51

2.3 Planos.

La gráfica de una ecuación de dos variables x e y, más simple en dos

dimensiones R2 es la recta y su ecuación general es Ax + By + C = 0. Para

determinar una recta en el plano xy usamos la pendiente. En el espacio

tridimensional, la gráfica de una ecuación de tres variables x, y y z, es una

superficie, la representación más simple de superficie es un plano. La

ecuación de un plano es una ecuación de primer grado de tres variables y se

obtiene a partir de un punto del plano y del vector Normal (perpendicular) a

él.

Definición2.3.1:

Si N es un vector dado no cero y P0(x0, y0, z0) es un punto; entonces el

conjunto de todos los puntos P(x, y, z) para los cuales V( PP0 ) y N son

ortogonales, se define como el plano que pasa por P0 y t iene a N como

vector Normal.

Teorema2.3.1:

Si P0(x0, y0, z0) es un punto en un plano y un vector normal al plano

cbaN ,,= , entonces una ecuación del plano es

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

N

Po(xo,yo,zo) P(x,y,z)

52

Demostración:

Considérese el plano que contiene a P(x, y, z) y que tiene por vector

Normal cbaN ,,= , como se ve en la figura y V( PP0 ) es el vector cuya

representación es V( PP0 )= 000 ,, zzyyxx −−− , para los cuales V( PP0 ) es

perpendicular a N . Empleando el producto escalar se t iene

( ) 0PPVN 0 =•

c,b,a 000 zz,yy,xx −−− = 0

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) =0

es la ecuación del plano.

Ejemplos:

1) Encontrar una ecuación del plano que contenga al punto P(-1, 8, 3)

y que tenga -7i-j+k como vector Normal.

Solución:

Usando el teorema anterior P0(x0, y0, z0) = (-1, 8, 3) y

N = c,b,a = 1,1,7 −− , tenemos como ecuación del plano a

-7(x + 1) – (y – 8) + (z – 3) = 0

⇒ -7x – 7 – y + 8 + z – 3 =0

⇒ -7x – y + z – 2 =0

2) Obtener la ecuación general del plano que contiene los puntos

(3, 4, 1), (1, 7, 1) y (-1, -2, 5)

Solución:

Para aplicar el teorema necesitamos un punto del plano y un vector que

sea normal al plano, tenemos tres puntos del plano, pero no se nos da un

vector Normal. Para obtener el vector Normal N usamos el producto

vectorial de los vectores U y V , que van del punto (3, 4, 1) a los puntos

53

(1, 7, 1) y (-1, -2, 5).

U = 11,47,31 −−− = 0,3,2−

V = 15,42,31 −−−−− = 4,6,4 −−

y se t iene que

N = U x V =

464

032

−−−

kji

= 12i + 12k – (– 12k – 8j)

= 12i + 12k + 12k + 8j

= 12i + 8j + 24k

N = 24,8,12 = 4 6,2,3

Ahora con el P(x,y,z) y el punto P0(3,4,1) encontramos el vector

V( PP0 )= 1z,4y,3x −−− y

N • V( PP0 ) = 0

24,8,12 1z,4y,3x −−− = 0

12(x – 3) + 8(y – 4) + 24(z – 1) = 0

12x – 36 + 8y – 32 + 24z – 24 = 0

12x + 8y + 24z – 92 = 0

Realicemos el ejercicio anterior con la ayuda del software MAPLE V

Para obtener el vector Normal usamos el producto vectorial de los vectores U y V,

que van del punto (3, 4, 1) a los puntos (1, 7, 1) y (-1, -2, 5).

U =<1-3,7-4,1-1> =<-2,3,0>

V =<-1-3,-2-4,5-1> =<-4,-6,4>

Ahora carguemos la librería de Álgebra con el comando with(linalg)

> with(linalg):

Para representar a los vectores en MAPLE, se usa el comando a:= vector(número de

coordenadas,[a,b,...,c]);

> U:=vector(3,[-2,3,0]);

54

:= U [ ], ,-2 3 0

> V:=vector(3,[-4,-6,4]);

:= V [ ], ,-4 -6 4

Para realizar el producto vectorial, se usa el comando crossprod(u,v)

> crossprod(U,V);

[ ], ,12 8 24

> R:=%;# etiquetando al vector normal del plano

:= R [ ], ,12 8 24

Ahora si p=(x,y,z) y q=(3,4,1) entonces qp=<x-3,y-4,z-1>, representemos e vector qp

> qp:=vector(3,[x-3,y-4,z-1]);

:= qp [ ], , − x 3 − y 4 − z 1

Para realizar el producto punto el comandos es dotrod (los dos vectores),se obtiene la

ecuación del plano.

> dotprod(qp,R)=0;

= − + + 12x 92 8 y 24z 0

Para graficar los planos con el software. Se carga la l ibrería de

graficación with(plots) y se usa el comando implici tplot3d(ecuación del

plano, x=a..b,y=c..d,z=e..f)

Ejemplo:

a) Graficar el plano 2x-3y+z=4 usando MAPLE V.

Solución:

> with(plots):

> implicitplot3d(2*x-3*y+z=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5);

55

b) graficar los dos planos 3x+2y+z=2 y 2x-5y+3z=1 que se interceptan con la ayuda

del software.

> with(plots):

> implicitplot3d({3*x+2*y+z=2,2*x-5*y+3*z=1},x=-15..15,y=-

15..15,z=-10..10);

56

Teorema2.3.2:

Si a, b y c no son todos ceros, la gráf ica de una ecuación de la forma

ax + by + cz + d = 0 es un plano y c,b,a es un vector Normal al plano.

Demostración:

Supongamos que a≠ 0; entonces el punto

− 0,0,a

d está en la gráfica de

la ecuación.

La ecuación dada se puede escribir como ( ) ( ) 00z0yba

dxa =−+−+

+

por el Teorema anterior es una ecuación de un plano que pasa por el punto

− 0,0,a

d y para el cual c,b,a es un vector normal. Esto demuestra el

teorema para a≠ 0. Un argumento similar es vál ido si a = 0 y b≠ 0 ó c≠ 0

Dos planos del espacio tridimensional o son paralelos o bien se

cortan en una recta. Si se cortan podemos determinar el ángulo entre el los

a parti r del ángulo entre sus vectores normales. (ver la figura)

Definición2.3.2:

El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores

normales a los dos planos.

n r

L

57

Concretamente si los vectores N1 y N2 son normales a dos planos que se

cortan, entonces el ángulo θ entre los vectores normales es igual al ángulo

entre los dos planos y viene dado por

cosθ = 21

21

N.N

N.N

Ejemplo:

Encontrar la medida en radianes del ángulo entre los dos planos

2x – y – 2z – 5 = 0 y 6x – 2y + 3z + 8 = 0

Solución:

El vector normal de la ecuación del primer plano 2x – y – 2z – 5 = 0 es

1N = 2,1,2 −− y el vector normal de la ecuación 6x – 2y + 3z + 8 = 0 es

2N = 3,2,6 − por lo tanto el ángulo entre los dos planos es

cosθ = 21

21

N.N

N.N = ( )( )73

3,2,62,1,2 −−− ( ) ( ) 39212N 222

1 ==−+−+=

( ) ( ) 749326N 2222 ==+−+=

cosθ = 21

6212 −+=

21

8

⇒ θ = cos-1

21

8

Definición2.3.3:

Dos planos son paralelos si y solo si sus vectores normales son

paralelos.

Definición2.3.4:

Dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son

ortogonales.

58

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- Encuentre la ecuación del plano, si el vector normal y el punto son los

siguientes:

a) ( )5,1,23,1,2 PyN −=

b) ( )5,3,13,4,2 −−= PyN

c) ( )4,2,1523 −−+= PykjiN

d) ( )2,3,424 PyjiN +=

2.- Dado los puntos P(1,-1,2) y Q(2,1,3) Hallar la ecuación de plano que

pasa por P y es ortogonal a PQ Resp: x + 2y + z - 1=0

3.- Encuentre el ángulo que forman los planos 2x + y - 4z = 3 y

x – y + z = 2 con una precisión de un grado. Resp: 1,18 rad ó 68º

4.- Halle la ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R.

a) P(-1,2,1) , Q(0,-3,2 ) y R(1,1,-4) Resp: 26x + 7y +9z+3=0

b) P(1,-1,1), Q(2,0,2) y R(0,-2,1) Resp: x + y =0

5.- Grafique los siguientes planos:

a) 3x - 2y + z =4

b) 5x - 2y + 8z = 0

c) 6x + 7y –z = 7

6.- Demostrar que la ecuación de un plano cuya intersección con los ejes

x, y y z son respectivamente (a,0,0), (0,b,0) y (0,0,c) es 1=++c

z

b

y

a

x

7.- Hallar la distancia del punto al plano si:

a) P(1,0,-1) , x + y - z = 1 Resp: 3

3

b) P(1,1,-1) , x – y + z = 1 Resp: 6

8.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.- 1 ,3) y es paralela

al plano 3x + y + z = 0 Resp: 3x + y + z =5

59

9.- Obtener una ecuación del plano perpendicular al plano x + 3y – z = 7

que contenga a los puntos (2,0,5) y (0,2,- 1) Resp: 2x – y – z – 1 =0

10.- Real ice los ejercicios 1,2,4,5,8 y 9 con la ayuda del software

MAPLE V.

60

2.4 Rectas en R3

Al igual que en el plano, dos puntos distintos cualquiera en el espacio

determinan una recta única que pasa por esos puntos; También la recta en

R3 está determinada or un punto y una dirección. En el plano usamos la

noción de pendiente para denotar la dirección, pero en el espacio es

conveniente usar un vector.

Sea L una recta en R3 tal que contiene el punto P0(x0, y0, z0) y es

paralela a un vector dado R = c,b,a . (ver figura)

La recta L es el conjunto de todos los puntos P(x, y, z) tal que V( PP0 )

es paralelo al vector R y debe de existir un escalar t distinto de cero , por

lo tanto RtPPV =)( 0

cbatzzyyxx ,,,, 000 =−−−

ctbtatzzyyxx ,,,, 000 =−−−

Como o vectores son iguales tenemos que

=−=−=−

ctzz

btyy

atxx

0

0

0

o equivalente a

R= <a,b,c>

P0 (x0, y0, z0) P (x,y,z)

y

x

z

61

+=+=+=

ctzz

btyy

atxx

0

0

0

Llamaremos a este conjunto de ecuaciones, Ecuaciones

paramétricas de la recta L.

Definición2.4.1: (Ecuaciones Paramétricas de la Recta en R3 ).

Sea L la recta que pasa por (x0,y0,z0) y t iene la dirección del vector

cbaR ,,= entonces el punto (x,y,z) pertenece a la recta L, si y solo si sus

coordenadas satisfacen a las ecuaciones ctzzbtyyatxx +=+=+= 000 ,,

donde t es un escalar. Esta ecuaciones se l laman Ecuaciones paramétricas

de la recta L.

Ejemplo:

Halle la ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (4, -5, 3) y

su vector dirección es kjiR 32 −+−= .

Solución:

Los números directorios son 3,2,1 −− y x0=4, y0=-5, z0=3

Por lo tanto las ecuaciones paramétricas son:

−=+−=

−=

tz

ty

tx

33

25

4

De las ecuaciones paramétricas, si ningunas de as componentes del

vector R son cero podemos eliminar el parámetro t y obtener a

c

zz

b

yy

a

xx 000 −=−=− Esta ecuación se l lama Ecuación Simétrica de la

Recta L en R3.

62

Definición2.4.2: (Ecuaciones Simétrica de la Recta en R3)

Sea L la recta que pasa por (x0, y0, z0) y tiene la dirección del vector ckbjaiR ++=

donde ninguno de los números a, b y c son cero, entonces el punto (x, y, z) pertenece a la

recta L si y solo si sus coordenadas satisfacen las ecuaciones

c

zz

b

yy

a

xx 000 −=

−=

−

NOTA: Los números a, b y c se denominan números directores de la recta L en R3 .

EJEMPLO:

Encontrar la ecuación simétrica de la recta L que pasa por los puntos P (1,-3,-7) y

Q (-4,-2,1)

Solución:

El vector dirección de la recta L viene dado por

PQV( = 8,1,5)7(1),3(2,14 −=−−−−−−−

Los números directores son -5,1 y 8 y se puede elegir como ( )000 ,, zyx tanto a P como

Q. Tomemos a P se obtiene la ecuación simétrica:

8

7

1

3

5

1 +=+=−− zyx

EJEMPLO:

Demostrar que las rectas L1 : 4

2

1

1

2

1 −=+=− zyx y L 2 :

134

2 21

−−=

−=+ zyx

se

cortan y halle el punto de intersección.

63

Solución:

Los números directores para L1 son 4,1,2 y para L2 son 1,3,4 −− como no hay

ningún numeral t tal que 4,1,2 = t 1,3,4 −− las rectas no son paralelas.

Las ecuaciones simétricas

L 1 :

+=+−=

+=

sz

sy

sx

42

1

21

L2 :

−=−=

+−=

tz

ty

tx

21

3

42

las

rectas se cortan si y solo si existen dos números s y t que verifique

x =1+2s = -2+4t

y = -1+s = -3t

z = 2+4s = t−21

−=+

=+−=−

)3(2

34

)2(13

)1(342

ts

ts

ts

Resolviendo para las ecuaciones (1) y (2)

=+−=−

13

342

ts

ts Multiplicando por (-2) a la siguiente

−=−−−=−

262

342

ts

ts

-10t = -5

2

1=t (4) sustituyendo (4) en (1) se tiene

)5(2

12

232

322

32

142

−=

+−=−=−

−=

−

s

s

s

s

64

Ahora sustituyendo a (4) y (5) en (3)

2

3

2

12

2

3

2

1

2

14

−=−−

−=

−+

−

Para hallar las coordenadas del punto de intersección se pone a 2

1−=s en las

Paramétricas de L1 ( ó 2

1=t en los de L2 ) y se tiene

02

142

2

3

2

11

02

121

0

0

0

=

−+=

−=

−+−=

=

−+=

z

y

x

Por lo tanto donde se cortan las rectas es

− 0,2

3,0

Ejemplo:

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos

4=−+ zyx y 132 =+− zyx

Solución:

Si resolvemos las dos ecuaciones de los planos para x e y en términos de z, tenemos

132

4

=+−=−+zyx

zyx

3x + 2z = 5

Ahora multiplicando por -2 a la primera ecuación en

=+−=−+

132

4

zyx

zyx tenemos que

65

132

8222

=+−−=+−−

zyx

zyx

- 3y + 5z = -7

Despejando z en ambos resultados

3

53

7

3

23

55

73

2

53

375352

−=

−

−=

−=+−=

+−=−=

yz

xz

yz

xz

yzxz

La ecuación simétrica de la recta es 1

0

35

37

32

35 −=

−=

−

− zyx ó

equivalente a

3

0

53

7

23

5 −=−

=−

− zyx

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -1, 1),

perpendicular a la recta zyx == 23 y paralela al plano 0=−+ zyx

Solución:

Sean a, b y c os números directorios de la recta buscada. La ecuación de

la recta se puede escribir en la forma simétrica 1

0

21

0

31

0 −=−=− zyx sus

números directorios son

66

1,2

1,

3

1 ya que esta recta es perpendicular a la recta buscada se obt iene

01,2

1,

3

1,, =cba

( )10632023

=++=++ cbaocba

un vector normal R al plano 0=−+ zyx es 1,1,1 −=R como la recta

requerida es paralela a este plano, es perpendicular a la representación del

vector normal por lo tanto el vector cba ,, es perpendicular al vector

1,1,1 − entonces se tiene que 01,1,1,, =−cba o ( )20=−+ cba

Resolviendo el sistema con las ecuaciones (1) y (2)

( )( )

=−+=++

20

10632

cba

cba multipl icando por -2 a la ecuación (2) se t iene

( )38

08

0222

0632

cb

cb

cba

cba

−==+

=+−−=++

Sustituyendo a (3) en (2) se obtiene

ca

ca

cca

9

09

08

==−

=−−

La recta requerida tiene entonces como conjunto de números directorio a

1,8,9,8,9 −− coccc y como la recta contiene al punto ( )1,1,1− , la ecuación

simétrica de la recta buscada es 1

181

91 −=

−+=− zyx

67

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Encontrar las ecuaciones simétricas y paramétricas para la recta que

sasti face las condiciones:

a) Pasa por los puntos (1, 2, 1) y (5, -1, 1) Resp: 1,3

2

4

1 =−−=−

zyx

b) Pasa por el punto (4, -5, 20) y es perpendicular al plano

863 =−+ zyx Resp:

−=+−=

+=

tz

ty

tx

620

35

4

6

20

3

5

1

4

−−=+=− zyx

c) Pasa por el punto (1, -2, -2)y es paralela a kji 523 +−

Resp:

+−=−−=

+=

tz

ty

tx

52

22

31

5

222

31 +=

−+=− zyx

d) Pasa por el punto (0, 4, -3) y es paralela a 10

1

6

2

22

12 −=−+=− zyx

Resp:

+−=−=

=

tz

ty

tx

103

64

11

10

364

11+=

−−= zyx

2.- Determine si las rectas dadas coinciden, son secantes, paralela o se

cruzan. Si son secantes encuentre el punto de intersección.

10

3

6

2

45

2

3

6

2

4 −=−+=+=

−−=− zyx

yzyx

Resp: son paralelas

3.- Realice los ejercicios anteriores con el software MAPLE V