadas habitualmente por las guas y

scouts, para estimar a lturas y distanc ias, recur riendo a la semejanza de tringulos. Realizar

algunas de estas estimaciones aprovechando alguna salida a terr eno que el curso realic e

u organizando una actividad especfica fuera de la sala de clases o del establecimiento

educacional.

a) Con un espejo

En este caso, es necesario que la per sona pueda observar el extremo superior del rbol

reflejado en el espejo.

b) La del leador

Mirando con un solo ojo, se cubre la altura del rbol con una varita o un lpiz que se

sostiene en la mano. Girar la mano en 90 y que una persona se ubique en el punto que

corr esponde al extremo libre de la varita.


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c) Cuntas veces cabe?

Colocar al pie de un poste una persona o vara de altur a conocida. Ubicarse a una distanc ia

adecuada, mirando con un solo ojo y rec urriendo a un lpiz o varita que se sostiene con la

mano, cubrir la persona y contar cunt as veces cabe en la altura de dicho poste.

d) La de las sombras

Para una misma hora la razn entre la longitud de un objet o y de su sombra es la misma.


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e) Haciendo coinc idir los extremos

Es necesario ubic arse a una distanci a tal que mirando c on un solo ojo queden alineados

el extremo superior del rbol y el de la vara de longitud conocida.

f) Guios alternativos

Con el brazo estirado, utilizar como mira el dedo pulgar par a ubicar dos puntos sobre el

edificio, mirando primero con un ojo y despus con el otro. Estimar la distancia entr e ambos

puntos, multiplicarla por 10 para obtener una estimacin de la distancia que los separa

del edificio. El factor 10 deriva de la razn entre la medida aproximada de la distancia

entre ambos ojos (6 cm) y la longitud de los brazos (60 cm) un promedio aproximado y

cmodo para hacer los clculos.


Ser int eresante que los alumnos y alumnas realicen algunas de estas mediciones estimat ivas; que se

organicen grupos de trabajo para analizar los distintos casos y explicar las razones que justifican

estas estimaciones. Es importante que los estudiantes diferencien una estimacin de la exactitud,

que utilicen las cifras significativas y el redondeo en los clculos estimat ivos y que, adems, valorenlas estimaciones de medidas y resultados.


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D C

R

A S B

Actividad 5

Sistematizan los teoremas de semejanza para cualquier tringulo y deducen las

formas que estos teoremas toman para los tr ingulos equilteros, issceles y

rectngulos. Aplican estos teoremas a la re solucin de problemas.

Ejemplo A

Organizar un juego de comunicacin, considerando un tringulo escaleno como el

siguiente:

Cul es el mnimo de informacin que una per sona necesita conoc er para c onstruir otr o

tringulo semejante con el del dibujo? Establecen los teoremas de semejanza para

cualquier tringulo; particularmente, para aquellos que ofrecen c aractersticas especficas.

Comparan con los teoremas de congr uencia de tr ingulos.


Es muy importante que los alumnos y alumnas establezcan la distincin entre la razn de semejan-za que se da entre los lados y elementos lineales homlogos entre dos figuras semejantes y que la

semejanza conserva la razn entre los lados de una figura. Se puede definir la semejanza como la

sucesin de una isometra y una homotecia o viceversa. Adems, la congruencia se puede int erpretar

como una semejanza de razn 1.

Ejemplo B

Considerar el dibujo siguiente:

Calcular la medida de RS sabiendo que RARC

= 32

, AR = 30 cm y BC = 25 cm.


La resolucin de este problema pasa por la aplicacin de algn teorema de semejanza de tringulos.

Es importante insistir en la escritura de las relaciones y en la verbalizacin de las razones que

fundamentan dichas relaciones.


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Ejemplo C

Un rectngulo inscr ito en un tringulo tiene su base sobre la base c del tr ingulo. Escribirla altura x del rec tngulo sabiendo que ella es la mitad de la base del rec tngulo, en funcin

de la altura h del tringulo y de la base c del tringulo.


Es necesario coordinar acciones para que los alumnos y alumnas visualicen los dos t ringulos seme-

jantes y escriban ordenadamente las relaciones de proporcionalidad entre los lados.

Actividad 6

Analizan figuras semejantes y establecen las razones entre las reas correspon-

dientes.

Ejemplo A

El dibujo siguiente ilustra un modelo de tangrama. Una empresa decide hacer par a la ventauna cantidad de estos puzzles de modo que el rea total sea el doble del rea del cuadr ado

del modelo.

Qu proc edimientos podran utilizar para disear el nuevo t angrama? Analizar la razn

de semejanza si se duplica el rea.

INDICACIONESAL DOCENTE:Es posible que la primera reaccin de muchos estudiantes sea

duplicar los lados del tangrama o de cada una de las figuras. Es

importante que pongan a prueba sus procedimientos y consta-

ten si satisfacen o no la peticin planteada.Este ejemplo se puede relacionar con el porcentaje que consideran las personas que sacan foto-

copias al recibir la peticin que dupliquen un dibujo. Para esos casos se programa la fotocopiadora

para una ampliacin de 141%. Pedir a los alumnos y alumnas que justifiquen ese porcentaje.

h x

c

7 cm

7 cm

14 cm


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D C

A B

Ejemplo B

En el siguiente dibujo, ABCD es un cuadrado y los vrtic es de la figur a inscri ta dividen ellado en la razn 1:4.

Demostrar que las figuras que se generan son cuadrados, y determinar la razn de

semejanza entre dos cuadr ados consecutivos.


Al plantear que se determine la razn de semejanza entre los cuadrados, podra interpretarse entre

los lados de los cuadrados o entre sus reas.Como problema previo podra proponerse que el punto de divisin de los lados fuera el punto

medio. Construiran as una sucesin de cuadrados de modo que de dos en dos, sus lados estn en la

razn 1: 2 y sus reas en la razn 1:2

Actividad 7

Recogen informacin sobre la di visin urea, el nmero de oro, su presencia en la

escuela pita grica, en diversas expresiones artsticas y en la naturaleza.

Ejemplo A

Construir una suc esin como la siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... en la que cada tr mino es la suma de los dos ante rior es, excep to los

dos primeros.

Calcular el cuociente entre el trmino n-simo y el anterior, para diferentes valores de n.Observar el proceso que sufren las cifras decimales del cuociente en la medida que n

aumenta.


Presentar este nmero como el nmero de oro, un nmero irracional. Dibujar un rectngulo dorado,

utilizando las medidas de dos nmeros consecutivos de la sucesin. Profundizar, si se estima conve-

niente, construyendo la divisin urea de un trazo y un pentgono regular.


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Ejemplo B

Realizar investigaciones relat ivas a:a) la presencia del rectngulo dorado en la pintura, la arquitectura o la escultura. En

este mbito se puede desarrollar alguna actividad compartida con el profesor o

profesora de arte;

b) la presencia del nmero de oro en la naturaleza: la espiral en los caracoles, en las

flores de maravilla;

c) la escuela pitagrica, sus smbolos, su historia, su presencia entre los maestros y

aprendices de la Edad Media, su influencia en las ar tes;

d) algunas propiedades del nmero de oro y su expresin numrica.

Ejemplo C

Desarrollar un panel relativo a la relac in entre proporc ionalidad y cnones de belleza en

diferentes momentos de la historia: los griegos, perodo del renacimiento, la act ualidad.

Recoger inf ormacin sobre los planteamientos de Leonardo Da Vinci y la proporc ionalidad

en las medidas del cuerpo en el rostr o.

INDICACIONESAL DOCENTE:Este tema abre un interesante espacio para visualizar en otros mbitos, a veces no tan prximos a la

cotidianeidad, relaciones entre el mundo de la matemtica y algunas manifestaciones culturales.


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Actividades para la evaluacin y ejemplos

Las actividades siguientes son complementarias a las propuestas para el aprendizaje; destacan el

aspecto evaluativo presente en el proceso de enseanza y estn ligadas a los aprendizajes esperados

sealados en la parte inicial de la unidad, que son los que han orientado el desarrollo de la misma.

Actividad 1

Construyen figuras semejantes y establece n las invariante s asociadas a la semej anza

de figuras planas.

Ejemplo

Se necesita hacer una bandera. Se dispone de una estrella como la del dibujo en la que

AB mide 6,8 cm.

Esta estrella es muy pequea para el cuadrado blanco de la bandera que mide 25 cm por

lado. Es necesario agrandarla para disponer de una en que la distancia AB sea igual a 17 cm.

Cmo se puede agr andar este modelo? Explique el procedimiento y las r azones que lo

sustentan.

In teresa observar:i) qu procedimientos utili zan para agrandar el modelo: pantgrafo al que ajustan las me-

didas, homotecia de razn 2:5, ensayo y error, u otro;

ii) Si las explicaciones son claras y hacen referencia a que la forma es la misma, pero ms

grande; o bien, si lo explican haciendo referencia a las medidas de los ngulos y de los

lados.

A

B


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Actividad 2

Resuelven problemas y ela boran demostraciones utili zando el Teorema de Thales o

los teoremas de semejanza.

Ejemplo A

Dividir un trazo AB en la razn 3:5:2

Observar si:

i) lo dividen en 10 partes congruentes o hacen int entos para div idirlo en otro nmero de

partes;

ii) hacen una construccin a partir de 10 trazos congruentes que los utiliz an como unidadde medida y sobre ellos establecen la div isin; en este caso, se podra inferir que no dispo-

nen de una herramienta para hacer la divisin.

Ejemplo B

En el dibujo siguiente, las distancias entre los puntos en cada r ecta son respec tivamente

iguales. Qu se puede afi rmar de las alturas de los tr azos? Fundamentar la respuesta.

Observar si los alumnos y alumnas recurren a una notacin apropiada y si utilizan el Teo-

rema de Thales o de semejanz a de tringulos.

Ejemplo C

ABCD es un c uadrado; R es punto cualquiera de la diagonal; trazar por R una perpendicular

a la diagonal. Esta perpendicular intersecta dos lados del cuadrado generando dos

tringulos. Demostrar que esos tr ingulos son congruentes entre s y semejantes con el

tringulo que genera la diagonal con los lados del cuadrado.

Observar si:

i) distinguen los datos y lo que se quiere demostrar;

ii) visualizan que se trata de tringulos rectngulos;

ii i) organizan las afirmaciones para llegar a demostrar lo que se pide.

D C

R

A B


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Ejemplo D

En el trapec io del dibujo, MN es paral ela a las bases. Si el punto M divide al lado AD demodo que M D:MA = 1:4, cunto mide M N si la base menor del trapec io mide 25 cm y la

mayor 60 cm?

In teresa observar si:

i) si diferencian los datos de lo que se pide que calculen;

ii) si los procedimientos e intentos de caminos son correctos;

ii i) establecen las proporciones conveniente y adecuadamente.

Actividad 3

Aplican los teoremas de semejanza en la elaboracin de demostraciones y en la

resolucin de problemas.

Ejemplo A

Analizar las situaciones que se describen a continuac in y determinar si se trata o no de

figuras semejantes.

a) Dos tringulos cualesquiera.

b) Dos tringulos issceles T y T en los que el ngulo del vrtic e de T y de T miden 45.

c) Dos tringulos rectngulos R y R en que un cateto de R es el doble de un cateto de R.

d) Dos tringulos rectngulos R y R en que un ngulo agudo de R es congruente con un

ngulo agudo de R.

e) Dos rectngulos A y B en que un lado de A es la mitad de un lado de B.

f) Dos cuadrados cualesquiera.

g) Dos rectngulos cualesquiera.

Observar si relacionan las propiedades de las figuras con los teoremas de semejanz a y con la

nocin de semejanz a.

D C

M N

A B


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Ejemplo B

ABCD es un cuadrado de l ado a. BEGH es un rect ngulo c uyos lados estn en la razn 1:3y tal que G es un punto de la diagonal del cuadrado. Determinar la medida de AG en

funcin de a.

Observar si:

i) distinguen los datos de lo que se quiere demostrar;

ii) visualizan los tringulos issceles que se han generado;

ii i) reconocen la raz n de semejanz a entre los tringulos rectngulos del dibujo;

iv ) relacionan ordenada y claramente la informacin para plantear sus conclusiones.

Ejemplo C

Dibujar un cuadrilter o cualquiera, determinar los puntos medios, unirlos y demostrar que

la figura que se forma es un paralelogramo. Sugerencia: unir los vrtices opuestos del

cuadri ltero. (Este problema puede proponerse para que se ut i l ice un programa

computacional de geometr a).

Observar si:

i) relacionan la figura con la semejanz a de tringulos o con el Teorema de Thales;

ii) si distinguen ent re los datos y lo que quieren demostrar;

ii i) si el dibujo los impulsa a plantear conclusiones no razonadas.

D C

G E

A H B


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Unida

plan segundo medio matematica

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