1

PLANDE MEJORAMIENTO DE TRIGONOMETRIA PARA GRADO 10 2016

I. IDENTIFICACION DE FUNCIONES NOMBRE : ......................................................... CURSO :

Determinar la alternativa correcta en cada uno de los siguientes ejercicios y problemas que

se plantean, escribiendo el desarrollo respectivo y encerrando con un círculo la alternativa elegida.

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto al gráfico de una función? a. La variable dependiente se representa en el eje X. b. La variable independiente se representa en el eje Y. c. Siempre es necesario unir los puntos que se ubican en el plano. d. El gráfico es una forma de representar una función. e. Todas las anteriores son verdaderas.

2. Cuál es el valor de la coordenada y, en 12)( xxf , si x toma el valor de 9?

a) 1 b) 9 c) 10 d) 18 e) 19

3. Según el gráfico, ¿Cuál es el dominio de la función? a. 3 b. -3 c. El conjunto de los enteros (Z). d. -3 a infinito ( ). e. El conjunto de los reales (R).

4. En relación a la función xy 5 , ¿qué se puede afirmar?

a) Pasa por el origen b) Cuando x = 0, y = 5

c) Su gráfica no es una recta

d) El dominio son los x > 5.

5. Dada la función 52 xy , se puede afirmar que la representación gráfica es una recta que

corta al eje Y en el punto. a) (0,-5) b) (0,2) c) (0,-2) d) (0,5)

6. El grafico de una función constante es: a) Una recta paralela

al eje X b) Una recta paralela

al eje Y c) Una recta que

pasa por el origen d) Una recta

creciente 7. ¿Qué tipo de función representa la gráfica?

a) Una función lineal. b) Una función afín c) Una función constante d) Una función identidad

8. ¿Cuál es la representación algebraica de la función de la gráfica?

2

a) y = 6 b) y = -6 c) x = -6 d) y = 6x

9. ¿Cuál es la representación algebraica de la función de la gráfica? a) y = 45x b) y= -45x c) y = -x d) y = x

Lee y luego responde las preguntas 10, 11 y 12.

Sea 5

5

1

3)(

x

x

six

sixxf

10. ¿Cuál es el valor de )5(f ?

a. -15 b. -5 c. -3 d. 5 e. 6

11. ¿Cuál es el valor de )2(f ?

a. -6 b. -3 c. -2 d. 3 e. 6

12. ¿Cuál es el valor de )5(f + )2(f ?

a. -16 b. -12 c. -11 d. -7 e. -1

13. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a la función 2)( xxf ?

a. b. c.

d. e.

14. Respecto a la pregunta anterior ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función?

a. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 8,6,4,1

3

b. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 12,6,4,1

c. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 12,9,8,1

d. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 16,9,2,1

e. Dom. 4,3,2,1 , Rec. 16,9,4,1

15. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene una pendiente positiva?

a) Solo I. b) Solo II c) II y III d) Solo IV e) IV y V

16. Respecto a la pregunta anterior, ¿Cuál de las rectas tiene una pendiente negativa? a) Solo I. b) Solo II c) II y III d) Solo IV e) IV y V

17. Representar a través de un gráfico cada una de las siguientes funciones:

a) 35 xy .

b) 23)( xxf

Luego determine en cada caso: a) La pendiente b) Intercepto con los ejes c) Dominio d) Recorrido

18. Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a Como se obtiene la inversa? Despejando la variable x y luego se intercambian de puesto dichas variables. Ej Dada la función f(x) = 2x + 4 o y=2x+4

Al despejar x queda: 𝒙 =𝒚−𝟒

𝟐 y luego se intercambian las variables queda: 𝒚 =

𝒙−𝟒

𝟐

La función inversa de la función real f(x) = 3x + 5 o y=3x+5 es:

a) 3

)5()(1 x

xf b) 53)(1 xxf

c) 3

)5()(1 x

xf d) 53

)(1 xxf

19. Reconocer en los diagramas que se presentan a continuación, cuales representan una

función y cuáles no, justificando cada una de las respuestas:

4

20. Reconocer de las funciones del ejercicio anterior, ¿cuáles son funciones biyectivas?

II. SISTEMAS ANGULARES, MEDICION DE ANGULOS Y CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS ANGULARES

Ejercicios

Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel

cuyo arco tiene longitud igual al radio.

a) 360º = 2 radianes (una vuelta completa) b) Un ángulo recto mide

2

radianes (un cuarto

de vuelta) c) 180º = radianes (media vuelta)

d) Como 180º = rad, resulta que 1º = 180

rad

Un ángulo de 1 radian tiene

180 = 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

º

º180

y

rad

x

ejemplo: 40º a rad

º40

º180

y

rad y =

º180

º40 rad

18

4 rad

9

2 rad

Ejercicios:

Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º 5) 200º

6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º

Transformar el ángulo de rad a grados:

5

1) rad5

2) rad

10

3) rad 3 4) rad

4

17

Aplicaciones de la medida en radianes

De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio r y

ángulo igual a radianes es:

S = r · , S: arco circunferencia, r: radio y : ángulo en rad

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( 22 r ), entonces el

ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 .

Ejemplo aplicación

6

Ahora tu

1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs.? 2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se

mueve a 45 m/s. 3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente

por minuto cuando viaja a 120 km/h?

1- Expresar en grados.

a) 53016’50’’ b) 170036’50’’ c) 28010’ d) 45036’ e) 276009’07’’ R/53,2805550

R/170,61388890

R/28,166666670

R/45,010

R/276,15194440

III. TEOREMA DE PITAGORAS Ejercicios de aplicación del Teorema de Pitágoras

1. En los triángulos siguientes hallar el perímetro y el área

2. Halla el área y el perímetro del triángulo equilátero, rombo y rectángulo siguientes:

7

3. Hallar el área y el perímetro de las siguientes figuras:

Soluciones: 1) 6cm2,12cm ; 54cm2,36cm ; 60m2,40cm ; 240dm2,75’24dm

2) 84’84cm2,42cm ; 384mm2,80mm ; 19’2cm2,18’4cm

3) 198mm2,130mm ; 8cm2,12cm

IV. ANGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL OBJETIVO FUNDAMENTAL:

Utilizar sistemáticamente razonamientos ordenados y comunicables para la resolución de problemas geométricos.

OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES:

Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica. Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y

seleccionar información relevante.

CLASIFICACION DE LOS ANGULOS: Dado un ángulo x se llamara

Agudos: 0º<x< 90º Rectos: x = 90º

Obtusos: 90º<x<180º

Extendidos: x = 180º

Completos: x = 360º

Ángulos congruentes: son los que tienen la misma medida, su signo es

Ángulos suplementarios: son pares de ángulos cuyas medidas suman 180º cada ángulo es el

suplemento del otro.

Ángulos complementarios : son pares de ángulos cuyas medidas suman 90º cada ángulo es

complemento del otro.

Ángulos en rectas secantes:

8

1) Ángulos adyacentes: son los que tiene un rayo y el vértice en común y sus interiores no se

intersectan. Los ángulos adyacentes en dos rectas secantes son suplementarios.

2) Ángulos opuestos por el vértice: no tienen rayo en común solo el vértice. Los ángulos

opuestos por el vértice en dos rectas secantes son congruentes.

Ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal: dos rectas paralelas forman una cinta

o banda y al ser cortadas por una transversal forman 8 ángulos. Si comparamos los ángulos de la R1

con los de la R2, reciben los siguientes nombres:

1) Ángulos correspondientes: están ubicados al mismo lado de la transversal, uno se encuentra en

el interior de la cinta y el otro en el exterior. Son congruentes

2) Ángulos alternos internos: están a distinto lado de la transversal y los dos se encuentran en el

interior de la cinta. Son congruentes

3) Ángulos alternos externos: están a distinto lado de la transversal y los dos se encuentran en el

exterior de la cinta. Son congruentes.

4) Ángulos contrarios o conjugados: están a distinto lados de la transversal, uno en el interior de la

cinta y el otro en el exterior. Son suplementarios.

5) Ángulos contrarios o conjugados: están a distinto lados de la transversal, uno en el interior de la

cinta y el otro en el exterior. Son suplementarios

6) Ángulos del mismo lado: están en el mismo lado transversal, los dos se encuentran el interior o

exterior de la cinta. Son suplementarios.

EVALUACION 1) Traza la bisectriz con el compás y mide los ángulos pedidos :

2) Calcula, sin medir, la medida de los siguientes ángulos :

9

3) Observa la figura y completa el cuadro, si R1 // R2 y S : secante

4) Calcula las medidas de los ángulos que faltan y justifica tu respuesta , en la figura anterior: m<a = 56º

m<b = ______ porque _________________________________________________

m<c = ______ porque _________________________________________________

m<d = ______ porque _________________________________________________

m<e = ______ porque _________________________________________________

m<f = ______ porque _________________________________________________

m<g = ______ porque _________________________________________________

m<h = ______ porque _________________________________________________

5) Calcula la medida de los ángulos que faltan :

10

V. TIPOS DE TRIANGULOS Y PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS

EL TRIANGULO

Los triángulos son figuras geométricas formadas por tres lados. Existen diferentes clases de

triángulos y de ángulos.

TRIANGULOS SEGÚN SUS LADOS

1. EQUILATERO 2. ESCALENO 3. ISOSCELES

Tres lados iguales Tres lados desiguales Dos lados iguales

TRIANGULOS SEGÚN SUS ANGULOS

1. RECTANGULO 2.ACUTANGULO 3. OBTUSANGULO

11

Un ángulo recto 900 Tres ángulos agudos Un ángulo obtuso más de 900

En un triangulo existen dos líneas de gran importancia: la altura y la mediana, llamadas líneas

notables.

a. Altura: Es la línea perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto de un triangulo

b. Mediana: Es la línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Para trazarlo, debe primero hallarse el punto medio de cada lado.

c. Bisectriz: divide al ángulo es dos ángulos iguales

El perímetro del siguiente rectángulo es la suma de la medida de todos sus lados

1. Halla el perímetro de los siguientes triángulos

MEDIDAS DE SUPERFICIE

Cuando se dibuja una figura, como un triángulo, un cuadrilátero u otro polígono o una circunferencia,

obtenemos en su parte interna una superficie plana. La medida de esa superficie interna se conoce

como área.

EL AREA es la cantidad de unidades cuadradas que tiene la superficie de una figura

APLICA:

1. Determino el área de cada figura

12

VI. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Funciones trigonométricas

Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno (sen), coseno

(cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec).

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

sen = hipotenusa

opuestocateto tan =

adyacentecateto

opuestocateto

sec =

adyacentecateto

hipotenusa

cos =hipotenusa

adyacentecateto cot =

opuestocateto

adyacentecateto

cosec =

opuestocateto

hipotenusa

Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las funciones sen y cos para poder

calcular las otras funciones, veamos por qué:

tan =

cos

sen cot =

cos

sen sec =

cos

1 cosec =

1

sen

Aplica los contenidos de matemática común y calcula los valores de los ángulos de 30º, 45º y 60º

Demostrar que: 1cos22 sen , usa los valores de los ángulos anteriores y después demuéstralo

para cualquier valor del ángulo.

Ejemplo:

1) Un ángulo agudo tiene 5

3sen . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.

13

1º método: Usando triángulos

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonometricas y encontramos:

5

3sen

5

4..cos

hip

adc

4

3

..

..tan

adc

opc

3

4

..

..cot

opc

adc

4

5

..sec

adc

hip

3

5

.cos

opc

hipec

2º método: Usando las identidades básicas

Por la identidad 1cos22 sen tenemos que:

22 1cos sen 2

2

5

31cos

25

91cos2

25

16cos2

5

4cos

Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno, calculamos todas las demás funciones:

4

3

5

45

3

.cos

.tan

sen

Así sucesivamente……

Ejercicios:

1) Si 4

7cos , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y

racionalizados. 2) Si 2,0cos , encuentra las otras funciones.

3) Si 9

5tan , encuentra las otras funciones.

Angulos complementarios:

En el triángulo rectángulo siguiente:

Ejemplos de uso de las cofunciones:

1) Calcular sen 30º.

Sen 30º = sen (90º - 30º) =cos 60º = ½

2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonometricas como el valor de la función de un

ángulo positivomenor que 45º.

a) sen 72º sen 72º = sen (90º - 72º) = cos 18º

Por teorema de Pitágoras

buscamos el otro cateto del

triángulo, es que es 4

14

b) cos 46º cos 46º = cos (90º - 46º) = sen 44º

Ejercicios:

1) Expresar el valor de la función trigonométrica en términos de un ángulo no mayor que 45º: a) sen 60º b) cos 84º c) tan 49,8º d) sen 79,6º

2) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora.

a) = 24º y c =16.

b) a = 32.46 y b = 25,78 c) = 24º y a =16

d) = 71º , c = 44

e) a = 312,7 ; c = 809 f) b = 4.218 ; c = 6.759 g) = 81º12’ ; a = 43,6

5

.

15

8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y

observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con

un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

16

12.

13.

17

16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan

a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48

grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura

a la cual están sujetos los cables?

17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación

de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de

depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un

ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo

plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que

vuela el avión en ese instante.

VII. LEY O TEOREMA DEL SENO Y LEY O TEOREMA DEL COSENO

Objetivo:

A partir de una situación establecer la estrategia adecuada para su solución con base en la ley de los

senos y ley del coseno.

En trigonometría el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los

lados de un triángulo, y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

El teorema del seno, es en trigonometría uno de los enunciados más importantes, debido a las

múltiples aplicaciones en el campo de la topografía, la ingeniería, la física. Se aplica en triángulos en

los que se conoce la medida de dos de sus lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También se

puede aplicar si se conocen la medida de dos de sus ángulos interiores y un lado opuesto a uno de

ellos

Teorema o Ley del Seno

En todo triangula ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los Senos de

los ángulos opuestos a dichos lados.

18

Recomendaciones:

Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable proceder así:

1. Tratar de imaginarse el problema. 2. Realizar un gráfico ilustrativo del problema para mejor su comprensión. 3. Ubicar en el gráfico los datos suministrados por el problema. 4. Aplicar la ecuación de la Ley del Seno.

Problema Una antena de radio está sujeta con cables de acero, como se muestra en la figura. Hallar

la longitud de los cables.

El ángulo en el vértice C, sería de 72º, de modo que podemos plantear la ley del Seno así:

Ahora:

Problemas Propuestos

mSen

Senma

Sen

m

Sen

a3,74

º72

º6280

º72

80

º62

mSen

Senmb

Sen

m

Sen

b5,60

º72

º4680

º72

80

º46

19

1. Un incendio es detectado por dos puestos de observación A y B, que están separados 30 km. Si el punto de observación B reporta el incendio en un ángulo ABF de 53°, y el punto A lo reporta con un ángulo BAF de 30°. ¿A qué distancia está el incendio del punto A?

2. Un avión vuela entre dos ciudades A y B, si en determinado instante se halla que el ángulo de elevación del avión desde la ciudad A es de 60° y desde la ciudad B es de 48°. Además la distancia entre ambas ciudades es de 120 Km. Realiza un esquema y calcula la distancia del avión hasta cada ciudad en ese preciso instante.

3. En las orillas opuesta de un río se sitúan dos puntos A y B. en la orilla donde está situado el punto A, se determina un segmento de recta AC = 275 m y se miden los ángulos CAB = 125° y ángulo ACB = 48°. Encontrar la longitud de AB.

4. Una diagonal de un paralelogramo tiene 24,8 unidades de longitud y forma ángulos de 42° y 27° con los lados. Hallar los lados.

5. Dos puntos A y B situados al mismo lado de una carretera distan 30 pies. Un punto C del otro lado de la carretera está situado de manera que el ángulo CAB mide 70° y el ángulo ABC mide 80°. ¿Cuál es el ancho de la carretera?

6. Dos puestos de observación A y B (separados 10 millas) en la costa, vigilan barcos que entran ilegalmente en un límite de 3 millas. El puesto A reporta un barco S en un ángulo BAS = 37° y el puesto B reporta el mismo barco en un ángulo ABS = 20°. ¿A qué distancia está el barco de la costa?

7. Un asta de bandera que está colocada sobre la parte superior de un edificio tiene 35 pies de altura. Desde un punto que está en el mismo plano horizontal que la base del edificio, los ángulos de elevación de la parte superior del asta y de la parte inferior de la misma son respectivamente 61° y 56°. Hallar la altura del edificio.

Teorema o Ley del Coseno

En todo triangula ABC, el cuadrado de la longitud de uno de los lados, es igual a la suma de los

cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de estos, por el coseno

del ángulo comprendido entre dicho lados.

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Recomendaciones:

Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable seguir las mismas instrucciones

propuestos en el teorema o ley del Seno.

Problema En el triángulo siguiente, se dan las medidas de los lados y el ángulo de 30º. Calcular el

lado desconocido a

Problemas Propuestos

1. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 35° y tienen longitudes de de 3 y 8 pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo?

2. ISLAS PARADISÍACAS:

En el mar de Gera, hay tres islas. Si sabemos que la

distancia entre las islas 1 y 2 es de 18 Km., la distancia entre

las islas 1 y 3 es de 22 Km. y además se sabe que el ángulo

que se forma desde la isla 1 al mirar hacia las demás islas

es de 75°. Entonces:

a. Calcular la distancia entre las islas 2 y 3.

b. Hallar los ángulos B y C de la gráfica.

3. TRENES:

De la estación de tricentenario parten dos trenes, uno hacia el centro con una velocidad de 70 Km. /h

y el otro hacia San Javier por la vía de reparaciones con una velocidad de 60 Km. /h. Si se sabe que

el ángulo entre las vías es de 35° y que los trenes viajan en línea recta, entonces:

a. Realiza un esquema de la situación

b. ¿A qué distancia se encontrarán después de media hora de viaje?

4. Y DELE CON LOS TRENES:

C

21

Dos trenes parten simultáneamente de una estación en diferentes direcciones, uno de ellos viaja a 80

Km. /h y el otro viaja a 100 Km./h. Si se sabe que el ángulo comprendido entre las vías es de 120°.

Responde:

a. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de dos horas de viaje? b. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de hora y media de viaje

5. Un solar triangular tiene frentes de 90 pies y 130 pies a dos calles que se cortan en un ángulo de 82°. Hallar el área del solar.

6. Las longitudes de los lados de un solar triangular son de 240 pies y de 300 pies, y el ángulo opuesto al lado mayor mide 75°. Hallar el tercer lado.

7. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación, en direcciones tales que forman un ángulo de 30º. Uno va a 20 Km. /h y el otro va a 30 km./h. después de dos horas de viaje ¿A que distancia se encuentran?

8. Una carrilera (en línea recta) de 150 km. de longitud tiene por extremos las ciudades C y D; otra carrilera (en línea recta) de 200 km. de longitud, continua el recorrido de la ciudad D a la ciudad E. si las dos carrileras forman entre si un ángulo de 130º, calcule la distancia entre las ciudades C y D

9. Un colegio tiene un parque de forma triangular cuyos lados son de 75m, 85m y 100m respectivamente. Hallar las medidas de los ángulos internos que dichos lados forman entre si.

10. Un faro está situado a 18 km. y a 45° al norte del este de un muelle. Un barco sale del muelle a las 10:0 a.m. y navega hacia el oeste a razón de 24 Km. /h. ¿A qué hora se encontrará a 14 Km. del faro?

11. Dos fuerzas de 50 Newtons y de 60 Newtons son aplicadas a un cuerpo de masa M, produciéndole una fuerza resultante de 85 Newtons. Calcule el ángulo comprendido entre dichas fuerzas en el punto de aplicación.

12. Las diagonales de un paralelogramo son 10 m y 12 m y forman entre 49° hallar la longitud de los lados.

13. Una escalera de 5,20 metros de largo es colocada a 2 m de la base de un muro inclinado como muestra la figura, y, alcanza una altura de 4,6 m sobre dicho muro. Hállese la inclinación del muro.

14. Hallar el mayor ángulo de un triángulo de lados 4, 7, y 10 cm.

15. ¿Bajo qué ángulo se ve un objeto de 7 m de largo por un observador cuyo ojo está a 5 m de uno de Los extremos del objeto y a 8 m del otro extremo?

22

16. Los lados de un triángulo son 3,8 y 9. Hallar la altura del triángulo correspondiente al vértice del ángulo más pequeño.

17. Un aeroplano lleva una velocidad de 185 Km. /h en dirección sur; el viento que sopla a 20° en dirección al oeste del sur, lleva una velocidad de 40 Km. /h, lo desvía de su ruta y altera su velocidad ¿En qué dirección viajará el aeroplano y a qué velocidad?